Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) kaavio (joka on katkoviiva, joka koostuu kolmesta suorasta janasta). Laske kuvion avulla F(9)-F(5), jossa F(x) on yksi seuraavista antiderivatiiviset toiminnot f(x).

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Newton-Leibnizin kaavan mukaan ero F(9)-F(5), jossa F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaatteista, on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan rajatun pinta-ala. funktion y=f(x) kuvaajalla suorat y=0 , x=9 ja x=5. Kaavion mukaan määritämme, että määritetty kaareva puolisuunnikas on puolisuunnikkaan kanta, jonka kanta on 4 ja 3 ja jonka korkeus on 3.

Sen pinta-ala on yhtä suuri \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Vastaus

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on käyrä funktiosta y=F(x) - yhdestä välissä (-5; 5) määritellyn funktion f(x) antiderivaataista. Määritä kuvion avulla yhtälön f(x)=0 ratkaisujen lukumäärä janalla [-3; neljä].

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Antiderivaatan määritelmän mukaan yhtäläisyys pätee: F "(x) \u003d f (x). Siksi yhtälö f (x) \u003d 0 voidaan kirjoittaa muodossa F "(x) \u003d 0. Koska kuvassa on funktion y=F(x) kaavio, meidän on löydettävä ne intervallipisteet [-3; 4], jossa funktion F(x) derivaatta on nolla. Kuvasta voidaan nähdä, että nämä ovat F(x)-graafin ääripisteiden (maksimi tai minimi) abskissoja. Niitä on täsmälleen 7 ilmoitetulla aikavälillä (neljä minimipistettä ja kolme maksimipistettä).

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) kaavio (joka on katkoviiva, joka koostuu kolmesta suorasta janasta). Laske kuvion avulla F(5)-F(0), jossa F(x) on yksi f(x:n) antiderivaataista.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Newton-Leibnizin kaavan mukaan ero F(5)-F(0), jossa F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaatteista, on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan rajatun pinta-ala. funktion y=f(x) kuvaajalla suorat y=0 , x=5 ja x=0. Kaavion mukaan määritämme, että määritetty kaareva puolisuunnikas on puolisuunnikkaan kanta, jonka kanta on 5 ja 3 ja jonka korkeus on 3.

Sen pinta-ala on yhtä suuri \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on kaavio funktiosta y=F(x) — yhdestä jonkin funktion f(x) antiderivaataista, joka on määritelty välillä (-5; 4). Määritä kuvion avulla yhtälön f (x) = 0 ratkaisujen lukumäärä segmentillä (-3; 3]).

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Antiderivaatan määritelmän mukaan yhtäläisyys pätee: F "(x) \u003d f (x). Siksi yhtälö f (x) \u003d 0 voidaan kirjoittaa muodossa F "(x) \u003d 0. Koska kuvassa on funktion y=F(x) kaavio, meidän on löydettävä ne intervallipisteet [-3; 3], jossa funktion F(x) derivaatta on nolla.

Kuvasta voidaan nähdä, että nämä ovat F(x)-graafin ääripisteiden (maksimi tai minimi) abskissoja. Niitä on täsmälleen 5 määritetyllä aikavälillä (kaksi minimipistettä ja kolme maksimipistettä).

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y=f(x). Funktio F(x)=-x^3+4.5x^2-7 on yksi funktion f(x) antiderivaatteista.

Etsi varjostetun hahmon alue.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Varjostettu kuvio on kaareva puolisuunnikas, jota ylhäältä rajoittaa funktion y=f(x) kuvaaja, suorat y=0, x=1 ja x=3. Newton-Leibnizin kaavan mukaan sen pinta-ala S on yhtä suuri kuin erotus F(3)-F(1), missä F(x) on ehdossa määritellyn funktion f(x) antiderivaata. Siksi S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: funktion antiderivaata

Kunto

Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y=f(x). Funktio F(x)=x^3+6x^2+13x-5 on yksi funktion f(x) antiderivaatteista. Etsi varjostetun hahmon alue.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Sisältö

Sisältöelementit

Derivaatta, tangentti, antiderivaata, funktioiden ja derivaattojen kuvaajat.

Johdannainen Olkoon funktio \(f(x)\) määritelty jossain pisteen \(x_0\) ympäristössä.

Toiminnon \(f\) derivaatta pisteessä \(x_0\) kutsutaan rajaksi

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

jos tämä raja on olemassa.

Funktion derivaatta pisteessä kuvaa tämän funktion muutosnopeutta tietyssä pisteessä.

Johdannaistaulukko

Toiminto	Johdannainen
\(vakio\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tgx\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Erottamisen säännöt\(f\) ja \(g\) ovat funktioita riippuen muuttujasta \(x\); \(c\) on luku.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\oikea)\oikea)"=f"\left(g(x)\oikea)\cdot g"(x)\) - kompleksifunktion johdannainen

Derivaatan geometrinen merkitys Suoran linjan yhtälö- ei-rinnakkaisakseli \(Oy\) voidaan kirjoittaa muodossa \(y=kx+b\). Tämän yhtälön kerrointa \(k\) kutsutaan suoran viivan kaltevuus. Se on yhtä suuri kuin tangentti kallistuskulma tämä suora viiva.

Suorakulma- \(Ox\)-akselin positiivisen suunnan ja annetun suoran välinen kulma laskettuna positiivisten kulmien suunnassa (eli vähimmän pyörimissuunnassa \(Ox\)-akselilta \(Oy) \) akseli).

Funktion \(f(x)\) derivaatta pisteessä \(x_0\) on yhtä suuri kuin funktion kaavion tangentin kulmakerroin annetussa pisteessä: \(f"(x_0)=\tg \alpha.\)

Jos \(f"(x_0)=0\), niin funktion \(f(x)\) kaavion tangentti pisteessä \(x_0\) on yhdensuuntainen akselin \(Ox\) kanssa.

Tangenttiyhtälö

Funktion \(f(x)\) kaavion tangentin yhtälö pisteessä \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Toiminnan monotonisuus Jos funktion derivaatta on positiivinen kaikissa intervallin pisteissä, funktio kasvaa tällä välillä.

Jos funktion derivaatta on negatiivinen kaikissa intervallin pisteissä, funktio pienenee tällä välillä.

Minimi-, maksimi- ja käännepisteet positiivinen päällä negatiivinen tässä vaiheessa \(x_0\) on funktion \(f\) maksimipiste.

Jos funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(x_0\), ja tämän funktion derivaatan arvo \(f"\) muuttuu arvosta negatiivinen päällä positiivinen tässä vaiheessa \(x_0\) on funktion \(f\) minimipiste.

Pisteitä, joissa derivaatta \(f"\) on nolla tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat funktiot \(f\).

Funktiomäärittelyalueen \(f(x)\) sisäiset pisteet, joissa \(f"(x)=0\) voivat olla minimi-, maksimi- tai käännepisteitä.

Johdannan fyysinen merkitys Jos aineellinen piste liikkuu suoraa ja sen koordinaatti muuttuu ajasta riippuen lain \(x=x(t)\ mukaan), niin tämän pisteen nopeus on yhtä suuri kuin koordinaatin aikaderivaata:

Aineellisen pisteen kiihtyvyys on yhtä suuri kuin tämän pisteen nopeuden derivaatta ajan suhteen:

\(a(t)=v"(t).\)

Suora y=3x+2 on tangentti funktion y=-12x^2+bx-10 kuvaajalle. Etsi b , koska kosketuspisteen abskissa on pienempi kuin nolla.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Olkoon x_0 funktion y=-12x^2+bx-10 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta tämän graafin tangentti kulkee.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin kulmakerroin, eli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Toisaalta tangenttipiste kuuluu sekä funktion kuvaajaan että tangentin kuvaajaan. tangentti, eli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Saamme yhtälöjärjestelmän \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(tapaukset)

Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme x_0^2=1, mikä tarkoittaa joko x_0=-1 tai x_0=1. Abskissan ehdon mukaan kosketuspisteet ovat pienempiä kuin nolla, joten x_0=-1, sitten b=3+24x_0=-21.

Vastaus

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) kaavio (joka on katkoviiva, joka koostuu kolmesta suorasta janasta). Laske kuvion avulla F(9)-F(5), jossa F(x) on yksi f(x:n) antiderivaataista.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Newton-Leibnizin kaavan mukaan ero F(9)-F(5), jossa F(x) on yksi funktion f(x) antiderivaatteista, on yhtä suuri kuin kaarevan puolisuunnikkaan rajatun pinta-ala. funktion y=f(x) kuvaajalla suorat y=0 , x=9 ja x=5. Kaavion mukaan määritämme, että määritetty kaareva puolisuunnikas on puolisuunnikkaan kanta, jonka kanta on 4 ja 3 ja jonka korkeus on 3.

Sen pinta-ala on yhtä suuri \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio y \u003d f "(x) - funktion f (x) derivaatta, joka on määritetty välille (-4; 10). Etsi pienenevän funktion f (x) intervallit. Vastauksessasi , ilmoittaa niistä suurimman pituus.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kuten tiedät, funktio f (x) pienenee niillä aikaväleillä, joiden jokaisessa pisteessä derivaatta f "(x) on pienempi kuin nolla. Ottaen huomioon, että on tarpeen löytää niistä suurimman pituus, kolme tällaista väliä eroavat luonnollisesti kuviosta: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Niistä suurimman pituus - (5; 9) on yhtä suuri kuin 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio y \u003d f "(x) - funktion f (x) derivaatta, joka on määritelty välissä (-8; 7). Etsi funktion f (x) maksimipisteiden lukumäärä, joka kuuluu väliin [-6; -2].

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Kaavio osoittaa, että funktion f (x) derivaatta f "(x) muuttaa etumerkkiä plussasta miinukseen (tällaisissa pisteissä on maksimi) täsmälleen yhdessä pisteessä (välillä -5 ja -4) väliltä [ -6; -2 Siksi välissä [-6;-2] on täsmälleen yksi maksimipiste.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on kaavio funktiosta y=f(x), joka on määritetty välille (-2; 8). Määritä pisteiden lukumäärä, joissa funktion f(x) derivaatta on yhtä suuri kuin 0 .

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Jos derivaatta pisteessä on nolla, niin tähän pisteeseen piirretyn funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Siksi löydämme sellaisia ​​pisteitä, joissa funktiokaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Käytössä tämä kaavio Tällaiset pisteet ovat ääripisteitä (maksimi- tai vähimmäispisteitä). Kuten näet, on 5 ääripistettä.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Suora y=-3x+4 on yhdensuuntainen funktion y=-x^2+5x-7 kuvaajan tangentin kanssa. Etsi kosketuspisteen abskissa.

Näytä ratkaisu

Ratkaisu

Suoran kaltevuus funktion y=-x^2+5x-7 kuvaajaan mielivaltaisessa pisteessä x_0 on y"(x_0). Mutta y"=-2x+5, joten y"(x_0)=- 2x_0+5.Ehdossa määritetyn suoran y=-3x+4 kulmakerroin on -3.Rinnakkaisilla viivoilla on samat jyrkkyydet.Siksi saadaan sellainen arvo x_0, että =-2x_0 +5=-3.

Saamme: x_0 = 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen tenttiin-2017. profiilin taso. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Kunto

Kuvassa on funktio y=f(x) ja merkityt pisteet -6, -1, 1, 4 x-akselilla. Missä näistä pisteistä derivaatan arvo on pienin? Mainitse tämä kohta vastauksessasi.

51. Kuvassa on kaavio y=f "(x)- johdannainen funktio f(x), määritelty välissä (− 4; 6). Etsi sen pisteen abskissa, jossa funktion kaavion tangentti y=f(x) on yhdensuuntainen suoran kanssa y = 3x tai vastaa sitä.

Vastaus: 5

52. Kuvassa on kaavio y=F(x) f(x) f(x) positiivinen?

Vastaus: 7

53. Kuvassa on kaavio y=F(x) yksi jonkin toiminnon antijohdannaisista f(x) ja kahdeksan pistettä on merkitty x-akselille: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Kuinka monessa näistä pisteistä toiminto toimii f(x) negatiivinen?

Vastaus: 3

54. Kuvassa on kaavio y=F(x) yksi jonkin toiminnon antijohdannaisista f(x) ja kymmenen pistettä x-akselilla on merkitty: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. Kuinka monessa näistä pisteistä toiminto toimii f(x) positiivinen?

Vastaus: 6

55. Kuvassa on kaavio y=F(x f(x), määritelty välissä (- 7; 5). Määritä kuvion avulla yhtälön ratkaisujen lukumäärä f(x) = 0 aikavälillä [− 5; 2].

Vastaus: 3

56. Kuvassa on kaavio y=F(x) yksi jonkin funktion antijohdannaisista f (x), määritelty välissä (- 8; 7). Määritä kuvion avulla yhtälön ratkaisujen lukumäärä f(x)= 0 välissä [− 5; 5].

Vastaus: 4

57. Kuvassa on kaavio y = F(x) yksi jonkin toiminnon antijohdannaisista f(x) määritelty välissä (1;13). Määritä kuvion avulla yhtälön ratkaisujen lukumäärä f (x)=0 segmentillä .

Vastaus: 4

58. Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y=f(x)(kaksi palkkia, joilla on yhteinen lähtöpiste). Laske kuvion avulla F(-1)-F(-8), missä F(x) f(x).

Vastaus: 20

59. Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y=f(x) (kaksi sädettä, joilla on yhteinen lähtöpiste). Laske kuvion avulla F(-1)-F(-9), missä F(x)- yksi toiminnon antijohdannaisista f(x).

Vastaus: 24

60. Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y=f(x). Toiminto

-yksi funktion antijohdannaisista f(x). Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus: 6

61. Kuvassa on kaavio jostain funktiosta y=f(x). Toiminto

Yksi funktion antijohdannaisista f(x). Etsi varjostetun hahmon alue.

Vastaus: 14.5

samansuuntainen funktion kuvaajan tangentin kanssa

Vastaus: 0.5

Etsi kosketuspisteen abskissa.

Vastaus: -1

on tangentti funktion kuvaajalle

löytö c.

Vastaus: 20

on tangentti funktion kuvaajalle

löytö a.

Vastaus: 0,125

on tangentti funktion kuvaajalle

löytö b, koska kosketuspisteen abskissa on suurempi kuin 0.

Vastaus: -33

67. Aineellinen piste liikkuu lain mukaan suorassa linjassa

missä x t- aika sekunneissa mitattuna liikkeen alusta. Millä hetkellä (sekunteina) hänen nopeus oli 96 m/s?

Vastaus: 18

68. Aineellinen piste liikkuu lain mukaan suorassa linjassa

missä x- etäisyys vertailupisteestä metreinä, t- aika sekunneissa mitattuna liikkeen alusta. Millä hetkellä (sekunteina) hänen nopeus oli 48 m/s?

Vastaus: 9

69. Aineellinen piste liikkuu lain mukaan suorassa linjassa

missä x t t=6 Kanssa.

Vastaus: 20

70. Aineellinen piste liikkuu lain mukaan suorassa linjassa

missä x- etäisyys vertailupisteestä metreinä, t- aika sekunneissa mitattuna liikkeen alusta. Etsi sen nopeus (m/s) sillä hetkellä t=3 Kanssa.

Vastaus: 59