Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (članovi progresije)
U kojoj se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog po čeličnom pojmu, koji se još naziva razlika koraka ili progresije.
Dakle, postavljanjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji od njegovih elemenata koristeći formulu
Svojstva aritmetička progresija
1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije
I obrnuto je tačno. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka članu koji stoji između njih, tada je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Ovom tvrdnjom vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.
Također, pomoću svojstva aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće
To je lako provjeriti ako zapišemo pojmove desno od znaka jednakosti
Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.
2) Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se po formuli
Dobro zapamtite formulu za zbir aritmetičke progresije, neophodna je u proračunima i prilično je česta u jednostavnim životnim situacijama.
3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbir, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, onda će vam sljedeća formula sume dobro doći
4) Od praktičnog je interesa pronaći zbir n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu
Tu se završava teorijski materijal i prelazimo na rješavanje problema koji su uobičajeni u praksi.
Primjer 1. Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...
Rješenje:
Prema uslovima imamo
Definirajte korak napredovanja
Prema poznatoj formuli nalazimo četrdeseti član progresije
Primjer 2. Aritmetičku progresiju daju njen treći i sedmi član. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.
Rješenje:
Zapisujemo date elemente progresije prema formulama
Prvu jednačinu oduzimamo od druge jednačine, kao rezultat nalazimo korak progresije
Pronađena vrijednost se zamjenjuje u bilo koju od jednadžbi kako bi se pronašao prvi član aritmetičke progresije
Izračunajte zbir prvih deset članova progresije
Bez primjene složenih proračuna, pronašli smo sve tražene vrijednosti.
Primjer 3. Aritmetičku progresiju daje imenilac i jedan od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbir njegovih 50 članova počevši od 50, i zbir prvih 100.
Rješenje:
Napišimo formulu za stoti element progresije
i pronađite prvu
Na osnovu prvog nalazimo 50. član progresije
Pronalaženje zbroja dijela progresije
i zbir prvih 100
Zbir progresije je 250.
Primjer 4
Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Rješenje:
Zapisujemo jednačine u terminima prvog člana i koraka progresije i definiramo ih
Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u formulu sume kako bismo odredili broj članova u zbroju
Pravljenje pojednostavljenja
i riješi kvadratnu jednačinu
Od dvije pronađene vrijednosti, samo je broj 8 prikladan za stanje problema. Tako je zbir prvih osam članova progresije 111.
Primjer 5
riješi jednačinu
1+3+5+...+x=307.
Rješenje: Ova jednačina je zbir aritmetičke progresije. Zapisujemo njegov prvi član i nalazimo razliku progresije
Ako je svaki prirodan broj n odgovara realnom broju a n , onda kažu da je dato numerički niz :
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .
Dakle, numerički niz je funkcija prirodnog argumenta.
Broj a 1 pozvao prvi član niza , broj a 2 — drugi član niza , broj a 3 — treće i tako dalje. Broj a n pozvao n-ti član sekvence , i prirodni broj n — njegov broj .
Od dva susedna člana a n i a n +1 sekvence članova a n +1 pozvao naknadno (prema a n ), a a n — prethodni (prema a n +1 ).
Da biste specificirali niz, morate specificirati metodu koja vam omogućava da pronađete član niza s bilo kojim brojem.
Često je niz dat sa formule n-og člana , odnosno formula koja vam omogućava da odredite član niza po njegovom broju.
Na primjer,
niz pozitivnih neparnih brojeva može se dati formulom
a n= 2n- 1,
i redoslijed naizmjeničnog 1 i -1 - formula
b n = (-1)n +1 . ◄
Redoslijed se može odrediti ponavljajuća formula, odnosno formula koja izražava bilo koji član niza, počevši od nekih, preko prethodnih (jedan ili više) članova.
Na primjer,
ako a 1 = 1 , a a n +1 = a n + 5
a 1 = 1,
a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Ako a a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tada se prvih sedam članova numeričkog niza postavlja na sljedeći način:
a 1 = 1,
a 2 = 1,
a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,
a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,
a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,
a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,
a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sekvence mogu biti final i beskrajno .
Slijed se zove krajnji ako ima konačan broj članova. Slijed se zove beskrajno ako ima beskonačno mnogo članova.
Na primjer,
dvocifreni niz prirodni brojevi:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
final.
Redoslijed prostih brojeva:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
beskrajno. ◄
Slijed se zove povećanje , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, veći od prethodnog.
Slijed se zove opadanje , ako je svaki njegov član, počevši od drugog, manji od prethodnog.
Na primjer,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . je uzlazni niz;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . je silazni niz. ◄
Niz čiji se elementi ne smanjuju s povećanjem broja, ili, obrnuto, ne povećavaju, naziva se monotoni niz .
Monotoni nizovi, posebno, su rastuće sekvence i opadajuće sekvence.
Aritmetička progresija
Aritmetička progresija poziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, kojem se dodaje isti broj.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .
je aritmetička progresija za bilo koji prirodan broj n ispunjen je uslov:
a n +1 = a n + d,
gdje d - neki broj.
Dakle, razlika između narednih i prethodnih članova date aritmetičke progresije je uvijek konstantna:
a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.
Broj d pozvao razlika aritmetičke progresije.
Za postavljanje aritmetičke progresije dovoljno je navesti njen prvi član i razliku.
Na primjer,
ako a 1 = 3, d = 4 , tada se prvih pet članova niza nalaze na sljedeći način:
a 1 =3,
a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,
a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,
a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,
a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
Za aritmetičku progresiju s prvim članom a 1 i razlika d ona n
a n = a 1 + (n- 1)d.
Na primjer,
pronađite trideseti član aritmetičke progresije
1, 4, 7, 10, . . .
a 1 =1, d = 3,
a 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄
a n-1 = a 1 + (n- 2)d,
a n= a 1 + (n- 1)d,
a n +1 = a 1 + nd,
onda očigledno
| a n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova.
brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke aritmetičke progresije ako i samo ako je jedan od njih jednak aritmetičkoj sredini druga dva.
Na primjer,
a n = 2n- 7 , je aritmetička progresija.
Koristimo gornju izjavu. Imamo:
a n = 2n- 7,
a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
shodno tome,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = a n,
|
| 2
| 2
|
◄
Zapiši to n -ti član aritmetičke progresije može se naći ne samo kroz a 1 , ali i bilo koji prethodni a k
a n = a k + (n- k)d.
Na primjer,
za a 5 može se napisati
a 5 = a 1 + 4d,
a 5 = a 2 + 3d,
a 5 = a 3 + 2d,
a 5 = a 4 + d. ◄
a n = a n-k + kd,
a n = a n+k - kd,
onda očigledno
| a n=
| a n-k
+ a n+k
|
| 2
|
bilo koji član aritmetičke progresije, počevši od drugog, jednak je polovini zbroja članova ove aritmetičke progresije koji su jednako udaljeni od njega.
Osim toga, za bilo koju aritmetičku progresiju, jednakost je tačna:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
Na primjer,
u aritmetičkoj progresiji
1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;
2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;
3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jer
a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,
a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,
prvo n članovi aritmetičke progresije jednak je proizvodu polovine zbira ekstremnih članova sa brojem članova:
Iz ovoga, posebno, proizilazi da ako je potrebno zbrojiti pojmove
a k, a k +1 , . . . , a n,
tada prethodna formula zadržava svoju strukturu:
Na primjer,
u aritmetičkoj progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Ako je data aritmetička progresija, onda su količine a 1 , a n, d, n iS n povezane sa dve formule:
Stoga, ako tri od ovih veličina su date, onda se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombinovanih u sistem od dvije jednadžbe sa dvije nepoznate.
Aritmetička progresija je monoton niz. pri čemu:
- ako d > 0 , onda se povećava;
- ako d < 0 , tada se smanjuje;
- ako d = 0 , tada će niz biti stacionaran.
Geometrijska progresija
geometrijska progresija naziva se niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen istim brojem.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
je geometrijska progresija za bilo koji prirodan broj n ispunjen je uslov:
b n +1 = b n · q,
gdje q ≠ 0 - neki broj.
Dakle, omjer sljedećeg člana ove geometrijske progresije u odnosu na prethodni je konstantan broj:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Broj q pozvao nazivnik geometrijske progresije.
Za postavljanje geometrijske progresije dovoljno je navesti njen prvi član i imenilac.
Na primjer,
ako b 1 = 1, q = -3 , tada se prvih pet članova niza nalaze na sljedeći način:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 i imenilac q ona n -ti pojam se može naći po formuli:
b n = b 1 · q n -1 .
Na primjer,
pronađite sedmi član geometrijske progresije 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
bn-1 = b 1 · q n -2 ,
b n = b 1 · q n -1 ,
b n +1 = b 1 · q n,
onda očigledno
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
svaki član geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je geometrijskoj sredini (proporcionalnoj) prethodnog i narednih članova.
Budući da je i obrnuto tačno, vrijedi sljedeća tvrdnja:
brojevi a, b i c su uzastopni članovi neke geometrijske progresije ako i samo ako je kvadrat jednog od njih jednak proizvodu druga dva, odnosno, jedan od brojeva je geometrijska sredina druga dva.
Na primjer,
dokažimo da je niz dat formulom b n= -3 2 n , je geometrijska progresija. Koristimo gornju izjavu. Imamo:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
shodno tome,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
što dokazuje traženu tvrdnju. ◄
Zapiši to n th član geometrijske progresije može se naći ne samo kroz b 1 , ali i bilo koji prethodni mandat b k , za što je dovoljno koristiti formulu
b n = b k · q n - k.
Na primjer,
za b 5 može se napisati
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · q n - k,
b n = b n - k · q k,
onda očigledno
b n 2 = b n - k· b n + k
Kvadrat bilo kojeg člana geometrijske progresije, počevši od drugog, jednak je proizvodu članova ove progresije jednako udaljenih od njega.
Osim toga, za bilo koju geometrijsku progresiju vrijedi jednakost:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
Na primjer,
eksponencijalno
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jer
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
prvo n članovi geometrijske progresije sa nazivnikom q ≠ 0 izračunato po formuli:
I kada q = 1 - prema formuli
S n= n.b. 1
Imajte na umu da ako trebamo zbrojiti pojmove
b k, b k +1 , . . . , b n,
tada se koristi formula:
| S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - q n -
k +1
| . |
| 1 - q
|
Na primjer,
eksponencijalno 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Ako je data geometrijska progresija, onda su količine b 1 , b n, q, n i S n povezane sa dve formule:
Stoga, ako su date vrijednosti bilo koje tri od ovih veličina, tada se odgovarajuće vrijednosti druge dvije veličine određuju iz ovih formula kombinovanih u sistem od dvije jednadžbe s dvije nepoznate.
Za geometrijsku progresiju s prvim članom b 1 i imenilac q odvijaju se sljedeće svojstva monotonosti :
- napredovanje se povećava ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
b 1 > 0 i q> 1;
b 1 < 0 i 0 < q< 1;
- Progresija se smanjuje ako je ispunjen jedan od sljedećih uslova:
b 1 > 0 i 0 < q< 1;
b 1 < 0 i q> 1.
Ako a q< 0 , tada je geometrijska progresija znak naizmjenična: njeni neparni članovi imaju isti predznak kao i prvi član, a parni članovi imaju suprotan predznak. Jasno je da naizmjenična geometrijska progresija nije monotona.
Proizvod prvog n uslovi geometrijske progresije mogu se izračunati po formuli:
P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
Na primjer,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Beskonačno opadajuća geometrijska progresija
Beskonačno opadajuća geometrijska progresija naziva se beskonačna geometrijska progresija čiji je modul nazivnika manji od 1 , to je
|q| < 1 .
Imajte na umu da beskonačno opadajuća geometrijska progresija možda nije opadajući niz. Ovo odgovara slučaju
1 < q< 0 .
Sa takvim nazivnikom, niz je predznak alternativan. Na primjer,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije imenovati broj na koji je zbir prvog n uslovi progresije uz neograničeno povećanje broja n . Ovaj broj je uvijek konačan i izražava se formulom
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
Na primjer,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Odnos aritmetičke i geometrijske progresije
Aritmetička i geometrijska progresija su usko povezane. Razmotrimo samo dva primjera.
a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , onda
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
Na primjer,
1, 3, 5, . . . — aritmetička progresija s razlikom 2 i
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . je geometrijska progresija sa nazivnikom 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . je geometrijska progresija sa nazivnikom q , onda
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — aritmetička progresija s razlikom log aq .
Na primjer,
2, 12, 72, . . . je geometrijska progresija sa nazivnikom 6 i
lg 2, lg 12, lg 72, . . . — aritmetička progresija s razlikom lg 6 . ◄
Problemi aritmetičke progresije postoje od davnina. Pojavili su se i tražili rješenje, jer su imali praktičnu potrebu.
Dakle, u jednom od papirusa starog Egipta, koji ima matematički sadržaj - Rhindov papirus (XIX vek pne) - sadrži sledeći zadatak: podelite deset mera hleba na deset ljudi, pod uslovom da je razlika između svakog od njih jedna osmina mjere.
A u matematičkim radovima starih Grka postoje elegantne teoreme vezane za aritmetičku progresiju. Tako je Hipsikle iz Aleksandrije (2. vek, koji je sastavio mnoge zanimljive probleme i dodao četrnaestu knjigu Euklidovim „Elementima“), formulisao ideju: „U aritmetičkoj progresiji sa parnim brojem članova, zbir članova 2. pol. više od iznosačlanovi 1. na kvadrat 1/2 broja članova.
Niz an je označen. Brojevi niza nazivaju se njegovim članovima i obično se označavaju slovima s indeksima koji označavaju serijski broj ovaj član (a1, a2, a3 ... čitaj: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" i tako dalje).
Niz može biti beskonačan ili konačan.
Šta je aritmetička progresija? Podrazumijeva se da se dobije dodavanjem prethodnog člana (n) sa istim brojem d, što je razlika progresije.
Ako d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda se smatra da se takva progresija povećava.
Za aritmetičku progresiju se kaže da je konačna ako se uzme u obzir samo nekoliko njenih prvih članova. U vrlo u velikom brojučlanova je već beskonačna progresija.
Bilo koja aritmetička progresija data je sljedećom formulom:
an =kn+b, dok su b i k neki brojevi.
Izjava, koja je suprotna, apsolutno je tačna: ako je niz zadan sličnom formulom, onda je to upravo aritmetička progresija, koja ima svojstva:
- Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana.
- Suprotno: ako je, počevši od 2., svaki član aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg, tj. ako je uslov ispunjen, tada je dati niz aritmetička progresija. Ova jednakost je istovremeno i znak progresije, pa se obično naziva karakterističnim svojstvom progresije.
Na isti način, tačna je teorema koja odražava ovo svojstvo: niz je aritmetička progresija samo ako je ova jednakost tačna za bilo koji od članova niza, počevši od 2.
Karakteristično svojstvo za bilo koja četiri broja aritmetičke progresije može se izraziti formulom an + am = ak + al ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).
U aritmetičkoj progresiji, bilo koji neophodan (N-ti) član se može pronaći primjenom sljedeće formule:
Na primjer: prvi član (a1) u aritmetičkoj progresiji je dat i jednak je tri, a razlika (d) jednaka je četiri. Morate pronaći četrdeset peti član ove progresije. a45 = 1+4(45-1)=177
Formula an = ak + d(n - k) nam omogućava da odredimo n-ti član aritmetičku progresiju kroz bilo koji njen k-ti član, pod uslovom da je poznat.
Zbir članova aritmetičke progresije (pod pretpostavkom da je 1. n članova konačne progresije) izračunava se na sljedeći način:
Sn = (a1+an) n/2.
Ako je i 1. član poznat, onda je druga formula pogodna za izračunavanje:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
Zbir aritmetičke progresije koja sadrži n članova izračunava se na sljedeći način:
Izbor formula za proračun zavisi od uslova zadataka i početnih podataka.
Prirodni nizovi bilo kojih brojeva kao što su 1,2,3,...,n,...- najjednostavniji primjer aritmetička progresija.
Pored aritmetičke progresije, postoji i geometrijska, koja ima svoja svojstva i karakteristike.
Prilikom studiranja algebre u opšteobrazovna škola(9. razred) jedan od važne teme je proučavanje numeričkih nizova, koji uključuju progresije - geometrijske i aritmetičke. U ovom članku ćemo razmotriti aritmetičku progresiju i primjere s rješenjima.
Šta je aritmetička progresija?
Da bi se ovo razumjelo, potrebno je dati definiciju progresije koja se razmatra, kao i dati osnovne formule koje će se dalje koristiti u rješavanju problema.
Poznato je da je u nekoj algebarskoj progresiji 1. član jednak 6, a 7. član jednak 18. Potrebno je pronaći razliku i vratiti ovaj niz na 7. član.
Koristimo formulu da odredimo nepoznati pojam: a n = (n - 1) * d + a 1 . U njega zamjenjujemo poznate podatke iz uvjeta, odnosno brojeve a 1 i a 7, imamo: 18 \u003d 6 + 6 * d. Iz ovog izraza možete lako izračunati razliku: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tako je odgovoreno na prvi dio zadatka.
Da biste vratili niz na 7. član, trebali biste koristiti definiciju algebarske progresije, to jest, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, i tako dalje. Kao rezultat, vraćamo cijeli niz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 i 7 = 18.
Primjer #3: napredovanje
Hajde da to otežamo jače stanje zadataka. Sada morate odgovoriti na pitanje kako pronaći aritmetičku progresiju. Možemo dati sljedeći primjer: data su dva broja, na primjer, 4 i 5. Potrebno je napraviti algebarsku progresiju tako da između njih stane još tri člana.
Prije nego počnemo rješavati ovaj problem, potrebno je razumjeti koje će mjesto dati brojevi zauzimati u budućoj progresiji. Budući da će između njih biti još tri člana, zatim 1 \u003d -4 i 5 \u003d 5. Nakon što smo to utvrdili, prelazimo na zadatak koji je sličan prethodnom. Opet, za n-ti član koristimo formulu, dobijamo: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ovdje razlika nije cjelobrojna vrijednost, već je racionalan broj, tako da formule za algebarsku progresiju ostaju iste.
Sada dodajmo pronađenu razliku na 1 i vratimo nedostajuće članove progresije. Dobijamo: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u0 što se poklopilo sa uslovom problema.
Primjer #4: Prvi član progresije
Nastavljamo davati primjere aritmetičke progresije sa rješenjem. U svim prethodnim problemima prvi broj algebarske progresije je bio poznat. Sada razmotrite problem drugog tipa: neka su data dva broja, pri čemu je a 15 = 50 i a 43 = 37. Potrebno je pronaći od kojeg broja počinje ovaj niz.
Formule koje su do sada korištene pretpostavljaju poznavanje a 1 i d. Ništa se ne zna o ovim brojevima u stanju problema. Ipak, napišimo izraze za svaki pojam o kojem imamo informacije: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Dobili smo dvije jednačine u kojima postoje 2 nepoznate veličine (a 1 i d). To znači da se problem svodi na rješavanje sistema linearnih jednačina.
Navedeni sistem je najlakše riješiti ako izrazite 1 u svakoj jednačini, a zatim uporedite rezultirajuće izraze. Prva jednadžba: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druga jednadžba: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Izjednačavanjem ovih izraza dobijamo: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odakle je razlika d = (37 - 50) / (42 - 14) = 0,464 (date su samo 3 decimale).
Znajući d, možete koristiti bilo koji od 2 gornja izraza za 1. Na primjer, prvo: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Ako postoje sumnje u rezultat, možete ga provjeriti, na primjer, odrediti 43. član progresije, koji je naveden u uvjetu. Dobijamo: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Mala greška je zbog činjenice da je u proračunima korišteno zaokruživanje na hiljaditi dio.
Primjer #5: Zbir
Pogledajmo sada neke primjere s rješenjima za zbir aritmetičke progresije.
Neka je data numerička progresija sljedećeg oblika: 1, 2, 3, 4, ...,. Kako izračunati zbir 100 ovih brojeva?
Zahvaljujući razvoju računarske tehnologije, ovaj problem se može riješiti, odnosno uzastopno zbrajati sve brojeve, što će računar učiniti čim osoba pritisne tipku Enter. Međutim, problem se može riješiti mentalno ako obratite pažnju da je prikazani niz brojeva algebarska progresija, a njegova razlika je 1. Primjenom formule za zbir dobijamo: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Zanimljivo je napomenuti da se ovaj problem naziva "Gausov", jer je početkom 18. vijeka slavni Nijemac, još uvijek sa samo 10 godina, uspio da ga u mislima riješi za nekoliko sekundi. Dječak nije znao formulu za zbir algebarske progresije, ali je primijetio da ako dodate parove brojeva koji se nalaze na rubovima niza, uvijek dobijete isti rezultat, odnosno 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a pošto će ovi zbroji biti tačno 50 (100 / 2), onda je za tačan odgovor dovoljno pomnožiti 50 sa 101.
Primjer #6: zbir članova od n do m
Još jedan tipičan primjer zbira aritmetičke progresije je sljedeći: date niz brojeva: 3, 7, 11, 15, ..., morate pronaći koliki će biti zbir njegovih članova od 8 do 14.
Problem se rješava na dva načina. Prvi od njih uključuje pronalaženje nepoznatih pojmova od 8 do 14, a zatim njihovo sažimanje uzastopno. Budući da postoji malo pojmova, ova metoda nije dovoljno naporna. Ipak, predlaže se da se ovaj problem riješi drugom metodom, koja je univerzalnija.
Ideja je dobiti formulu za zbir algebarske progresije između pojmova m i n, gdje su n > m cijeli brojevi. Za oba slučaja pišemo dva izraza za zbir:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Pošto je n > m, očigledno je da zbir 2 uključuje prvi. Posljednji zaključak znači da ako uzmemo razliku između ovih zbroja, i dodamo joj pojam a m (u slučaju uzimanja razlike, ona se oduzme od zbira S n), onda ćemo dobiti neophodan odgovor na problem. Imamo: S mn \u003d S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). U ovaj izraz potrebno je zamijeniti formule za n i a m. Tada dobijamo: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Rezultirajuća formula je pomalo glomazna, međutim, zbir S mn ovisi samo o n, m, a 1 i d. U našem slučaju, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Zamjenom ovih brojeva dobijamo: S mn = 301.
Kao što se vidi iz gornjih rješenja, svi problemi se zasnivaju na poznavanju izraza za n-ti član i formule za zbir skupa prvih članova. Pre nego što počnete da rešavate bilo koji od ovih problema, preporučuje se da pažljivo pročitate uslov, jasno razumete šta želite da pronađete i tek onda nastavite sa rešavanjem.
Još jedan savjet je da težite jednostavnosti, odnosno, ako možete odgovoriti na pitanje bez korištenja složenih matematičkih proračuna, onda morate učiniti upravo to, jer je u ovom slučaju vjerovatnoća da napravite grešku manja. Na primjer, u primjeru aritmetičke progresije s rješenjem br. 6, moglo bi se zaustaviti na formuli S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, i podijelite opći zadatak na zasebne podzadatke (u ovom slučaju prvo pronađite pojmove a n i a m).
Ako postoje sumnje u dobijeni rezultat, preporučuje se da ga provjerite, kao što je učinjeno u nekim od navedenih primjera. Kako pronaći aritmetičku progresiju, saznali smo. Kada to shvatite, nije tako teško.
Prvi nivo
Aritmetička progresija. Detaljna teorija sa primjerima (2019)
Numerički niz
Pa hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju, njih). Koliko god brojeva da napišemo, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:
Numerički niz
Na primjer, za naš niz:
Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu ne postoje tri sekundna broja. Drugi broj (kao i -ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se -ti član niza.
Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza - istim slovom sa indeksom jednakim broju ovog člana: .
u našem slučaju: 
Recimo da imamo numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer: 
itd.
Takav numerički niz naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski pisac Boecije još u 6. veku i shvaćen je u više širokom smislu, kao beskonačan niz brojeva. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije kontinuiranih proporcija, kojom su se bavili stari Grci.
Ovo je numerički niz, čiji je svaki član jednak prethodnom, koji se dodaje istim brojem. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.
Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:
a)
b)
c)
d)
Jasno? Uporedite naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.
Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.
1. Metoda
Možemo dodati prethodnu vrijednost broja progresije sve dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:
Dakle, -ti član opisane aritmetičke progresije je jednak.
2. Metoda
Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili pri sabiranju brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji ne morate dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pažljivo pogledajte nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:
Na primjer, da vidimo šta čini vrijednost -tog člana ove aritmetičke progresije: 
Drugim riječima:
Pokušajte na ovaj način samostalno pronaći vrijednost člana ove aritmetičke progresije.
Izračunati? Uporedite svoje unose sa odgovorom:
Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo prethodnoj vrijednosti sukcesivno dodavali članove aritmetičke progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu- dovedi je opšti oblik i dobiti:
|
Jednačina aritmetičke progresije. |
Aritmetičke progresije se ili povećavaju ili smanjuju.
Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:
Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:
Izvedena formula se koristi u izračunavanju članova u rastućim i opadajućim terminima aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sledeći brojevi: Provjerimo kakav će --ti broj ove aritmetičke progresije ispasti ako koristimo našu formulu kada je izračunamo:
Od tada:
Tako smo se uvjerili da formula radi i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći -ti i -ti član ove aritmetičke progresije.
Uporedimo rezultate:
Svojstvo aritmetičke progresije
Hajde da zakomplikujemo zadatak - izvodimo svojstvo aritmetičke progresije.
Pretpostavimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako je, kažete, i počnite računati prema formuli koju već znate:
Neka, a, onda:
Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite greške u proračunima.
Sada razmislite, da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno, da, i pokušaćemo da to iznesemo sada.
Označimo željeni član aritmetičke progresije kao, znamo formulu za njegovo pronalaženje - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, zatim:
- prethodni član progresije je:
- sljedeći termin progresije je:
Sumirajmo prethodne i sljedeće članove progresije:
Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruko veći od vrijednosti člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresijskog člana sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, potrebno ih je sabrati i podijeliti.
Tako je, imamo isti broj. Popravimo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredovanje, jer to uopće nije teško.
Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da se sazna samo jedna formula koju je, prema legendi, jedan od najvećih matematičara svih vremena, "kralj matematičara" - Karl Gauss, lako zaključio za sebe...
Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica je, zauzeta provjeravanjem rada učenika iz drugih razreda, na času postavila sljedeći zadatak: „Izračunaj zbir svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključujući. " Kakvo je bilo iznenađenje nastavnika kada je jedan od njegovih učenika (bio je to Karl Gauss) nakon minute dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina učenika iz razreda nakon dugih proračuna dobila pogrešan rezultat...
Mladi Carl Gauss primijetio je obrazac koji možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od -ti članova: Moramo pronaći zbir datih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako trebamo pronaći zbir njegovih članova u zadatku, kao što je Gauss tražio?
Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pažljivo pogledajte označene brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije. 
Probao? Šta ste primetili? Ispravno! Njihove sume su jednake
Sada odgovorite, koliko će takvih parova biti u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, i sličnih jednakih parova, dobijamo da je ukupan zbir jednak:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:
U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku u progresiji. Pokušajte zamijeniti formulu sume, formulom th člana.
šta si dobio?
Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je dat Carlu Gausu: izračunajte sami koliki je zbir brojeva koji počinju od -tog, a zbir brojeva koji počinju od -tog.
Koliko si dobio?
Gauss se pokazao da je zbir članova jednak i zbir članova. Jeste li tako odlučili?
U stvari, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, a sve to vreme, duhoviti ljudi su koristili svojstva aritmetičke progresije u potpunosti.
Na primjer, zamislite Drevni Egipat i najveće gradilište tog vremena - izgradnja piramide... Na slici je prikazana jedna njena strana. 
Kažete gde je napredovanje? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide. 
Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožje. Nadam se da nećete brojati pomicanjem prsta po monitoru, sjećate li se zadnje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?
U ovom slučaju, progresija izgleda ovako:
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (brojimo blokove na 2 načina).
Metoda 1.
Metoda 2.
A sada možete izračunati i na monitoru: uporedite dobijene vrijednosti sa brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Je li se složilo? Bravo, savladali ste zbir th članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor je blokovi:
Vježbati
Zadaci:
- Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko će puta Maša čučnuti u sedmicama ako je radila čučnjeve na prvom treningu.
- Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
- Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan dnevnik manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je osnova zidanja trupci.
odgovori:
- Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
(sedmice = dani).odgovor: Za dvije sedmice, Maša treba da čučne jednom dnevno.
- Prvi neparni broj, zadnji broj.
Razlika aritmetičke progresije.
Broj neparnih brojeva u - pola, međutim, provjerite ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje -tog člana aritmetičke progresije:Brojevi sadrže neparne brojeve.
Dostupne podatke zamjenjujemo u formulu:odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.
- Prisjetite se problema s piramidama. Za naš slučaj, a, pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan dnevnik, postoji samo gomila slojeva, tj.
Zamijenite podatke u formuli:odgovor: U zidovima su trupci.
Sažimanje
- - numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Ona se povećava i smanjuje.
- Pronalaženje formulečlan aritmetičke progresije zapisuje se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
- Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje - broj brojeva u progresiji.
- Zbroj članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:
, gdje je broj vrijednosti.
ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČAN NIVO
Numerički niz
Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možete reći koji je od njih prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.
Numerički niz je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.
Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to samo jednim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.
Broj sa brojem naziva se -ti član niza.
Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza - istim slovom sa indeksom jednakim broju ovog člana: .
Vrlo je zgodno ako se --ti član niza može dati nekom formulom. Na primjer, formula
postavlja redoslijed:
A formula je sljedeći niz:
Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika). Ili (, razlika).
formula n-tog člana
Rekurentnom nazivamo formulu u kojoj, da biste saznali --ti pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:
Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći takvu formulu, moramo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:
Pa, sad je jasno koja je formula?
U svakom redu dodajemo do, pomnoženo nekim brojem. Za što? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:
Sada je mnogo udobnije, zar ne? Provjeravamo:
Odlučite sami:
U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.
Rješenje:
Prvi član je jednak. A koja je razlika? A evo šta:
(na kraju krajeva, naziva se razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).
Dakle, formula je:
Tada je stoti član:
Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?
Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbir drugog i pretposljednjeg broja isti, zbir trećeg i trećeg sa kraja isti, itd. Koliko ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,
Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:
primjer:
Pronađite zbroj svih dvocifrenih višekratnika.
Rješenje:
Prvi takav broj je ovaj. Svaki sljedeći se dobija dodavanjem broja prethodnom. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.
Formula za th pojam za ovu progresiju je:
Koliko je članova u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?
Vrlo jednostavno: .
Posljednji član progresije će biti jednak. Zatim suma:
Odgovor: .
Sada odlučite sami:
- Svakog dana sportista trči 1m više nego prethodnog dana. Koliko će kilometara pretrčati u sedmicama ako je pretrčao km m prvog dana?
- Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara od prethodnog. Prvog dana prešao je km. Koliko dana treba da vozi da bi prešao kilometar? Koliko će kilometara preći posljednjeg dana putovanja?
- Cijena frižidera u radnji se svake godine umanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se cijena hladnjaka smanjivala svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.
odgovori:
- Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
.
odgovor: - Ovdje je dato: potrebno je pronaći.
Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
.
Zamijenite vrijednosti:Korijen se očito ne uklapa, pa odgovor.
Izračunajmo pređenu udaljenost u posljednjem danu koristeći formulu -tog člana:
(km).
odgovor: - Dato: . Pronađite: .
Ne postaje lakše:
(rub).
odgovor:
ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM
Ovo je numerički niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Aritmetička progresija se povećava () i smanjuje ().
Na primjer:
Formula za pronalaženje n-tog člana aritmetičke progresije
je napisan kao formula, gdje je broj brojeva u progresiji.
Svojstvo članova aritmetičke progresije
Olakšava pronalaženje člana progresije ako su poznati njegovi susjedni članovi - gdje je broj brojeva u progresiji.
Zbroj članova aritmetičke progresije
Postoje dva načina da pronađete zbir:
Gdje je broj vrijednosti.
Gdje je broj vrijednosti.
Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.
Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!
Sada najvažnija stvar.
Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što ovo možda nije dovoljno...
Za što?
Za uspešan polaganje ispita, za prijem u institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.
Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?
NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.
Na ispitu vas neće tražiti teorija.
Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.
To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.
Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rešenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.
Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći produžiti vijek trajanja YouClever udžbenika koji trenutno čitate.
Kako? Postoje dvije opcije:
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 999 rub.
Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.
U drugom slučaju mi ćemo vam dati simulator "6000 zadataka sa rješenjima i odgovorima, za svaku temu, za sve nivoe složenosti." Definitivno je dovoljno da se uhvatite u koštac sa rješavanjem problema na bilo koju temu.
Zapravo, ovo je mnogo više od samo simulatora - cijeli program obuke. Ako je potrebno, možete ga koristiti i BESPLATNO.
Pristup svim tekstovima i programima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.
U zakljucku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.
“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
