Instruire

Găsiți domeniul de aplicare al funcției. De exemplu, funcția sin(x) este definită pe întregul interval de la -∞ la +∞, iar funcția 1/x este definită de la -∞ la +∞, cu excepția punctului x = 0.

Definiți zonele de continuitate și punctele de întrerupere. De obicei, o funcție este continuă în același domeniu în care este definită. Pentru a detecta discontinuități, trebuie să calculați când argumentul se apropie de puncte izolate din domeniul definiției. De exemplu, funcția 1/x tinde spre infinit când x→0+ și spre minus infinit când x→0-. Aceasta înseamnă că în punctul x = 0 are o discontinuitate de al doilea fel.
Dacă limitele la punctul de discontinuitate sunt finite, dar nu sunt egale, atunci aceasta este o discontinuitate de primul fel. Dacă sunt egale, atunci funcția este considerată continuă, deși nu este definită într-un punct izolat.

Găsiți asimptotele verticale, dacă există. Calculele de la pasul anterior vă vor ajuta aici, deoarece asimptota verticală se află aproape întotdeauna în punctul de discontinuitate al celui de-al doilea fel. Cu toate acestea, uneori nu punctele individuale sunt excluse din domeniul definiției, ci intervale întregi de puncte, iar apoi asimptotele verticale pot fi localizate la marginile acestor intervale.

Verificați dacă funcția are proprietăți speciale: par, impar și periodic.
Funcția va fi chiar dacă pentru orice x din domeniul f(x) = f(-x). De exemplu, cos(x) și x^2 sunt funcții pare.

Periodicitatea este o proprietate care spune că există un anumit număr T numit perioadă, care pentru orice x f(x) = f(x + T). De exemplu, toate majore funcții trigonometrice(sinus, cosinus, tangentă) - periodic.

Găsiți puncte. Pentru a face acest lucru, calculați derivata funcției date și găsiți acele valori x unde dispare. De exemplu, funcția f(x) = x^3 + 9x^2 -15 are o derivată g(x) = 3x^2 + 18x care dispare la x = 0 și x = -6.

Pentru a determina care puncte extreme sunt maxime și care sunt minime, urmăriți modificarea semnelor derivatei în zerourile găsite. g(x) schimbă semnul de la plus la x = -6 și înapoi de la minus la plus la x = 0. Prin urmare, funcția f(x) are un minim la primul punct și un minim la al doilea.

Astfel, ați găsit și zone de monotonitate: f(x) crește monoton pe intervalul -∞;-6, scade monoton pe -6;0 și crește din nou pe 0;+∞.

Găsiți derivata a doua. Rădăcinile sale vor arăta unde graficul unei anumite funcții va fi convex și unde va fi concav. De exemplu, derivata a doua a funcției f(x) va fi h(x) = 6x + 18. Ea dispare la x = -3, schimbându-și semnul din minus în plus. Prin urmare, graficul f (x) înainte de acest punct va fi convex, după el - concav, iar acest punct în sine va fi un punct de inflexiune.

O funcție poate avea alte asimptote, cu excepția celor verticale, dar numai dacă domeniul său de definiție include . Pentru a le găsi, calculați limita lui f(x) când x→∞ sau x→-∞. Dacă este finită, atunci ați găsit asimptota orizontală.

Asimptota oblică este o linie dreaptă de forma kx + b. Pentru a găsi k, calculați limita lui f(x)/x ca x→∞. Pentru a găsi b - limită (f(x) – kx) cu același x→∞.

Trasează funcția pe datele calculate. Etichetați asimptotele, dacă există. Marcați punctele extreme și valorile funcției în ele. Pentru o mai mare acuratețe a graficului, calculați valorile funcției în mai multe puncte intermediare. Cercetare finalizată.

Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă utilizarea următoarei scheme:

1) găsiți domeniul de aplicare al funcției;

2) găsiți punctele de discontinuitate ale funcției și asimptotele verticale (dacă există);

3) investigați comportamentul funcției la infinit, găsiți asimptotele orizontale și oblice;

4) investigați funcția pentru uniformitate (ciudățenie) și pentru periodicitate (pentru funcții trigonometrice);

5) găsiți extremele și intervalele de monotonitate ale funcției;

6) determinați intervalele de convexitate și puncte de inflexiune;

7) găsiți puncte de intersecție cu axele de coordonate, dacă este posibil, și câteva puncte suplimentare care rafinați graficul.

Studiul funcției se realizează concomitent cu construcția graficului acesteia.

Exemplul 9 Explorează funcția și construiește un grafic.

1. Domeniu de definire: ;

2. Funcția se întrerupe în puncte
,
;

Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor verticale.

;
,
─ asimptotă verticală.

;
,
─ asimptotă verticală.

3. Investigăm funcția pentru prezența asimptotelor oblice și orizontale.

Drept
─ asimptotă oblică, dacă
,
.

,
.

Drept
─ asimptotă orizontală.

4. Funcția este chiar pentru că
. Paritatea funcției indică simetria graficului față de axa y.

5. Aflați intervalele de monotonitate și extremele funcției.

Să găsim punctele critice, adică. puncte în care derivata este 0 sau nu există:
;
. Avem trei puncte
;

. Aceste puncte împart întreaga axă reală în patru intervale. Să definim semnele pe fiecare dintre ele.

La intervalele (-∞; -1) și (-1; 0) funcția crește, la intervalele (0; 1) și (1; +∞) scade. La trecerea printr-un punct
derivata își schimbă semnul de la plus la minus, prin urmare, în acest moment, funcția are un maxim
.

6. Găsiți intervale de convexitate, puncte de inflexiune.

Să găsim punctele în care este 0 sau nu există.

nu are rădăcini reale.
,
,

puncte
și
împărțiți axa reală în trei intervale. Să definim semnul la fiecare interval.

Astfel, curba pe intervale
și
convex în jos, pe intervalul (-1;1) convex în sus; nu există puncte de inflexiune, deoarece funcția la puncte
și
nedeterminat.

7. Aflați punctele de intersecție cu axele.

cu ax
graficul funcției se intersectează în punctul (0; -1), și cu axa
graficul nu se intersectează, deoarece numărătorul acestei funcții nu are rădăcini reale.

Graficul funcției date este prezentat în Figura 1.

Figura 1 ─ Graficul funcției

Aplicarea conceptului de derivată în economie. Elasticitatea funcției

Pentru a studia procesele economice și a rezolva alte probleme aplicate, este adesea folosit conceptul de elasticitate a funcției.

Definiție. Elasticitatea funcției
se numește limita raportului incrementului relativ al funcției la incrementul relativ al variabilei la
, . (VII)

Elasticitatea unei funcții arată aproximativ câte procente se va modifica funcția
la modificarea variabilei independente cu 1%.

Elasticitatea unei funcții este utilizată în analiza cererii și a consumului. Dacă elasticitatea cererii (în valoare absolută)
, atunci cererea este considerată elastică dacă
─ neutru dacă
─ inelastic în raport cu prețul (sau venitul).

Exemplul 10 Calculați elasticitatea unei funcții
și găsiți valoarea indicelui de elasticitate pentru = 3.

Rezolvare: conform formulei (VII) elasticitatea functiei:

Fie x=3 atunci
Aceasta înseamnă că dacă variabila independentă crește cu 1%, atunci valoarea variabilei dependente va crește cu 1,42%.

Exemplul 11 Lăsați cererea să funcționeze in ceea ce priveste pretul are forma
, Unde ─ coeficient constant. Aflați valoarea indicelui de elasticitate al funcției cererii la prețul x = 3 den. unitati

Rezolvare: calculați elasticitatea funcției cererii folosind formula (VII)

Presupunând
unități monetare, obținem
. Asta înseamnă că la preț
den.unitate o creștere a prețului cu 1% va determina o scădere a cererii cu 6%, adică. cererea este elastică.

Pentru un studiu complet al funcției și trasarea graficului acesteia, se recomandă următoarea schemă:
A) găsiți domeniul de definiție, punctele de întrerupere; investigați comportamentul funcției în apropierea punctelor de discontinuitate (găsiți limitele funcției în stânga și în dreapta în aceste puncte). Specificați asimptotele verticale.
B) determinați uniformitatea sau neobișnuirea funcției și trageți o concluzie despre prezența simetriei. Dacă , atunci funcția este pară, simetrică față de axa OY; pentru , funcția este impară, simetrică față de origine; iar dacă este o funcție vedere generala.
C) găsiți punctele de intersecție ale funcției cu axele de coordonate OY și OX (dacă este posibil), determinați intervalele semnului funcției. Limitele intervalelor de constanță de semn ale unei funcții sunt determinate de punctele în care funcția este egală cu zero (zerurile funcției) sau nu există și de limitele domeniului de definire a acestei funcții. În intervalele în care graficul funcției este situat deasupra axei OX și unde - sub această axă.
D) găsiți derivata întâi a funcției, determinați zerourile și intervalele de constanță ale acesteia. În intervalele în care funcția crește și în care scade. Faceți o concluzie despre prezența extremelor (punctele în care există funcția și derivata și la trecere prin care își schimbă semnul. Dacă schimbă semnul din plus în minus, atunci în acest moment funcția are un maxim, iar dacă de la minus la minus plus, apoi un minim). Găsiți valorile funcției la punctele extreme.
E) găsiți derivata a doua, zerourile și intervalele sale de constanță. În intervalele în care< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) găsiți asimptote oblice (orizontale) ale căror ecuații au forma ; Unde
.
La Graficul funcției va avea două asimptote oblice și fiecare valoare a lui x la și poate corespunde la două valori ale lui b.
G) găsiți puncte suplimentare pentru a rafina graficul (dacă este necesar) și construiți un grafic.

Exemplul 1 Investigați funcția și trasați graficul acesteia. Rezolvare: A) domeniul de definire ; funcția este continuă în domeniul definiției; – punctul de rupere, pentru că ; . Apoi este asimptota verticală.
B)
acestea. y(x) este o funcție generală.
C) Găsim punctele de intersecție ale graficului cu axa OY: punem x=0; atunci y(0)=–1, adică. graficul funcției traversează axa în punctul (0;-1). Zerourile funcției (punctele de intersecție ale graficului cu axa OX): presupunem y=0; apoi
.
Discriminant ecuație pătratică mai mic decât zero înseamnă că nu există zerouri. Atunci limita intervalelor de constanță este punctul x=1, unde funcția nu există.
Semnul funcției în fiecare dintre intervale este determinat de metoda valorilor parțiale:

Din diagramă se poate observa că în interval graficul funcției este situat sub axa OX, iar în intervalul deasupra axei OX.
D) Aflam prezenta punctelor critice.
.
Punctele critice (unde sau nu există) se găsesc din egalitățile și .

Se obține: x1=1, x2=0, x3=2. Compune masa auxiliara

tabelul 1

(Prima linie conține punctele critice și intervalele în care aceste puncte sunt împărțite de axa OX; a doua linie indică valorile derivatei în punctele critice și semnele de pe intervale. Semnele sunt determinate prin metoda de valori parțiale.A treia linie indică valorile funcției y(x) în punctele critice și arată comportamentul funcției - crescând sau descrescând la intervalele corespunzătoare ale axei numerice.În plus, prezența unui minim sau maxim este indicat.
E) Aflați intervalele de convexitate și concavitate ale funcției.
; construim un tabel ca la paragraful D); doar în a doua linie notăm semnele, iar în a treia indicăm tipul de umflătură. pentru că ; apoi punct critic unul x=1.
masa 2

Punctul x=1 este punctul de inflexiune.
E) Găsiți asimptote oblice și orizontale

Atunci y=x este o asimptotă oblică.
G) Conform datelor obținute, construim un grafic al funcției

Exemplul 2 Efectuați un studiu complet al funcției și trasați graficul acesteia. Soluţie.

1). Domeniul de aplicare a funcției.
Evident, această funcție este definită pe întreaga linie numerică, cu excepția punctelor „” și „”, deoarece în aceste puncte, numitorul este egal cu zero și, prin urmare, funcția nu există, iar liniile și sunt asimptote verticale.

2). Comportamentul funcției când argumentul tinde spre infinit, existența punctelor de discontinuitate și verificarea asimptotelor oblice.
Să verificăm mai întâi cum se comportă funcția când se apropie de infinit la stânga și la dreapta.

Astfel, la , funcția tinde spre 1, adică. este asimptota orizontală.
În vecinătatea punctelor de discontinuitate, comportamentul funcției este definit după cum urmează:


Acestea. la apropierea punctelor de discontinuitate din stânga, funcția scade la infinit, în timp ce la dreapta, crește infinit.
Determinăm prezența unei asimptote oblice luând în considerare egalitatea:

Nu există asimptote oblice.

3). Puncte de intersecție cu axe de coordonate.
Aici este necesar să se ia în considerare două situații: să se găsească punctul de intersecție cu axa Ox și cu axa Oy. Un semn de intersectie cu axa x este valoarea zero a functiei, i.e. trebuie sa rezolvi ecuatia:

Această ecuație nu are rădăcini, prin urmare, graficul acestei funcții nu are puncte de intersecție cu axa Ox.
Un semn de intersecție cu axa Oy este valoarea x \u003d 0. În acest caz
,
acestea. - punctul de intersecție a graficului funcției cu axa Oy.

4).Determinarea punctelor extreme și a intervalelor de creștere și scădere.
Pentru a investiga această problemă, definim prima derivată:
.
Echivalăm cu zero valoarea primei derivate.
.
O fracție este zero atunci când numărătorul ei este zero, adică. .
Să determinăm intervalele de creștere și scădere a funcției.

Astfel, funcția are un punct extremum și nu există în două puncte.
Astfel, funcția crește pe intervalele și și scade pe intervalele și .

5). Puncte de inflexiune și zone de convexitate și concavitate.
Această caracteristică a comportamentului funcției este determinată folosind derivata a doua. Să determinăm mai întâi prezența punctelor de inflexiune. A doua derivată a funcției este

Pentru și funcția este concavă;

pentru și funcția este convexă.

6). Trasarea graficului unei funcții.
Folosind valorile găsite în puncte, construim un grafic schematic al funcției:

Exemplul 3 Funcția de explorare și complotează-l.

Soluţie
Funcția dată este o funcție neperiodică de formă generală. Graficul său trece prin origine, deoarece .
Domeniul funcției date sunt toate valorile variabilei , cu excepția și , la care numitorul fracției dispare.
Prin urmare, punctele și sunt puncte de întrerupere ale funcției.
pentru că ,

pentru că ,
, atunci punctul este un punct de discontinuitate de al doilea fel.
Liniile drepte și sunt asimptotele verticale ale graficului funcției.
Ecuații de asimptotă oblică , unde , .
La ,
.
Astfel, pentru și graficul funcției are o asimptotă .
Să găsim intervalele de creștere și descreștere a funcției și punctele de extremă.
.
Prima derivată a funcției la și , prin urmare, la și funcția crește.
Pentru , prin urmare, pentru , funcția este descrescătoare.
nu există pentru , .
, prin urmare, la graficul funcției este concav.
La , prin urmare, la graficul funcției este convex.

La trecerea prin punctele , , își schimbă semnul. Când , funcția nu este definită, prin urmare, graficul funcției are un punct de inflexiune .
Să construim un grafic al funcției.

Unul dintre sarcini critice calculul diferenţial este dezvoltarea de exemple generale de studiu al comportamentului funcţiilor.

Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe interval și derivata sa este pozitivă sau egală cu 0 pe intervalul (a, b), atunci y \u003d f (x) crește cu (f "(x) 0). Dacă funcția y \u003d f (x) este continuă pe segment și derivata sa este negativă sau egală cu 0 pe intervalul (a,b), atunci y=f(x) scade cu (f"( x)0)

Intervalele în care funcția nu scade sau nu crește se numesc intervale de monotonitate a funcției. Natura monotonității unei funcții se poate schimba numai în acele puncte ale domeniului său de definiție, la care semnul derivatei întâi se schimbă. Punctele în care prima derivată a unei funcții dispare sau se rupe se numesc puncte critice.

Teorema 1 (prima condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie definită funcția y=f(x) în punctul x 0 și să existe o vecinătate δ>0 astfel încât funcția să fie continuă pe segmentul , diferențiabilă pe intervalul (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , iar derivata ei păstrează un semn constant pe fiecare dintre aceste intervale. Atunci, dacă pe x 0 -δ, x 0) și (x 0, x 0 + δ) semnele derivatei sunt diferite, atunci x 0 este un punct extrem, iar dacă se potrivesc, atunci x 0 nu este un punct extrem. . Mai mult, dacă, la trecerea prin punctul x0, derivata își schimbă semnul din plus în minus (la stânga lui x 0, se execută f „(x)> 0, atunci x 0 este punctul maxim; dacă derivata își schimbă semnul de la minus la plus (la dreapta lui x 0 este executat de f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Punctele maxime și minime se numesc puncte extreme ale funcției, iar maximele și minimele funcției sunt numite valorile sale extreme.

Teorema 2 (criteriul necesar pentru un extremum local).

Dacă funcția y=f(x) are un extremum la curentul x=x 0, atunci fie f'(x 0)=0, fie f'(x 0) nu există.
La punctele extreme ale unei funcții diferențiabile, tangenta la graficul acesteia este paralelă cu axa Ox.

Algoritm pentru studierea unei funcții pentru un extremum:

1) Aflați derivata funcției.
2) Găsiți punctele critice, de ex. punctele în care funcția este continuă și derivata este zero sau nu există.
3) Luați în considerare vecinătatea fiecăruia dintre puncte și examinați semnul derivatei la stânga și la dreapta acestui punct.
4) Determinați coordonatele punctelor extreme, pentru această valoare a punctelor critice, înlocuiți în această funcție. Folosind suficiente condiții extreme, trageți concluziile adecvate.

Exemplul 18. Investigați funcția y=x 3 -9x 2 +24x

Soluţie.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Echivalând derivata cu zero, găsim x 1 =2, x 2 =4. În acest caz, derivata este definită peste tot; prin urmare, în afară de cele două puncte găsite, nu există alte puncte critice.
3) Semnul derivatei y "=3(x-2)(x-4) se modifică în funcție de interval, așa cum se arată în figura 1. Când trece prin punctul x=2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, iar la trecerea prin punctul x=4 - de la minus la plus.
4) În punctul x=2, funcția are un maxim y max =20, iar în punctul x=4 - un minim y min =16.

Teorema 3. (a 2-a condiție suficientă pentru existența unui extremum).

Fie f "(x 0) și f "" (x 0) există în punctul x 0. Atunci dacă f "" (x 0)> 0, atunci x 0 este punctul minim și dacă f "" (x 0) )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pe segment, funcția y \u003d f (x) poate atinge cea mai mică (cel puțin) sau cea mai mare (cel mult) valoare fie în punctele critice ale funcției aflate în intervalul (a; b), fie la capete a segmentului.

Algoritmul pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue y=f(x) pe segment:

1) Găsiți f „(x).
2) Găsiți punctele în care f „(x) = 0 sau f” (x) - nu există și selectați dintre ele pe cele care se află în interiorul segmentului.
3) Calculați valoarea funcției y \u003d f (x) la punctele obținute la paragraful 2), precum și la capetele segmentului și alegeți cel mai mare și cel mai mic dintre ele: acestea sunt, respectiv, cele mai mari ( pentru cele mai mari) și cele mai mici (pentru cele mai mici) valori ale funcției de pe segment.

Exemplul 19. Aflați cea mai mare valoare a unei funcții continue y=x 3 -3x 2 -45+225 pe segmentul .

1) Avem y "=3x 2 -6x-45 pe segment
2) Derivata y" există pentru tot x. Să găsim punctele în care y"=0; primim:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Calculați valoarea funcției în punctele x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Numai punctul x=5 aparține segmentului. Cea mai mare dintre valorile găsite ale funcției este 225, iar cea mai mică este numărul 50. Deci, la max = 225, la max = 50.

Investigarea unei funcții pe convexitate

Figura prezintă graficele a două funcții. Primul dintre ele este răsturnat cu o umflătură în sus, al doilea - cu o umflătură în jos.

Funcția y=f(x) este continuă pe segment și diferențiabilă în intervalul (a;b), se numește convexă sus (jos) pe acest segment, dacă pentru axb graficul său nu este mai sus (nu mai jos) decât tangenta desenat în orice punct M 0 (x 0 ;f(x 0)), unde axb.

Teorema 4. Fie funcția y=f(x) să aibă o derivată a doua în orice punct interior x al segmentului și să fie continuă la capetele acestui segment. Atunci dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (a;b), atunci funcția este convexă în jos pe segment ; dacă inegalitatea f""(x)0 este satisfăcută pe intervalul (а;b), atunci funcția este convexă în sus pe .

Teorema 5. Dacă funcția y=f(x) are derivată a doua pe intervalul (a;b) și dacă își schimbă semnul la trecerea prin punctul x 0 , atunci M(x 0 ;f(x 0)) este un punct de inflexiune.

Regula pentru găsirea punctelor de inflexiune:

1) Găsiți punctele în care f""(x) nu există sau dispare.
2) Examinați semnul f""(x) la stânga și la dreapta fiecărui punct găsit la primul pas.
3) Pe baza teoremei 4, trageți o concluzie.

Exemplul 20. Găsiți punctele extreme și punctele de inflexiune ale graficului funcției y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Avem f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Evident, f"(x)=0 pentru x 1 =0, x 2 =1. Derivata, la trecerea prin punctul x=0, isi schimba semnul din minus in plus, iar la trecerea prin punctul x=1, nu isi schimba semnul. Aceasta înseamnă că x=0 este punctul minim (y min =12) și nu există un extremum în punctul x=1. În continuare, găsim . A doua derivată dispare în punctele x 1 =1, x 2 =1/3. Semnele derivatei a doua se schimbă astfel: Pe raza (-∞;) avem f""(x)>0, pe intervalul (;1) avem f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Prin urmare, x= este punctul de inflexiune al graficului funcției (tranziția de la convexitate în jos la convexitate în sus) și x=1 este, de asemenea, un punct de inflexiune (tranziție de la convexitate în sus la convexitate în jos). Dacă x=, atunci y= ; dacă, atunci x=1, y=13.

Un algoritm pentru găsirea asimptotei unui grafic

I. Dacă y=f(x) ca x → a , atunci x=a este o asimptotă verticală.
II. Dacă y=f(x) ca x → ∞ sau x → -∞ atunci y=A este asimptota orizontală.
III. Pentru a găsi asimptota oblică, folosim următorul algoritm:
1) Calculați. Dacă limita există și este egală cu b, atunci y=b este asimptota orizontală; dacă , atunci treceți la pasul al doilea.
2) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu k, atunci treceți la pasul al treilea.
3) Calculați. Dacă această limită nu există, atunci nu există nicio asimptotă; dacă există și este egal cu b, atunci treceți la pasul al patrulea.
4) Notați ecuația asimptotei oblice y=kx+b.

Exemplul 21: Găsiți o asimptotă pentru o funcție

1)
2)
3)
4) Ecuația asimptotă oblică are forma

Schema studiului funcției și construcția graficului acesteia

I. Găsiți domeniul funcției.
II. Aflați punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.
III. Găsiți asimptote.
IV. Găsiți puncte de extremum posibil.
V. Găsiți punctele critice.
VI. Folosind desenul auxiliar, investigați semnul primei și a doua derivate. Determinați ariile de creștere și descreștere ale funcției, găsiți direcția convexității graficului, punctele extreme și punctele de inflexiune.
VII. Construiți un grafic, ținând cont de studiul efectuat în paragrafele 1-6.

Exemplul 22: Trasează graficul unei funcții conform schemei de mai sus

Soluţie.
I. Domeniul funcției este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția x=1.
II. Deoarece ecuația x 2 +1=0 nu are rădăcini reale, atunci graficul funcției nu are puncte de intersecție cu axa Ox, ci intersectează axa Oy în punctul (0; -1).
III. Să clarificăm problema existenței asimptotelor. Investigam comportamentul functiei in apropierea punctului de discontinuitate x=1. Deoarece y → ∞ pentru x → -∞, y → +∞ pentru x → 1+, atunci linia x=1 este o asimptotă verticală a graficului funcției.
Dacă x → ​​+∞(x → -∞), atunci y → +∞(y → -∞); prin urmare, graficul nu are o asimptotă orizontală. Mai departe, din existența limitelor

Rezolvând ecuația x 2 -2x-1=0, obținem două puncte ale unui extremum posibil:
x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2

V. Pentru a găsi punctele critice, calculăm derivata a doua:

Deoarece f""(x) nu dispare, nu există puncte critice.
VI. Investigăm semnul primei și a doua derivate. Posibile puncte extreme de luat în considerare: x 1 =1-√2 și x 2 =1+√2, împarte aria de existență a funcției în intervale (-∞;1-√2),(1-√2). ;1+√2) și (1+√2;+∞).

În fiecare dintre aceste intervale, derivata își păstrează semnul: în primul - plus, în al doilea - minus, în al treilea - plus. Secvența de semne a primei derivate se va scrie astfel: +, -, +.
Obținem că funcția pe (-∞;1-√2) crește, pe (1-√2;1+√2) scade, iar pe (1+√2;+∞) crește din nou. Puncte extreme: maxim la x=1-√2, în plus f(1-√2)=2-2√2 minim la x=1+√2, în plus f(1+√2)=2+2√2. Pe (-∞;1) graficul este convex în sus, iar pe (1;+∞) - în jos.
VII Să facem un tabel cu valorile obţinute

VIII Pe baza datelor obținute, construim o schiță a graficului funcției

Efectuați un studiu complet și trasați un grafic al funcției

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Domeniul de aplicare a funcției. Deoarece funcția este o fracție, trebuie să găsiți zerourile numitorului.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Excludem singurul punct x=1x=1 din zona de definire a funcției și obținem:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Să studiem comportamentul funcției în vecinătatea punctului de discontinuitate. Găsiți limite unilaterale:

Deoarece limitele sunt egale cu infinit, punctul x=1x=1 este o discontinuitate de al doilea fel, linia x=1x=1 este o asimptotă verticală.

3) Să determinăm punctele de intersecție ale graficului funcției cu axele de coordonate.

Să găsim punctele de intersecție cu axa ordonatelor OyOy, pentru care echivalăm x=0x=0:

Astfel, punctul de intersecție cu axa OyOy are coordonatele (0;8)(0;8).

Să găsim punctele de intersecție cu axa absciselor OxOx, pentru care setăm y=0y=0:

Ecuația nu are rădăcini, deci nu există puncte de intersecție cu axa OxOx.

Rețineți că x2+8>0x2+8>0 pentru orice xx. Prin urmare, pentru x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funcția y>0y>0(iau valori pozitive, graficul este deasupra axei x), pentru x∈(1;+∞) x∈(1; +∞) funcția y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funcția nu este nici pară, nici impară deoarece:

5) Investigăm funcția pentru periodicitate. Funcția nu este periodică, deoarece este o funcție rațională fracțională.

6) Investigăm funcția pentru extreme și monotonitate. Pentru a face acest lucru, găsim derivata întâi a funcției:

Să echivalăm prima derivată cu zero și să găsim punctele staționare (la care y′=0y′=0):

Avem trei puncte critice: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Împărțim întregul domeniu al funcției în intervale după aceste puncte și determinăm semnele derivatei în fiecare interval:

Pentru x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) derivata y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pentru x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) derivata y′>0y′>0, funcția crește pe aceste intervale.

În acest caz, x=−2x=−2 este un punct minim local (funcția scade și apoi crește), x=4x=4 este un punct maxim local (funcția crește și apoi scade).

Să găsim valorile funcției în aceste puncte:

Astfel, punctul minim este (−2;4)(−2;4), punctul maxim este (4;−8)(4;−8).

7) Examinăm funcția de îndoire și convexitate. Să găsim derivata a doua a funcției:

Echivalează derivata a doua cu zero:

Ecuația rezultată nu are rădăcini, deci nu există puncte de inflexiune. Mai mult, când x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 este satisfăcută, adică funcția este concavă când x∈(1;+∞)x∈(1) ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Investigam comportamentul functiei la infinit, adica la .

Deoarece limitele sunt infinite, nu există asimptote orizontale.

Să încercăm să determinăm asimptote oblice de forma y=kx+by=kx+b. Calculăm valorile lui k,bk,b conform formulelor cunoscute:

Am descoperit că funcția are o asimptotă oblică y=−x−1y=−x−1.

9) Puncte suplimentare. Să calculăm valoarea funcției în alte puncte pentru a construi un grafic mai precis.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Pe baza datelor obținute, vom construi un grafic, îl vom completa cu asimptotele x=1x=1 (albastru), y=−x−1y=−x−1 (verde) și vom marca punctele caracteristice (intersecția cu y -axa este violet, extremele sunt portocalii, punctele suplimentare sunt negre):

Sarcina 4: Probleme geometrice, economice (habar nu am ce, iată o selecție aproximativă de probleme cu o soluție și formule)

Exemplul 3.23. A

Soluţie. Xși y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S "> 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет cea mai mare valoare funcții. Astfel, raportul de aspect cel mai favorabil al site-ului în condițiile date ale problemei este y = 2x.

Exemplul 3.24.

Soluţie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplul 3.22. Aflați extremele funcției f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Soluţie. Deoarece f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), atunci punctele critice ale funcției x 1 \u003d 2 și x 2 \u003d 3. Punctele extreme pot fie doar în aceste puncte. Deci, ca atunci când trece prin punctul x 1 \u003d 2, derivata își schimbă semnul de la plus la minus, atunci în acest punct funcția are un maxim. Când trece prin punctul x 2 \u003d 3, derivata schimbă semnul de la minus la plus, prin urmare, în punctul x 2 \u003d 3, funcția are un minim. Calcularea valorilor funcției în puncte
x 1 = 2 și x 2 = 3, găsim extremele funcției: maxim f(2) = 14 și minim f(3) = 13.

Exemplul 3.23. Este necesar să construiți o zonă dreptunghiulară lângă zidul de piatră, astfel încât să fie împrejmuită cu plasă de sârmă pe trei laturi și să se învețe cu peretele pe a patra latură. Pentru asta există A metri liniari ai grilei. La ce raport de aspect va avea site-ul cea mai mare suprafață?

Soluţie. Notăm părțile laterale ale site-ului prin Xși y. Aria sitului este S = xy. Lăsa y este lungimea laturii adiacente peretelui. Atunci, prin condiție, egalitatea 2x + y = a trebuie să fie valabilă. Prin urmare y = a - 2x și S = x(a - 2x), unde
0 ≤ x ≤ a/2 (lungimea și lățimea zonei nu pot fi negative). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pentru x = a/4, de unde
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Deoarece x = a/4 este singurul punct critic, să verificăm dacă semnul derivatei se modifică la trecerea prin acest punct. Pentru xa/4 S "> 0 și pentru x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplul 3.24. Se cere realizarea unui rezervor cilindric închis cu o capacitate de V=16p ≈ 50 m 3 . Care ar trebui să fie dimensiunile rezervorului (raza R și înălțimea H) pentru a utiliza cea mai mică cantitate de material pentru fabricarea lui?

Soluţie. Pătrat suprafata intreaga cilindrul este S = 2pR(R+H). Cunoaștem volumul cilindrului V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Prin urmare, S(R) = 2p(R2+16/R). Găsim derivata acestei funcții:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 pentru R 3 \u003d 8, prin urmare,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Informații similare.