Poti sa comanzi solutie detaliata sarcina ta!!!

O egalitate care conține o necunoscută sub semnul unei funcții trigonometrice (`sin x, cos x, tan x` sau `ctg x`) se numește ecuație trigonometrică, iar formulele lor le vom lua în considerare în continuare.

Cele mai simple ecuații sunt `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, unde `x` este unghiul care trebuie găsit, `a` este orice număr. Să notăm formulele rădăcinilor pentru fiecare dintre ele.

1. Ecuația `sin x=a`.

Pentru `|a|>1` nu are soluții.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuația `cos x=a`

Pentru `|a|>1` - ca si in cazul sinusului, nu are solutii intre numerele reale.

Când `|a| \leq 1` are un număr infinit de soluții.

Formula rădăcină: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Cazuri speciale pentru sinus și cosinus în grafice.

3. Ecuația `tg x=a`

Are un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuația `ctg x=a`

Are, de asemenea, un număr infinit de soluții pentru orice valoare a lui `a`.

Formula rădăcină: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule pentru rădăcinile ecuațiilor trigonometrice din tabel

Pentru sinus:
Pentru cosinus:
Pentru tangentă și cotangentă:
Formule pentru rezolvarea ecuațiilor care conțin funcții trigonometrice inverse:

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice

Rezolvarea oricărei ecuații trigonometrice constă în două etape:

• cu ajutorul transformării în cel mai simplu;
• rezolvați cea mai simplă ecuație obținută folosind formulele rădăcinilor și tabelele scrise mai sus.

Să ne uităm la principalele metode de soluție folosind exemple.

Metoda algebrică.

Această metodă implică înlocuirea unei variabile și substituirea acesteia într-o egalitate.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

faceți o înlocuire: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, apoi `2y^2-3y+1=0`,

găsim rădăcinile: `y_1=1, y_2=1/2`, din care urmează două cazuri:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Răspuns: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorizarea.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `sin x+cos x=1`.

Soluţie. Să mutăm toți termenii egalității la stânga: `sin x+cos x-1=0`. Folosind , transformăm și factorizăm partea stângă:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Răspuns: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducerea la o ecuație omogenă

În primul rând, trebuie să reduceți această ecuație trigonometrică la una dintre cele două forme:

`a sin x+b cos x=0` (ecuația omogenă de gradul I) sau `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ecuația omogenă de gradul II).

Apoi împărțiți ambele părți la `cos x \ne 0` - pentru primul caz și la `cos^2 x \ne 0` - pentru al doilea. Obținem ecuații pentru `tg x`: `a tg x+b=0` și `a tg^2 x + b tg x +c =0`, care trebuie rezolvate folosind metode cunoscute.

Exemplu. Rezolvați ecuația: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Soluţie. Să scriem partea dreaptă ca `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Aceasta este o ecuație trigonometrică omogenă de gradul doi, împărțim laturile ei stânga și dreapta la `cos^2 x \ne 0`, obținem:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Să introducem înlocuirea `tg x=t`, rezultând `t^2 + t - 2=0`. Rădăcinile acestei ecuații sunt `t_1=-2` și `t_2=1`. Apoi:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Trecerea la jumătate de unghi

Exemplu. Rezolvați ecuația: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Soluţie. Să aplicăm formulele unghiului dublu, rezultând: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Aplicând metoda algebrică descrisă mai sus, obținem:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducerea unghiului auxiliar

În ecuația trigonometrică `a sin x + b cos x =c`, unde a,b,c sunt coeficienți și x este o variabilă, împărțiți ambele părți la `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Coeficienții din stânga au proprietățile sinusului și cosinusului, și anume suma pătratelor lor este egală cu 1 și modulele lor nu sunt mai mari de 1. Să-i notăm astfel: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, apoi:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Să aruncăm o privire mai atentă la următorul exemplu:

Exemplu. Rezolvați ecuația: `3 sin x+4 cos x=2`.

Soluţie. Împărțim ambele părți ale egalității la `sqrt (3^2+4^2)`, obținem:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Să notăm `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Deoarece `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, atunci ca unghi auxiliar să luăm `\varphi=arcsin 4/5`. Apoi scriem egalitatea noastră sub forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicând formula pentru suma unghiurilor pentru sinus, scriem egalitatea noastră în următoarea formă:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Răspuns. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuații trigonometrice raționale fracționale

Acestea sunt egalități cu fracții ai căror numărători și numitori conțin funcții trigonometrice.

Exemplu. Rezolvați ecuația. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Soluţie. Înmulțiți și împărțiți partea dreaptă a egalității cu `(1+cos x)`. Ca rezultat obținem:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Având în vedere că numitorul nu poate fi egal cu zero, obținem `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Să echivalăm numărătorul fracției cu zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Apoi `sin x=0` sau `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Având în vedere că ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, soluțiile sunt `x=2\pi n, n \in Z` și `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Răspuns. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria, și în special ecuațiile trigonometrice, sunt utilizate în aproape toate domeniile geometriei, fizicii și ingineriei. Studiul începe în clasa a X-a, există întotdeauna sarcini pentru examenul de stat unificat, așa că încercați să vă amintiți toate formulele ecuațiilor trigonometrice - vă vor fi cu siguranță utile!

Cu toate acestea, nici nu trebuie să le memorați, principalul lucru este să înțelegeți esența și să o puteți deriva. Nu este atât de dificil pe cât pare. Vedeți singuri vizionand videoclipul.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de orice nivel de complexitate se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Și în acest sens, cercul trigonometric se dovedește din nou a fi cel mai bun asistent.

Să ne amintim definițiile cosinusului și sinusului.

Cosinusul unui unghi este abscisa (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.

Sinusul unui unghi este ordonata (adică coordonata de-a lungul axei) a unui punct de pe cercul unitar corespunzător unei rotații printr-un unghi dat.

Direcția pozitivă a mișcării pe cercul trigonometric este în sens invers acelor de ceasornic. O rotație de 0 grade (sau 0 radiani) corespunde unui punct cu coordonate (1;0)

Folosim aceste definiții pentru a rezolva ecuații trigonometrice simple.

1. Rezolvați ecuația

Această ecuație este satisfăcută de toate valorile unghiului de rotație care corespund punctelor din cerc a căror ordonată este egală cu .

Să marchem un punct cu ordonată pe axa ordonatelor:

Desenați o linie orizontală paralelă cu axa x până când se intersectează cu cercul. Obținem două puncte situate pe cerc și având o ordonată. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani:

Dacă, lăsând punctul corespunzător unghiului de rotație pe radian, ocolim un cerc complet, atunci vom ajunge la un punct corespunzător unghiului de rotație pe radian și având aceeași ordonată. Adică, acest unghi de rotație satisface și ecuația noastră. Putem face câte revoluții „în gol” ne dorim, revenind la același punct, iar toate aceste valori ale unghiului ne vor satisface ecuația. Numărul de rotații „în gol” va fi notat cu litera (sau). Deoarece putem face aceste revoluții atât în ​​direcții pozitive, cât și în direcții negative, (sau) poate lua orice valoare întreagă.

Adică, prima serie de soluții la ecuația originală are forma:

, , - set de numere întregi (1)

În mod similar, a doua serie de soluții are forma:

, Unde , . (2)

După cum probabil ați ghicit, această serie de soluții se bazează pe punctul de pe cerc corespunzător unghiului de rotație cu .

Aceste două serii de soluții pot fi combinate într-o singură intrare:

Dacă luăm (adică chiar) în această intrare, atunci vom obține prima serie de soluții.

Dacă luăm (adică impar) în această intrare, atunci obținem a doua serie de soluții.

2. Acum să rezolvăm ecuația

Deoarece aceasta este abscisa unui punct de pe cercul unitar obtinut prin rotirea printr-un unghi, marcam punctul cu abscisa pe axa:

Desenați o linie verticală paralelă cu axa până când se intersectează cu cercul. Vom obține două puncte situate pe cerc și având o abscisă. Aceste puncte corespund unghiurilor de rotație în și radiani. Amintiți-vă că atunci când ne mișcăm în sensul acelor de ceasornic obținem un unghi de rotație negativ:

Să notăm două serii de soluții:

,

,

(Ajungem la punctul dorit mergând de la cercul complet principal, adică.

Să combinăm aceste două serii într-o singură intrare:

3. Rezolvați ecuația

Linia tangentă trece prin punctul cu coordonatele (1,0) ale cercului unitar paralel cu axa OY

Să marchem un punct pe el cu o ordonată egală cu 1 (căutăm tangenta a cărei unghiuri este egală cu 1):

Să conectăm acest punct la originea coordonatelor cu o linie dreaptă și să marchem punctele de intersecție ale dreptei cu cercul unitar. Punctele de intersecție ale dreptei și ale cercului corespund unghiurilor de rotație pe și:

Deoarece punctele corespunzătoare unghiurilor de rotație care satisfac ecuația noastră se află la o distanță de radiani unul de celălalt, putem scrie soluția astfel:

4. Rezolvați ecuația

Linia cotangentelor trece prin punctul cu coordonatele cercului unitar paralel cu axa.

Să marchem un punct cu abscisă -1 pe linia cotangenților:

Să conectăm acest punct la originea dreptei și să o continuăm până când se intersectează cu cercul. Această linie dreaptă va intersecta cercul în puncte corespunzătoare unghiurilor de rotație în și radiani:

Deoarece aceste puncte sunt separate unul de celălalt printr-o distanță egală cu , putem scrie soluția generală a acestei ecuații după cum urmează:

În exemplele date care ilustrează soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, s-au folosit valori tabelare ale funcțiilor trigonometrice.

Totuși, dacă partea dreaptă a ecuației conține o valoare netabelară, atunci înlocuim valoarea în soluția generală a ecuației:

SOLUȚII SPECIALE:

Să marchem punctele de pe cerc a cărui ordonată este 0:

Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este 1:

Să marchem un singur punct pe cerc a cărui ordonată este egală cu -1:

Deoarece se obișnuiește să se indice valorile cele mai apropiate de zero, scriem soluția după cum urmează:

Să marchem punctele cercului a cărui abscisă este egală cu 0:

5.
Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu 1:

Să marchem un singur punct pe cerc a cărui abscisă este egală cu -1:

Și exemple puțin mai complexe:

1.

Sinusul este egal cu unu dacă argumentul este egal cu

Argumentul sinusului nostru este egal, deci obținem:

Să împărțim ambele părți ale egalității la 3:

Răspuns:

2.

Cosinus este zero dacă argumentul cosinus este

Argumentul cosinusului nostru este egal cu , deci obținem:

Să exprimăm , pentru a face acest lucru ne deplasăm mai întâi la dreapta cu semnul opus:

Să simplificăm partea dreaptă:

Împărțiți ambele părți la -2:

Rețineți că semnul din fața termenului nu se schimbă, deoarece k poate lua orice valoare întreagă.

Răspuns:

Și, în sfârșit, urmăriți lecția video „Selectarea rădăcinilor într-o ecuație trigonometrică folosind un cerc trigonometric”

Aceasta încheie conversația noastră despre rezolvarea ecuațiilor trigonometrice simple. Data viitoare vom vorbi despre cum să decidem.

Ecuații trigonometrice- subiectul nu este cel mai simplu. Sunt prea diverse.) De exemplu, acestea:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

etc...

Dar acești monștri trigonometrici (și toți ceilalți) au două caracteristici comune și obligatorii. În primul rând - nu veți crede - există funcții trigonometrice în ecuații.) În al doilea rând: toate expresiile cu x sunt găsite în cadrul acestor aceleaşi funcţii.Și numai acolo! Dacă X apare undeva in afara, De exemplu, sin2x + 3x = 3, aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații necesită o abordare individuală. Nu le vom lua în considerare aici.

Nici în această lecție nu vom rezolva ecuații malefice.) Aici ne vom ocupa de cele mai simple ecuații trigonometrice. De ce? Da pentru ca solutia orice ecuațiile trigonometrice sunt formate din două etape. În prima etapă, ecuația malefica este redusă la una simplă printr-o varietate de transformări. Pe a doua, această ecuație cea mai simplă este rezolvată. Nici o alta cale.

Deci, dacă aveți probleme la a doua etapă, prima etapă nu are prea mult sens.)

Cum arată ecuațiile trigonometrice elementare?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Aici A reprezintă orice număr. Orice.

Apropo, în interiorul unei funcții poate să nu existe un X pur, ci un fel de expresie, cum ar fi:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Acest lucru complică viața, dar nu afectează metoda de rezolvare a unei ecuații trigonometrice.

Cum se rezolvă ecuații trigonometrice?

Ecuațiile trigonometrice pot fi rezolvate în două moduri. Prima modalitate: folosind logica și cercul trigonometric. Vom privi aici această cale. A doua modalitate - folosirea memoriei și a formulelor - va fi discutată în lecția următoare.

Prima modalitate este clară, fiabilă și greu de uitat.) Este bună pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, a inegalităților și a tot felul de exemple nestandardizate complicate. Logica este mai puternică decât memoria!)

Rezolvarea ecuațiilor folosind un cerc trigonometric.

Includem logica elementară și capacitatea de a folosi cercul trigonometric. Nu știi cum? Totuși... Îți va fi greu în trigonometrie...) Dar nu contează. Aruncă o privire la lecțiile „Cercul trigonometric...... Ce este?” și „Măsurarea unghiurilor pe un cerc trigonometric”. Totul este simplu acolo. Spre deosebire de manuale...)

Oh stii tu!? Și chiar ați stăpânit „Lucrarea practică cu cercul trigonometric”!? Felicitări. Acest subiect vă va fi aproape și de înțeles.) Ceea ce este deosebit de plăcut este că cercul trigonometric nu-i pasă ce ecuație rezolvați. Sinus, cosinus, tangent, cotangent - totul este la fel pentru el. Există un singur principiu de soluție.

Deci luăm orice ecuație trigonometrică elementară. Cel putin asta:

cosx = 0,5

Trebuie să găsim X. Vorbind în limbaj uman, ai nevoie găsiți unghiul (x) al cărui cosinus este 0,5.

Cum am folosit anterior cercul? Am desenat un unghi pe el. În grade sau radiani. Și imediat a văzut funcţiile trigonometrice ale acestui unghi. Acum să facem invers. Să desenăm un cosinus pe cerc egal cu 0,5 și imediat vom vedea colţ. Rămâne doar să scrieți răspunsul.) Da, da!

Desenați un cerc și marcați cosinusul egal cu 0,5. Pe axa cosinusului, desigur. Ca aceasta:

Acum să desenăm unghiul pe care ni-l oferă acest cosinus. Treceți mouse-ul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe tabletă) și vei vedea chiar acest colt X.

Cosinusul cărui unghi este 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Unii oameni vor chicoti sceptici, da... Cum ar fi, a meritat să faci un cerc când totul este deja clar... Puteți, desigur, să chicotiți...) Dar adevărul este că acesta este un răspuns eronat. Sau mai bine zis, insuficient. Cunoscătorii de cerc înțeleg că există o grămadă de alte unghiuri aici care dau și un cosinus de 0,5.

Dacă întoarceți partea în mișcare OA viraj complet, punctul A va reveni la poziția inițială. Cu același cosinus egal cu 0,5. Acestea. unghiul se va schimba cu 360° sau 2π radiani și cosinus - nu. Noul unghi 60° + 360° = 420° va fi, de asemenea, o soluție pentru ecuația noastră, deoarece

Se pot face un număr infinit de astfel de revoluții complete... Și toate aceste unghiuri noi vor fi soluții la ecuația noastră trigonometrică. Și toate trebuie să fie scrise cumva ca răspuns. Toate. Altfel, decizia nu contează, da...)

Matematica poate face acest lucru simplu și elegant. Scrieți într-un singur răspuns scurt set infinit deciziilor. Iată cum arată ecuația noastră:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

o voi descifra. Mai scrie semnificativ Este mai plăcut decât să desenezi prost niște litere misterioase, nu?)

π /3 - Acesta este același colț în care noi a văzut pe cerc şi determinat conform tabelului cosinus.

2π este o revoluție completă în radiani.

n - acesta este numărul celor complete, adică întreg rpm Este clar că n poate fi egal cu 0, ±1, ±2, ±3.... și așa mai departe. După cum se menționează nota scurta:

n ∈ Z

n aparține ( ∈ ) mulţime de numere întregi ( Z ). Apropo, în loc de scrisoare n literele pot fi bine folosite k, m, t etc.

Această notație înseamnă că puteți lua orice număr întreg n . Cel puțin -3, cel puțin 0, cel puțin +55. Ce vrei tu. Dacă înlocuiți acest număr în răspuns, veți obține un unghi specific, care va fi cu siguranță soluția ecuației noastre dure.)

Sau, cu alte cuvinte, x = π /3 este singura rădăcină a unei mulțimi infinite. Pentru a obține toate celelalte rădăcini, este suficient să adăugați orice număr de rotații complete la π /3 ( n ) în radiani. Acestea. 2πn radian.

Toate? Nu. Prelungesc în mod deliberat plăcerea. Pentru a ne aminti mai bine.) Am primit doar o parte din răspunsurile la ecuația noastră. Voi scrie această primă parte a soluției astfel:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nu doar o rădăcină, ci o serie întreagă de rădăcini, scrise într-o formă scurtă.

Dar există și unghiuri care dau și un cosinus de 0,5!

Să revenim la poza noastră din care am notat răspunsul. Iat-o:

Treceți mouse-ul peste imagine și v-om vedea alt unghi care dă, de asemenea, un cosinus de 0,5. Cu ce ​​crezi că este egal? Triunghiurile sunt la fel... Da! Este egal cu unghiul X , doar întârziat în direcția negativă. Acesta este colțul -X. Dar am calculat deja x. π /3 sau 60°. Prin urmare, putem scrie în siguranță:

x 2 = - π /3

Ei bine, desigur, adăugăm toate unghiurile care se obțin prin rotații complete:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Asta-i tot acum.) Pe cercul trigonometric noi a văzut(cine înțelege, desigur)) Toate unghiuri care dau un cosinus de 0,5. Și am notat aceste unghiuri într-o formă matematică scurtă. Răspunsul a rezultat în două serii infinite de rădăcini:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Acesta este răspunsul corect.

Speranţă, principiul general de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice folosirea unui cerc este clară. Marcam pe cerc cosinusul (sinus, tangent, cotangent) din ecuația dată, desenează unghiurile corespunzătoare și notează răspunsul. Desigur, trebuie să ne dăm seama în ce colțuri suntem a văzut pe cerc. Uneori nu este atât de evident. Ei bine, am spus că aici este necesară logica.)

De exemplu, să ne uităm la o altă ecuație trigonometrică:

Vă rugăm să țineți cont de faptul că numărul 0,5 nu este singurul număr posibil în ecuații!) Este mai convenabil pentru mine să-l scriu decât rădăcinile și fracțiile.

Lucrăm după principiul general. Desenăm un cerc, marcam (pe axa sinusoidală, desigur!) 0,5. Desenăm simultan toate unghiurile corespunzătoare acestui sinus. Obținem această imagine:

Să ne ocupăm mai întâi de unghi X în primul trimestru. Amintim tabelul sinusurilor și determinăm valoarea acestui unghi. Este o chestiune simplă:

x = π /6

Ne amintim despre turele complete și, cu conștiința curată, notăm prima serie de răspunsuri:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Jumătate din treabă este făcută. Dar acum trebuie să stabilim al doilea colt... E mai complicat decât folosirea cosinusurilor, da... Dar logica ne va salva! Cum să determinați al doilea unghi prin x? Da Ușor! Triunghiurile din imagine sunt aceleași, iar colțul roșu X egal cu unghiul X . Numai că se numără din unghiul π în direcția negativă. De aceea este roșu.) Și pentru răspuns avem nevoie de un unghi, măsurat corect, din semiaxa pozitivă OX, adică. dintr-un unghi de 0 grade.

Plasăm cursorul peste desen și vedem totul. Am scos primul colt ca sa nu complic poza. Unghiul care ne interesează (desenat în verde) va fi egal cu:

π - x

X știm asta π /6 . Prin urmare, al doilea unghi va fi:

π - π /6 = 5π /6

Din nou ne amintim despre adăugarea de revoluții complete și notăm a doua serie de răspunsuri:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Asta e tot. Un răspuns complet constă din două serii de rădăcini:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Ecuațiile tangente și cotangente pot fi rezolvate cu ușurință folosind același principiu general pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Dacă, desigur, știi să desenezi tangenta și cotangenta pe un cerc trigonometric.

În exemplele de mai sus, am folosit valoarea tabelului sinus și cosinus: 0,5. Acestea. unul dintre acele semnificații pe care le cunoaște elevul trebuie sa. Acum să ne extindem capacitățile la toate celelalte valori. Decide, deci decide!)

Deci, să presupunem că trebuie să rezolvăm această ecuație trigonometrică:

O astfel de valoare a cosinusului în tabele scurte Nu. Ignorăm cu răceală acest fapt teribil. Desenați un cerc, marcați 2/3 pe axa cosinusului și desenați unghiurile corespunzătoare. Primim această imagine.

Să ne uităm, mai întâi, la unghiul din primul sfert. Dacă am ști cu ce este x, am scrie imediat răspunsul! Nu știm... Eșec!? Calm! Matematica nu-și lasă oamenii în necaz! Ea a venit cu arc cosinus pentru acest caz. Nu stiu? Degeaba. Aflați, este mult mai ușor decât credeți. Nu există o singură vrajă complicată despre „funcțiile trigonometrice inverse” pe acest link... Acest lucru este de prisos în acest subiect.

Dacă știți, spuneți-vă: „X este un unghi al cărui cosinus este egal cu 2/3”. Și imediat, pur prin definiția arccosinusului, putem scrie:

Ne amintim despre revoluțiile suplimentare și notăm cu calm prima serie de rădăcini a ecuației noastre trigonometrice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A doua serie de rădăcini pentru al doilea unghi este aproape automat scrisă. Totul este la fel, doar X (arcurile 2/3) va fi cu minus:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Si asta e! Acesta este răspunsul corect. Chiar mai ușor decât cu valorile din tabel. Nu este nevoie să vă amintiți nimic.) Apropo, cei mai atenți vor observa că această imagine arată soluția prin arc cosinus în esență, nu diferă de imagine pentru ecuația cosx = 0,5.

Exact! Principiu general De aceea este comun! Am desenat în mod deliberat două imagini aproape identice. Cercul ne arată unghiul X prin cosinusul său. Dacă este un cosinus tabular sau nu, este necunoscut tuturor. Ce fel de unghi este acesta, π /3 sau ce este arccosinus - asta depinde de noi să decidem.

Același cântec cu sine. De exemplu:

Desenați din nou un cerc, marcați sinusul egal cu 1/3, desenați unghiurile. Aceasta este imaginea pe care o obținem:

Și din nou imaginea este aproape aceeași ca pentru ecuație sinx = 0,5.Începem din nou de la colț în primul sfert. Cu ce ​​este X egal dacă sinusul său este 1/3? Nici o problemă!

Acum primul pachet de rădăcini este gata:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Să ne ocupăm de al doilea unghi. În exemplul cu o valoare de tabel de 0,5, aceasta a fost egală cu:

π - x

Va fi exact la fel și aici! Doar x este diferit, arcsin 1/3. Şi ce dacă!? Puteți nota în siguranță al doilea pachet de rădăcini:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Acesta este un răspuns complet corect. Deși nu pare foarte cunoscut. Dar e clar, sper.)

Așa se rezolvă ecuațiile trigonometrice folosind un cerc. Această cale este clară și de înțeles. El este cel care salvează în ecuații trigonometrice cu selecția rădăcinilor pe un interval dat, în inegalități trigonometrice - acestea sunt în general rezolvate aproape întotdeauna în cerc. Pe scurt, în orice sarcini care sunt puțin mai dificile decât cele standard.

Să aplicăm cunoștințele în practică?)

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice:

În primul rând, mai simplu, direct din această lecție.

Acum e mai complicat.

Sugestie: aici va trebui să vă gândiți la cerc. Personal.)

Și acum sunt simple în exterior... Se mai numesc și cazuri speciale.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Sugestie: aici trebuie să vă dați seama într-un cerc unde sunt două serii de răspunsuri și unde există unul... Și cum să scrieți unul în loc de două serii de răspunsuri. Da, astfel încât să nu se piardă o singură rădăcină dintr-un număr infinit!)

Ei bine, foarte simplu):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Sugestie: aici trebuie să știți ce sunt arcsinus și arccosinus? Ce este arctangent, arccotangent? Cel mai definiții simple. Dar nu trebuie să vă amintiți nicio valoare din tabel!)

Răspunsurile sunt, desigur, o mizerie):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Nu merge totul? Se întâmplă. Citiți din nou lecția. Numai gânditor(există așa cuvânt învechit...) Și urmați linkurile. Legăturile principale sunt despre cerc. Fără ea, trigonometria este ca și cum ai traversa drumul legat la ochi. Uneori funcționează.)

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Conceptul de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, convertiți-o într-una sau mai multe ecuații trigonometrice de bază. Rezolvarea unei ecuații trigonometrice se reduce în cele din urmă la rezolvarea celor patru ecuații trigonometrice de bază.

Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază.

• Există 4 tipuri de ecuații trigonometrice de bază:
• sin x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de bază implică examinarea diferitelor poziții x pe cercul unității, precum și utilizarea unui tabel de conversie (sau calculator).
• Exemplul 1. sin x = 0,866. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: 2π/3. Rețineți: toate funcțiile trigonometrice sunt periodice, adică valorile lor se repetă. De exemplu, periodicitatea lui sin x și cos x este 2πn, iar periodicitatea lui tg x și ctg x este πn. Prin urmare, răspunsul este scris după cum urmează:
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Exemplul 2. cos x = -1/2. Folosind un tabel de conversie (sau un calculator) veți obține răspunsul: x = 2π/3. Cercul unitar dă un alt răspuns: -2π/3.
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Exemplul 3. tg (x - π/4) = 0.
• Răspuns: x = π/4 + πn.
• Exemplul 4. ctg 2x = 1.732.
• Răspuns: x = π/12 + πn.

Transformări utilizate în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

• Pentru transformarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc transformări algebrice (factorizare, reducere membri omogene etc.) și identități trigonometrice.
• Exemplul 5: Folosind identități trigonometrice, ecuația sin x + sin 2x + sin 3x = 0 este convertită în ecuația 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Astfel, următoarele ecuații trigonometrice de bază trebuie rezolvate: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

• Găsirea unghiurilor prin valori cunoscute funcții.

  • Înainte de a învăța cum să rezolvi ecuațiile trigonometrice, trebuie să înveți cum să găsești unghiuri folosind valorile funcțiilor cunoscute. Acest lucru se poate face folosind un tabel de conversie sau un calculator.
  • Exemplu: cos x = 0,732. Calculatorul va da răspunsul x = 42,95 grade. Cercul unitar va da unghiuri suplimentare, al căror cosinus este, de asemenea, 0,732.

• Pune deoparte soluția pe cercul unității.

  • Puteți reprezenta soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unității. Soluțiile unei ecuații trigonometrice pe cercul unitar sunt vârfurile unui poligon regulat.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/3 + πn/2 pe cercul unitar reprezintă vârfurile pătratului.
  • Exemplu: Soluțiile x = π/4 + πn/3 pe cercul unitar reprezintă vârfurile unui hexagon regulat.

• Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

  • Dacă o ecuație trigonometrică dată conține doar una functie trigonometrica, rezolvați această ecuație ca o ecuație trigonometrică de bază. Dacă o anumită ecuație include două sau mai multe funcții trigonometrice, atunci există 2 metode de rezolvare a unei astfel de ecuații (în funcție de posibilitatea transformării acesteia).
    • Metoda 1.
  • Transformați această ecuație într-o ecuație de forma: f(x)*g(x)*h(x) = 0, unde f(x), g(x), h(x) sunt ecuațiile trigonometrice de bază.
  • Exemplul 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Soluţie. Folosind formula unghiului dublu sin 2x = 2*sin x*cos x, înlocuiți sin 2x.
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos x = 0 și (sin x + 1) = 0.
  • Exemplul 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Acum rezolvați cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2cos x + 1) = 0.
  • Exemplul 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
  • Rezolvare: Folosind identități trigonometrice, transformați această ecuație într-o ecuație de forma: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Rezolvați acum cele două ecuații trigonometrice de bază: cos 2x = 0 și (2sin x + 1) = 0 .
    • Metoda 2.
  • Convertiți ecuația trigonometrică dată într-o ecuație care conține o singură funcție trigonometrică. Apoi înlocuiți această funcție trigonometrică cu una necunoscută, de exemplu, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t etc.).
  • Exemplul 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Soluţie. În această ecuație, înlocuiți (cos^2 x) cu (1 - sin^2 x) (în funcție de identitate). Ecuația transformată este:
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Înlocuiți sin x cu t. Acum, ecuația arată astfel: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Aceasta este o ecuație pătratică care are două rădăcini: t1 = -1 și t2 = 9/5. A doua rădăcină t2 nu satisface domeniul de funcții (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Exemplul 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Soluţie. Înlocuiți tg x cu t. Rescrieți ecuația inițială după cum urmează: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Acum găsiți t și apoi găsiți x pentru t = tan x.

Când rezolvi multe probleme matematice, în special cele care apar înainte de clasa a 10-a, este clar definită ordinea acțiunilor efectuate care vor duce la obiectiv. Astfel de probleme includ, de exemplu, liniare și ecuații pătratice, inegalități liniare și pătratice, ecuații fracționale și ecuații care se reduc la cele pătratice. Principiul rezolvării cu succes a fiecăreia dintre problemele menționate este următorul: trebuie să stabiliți ce tip de problemă rezolvați, să vă amintiți succesiunea necesară de acțiuni care vor duce la rezultatul dorit, adică. răspundeți și urmați acești pași.

Este evident că succesul sau eșecul în rezolvarea unei anumite probleme depinde în principal de cât de corect este determinat tipul de ecuație care se rezolvă, cât de corect este reprodusă succesiunea tuturor etapelor rezolvării acesteia. Desigur, în acest caz este necesar să aveți abilitățile de a efectua transformări și calcule identice.

Situația este diferită cu ecuații trigonometrice. Nu este deloc greu de stabilit faptul că ecuația este trigonometrică. Apar dificultăți la determinarea succesiunii de acțiuni care ar duce la răspunsul corect.

De aspect ecuație este uneori dificil de determinat tipul acesteia. Și fără a cunoaște tipul de ecuație, este aproape imposibil să o alegeți pe cea potrivită dintre câteva zeci de formule trigonometrice.

Pentru a rezolva o ecuație trigonometrică, trebuie să încercați:

1. aduceți toate funcțiile incluse în ecuație la „aceleași unghiuri”;
2. aduceți ecuația la „funcții identice”;
3. factorizează partea stângă a ecuației etc.

Sa luam in considerare metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.

I. Reducerea la cele mai simple ecuații trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Exprimați o funcție trigonometrică în termeni de componente cunoscute.

Pasul 2. Găsiți argumentul funcției folosind formulele:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Pasul 3. Găsiți variabila necunoscută.

Exemplu.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Soluţie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Răspuns: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Înlocuire variabilă

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți ecuația la formă algebrică în raport cu una dintre funcțiile trigonometrice.

Pasul 2. Notați funcția rezultată prin variabila t (dacă este necesar, introduceți restricții asupra t).

Pasul 3. Scrieți și rezolvați ecuația algebrică rezultată.

Pasul 4. Faceți o înlocuire inversă.

Pasul 5. Rezolvați cea mai simplă ecuație trigonometrică.

Exemplu.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Soluţie.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Fie sin (x/2) = t, unde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 sau e = -3/2, nu satisface condiția |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Răspuns: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda de reducere a ordinii ecuațiilor

Diagrama soluției

Pasul 1.Înlocuiți această ecuație cu una liniară, folosind formula de reducere a gradului:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metodele I și II.

Exemplu.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Soluţie.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Răspuns: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuații omogene

Diagrama soluției

Pasul 1. Reduceți această ecuație la forma

a) a sin x + b cos x = 0 (ecuația omogenă de gradul I)

sau la vedere

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ecuația omogenă de gradul doi).

Pasul 2.Împărțiți ambele părți ale ecuației la

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

și obțineți ecuația pentru tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Pasul 3. Rezolvați ecuația folosind metode cunoscute.

Exemplu.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Soluţie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Fie tg x = t, atunci

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 sau t = -4, ceea ce înseamnă

tg x = 1 sau tg x = -4.

Din prima ecuație x = π/4 + πn, n Є Z; din a doua ecuaţie x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda de transformare a unei ecuații folosind formule trigonometrice

Diagrama soluției

Pasul 1. Folosind tot felul de formule trigonometrice, reduceți această ecuație la o ecuație rezolvată prin metodele I, II, III, IV.

Pasul 2. Rezolvați ecuația rezultată folosind metode cunoscute.

Exemplu.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Soluţie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 sau 2cos x + 1 = 0;

Din prima ecuație 2x = π/2 + πn, n Є Z; din a doua ecuație cos x = -1/2.

Avem x = π/4 + πn/2, n Є Z; din a doua ecuație x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ca rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Răspuns: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Abilitatea și deprinderea de a rezolva ecuații trigonometrice este foarte important, dezvoltarea lor necesită un efort semnificativ, atât din partea elevului, cât și din partea profesorului.

Multe probleme de stereometrie, fizică etc. sunt asociate cu rezolvarea ecuațiilor trigonometrice Procesul de rezolvare a unor astfel de probleme întruchipează multe dintre cunoștințele și abilitățile care sunt dobândite prin studierea elementelor de trigonometrie.

Ecuațiile trigonometrice ocupă un loc important în procesul de învățare a matematicii și în dezvoltarea personală în general.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații trigonometrice?
Pentru a primi ajutor de la un tutor -.
Prima lecție este gratuită!

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.