Zdravo, prijatelji! U ovom članku ćemo razmotriti zadatke za primitivce. Ovi zadaci su uključeni u ispit iz matematike. Unatoč činjenici da su sami dijelovi - diferencijacija i integracija prilično prostrani u toku algebre i zahtijevaju odgovoran pristup razumijevanju, sami zadaci koji su uključeni u otvorenu banku zadataka iz matematike i bit će izuzetno jednostavni na ispitu , rješavaju se u jednom ili dva koraka.
Važno je razumjeti suštinu antiderivata i, posebno, geometrijsko značenje integrala. Razmotrimo ukratko teorijske osnove.
Geometrijsko značenje integrala
Ukratko o integralu, možemo reći ovo: integral je površina.
Definicija: Neka je graf pozitivne funkcije f date na intervalu dat na koordinatnoj ravni. Podgraf (ili krivolinijski trapez) je lik ograničen grafikom funkcije f, ravnim linijama x = a i x = b i x-osom.
Definicija: Neka je data pozitivna funkcija f definirana na konačnom intervalu. Integral funkcije f na segmentu je površina njegovog podgrafa.
Kao što je već spomenuto, F (x) = f (x).Šta možemo zaključiti?
On je jednostavan. Moramo odrediti koliko tačaka ima na ovom grafu u kojima je F′(x) = 0. Znamo da je u onim tačkama gdje je tangenta na graf funkcije paralelna sa x-osom. Pokažimo ove tačke na intervalu [–2;4]:
Ovo su tačke ekstrema date funkcije F(x). Ima ih deset.
Odgovor: 10
323078. Slika prikazuje grafik neke funkcije y = f (x) (dvije zrake sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F(8) – F(2), gdje je F(x) jedan od antiderivativne funkcije f(x).
Prepišimo Newton-Leibnizovu teoremu:Neka f datu funkciju, F je njegov proizvoljni antiderivat. Onda
A ovo je, kao što je već spomenuto, područje podgrafa funkcije.
Dakle, zadatak se svodi na pronalaženje površine trapeza (interval od 2 do 8):
Nije ga teško izračunati po ćelijama. Dobijamo 7. Predznak je pozitivan, jer se figura nalazi iznad x-ose (ili u pozitivnoj poluravnini y-ose).
Čak i u ovom slučaju, moglo bi se reći ovo: razlika u vrijednostima antiderivata u tačkama je površina figure.
Odgovor: 7
323079. Slika prikazuje grafik neke funkcije y = f (x). Funkcija F (x) \u003d x 3 +30x 2 +302x–1,875 jedan je od antiderivata funkcije y = f (x). Pronađite površinu zasjenjene figure.
Kao što je već pomenuto o geometrijskog smisla integral, ovo je površina figure ograničena grafikom funkcije f (x), ravnim linijama x = a i x = b i osom ox.
Teorema (Newton–Leibniz):
Dakle, problem se svodi na kalkulaciju definitivni integral ove funkcije na intervalu od -11 do -9, ili drugim riječima, trebamo pronaći razliku između vrijednosti antiderivata izračunatih u naznačenim tačkama:
Odgovor: 6
323080. Slika prikazuje grafik neke funkcije y = f (x).
Funkcija F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 je jedan od antiderivata funkcije f (x). Pronađite površinu zasjenjene figure.
Teorema (Newton–Leibniz):
Zadatak se svodi na izračunavanje definitivnog integrala ove funkcije u intervalu od –10 do –8:
Odgovor: 4 Možete pogledati .
Derivati i pravila diferencijacije još uvijek postoje. Neophodno ih je poznavati, ne samo za rješavanje ovakvih zadataka.
Također možete vidjeti pozadinske informacije na web stranici i
Pogledajte kratak video, ovo je odlomak iz filma " Nevidljiva strana". Možemo reći da je ovo film o studijama, o milosrđu, o važnosti navodno “slučajnih” susreta u našim životima... Ali ove riječi neće biti dovoljne, preporučujem da pogledate sam film, toplo ga preporučujem.
Želim ti uspjeh!
S poštovanjem, Alexander Krutitskikh
P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.
51. Slika prikazuje grafikon y=f "(x)- derivirajuća funkcija f(x), definisano na intervalu (− 4; 6). Pronađite apscisu tačke u kojoj je tangenta na graf funkcije y=f(x) je paralelna pravoj y=3x ili odgovara.
Odgovor: 5
52. Slika prikazuje grafikon y=F(x) f(x) f(x) pozitivno?
Odgovor: 7
53. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f(x) i osam tačaka je označeno na x-osi: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. U koliko od ovih tačaka funkcija f(x) negativan?
Odgovor: 3
54. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f(x) i deset tačaka na x-osi je označeno: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. U koliko od ovih tačaka funkcija f(x) pozitivno?
Odgovor: 6
55. Slika prikazuje grafikon y=F(x f(x), definisano na intervalu (− 7; 5). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednadžbe f(x)=0 na intervalu [− 5; 2].
Odgovor: 3
56. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f (x), definisano na intervalu (− 8; 7). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednadžbe f(x)= 0 na intervalu [− 5; 5].
Odgovor: 4
57. Slika prikazuje grafikon y=F(x) jedan od antiderivata neke funkcije f(x) definisan na intervalu (1;13). Koristeći sliku, odredite broj rješenja jednadžbe f (x)=0 na segmentu .
Odgovor: 4
58. Slika prikazuje grafik neke funkcije y=f(x)(dvije grede sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F(−1)−F(−8), gdje F(x) f(x).
Odgovor: 20
59. Slika prikazuje grafik neke funkcije y=f(x) (dva zraka sa zajedničkom početnom tačkom). Koristeći sliku, izračunajte F(−1)−F(−9), gdje F(x)- jedan od antiderivata funkcije f(x).
Odgovor: 24
60. Slika prikazuje grafik neke funkcije y=f(x). Funkcija
-jedan od antiderivata funkcije f(x). Pronađite površinu zasjenjene figure.
Odgovor: 6
61. Slika prikazuje grafik neke funkcije y=f(x). Funkcija
Jedan od antiderivata funkcije f(x). Pronađite površinu zasjenjene figure.
Odgovor: 14.5
paralelno sa tangentom na graf funkcije
Odgovor: 0,5
Pronađite apscisu dodirne tačke.
Odgovor: -1
je tangenta na graf funkcije
Nađi c.
Odgovor: 20
je tangenta na graf funkcije
Nađi a.
Odgovor: 0,125
je tangenta na graf funkcije
Nađi b, s obzirom da je apscisa dodirne tačke veća od 0.
Odgovor: -33
67. Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom
gdje x t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njena brzina bila jednaka 96 m/s?
Odgovor: 18
68. Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom
gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njena brzina bila jednaka 48 m/s?
Odgovor: 9
69. Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom
gdje x t t=6 With.
Odgovor: 20
70. Materijalna tačka se kreće pravolinijski u skladu sa zakonom
gdje x- udaljenost od referentne tačke u metrima, t- vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. Pronađite njegovu brzinu (u m/s) u tom trenutku t=3 With.
Odgovor: 59
\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)
SadržajElementi sadržaja
Derivat, tangenta, antiderivat, grafovi funkcija i derivacije.
Derivat Neka je funkcija \(f(x)\) definirana u nekom susjedstvu tačke \(x_0\).
Derivat funkcije \(f\) u tački \(x_0\) zove granica
\(f"(x_0)=\lim_(x\strelica desno x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)
ako ova granica postoji.
Derivat funkcije u tački karakterizira brzinu promjene ove funkcije u datoj tački.
| Funkcija | Derivat |
| \(const\) | \(0\) |
| \(x\) | \(1\) |
| \(x^n\) | \(n\cdot x^(n-1)\) |
| \(\dfrac(1)(x)\) | \(-\dfrac(1)(x^2)\) |
| \(\sqrt(x)\) | \(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot \ln(a)\) |
| \(\ln(x)\) | \(\dfrac(1)(x)\) |
| \(\log_a(x)\) | \(\dfrac(1)(x\ln(a))\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tgx\) | \(\dfrac(1)(\cos^2 x)\) |
| \(\ctg x\) | \(-\dfrac(1)(\sin^2x)\) |
Pravila diferencijacije\(f\) i \(g\) su funkcije koje zavise od varijable \(x\); \(c\) je broj.
2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)
3) \((f+g)"= f"+g"\)
4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)
5) \(\levo(\dfrac(f)(g)\desno)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)
6) \(\left(f\left(g(x)\desno)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - izvod kompleksne funkcije
Geometrijsko značenje izvedenice Jednačina prave linije- neparalelna osa \(Oy\) može se napisati kao \(y=kx+b\). Koeficijent \(k\) u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugao nagiba ovu pravu liniju.
Pravi ugao- ugao između pozitivnog smjera ose \(Ox\) i date prave linije, mjereno u smjeru pozitivnih uglova (tj. u smjeru najmanje rotacije od ose \(Ox\) prema \ (Oy\) osa).
Derivat funkcije \(f(x)\) u tački \(x_0\) jednak je nagibu tangente na graf funkcije u datoj tački: \(f"(x_0)=\tg \alfa.\)
Ako je \(f"(x_0)=0\), tada je tangenta na graf funkcije \(f(x)\) u tački \(x_0\) paralelna sa osom \(Ox\).
Tangentna jednadžba
Jednadžba tangente na graf funkcije \(f(x)\) u tački \(x_0\):
\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)
Monotonost funkcije Ako je derivacija funkcije pozitivna u svim točkama u intervalu, tada funkcija raste u tom intervalu.
Ako je derivacija funkcije negativna u svim točkama u intervalu, tada se funkcija u tom intervalu smanjuje.
Minimum, maksimum i tačke pregiba pozitivno na negativan u ovoj tački, tada je \(x_0\) maksimalna tačka funkcije \(f\).
Ako je funkcija \(f\) kontinuirana u tački \(x_0\), a vrijednost derivacije ove funkcije \(f"\) se mijenja od negativan na pozitivno u ovoj tački, tada je \(x_0\) minimalna tačka funkcije \(f\).
Pozivaju se tačke u kojima je izvod \(f"\) jednak nuli ili ne postoji kritične tačke funkcije \(f\).
Unutrašnje tačke područja definicije funkcije \(f(x)\), gdje \(f"(x)=0\) mogu biti minimalne, maksimalne ili točke pregiba.
Fizičko značenje izvedenice Ako se materijalna tačka kreće pravolinijski i njena koordinata se mijenja ovisno o vremenu prema zakonu \(x=x(t)\), tada je brzina ove tačke jednaka vremenskoj derivaciji koordinate:
Ubrzanje materijalne tačke jednako je izvodu brzine ove tačke u odnosu na vrijeme:
\(a(t)=v"(t).\)
