Kirjoitti suunnittelija Tyler Sigman, "Gamasutra". Kutsun sitä hellästi "örkin sierainten hiuksiksi" -artikkeliksi, mutta se kattaa pelien todennäköisyyksien perusteet melko hyvin.

Tämän viikon teema

Tähän päivään asti lähes kaikki, mistä olemme puhuneet, on ollut determinististä, ja viime viikolla tarkastelimme lähemmin transitiivista mekaniikkaa ja purimme sen niin yksityiskohtaisesti kuin voin selittää sen. Mutta toistaiseksi emme ole kiinnittäneet huomiota monien pelien valtavaan osa-alueeseen, nimittäin ei-deterministisiin aspekteihin, toisin sanoen - satunnaisuuteen. Satunnaisuuden luonteen ymmärtäminen on pelisuunnittelijoille erittäin tärkeää, koska luomme järjestelmiä, jotka vaikuttavat pelaajan kokemuksiin tietyssä pelissä, joten meidän on tiedettävä, miten nämä järjestelmät toimivat. Jos järjestelmässä on satunnaisuutta, sinun on ymmärrettävä luonto tämä satunnaisuus ja kuinka sitä muutetaan, jotta saavutamme haluamamme tulokset.

Dice

Aloitetaan jostain yksinkertaisesta: noppien heittäminen. Kun useimmat ihmiset ajattelevat noppaa, he ajattelevat kuusisivuista noppaa, joka tunnetaan nimellä d6. Mutta useimmat pelaajat ovat nähneet monia muita noppaa: nelisivuisia (d4), kahdeksanpuolisia (d8), kaksitoistapuolisia (d12), kaksikymmentäsivuisia (d20) ... ja jos todellinen nörtti, sinulla saattaa olla 30- tai 100-sivuisia noppaa jossain. Jos et ole perehtynyt tähän terminologiaan, "d" tarkoittaa noppaa, ja sen jälkeinen numero kertoo kuinka monta kasvoa sillä on. Jos ennen"d" tarkoittaa numeroa, se tarkoittaa määrä noppaa heitettäessä. Esimerkiksi Monopolyssa heitetään 2d6.

Joten tässä tapauksessa ilmaus "noppaa" on tavanomainen nimitys. On olemassa valtava määrä muita satunnaislukugeneraattoreita, joilla ei ole muovilohkon muotoa, mutta jotka suorittavat saman toiminnon generoidakseen satunnaisluvun 1:stä n:ään. Tavallista kolikkoa voidaan pitää myös dihedraalisena d2-suulakkeena. Näin kaksi mallia seitsensivuisesta meististä: yksi niistä näytti noppaalta ja toinen enemmän kuin seitsensivuiselta puukynältä. Tetraederinen dreidel (tunnetaan myös nimellä titotum) on tetraedrisen luun analogi. Pyörivän nuolen pelikenttä "Chutes & Ladders" -pelissä, jossa tulos voi olla 1-6, vastaa kuusisivuista noppia. Tietokoneen satunnaislukugeneraattori voi luoda minkä tahansa luvun välillä 1-19, jos suunnittelija antaa tällaisen komennon, vaikka tietokoneessa ei ole 19-sivuista noppaa (yleensä puhun enemmän todennäköisyydestä, että numerot putoavat tietokone osoitteessa Seuraava viikko). Vaikka kaikki nämä asiat näyttävät erilaisilta, ne ovat itse asiassa samanarvoisia: sinulla on yhtäläiset mahdollisuudet saada yksi useista tuloksista.

Nopalla on mielenkiintoisia ominaisuuksia, jotka meidän on tiedettävä. Ensinnäkin todennäköisyys, että kaikki kasvot tulevat esiin, on sama (oletan, että heittät oikeaa noppaa, et väärää geometriaa). Joten jos haluat tietää tarkoittaa rulla (tunnetaan myös todennäköisyyksien keskuudessa "matemaattisena odotuksena"), summaa kaikkien reunojen arvot ja jaa tämä summa määrä kasvot. Keskimääräinen telan arvo tavalliselle kuusisivuiselle muotille on 1+2+3+4+5+6 = 21, jaettuna pintojen lukumäärällä (6) ja saadaan keskiarvo 21/6 = 3,5. Tämä on erikoistapaus, koska oletamme, että kaikki tulokset ovat yhtä todennäköisiä.

Entä jos sinulla on erityisiä noppaa? Näin esimerkiksi pelin, jossa on kuusipuolinen noppa, jonka kasvoissa on erikoistarroja: 1, 1, 1, 2, 2, 3, joten se käyttäytyy kuin outo kolmipuolinen noppa, joka todennäköisemmin heittää numero 1 kuin 2 ja 2 kuin 3. Mikä on tämän nostan keskimääräinen heittoarvo? Joten 1+1+1+2+2+3 = 10 jaettuna 6:lla on 5/3 eli noin 1,66. Joten jos sinulla on tämä tietty noppaa ja pelaajat heittävät kolme noppaa ja laskevat sitten yhteen tulokset, tiedät, että heidän heittensä likimääräinen summa on noin 5, ja voit tasapainottaa peliä tämän oletuksen perusteella.

Noppa ja itsenäisyys

Kuten jo totesin, lähdemme olettamuksesta, että jokaisen kasvojen pudotus on yhtä todennäköinen. Se ei riipu siitä, kuinka monta noppaa heität. Jokainen nopan heitto riippumatta, mikä tarkoittaa, että edelliset rullat eivät vaikuta seuraavien telojen tuloksiin. Riittävällä määrällä testejä onnistut varmasti ilmoitus numeroiden "sarja", kuten enimmäkseen suurempien tai pienempien arvojen heittäminen tai muut ominaisuudet, ja puhumme siitä myöhemmin, mutta se ei tarkoita, että nopat ovat "kuumia" tai "kylmiä". Jos heität tavallisella kuusisivuisella noppaa ja numero 6 tulee esiin kahdesti peräkkäin, todennäköisyys, että seuraava heitto johtaa 6:een, on myös 1/6. Todennäköisyyttä ei lisää se, että kuutio "lämmitetään". Todennäköisyys ei pienene, koska numero 6 on pudonnut jo kahdesti peräkkäin, mikä tarkoittaa, että nyt putoaa toinen kasvot. (Tietenkin, jos heittät noppaa kaksikymmentä kertaa ja numero 6 tulee esiin joka kerta, todennäköisyys, että numero 6 tulee esiin 21. kerran, on melko suuri... koska se voi tarkoittaa, että sinulla on väärä noppaa !) Mutta jos sinulla on oikea noppaa, todennäköisyys putoaa jokaisesta kasvosta on sama riippumatta muiden heittojen tuloksista. Voit myös kuvitella, että joka kerta kun vaihdamme noppaa, joten jos numero 6 heitetään kahdesti peräkkäin, poista "kuuma" noppa pelistä ja vaihda se uudella kuusisivuisella noppalla. Pyydän anteeksi, jos joku teistä jo tiesi tästä, mutta minun piti selventää tätä ennen kuin jatkan.

Kuinka saada noppaa heittämään enemmän tai vähemmän satunnaisesti

Puhutaanpa siitä, kuinka saada erilaisia ​​tuloksia eri nopilla. Jos heittää noppaa vain kerran tai useita kertoja, peli tuntuu satunnaisemmalta, jos nopalla on enemmän reunoja. Mitä useammin heität noppaa tai mitä enemmän noppaa heität, sitä enemmän tulokset lähestyvät keskiarvoa. Jos esimerkiksi heittät 1d6+4 (eli tavallinen kuusipuolinen noppaa kerran ja lisää tulokseen 4), keskiarvo on luku väliltä 5 ja 10. Jos heittät 5d2, keskiarvo on myös välissä oleva luku. 5 ja 10. Mutta kun heitetään kuusisivuista noppaa, todennäköisyys saada numerot 5, 8 tai 10 on sama. 5d2 heiton tuloksena ovat enimmäkseen numerot 7 ja 8, harvemmin muita numeroita. Sama sarja, jopa sama keskiarvo (7,5 molemmissa tapauksissa), mutta satunnaisuuden luonne on erilainen.

Odota hetki. Enkö vain sanonut, että nopat eivät kuumene tai jäähdy? Ja nyt sanon, että jos heittää paljon noppaa, niin heittojen tulokset ovat lähempänä keskiarvoa? Miksi?

Anna minun selittää. Jos heität yksi noppaa, todennäköisyys putoaa jokaisesta kasvosta on sama. Tämä tarkoittaa, että jos heität paljon noppaa, ajan myötä jokainen kasvo nousee esiin suunnilleen saman määrän kertoja. Mitä enemmän noppaa heitetään, sitä enemmän kokonaistulos lähestyy keskiarvoa. Se ei johdu siitä, että rullattu numero "saa" heittää toisen numeron, joka ei ole vielä tullut esiin. Koska pieni 6s-putki (tai 20s tai mikä tahansa) ei pääty ole iso juttu, jos heittää noppaa vielä kymmenentuhatta kertaa ja se tulee enimmäkseen keskeltä...ehkä nyt sinulla on muutama numero. korkealla arvolla, mutta ehkä myöhemmin muutama pieni arvo, ja ajan myötä ne lähestyvät keskiarvoa. Ei siksi, että aiemmat heitot vaikuttavat noppiin (vakavasti, nopat on tehty muovi-, hänellä ei ole aivoja ajatella "oi, siitä on pitkä aika, kun 2 tuli esiin"), vaan koska näin yleensä tapahtuu monien nopanheittojen yhteydessä. Pieni sarja toistuvia lukuja on lähes näkymätön suuressa määrässä tuloksia.

Näin ollen on melko helppo laskea yhdelle satunnaiselle meistinheitolle, ainakin rullan keskiarvoa laskettaessa. On myös tapoja laskea "kuinka satunnainen" jokin on, tapa sanoa, että 1d6+4 heiton tulokset ovat "satunnaisempia" kuin 5d2, 5d2 heiton tulosten jakautuminen on tasaisempaa, yleensä lasket tämän keskihajonnan, ja mitä suurempi arvo, sitä satunnaisempia tulokset ovat, mutta tämä vaatii enemmän laskelmia kuin haluaisin tänään antaa (selitän tämän aiheen myöhemmin). Ainoa asia, jonka pyydän sinua tietämään, on se, että yleisesti ottaen mitä vähemmän noppaa heitetään, sitä satunnaisempaa. Ja vielä yksi lisäys tähän aiheeseen: mitä enemmän noppaa on, sitä enemmän satunnaisuutta, koska sinulla on enemmän vaihtoehtoja.

Kuinka laskea todennäköisyys laskennan avulla

Sinulla voi olla kysymys: kuinka voimme laskea tietyn tuloksen tarkan todennäköisyyden? Tämä on itse asiassa varsin tärkeää monissa peleissä, koska jos heittää noppaa, on todennäköisesti optimaalinen lopputulos aluksi. Vastaus on: meidän on laskettava kaksi arvoa. Laske ensin tulosten enimmäismäärä noppaa heittäessäsi (riippumatta siitä, mikä on lopputulos). Laske sitten myönteisten tulosten määrä. Jakamalla toisen arvon ensimmäisellä saat halutun todennäköisyyden. Saadaksesi prosenttiosuuden, kerro tulos 100:lla.

Esimerkkejä:

Tässä on hyvin yksinkertainen esimerkki. Haluat heittää 4 tai suuremman ja kuusisivuisen noppaa kerran. Tulosten enimmäismäärä on 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Näistä 3 tulosta (4, 5, 6) ovat suotuisia. Joten todennäköisyyden laskemiseksi jaamme 3:lla 6:lla ja saamme 0,5 tai 50%.

Tässä on esimerkki, joka on hieman monimutkaisempi. Haluat parillisen luvun 2d6-rullalle. Tulosten enimmäismäärä on 36 (6 kutakin noppaa kohden, ja koska yksi noppa ei vaikuta toiseen, kerromme 6 tulosta 6:lla ja saamme 36). Tämäntyyppisten kysymysten vaikeus on, että se on helppo laskea kahdesti. Esimerkiksi 2d6-heitolla 3:lla on itse asiassa kaksi mahdollista tulosta: 1+2 ja 2+1. Ne näyttävät samalta, mutta ero on siinä, mikä numero näkyy ensimmäisessä nopana ja mikä on toisessa. Voit myös kuvitella, että nopat ovat erivärisiä, joten esimerkiksi tässä tapauksessa yksi noppa on punainen ja toinen sininen. Laske sitten vaihtoehtojen määrä parillisen luvun saamiseksi: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2) +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Osoittautuu, että suotuisalle lopputulokselle on 18 vaihtoehtoa 36:sta, kuten edellisessä tapauksessa, todennäköisyys on 0,5 tai 50%. Ehkä odottamaton, mutta melko tarkka.

Monte Carlon simulaatio

Entä jos sinulla on liian monta noppaa tätä laskelmaa varten? Haluat esimerkiksi tietää, mikä on todennäköisyys heittää yhteensä 15 tai enemmän heitolla 8d6. Kahdeksalle nopalle on MONTA erilaista yksittäistä pisteitä, ja niiden käsin laskeminen kestäisi hyvin kauan. Vaikka löytäisimmekin hyvän ratkaisun erilaisten nopanheittojen ryhmittelyyn, sen laskeminen kestää silti hyvin kauan. Tässä tapauksessa helpoin tapa laskea todennäköisyys ei ole laskea käsin, vaan käyttää tietokonetta. On kaksi tapaa laskea todennäköisyys tietokoneella.

Ensimmäinen tapa voi saada tarkan vastauksen, mutta se vaatii hieman ohjelmointia tai komentosarjaa. Pohjimmiltaan tietokone käy läpi jokaisen mahdollisuuden, arvioi ja laskee iteraatioiden kokonaismäärän ja haluttua tulosta vastaavien iteraatioiden lukumäärän ja antaa sitten vastaukset. Koodisi saattaa näyttää tältä:

int wincount=0, totalcount=0;

for (int i=1; i<=6; i++) {

for (int j = 1; j<=6; j++) {

for (int k=1; k<=6; k++) {

… // lisää silmukoita tähän

jos (i+j+k+… >= 15) (

float todennäköisyys = voittomäärä/kokonaismäärä;

Jos et ole ohjelmoija ja haluat vain epätarkan mutta likimääräisen vastauksen, voit simuloida tätä tilannetta Excelissä, jossa rullaat 8d6 muutaman tuhannen kerran ja saat vastauksen. Voit rullata 1d6 Excelissä käyttämällä seuraavaa kaavaa:

FLOOR(RAND()*6)+1

On nimi tilanteelle, kun et tiedä vastausta ja yrität vain monta kertaa - Monte Carlon simulaatio, ja se on loistava ratkaisu, kun yrität laskea todennäköisyyttä ja se on liian monimutkaista. Hienoa on, että tässä tapauksessa meidän ei tarvitse ymmärtää, miten matematiikka toimii, ja tiedämme, että vastaus on "melko hyvä", koska kuten jo tiedämme, mitä enemmän heittoja, sitä enemmän tulos lähestyy keskiarvo.

Kuinka yhdistää itsenäisiä kokeita

Jos kysyt useista toistuvista mutta riippumattomista kokeista, yhden heiton tulos ei vaikuta muiden heittojen tuloksiin. Tälle tilanteelle on toinenkin yksinkertaisempi selitys.

Kuinka erottaa riippuvainen ja riippumaton? Periaatteessa, jos voit eristää jokaisen nostan (tai telojen sarjan) erillisenä tapahtumana, se on riippumaton. Esimerkiksi, jos haluamme heittää yhteensä 15 heittämällä 8d6, tätä tapausta ei voi jakaa useisiin itsenäisiin noppien heittoon. Koska lasket tuloksen kaikkien noppien arvojen summaa, yhdellä noppaa heitetty tulos vaikuttaa tuloksiin, jotka pitäisi heittää muilla noppilla, koska vain summaamalla kaikki arvot saat haluttu tulos.

Tässä on esimerkki itsenäisistä heitoista: pelaat noppapeliä ja heität kuusisivuista noppaa useita kertoja. Pysyäksesi pelissä sinun on heittävä 2 tai suurempi ensimmäisellä heitollasi. Toiselle rullalle 3 tai enemmän. Kolmas vaatii 4 tai enemmän, neljäs vaatii 5 tai enemmän, viides vaatii 6. Jos kaikki viisi heittoa onnistuvat, voitat. Tässä tapauksessa kaikki heitot ovat itsenäisiä. Kyllä, jos yksi heitto epäonnistuu, se vaikuttaa koko pelin lopputulokseen, mutta yksi heitto ei vaikuta toiseen heittoon. Jos esimerkiksi toinen nopanheitto onnistuu hyvin, tämä ei vaikuta todennäköisyyteen, että seuraavat heitot onnistuvat yhtä hyvin. Siksi voimme tarkastella jokaisen nopanheiton todennäköisyyttä erikseen.

Jos sinulla on erilliset, riippumattomat todennäköisyydet ja haluat tietää mikä on sen todennäköisyys kaikki tapahtumia tulee, määrität jokaisen yksittäisen todennäköisyyden ja kerrot ne. Toinen tapa: jos käytät konjunktiota "ja" kuvaamaan useita ehtoja (esimerkiksi mikä on jonkin satunnaisen tapahtuman todennäköisyys ja jokin muu riippumaton satunnainen tapahtuma?), laske yksittäiset todennäköisyydet ja kerro ne.

Sillä ei ole väliä mitä ajattelet ei milloinkaanÄlä summaa riippumattomia todennäköisyyksiä. Tämä on yleinen virhe. Ymmärtääksesi miksi tämä on väärin, kuvittele tilanne, jossa käännät kolikon 50/50 ja haluat tietää, mikä on todennäköisyys saada päitä kahdesti peräkkäin. Kummallakin puolella on 50 %:n todennäköisyys nousta, joten jos lisäät kaksi todennäköisyyttä, saat 100 %:n todennäköisyyden nousta ylös, mutta tiedämme, että se ei ole totta, koska kaksi peräkkäistä häntää voi syntyä. Jos sen sijaan kerrot nämä kaksi todennäköisyyttä, saat 50% * 50% = 25%, mikä on oikea vastaus laskettaessa todennäköisyyttä saada päät kahdesti peräkkäin.

Esimerkki

Palataanpa kuusipuoliseen noppapeliin, jossa sinun täytyy ensin heittää numero, joka on suurempi kuin 2, sitten suurempi kuin 3 ja niin edelleen. enintään 6. Mitkä ovat todennäköisyys, että tietyssä 5 heiton sarjassa kaikki tulokset ovat suotuisia?

Kuten edellä mainittiin, nämä ovat itsenäisiä kokeita, joten laskemme kunkin yksittäisen heiton todennäköisyyden ja kerromme ne sitten. Todennäköisyys, että ensimmäisen heiton lopputulos on myönteinen, on 5/6. Toinen - 4/6. Kolmas - 3/6. Neljäs - 2/6, viides - 1/6. Kertomalla kaikki nämä tulokset, saamme noin 1,5%… Tämän pelin voittaminen on siis melko harvinaista, joten jos lisäät tämän elementin peliisi, tarvitset melko suuren jättipotin.

Kielteisyys

Tässä on toinen hyödyllinen vihje: joskus on vaikeaa laskea tapahtuman todennäköisyyttä, mutta on helpompi määrittää, mikä on tapahtuman todennäköisyys. eivät tule.

Oletetaan esimerkiksi, että meillä on toinen peli ja sinä heittät 6d6 ja jos ainakin kerran heittää 6, sinä voitat. Mikä on todennäköisyys voittaa?

Tässä tapauksessa on monia vaihtoehtoja harkittavaksi. Ehkä yksi numero 6 putoaa pois, ts. yksi nopista heittää 6 ja muut 1-5, ja on 6 vaihtoehtoa kumpi nopista heittää 6. Sitten voit heittää 6 kahdella noppaa, kolmella tai jopa useammalla, ja joka kerta meidän on tehtävä erillinen laskelma, joten se on helppo hämmentyä.

Mutta on toinenkin tapa ratkaista tämä ongelma, katsotaanpa sitä toiselta puolelta. Sinä menettää jos ei mitään numero 6 ei putoa nopasta. Tässä tapauksessa meillä on kuusi riippumatonta koetta, joista jokaisen todennäköisyys on 5/6 (noppaan voi pudota mikä tahansa muu luku kuin 6). Kerro ne ja saat noin 33%. Eli häviämisen todennäköisyys on 1-3.

Siksi voiton todennäköisyys on 67 % (tai 2-3).

Tästä esimerkistä on selvää, että jos lasket todennäköisyyttä, että tapahtumaa ei tapahdu, vähennä tulos 100 %:sta. Jos voiton todennäköisyys on 67%, niin todennäköisyys menettää — 100% miinus 67 % tai 33 %. Ja päinvastoin. Jos yhden todennäköisyyden laskeminen on vaikeaa, mutta päinvastaisen laskeminen helppoa, laske päinvastoin ja vähennä sitten 100%.

Yhteysehdot yhdelle riippumattomalle testille

Sanoin vähän aiemmin, että todennäköisyyksiä ei pidä koskaan laskea yhteen riippumattomissa kokeissa. Onko tapauksia, joissa voi summaa todennäköisyydet? Kyllä, yhdessä tietyssä tilanteessa.

Jos haluat laskea useiden, toisiinsa liittymättömien, suotuisten tulosten todennäköisyyden samassa kokeessa, laske kunkin suotuisan tuloksen todennäköisyydet yhteen. Esimerkiksi todennäköisyys heittää 4, 5 tai 6 1d6:lla on summa todennäköisyys heittää 4, todennäköisyys heittää 5 ja todennäköisyys heittää 6. Voit ajatella tätä tilannetta myös seuraavasti: jos käytät konjunktiota "tai" todennäköisyyttä koskevassa kysymyksessä (esim. on todennäköisyys tai yhden satunnaisen tapahtuman erilainen lopputulos?), laske yksittäiset todennäköisyydet ja laske ne yhteen.

Huomaa, että kun summaat kaikki mahdolliset tulokset pelissä kaikkien todennäköisyyksien summan on oltava 100 %. Jos summa ei ole 100%, laskelmasi on tehty väärin. Tämä on hyvä tapa tarkistaa laskelmasi uudelleen. Esimerkiksi, olet analysoinut todennäköisyyttä saada kaikki yhdistelmät pokerissa, jos lasket yhteen kaikki tulokset, sinun pitäisi saada tasan 100% (tai ainakin arvo melko lähellä 100%, jos käytät laskinta, sinulla voi olla pieni pyöristysvirhe, mutta jos lasket tarkat luvut käsin, kaiken pitäisi laskea yhteen). Jos summa ei lähenty, et todennäköisesti ottanut huomioon joitain yhdistelmiä tai olet laskenut joidenkin yhdistelmien todennäköisyydet väärin, ja sitten sinun on tarkistettava laskelmasi.

Epätasaiset todennäköisyydet

Tähän asti olemme olettaneet, että meistin jokainen pinta putoaa samalla taajuudella, koska näin meisti toimii. Mutta joskus kohtaat tilanteen, jossa erilaiset tulokset ovat mahdollisia ja ne eri pudota mahdollisuudet. Esimerkiksi korttipelin "Nuclear War" yhdessä laajennuksessa on pelikenttä nuolella, joka määrittää ohjuksen laukaisun tuloksen: se aiheuttaa periaatteessa normaalia vahinkoa, enemmän tai vähemmän vahinkoa, mutta joskus vahinko on kaksinkertaistuu tai kolminkertaistuu, tai raketti räjähtää laukaisualustalla ja vahingoittaa sinua, tai tapahtuu jokin muu tapahtuma. Toisin kuin nuolilaudalla "Chutes & Ladders"- tai "A Game of Life" -pelissä, "Nuclear War" -laudan tulokset ovat eriarvoisia. Jotkut pelikentän osat ovat suurempia ja nuoli pysähtyy niihin paljon useammin, kun taas toiset osat ovat hyvin pieniä ja nuoli pysähtyy niihin harvoin.

Joten ensi silmäyksellä luu näyttää tältä: 1, 1, 1, 2, 2, 3; olemme jo puhuneet siitä, se on jotain painotettua 1d3:a, joten meidän on jaettava kaikki nämä osat yhtä suuriin osiin, löydettävä pienin mittayksikkö, joka on sen kerrannainen, ja sitten esitettävä tilanne muodossa d522 (tai jokin muu ), jossa nopan kasvot näyttävät saman tilanteen, mutta suuremmalla määrällä tuloksia. Ja tämä on yksi tapa ratkaista ongelma, ja se on teknisesti toteutettavissa, mutta on olemassa helpompi tapa.

Palataan normaaliin kuusisivuiseen noppiimme. Sanoimme, että normaalin nopan heiton keskiarvon laskemiseksi sinun on laskettava kaikkien kasvojen arvot yhteen ja jaettava ne kasvojen lukumäärällä, mutta miten tarkalleen onko laskenta käynnissä? Voit ilmaista sen eri tavalla. Kuusisivuisella noppalla todennäköisyys, että jokainen kasvo nousee esiin, on täsmälleen 1/6. Nyt kerrotaan Exodus jokainen reuna päällä todennäköisyys tämä tulos (tässä tapauksessa 1/6 jokaiselle pinnalle), laske sitten yhteen saadut arvot. Joten summaamalla (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6), saamme saman tuloksen (3.5) kuin yllä olevassa laskelmassa. Itse asiassa laskemme tämän joka kerta: kerromme jokaisen tuloksen kyseisen tuloksen todennäköisyydellä.

Voimmeko tehdä saman laskelman nuolelle pelikentällä "Nuclear War" -pelissä? Tietenkin me voimme. Ja jos summaamme kaikki löydetyt tulokset, saamme keskiarvon. Meidän tarvitsee vain laskea kunkin tuloksen todennäköisyys pelikentällä olevalle nuolelle ja kertoa tuloksella.

Toinen esimerkki

Tämä keskiarvon laskentamenetelmä, jossa jokainen tulos kerrotaan sen yksittäisellä todennäköisyydellä, on myös sopiva, jos tulokset ovat yhtä todennäköisiä, mutta niillä on erilaisia ​​etuja, kuten jos heittät noppaa ja voitat enemmän joillakin puolilla kuin toisilla. Otetaan esimerkiksi peli, joka tapahtuu kasinolla: panostetaan ja heitetään 2d6. Jos esiin tulee kolme pieniarvoista numeroa (2, 3, 4) tai neljä suurta arvoa (9, 10, 11, 12), voitat panoksesi verran. Pienimmän ja suurimman arvon omaavat numerot ovat erityisiä: jos 2 tai 12 heittoa, voitat kaksi kertaa niin paljon kuin tarjouksesi. Jos jokin muu numero ilmestyy (5, 6, 7, 8), menetät vetosi. Tämä on melko yksinkertainen peli. Mutta mikä on todennäköisyys voittaa?

Aloitetaan laskemalla kuinka monta kertaa voit voittaa:

• Maksimitulosten määrä 2d6 heitolla on 36. Mikä on suotuisten tulosten määrä?
• On 1 vaihtoehto, että kaksi putoaa ja 1 vaihtoehto, että kaksitoista putoaa.
• Kolmen ja yhdentoista heittämiseen on kaksi vaihtoehtoa.
• Neljän heittämiseen on 3 vaihtoehtoa ja kymmenen heittämiseen kolme vaihtoehtoa.
• Valittavana on 4 vaihtoehtoa yhdeksään.
• Kun kaikki vaihtoehdot summataan, saamme myönteisten tulosten lukumäärän 16/36.

Näin ollen normaaleissa olosuhteissa voitat 16 kertaa 36 mahdollisesta... voiton todennäköisyys on hieman alle 50%.

Mutta kahdessa tapauksessa näistä 16:sta voitat kaksi kertaa niin paljon, ts. se on kuin voittaisi kahdesti! Jos pelaat tätä peliä 36 kertaa, panostat 1 dollarilla joka kerta ja jokainen mahdollinen lopputulos saavutetaan kerran, voitat yhteensä 18 dollaria (itse asiassa voitat 16 kertaa, mutta kaksi niistä lasketaan kahdeksi voitoksi). Jos pelaat 36 kertaa ja voitat 18 dollaria, eikö se tarkoita, että se on tasainen mahdollisuus?

Ei kiirettä. Jos lasket kuinka monta kertaa voit hävitä, saat 20, ei 18. Jos pelaat 36 kertaa ja panostat 1 dollarilla joka kerta, voitat yhteensä 18 dollaria kaikilla kertoimilla... mutta häviät yhteensä 20 dollaria kaikista 20 huonosta tuloksesta! Tämän seurauksena olet hieman jäljessä: menetät keskimäärin 2 dollaria netto jokaista 36 pelattua peliä kohden (voit myös sanoa, että menetät keskimäärin 1/18 dollaria päivässä). Nyt näet kuinka helppoa tässä tapauksessa on tehdä virhe ja laskea todennäköisyys väärin!

Permutaatio

Toistaiseksi olemme olettaneet, että numeroiden heittojärjestyksellä ei ole väliä noppaa heittäessä. 2+4 rulla on sama kuin 4+2 rulla. Useimmissa tapauksissa laskemme suotuisat tulokset manuaalisesti, mutta joskus tämä menetelmä on epäkäytännöllinen ja on parempi käyttää matemaattista kaavaa.

Esimerkki tästä tilanteesta on noppapelistä "Farkle". Jokaisella uudella kierroksella heitetään 6d6. Jos olet onnekas ja kaikki mahdolliset 1-2-3-4-5-6 (suora) tulokset tulevat esiin, saat suuren bonuksen. Mikä on todennäköisyys, että näin tapahtuu? Tässä tapauksessa tämän yhdistelmän menettämiseen on monia vaihtoehtoja!

Ratkaisu on seuraava: yhden noppaa (ja vain yhden) täytyy heittää numero 1! Kuinka monta tapaa saada numero 1 yhdelle noppalle? Kuusi, koska noppaa on kuusi, ja mikä tahansa niistä voi saada numeron 1. Ota yksi noppa ja aseta se sivuun. Nyt luvun 2 pitäisi pudota jollekin jäljellä olevista nopista. Tähän on viisi vaihtoehtoa. Ota toinen noppa ja aseta se sivuun. Sitten seuraa, että neljä jäljellä olevista nopista voi heittää 3:n, kolme jäljellä olevista nopista voi heittää 4:n, kaksi jäljellä olevista nopista voi heittää 5:n ja päädyt yhteen noppaa, jonka täytyy heittää 6 (jälkimmäisessä tapauksessa on vain yksi noppa, eikä vaihtoehtoja ole). Laskeaksemme myönteisten tulosten määrän suoralle yhdistelmälle, kerromme kaikki erilaiset itsenäiset vaihtoehdot: 6x5x4x3x2x1 = 720 - näyttää siltä, ​​että tälle yhdistelmälle on olemassa melko paljon vaihtoehtoja.

Laskeaksemme suoran yhdistelmän saamisen todennäköisyyden, meidän on jaettava 720 kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärällä heittämällä 6d6. Mikä on kaikkien mahdollisten tulosten lukumäärä? Jokainen noppa voi laskea 6 kasvoa, joten kerromme 6x6x6x6x6x6 = 46656 (paljon suurempi luku!). Jaamme 720/46656 ja saamme todennäköisyyden, joka on noin 1,5 %. Jos suunnittelet tätä peliä, sinun olisi hyödyllistä tietää tämä, jotta voit luoda sopivan pisteytysjärjestelmän. Nyt ymmärrämme, miksi pelissä "Farkle" saat niin suuren bonuksen, jos saat yhdistelmän "suora", koska tämä tilanne on melko harvinainen!

Tulos on mielenkiintoinen myös toisesta syystä. Esimerkki osoittaa, kuinka harvoin todennäköisyyttä vastaava tulos todella putoaa lyhyessä ajassa. Tietysti, jos heitimme useita tuhansia noppaa, nopan eri puolia nousi esiin melko usein. Mutta kun heitämme vain kuusi noppaa, melkein ei milloinkaan ei tapahdu, että jokainen kasvot putoaa ulos! Tästä eteenpäin käy selväksi, että on typerää odottaa, että nyt putoaisi toinen kasvo, joka ei ole vielä pudonnut, ”koska emme ole pudonneet numeroa 6 pitkään aikaan, eli se putoaa nyt. ”

Katso, satunnaislukugeneraattorisi on rikki...

Tämä johtaa meidät yleiseen väärinkäsitykseen todennäköisyydestä: olettamukseen, että kaikki tulokset tulevat samalla taajuudella. lyhyen ajan kuluessa, mikä ei itse asiassa pidä paikkaansa. Jos heitämme noppaa useita kertoja, jokaisen kasvon taajuus ei ole sama.

Jos olet aiemmin työskennellyt online-pelin parissa jonkinlaisella satunnaislukugeneraattorilla, olet todennäköisesti kohdannut tilanteen, jossa pelaaja kirjoittaa tekniseen tukeen sanoakseen, että satunnaislukugeneraattorisi on rikki eikä näytä satunnaislukuja, ja hän tuli tähän johtopäätökseen, koska hän tappoi juuri 4 hirviötä peräkkäin ja sai 4 täsmälleen samat palkinnot, ja näiden palkintojen pitäisi pudota vain 10 % ajasta, joten tämä Melkein ikinä ei pitäisi tapahtua, mikä tarkoittaa sitä ilmeisesti että satunnaislukugeneraattorisi on rikki.

Teet matematiikkaa. 1/10*1/10*1/10*1/10 vastaa 1:10 000, mikä tarkoittaa, että se on melko harvinaista. Ja sitä pelaaja yrittää kertoa sinulle. Onko tässä tapauksessa ongelma?

Kaikki riippuu olosuhteista. Kuinka monta pelaajaa palvelimellasi on nyt? Oletetaan, että sinulla on melko suosittu peli ja 100 000 ihmistä pelaa sitä päivittäin. Kuinka monta pelaajaa tappaa neljä hirviötä peräkkäin? Mikä tahansa on mahdollista, useita kertoja päivässä, mutta oletetaan, että puolet heistä vain käy kauppaa eri esineillä huutokaupoissa tai chattailee RP-palvelimilla tai tekee muuta pelitoimintaa, joten vain puolet heistä todella metsästää hirviöitä. Mikä on todennäköisyys, että joku putoaako sama palkinto? Tässä tilanteessa voit odottaa, että sama palkinto voi pudota ainakin useita kertoja päivässä!

Muuten, siksi se näyttää ainakin muutaman viikon välein joku voittaa lotossa, vaikka se joku ei milloinkaan sinä tai ystäväsi ette tule. Jos tarpeeksi ihmisiä pelaa joka viikko, mahdollisuudet ovat vähintäänkin yksi onnekas... mutta jos sinä pelaat lotossa, et todennäköisesti voitat työpaikan Infinity Wardissa.

Kartat ja riippuvuus

Olemme keskustelleet itsenäisistä tapahtumista, kuten nopan heittämisestä, ja nyt tiedämme monia tehokkaita työkaluja satunnaisuuden analysointiin monissa peleissä. Todennäköisyyslaskenta on hieman monimutkaisempi korttien nostamisessa pakasta, koska jokainen nostamamme kortti vaikuttaa pakassa jäljellä oleviin korteihin. Jos sinulla on tavallinen 52 kortin pakka ja vedät esimerkiksi 10 sydäntä ja haluat tietää todennäköisyyden, että seuraava kortti on samaa maata, todennäköisyys on muuttunut, koska olet jo poistanut yhden sydänkortin kansi. Jokainen poistamasi kortti muuttaa pakassa seuraavan kortin todennäköisyyttä. Koska tässä tapauksessa edellinen tapahtuma vaikuttaa seuraavaan, kutsumme tätä todennäköisyydeksi riippuvainen.

Huomaa, että kun sanon "kortit", tarkoitan minkä tahansa pelimekaniikka, jossa on joukko esineitä ja poistat yhden esineistä vaihtamatta sitä, "korttipakka" on tässä tapauksessa analoginen pelimerkkipussille, josta poistat yhden pelimerkin etkä vaihda sitä, tai uurna, josta poistat värilliset marmorit (itse asiassa en ole koskaan nähnyt peliä, josta olisi otettu uurna värillisillä marmoreilla, mutta näyttää siltä, ​​että todennäköisyysopettajat pitävät tästä esimerkistä jostain syystä).

Riippuvuusominaisuudet

Haluaisin selventää, että kun on kyse korteista, oletan, että nostat kortit, katsot niitä ja poistat ne pakasta. Jokainen näistä toimista on tärkeä ominaisuus.

Jos minulla olisi esimerkiksi kuuden kortin pakka, joiden numerot ovat 1-6, ja sekoitin ne ja vedin yhden kortin ja sitten sekoittaisin kaikki kuusi korttia uudelleen, se olisi sama kuin heittää kuusipuolista noppaa; yksi tulos ei vaikuta seuraavaan. Vain jos nostan kortteja enkä vaihda niitä, kortin numerolla 1 nostamisen tulos lisää todennäköisyyttä, että seuraavan kerran kun vedän kortin numerolla 6 (todennäköisyys kasvaa, kunnes nostan tämän kortin lopulta tai kunnes Sekoitan kortit).

Se, että me me katsomme korteissa on myös tärkeää. Jos otan kortin pakasta enkä katso sitä, minulla ei ole mitään lisätietoa eikä todennäköisyys itse asiassa muutu. Tämä saattaa kuulostaa epäloogiselta. Kuinka pelkkä kortin kääntäminen voi maagisesti muuttaa kertoimia? Mutta se on mahdollista, koska voit laskea tuntemattomien kohteiden todennäköisyyden vain sen perusteella, että sinä sinä tiedät. Jos esimerkiksi sekoitat tavallisen korttipakan, paljastat 51 korttia, joista yksikään ei ole mailojen kuningatar, tiedät 100 %:n varmuudella, että jäljellä oleva kortti on mailojen kuningatar. Jos sekoitat tavallisen korttipakan ja nostat 51 korttia, huolimatta todennäköisyys, että jäljellä oleva kortti on mailien kuningatar, on silti 1/52. Kun avaat jokaisen kortin, saat lisätietoja.

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyden laskeminen noudattaa samoja periaatteita kuin riippumattomille tapahtumille, paitsi että se on hieman monimutkaisempaa, koska todennäköisyydet muuttuvat, kun paljastat kortit. Siksi sinun on kerrottava useita eri arvoja saman arvon kertomisen sijaan. Itse asiassa tämä tarkoittaa, että meidän on yhdistettävä kaikki tekemämme laskelmat yhdeksi yhdistelmäksi.

Esimerkki

Sekoitat tavallisen 52 kortin pakan ja vedät kaksi korttia. Millä todennäköisyydellä otat parin? On olemassa useita tapoja laskea tämä todennäköisyys, mutta ehkä yksinkertaisin on seuraava: mikä on todennäköisyys, että jos nostat yhden kortin, et pysty nostamaan paria? Tämä todennäköisyys on nolla, joten sillä ei ole oikeastaan ​​väliä, minkä ensimmäisen kortin vedät, kunhan se vastaa toista. Riippumatta siitä, minkä kortin vedämme ensin, meillä on silti mahdollisuus vetää pari, joten todennäköisyys, että voimme vetää parin ensimmäisen kortin nostamisen jälkeen, on 100%.

Millä todennäköisyydellä toinen kortti vastaa ensimmäistä? Pakassa on 51 korttia jäljellä ja niistä 3 vastaa ensimmäistä korttia (itse asiassa se olisi ollut 4/52, mutta olet jo poistanut yhden vastaavista korteista, kun nostit ensimmäisen kortin!), joten todennäköisyys on 1 /17. (Joten seuraavan kerran, kun kaveri pöydän toisella puolella pelaa Texas Hold'emia, sanoo: "Hienoa, toinen pari? Olen tänään onnekas", tiedät, että on melko suuri mahdollisuus, että hän bluffaa.)

Mitä jos lisäämme kaksi jokeria ja nyt meillä on 54 korttia pakassa ja haluamme tietää, mikä on todennäköisyys nostaa pari? Ensimmäinen kortti voi olla Jokeri, ja sitten pakassa on vain yksi kortti, ei kolme, jotka sopivat. Kuinka löytää todennäköisyys tässä tapauksessa? Jaamme todennäköisyydet ja kerromme jokainen mahdollisuus.

Ensimmäinen korttimme voi olla jokeri tai jokin muu kortti. Jokerin nostamisen todennäköisyys on 2/54, jonkin muun kortin nostamisen todennäköisyys on 52/54.

Jos ensimmäinen kortti on jokeri (2/54), todennäköisyys, että toinen kortti vastaa ensimmäistä, on 1/53. Arvojen kertominen (voimme kertoa ne, koska ne ovat erillisiä tapahtumia ja haluamme molemmat tapahtumia) ja saamme 1/1431 - alle prosentin kymmenesosan.

Jos vedät ensin jonkin toisen kortin (52/54), toisen kortin todennäköisyys on 3/53. Kerromme arvot ja saamme 78/1431 (hieman yli 5,5%).

Mitä teemme näillä kahdella tuloksella? Ne eivät leikkaa toisiaan, ja haluamme tietää todennäköisyyden kaikille niistä, joten summaamme arvot! Saamme lopputuloksen 79/1431 (vielä noin 5,5%).

Jos halusimme olla varmoja vastauksen oikeellisuudesta, voisimme laskea kaikkien muiden mahdollisten tulosten todennäköisyyden: jokerin piirtäminen ja toinen kortti ei täsmää tai toisen kortin nostaminen ja toinen kortti ei täsmää, ja ne kaikki summaa. voiton todennäköisyydellä saisimme täsmälleen 100 %. En anna matematiikkaa tässä, mutta voit kokeilla matematiikkaa tarkistaaksesi.

Monty Hallin paradoksi

Tämä vie meidät melko kuuluisaan paradoksiin, joka usein hämmentää monia, Monty Hallin paradoksiin. Paradoksi on nimetty Monty Hallin mukaan, TV-ohjelman Let's Make a Deal juontaja. Jos et ole koskaan nähnyt tätä ohjelmaa, se oli vastakohta TV-ohjelmalle "The Price Is Right". "The Price Is Right" -sarjan isäntä (entinen Bob Barker, nyt se on… Drew Carey? Joka tapauksessa…) on ystäväsi. Hän haluaa voit voittaa rahaa tai upeita palkintoja. Se yrittää antaa sinulle kaikki mahdollisuudet voittaa, kunhan voit arvata, kuinka paljon sponsoroidut tuotteet ovat todella arvokkaita.

Monty Hall käyttäytyi eri tavalla. Hän oli kuin Bob Barkerin paha kaksos. Hänen tavoitteenaan oli saada sinut näyttämään idiootilta kansallisessa televisiossa. Jos olit ohjelmassa, hän oli vastustajasi, pelasit häntä vastaan ​​ja kertoimet olivat hänen puolellaan. Ehkä olen ankara, mutta kun mahdollisuus tulla valituksi vastustajaksi näyttää olevan suoraan verrannollinen siihen, onko sinulla yllään naurettava puku vai ei, tulen samanlaisiin johtopäätöksiin.

Mutta yksi esityksen kuuluisimmista meemeistä oli tämä: edessäsi oli kolme ovea, ja niitä kutsuttiin Ovi numero 1, Ovi numero 2 ja Ovi numero 3. Voit valita minkä tahansa oven... ilmaiseksi! Yhden oven takana oli upea palkinto, esimerkiksi uusi auto. Muiden ovien takana ei ollut palkintoja, näillä kahdella ovella ei ollut arvoa. Heidän tavoitteenaan oli nöyryyttää sinua, joten heidän takanaan ei ollut mitään, heidän takanaan oli jotain, joka näytti tyhmältä, kuten vuohi heidän takanaan tai valtava hammastahnaputki tai jotain... jotain, mikä tarkalleen oli. ei uusi auto.

Valitsit yhden ovista ja Monty aikoi avata sen kertoakseen, voititko vai et... mutta odota, ennen kuin tiedämme katsotaanpa yhtä nuo ovi sinua ei valittu. Koska Monty tietää, minkä oven takana palkinto on, ja palkintoja on vain yksi ja kaksi ovet, joita et ole valinnut, vaikka mitä, hän voi aina avata oven, jonka takana ei ole palkintoa. "Valitsetko oven numero 3? Avataan sitten ovi 1 osoittaaksemme, ettei sen takana ollut palkintoa." Ja nyt, anteliaisuudesta, hän tarjoaa sinulle mahdollisuuden vaihtaa valitsemasi ovi nro 3 oven nro 2 takana olevaan. Tässä tulee esiin kysymys todennäköisyydestä: lisääkö vai pienentääkö mahdollisuus valita eri ovi voittomahdollisuus vai pysyykö se samana? Mitä mieltä sinä olet?

Oikea vastaus: kyky valita toinen ovi lisääntyy voiton todennäköisyys 1/3 - 2/3. Tämä on epäloogista. Jos et ole aiemmin törmännyt tähän paradoksiin, luultavasti ajattelet: odota, avaamalla yhden oven, muutimme maagisesti todennäköisyyttä? Mutta kuten näimme yllä olevassa karttaesimerkissä, tämä on tarkalleen mitä tapahtuu, kun saamme lisätietoja. On selvää, että voiton todennäköisyys ensimmäisellä kerralla on 1/3, ja luulen, että kaikki ovat samaa mieltä. Kun yksi ovi avautuu, se ei muuta ensimmäisen valinnan voiton todennäköisyyttä ollenkaan, todennäköisyys on silti 1/3, mutta tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että toinen ovi oikea on nyt 2/3.

Katsotaanpa tätä esimerkkiä toiselta puolelta. Valitset oven. Voiton todennäköisyys on 1/3. Suosittelen vaihtamaan kaksi muita ovia, mitä Monty Hall itse asiassa ehdottaa. Tietenkin hän avaa yhden ovista osoittaakseen, ettei sen takana ole palkintoa, mutta hän aina voi tehdä niin, joten se ei oikeastaan ​​muuta mitään. Tietenkin haluat valita toisen oven!

Jos et täysin ymmärrä tätä ongelmaa ja tarvitset vakuuttavamman selityksen, napsauta tätä linkkiä päästäksesi mahtavaan pieneen Flash-sovellukseen, jonka avulla voit tutkia tätä paradoksia yksityiskohtaisemmin. Voit aloittaa noin 10 ovella ja siirtyä sitten vähitellen kolmen oven peliin. Siellä on myös simulaattori, jossa voit valita minkä tahansa määrän ovia 3-50 ja pelata tai ajaa useita tuhansia simulaatioita ja nähdä kuinka monta kertaa voittaisit, jos pelaisit.

Huomautus korkeamman matematiikan opettajalta ja pelitasapainon asiantuntijalta Maxim Soldatovilta, jota Schreiberillä ei tietenkään ollut, mutta jota ilman tätä maagista muutosta on melko vaikea ymmärtää:

Valitse ovi, yksi kolmesta, "voiton" todennäköisyys 1/3. Nyt sinulla on 2 strategiaa: muuta valintaa väärän oven avaamisen jälkeen vai et. Jos et muuta valintaasi, todennäköisyys pysyy 1/3, koska valinta on vain ensimmäisessä vaiheessa, ja sinun on heti arvattava, mutta jos muutat, voit voittaa, jos valitset väärän oven ensin ( sitten he avaavat toisen väärän, pysyy totta, muutat päätöstä, tee se)
Todennäköisyys valita väärä ovi alussa on 2/3, joten käy ilmi, että muuttamalla päätöstäsi lisäät voiton todennäköisyyttä 2 kertaa

Monty Hallin paradoksiin tutustuminen

Mitä tulee itse esitykseen, Monty Hall tiesi tämän, koska vaikka hänen vastustajansa eivät olisi hyviä matematiikassa, hän ymmärtää häntä hyvin. Tässä on mitä hän teki muuttaakseen peliä hieman. Jos valitsit oven, jonka takana palkinto oli, jonka todennäköisyys on 1/3, se aina tarjosi sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi. Koska valitsit auton ja vaihdat sen vuohiksi ja näytät aika tyhmältä, mitä hän juuri tarvitsee, koska hän on tavallaan ilkeä kaveri. Mutta jos valitset oven jonka takana palkintoa ei tule, vain puoli sellaisissa tapauksissa hän kehottaa sinua valitsemaan toisen oven, ja muissa tapauksissa hän yksinkertaisesti näyttää sinulle uuden vuohisi ja sinä poistut paikalta. Analysoidaan tämä uusi peli, missä Monty Hall voi valita antaa sinulle mahdollisuuden valita toinen ovi tai ei.

Oletetaan, että hän noudattaa tätä algoritmia: jos valitset oven, jolla on palkinto, hän tarjoaa sinulle aina mahdollisuuden valita toinen ovi, muuten todennäköisyys, että hän tarjoaa sinulle toisen oven tai antaa sinulle vuohen, on 50/50. Mikä on todennäköisyys voittaa?

Yhdessä kolmesta vaihtoehdosta valitset heti oven, jonka takana palkinto sijaitsee, ja isäntä kutsuu sinua valitsemaan toisen oven.

Jäljellä olevista kahdesta vaihtoehdosta kolmesta (valitset aluksi oven, jolla ei ole palkintoa) puolet ajasta isäntä pyytää sinua valitsemaan toisen oven, ja toisella puolella ajasta se ei tee. Puolet 2/3:sta on 1/3, ts. yhdessä tapauksessa kolmesta saat vuohen, yhdessä tapauksessa kolmesta valitset väärän oven ja isäntä pyytää sinua valitsemaan toisen ja yhdessä tapauksessa kolmesta valitset oikea ovi ja hän kehottaa sinua valitsemaan toisen oven.

Jos isäntä ehdottaa toisen oven valintaa, tiedämme jo, että yksi kolmesta tapauksesta, jolloin hän antaa meille vuohen ja me lähdemme, ei tapahtunut. Tämä on hyödyllistä tietoa, koska se tarkoittaa, että voittomahdollisuutemme ovat muuttuneet. Kaksi kolmesta kertaa meillä on valinta, yhdessä tapauksessa se tarkoittaa, että arvasimme oikein, ja toisessa tapauksessa se tarkoittaa, että arvasimme väärin, joten jos meille tarjottiin vaihtoehtoa, se tarkoittaa, että voittomme todennäköisyys on 50 / 50, eikä ole matemaattinen etuja, pysy valintasi mukana tai valitse toinen ovi.

Kuten pokeri, se on nyt psykologinen peli, ei matemaattinen. Monty tarjosi sinulle valinnanvaraa, koska hän pitää sinua tyhmänä, joka ei tiedä, että toisen oven valitseminen on "oikea" päätös ja että pysyt valinnassasi, koska psykologisesti tilanne on, kun valitset auton, ja sitten menetti sen, vaikeampaa? Vai pitääkö hän sinua älykkäänä ja valitsetko toisen oven, ja hän tarjoaa sinulle tämän mahdollisuuden, koska hän tietää, että arvasit oikein ensimmäisellä kerralla ja jäät koukkuun ja loukkuun? Tai ehkä hän on epätyypillisen ystävällinen itselleen ja pakottaa sinua tekemään jotain henkilökohtaisten etujen mukaisesti, koska hän ei ole lahjoittanut autoa pitkään aikaan ja hänen tuottajansa kertovat hänelle, että yleisö alkaa kyllästyä ja hänen on parasta antaa pian iso palkinto. jotta arvosanat eivät laske?

Siten Monty onnistuu tarjoamaan valinnan (joskus) ja yleinen voiton todennäköisyys on 1/3. Muista, että todennäköisyys, että häviät välittömästi, on 1/3. On 1/3 todennäköisyydellä, että arvaat heti, ja 50% niistä kertoista voitat (1/3 x 1/2 = 1/6). Todennäköisyys, että arvaat ensin väärin, mutta sitten sinulla on mahdollisuus valita toinen ovi, on 1/3, ja 50 %:ssa näistä tapauksista voitat (myös 1/6). Kun lasket yhteen kaksi riippumatonta voittomahdollisuutta, saat todennäköisyydellä 1/3, joten pysytpä sitten valinnassasi tai valitset toisen oven, voittosi kokonaistodennäköisyys koko pelin ajan on 1/3... todennäköisyys ei kasva kuin tilanteessa, jossa olisit arvannut oven ja isäntä olisi näyttänyt sinulle mitä tämän oven takana on, ilman mahdollisuutta valita toista ovea! Toisen oven valintamahdollisuuden tarjoamisen tarkoitus ei siis ole muuttaa todennäköisyyttä, vaan tehdä päätösprosessista hauskempaa katsoa televisiosta.

Muuten, tämä on yksi niistä syistä, miksi pokeri voi olla niin mielenkiintoista: useimmissa formaateissa kierrosten välillä, kun panoksia tehdään (esimerkiksi floppi, turn ja river Texas Hold'emissa), kortit paljastuvat vähitellen. , ja jos pelin alussa sinulla on yksi todennäköisyys voittaa, niin jokaisen panostuskierroksen jälkeen, kun useampia kortteja on auki, tämä todennäköisyys muuttuu.

Pojan ja tytön paradoksi

Tämä vie meidät toiseen hyvin tunnettuun paradoksiin, joka yleensä hämmentää kaikkia, poika-tyttö paradoksiin. Ainoa asia, josta kirjoitan tänään ja joka ei liity suoraan peleihin (vaikka luulen, että se tarkoittaa vain sitä, että minun pitäisi työntää sinua luomaan asiaankuuluvia pelimekaniikkoja). Tämä on enemmänkin arvoitus, mutta mielenkiintoinen, ja sen ratkaisemiseksi sinun on ymmärrettävä ehdollinen todennäköisyys, josta puhuimme edellä.

Tehtävä: Minulla on ystävä, jolla on kaksi lasta, ainakin yksi lapsi on tyttö. Mikä on todennäköisyys, että toinen lapsi liian tyttö? Oletetaan, että missä tahansa perheessä mahdollisuus saada tyttö tai poika on 50/50 ja tämä pätee jokaiseen lapseen (itse asiassa joillakin miehillä on enemmän siittiöitä siittiössä, jossa on X- tai Y-kromosomi, joten todennäköisyys muuttuu hieman, jos tiedät, että yksi lapsi on tyttö, todennäköisyys saada tyttö on hieman suurempi, lisäksi on muita sairauksia, esimerkiksi hermafroditismi, mutta tämän ongelman ratkaisemiseksi emme ota tätä huomioon ja oletamme, että lapsen syntymä on itsenäinen tapahtuma ja todennäköisyys saada poika tai tyttö on sama).

Koska puhumme 1/2 mahdollisuudesta, odotamme intuitiivisesti vastauksen olevan luultavasti 1/2 tai 1/4 tai jokin muu pyöreä luku, joka on 2:n kerrannainen. Mutta vastaus on: 1/3 . Odota miksi?

Vaikeutena tässä tapauksessa on se, että saamamme tieto vähentää mahdollisuuksien määrää. Oletetaan, että vanhemmat ovat Sesame Street -faneja, ja riippumatta siitä, onko lapsi syntynyt pojaksi vai tytöksi, he antavat lapsilleen nimet A ja B. Normaaliolosuhteissa on neljä yhtä todennäköistä mahdollisuutta: A ja B ovat kaksi poikaa, A ja B ovat kaksi tyttöä, A on poika ja B on tyttö, A on tyttö ja B on poika. Koska tiedämme sen ainakin yksi lapsi on tyttö, voimme sulkea pois mahdollisuuden, että A ja B ovat kaksi poikaa, jolloin meille jää kolme (edelleen yhtä todennäköistä) mahdollisuutta. Jos kaikki mahdollisuudet ovat yhtä todennäköisiä ja niitä on kolme, tiedämme, että jokaisen todennäköisyys on 1/3. Vain yhdessä näistä kolmesta vaihtoehdosta molemmat lapset ovat kaksi tyttöä, joten vastaus on 1/3.

Ja taas pojan ja tytön paradoksista

Ongelman ratkaisusta tulee entistä epäloogisempi. Kuvittele, että kerron sinulle, että ystävälläni on kaksi lasta ja yksi lapsi - tiistaina syntynyt tyttö. Oletetaan, että normaalioloissa todennäköisyys saada lapsi jonakin viikon seitsemästä päivästä on sama. Millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on tyttö? Saatat ajatella, että vastaus olisi silti 1/3; Mikä on tiistain merkitys? Mutta tässä tapauksessa intuitio pettää meidät. Vastaus: 13/27 mikä ei vain ole intuitiivinen, se on hyvin outoa. Mikä hätänä tässä tapauksessa?

Itse asiassa tiistai muuttaa todennäköisyyttä, koska emme tiedä joka vauva syntyi tiistaina tai mahdollisesti kaksi lasta syntyivät tiistaina. Tässä tapauksessa käytämme samaa logiikkaa kuin yllä, laskemme kaikki mahdolliset yhdistelmät, kun vähintään yksi lapsi on tiistaina syntynyt tyttö. Kuten edellisessä esimerkissä, oletetaan, että lasten nimet ovat A ja B, yhdistelmät ovat seuraavat:

• A on tyttö, joka syntyi tiistaina, B on poika (tässä tilanteessa on 7 mahdollisuutta, yksi jokaiselle viikonpäivälle, jolloin poika voisi syntyä).
• B on tyttö, joka syntyi tiistaina, A on poika (myös 7 mahdollisuutta).
• A on tyttö, joka syntyi tiistaina, B on tyttö, joka syntyi tiistaina toinen viikonpäivä (6 vaihtoehtoa).
• B on tyttö, joka syntyi tiistaina, A on tyttö, joka ei syntynyt tiistaina (myös 6 todennäköisyyttä).
• A ja B ovat kaksi tyttöä, jotka syntyivät tiistaina (1 mahdollisuus, sinun on kiinnitettävä huomiota tähän, jotta et laske kahdesti).

Laskemme yhteen ja saamme 27 erilaista yhtä mahdollista yhdistelmää lasten syntymästä ja päivistä, joissa on vähintään yksi mahdollisuus, että tyttö syntyy tiistaina. Näistä 13 mahdollisuutta on, kun syntyy kaksi tyttöä. Se näyttää myös täysin epäloogiselta, ja näyttää siltä, ​​​​että tämä tehtävä luotiin vain päänsärkyä varten. Jos olet edelleen ymmälläsi tästä esimerkistä, peliteoreetikko Jesper Juhlilla on verkkosivuillaan hyvä selitys asiasta.

Jos työskentelet parhaillaan pelin parissa...

Jos suunnittelemassasi pelissä on satunnaisuutta, tämä on loistava tilaisuus analysoida sitä. Valitse mikä tahansa elementti, jonka haluat analysoida. Kysy ensin itseltäsi, mikä on tämän elementin todennäköisyys odotustenne mukaan, mikä sen pitäisi mielestäsi olla pelin yhteydessä. Jos esimerkiksi olet tekemässä roolipeliä ja mietit, kuinka todennäköistä on, että pelaaja voi voittaa hirviön taistelussa, kysy itseltäsi, kuinka suuri voittoprosentti tuntuu sinusta oikealta. Yleensä konsoliroolipelejä pelatessaan pelaajat turhautuvat häviäessään, joten on parempi, etteivät he häviä usein... ehkä 10 % ajasta tai vähemmän? Jos olet roolipelisuunnittelija, tiedät luultavasti paremmin kuin minä, mutta sinulla on oltava peruskäsitys siitä, mikä todennäköisyyden pitäisi olla.

Kysy sitten itseltäsi, onko tämä jotain riippuvainen(kuten kortit) tai riippumaton(kuten noppaa). Keskustele kaikista mahdollisista tuloksista ja niiden todennäköisyyksistä. Varmista, että kaikkien todennäköisyyksien summa on 100 %. Lopuksi tietysti vertaa tuloksiasi odotuksiin. Olipa noppaa heitetty tai kortit vedetty haluamallasi tavalla tai huomaat, että sinun täytyy säätää arvoja. Ja tietysti jos sinä löytö Mitä on säädettävä, voit käyttää samoja laskelmia määrittääksesi kuinka paljon jotain on säädettävä!

Kotitehtävät

Tämän viikon "kotitehtäväsi" auttaa sinua hiomaan todennäköisyystaitojasi. Tässä on kaksi noppapeliä ja korttipeli, joita analysoit todennäköisyyksien avulla, sekä outo pelimekaniikka, jonka olen kerran kehittänyt ja jolla testaat Monte Carlo -menetelmää.

Peli #1 - Dragon Bones

Tämä on noppapeli, jonka kollegani ja minä kerran keksimme (kiitos Jeb Havensille ja Jesse Kingille!), ja joka räjäyttää ihmisten mielet tarkoituksella todennäköisyyksillään. Tämä on yksinkertainen kasinopeli nimeltä "Dragon Bones" ja se on uhkapelin noppakilpailu pelaajan ja yrityksen välillä. Sinulle annetaan tavallinen 1d6 noppa. Pelin tavoitteena on heittää taloa suurempi numero. Tomille annetaan ei-standardi 1d6 - sama kuin sinun, mutta toisella puolella olevan sijasta - lohikäärmeen kuva (siis kasinolla on Dragon-2-3-4-5-6 noppa). Jos laitos saa lohikäärmeen, se voittaa automaattisesti ja sinä häviät. Jos saatte molemmat saman numeron, se on tasapeli ja heität noppaa uudelleen. Se, joka heittää suurimman luvun, voittaa.

Tietenkään kaikki ei mene aivan pelaajan hyväksi, koska kasinolla on etu lohikäärmeen kasvojen muodossa. Mutta onko se todella niin? Sinun on laskettava se. Mutta ennen sitä tarkista intuitiosi. Oletetaan, että voitto on 2-1. Joten jos voitat, pidät panoksesi ja saat kaksinkertaisen summan. Jos esimerkiksi panostat 1 dollarin ja voitat, pidät tämän dollarin ja saat 2 dollaria lisää, yhteensä 3 dollaria. Jos häviät, häviät vain vedon. pelaisitko? Joten, tunnetko intuitiivisesti, että todennäköisyys on suurempi kuin 2:1, vai luuletko silti, että se on pienempi? Toisin sanoen, keskimäärin yli 3 pelin, odotatko voittavasi useammin kuin kerran, harvemmin vai kerran?

Kun olet käsitellyt intuitiotasi, käytä matematiikkaa. Molemmille nopalle on vain 36 mahdollista paikkaa, joten voit helposti laskea ne kaikki. Jos olet epävarma tästä 2-1-tarjouksesta, harkitse tätä: Oletetaan, että pelasit pelin 36 kertaa (panosta 1 dollaria joka kerta). Jokaisesta voitosta saat 2 dollaria, jokaisesta tappiosta menetät 1 dollarin, eikä tasapeli muuta mitään. Laske kaikki todennäköiset voittosi ja tappiosi ja päätä, häviätkö dollareita vai voittoa. Kysy sitten itseltäsi, kuinka oikeaksi intuitiosi osoittautui. Ja sitten - ymmärrä, mikä konna olen.

Ja kyllä, jos olet jo miettinyt tätä kysymystä - hämmennän sinut tarkoituksella vääristämällä noppapelien todellista mekaniikkaa, mutta olen varma, että voit voittaa tämän esteen vain hyvällä ajatuksella. Yritä ratkaista tämä ongelma itse. Laitan kaikki vastaukset tänne ensi viikolla.

Peli #2 - Roll of Luck

Tämä on noppapeli nimeltä Lucky Roll (kutsutaan myös Birdcageksi, koska joskus noppaa ei heitellä, vaan ne asetetaan suureen lankahäkkiin, joka on samanlainen kuin bingohäkki). Se on yksinkertainen peli, joka menee suunnilleen näin: Panosta esimerkiksi 1 dollarilla luvulle 1 ja 6. Sitten heitetään 3d6. Jokaista numeroasi osuvaa noppaa kohden saat 1 dollarin (ja pidät alkuperäisen panoksesi). Jos numerosi ei osu mihinkään noppaa, kasino saa dollarisi etkä saa mitään. Joten jos lyöt vetoa 1 ja saat 1 kasvot kolme kertaa, saat 3 dollaria.

Intuitiivisesti näyttää siltä, ​​että tässä pelissä mahdollisuudet ovat tasaiset. Jokainen noppa on yksilöllinen 1:6 voittomahdollisuudella, joten kaikkien kolmen summa on 3:6. Muista kuitenkin tietysti, että lisäät kolme erillistä noppaa ja voit lisätä vain, jos puhumme saman nopan eri voittoyhdistelmiä. Jotain sinun täytyy moninkertaistaa.

Kun olet laskenut kaikki mahdolliset tulokset (se on luultavasti helpompi tehdä Excelissä kuin käsin, niitä on 216), peli näyttää silti ensi silmäyksellä parilliselta. Mutta todellisuudessa kasino voittaa silti todennäköisemmin – kuinka paljon enemmän? Erityisesti kuinka paljon rahaa odotat menettäväsi keskimäärin pelikierrosta kohden? Sinun tarvitsee vain laskea yhteen kaikkien 216 tuloksen voitot ja tappiot ja jakaa sitten 216:lla, minkä pitäisi olla melko helppoa… Mutta kuten näet, on olemassa muutamia ansoja, joihin voit pudota, minkä vuoksi kerron sinulle. : Jos luulet, että tällä pelillä on tasaiset mahdollisuudet voittaa, olet ymmärtänyt kaiken väärin.

Peli #3 - 5 Card Stud

Jos olet jo lämmennyt aikaisemmissa peleissä, katsotaanpa, mitä tiedämme ehdollisesta todennäköisyydestä käyttämällä esimerkkinä tätä korttipeliä. Kuvittelemme erityisesti pokeria 52 kortin pakalla. Kuvitellaan myös 5 card stud, jossa jokainen pelaaja saa vain 5 korttia. Et voi hylätä korttia, et voi nostaa uutta, ei yhteistä pakkaa - saat vain 5 korttia.

Kuninkaallinen väri on 10-J-Q-K-A yhdessä yhdistelmässä, yhteensä neljä, joten on neljä mahdollista tapaa saada kuninkaallinen väri. Laske todennäköisyys, että saat jonkin näistä yhdistelmistä.

Haluan varoittaa sinua yhdestä asiasta: muista, että voit nostaa nämä viisi korttia missä tahansa järjestyksessä. Eli aluksi voit vetää ässän tai kymmenen, sillä ei ole väliä. Joten, kun lasket tätä, muista, että on itse asiassa enemmän kuin neljä tapaa saada kuninkaallinen väri, olettaen, että kortit jaettiin järjestyksessä!

Peli #4 - IMF:n arpajaiset

Neljäs tehtävä ei ole niin helppo ratkaista menetelmillä, joista puhuimme tänään, mutta voit helposti simuloida tilannetta ohjelmoimalla tai Excelillä. Tämän ongelman esimerkissä voit kehittää Monte Carlo -menetelmän.

Mainitsin aiemmin pelin "Chron X", jonka parissa työskentelin kerran, ja siellä oli yksi erittäin mielenkiintoinen kortti - IMF:n arpajaiset. Näin se toimi: käytit sitä pelissä. Kierroksen päätyttyä kortit jaettiin uudelleen ja oli 10 % todennäköisyys, että kortti olisi poissa pelistä ja että satunnainen pelaaja saa 5 kpl jokaista resurssia, jolla oli pelimerkki kyseisessä kortissa. Kortti pantiin peliin ilman ainuttakaan pelimerkkiä, mutta joka kerta kun se jäi peliin seuraavan kierroksen alussa, se sai yhden merkin. Joten oli 10 % mahdollisuus, että laitat sen peliin, kierros päättyy, kortti poistuu pelistä, eikä kukaan saa mitään. Jos ei (90 %:n todennäköisyydellä), on 10 %:n mahdollisuus (itse asiassa 9 %, koska se on 10 % 90 %:sta), että hän poistuu pelistä seuraavalla kierroksella ja joku saa 5 resurssia. Jos kortti poistuu pelistä yhden kierroksen jälkeen (10 % käytettävissä olevasta 81 %:sta, eli 8,1 % mahdollisuus), joku saa 10 yksikköä, toinen kierros - 15, toinen 20 ja niin edelleen. Kysymys: mikä on odotettu arvo resurssien määrälle, jonka saat tästä kortista, kun se lopulta poistuu pelistä?

Tavallisesti yritämme ratkaista tämän ongelman etsimällä kunkin tuloksen mahdollisuus ja kertomalla kaikkien tulosten lukumäärällä. Joten on 10 % todennäköisyys, että saat 0 (0,1*0 = 0). 9 %, että saat 5 resurssia (9 %*5 = 0,45 resurssia). 8,1 % saamastasi on 10 (8,1 %*10 = 0,81 kokonaisresursseja, odotettu arvo). Ja niin edelleen. Ja sitten teemme kaiken yhteenvedon.

Ja nyt ongelma on ilmeinen sinulle: aina on mahdollisuus, että kortti ei lähtee pelistä, jotta hän voi pysyä pelissä aina ja ikuisesti, äärettömälle määrälle kierroksia, jotta mahdollisuudet laskea mikä tahansa mahdollisuus ei ole olemassa. Nykyään oppimamme menetelmät eivät salli äärettömän rekursion laskemista, joten meidän on luotava se keinotekoisesti.

Jos olet tarpeeksi hyvä ohjelmoimaan, kirjoita ohjelma, joka simuloi tätä korttia. Sinulla pitäisi olla aikasilmukka, joka tuo muuttujan nollan alkuasentoon, näyttää satunnaisluvun ja 10 %:n todennäköisyydellä muuttuja poistuu silmukasta. Muussa tapauksessa se lisää muuttujaan 5 ja silmukka toistuu. Kun se lopulta poistuu silmukasta, lisää testiajojen kokonaismäärää yhdellä ja resurssien kokonaismäärää (miten paljon riippuu muuttujan pysähtymispaikasta). Nollaa sitten muuttuja ja aloita alusta. Suorita ohjelma useita tuhansia kertoja. Lopuksi jaa kokonaisresurssit ajojen kokonaismäärällä, ja tämä on odotettu Monte Carlo -arvosi. Suorita ohjelma muutaman kerran varmistaaksesi, että saamasi numerot ovat suunnilleen samat; jos leviäminen on edelleen suuri, lisää toistojen määrää ulkosilmukassa, kunnes alat saada osumia. Voit olla varma, että kaikki luvut, joihin päädyt, ovat suunnilleen oikein.

Jos olet uusi ohjelmoinnin parissa (tai vaikka oletkin), tässä on pieni harjoitus Excel-taitojen lämmittämiseksi. Jos olet pelisuunnittelija, Excel-taidot eivät ole koskaan tarpeettomia.

Nyt IF- ja RAND-toiminnot ovat erittäin hyödyllisiä sinulle. RAND ei vaadi arvoja, se tuottaa vain satunnaisen desimaaliluvun väliltä 0 ja 1. Yleensä yhdistämme sen FLOORin ja plussa- ja miinusmerkkien kanssa simuloidaksemme nostan heittoa, mistä mainitsin aiemmin. Tässä tapauksessa jätämme kuitenkin vain 10% mahdollisuuden, että kortti poistuu pelistä, joten voimme vain tarkistaa, onko RAND-arvo pienempi kuin 0,1, emmekä enää murehdi siitä.

IF:llä on kolme merkitystä. Järjestyksessä ehto, joka on joko tosi tai ei, sitten arvo, joka palautetaan, jos ehto on tosi, ja arvo, joka palautetaan, jos ehto on epätosi. Joten seuraava funktio palauttaa 5% ajasta ja 0 loput 90% ajasta:
=JOS(RAND()<0.1,5,0)

On monia tapoja asettaa tämä komento, mutta käyttäisin tätä kaavaa solulle, joka edustaa ensimmäistä kierrosta, oletetaan, että se on solu A1:

JOS(RAND()<0.1,0,-1)

Tässä käytän negatiivista muuttujaa, joka tarkoittaa "tämä kortti ei ole poistunut pelistä eikä ole vielä antanut resursseja". Joten jos ensimmäinen kierros on ohi ja kortti on poissa pelistä, A1 on 0; muuten on -1.

Seuraava toista kierrosta edustava solu:

JOS(A1>-1, A1, JOS(RAND()<0.1,5,-1))

Joten jos ensimmäinen kierros päättyi ja kortti poistui välittömästi pelistä, A1 on 0 (resurssien lukumäärä) ja tämä solu yksinkertaisesti kopioi tämän arvon. Muuten A1 on -1 (kortti ei ole vielä poistunut pelistä), ja tämä solu jatkaa satunnaista liikkumista: 10% ajasta se palauttaa 5 yksikköä resursseja, muun ajan sen arvo on edelleen - 1. Jos käytämme tätä kaavaa lisäsoluihin, saamme lisäkierroksia, ja mihin soluun päädytkin, saat lopputuloksen (tai -1, jos kortti ei ole poistunut pelistä kaikkien pelaamiesi kierrosten jälkeen).

Ota tämä solurivi, joka on tämän kortin ainoa kierros, ja kopioi ja liitä muutama sata (tai tuhansia) rivejä. Emme ehkä pysty siihen loputon testaa Exceliä (taulukossa on rajoitettu määrä soluja), mutta ainakin voimme kattaa useimmat tapaukset. Valitse sitten yksi solu, johon sijoitat kaikkien kierrosten tulosten keskiarvon (Excel tarjoaa tähän ystävällisesti KESKIARVO()-funktion).

Windowsissa voit ainakin painaa F9 laskeaksesi uudelleen kaikki satunnaisluvut. Kuten ennenkin, tee tämä muutaman kerran ja katso, ovatko saamasi arvot samat. Jos ero on liian suuri, tuplaa ajojen määrä ja yritä uudelleen.

Ratkaisemattomia ongelmia

Jos sinulla on todennäköisyyslaskentatutkinto ja yllä olevat tehtävät vaikuttavat sinulle liian helpoilta, tässä on kaksi ongelmaa, joiden kanssa olen raapinut päätäni vuosia, mutta valitettavasti en ole hyvä matematiikassa niiden ratkaisemiseksi. Jos tiedät yhtäkkiä ratkaisun, lähetä se tänne kommentteihin, luen sen mielelläni.

Ratkaisematon ongelma 1: LottoIMF

Ensimmäinen ratkaisematon ongelma on edellinen kotitehtävä. Pystyn helposti käyttämään Monte Carlo -menetelmää (C++:lla tai Excelillä) ja olen varma vastauksesta kysymykseen "kuinka monta resurssia pelaaja saa", mutta en tiedä tarkalleen kuinka antaa tarkkaa todistettavaa vastausta matemaattisesti (tämä on ääretön sarja). Jos tiedät vastauksen, lähetä se tänne... sen jälkeen, kun olet Monte Carlossa tarkistanut sen, tietysti.

Ratkaisematon ongelma 2: Muotosekvenssit

Tämän tehtävän (ja taas se menee paljon pidemmälle kuin tässä blogissa ratkotut tehtävät) heitti minulle tuttu pelaaja yli 10 vuotta sitten. Hän huomasi yhden mielenkiintoisen piirteen pelatessaan blackjackia Vegasissa: kun hän otti kortit 8-pakisesta kengästä, hän näki kymmenen hahmoja peräkkäin (figuuri tai kuvakortti - 10, Jokeri, Kuningas tai Kuningatar, joten niitä on 16 tavallisessa 52 kortin pakassa, joten niitä on 128 416 kortin kengässä). Mikä on todennäköisyys, että tässä kengässä vähintään yksi kymmenen sarja tai enemmän lukuja? Oletetaan, että ne sekoitettiin rehellisesti, satunnaisessa järjestyksessä. (Tai jos haluat, mikä on sen todennäköisyys ei löydy mistään kymmenen tai useamman luvun sarja?)

Voimme yksinkertaistaa tehtävää. Tässä on 416 osan sarja. Jokainen osa on 0 tai 1. Sarjassa on 128 ykköstä ja 288 nollaa satunnaisesti hajallaan. Kuinka monta tapaa on lomittaa satunnaisesti 128 1:tä 288 0:lla, ja kuinka monta kertaa näillä tavoilla on vähintään yksi kymmenen tai useamman ykkösen ryhmä?

Joka kerta kun otin tämän tehtävän, se tuntui minusta helpolta ja itsestään selvältä, mutta heti kun syvenin yksityiskohtiin, se yhtäkkiä hajosi ja näytti minusta yksinkertaisesti mahdottomalta. Joten älä kiirehdi räjäyttämään vastausta: istu alas, mieti tarkkaan, tutki ongelman olosuhteita, yritä liittää todellisia lukuja, sillä kaikki ihmiset, joille puhuin tästä ongelmasta (mukaan lukien useat tällä alalla työskentelevät jatko-opiskelijat) reagoi paljolti samalla tavalla: "Se on aivan ilmeistä... voi ei, odota, ei ollenkaan ilmeistä." Tämä on juuri se tapaus, jossa minulla ei ole menetelmää kaikkien vaihtoehtojen laskemiseksi. Voisin varmasti tehdä ongelman raa'alla väkivallalla tietokonealgoritmin kautta, mutta olisi paljon mielenkiintoisempaa tietää matemaattinen tapa ratkaista tämä ongelma.

Käännös - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Yleisin muoto on kuution muotoinen, jonka kummallakin puolella on numerot yhdestä kuuteen. Pelaaja, joka heittää sen tasaiselle pinnalle, näkee tuloksen yläpinnalla. Luut ovat todellinen sattuman, onnen tai huonon onnen äänitorvi.

Onnettomuus.
Kuutiot (luut) ovat olleet olemassa pitkään, mutta perinteiseksi tullut kuusisivuinen muoto hankittiin noin 2600 eaa. e. Muinaiset kreikkalaiset rakastivat noppaa pelaamista, ja heidän legendoissaan heidän keksijäkseen mainitaan sankari Palamedes, jota Odysseus epäoikeudenmukaisesti syytti petoksesta. Legendan mukaan hän keksi tämän pelin viihdyttääkseen Troijaa piirittäneitä sotilaita, jotka vangittiin valtavan puisen hevosen ansiosta. Julius Caesarin aikana roomalaiset viihdyttivät myös itseään erilaisilla noppapeleillä. Latinaksi kuutiota kutsuttiin datum, joka tarkoittaa "annettu".

Kiellot.
Keskiajalla, noin 1100-luvulla, nopat tulivat erittäin suosittuja Euroopassa: nopat, jotka voit ottaa mukaan kaikkialle, ovat suosittuja sekä sotureiden että talonpoikien keskuudessa. Sanotaan, että erilaisia ​​pelejä oli yli kuusisataa! Noppien tuotannosta tulee erillinen ammatti. Kuningas Ludvig IX (1214-1270), joka palasi ristiretkeltä, ei hyväksynyt uhkapelaamista ja määräsi noppien valmistamisen kieltoon koko valtakunnassa. Enemmän kuin itse peli, viranomaiset olivat tyytymättömiä siihen liittyviin levottomuuksiin - sitten he pelasivat pääasiassa tavernoissa ja juhlat päättyivät usein tappeleihin ja puukotuksiin. Mutta mitkään kiellot eivät estäneet noppaa selviytymästä aikaa ja selviämästä tähän päivään.

Luut "latauksella"!
Nopanheiton lopputulos määräytyy aina sattuman kautta, mutta jotkut huijarit yrittävät muuttaa sitä. Poraamalla suulakkeeseen reikä ja kaatamalla siihen lyijyä tai elohopeaa voidaan varmistaa, että tela antaa joka kerta saman tuloksen. Tällaista kuutiota kutsutaan "ladatuksi". Valmistettu erilaisista materiaaleista, olipa kyseessä kulta, kivi, kristalli, luu, noppaa voi olla eri muotoinen. Suuria pyramideja rakentaneiden egyptiläisten faaraoiden haudoista löydettiin pieniä pyramidin (tetraedrin) muotoisia noppia! Eri aikoina luita valmistettiin 8, 10, 12, 20 ja jopa 100 sivuilla. Yleensä niihin liitetään numeroita, mutta niiden tilalle voi ilmestyä myös kirjaimia tai kuvia antaen tilaa mielikuvitukselle.

Kuinka heittää noppaa.
Noppia ei ole vain eri muodoissa, vaan myös eri tavoilla pelata. Joidenkin pelien säännöt edellyttävät, että heitto on heitetty tietyllä tavalla, yleensä lasketun heiton välttämiseksi tai nopan pysähtymisen estämiseksi vinossa asennossa. Joskus niihin kiinnitetään erityinen lasi pettämisen tai pelipöydältä putoamisen välttämiseksi. Englannin kreppipelissä kaikkien kolmen noppaa on välttämättä osuttava pelipöytään tai seinään, jotta huijarit eivät voi matkia heittoa yksinkertaisesti liikuttamalla noppaa, mutta ei kääntämällä sitä.

Satunnaisuus ja todennäköisyys.
Noppa antaa aina satunnaisen tuloksen, jota ei voi ennustaa. Yhdellä nällä pelaajalla on yhtä monta mahdollisuuksia heittää 1 kuin 6 - kaiken määrää sattuma. Toisaalta kahdella nopan kanssa satunnaisuustaso laskee, koska pelaajalla on enemmän tietoa tuloksesta: esimerkiksi kahdella nopalla luku 7 saadaan monella tavalla - heittämällä 1 ja 6, 5 ja 2, tai 4 ja 3... Mutta mahdollisuus saada numero 2 on vain yksi: heittää 1 kahdesti.Täten todennäköisyys saada 7 on suurempi kuin 2! Sitä kutsutaan todennäköisyysteoriaksi. Monet pelit liittyvät tähän periaatteeseen, erityisesti käteispelit.

Noppien käytöstä.
Noppa voi olla itsenäinen peli ilman muita elementtejä. Ainoa asia, jota ei käytännössä ole olemassa, on pelejä yhdelle kuutiolle. Säännöt vaativat vähintään kaksi (esim. kreppi). Noppapokerin pelaamiseen tarvitset viisi noppaa, kynän ja paperia. Tavoitteena on täyttää samannimisen korttipelin yhdistelmiä muistuttavia yhdistelmiä kirjaamalla niille pisteet erityiseen taulukkoon. Lisäksi kuutio on erittäin suosittu lautapelien osa, jonka avulla voit siirtää pelimerkkejä tai päättää pelitaistelujen lopputuloksesta.

Die on valettu.
Vuonna 49 eaa. e. nuori Julius Caesar valloitti Gallian ja palasi Pompejiin. Mutta hänen valtaansa pelkäsivät senaattorit, jotka päättivät hajottaa hänen armeijansa ennen kuin hän palasi. Tuleva keisari, saavuttuaan tasavallan rajoille, päättää rikkoa järjestystä ylittämällä sen armeijan kanssa. Ennen kuin ylitti Rubiconin (joen, joka oli rajana), hän sanoi legioonareilleen "Alea jacta est" ("noppaa on heitetty"). Tästä sanonnasta on tullut tunnuslause, jonka merkitys on, että kuten pelissä, joidenkin päätösten jälkeen ei ole enää mahdollista perääntyä.

Mitkä ovat satunnaisuuden kolme lakia ja miksi ennustamattomuus antaa meille mahdollisuuden tehdä luotettavimpia ennusteita.

Mielemme vastustaa ajatusta satunnaisuudesta kaikin voimin. Evoluutiomme aikana biologisena lajina olemme kehittäneet kyvyn etsiä syy-seuraussuhteita kaikessa. Tiesimme jo kauan ennen tieteen tuloa, että karmiininpunainen auringonlasku merkitsee vaarallista myrskyä, ja kuumeinen punastuminen vauvan kasvoilla tarkoittaa, että hänen äidillään on vaikea yö. Mielemme yrittää automaattisesti jäsentää vastaanottamansa datan siten, että se auttaa meitä tekemään johtopäätöksiä havainnoistamme ja käyttämään näitä johtopäätöksiä tapahtumien ymmärtämiseen ja ennustamiseen.

Ajatus satunnaisuudesta on niin vaikea hyväksyä, koska se on vastoin perusvaistoa, joka saa meidät etsimään rationaalisia malleja ympäröivästä maailmasta. Ja onnettomuudet vain osoittavat meille, että tällaisia ​​​​malleja ei ole olemassa. Tämä tarkoittaa, että satunnaisuus rajoittaa pohjimmiltaan intuitiota, koska se osoittaa, että on prosesseja, joiden kulkua emme voi täysin ennustaa. Tätä käsitystä ei ole helppo hyväksyä, vaikka se onkin olennainen osa maailmankaikkeuden mekanismia. Ymmärtämättä mitä satunnaisuus on, löydämme itsemme täysin ennustettavan maailman umpikujasta, jota ei yksinkertaisesti ole olemassa mielikuvituksemme ulkopuolella.

Sanoisin, että vasta kun opimme kolme aforismia - kolme sattuman lakia - voimme vapautua primitiivisestä ennustettavuuden halustamme ja hyväksyä maailmankaikkeuden sellaisena kuin se on, emme sellaisena kuin haluaisimme sen olevan.

Satunnaisuus on olemassa

Käytämme mitä tahansa mentaalimekanismeja välttääksemme kohtaamasta satunnaisuutta. Puhumme karmasta, tästä kosmisesta taajuuskorjaimesta, joka yhdistää näennäisesti toisiinsa liittymättömiä asioita. Uskomme hyviin ja huonoihin enteisiin, että "Jumala rakastaa kolminaisuutta", väitämme, että meihin vaikuttavat tähtien asennot, kuun vaiheet ja planeettojen liike. Jos meillä on diagnosoitu syöpä, yritämme automaattisesti syyttää jotain (tai jotakuta) siitä.

Mutta monia tapahtumia ei voida täysin ennustaa tai selittää. Katastrofit tapahtuvat arvaamattomasti, ja sekä hyvät että pahat ihmiset kärsivät, mukaan lukien ne, jotka ovat syntyneet "onnen tähden alla" tai "suotuisan merkin alla". Joskus onnistumme ennustamaan jotain, mutta sattuma voi helposti kumota luotettavimmatkin ennusteet. Älä ihmettele, jos naapurisi, lihava, ketjutupakoiva, holtiton pyöräilijä, elää pidempään kuin sinä.

Lisäksi satunnaiset tapahtumat voivat teeskennellä ei-satunnaisia. Jopa älykkäimmällä tiedemiehellä voi olla vaikeuksia erottaa todellisen vaikutuksen ja satunnaisen vaihtelun välillä. Satunnaisuus voi muuttaa lumelääkkeen taikalääkkeeksi tai vaarattoman yhdisteen tappavaksi myrkkyksi; ja voi jopa luoda subatomisia hiukkasia tyhjästä.

Jotkut tapahtumat ovat arvaamattomia

Jos menet Las Vegasin kasinolle ja seuraat pelaajien joukkoa pelipöydissä, näet todennäköisesti jonkun, joka luulee olevansa onnekas tänään. Hän on voittanut useita kertoja peräkkäin, ja hänen aivonsa vakuuttavat hänelle, että hän jatkaa voittoa, joten pelaaja jatkaa vetoa. Näet myös jonkun, joka juuri hävisi. Häviäjän aivot, kuten voittajan aivot, myös neuvovat häntä jatkamaan peliä: koska olet hävinnyt niin monta kertaa peräkkäin, se tarkoittaa, että nyt luultavasti alkaa onni. On typerää lähteä nyt ja menettää tämä tilaisuus.

Mutta riippumatta siitä, mitä aivomme kertovat meille, mikään salaperäinen voima ei pysty tarjoamaan meille "onnen putkea" tai yleismaailmallista oikeutta, joka varmistaisi, että häviäjä alkaa lopulta voittaa. Universumi ei välitä voitatko vai häviätkö; hänelle kaikki nopanheitot ovat samoja.

Huolimatta siitä, kuinka paljon vaivaa käytät seuraavan nopanheiton seuraamiseen ja vaikka kuinka tarkasti katsot pelaajia, jotka luulevat onnistuneensa ajamaan onneaan, et saa mitään tietoa seuraavasta heitosta. Jokaisen telan tulos on täysin riippumaton aiempien telojen historiasta. Siksi kaikki laskelmat, joiden mukaan peliä voi saada etua katsomalla, on tuomittu epäonnistumaan. Sellaiset tapahtumat - kaikesta riippumattomat ja täysin satunnaiset - uhmaavat kaikki yritykset löytää malleja, koska näitä malleja ei yksinkertaisesti ole olemassa.

Satunnaisuus asettaa esteen ihmisen kekseliäisyydelle, koska se osoittaa, että kaikki logiikkamme, kaikki tieteemme ja päättelykykymme eivät pysty täysin ennustamaan maailmankaikkeuden käyttäytymistä. Mitä tahansa menetelmiä käytät, mitä teoriaa keksit, mitä logiikkaa käytätkin ennustaaksesi nopanheiton lopputuloksen, viisi kertaa kuudesta häviät. On aina.

Joukko satunnaisia ​​tapahtumia on ennustettavissa, vaikka yksittäiset tapahtumat eivät olisikaan.

Satunnaisuus on pelottavaa, se rajoittaa hienostuneimpienkin teorioiden luotettavuutta ja piilottaa meiltä tietyt luonnon elementit riippumatta siitä, kuinka sitkeästi yritämme tunkeutua niiden olemukseen. Siitä huolimatta ei voida väittää, että satunnaisuus on synonyymi tuntemattomalle. Tämä ei pidä ollenkaan paikkaansa.

Satunnaisuus noudattaa omia sääntöjään, ja nämä säännöt tekevät satunnaisesta prosessista ymmärrettävän ja ennustettavan.

Suurten lukujen laki sanoo, että vaikka yksittäiset satunnaiset tapahtumat ovat täysin arvaamattomia, riittävän suuri näyte näistä tapahtumista voi olla varsin ennustettavissa - ja mitä suurempi otos, sitä tarkempi ennuste. Toinen tehokas matemaattinen työkalu, keskusrajalauseet, osoittaa myös, että riittävän suuren määrän satunnaismuuttujia summalla on jakauma lähellä normaalia. Näillä työkaluilla voimme ennustaa tapahtumia melko tarkasti pitkällä aikavälillä riippumatta siitä, kuinka kaoottisia, outoja ja satunnaisia ​​ne ovat lyhyellä aikavälillä.

Sattuman säännöt ovat niin voimakkaita, että ne muodostavat perustan järkyttävimmille ja muuttumattomimmille fysiikan laeille. Vaikka kaasusäiliössä olevat atomit liikkuvat satunnaisesti, niiden yleinen käyttäytyminen kuvataan yksinkertaisella yhtälöjoukolla. Jopa termodynamiikan lait tulevat suuren määrän satunnaisten tapahtumien ennustettavuudesta; nämä lait ovat horjumattomia juuri siksi, että sattuma on niin ehdoton.

Paradoksaalista kyllä, satunnaisten tapahtumien arvaamattomuus antaa meille mahdollisuuden tehdä luotettavimpia ennusteitamme.

Ihminen on käyttänyt noppia tuhansia vuosia.

2000-luvulla uusien tekniikoiden avulla voit heittää noppaa milloin tahansa sopivaan aikaan, ja jos sinulla on Internet-yhteys, kätevässä paikassa. Noppa on aina mukanasi kotona tai tien päällä.

Noppageneraattorin avulla voit heittää verkossa 1–4 noppaa.

Heitä noppaa verkossa rehellisesti

Oikeita noppaa käytettäessä voidaan käyttää oikotietä tai erikoistehtyjä noppaa, joilla on etu jommallakummalla puolella. Voit esimerkiksi pyörittää kuutiota pitkin yhtä akseleista, jolloin todennäköisyysjakauma muuttuu. Virtuaalikuutioidemme ominaisuus on ohjelmiston käyttö. Tämän avulla voit tarjota todella satunnaisen muunnelman tästä tai tuosta tuloksesta.

Ja jos lisäät tämän sivun kirjanmerkkeihin, online-noppaasi eivät katoa mihinkään ja ovat aina käsillä oikeaan aikaan!

Jotkut ihmiset ovat sopeutuneet käyttämään online-noppaa ennustamiseen tai ennusteiden ja horoskooppien laatimiseen.

Iloinen meininki, hyvää päivää ja onnea!

Einsteinin lausunto, jonka mukaan Jumala ei pelaa noppaa maailmankaikkeuden kanssa, on tulkittu väärin

Harvoja Einsteinin iskulauseista on lainattu yhtä laajasti kuin hänen huomautuksensa, jonka mukaan Jumala ei pelaa noppaa maailmankaikkeuden kanssa. Ihmiset pitävät tätä hänen nokkelaa kommenttiaan luonnollisesti todisteena siitä, että hän vastusti dogmaattisesti kvanttimekaniikkaa, joka pitää satunnaisuutta fyysisen maailman ominaisuutena. Kun radioaktiivisen elementin ydin hajoaa, se tapahtuu spontaanisti, ei ole sääntöä, joka kertoisi tarkalleen milloin tai miksi näin tapahtuu. Kun valohiukkanen putoaa läpikuultavan peilin päälle, se joko heijastuu siitä tai kulkee sen läpi. Lopputulos voi olla mikä tahansa tapahtuman tapahtumahetkeen asti. Eikä sinun tarvitse mennä laboratorioon nähdäksesi tämänkaltaisen prosessin: monet Internet-sivustot näyttävät Geiger-laskurien tai kvanttioptisten laitteiden tuottamia satunnaislukuvirtoja. Koska luvut ovat jopa periaatteessa arvaamattomia, ne ovat ihanteellisia kryptografiaan, tilastoihin ja nettipokeriturnauksiin.

Einstein, kuten tavallinen legenda sanoo. kieltäytyi hyväksymästä tosiasiaa, että jotkut tapahtumat ovat luonteensa vuoksi määrittelemättömiä. - Ne vain tapahtuvat, eikä mitään voida tehdä syyn selvittämiseksi. Pysyen lähes upeassa eristyksissä, tasavertaisten ympäröimänä, hän tarttui molemmin käsin klassisen fysiikan mekaaniseen universumiin mittaaen mekaanisesti sekunteja, joissa jokainen hetki määrää, mitä tapahtuu seuraavassa. Noppaviivasta tuli osoitus hänen elämänsä toisesta puolesta: vallankumoukselliseksi muuttuneen taantumuksellisen tragediasta, joka mullisti fysiikan suhteellisuusteoriallaan, mutta - kuten Niels Bohr diplomaattisesti ilmaisi - kohtasi kvanttiteorian, "jätti päivälliselle".

Vuosien mittaan monet historioitsijat, filosofit ja fyysikot ovat kuitenkin kyseenalaistaneet tämän tarinan tulkinnan. Sukeltaessaan mereen kaiken sen, mitä Einstein todella sanoi, he huomasivat, että hänen arvaamattomuusarvionsa olivat radikaalimpia ja vivahteikkaampia kuin yleensä esitetään. "Tosi tarinan kaivamisesta esiin tulee lähetyssaarnaaja", sanoo Don Howard (Don A. Howard), historioitsija Notre Damen yliopistosta. Kuten hän ja muut tieteen historioitsijat ovat osoittaneet, Einstein tunnusti kvanttimekaniikan epädeterministisen luonteen - mikä ei ole yllättävää, koska hän löysi sen epädeterminismin. Hän ei koskaan tunnustanut, että indeterminismi on luonteeltaan perustavanlaatuista. Kaikki tämä osoitti, että ongelma syntyy syvemmällä todellisuuden tasolla, jota teoria ei heijastanut. Hänen kritiikkinsä ei ollut mystistä, vaan keskittyi tiettyihin tieteellisiin ongelmiin, jotka ovat edelleen ratkaisematta.

Kysymys siitä, onko maailmankaikkeus kellokoneisto vai noppapöytä, horjuttaa fysiikan perusteita: luonnon hämmästyttävän monimuotoisuuden taustalla olevien yksinkertaisten sääntöjen etsimistä. Jos jotain tapahtuu ilman syytä, se lopettaa rationaalisen tutkimuksen. "Fundamentaalinen indeterminismi merkitsisi tieteen loppua", sanoi Andrew S. Friedman, kosmologi Massachusetts Institute of Technologysta. Silti filosofit kautta historian ovat uskoneet, että indeterminismi on välttämätön edellytys ihmisen vapaalle tahdolle. Joko olemme kaikki kellokoneiston hammaspyöriä, ja siksi kaikki mitä teemme on ennalta määrättyä, tai olemme oman kohtalomme agentti, jolloin maailmankaikkeuden ei silti pitäisi olla deterministinen.

Tällä kaksijakoisuudella on ollut hyvin todellisia seurauksia tapaan, jolla yhteiskunta pitää ihmiset vastuussa teoistaan. Oikeusjärjestelmämme perustuu olettamukseen vapaasta tahdosta; jotta vastaaja todetaan syylliseksi, hänen on täytynyt toimia tahallaan. Tuomioistuimet pohtivat jatkuvasti kysymystä: entä jos henkilö on syytön hulluuden, nuorekkaan impulsiivisuuden tai mätäisen sosiaalisen ympäristön vuoksi?

Aina kun ihmiset kuitenkin puhuvat dikotomiasta, he pyrkivät paljastamaan sen väärinkäsityksenä. Itse asiassa monet filosofit uskovat, että on merkityksetöntä puhua siitä, onko maailmankaikkeus deterministinen vai ei-deterministinen. Se voi olla molempia riippuen siitä, kuinka suuri tai monimutkainen tutkimuskohde on: hiukkaset, atomit, molekyylit, solut, organismit, psyyke, yhteisöt. "Determinismin ja indeterminismin välinen ero riippuu ongelman tutkimustasosta", sanoo London School of Economics and Political Sciencen filosofi Christian List. "Vaikka tarkkailet determinismia jollain tietyllä tasolla, tämä on melko sopusoinnussa indeterminismin kanssa sekä korkeammalla että alemmalla tasolla." Aivomme atomit voivat käyttäytyä täysin deterministisesti, mutta silti jättää meille vapauden toimia atomien ja elinten toimiessa eri tasoilla.

Samoin Einstein etsi determinististä subkvanttitasoa, mutta ei samalla kiistä, että kvanttitaso on todennäköisyys.

Mitä Einstein vastusti?

Kuinka Einstein ansaitsi antikvanttiteorian leiman, on lähes yhtä suuri mysteeri kuin kvanttimekaniikka itse. Kvantin – erillisen energiayksikön – käsite oli hänen heijastustensa hedelmä vuonna 1905, ja puolitoista vuosikymmentä hän puolusti sitä lähes yksin. Einstein ehdotti sitä. mitä fyysikot pitävät nykyään kvanttifysiikan pääpiirteinä, kuten valon outo kyky toimia hiukkasena ja aaltona, ja juuri hänen aaltofysiikkaa koskevista pohdinnoistaan ​​Erwin Schrödinger kehitti laajimmin hyväksytyn kvanttifysiikan muotoilun. teoria 1920-luvulla. Einstein ei myöskään ollut sattuman vastustaja. Vuonna 1916 hän osoitti, että kun atomit lähettävät fotoneja, säteilyn aika ja suunta ovat satunnaismuuttujia.

"Tämä on vastoin suosittua Einsteinin esittämistä todennäköisyyksien lähestymistavan vastakohtana", väittää Jan von Plato Helsingin yliopistosta. Mutta Einstein ja hänen aikalaisensa kohtasivat vakavan ongelman. Kvanttiilmiöt ovat satunnaisia, mutta kvanttiteoria itsessään ei ole. Schrödingerin yhtälö on 100 % deterministinen. Se kuvaa hiukkasta tai hiukkasjärjestelmää käyttämällä ns. aaltofunktiota, joka hyödyntää hiukkasten aaltoluonnetta ja selittää hiukkaskokoelman muodostaman aaltomaisen kuvion. Yhtälö ennustaa täysin varmasti, mitä aaltofunktiolle tapahtuu kulloinkin. Tämä yhtälö on monella tapaa deterministisempi kuin Newtonin liikelait: se ei johda sekaannuksiin, kuten singulaarisuuteen (jossa suuret muuttuvat äärettömiksi ja siksi sanoin kuvailemattomiksi) tai kaaokseen (jossa liikkeestä tulee arvaamaton).

Havainto on siinä, että Schrödingerin yhtälön determinismi on aaltofunktion determinismi, eikä aaltofunktiota voida havaita suoraan, toisin kuin hiukkasten sijainti ja nopeudet. Sen sijaan aaltofunktio määrittää havaittavissa olevat magnitudit ja kunkin mahdollisen lopputuloksen todennäköisyyden. Teoria jättää avoimeksi kysymykset siitä, mikä itse aaltofunktio on ja pitäisikö se ottaa kirjaimellisesti todellisena aaltona aineellisessa maailmassamme. Näin ollen seuraava kysymys jää avoimeksi: onko havaittu satunnaisuus luonnon luontainen ominaisuus vai vain sen julkisivu? "Väitetään, että kvanttimekaniikka on epädeterministinen, mutta tämä on liian hätäinen johtopäätös", sanoo filosofi Christian Wuthrich Geneven yliopistosta Sveitsistä.

Werner Heisenberg, toinen kvanttiteorian perustan luoneista pioneereista, käsitti aaltofunktion potentiaalisen olemassaolon hämäränä. Jos hiukkasen sijaintia ei voida osoittaa selvästi ja yksiselitteisesti, se johtuu siitä, että hiukkanen ei todellakaan sijaitse missään tietyssä paikassa. Vasta kun tarkkailet hiukkasta, se materialisoituu jossain avaruudessa. Aaltofunktio voisi levitä laajalle avaruuden alueelle, mutta sillä hetkellä, kun havainto tehdään, se romahtaa välittömästi, kutistuu kapeaksi pisteeksi, joka sijaitsee yhdessä tietyssä paikassa, ja yhtäkkiä hiukkanen ilmestyy sinne. Mutta vaikka katsot hiukkasta, bang! - se yhtäkkiä lakkaa käyttäytymästä deterministisesti ja hyppää lopulliseen tilaan, kuin lapsi tarttuisi tuoliin "musiikkituolien" pelissä. (Peli koostuu siitä, että lapset kävelevät pyöreässä tanssissa musiikin tahtiin tuolien ympärillä, joiden lukumäärä on yksi vähemmän kuin pelaajien lukumäärä, ja yrittävät istua tyhjälle paikalle heti, kun musiikki loppuu).

Ei ole olemassa lakia, joka ohjaisi tätä romahdusta. Sille ei ole yhtälöä. Se vain tapahtuu - siinä kaikki! Romahduksesta tuli Kööpenhaminan tulkinnan avainelementti: näkymä kvanttimekaniikasta, joka nimettiin kaupungin mukaan, jossa Bohr ja hänen instituuttinsa yhdessä Heisenbergin kanssa tekivät suurimman osan perustavanlaatuisesta työstä. (Ironista kyllä, Bohr itse ei koskaan tunnistanut aaltofunktion romahtamista.) Kööpenhaminan koulukunta pitää kvanttifysiikan havaittua satunnaisuutta sen nimellisenä ominaisuutena, jota ei voida selittää tarkemmin. Useimmat fyysikot ovat tästä samaa mieltä, yksi syy tähän on psykologiasta tunnettu ns. ankkuriefekti eli ankkurivaikutus: tämä on täysin tyydyttävä selitys, ja se ilmestyi ensimmäisenä. Vaikka Einstein ei vastustanut kvanttimekaniikkaa, hän oli ehdottomasti sen Kööpenhaminan tulkinnan vastustaja. Hän lähti ajatuksesta, että mittaus aiheuttaa katkon fyysisen järjestelmän jatkuvassa kehityksessä, ja juuri tässä yhteydessä hän alkoi ilmaista vastustavansa jumalallista nopanheittoa. "Juuri tästä asiasta Einstein valittaa vuonna 1926, eikä kaikkea kattavaa metafyysistä väitettä determinismistä ehdottoman välttämättömänä edellytyksenä", Howard väittää.

Todellisuuden moninaisuus.Ja silti, onko maailma deterministinen vai ei? Vastaus tähän kysymykseen ei riipu vain liikkeen peruslaeista, vaan myös siitä, millä tasolla kuvaamme järjestelmää. Tarkastellaan viittä atomia kaasussa, jotka liikkuvat deterministisesti (ylempi diagrammi). Ne alkavat melkein samasta paikasta ja eroavat vähitellen. Makroskooppisella tasolla (alempi diagrammi) ei kuitenkaan ole näkyvissä yksittäisiä atomeja, vaan amorfinen virtaus kaasussa. Jonkin ajan kuluttua kaasu todennäköisesti jakautuu satunnaisesti useisiin virtoihin. Tämä makrotason satunnaisuus on sivutuote havainnoijan tietämättömyydestä mikrotason laeista, se on objektiivinen luonnon ominaisuus, joka heijastaa tapaa, jolla atomit tulevat yhteen. Samoin Einstein oletti, että universumin deterministinen sisäinen rakenne johtaa kvanttimaailman todennäköisyyteen.

Romahdus ei todennäköisesti ole todellinen prosessi, Einstein väitti. Tämä vaatisi välitöntä toimintaa etäältä, mystistä mekanismia, jossa esimerkiksi aaltofunktion vasen ja oikea puoli romahtavat samaan pieneen pisteeseen, vaikka mikään voima ei koordinoisi heidän käyttäytymistään. Ei vain Einstein, vaan jokainen aikansa fyysikko uskoi, että tällainen prosessi oli mahdoton, sen täytyisi tapahtua nopeammin kuin valon nopeus, mikä on ilmeisessä ristiriidassa suhteellisuusteorian kanssa. Itse asiassa kvanttimekaniikka ei vain anna sinulle noppaa, se antaa sinulle noppapareja, joilla on aina samat kasvot, vaikka heittäisit yhden Vegasissa ja toisen Vegassa. Einsteinille näytti itsestään selvältä, että noppaa on ladattava, jolloin voit vaikuttaa heittojen lopputulokseen piilotetulla tavalla etukäteen. Mutta Kööpenhaminan koulukunta kiistää tällaisen mahdollisuuden ja viittaa siihen, että rystyset todellakin vaikuttavat välittömästi toisiinsa avaruudessa. Lisäksi Einstein oli huolissaan voimasta, jonka Kööpenhaminalaiset pitivät mittaustoimen ansioksi. Mikä mittaus muuten on? Ehkä se on jotain, mitä vain tuntevat olennot tai jopa vakinaiset professorit voivat tehdä? Heisenberg ja muut Kööpenhaminan koulukunnan edustajat eivät koskaan määrittäneet tätä käsitettä. Jotkut ovat ehdottaneet, että luomme ympäröivän todellisuuden mielessämme tarkkailemalla sitä, ajatus, joka kuulostaa runolliselta, ehkä liian runolliselta. Einstein piti myös Kööpenhaminan ylimielisyyden huippuna sanoa, että kvanttimekaniikka on täydellinen, että se on lopullinen teoria, jota ei koskaan korvata toisella. Hän piti kaikkia teorioita, myös omaansa, siltoina johonkin vielä suurempaan.

Itse asiassa. Howard väittää, että Einstein hyväksyisi mielellään indeterminismin, jos hän pystyisi vastaamaan kaikkiin ratkaistavaksi jääviin ongelmiinsa – jos esimerkiksi joku voisi selkeästi ilmaista, mikä mittaus on ja kuinka hiukkaset voivat pysyä synkronoituina ilman pitkän kantaman toimintaa. Osoitus siitä, että Einstein piti indeterminismia toissijaisena ongelmana, on se, että hän esitti samat vaatimukset Kööpenhaminan koulukunnan deterministisille vaihtoehdoille ja myös hylkäsi ne. Toinen historioitsija, Arthur Fine Washingtonin yliopistosta. uskoo. Howard liioittelee Einsteinin herkkyyttä indeterminismille, mutta on samaa mieltä siitä, että hänen tuomionsa perustuvat vahvemmalle perustalle kuin useat fyysikkojen sukupolvet ovat tottuneet uskomaan noppapeliä koskevien lausuntojen palasten perusteella.

satunnaisia ​​ajatuksia

Jos otat köydenvedon Kööpenhaminan koulukunnan puolella, Einstein uskoi, huomaat, että kvanttihäiriö on kuten kaikki muutkin fysiikan häiriötyypit: se on syvemmän näkemyksen tuote. Pienten pölyhiukkasten tanssi valonsäteessä paljastaa molekyylien monimutkaisen liikkeen, ja fotonien emissio tai ytimien radioaktiivinen hajoaminen on samanlainen prosessi, Einstein uskoi. Hänen mielestään kvanttimekaniikka on arvioiva teoria, joka ilmaisee luonnon rakennuspalikoiden yleistä käyttäytymistä, mutta jolla ei ole riittävää resoluutiota yksittäisten yksityiskohtien kaappaamiseen.

Syvällisempi, täydellisempi teoria selittää liikkeen täysin - ilman salaperäisiä hyppyjä. Tästä näkökulmasta katsottuna aaltofunktio on kollektiivinen kuvaus, joka osoittaa, että tavallinen noppa putoaa, jos sitä heitetään monta kertaa, suunnilleen yhtä monta kertaa kummallekin puolelleen. Aaltofunktion romahtaminen ei ole fyysinen prosessi, vaan tiedon hankkiminen. Jos heittät kuusisivuista noppaa ja se tulee esille vaikkapa neljä, vaihtoehtojen valikoima yhdestä kuuteen kutistuu, tai voisi sanoa, romahtaa todelliseen arvoon "neljä". Jumalan kaltainen demoni, joka pystyy seuraamaan nopan lopputulokseen vaikuttavan atomirakenteen yksityiskohtia (eli mittaamaan tarkasti, kuinka kätesi työntää ja pyörittää noppia ennen kuin se osuu pöytään), ei koskaan puhu romahduksesta.

Einsteinin intuitiota vahvisti hänen varhainen työ molekyyliliikkeen kollektiivisesta vaikutuksesta, jota tutkittiin fysiikan alalla nimeltä tilastollinen mekaniikka ja jossa hän osoitti, että fysiikka voi olla todennäköisyyttä, vaikka ilmiöt perustuvat deterministiseen todellisuuteen. Vuonna 1935 Einstein kirjoitti filosofi Karl Popperille: "En usko, että olet oikeassa väittäessäsi, että on mahdotonta tehdä tilastollisia johtopäätöksiä deterministisen teorian perusteella. Otetaan esimerkiksi klassinen tilastomekaniikka (kaasuteoria tai Brownin liikkeen teoria). Todennäköisyydet Einsteinin ymmärryksessä olivat yhtä todellisia kuin Kööpenhaminan koulukunnan tulkinnassa. Ne ilmenevät liikkeen peruslaeissa ja heijastavat muita ympäröivän maailman ominaisuuksia, eivätkä ne ole vain ihmisen tietämättömyyden esineitä. Einstein ehdotti Popperille esimerkkinä, että harkitse hiukkasta, joka liikkuu ympyrässä vakionopeudella; todennäköisyys löytää hiukkanen tietystä ympyränkaaren segmentistä heijastaa sen liikeradan symmetriaa. Samoin todennäköisyys sille, että noppa osuu tietylle pinnalle, on kuudesosa, koska sillä on kuusi yhtäläistä pintaa. "Hän ymmärsi paremmin kuin useimmat siihen aikaan, että tärkeä fysiikka piilee tilastollis-mekaanisen todennäköisyyden yksityiskohdissa", Howard sanoo.

Toinen tilastomekaniikan opetus oli, että havaitsemamme suuret eivät välttämättä ole olemassa syvemmällä tasolla. Esimerkiksi kaasulla on lämpötila, mutta yhden kaasumolekyylin lämpötilasta ei ole mitään järkeä puhua. Analogisesti Einstein uskoi, että subkvanttiteoria vaadittiin merkitsemään radikaalia katkosta kvanttimekaniikasta. Vuonna 1936 hän kirjoitti: "Ei ole epäilystäkään siitä, että kvanttimekaniikka on vanginnut kauniin totuuden elementin<...>En kuitenkaan usko, että kvanttimekaniikka olisi lähtökohta tämän perustan etsinnässä, eikä päinvastoin, termodynamiikasta (vastaavasti tilastomekaniikasta) ei voida siirtyä mekaniikan perusteisiin. "Tämän syvemmän tason täyttämiseksi Einstein johti etsintää yhtenäisen teorian suuntaan, jossa hiukkaset ovat johdannaisia ​​rakenteista, jotka eivät ole lainkaan hiukkasten kaltaisia. Lyhyesti sanottuna perinteinen viisaus, jonka mukaan Einstein kieltäytyi hyväksymästä kvanttifysiikan todennäköisyyttä, on virheellinen.Hän yritti selittää satunnaisuutta, eikä antaa vaikutelmaa, ettei sitä ole ollenkaan.

Tee tasostasi paras

Vaikka Einsteinin yhtenäinen teoriaprojekti epäonnistui, hänen intuitiivisen satunnaisuuden lähestymistapansa perusperiaatteet pitävät edelleen paikkansa: indeterminismi voi syntyä determinismistä. Kvantti- ja subkvanttitasot – tai mikä tahansa muu luonnonhierarkian tasopari – koostuvat erityyppisistä rakenteista, joten ne noudattavat erilaisia ​​lakeja. Yhtä tasoa hallitseva laki voi luonnollisesti sallia sattuman, vaikka alemman tason lait olisivat täysin säänneltyjä. "Deterministinen mikrofysiikka ei synnytä determinististä makrofysiikkaa", sanoo filosofi Jeremy Butterfield Cambridgen yliopistosta.

Kuvittele noppaa atomitasolla. Kuutio voi koostua käsittämättömän suuresta määrästä atomikokoonpanoja, jotka ovat täysin erottamattomia toisistaan ​​paljaalla silmällä. Jos noudatat jotakin näistä kokoonpanoista nopan pyöriessä, se johtaa tiettyyn lopputulokseen - tiukasti deterministiseen. Joissakin kokoonpanoissa meisti pysähtyy yhteen pisteeseen yläpinnassa, toisissa se pysähtyy kahteen. jne. Siksi yksi makroskooppinen tila (jos saat kuution pyörimään) voi johtaa useisiin mahdollisiin makroskooppisiin tuloksiin (yksi kuudesta pinnasta on ylhäällä). "Jos kuvaamme kuolaa makrotasolla, voimme ajatella sitä stokastisena järjestelmänä, joka mahdollistaa objektiivisen satunnaisuuden", sanoo Liszt, joka tutkii tasokonjugaatiota Marcus Pivaton, matemaatikon kanssa Cergy-Pontoisen yliopistosta Ranskassa.

Vaikka korkeampi taso rakentuu alemmalle tasolle, se on itsenäinen. Noppien kuvaamiseksi on työskenneltävä sillä tasolla, jolla nopat ovat olemassa, ja kun teet niin, et voi olla laiminlyömättä atomeja ja niiden dynamiikkaa. Jos risteyttää yhden tason toisen kanssa, teet luokkakorvaustempun: se on kuin kysyisit lohivoileivän poliittisesta sitoutumisesta (Columbian yliopiston filosofin David Albertin esimerkkinä). "Kun meillä on ilmiö, jota voidaan kuvata eri tasoilla, meidän on oltava käsitteellisesti erittäin varovaisia, ettemme sekoittele tasoja", List sanoo. Tästä syystä nopanheiton tulos ei näytä vain satunnaiselta. Se on todella satunnaista. Jumalan kaltainen demoni saattaa kerskua tietävänsä tarkalleen mitä tapahtuu, mutta hän tietää vain, mitä atomeille tapahtuu. Hän ei edes epäile, mitä noppa on, koska tämä on korkeamman tason tietoa. Demoni ei koskaan näe metsää, vain puita. Hän on kuin argentiinalaisen kirjailijan Jorge Luis Borgesin "Funes the memoryful" -tarinan päähenkilö - mies, joka muistaa kaiken, mutta ei käsitä mitään. "Ajatteleminen tarkoittaa eron unohtamista, yleistämistä, abstraktia", kirjoittaa Borges. Jotta demoni tietää, kummalle puolelle noppa putoaa, on tarpeen selittää, mitä etsiä. "Ainoa tapa, jolla demoni voi päästä ylimmän tason tapahtumiin, on, jos sille annetaan yksityiskohtainen kuvaus siitä, kuinka määritämme tasojen välisen rajan", List sanoo. Todellakin, tämän jälkeen demoni tulee todennäköisesti mustasukkaiseksi siitä, että olemme kuolevaisia.

Tasojen logiikka toimii myös täsmälleen päinvastaiseen suuntaan. Ei-deterministinen mikrofysiikka voi johtaa deterministiseen makrofysiikkaan. Pesäpallo voidaan tehdä hiukkasista, jotka käyttäytyvät kaoottisesti, mutta sen lento on täysin ennustettavissa; kvantti-satunnaisuus, keskiarvo. katoaa. Vastaavasti kaasut koostuvat molekyyleistä, jotka liikkuvat äärimmäisen monimutkaisissa - ja todellakin epädeterministisissa - liikkeissä, mutta niiden lämpötila ja muut ominaisuudet noudattavat lakeja, jotka ovat niinkin yksinkertaisia ​​kuin kaksi ja kaksi. Spekulatiivisemmin jotkut fyysikot, kuten Stanfordin yliopiston Robert Laughlin, ehdottavat, että pohjatasolla ei ole merkitystä. Rakennuspalikat voivat olla mitä tahansa, ja silti heidän kollektiivinen käyttäytymisensä on sama. Loppujen lopuksi niinkin erilaiset järjestelmät kuin vesimolekyylit, tähdet galaksissa ja autot moottoritiellä noudattavat samoja nestevirtauksen lakeja.

Vihdoin vapaa

Kun ajattelee tasoja, pelko siitä, että indeterminismi voisi merkitä tieteen loppua, katoaa. Ympärillämme ei ole korkeaa muuria, joka suojelee lakia noudattavaa maailmankaikkeuden fragmenttiamme anarkialle alttiilta ja käsittämättömiltä muilta osilta. Itse asiassa maailma on determinismin ja indeterminismin kerroskakku. Esimerkiksi maapallon ilmastoa säätelevät Newtonin deterministiset liikelait, mutta sääennuste on todennäköinen, kun taas vuodenaikojen ja pitkän aikavälin ilmastotrendit ovat jälleen ennustettavissa. Biologia seuraa myös determinististä fysiikkaa, mutta organismit ja ekosysteemit vaativat muita kuvausmenetelmiä, kuten darwinilaista evoluutiota. "Determinismi ei selitä aivan kaikkea", toteaa Tuftsin yliopiston filosofi Daniel Dennett. "Miksi kirahvit ilmestyivät? Koska kuka päätti: olkoon niin?"

Ihmiset ovat välissä tämän kerroskakun sisällä. Meillä on voimakas vapaan tahdon tunne. Teemme usein arvaamattomia ja enimmäkseen tärkeitä päätöksiä, ymmärrämme, että olisimme voineet tehdä toisin (ja usein kadumme, että emme tehneet). Vuosituhansien ajan niin kutsutut libertaarit, vapaan tahdon filosofisen opin kannattajat (jota ei pidä sekoittaa poliittiseen liikkeeseen!), ovat väittäneet, että henkilön vapaus edellyttää hiukkasen vapautta. Jonkin täytyy tuhota deterministinen tapahtumien kulku, kuten kvantti-satunnaisuus tai "poikkeamat", jotka, kuten jotkut muinaiset filosofit uskoivat, atomit voivat kokea liikkuessaan (käsite atomin satunnaisesta arvaamattomasta poikkeamasta alkuperäisestä liikeradastaan ​​otettiin käyttöön Lucretiuksen muinainen filosofia puolustamaan Epikuroksen atomistista oppia).

Tämän päättelyn suurin ongelma on, että se vapauttaa hiukkaset, mutta jättää meidät orjiksi. Sillä ei ole väliä, oliko päätöksesi ennalta määrätty alkuräjähdyksen aikaan vai pienestä hiukkasesta, se ei silti ole sinun päätöksesi. Ollaksemme vapaita, tarvitsemme indeterminismia, ei hiukkastasolla, vaan ihmistasolla. Ja tämä on mahdollista, koska ihmistaso ja hiukkastaso ovat toisistaan ​​riippumattomia. Vaikka kaikki tekemäsi voitaisiin jäljittää aivan ensimmäisiin askeliin, olet tekojesi herra, koska sinä etkä tekosi eivät ole olemassa aineen tasolla, vaan vain tietoisuuden makrotasolla. "Tämä mikrodeterminismiin perustuva makroindeterminismi on luultavasti se, mikä takaa vapaan tahdon", Butterfield sanoi. Makroindeterminismi ei ole syy päätöksiisi. Tämä on sinun päätöksesi.

Jotkut luultavasti vastustavat ja sanovat, että olet edelleen nukke ja luonnonlait toimivat nukkenäyttelijänä ja että vapautesi ei ole muuta kuin illuusiota. Mutta jo sana "illuusio" tuo mieleen miraasit autiomaassa ja puoliksi sahatut naiset: kaikkea tätä ei ole olemassa todellisuudessa. Makroindeterminismi ei ole sama asia. Se on aivan totta, ei vain perustavanlaatuista. Sitä voi verrata elämään. Yksittäiset atomit ovat täysin elotonta ainetta, mutta niiden valtava massa voi elää ja hengittää. "Kaikki mikä liittyy agentteihin, heidän tahtotilaansa, heidän päätöksiinsä ja valintoihinsa - millään näistä kokonaisuuksista ei ole mitään tekemistä perusfysiikan käsitteellisen työkalupakin kanssa, mutta tämä ei tarkoita, että nämä ilmiöt eivät olisi todellisia", List huomauttaa. . tarkoittaa yksinkertaisesti, että ne ovat kaikki paljon korkeamman tason ilmiöitä."

Olisi luokkavirhe, ellei täydellinen tietämättömyys, kuvailla ihmisten päätöksiä atomien liikkumisen mekaniikalla päässäsi. Sen sijaan on tarpeen käyttää kaikkia psykologian käsitteitä: halu, mahdollisuus, aikomukset. Miksi join vettä enkä viiniä? Koska halusin. Haluni selittää tekoni. Useimmissa tapauksissa, kun kysymme "miksi?", etsimme yksilön motivaatiota, emme hänen fyysistä taustaansa. Psykologiset selitykset sallivat sellaisen indeterminismin, josta List puhuu. Esimerkiksi peliteoreetikot mallintavat ihmisen päätöksentekoa esittämällä erilaisia ​​vaihtoehtoja ja selittämällä, minkä valitsisit, jos toimisit rationaalisesti. Vapautesi valita tietty vaihtoehto määrää valintasi, vaikka et koskaan valitsisikaan sitä.

Listin argumentit eivät toki täysin selitä vapaata tahtoa. Tasojen hierarkia avaa tilaa vapaalle tahdolle, erottaa psykologian fysiikasta ja antaa meille mahdollisuuden tehdä odottamattomia asioita. Mutta meidän on tartuttava tähän tilaisuuteen. Jos esimerkiksi tekisimme kaikki päätökset heittämällä kolikon, tätä pidettäisiin silti makroindeterminisminä, mutta se tuskin pidettäisiin vapaana tahdona millään mielekkäässä mielessä. Toisaalta joidenkin ihmisten päätöksenteko voi olla niin uuvuttavaa, että ei voida sanoa toimivansa vapaasti.

Tällainen lähestymistapa determinismin ongelmaan antaa merkityksen kvanttiteorian tulkinnalle, jota ehdotettiin muutama vuosi Einsteinin kuoleman jälkeen vuonna 1955. Sitä kutsuttiin monien maailmojen tulkinnaksi tai Everettin tulkinnaksi. Sen kannattajat väittävät, että kvanttimekaniikka kuvaa kokoelmaa rinnakkaisia ​​universumeja - multiversumia, joka käyttäytyy yleensä deterministisesti, mutta näyttää meistä ei-deterministiseltä, koska voimme nähdä vain yhden maailmankaikkeuden. Esimerkiksi atomi voi lähettää fotonin oikealle tai vasemmalle; kvanttiteoria jättää tämän tapahtuman tuloksen avoimeksi. Monen maailman tulkinnan mukaan tällainen kuva havaitaan, koska täsmälleen sama tilanne tapahtuu lukemattomissa rinnakkaisissa universumeissa: joissakin niistä fotoni lentää deterministisesti vasemmalle ja toisissa oikealle. Emme voi ennustaa mitä tapahtuu, koska emme voi ennustaa, mitä tapahtuu, joten tämä tilanne näyttää sisältäpäin käsittämättömältä. "Avaruudessa ei ole todellista satunnaisuutta, mutta tapahtumat voivat näyttää sattumanvaraisilta tarkkailijan silmissä", selittää tämän näkemyksen tunnettu kannattaja, kosmologi Max Tegmark Massachusetts Institute of Technologysta. "Satunnaisuus kuvastaa kyvyttömyyttäsi määrittää, missä Sinä olet."

Se on kuin sanoisi, että noppaa tai aivot voidaan rakentaa mistä tahansa lukemattomista atomikokoonpanoista. Tämä konfiguraatio itsessään voi olla deterministinen, mutta koska emme voi tietää, mikä vastaa noppaamme tai aivojamme, meidän on pakko olettaa, että lopputulos on ei-deterministinen. Näin ollen rinnakkaisuniversumit eivät ole jotain eksoottista ideaa, joka leijuu sairaassa mielikuvituksessa. Kehomme ja aivomme ovat pieniä multiversumeja, se on mahdollisuuksien monimuotoisuus, joka tarjoaa meille vapautta.