Formuler une règle pour résoudre les équations exponentielles les plus simples. Solution d'équations exponentielles

Équipement:

un ordinateur,
projecteur multimédia,
filtrer,
Pièce jointe 1(présentation de diapositives dans PowerPoint) "Méthodes de résolution d'équations exponentielles"
Annexe 2(Résolution d'une équation du type "Trois bases de degrés différentes" dans Word)
Annexe 3(polycopié en Word pour les travaux pratiques).
Annexe 4(polycopié dans Word pour les devoirs).

Pendant les cours

1. Stade organisationnel

message du sujet de la leçon (écrit au tableau),
la nécessité d'une leçon de généralisation en 10e-11e année :

L'étape de préparation des étudiants à l'assimilation active des connaissances

Répétition

Définition.

Une équation exponentielle est une équation contenant une variable dans l'exposant (l'élève répond).

Note du professeur. Les équations exponentielles appartiennent à la classe des équations transcendantales. Ce nom difficile à prononcer suggère que de telles équations, en général, ne peuvent pas être résolues sous forme de formules.

Ils ne peuvent être résolus que par des méthodes approximativement numériques sur des ordinateurs. Mais qu'en est-il des questions d'examen ? Toute l'astuce est que l'examinateur compose le problème de telle manière qu'il admette juste une solution analytique. En d'autres termes, vous pouvez (et devriez !) effectuer des transformations identiques qui réduisent l'équation exponentielle donnée à l'équation exponentielle la plus simple. C'est l'équation la plus simple et elle s'appelle : l'équation exponentielle la plus simple. C'est résolu logarithme.

La situation avec la solution d'une équation exponentielle ressemble à un voyage dans un labyrinthe, qui a été spécialement inventé par le compilateur du problème. De ces considérations très générales découlent des recommandations bien précises.

Pour résoudre avec succès des équations exponentielles, vous devez :

1. Non seulement connaître activement toutes les identités exponentielles, mais également trouver des ensembles de valeurs de la variable sur laquelle ces identités sont définies, de sorte que lors de l'utilisation de ces identités, on n'acquiert pas de racines inutiles, et plus encore, on ne perd pas solutions à l'équation.

2. Connaître activement toutes les identités exponentielles.

3. En clair, dans le détail et sans erreur, effectuer des transformations mathématiques d'équations (transférer des termes d'une partie de l'équation à une autre, sans oublier de changer de signe, réduire la fraction à un dénominateur commun, etc.). C'est ce qu'on appelle la culture mathématique. Dans le même temps, les calculs eux-mêmes doivent être effectués automatiquement à la main et la tête doit réfléchir au fil directeur général de la solution. Il est nécessaire de faire les transformations aussi soigneusement et en détail que possible. Seul cela garantira une solution correcte et sans erreur. Et rappelez-vous : une petite erreur arithmétique peut simplement créer une équation transcendantale qui, en principe, ne peut pas être résolue analytiquement. Il s'avère que vous vous êtes égaré et que vous vous êtes heurté au mur du labyrinthe.

4. Connaître les méthodes de résolution des problèmes (c'est-à-dire connaître tous les chemins à travers le labyrinthe de la solution). Pour une orientation correcte à chaque étape, vous devrez (consciemment ou intuitivement !) :

définir type d'équation;
rappelez-vous le type correspondant méthode de résolution Tâches.

L'étape de généralisation et de systématisation du matériel étudié.

L'enseignant, avec les élèves, avec la participation d'un ordinateur, effectue une répétition générale de tous les types d'équations exponentielles et des méthodes pour les résoudre, et élabore un schéma général. (À l'aide d'un didacticiel Programme d'ordinateur L.Ya. Borevsky "Cours de mathématiques - 2000", l'auteur de la présentation en PowerPoint - T.N. Kouptsov.)

Riz. une. La figure montre un schéma général de tous les types d'équations exponentielles.

Comme on peut le voir sur ce diagramme, la stratégie pour résoudre les équations exponentielles est de réduire cette équation exponentielle à l'équation, tout d'abord, avec les mêmes bases , et puis - et avec les mêmes exposants.

Après avoir obtenu une équation avec les mêmes bases et exposants, vous remplacez ce degré par une nouvelle variable et obtenez une équation algébrique simple (généralement rationnelle fractionnaire ou quadratique) par rapport à cette nouvelle variable.

En résolvant cette équation et en faisant une substitution inverse, vous vous retrouvez avec un ensemble d'équations exponentielles simples qui sont résolues dans vue générale en utilisant les logarithmes.

Des équations se distinguent dans lesquelles seuls des produits de puissances (privées) apparaissent. En utilisant des identités exponentielles, il est possible de ramener ces équations immédiatement à une base, en particulier à l'équation exponentielle la plus simple.

Considérez comment l'équation exponentielle à trois motifs différents degrés.

(Si l'enseignant a un programme informatique d'enseignement de L.Ya. Borevsky "Cours de mathématiques - 2000", alors naturellement nous travaillons avec le disque, sinon, vous pouvez imprimer ce type d'équation pour chaque bureau à partir de celui-ci, présenté ci-dessous .)

Riz. 2. Plan de solution d'équation.

Riz. 3. Commencer à résoudre l'équation

Riz. quatre. La fin de la solution de l'équation.

Faire des travaux pratiques

Déterminez le type d'équation et résolvez-la.

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

Résumé de la leçon

Noter une leçon.

fin de cours

Pour le professeur

Schéma de réponses travaux pratiques.

Exercer: dans la liste des équations, sélectionnez les équations du type spécifié (mettez le numéro de la réponse dans le tableau):

Trois socles différents
Deux bases différentes - exposants différents
Bases de puissances - puissances d'un nombre
Mêmes bases, différents exposants
Mêmes bases d'exposants - mêmes exposants
Produit de puissances
Deux bases de diplômes différentes - les mêmes indicateurs
Protozoaires équations exponentielles

1. (produit de puissances)

2. (mêmes bases - exposants différents)

Exemples:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Comment résoudre des équations exponentielles

Lors de la résolution d'une équation exponentielle, nous nous efforçons de la mettre sous la forme \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), puis de passer à l'égalité des indicateurs, c'est-à-dire :

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Par exemple:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Important! Dans la même logique, deux exigences découlent d'une telle transition :
- nombre dans gauche et droite doivent être identiques ;
- les degrés gauche et droite doivent être "purs", c'est-à-dire qu'il ne devrait pas y en avoir, multiplications, divisions, etc.

Par exemple:

Pour amener l'équation à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\) et sont utilisés.

Exemple . Résoudre l'équation exponentielle \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
La solution:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Nous savons que \(27 = 3^3\). Dans cet esprit, nous transformons l'équation.

\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)

Par la propriété de la racine \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) on obtient que \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). De plus, en utilisant la propriété degré \((a^b)^c=a^(bc)\), on obtient \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).

\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Nous savons aussi que \(a^b a^c=a^(b+c)\). En appliquant cela au côté gauche, nous obtenons : \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).

\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)

Rappelez-vous maintenant que : \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Cette formule peut également être utilisée dans verso: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Alors \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).

\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)

En appliquant la propriété \((a^b)^c=a^(bc)\) au côté droit, on obtient : \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).

\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)

Et maintenant nous avons les bases égales et il n'y a pas de coefficients interférant, etc. Nous pouvons donc faire la transition.

Exemple . Résoudre l'équation exponentielle \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\)
La solution:

\(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\)		Encore une fois, nous utilisons la propriété degré \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) dans la direction opposée.
\(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\)		Rappelez-vous maintenant que \(4=2^2\).
\((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\)		En utilisant les propriétés du degré, on transforme : \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\)
\(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\)		Nous regardons attentivement l'équation, et nous voyons que le remplacement \(t=2^x\) s'impose ici.

\(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\)		Cependant, nous avons trouvé les valeurs \(t\), et nous avons besoin de \(x\). Nous revenons au X, en faisant la substitution inverse.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\)		Nous transformons la deuxième équation en utilisant la propriété degré négatif…
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\)		...et résoudre jusqu'à la réponse.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Réponse : \(-1; 1\).

La question demeure - comment comprendre quand appliquer quelle méthode? Cela vient avec l'expérience. En attendant, vous ne l'avez pas résolu, utilisez la recommandation générale pour résoudre des problèmes complexes - "si vous ne savez pas quoi faire - faites ce que vous pouvez". C'est-à-dire, cherchez comment vous pouvez transformer l'équation en principe et essayez de le faire - et si cela sortait? L'essentiel est de ne faire que des transformations mathématiquement justifiées.

équations exponentielles sans solutions

Examinons deux autres situations qui déroutent souvent les élèves :
- un nombre positif à la puissance est égal à zéro, par exemple, \(2^x=0\) ;
- un nombre positif à la puissance est égal à un nombre négatif, par exemple \(2^x=-4\).

Essayons de le résoudre par la force brute. Si x est un nombre positif, alors à mesure que x croît, la puissance entière \(2^x\) ne fera que croître :

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Passé aussi. Il y a des x négatifs. En se souvenant de la propriété \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), on vérifie :

\(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\)
\(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\)
\(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\)

Malgré le fait que le nombre diminue à chaque étape, il n'atteindra jamais zéro. Donc le degré négatif ne nous a pas non plus épargnés. Nous arrivons à une conclusion logique :

Un nombre positif à n'importe quelle puissance restera un nombre positif.

Ainsi, les deux équations ci-dessus n'ont pas de solution.

équations exponentielles avec différentes bases

En pratique, il existe parfois des équations exponentielles avec des bases différentes non réductibles entre elles, et en même temps avec les mêmes exposants. Ils ressemblent à ceci : \(a^(f(x))=b^(f(x))\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres positifs.

Par exemple:

\(7^(x)=11^(x)\)
\(5^(x+2)=3^(x+2)\)
\(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\)

De telles équations peuvent être facilement résolues en divisant par l'une des parties de l'équation (généralement en divisant par le côté droit, c'est-à-dire par \ (b ^ (f (x)) \). Vous pouvez diviser de cette manière, car un nombre positif est positif à n'importe quel degré (c'est-à-dire que nous ne divisons pas par zéro.) Nous obtenons :

\(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\)

Exemple . Résolvez l'équation exponentielle \(5^(x+7)=3^(x+7)\)
La solution:

\(5^(x+7)=3^(x+7)\)		Ici, on ne peut pas transformer un cinq en un trois, ou vice versa (selon au moins, sans utilisation). On ne peut donc pas arriver à la forme \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Dans le même temps, les indicateurs sont les mêmes. Divisons l'équation par le côté droit, c'est-à-dire par \(3^(x+7)\) (nous pouvons le faire, car nous savons que le triplet ne sera nul à aucun degré).
\(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\)		Rappelez-vous maintenant la propriété \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) et utilisez-la de la gauche dans la direction opposée. A droite, on réduit simplement la fraction.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\)		Cela ne semblait pas aller mieux. Mais souvenez-vous d'une autre propriété du degré : \(a^0=1\), autrement dit : "tout nombre à la puissance zéro est égal à \(1\)". L'inverse est également vrai : "une unité peut être représentée comme n'importe quel nombre élevé à la puissance zéro". Nous l'utilisons en rendant la base de droite identique à celle de gauche.
\((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\)		Voila ! Nous nous débarrassons des fondations.
		Nous écrivons la réponse.

Réponse : \(-7\).

Parfois, la "similitude" des exposants n'est pas évidente, mais l'utilisation habile des propriétés du degré résout ce problème.

Exemple . Résoudre l'équation exponentielle \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)
La solution:

\(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		L'équation a l'air bien triste... Non seulement les bases ne peuvent pas être réduites au même nombre (sept ne sera pas égal à \(\frac(1)(3)\)), mais en plus les indicateurs sont différents... Cependant, utilisons l'exposant du degré gauche deux.
\(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		En gardant à l'esprit la propriété \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformez à gauche : \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\).
\(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\)		Maintenant, en se souvenant de la propriété de puissance négative \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), on transforme à droite : \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\)
\(49^(x-2)=3^(x-2)\)		Alléluia! Les scores sont les mêmes ! Agissant selon le schéma qui nous est déjà familier, nous décidons avant la réponse.

Réponse : \(2\).

Solution d'équations exponentielles. Exemples.

Attention!
Il y a d'autres
matériel dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui fortement "pas très..."
Et pour ceux qui "beaucoup...")

Quoi équation exponentielle? C'est une équation dans laquelle les inconnues (x) et les expressions avec elles sont dans indicateurs quelques degrés. Et seulement là ! C'est important.

Te voilà exemples d'équations exponentielles:

3 x 2 x = 8 x + 3

Noter! Dans les bases de diplômes (ci-dessous) - Seulement les chiffres. À indicateurs degrés (ci-dessus) - une grande variété d'expressions avec x. Si, soudainement, un x apparaît dans l'équation autre part que l'indicateur, par exemple :

ce sera une équation de type mixte. De telles équations n'ont pas de règles claires pour la résolution. Nous ne les considérerons pas pour l'instant. Nous traiterons ici solution d'équations exponentielles dans sa forme la plus pure.

En fait, même les équations exponentielles pures ne sont pas toujours clairement résolues. Mais il existe certains types d'équations exponentielles qui peuvent et doivent être résolues. Ce sont les types que nous allons examiner.

Solution des équations exponentielles les plus simples.

Commençons par quelque chose de très basique. Par exemple:

Même sans aucune théorie, par simple sélection il est clair que x = 2. Rien de plus, non !? Aucune autre valeur x n'est lancée. Et maintenant regardons la solution de cette équation exponentielle délicate :

Qu'avons-nous fait? En fait, nous venons de jeter les mêmes bas (triples). Complètement jeté. Et, qu'est-ce qui plaît, faites mouche !

En effet, si dans l'équation exponentielle à gauche et à droite sont le même nombres à n'importe quel degré, ces nombres peuvent être supprimés et exposants égaux. Les mathématiques le permettent. Il reste à résoudre une équation beaucoup plus simple. C'est bien, non ?)

Cependant, rappelons ironiquement : vous ne pouvez supprimer les bases que lorsque les numéros de base à gauche et à droite sont dans un splendide isolement ! Sans voisins ni coefficients. Disons dans les équations :

2 x +2 x + 1 = 2 3 , ou

Vous ne pouvez pas supprimer les doublons !

Eh bien, nous avons maîtrisé la chose la plus importante. Comment s'éloigner du mal expressions exponentiellesà des équations plus simples.

"Voilà ces moments !" - vous dites. "Qui donnera un tel primitif sur le contrôle et les examens !?"

Obligé d'accepter. Personne ne le fera. Mais maintenant vous savez où aller pour résoudre des exemples déroutants. Il est nécessaire de le rappeler lorsque le même numéro de base est à gauche - à droite. Alors tout sera plus simple. En fait, ce sont les classiques des mathématiques. Nous prenons l'exemple d'origine et le transformons en l'exemple souhaité nous dérange. Selon les règles des mathématiques, bien sûr.

Considérez des exemples qui nécessitent un effort supplémentaire pour les rendre les plus simples. Appelons-les équations exponentielles simples.

Solution d'équations exponentielles simples. Exemples.

Lors de la résolution d'équations exponentielles, les principales règles sont actions avec des pouvoirs. Sans connaissance de ces actions, rien ne fonctionnera.

Aux actions graduées, il faut ajouter l'observation personnelle et l'ingéniosité. Nous avons besoin mêmes numéros- motifs? Nous les recherchons donc dans l'exemple sous une forme explicite ou chiffrée.

Voyons comment cela se fait en pratique?

Donnons-nous un exemple :

2 2x - 8x+1 = 0

Premier regard sur terrains. Ils... Ils sont différents ! Deux et huit. Mais il est trop tôt pour se décourager. Il est temps de s'en souvenir

Deux et huit sont des parents en degré.) Il est tout à fait possible d'écrire :

8x+1 = (2 3)x+1

Si nous rappelons la formule des actions avec des pouvoirs :

(une n) m = une nm ,

ça marche généralement très bien :

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

L'exemple original ressemble à ceci :

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Nous transférons 2 3 (x+1)à droite (personne n'a annulé les actions élémentaires des mathématiques !), on obtient :

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

C'est pratiquement tout. Suppression des socles :

Nous résolvons ce monstre et obtenons

C'est la bonne réponse.

Dans cet exemple, connaître les puissances de deux nous a aidés. Nous identifié dans le huit, le deux crypté. Cette technique (encodage des bases communes sous des nombres différents) est une astuce très populaire dans les équations exponentielles ! Oui, même en logarithmes. Il faut être capable de reconnaître les puissances des autres nombres dans les nombres. Ceci est extrêmement important pour résoudre des équations exponentielles.

Le fait est qu'élever n'importe quel nombre à n'importe quelle puissance n'est pas un problème. Multipliez, même sur une feuille de papier, et c'est tout. Par exemple, tout le monde peut relancer 3 à la puissance cinq. 243 se révélera si vous connaissez la table de multiplication.) Mais dans les équations exponentielles, beaucoup plus souvent, il est nécessaire de ne pas élever à une puissance, mais vice versa ... quel nombre dans quelle mesure se cache derrière le nombre 243, ou, disons, 343... Aucune calculatrice ne vous aidera ici.

Il faut connaître les puissances de certains nombres à vue, oui... On s'entraîne ?

Déterminez quelles puissances et quels nombres sont des nombres :

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Réponses (en désordre, bien sûr !) :

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir un fait étrange. Il y a plus de réponses que de questions ! Eh bien, ça arrive... Par exemple, 2 6 , 4 3 , 8 2 est tout 64.

Supposons que vous avez pris note des informations sur la connaissance des nombres.) Permettez-moi de vous rappeler que pour résoudre des équations exponentielles, nous appliquons la totalité stock de connaissances mathématiques. Y compris issus des classes moyennes inférieures. Vous n'êtes pas allé directement au lycée, n'est-ce pas ?

Par exemple, lors de la résolution d'équations exponentielles, mettre le facteur commun entre parenthèses aide très souvent (bonjour à la 7e année !). Voyons un exemple :

3 2x+4 -11 9x = 210

Et encore une fois, le premier regard - sur le terrain ! Les bases des diplômes sont différentes... Trois et neuf. Et nous voulons qu'ils soient les mêmes. Bon, dans ce cas, le désir est tout à fait réalisable !) Car :

9 x = (3 2) x = 3 2x

Selon les mêmes règles pour les actions à degrés :

3 2x+4 = 3 2x 3 4

C'est super, tu peux écrire :

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Alors, quelle est la prochaine !? Les trois ne peuvent pas être jetés ... Une impasse?

Pas du tout. Se souvenir de la règle de décision la plus universelle et la plus puissante tout tâches mathématiques :

Si vous ne savez pas quoi faire, faites ce que vous pouvez !

Vous regardez, tout est formé).

Qu'y a-t-il dans cette équation exponentielle boîte fais? Oui, le côté gauche demande directement des parenthèses ! Le facteur commun de 3 2x le suggère clairement. Essayons, et ensuite nous verrons :

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L'exemple est de mieux en mieux !

Rappelons que pour éliminer les bases, il faut un degré pur, sans aucun coefficient. Le nombre 70 nous dérange. On divise donc les deux côtés de l'équation par 70, on obtient :

Op-pa ! Tout s'est bien passé !

C'est la réponse finale.

Il arrive cependant que le roulage sur les mêmes terrains soit obtenu, mais pas leur liquidation. Cela se produit dans les équations exponentielles d'un autre type. Prenons ce type.

Changement de variable dans la résolution d'équations exponentielles. Exemples.

Résolvons l'équation :

4 × - 3 2 × +2 = 0

Tout d'abord - comme d'habitude. Passons à la base. Au diable.

4 x = (2 2) x = 2 2x

On obtient l'équation :

2 2x - 3 2x +2 = 0

Et ici nous allons pendre. Les astuces précédentes ne fonctionneront pas, peu importe comment vous le tournez. Nous devrons puiser dans l'arsenal d'un autre moyen puissant et polyvalent. C'est appelé remplacement de variables.

L'essence de la méthode est étonnamment simple. Au lieu d'une icône complexe (dans notre cas, 2 x), nous en écrivons une autre, plus simple (par exemple, t). Un tel remplacement apparemment dénué de sens conduit à des résultats étonnants !) Tout devient clair et compréhensible !

Alors laisse

Alors 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Nous remplaçons dans notre équation toutes les puissances avec x par t :

Eh bien, ça se lève ?) Vous n'avez pas encore oublié les équations quadratiques ? On résout par le discriminant, on obtient :

Ici, l'essentiel est de ne pas s'arrêter, comme cela arrive... Ce n'est pas encore la réponse, il nous faut x, pas t. Nous revenons à Xs, c'est-à-dire faire un remplacement. D'abord pour t 1 :

C'est-à-dire,

Une racine a été trouvée. Nous recherchons le second, à partir de t 2 :

Euh... Gauche 2 x, Droite 1... Un hic ? Oui, pas du tout ! Il suffit de se rappeler (d'actions à degrés, oui...) qu'une unité est n'importe quel nombre à zéro. N'importe quel. Tout ce dont vous avez besoin, nous le mettrons. Nous avons besoin d'un deux. Moyens:

Maintenant c'est tout. J'ai 2 racines :

C'est la réponse.

À résoudre des équations exponentiellesà la fin, on obtient parfois une expression maladroite. Taper:

Du sept, un deux par un degré simple ne fonctionne pas. Ce ne sont pas des parents... Comment puis-je être ici ? Quelqu'un peut être confus ... Mais la personne qui a lu sur ce site le sujet "Qu'est-ce qu'un logarithme?" , ne souriez qu'avec parcimonie et écrivez d'une main ferme la réponse absolument correcte :

Il ne peut y avoir une telle réponse dans les tâches "B" de l'examen. Un numéro spécifique est requis. Mais dans les tâches "C" - facilement.

Cette leçon fournit des exemples de résolution des équations exponentielles les plus courantes. Soulignons le principal.

Conseils pratiques:

1. Tout d'abord, nous examinons terrains degrés. Voyons si elles ne peuvent pas être faites le même. Essayons de le faire en utilisant activement actions avec des pouvoirs. N'oubliez pas que les nombres sans x peuvent aussi être transformés en puissances !

2. Nous essayons de mettre l'équation exponentielle sous la forme lorsque la gauche et la droite sont le même nombres à n'importe quel degré. Nous utilisons actions avec pouvoirs et factorisation. Ce qui peut être compté en nombre - nous comptons.

3. Si le deuxième conseil n'a pas fonctionné, nous essayons d'appliquer la substitution de variable. Le résultat peut être une équation facile à résoudre. Le plus souvent - carré. Ou fractionnaire, qui se réduit également à un carré.

4. Pour réussir à résoudre des équations exponentielles, vous devez connaître les degrés de certains nombres "à vue".

Comme d'habitude, à la fin de la leçon, vous êtes invité à résoudre un peu.) Par vous-même. Du simple au complexe.

Résolvez des équations exponentielles :

Plus difficile:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Trouver le produit des racines :

2 3-x + 2x = 9

Passé?

Eh bien l'exemple le plus dur(décidé, cependant, dans l'esprit ...) :

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Quoi de plus intéressant ? Alors voici un mauvais exemple pour vous. Assez tirant sur une difficulté accrue. Je laisserai entendre que dans cet exemple, l'ingéniosité et la règle la plus universelle pour résoudre toutes les tâches mathématiques sauvent.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un exemple est plus simple, pour la détente):

9 2 x - 4 3 x = 0

Et pour le dessert. Trouver la somme des racines de l'équation :

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Oui oui! C'est une équation de type mixte ! Ce que nous n'avons pas considéré dans cette leçon. Et pour les considérer, ils doivent être résolus!) Cette leçon suffit amplement à résoudre l'équation. Eh bien, il faut de l'ingéniosité ... Et oui, la septième année vous aidera (c'est un indice!).

Réponses (en désordre, séparées par des points-virgules) :

une; 2 ; 3 ; quatre ; il n'y a pas de solutions; 2 ; -2 ; -5 ; quatre ; 0.

Est-ce que tout est réussi ? Excellent.

Il ya un problème? Aucun problème! Dans la section spéciale 555, toutes ces équations exponentielles sont résolues avec explications détaillées. Quoi, pourquoi et pourquoi. Et, bien sûr, il y a des informations précieuses supplémentaires sur le travail avec toutes sortes d'équations exponentielles. Pas seulement avec ceux-ci.)

Une dernière question amusante à considérer. Dans cette leçon, nous avons travaillé avec des équations exponentielles. Pourquoi n'ai-je pas dit un mot sur ODZ ici ? Dans les équations, c'est une chose très importante, d'ailleurs...

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Dans cet article, vous vous familiariserez avec tous les types équations exponentielles et des algorithmes pour les résoudre, apprenez à reconnaître quel type équation exponentielle, que vous devez résoudre, et appliquez la méthode appropriée pour le résoudre. Solution détaillée d'exemples équations exponentielles chaque type que vous pouvez voir dans les TUTORIELS VIDÉO correspondants.

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l'inconnue est contenue dans l'exposant.

Avant de commencer à résoudre l'équation exponentielle, il est utile de faire quelques action préliminaire , ce qui peut grandement faciliter le déroulement de sa solution. Ce sont les actions :

1. Factoriser toutes les bases de puissances en facteurs premiers.

2. Présentez les racines comme un degré.

3. Décimales représenter sous la forme d'ordinaire.

4. nombres mélangésécrire sous forme de fractions impropres.

Vous vous rendrez compte des avantages de ces actions dans le processus de résolution des équations.

Considérez les principaux types équations exponentielles et des algorithmes pour leur solution.

1. Équation de type

Cette équation est équivalente à l'équation

Regardez cette VIDEO pour résoudre l'équation de ce type.

2. Équation de type

Dans les équations de ce type :

b) les coefficients de l'inconnue dans l'exposant sont égaux.

Pour résoudre cette équation, vous devez encadrer le multiplicateur au plus petit degré.

Un exemple de résolution d'une équation de ce type :

regarde la VIDEO.

3. Équation de type

Ces types d'équations diffèrent en ce que

a) tous les diplômes ont la même base

b) les coefficients de l'inconnue dans l'exposant sont différents.

Les équations de ce type sont résolues à l'aide d'un changement de variables. Avant d'introduire un remplacement, il est souhaitable de se débarrasser des termes libres dans l'exposant. (, , etc)

Regardez dans la VIDEO la solution de ce type d'équation :

4. Équations homogènes gentil

Particularités des équations homogènes :

a) tous les monômes ont le même degré,

b) le terme libre est égal à zéro,

c) l'équation contient des puissances avec deux bases différentes.

Les équations homogènes sont résolues par un algorithme similaire.

Pour résoudre ce type d'équation, divisez les deux côtés de l'équation par (peut être divisé par ou par )

Attention! Lorsque vous divisez les côtés droit et gauche de l'équation par une expression contenant une inconnue, vous pouvez perdre les racines. Par conséquent, il est nécessaire de vérifier si les racines de l'expression par laquelle nous divisons les deux parties de l'équation sont les racines de l'équation d'origine.

Dans notre cas, puisque l'expression n'est pas égale à zéro pour toutes les valeurs de l'inconnue, nous pouvons diviser par elle sans crainte. Nous divisons le côté gauche de l'équation par cette expression terme à terme. On a:

Réduisez le numérateur et le dénominateur des deuxième et troisième fractions :

Introduisons un remplacement :

Et titre="(!LANG:t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

Obtenir équation quadratique:

Résolvez l'équation quadratique, trouvez les valeurs qui satisfont la condition title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

Regardez dans la VIDEO solution détailléeéquation homogène :

5. Équation de type

Lors de la résolution de cette équation, nous partirons du fait que title="(!LANG:f(x)>0">!}

L'égalité originelle est valable dans deux cas :

1. Si , puisque 1 est égal à 1 à toute puissance,

2. Sous deux conditions :

Titre="(!LANG:delim(lbrace)(matrice(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

Regardez la VIDEO pour une solution détaillée de l'équation

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Rappelons d'abord les formules de base des degrés et leurs propriétés.

Produit d'un nombre un se produit n fois sur lui-même, on peut écrire cette expression sous la forme a a … a=a n

1. un 0 = 1 (un ≠ 0)

3. une n une m = une n + m

4. (un n) m = un nm

5. une n b n = (ab) n

7. un n / un m \u003d un n - m

Équations de puissance ou exponentielles- ce sont des équations dans lesquelles les variables sont en puissances (ou exposants), et la base est un nombre.

Exemples d'équations exponentielles :

À cet exemple le nombre 6 est la base, il est toujours en bas, et la variable X degré ou mesure.

Donnons d'autres exemples d'équations exponentielles.
2 × *5=10
16x-4x-6=0

Voyons maintenant comment les équations exponentielles sont résolues ?

Prenons une équation simple :

2 x = 2 3

Un tel exemple peut être résolu même dans l'esprit. On voit que x=3. Après tout, pour que les côtés gauche et droit soient égaux, vous devez mettre le chiffre 3 au lieu de x.
Voyons maintenant comment cette décision doit être prise :

2 x = 2 3
x = 3

Pour résoudre cette équation, nous avons supprimé mêmes motifs(c'est-à-dire deux) et a écrit ce qui restait, ce sont des degrés. Nous avons eu la réponse que nous cherchions.

Résumons maintenant notre solution.

Algorithme de résolution de l'équation exponentielle :
1. Besoin de vérifier le même si les bases de l'équation à droite et à gauche. Si les motifs ne sont pas les mêmes, nous recherchons des options pour résoudre cet exemple.
2. Une fois que les bases sont les mêmes, assimiler degré et résoudre la nouvelle équation résultante.

Résolvons maintenant quelques exemples :

Commençons simple.

Les bases des côtés gauche et droit sont égales au nombre 2, ce qui signifie que nous pouvons rejeter la base et égaliser leurs degrés.

x+2=4 L'équation la plus simple s'est avérée.
x=4 - 2
x=2
Réponse : x=2

Dans l'exemple suivant, vous pouvez voir que les bases sont différentes, ce sont 3 et 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Pour commencer, nous transférons le neuf sur le côté droit, nous obtenons:

Maintenant, vous devez faire les mêmes bases. On sait que 9=3 2 . Utilisons la formule de puissance (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Nous obtenons 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 maintenant, il est clair que les bases des côtés gauche et droit sont identiques et égales à trois, ce qui signifie que nous pouvons les écarter et assimiler les degrés.

3x=2x+16 a obtenu l'équation la plus simple
3x-2x=16
x=16
Réponse : x=16.

Regardons l'exemple suivant :

2 2x + 4 - 10 4x \u003d 2 4

Tout d'abord, nous regardons les bases, les bases sont différentes deux et quatre. Et nous devons être les mêmes. On transforme le quadruple selon la formule (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Et nous utilisons également une formule a n a m = a n + m :

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ajouter à l'équation :

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Nous avons donné un exemple pour les mêmes raisons. Mais d'autres chiffres 10 et 24 interfèrent avec nous, que faire d'eux ? Si vous regardez attentivement, vous pouvez voir que sur le côté gauche, nous répétons 2 2x, voici la réponse - nous pouvons mettre 2 2x hors parenthèses :

2 2x (2 4 - 10) = 24

Calculons l'expression entre parenthèses :

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

On divise l'équation entière par 6 :

Imaginez 4=2 2 :

2 2x \u003d 2 2 bases sont les mêmes, jetez-les et égalisez les degrés.
2x \u003d 2 s'est avéré être l'équation la plus simple. On le divise par 2, on obtient
x = 1
Réponse : x = 1.

Résolvons l'équation :

9x - 12*3x +27= 0

Transformons :
9 x = (3 2) x = 3 2x

On obtient l'équation :
3 2x - 12 3x +27 = 0

Nos bases sont les mêmes, égales à 3. Dans cet exemple, il est clair que le premier triple a un degré deux fois (2x) que le second (juste x). Dans ce cas, vous pouvez décider méthode de substitution. Le nombre avec le plus petit degré est remplacé par :

Alors 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Nous remplaçons tous les degrés par des x dans l'équation avec t :

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
On obtient une équation quadratique. On résout par le discriminant, on obtient :
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Retour aux variables X.

On prend t 1 :
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x