Date su glavne osobine prirodnog logaritma, graf, oblast definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, izvod, integral, proširenje u niz stepena i reprezentacija funkcije ln x pomoću kompleksnih brojeva.

Definicija

prirodni logaritam je funkcija y = ln x, inverzno eksponentu, x \u003d e y , a koji je logaritam bazi broja e: ln x = log e x.

Prirodni logaritam se široko koristi u matematici jer njegov izvod ima najjednostavniji oblik: (ln x)′ = 1/ x.

Na osnovu definicije, baza prirodnog logaritma je broj e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Grafikon funkcije y = ln x.

Grafikon prirodnog logaritma (funkcije y = ln x) se dobija iz grafika eksponenta refleksijom ogledala oko prave linije y = x .

Prirodni logaritam je definiran za pozitivne vrijednosti x. Ona se monotono povećava u svom domenu definicije.

Kao x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost ( - ∞ ).

Kako je x → + ∞, granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost ( + ∞). Za veliki x, logaritam raste prilično sporo. Bilo koji funkcija snage x a sa pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma.

Svojstva prirodnog logaritma

Domen definicije, skup vrijednosti, ekstremi, povećanje, smanjenje

Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva prirodnog logaritma prikazana su u tabeli.

ln x vrijednosti

log 1 = 0

Osnovne formule za prirodne logaritme

Formule koje proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Bilo koji logaritam se može izraziti prirodnim logaritmima koristeći formulu promjene baze:

Dokazi ovih formula su predstavljeni u odjeljku "Logaritam".

Inverzna funkcija

Recipročna vrijednost prirodnog logaritma je eksponent.

Ako onda

Ako onda .

Derivat ln x

Derivat prirodnog logaritma:
.
Derivat prirodnog logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Integral

Integral se izračunava integracijom po dijelovima:
.
dakle,

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
.
Izrazimo kompleksnu varijablu z preko modula r i argument φ :
.
Koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or
.
Argument φ nije jednoznačno definiran. Ako stavimo
, gdje je n cijeli broj,
tada će to biti isti broj za različite n.

Dakle, prirodni logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.

Proširenje serije snaga

Za , ekspanzija se odvija:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Šta je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritama se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe sa logaritmima.

Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne vjerujete? U redu. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti šta je logaritam.

2. Naučite riješiti cijeli razred eksponencijalne jednačine. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za to ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na stepen ...

Osećam da sumnjaš... Pa, zadrži vreme! Idi!

Prvo u umu riješite sljedeću jednačinu:

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Navedene jednakosti pri pretvaranju izraza logaritmima koriste se i s desna na lijevo i s lijeva na desno.

Vrijedi napomenuti da nije potrebno pamtiti posljedice svojstava: pri izvođenju transformacija možete se snaći s osnovnim svojstvima logaritama i drugim činjenicama (na primjer, onima za b≥0), iz kojih proizlazi odgovarajuće slede posledice. "Neželjeni efekat" ovog pristupa je samo da će rešenje biti malo duže. Na primjer, kako bi se bez posljedica, koje se izražavaju formulom , a počevši samo od osnovnih svojstava logaritama, morat ćete provesti lanac transformacija sljedećeg oblika: .

Isto se može reći i za posljednje svojstvo sa gornje liste, koje odgovara formuli , budući da to proizilazi i iz osnovnih svojstava logaritama. Glavna stvar koju treba razumjeti je da je uvijek moguće da stepen pozitivnog broja sa logaritmom u eksponentu zamijeni osnovu stepena i broj pod znakom logaritma. Pošteno radi, napominjemo da su primjeri implementacije ovakvih transformacija rijetki u praksi. U nastavku ćemo dati nekoliko primjera.

Pretvaranje numeričkih izraza logaritmima

Prisjetili smo se svojstava logaritama, sada je vrijeme da naučimo kako ih primijeniti u praksi za transformaciju izraza. Prirodno je početi s transformacijom numeričkih izraza, a ne izraza s varijablama, jer je zgodnije i lakše naučiti osnove na njima. Tako ćemo i uraditi, i počećemo sa veoma jednostavni primjeri da naučimo kako odabrati željeno svojstvo logaritma, ali ćemo postupno komplikovati primjere, sve do trenutka kada će biti potrebno primijeniti nekoliko svojstava u nizu da bi se dobio konačni rezultat.

Odabir željenog svojstva logaritama

Nema tako malo svojstava logaritama, a jasno je da morate biti u mogućnosti da od njih odaberete odgovarajuće, što će u ovom konkretnom slučaju dovesti do željenog rezultata. Obično to nije teško učiniti poređenjem oblika logaritma ili izraza koji se pretvara sa tipovima lijevog i desnog dijela formula koje izražavaju svojstva logaritma. Ako se lijeva ili desna strana jedne od formula poklapa sa datim logaritmom ili izrazom, onda je najvjerovatnije to svojstvo koje treba koristiti tokom transformacije. Sljedeći primjeri to jasno pokazuju.

Počnimo s primjerima transformacije izraza pomoću definicije logaritma, koji odgovara formuli a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Primjer.

Izračunajte, ako je moguće: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Odluka.

U primjeru, slovo a) jasno pokazuje strukturu a log a b, gdje je a=5, b=4. Ovi brojevi zadovoljavaju uslove a>0, a≠1, b>0, tako da možete bezbedno koristiti jednakost a log a b =b. Imamo 5 log 5 4=4 .

b) Ovdje su a=10, b=1+2 π, ispunjeni su uslovi a>0, a≠1, b>0. U ovom slučaju se ostvaruje jednakost 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) U ovom primjeru imamo posla sa stepenom oblika a log a b , gdje je i b=ln15 . Dakle .

Uprkos tome što pripada istom obliku a log a b (ovde a=2, b=−7), izraz pod slovom d) ne može se konvertovati formulom a log a b =b. Razlog je što to nema smisla jer sadrži negativan broj ispod predznaka logaritma. Štaviše, broj b=−7 ne zadovoljava uslov b>0, što onemogućava pribegavanje formuli a log a b =b, jer zahteva uslove a>0, a≠1, b>0. Dakle, ne možemo govoriti o izračunavanju vrijednosti 2 log 2 (−7) . U ovom slučaju, pisanje 2 log 2 (−7) = −7 bila bi greška.

Slično, u primjeru pod slovom e) nemoguće je dati rješenje oblika , pošto originalni izraz nema smisla.

odgovor:

a) 5 log 5 4 =4 , b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) izrazi nemaju smisla.

Često je korisno pretvoriti pozitivan broj kao stepen nekog pozitivnog nejednog broja sa logaritmom u eksponentu. Zasnovana je na istoj definiciji logaritma a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, ali se formula primjenjuje s desna na lijevo, odnosno u obliku b=a log a b. Na primjer, 3=e ln3 ili 5=5 log 5 5 .

Pređimo na korištenje svojstava logaritama za transformaciju izraza.

Primjer.

Pronađite vrijednost izraza: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Odluka.

U primjerima pod slovima a), b) i c) dati su izrazi log −2 1 , log 1 1 , log 0 1, koji nemaju smisla, jer osnova logaritma ne bi trebala sadržavati negativan broj, nula ili jedan, jer smo definisali logaritam samo za pozitivnu i ne-jediničnu bazu. Stoga, u primjerima a) - c) ne može biti govora o pronalaženju vrijednosti izraza.

U svim ostalim zadacima, očigledno, u bazama logaritama postoje pozitivni i nejedinični brojevi 7, e, 10, 3,75 i 5 π 7, respektivno, a jedinice su svuda pod predznacima logaritma. I znamo svojstvo logaritma jedinice: log a 1=0 za bilo koje a>0, a≠1. Dakle, vrijednosti izraza b) - f) jednake su nuli.

odgovor:

a), b), c) izrazi nemaju smisla, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0 .

Primjer.

Izračunajte: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Odluka.

Jasno je da moramo koristiti svojstvo logaritma baze, koje odgovara formuli log a a=1 za a>0, a≠1. Doista, u zadacima pod svim slovima, broj pod znakom logaritma poklapa se s njegovom bazom. Dakle, želim odmah reći da je vrijednost svakog od datih izraza 1. Međutim, nemojte žuriti sa zaključcima: u zadacima pod slovima a) - d) vrijednosti izraza su zaista jednake jedan, a u zadacima e) i f) originalni izrazi nemaju smisla, pa ne može reći da su vrijednosti ovih izraza jednake 1.

odgovor:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) izrazi nemaju smisla.

Primjer.

Pronađite vrijednost: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Odluka.

Očigledno, ispod znakova logaritma su neki stepeni baze. Na osnovu ovoga shvatamo da je ovde korisno svojstvo stepena baze: log a a p =p, gde je a>0, a≠1 i p bilo koji realan broj. S obzirom na ovo, imamo sljedeće rezultate: a) log 3 3 11 =11 , b) , u) . Da li je moguće napisati sličnu jednakost za primjer pod slovom d) oblika log −10 (−10) 6 =6? Ne, ne možete, jer log −10 (−10) 6 nema smisla.

odgovor:

a) log 3 3 11 =11, b) , u) d) izraz nema smisla.

Primjer.

Izrazite izraz kao zbir ili razliku logaritama u istoj osnovi: a) , b) , c) log((−5) (−12)) .

Odluka.

a) Proizvod je pod znakom logaritma, a znamo svojstvo logaritma proizvoda log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y> 0 . U našem slučaju, broj u osnovi logaritma i brojevi u proizvodu su pozitivni, odnosno zadovoljavaju uvjete odabranog svojstva, stoga ga možemo sigurno primijeniti: .

b) Ovdje koristimo svojstvo logaritma količnika, gdje je a>0, a≠1, x>0, y>0. U našem slučaju, osnova logaritma je pozitivan broj e, brojilac i nazivnik π su pozitivni, što znači da zadovoljavaju uslove svojstva, tako da imamo pravo koristiti odabranu formulu: .

c) Prvo, imajte na umu da izraz lg((−5) (−12)) ima smisla. Ali u isto vrijeme, nemamo pravo primijeniti formulu za logaritam proizvoda log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y>0 , budući da su brojevi −5 i −12 negativni i ne zadovoljavaju uslove x>0, y>0. Odnosno, nemoguće je izvršiti takvu transformaciju: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Ali šta učiniti? U takvim slučajevima, originalni izraz treba unaprijed transformirati kako bi se izbjegli negativni brojevi. Detaljno ćemo govoriti o sličnim slučajevima pretvaranja izraza sa negativnim brojevima pod znakom logaritma u jednom od, ali za sada ćemo dati rješenje za ovaj primjer, koji je unaprijed jasan i bez objašnjenja: lg((−5)(−12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

odgovor:

a) , b) , c) lg((−5) (−12))=lg5+lg12 .

Primjer.

Pojednostavite izraz: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Odluka.

Ovdje će nam pomoći sva ista svojstva logaritma proizvoda i logaritma količnika koje smo koristili u prethodnim primjerima, samo što ćemo ih sada primijeniti s desna na lijevo. To jest, pretvaramo zbir logaritama u logaritam proizvoda, a razliku logaritama u logaritam količnika. Imamo
a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

odgovor:

a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Primjer.

Riješite se stepena pod znakom logaritma: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Odluka.

Lako je vidjeti da imamo posla sa izrazima poput log a b p. Odgovarajuće svojstvo logaritma je log a b p =p log a b , gdje je a>0, a≠1, b>0, p bilo koji realan broj. Odnosno, pod uslovima a>0, a≠1, b>0 iz logaritma stepena log a b p možemo ići na proizvod p·log a b. Izvršimo ovu transformaciju sa datim izrazima.

a) U ovom slučaju a=0,7, b=5 i p=11. Dakle, log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 .

b) Ovdje su ispunjeni uslovi a>0, a≠1, b>0. Zbog toga

c) Izraz log 3 (−5) 6 ima istu strukturu log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Ali za b, uslov b>0 nije zadovoljen, što onemogućava primenu formule log a b p =p log a b . Zašto onda ne možete obaviti posao? Moguće je, ali je potrebna preliminarna transformacija izraza, o čemu ćemo detaljno govoriti u nastavku u odlomku pod naslovom. Rješenje će biti ovako: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

odgovor:

a) log 0,7 5 11 =11 log 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Često se formula za logaritam stepena pri izvođenju transformacija mora primijeniti s desna na lijevo u obliku p log a b = log a b p (ovo zahtijeva iste uvjete za a, b i p). Na primjer, 3 ln5=ln5 3 i lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Primjer.

a) Izračunajte vrijednost log 2 5 ako je poznato da su lg2≈0,3010 i lg5≈0,6990. b) Zapišite razlomak kao logaritam bazi 3.

Odluka.

a) Formula za prijelaz na novu bazu logaritma nam omogućava da ovaj logaritam predstavimo kao omjer decimalnih logaritama, čije su nam vrijednosti poznate: . Ostaje samo da izvršimo proračune, imamo .

b) Ovdje je dovoljno koristiti formulu za prijelaz na novu bazu i primijeniti je s desna na lijevo, odnosno u obliku . Dobijamo .

odgovor:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

U ovoj fazi smo prilično skrupulozno razmotrili transformaciju najjednostavnijih izraza koristeći osnovna svojstva logaritma i definiciju logaritma. U ovim primjerima morali smo koristiti jedno svojstvo i ništa drugo. Sada, mirne savjesti, možete prijeći na primjere čija transformacija zahtijeva korištenje nekoliko svojstava logaritama i drugih dodatnih transformacija. O njima ćemo se pozabaviti u sljedećem paragrafu. No prije toga da se ukratko zadržimo na primjerima primjene posljedica iz osnovnih svojstava logaritama.

Primjer.

a) Riješite se korijena pod znakom logaritma. b) Pretvorite razlomak u logaritam sa bazom 5. c) Oslobodite se potencija pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi. d) Izračunajte vrijednost izraza . e) Zamijenite izraz sa stepenom sa osnovom 3.

Odluka.

a) Ako se prisjetimo posljedica iz svojstva logaritma stepena , tada možete odmah odgovoriti: .

b) Ovdje koristimo formulu s desna na lijevo, imamo .

c) U ovom slučaju, formula vodi do rezultata . Dobijamo .

d) I ovdje je dovoljno primijeniti korolar kojem formula odgovara . Dakle .

e) Svojstvo logaritma nam omogućava da postignemo željeni rezultat: .

odgovor:

a) . b) . u) . G) . e) .

Dosljedna primjena više svojstava

Pravi zadaci za transformaciju izraza korištenjem svojstava logaritama obično su složeniji od onih kojima smo se bavili u prethodnom paragrafu. Kod njih se po pravilu rezultat ne dobija u jednom koraku, već se rješenje već sastoji u sekvencijalnoj primjeni jednog svojstva za drugom, zajedno s dodatnim identičnim transformacijama, kao što su otvaranje zagrada, svođenje sličnih članova, smanjenje razlomaka itd. . Pa da se približimo takvim primjerima. U tome nema ništa komplicirano, glavna stvar je postupati pažljivo i dosljedno, promatrajući redoslijed u kojem se radnje izvode.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Odluka.

Razlika logaritama u zagradama po svojstvu logaritma količnika može se zamijeniti logaritmom log 3 (15:5) , a zatim izračunati njegovu vrijednost log 3 (15:5)=log 3 3=1 . A vrijednost izraza 7 log 7 5 po definiciji logaritma je 5 . Zamjenom ovih rezultata u originalni izraz, dobijamo (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Evo rješenja bez objašnjenja:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

odgovor:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Primjer.

Kolika je vrijednost numeričkog izraza log 3 log 2 2 3 −1 ?

Odluka.

Hajde da prvo transformišemo logaritam, koji je pod znakom logaritma, prema formuli logaritma stepena: log 2 2 3 =3. Dakle, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 i onda log 3 3=1 . Dakle, log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

odgovor:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Primjer.

Pojednostavite izraz.

Odluka.

Formula za pretvaranje u novu bazu logaritma omogućava da se omjer logaritama prema jednoj bazi predstavi kao log 3 5 . U ovom slučaju, originalni izraz će imati oblik . Po definiciji logaritma 3 log 3 5 =5 , tj , a vrijednost rezultirajućeg izraza, na osnovu iste definicije logaritma, jednaka je dva.

Evo kratka verzija rješenje, koje se obično daje: .

odgovor:

.

Za glatki prijelaz na informacije iz sljedećeg pasusa, pogledajmo izraze 5 2+log 5 3 i lg0.01. Njihova struktura ne odgovara nijednom od svojstava logaritma. Dakle, što se događa ako se ne mogu pretvoriti koristeći svojstva logaritma? Moguće je ako izvršite preliminarne transformacije koje pripremaju ove izraze za primjenu svojstava logaritama. Dakle 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, i lg0,01=lg10 −2 = −2 . Dalje ćemo detaljno razumjeti kako se takva priprema izraza provodi.

Priprema izraza za primjenu svojstava logaritama

Logaritmi u konvertovanom izrazu se vrlo često razlikuju po strukturi zapisa od lijevog i desnog dijela formula koji odgovaraju svojstvima logaritama. Ali jednako često, transformacija ovih izraza uključuje korištenje svojstava logaritama: njihova upotreba zahtijeva samo preliminarnu pripremu. A ova priprema se sastoji u izvođenju određenih identičnih transformacija koje dovode logaritme u oblik pogodan za primjenu svojstava.

Pošteno radi, napominjemo da gotovo svaka transformacija izraza može djelovati kao preliminarne transformacije, od banalne redukcije sličnih pojmova do primjene trigonometrijske formule. To je razumljivo, jer konvertovani izrazi mogu sadržavati bilo koje matematičke objekte: zagrade, module, razlomke, korijene, stupnjeve itd. Dakle, mora se biti spreman izvršiti bilo koju potrebnu transformaciju kako bi se dodatno iskoristila svojstva logaritama.

Recimo odmah da u ovom paragrafu ne postavljamo sebi zadatak da klasifikujemo i analiziramo sve zamislive preliminarne transformacije koje nam omogućavaju da primenimo svojstva logaritma ili definiciju logaritma u budućnosti. Ovdje ćemo se fokusirati na samo četiri od njih, koji su najkarakterističniji i najčešće se susreću u praksi.

A sada detaljno o svakom od njih, nakon čega, u okviru naše teme, ostaje samo da se pozabavimo transformacijom izraza s varijablama pod znakovima logaritama.

Izbor stepena pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi

Počnimo odmah s primjerom. Hajde da imamo logaritam. Očigledno, u ovom obliku, njegova struktura nije pogodna za korištenje svojstava logaritama. Da li je moguće nekako transformisati ovaj izraz da bismo ga pojednostavili, ili još bolje izračunali njegovu vrijednost? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, pogledajmo bliže brojeve 81 i 1/9 u kontekstu našeg primjera. Ovdje je lako vidjeti da se ovi brojevi mogu predstaviti kao stepen od 3 , zaista, 81=3 4 i 1/9=3 −2 . U ovom slučaju, originalni logaritam se prikazuje u obliku i postaje moguće primijeniti formulu . dakle, .

Analiza analiziranog primjera daje sljedeću ideju: ako je moguće, možete pokušati istaknuti stepen pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi kako biste primijenili svojstvo logaritma stepena ili njegove posljedice. Ostaje samo shvatiti kako izdvojiti ove stupnjeve. Dat ćemo neke preporuke po ovom pitanju.

Ponekad je sasvim očito da broj pod predznakom logaritma i/ili u njegovoj osnovi predstavlja neku cjelobrojnu snagu, kao u primjeru o kojem se gore govori. Gotovo konstantno morate imati posla sa potencijama dvojke, koje su vam dobro poznate: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512= 2 9 , 1024=2 10 . Isto se može reći i za stepene trojke: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Generalno, ne boli ako postoji tabela stepena prirodni brojevi u roku od deset. Također nije teško raditi sa cijelim potencijama deset, sto, hiljada, itd.

Primjer.

Izračunajte vrijednost ili pojednostavite izraz: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Odluka.

a) Očigledno, 216=6 3 , pa je log 6 216=log 6 6 3 =3 .

b) Tabela stepena prirodnih brojeva nam omogućava da brojeve 343 i 1/243 predstavimo kao stepene 7 3 i 3 −4, respektivno. Stoga je moguća sljedeća transformacija datog logaritma:

c) Kako je 0,000001=10 −6 i 0,001=10 −3, onda log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

odgovor:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2 .

U složenijim slučajevima, da biste istakli moći brojeva, morate pribjeći.

Primjer.

Pretvorite izraz u više običan prizor log 3 648 log 2 3 .

Odluka.

Pogledajmo kakva je dekompozicija broja 648 na proste faktore:

To jest, 648=2 3 3 4 . dakle, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Sada pretvaramo logaritam proizvoda u zbir logaritama, nakon čega primjenjujemo svojstva logaritma stepena:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Na osnovu posledica svojstva logaritma stepena, koji odgovara formuli , proizvod log32 log23 je proizvod , a poznato je da je jednak jedan. S obzirom na ovo, dobijamo 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

odgovor:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Vrlo često su izrazi pod znakom logaritma i u njegovoj bazi proizvodi ili omjeri korijena i / ili potencija nekih brojeva, na primjer, , . Slični izrazi se mogu predstaviti kao stepen. Da biste to učinili, vrši se prijelaz iz korijena u stupnjeve i primjenjuju se. Ove transformacije vam omogućavaju da odaberete stepene pod znakom logaritma iu njegovoj osnovi, a zatim primenite svojstva logaritma.

Primjer.

Izračunaj: a) , b).

Odluka.

a) Izraz u osnovici logaritma je proizvod potencija sa istim bazama, prema odgovarajućem svojstvu potencija koje imamo 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Sada pretvorimo razlomak pod znakom logaritma: pomaknimo se od korijena do stepena, nakon čega ćemo koristiti svojstvo omjera stupnjeva s istim bazama: .

Ostaje zamijeniti dobivene rezultate u originalni izraz, koristiti formulu i završi transformaciju:

b) Pošto je 729=3 6 i 1/9=3 −2, originalni izraz se može prepisati kao .

Zatim, primijenite svojstvo korijena eksponenta, pomaknite se od korijena do eksponenta i koristite svojstvo omjera potencija da pretvorite bazu logaritma u stepen: .

Razmatrati posljednji rezultat, imamo .

odgovor:

a) , b).

Jasno je da u opštem slučaju, za dobijanje stepena pod znakom logaritma i u njegovoj osnovi, mogu biti potrebne različite transformacije različitih izraza. Navedimo par primjera.

Primjer.

Kolika je vrijednost izraza: a) , b) .

Odluka.

Nadalje, napominjemo da dati izraz ima oblik log A B p , gdje je A=2, B=x+1 i p=4. Transformirali smo numeričke izraze ove vrste prema svojstvu logaritma stepena log a b p = p log a b, dakle, sa datim izrazom, želim učiniti isto i ići od log 2 (x + 1) 4 do 4 log 2 (x + 1) . A sada izračunajmo vrijednost originalnog izraza i izraza dobijenog nakon transformacije, na primjer, sa x=−2 . Imamo log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , i 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- besmisleno izražavanje. Ovo postavlja legitimno pitanje: “Šta smo pogriješili”?

A razlog je sljedeći: izvršili smo transformaciju log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , na osnovu formule log a b p =p log a b , ali ovu formulu imamo pravo da primenimo samo pod uslovima a>0, a≠1, b>0, p - bilo koji realan broj. To jest, transformacija koju smo uradili se odvija ako je x+1>0, što je isto x>−1 (za A i p, uslovi su ispunjeni). Međutim, u našem slučaju, ODZ varijable x za originalni izraz sastoji se ne samo od intervala x> −1, već i od intervala x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Potreba da se uzme u obzir ODZ

Nastavimo analizirati transformaciju izraza log 2 (x+1) 4 koji smo odabrali, a sada da vidimo šta se dešava sa ODZ-om pri prelasku na izraz 4 log 2 (x+1) . U prethodnom pasusu smo pronašli ODZ originalnog izraza - ovo je skup (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Sada pronađimo područje prihvatljivih vrijednosti varijable x za izraz 4 log 2 (x+1) . Određuje se uslovom x+1>0, koji odgovara skupu (−1, +∞). Očigledno je da se pri prelasku sa log 2 (x+1) 4 na 4·log 2 (x+1) raspon dozvoljenih vrijednosti sužava. I dogovorili smo se da izbjegavamo reforme koje dovode do sužavanja ODZ-a, jer to može dovesti do raznih negativnih posljedica.

Ovdje je vrijedno napomenuti da je korisno kontrolirati ODZ u svakom koraku transformacije i ne dopustiti da se suzi. A ako je odjednom u nekoj fazi transformacije došlo do sužavanja ODZ-a, onda je vrijedno pažljivo pogledati da li je ta transformacija dopuštena i da li smo imali pravo da je izvršimo.

Iskreno rečeno, kažemo da u praksi obično moramo raditi s izrazima u kojima je ODZ varijabli takav da nam omogućava da koristimo svojstva logaritama bez ograničenja u obliku koji nam je već poznat, kako s lijeva na desno tako i sa s desna na lijevo, prilikom izvođenja transformacija. Brzo se naviknete na to i transformacije počinjete izvoditi mehanički, ne razmišljajući o tome da li ih je moguće izvesti. I u takvim trenucima, srećom, provlače se složeniji primjeri u kojima neprecizna primjena svojstava logaritama dovodi do grešaka. Dakle, morate uvijek biti na oprezu, i paziti da ne dođe do sužavanja ODZ-a.

Ne škodi posebno istaknuti glavne transformacije zasnovane na svojstvima logaritama, koje se moraju provesti vrlo pažljivo, što može dovesti do sužavanja DPV-a i kao rezultat toga do grešaka:

Neke transformacije izraza prema svojstvima logaritama mogu dovesti i do suprotnog - proširenja ODZ-a. Na primjer, prelazak sa 4 log 2 (x+1) na log 2 (x+1) 4 proširuje ODZ iz skupa (−1, +∞) na (−∞, −1)∪(−1, +∞ ) . Takve transformacije se dešavaju ako ostanete unutar ODZ-a za originalni izraz. Dakle, upravo spomenuta transformacija 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 odvija se na ODZ varijabli x za originalni izraz 4 log 2 (x+1) , odnosno kada je x+1> 0 , što je isto kao (−1, +∞) .

Sada kada smo razgovarali o nijansama na koje morate obratiti pažnju prilikom pretvaranja izraza s varijablama koristeći svojstva logaritama, ostaje da shvatimo kako bi se ove konverzije trebale ispravno izvesti.

X+2>0 . Da li radi u našem slučaju? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, pogledajmo DPV varijable x. Određuje se sistemom nejednakosti , što je ekvivalentno uslovu x+2>0 (ako je potrebno, pogledajte članak rješenje sistema nejednačina). Dakle, možemo bezbedno primeniti svojstvo logaritma stepena.

Imamo
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)lg(x+2)=0 .

Možete postupiti drugačije, jer vam ODZ to dozvoljava, na primjer ovako:

odgovor:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

A što učiniti kada uvjeti povezani sa svojstvima logaritama nisu ispunjeni na ODZ-u? Ovo ćemo se pozabaviti primjerima.

Neka se od nas traži da pojednostavimo izraz lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Transformacija ovog izraza, za razliku od izraza iz prethodnog primjera, ne dozvoljava slobodnu upotrebu svojstva logaritma stepena. Zašto? ODZ varijable x u ovom slučaju je unija dva intervala x>−2 i x<−2 . При x>−2 možemo bezbedno primeniti svojstvo logaritma stepena i nastaviti kao u gornjem primeru: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Ali ODZ sadrži još jedan interval x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 i dalje, zbog svojstava snage lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Rezultirajući izraz se može transformirati prema svojstvu logaritma stepena, budući da |x+2|>0 za bilo koju vrijednost varijable. Imamo log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Sada se možete riješiti modula, pošto je obavio svoj posao. Pošto se transformiramo na x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Razmotrimo još jedan primjer kako bi rad s modulima postao poznat. Hajde da zamislimo iz izraza prijeći na zbir i razliku logaritama linearnih binoma x−1 , x−2 i x−3 . Prvo nalazimo ODZ:

Na intervalu (3, +∞) vrijednosti izraza x−1, x−2 i x−3 su pozitivne, tako da možemo sigurno primijeniti svojstva logaritma zbira i razlike:

A na intervalu (1, 2) vrijednosti izraza x−1 su pozitivne, a vrijednosti izraza x−2 i x−3 negativne. Stoga, na intervalu koji razmatramo, predstavljamo x−2 i x−3 koristeći modul kao −|x−2| i −|x−3| respektivno. Gde

Sada možemo primijeniti svojstva logaritma proizvoda i količnika, budući da su na razmatranom intervalu (1, 2) vrijednosti izraza x−1 , |x−2| i |x−3| - pozitivno.

Imamo

Dobijeni rezultati se mogu kombinovati:

Općenito, slično razmišljanje omogućava, na osnovu formula za logaritam proizvoda, omjera i stepena, da se dobiju tri praktično korisna rezultata koja su prilično zgodna za korištenje:

• Logaritam proizvoda dva proizvoljna izraza X i Y oblika log a (X·Y) može se zamijeniti zbirom logaritama log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• Specijalni logaritam log a (X:Y) može se zamijeniti razlikom logaritama log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X i Y su proizvoljni izrazi.
• Od logaritma nekog izraza B na parni stepen p oblika log a B p, može se preći na izraz p log a |B| , gdje je a>0, a≠1, p paran broj, a B proizvoljan izraz.

Slični rezultati su dati, na primjer, u uputama za rješavanje primjernih i logaritamske jednačine u zbirci zadataka iz matematike za kandidate na univerzitetima, urednik M. I. Skanavi.

Primjer.

Pojednostavite izraz .

Odluka.

Bilo bi dobro primijeniti svojstva logaritma stepena, zbira i razlike. Ali možemo li to učiniti ovdje? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo poznavati ODZ.

Hajde da ga definišemo:

Sasvim je očito da izrazi x+4, x−2 i (x+4) 13 na rasponu mogućih vrijednosti varijable x mogu imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Stoga ćemo morati raditi kroz module.

Svojstva modula vam omogućavaju da prepišete kao , so

Također, ništa vas ne sprječava da koristite svojstvo logaritma stepena, a zatim donesete slične pojmove:

Drugi niz transformacija dovodi do istog rezultata:

a budući da izraz x−2 može imati i pozitivne i negativne vrijednosti na ODZ-u, kada se uzme paran eksponent 14

Nastavljamo da proučavamo logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo se pozabaviti izračunavanjem logaritama po definiciji. Zatim razmotrite kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se zadržati na izračunavanju logaritama kroz početno date vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, naučimo kako koristiti tablice logaritama. Cijela teorija je opskrbljena primjerima sa detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima moguće je brzo i lako izvesti nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo bliže kako se ovaj proces odvija.

Njegova suština je da se broj b predstavi u obliku a c , odakle je, prema definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, po definiciji, pronalaženje logaritma odgovara sljedećem lancu jednakosti: log a b=log a a c =c .

Dakle, izračunavanje logaritma, po definiciji, svodi se na pronalaženje takvog broja c da je a c \u003d b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

S obzirom na informacije iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma dat nekim stepenom osnove logaritma, tada možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Hajde da pokažemo primere.

Primjer.

Pronađite log 2 2 −3 , i izračunajte prirodni logaritam od e 5.3 .

Odluka.

Definicija logaritma nam omogućava da odmah kažemo da je log 2 2 −3 = −3 . Zaista, broj pod znakom logaritma jednak je osnovici 2 na stepen −3.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5.3 =5.3.

odgovor:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 =5,3 .

Ako broj b pod znakom logaritma nije dat kao stepen osnove logaritma, onda morate pažljivo razmisliti da li je moguće doći do prikaza broja b u obliku a c. Često je ovaj prikaz prilično očigledan, posebno kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen od 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Odluka.

Lako je vidjeti da je 25=5 2 , ovo vam omogućava da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Nastavljamo s izračunavanjem drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen od 7: (pogledajte ako je potrebno). shodno tome, .

Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti , odakle to zaključujemo . Dakle, po definiciji logaritma .

Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

odgovor:

log 5 25=2 , i .

Kada je dovoljno veliki prirodan broj pod znakom logaritma, onda ne škodi razložiti ga na proste faktore. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neki stepen baze logaritma, i stoga, izračunati ovaj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Odluka.

Neka svojstva logaritama vam omogućavaju da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Odnosno, kada je broj 1 ili broj a pod znakom logaritma, jednak osnovici logaritma, tada su u ovim slučajevima logaritmi 0 i 1, respektivno.

Primjer.

Koji su logaritmi i lg10?

Odluka.

Budući da , to slijedi iz definicije logaritma .

U drugom primjeru, broj 10 pod znakom logaritma poklapa se sa njegovom bazom, pa je decimalni logaritam od deset jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1 .

odgovor:

I lg10=1 .

Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo raspravljali u prethodnom paragrafu) podrazumijeva korištenje jednakosti log a a p =p , što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao stepen nekog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu , što odgovara jednom od svojstava logaritma. Razmotrimo primjer pronalaženja logaritma, koji ilustruje upotrebu ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam od .

Odluka.

odgovor:

.

Svojstva logaritama koja nisu spomenuta također se koriste u proračunu, ali ćemo o tome govoriti u sljedećim paragrafima.

Pronalaženje logaritama u terminima drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju na temu korištenja svojstava logaritama u njihovom proračunu. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje originalnog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Uzmimo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963 , onda možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće morate koristiti širi arsenal svojstava logaritama da biste izračunali originalni logaritam u smislu datih.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako je poznato da je log 60 2=a i log 60 5=b .

Odluka.

Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27=3 3 , a originalni logaritam, zbog svojstva logaritma stepena, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Sada da vidimo kako se log 60 3 može izraziti u terminima poznatih logaritma. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućava vam da zapišete dnevnik jednakosti 60 60=1 . S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . dakle, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. shodno tome, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Konačno, izračunavamo originalni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

odgovor:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odvojeno, vrijedi spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se sa originalnog logaritma, prema formuli prijelaza, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za te baze postoje tablice logaritama koje im omogućavaju da se izračunaju s određenim stupnjem tačnosti. U sljedećem odjeljku ćemo pokazati kako se to radi.

Tablice logaritama, njihova upotreba

Za približno izračunavanje vrijednosti logaritama, može se koristiti logaritamske tablice. Najčešće se koriste tablica logaritama baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sistemu, zgodno je koristiti tablicu logaritama na osnovu deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tabela omogućava, sa tačnošću od jedne desetohiljadinke, da se pronađu vrednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (sa tri decimale). Analizirat ćemo princip pronalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama na konkretnom primjeru - jasnije je. Nađimo lg1,256 .

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije cifre broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (broj 5) nalazi se u prvom ili posljednjem redu lijevo od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka originalnog broja 1.256 (broj 6) nalazi se u prvom ili posljednjem redu desno od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen zelenom bojom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tabele logaritama na preseku označenog reda i označenih kolona (ovi brojevi su istaknuti narandžastom bojom). Zbir označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma do četvrte decimale, tj. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Da li je moguće, koristeći gornju tablicu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalnog zareza, a također prelaze granice od 1 do 9.999? Da, možeš. Pokažimo kako se to radi na primjeru.

Izračunajmo lg102.76332 . Prvo treba da napišete broj u standardnom obliku: 102.76332=1.0276332 10 2 . Nakon toga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, dok je originalni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sada primijenite svojstva logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Konačno, nalazimo vrijednost logaritma lg1.028 prema tabeli decimalnih logaritama lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

U zaključku, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je koristiti formulu prijelaza za prelazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale proračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tabele decimalnih logaritama nalazimo lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. dakle, .

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule i demonstrirati primjeri rješenja.

Sami po sebi, oni podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene logaritamskih formula na rješenje, podsjećamo za vas, prvo sva svojstva:

Sada, na osnovu ovih formula (osobina), prikazujemo primjeri rješavanja logaritma.

Primjeri rješavanja logaritama na osnovu formula.

Logaritam pozitivan broj b u bazi a (označen log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, sa b > 0, a > 0 i 1.

Prema definiciji log a b = x, što je ekvivalentno a x = b, pa log a a x = x.

Logaritmi, primjeri:

log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8

log 7 49 = 2 jer 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritam je običan logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.

log 10 100 = 2 jer 10 2 = 100

prirodni logaritam- također uobičajeni logaritamski logaritam, ali s bazom e (e = 2,71828 ... - iracionalan broj). Pominje se kao ln.

Poželjno je zapamtiti formule ili svojstva logaritama, jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednačina. Proradimo ponovo kroz svaku formulu s primjerima.

• Osnovni logaritamski identitet
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritam količnika jednak je razlici logaritama
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Svojstva stepena logaritamskog broja i osnovice logaritma

  Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b

  Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ako je m = n, dobijamo log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Prelazak na novu osnovu
  log a b = log c b / log c a,

  ako je c = b, dobijamo log b b = 1

  tada je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kao što vidite, formule logaritma nisu tako komplikovane kao što se čine. Sada, nakon razmatranja primjera rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo razmotriti primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!

Ako i dalje imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.

Napomena: odlučio sam se kao opciju školovati na drugom razrednom studiju u inostranstvu.