Acest calculator de matematică online vă va ajuta dacă aveți nevoie de el calculați limita unei funcții. Program limite de soluție nu numai că oferă răspunsul problemei, ci conduce solutie detaliata cu explicatii, adică afișează procesul de calcul al limitei.

Acest program poate fi util pentru elevii de liceu scoala secundaraîn pregătire pentru testeși examene, la testarea cunoștințelor înainte de Examenul de stat unificat, pentru ca părinții să controleze rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi manuale noi? Sau vrei doar să o faci cât mai repede posibil? teme pentru acasă la matematică sau algebră? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu soluții detaliate.

În acest fel, vă puteți conduce propriul antrenament și/sau antrenament al dvs. frati mai mici sau surori, în timp ce nivelul de educație în domeniul problemelor în curs de rezolvare crește.

Introduceți o expresie de funcție

Calculați limita

S-a descoperit că unele scripturi necesare pentru a rezolva această problemă nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

JavaScript este dezactivat în browserul dvs.
Pentru ca soluția să apară, trebuie să activați JavaScript.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.

Deoarece Există o mulțime de oameni dispuși să rezolve problema, cererea dvs. a fost pusă în coadă.
În câteva secunde soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback.
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Puțină teorie.

Limita funcției la x->x 0

Să fie definită funcția f(x) pe o mulțime X și să fie punctul \(x_0 \in X\) sau \(x_0 \notin X\)

Să luăm de la X o secvență de puncte diferită de x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
convergând spre x*. Valorile funcției în punctele acestei secvențe formează, de asemenea, o secvență numerică
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
şi se poate pune problema existenţei limitei sale.

Definiție. Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x = x 0 (sau la x -> x 0), dacă pentru orice succesiune (1) de valori ale argumentului x diferă de x 0 convergând la x 0, funcția de succesiune corespunzătoare (2) de valori converge către numărul A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funcția f(x) poate avea o singură limită în punctul x 0. Aceasta rezultă din faptul că secvența
(f(x n)) are o singură limită.

Există o altă definiție a limitei unei funcții.

Definiție Numărul A se numește limita funcției f(x) în punctul x = x 0 dacă pentru orice număr \(\varepsilon > 0\) există un număr \(\delta > 0\) astfel încât pentru toate \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), satisfăcând inegalitatea \(|x-x_0| Folosind simboluri logice, această definiție poate fi scrisă ca
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Rețineți că inegalitățile \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| Prima definiție se bazează pe conceptul de limită a unei secvențe de numere, deci este adesea numită definiția „în limbajul secvenței”. A doua definiție se numește definiția „în limbajul”. \(\varepsilon - \delta \)”.
Aceste două definiții ale limitei unei funcții sunt echivalente și puteți utiliza oricare dintre ele în funcție de care este mai convenabil pentru rezolvarea unei anumite probleme.

Rețineți că definiția limitei unei funcții „în limbajul secvențelor” se mai numește și definiția limitei unei funcții conform Heine, iar definiția limitei unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)” se mai numește și definiția limitei unei funcții după Cauchy.

Limita funcției la x->x 0 - și la x->x 0 +

În cele ce urmează, vom folosi conceptele de limite unilaterale ale unei funcții, care sunt definite după cum urmează.

Definiție Numărul A se numește limita dreaptă (stânga) a funcției f(x) în punctul x 0 dacă pentru orice succesiune (1) convergentă către x 0, ale cărei elemente x n sunt mai mari (mai mici decât) x 0, șirul corespunzătoare (2) converge spre A.

Simbolic este scris astfel:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Putem da o definiție echivalentă a limitelor unilaterale ale unei funcții „în limbajul \(\varepsilon - \delta \)”:

Definiție un număr A se numește limita dreaptă (stânga) a funcției f(x) în punctul x 0 dacă pentru orice \(\varepsilon > 0\) există o \(\delta > 0\) astfel încât pentru toate x satisfacerea inegalităților \(x_0 Intrări simbolice:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Număr constant A numit limită secvente(x n ), dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar micε > 0 există un număr N care are toate valorile x n, pentru care n>N, satisface inegalitatea

|x n - a|< ε. (6.1)

Notează-l după cum urmează: sau x n → A.

Inegalitatea (6.1) este echivalentă cu inegalitatea dublă

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ceea ce înseamnă că punctele x n, pornind de la un număr n>N, se află în interiorul intervalului (a-ε, a+ ε ), adică cad în orice micε -vecinatatea unui punct A.

Se numește o secvență care are o limită convergent, in caz contrar - divergente.

Conceptul de limită a funcției este o generalizare a conceptului de limită a secvenței, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita unei funcții x n = f(n) a unui argument întreg n.

Fie dată funcția f(x) și fie A - punct limită domeniul de definitie al acestei functii D(f), i.e. un astfel de punct, a cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D(f) altele decât A. Punct A poate aparține sau nu mulțimii D(f).

Definiția 1.Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă pentru orice succesiune (x n ) de valori ale argumentelor care tind la A, secvențele corespunzătoare (f(x n)) au aceeași limită A.

Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Heine, sau " în limbajul succesiv”.

Definiția 2. Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a, dacă, prin specificarea unui număr pozitiv arbitrar arbitrar mic ε, se poate găsi astfel de δ>0 (în funcție de ε), care este pentru toată lumea X, întins înăuntruε-vecinătăți ale numărului A, adică Pentru X, satisfacerea inegalitatii
0 < x-a< ε , se vor afla valorile funcției f(x).ε-vecinatatea numarului A, i.e.|f(x)-A|< ε.

Această definiție se numește prin definirea limitei unei funcții după Cauchy, sau „în limbajul ε - δ “.

Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f(x) ca x →a are limită, egal cu A, aceasta se scrie sub forma

. (6.3)

În cazul în care șirul (f(x n)) crește (sau scade) fără limită pentru orice metodă de aproximare X la limita ta A, atunci vom spune că funcția f(x) are limita infinita, si scrie-l sub forma:

Se numește o variabilă (adică o secvență sau o funcție) a cărei limită este zero infinit de mici.

Se numește o variabilă a cărei limită este egală cu infinitul infinit de mare.

Pentru a găsi limita în practică, se folosesc următoarele teoreme.

Teorema 1 . Dacă există orice limită

(6.4)

(6.5)

(6.6)

cometariu. Expresii ca 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sunt incerte, de exemplu, raportul a două cantități infinitezimale sau infinit de mari, iar găsirea unei limite de acest tip se numește „descoperirea incertitudinilor”.

Teorema 2. (6.7)

acestea. se poate ajunge la limita pe baza puterii cu un exponent constant, în special, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Unde e » 2.7 - baza logaritmului natural. Formulele (6.10) și (6.11) se numesc primele limita minunata iar a doua limită remarcabilă.

Consecințele formulei (6.11) sunt, de asemenea, utilizate în practică:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

în special limita,

Dacă x → a și în același timp x > a, apoi scrieți x→a + 0. Dacă, în special, a = 0, atunci în locul simbolului 0+0 scrieți +0. În mod similar, dacă x→a și în același timp x a-0. Numerele și sunt chemați în consecință limita dreaptaȘi limita stângă funcții f(x) la punct A. Pentru ca să existe o limită a funcției f(x) ca x→a este necesar şi suficient pentru ca . Se numește funcția f(x). continuu la punct x 0 dacă limită

. (6.15)

Condiția (6.15) poate fi rescrisă ca:

,

adică trecerea la limita sub semnul unei funcţii este posibilă dacă aceasta este continuă într-un punct dat.

Dacă egalitatea (6.15) este încălcată, atunci spunem că la x = xo funcţie f(x) Are decalaj Se consideră funcția y = 1/x. Domeniul de definire al acestei funcții este mulțimea R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D(f), deoarece în orice vecinătate a acesteia, i.e. în orice interval deschis care conține punctul 0, există puncte din D(f), dar el însuși nu aparține acestei mulțimi. Valoarea f(x o)= f(0) nu este definită, deci în punctul x o = 0 funcția are o discontinuitate.

Se numește funcția f(x). continuă pe dreapta la punct x o dacă limita

,

Și continuu pe stanga la punct x o, dacă limita

.

Continuitatea unei funcții într-un punct x o este echivalentă cu continuitatea sa în acest punct atât la dreapta cât și la stânga.

Pentru ca funcția să fie continuă la punct x o, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită, iar în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f(x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea o discontinuitate.

1. Dacă limita există și nu este egală cu f(x o), atunci ei spun că funcţie f(x) la punct x o are ruptura de primul fel, sau salt.

2. Dacă limita este+∞ sau -∞ sau nu există, atunci ei spun că în punct x o funcţia are o discontinuitate al doilea fel.

De exemplu, funcția y = cot x la x→ +0 are o limită egală cu +∞, ceea ce înseamnă că în punctul x=0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E(x) (parte întreagă a X) în puncte cu abscise întregi are discontinuități de primul fel, sau salturi.

Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al intervalului continuu V . O funcție continuă este reprezentată printr-o curbă solidă.

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea zăcămintelor conform legii interesului compus, creșterea populației țării, degradarea substanțelor radioactive, proliferarea bacteriilor etc.

Sa luam in considerare exemplu de Ya. I. Perelman, oferind o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e există o limită . În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mai mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat. Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare. Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește la 100× 1,5 = 150, iar după alte șase luni - 150× 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma in 100× (1 +1/3) 3 " 237 (den. unităţi). Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de adăugare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul depus la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată. au fost adăugate la capital în fiecare secundă deoarece limita

Exemplul 3.1.Folosind definiția limitei unei secvențe de numere, demonstrați că șirul x n =(n-1)/n are o limită egală cu 1.

Soluţie.Trebuie să dovedim asta, orice ar fiε > 0, indiferent ce luăm, pentru el există un număr natural N astfel încât pentru toți n N inegalitatea este valabilă|x n -1|< ε.

Să luăm orice e > 0. Deoarece ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atunci pentru a găsi N este suficient să rezolvi inegalitatea 1/n< e. Prin urmare n>1/ e și, prin urmare, N poate fi luat ca o parte întreagă a lui 1/ e, N = E(1/ e ). Am demonstrat astfel că limita .

Exemplul 3.2 . Aflați limita unei șiruri date de un termen comun .

Soluţie.Să aplicăm limita teoremei sumei și să găsim limita fiecărui termen. Când n→ ∞ numărătorul și numitorul fiecărui termen tind spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n, împărțind numărătorul și numitorul primului termen la n 2, iar al doilea pe n. Apoi, aplicând limita coeficientului și limita teoremei sumei, găsim:

.

Exemplul 3.3. . Găsi .

Soluţie. .

Aici am folosit teorema limitei gradului: limita unui grad este egală cu gradul limitei bazei.

Exemplul 3.4 . Găsi ( ).

Soluţie.Este imposibil de aplicat teorema limitei diferenței, deoarece avem o incertitudine a formei ∞-∞ . Să transformăm formula generală a termenului:

.

Exemplul 3.5 . Este dată funcția f(x)=2 1/x. Demonstrează că nu există limită.

Soluţie.Să folosim definiția 1 a limitei unei funcții printr-o secvență. Să luăm o secvență ( x n ) convergentă la 0, adică. Să arătăm că valoarea f(x n)= se comportă diferit pentru secvențe diferite. Fie x n = 1/n. Evident, atunci limita Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1/n, de asemenea, tinde spre zero. Prin urmare, nu există limită.

Exemplul 3.6 . Demonstrează că nu există limită.

Soluţie.Fie x 1 , x 2 ,..., x n ,... o succesiune pentru care
. Cum se comportă șirul (f(x n)) = (sin x n) pentru diferite x n → ∞

Dacă x n = p n, atunci sin x n = sin p n = 0 pentru toate n iar limita Dacă
x n =2 p n+ p /2, atunci sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pentru toate n si deci limita. Deci nu există.

Widget pentru calcularea limitelor on-line

În fereastra de sus, în loc de sin(x)/x, introduceți funcția a cărei limită doriți să găsiți. În fereastra de jos, introduceți numărul la care tinde x și faceți clic pe butonul Calculator, obțineți limita dorită. Și dacă în fereastra de rezultate dați clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus, veți obține o soluție detaliată.

Reguli de introducere a funcțiilor: sqrt(x) - rădăcină pătrată, cbrt(x) - rădăcină cubă, exp(x) - exponent, ln(x) - logaritm natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangentă, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangent. Semne: * înmulțire, / împărțire, ^ exponențiere, în schimb infinit Infinit. Exemplu: funcția este introdusă ca sqrt(tan(x/2)).

Membru al secvenței.

Un număr a se numește limită a șirului (xn) dacă pentru orice ε>0 există un număr n=n(ε), începând de la care |xn-a |

Exemplul 2. Demonstrați că în exemplul 1 numărul a=1 nu este limita șirului exemplului anterior. Soluţie. Simplificați din nou termenul comun al șirului. Luați ε=1 (acesta este orice număr >

Problemele calculării directe a limitei unei secvențe sunt destul de monotone. Toate conțin relații de polinoame în raport cu n sau expresii cu privire la aceste polinoame. Când începeți să rezolvați, scoateți din paranteze (semn radical) componenta situată în primul . Fie ca aceasta să ducă la apariția unui multiplicator a^p pentru numărătorul expresiei originale și b^q pentru numitor. Evident, toți termenii rămași au forma C/(n-k) și tind spre zero ca n>

Prima modalitate de a calcula limita unei secvențe se bazează pe definiția acesteia. Adevărat, trebuie amintit că nu oferă modalități de căutare directă a limitei, ci doar vă permite să demonstrați că orice număr a este (sau nu este) o limită. Exemplul 1. Demonstrați că șirul (xn)=( (3n^2-2n -1)/(n^2-n-2)) are o limită a=3.Soluție. Continuați prin aplicarea definiției în ordine inversă. Adică de la dreapta la stânga. Verificați mai întâi dacă este posibil să simplificați formula pentru xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/(( n+2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2). Luați în considerare inegalitatea |(3n+1)/(n+2)-3|0, puteți găsi orice natural număr nε mai mare decât -2+ 5/ε.

Exemplul 2. Demonstrați că în exemplul 1 numărul a=1 nu este limita șirului exemplului anterior. Soluţie. Simplificați din nou termenul comun al șirului. Luați ε=1 (acesta este orice număr >0).Notați inegalitatea concluzie a definiției generale |(3n+1)/(n+2)-1|

Problemele calculării directe a limitei unei secvențe sunt destul de monotone. Toate conțin relații de polinoame în raport cu n sau expresii cu privire la aceste polinoame. Când începeți să rezolvați, scoateți din paranteze (semn radical) componenta situată în primul . Fie ca aceasta să ducă la apariția unui multiplicator a^p pentru numărătorul expresiei originale și b^q pentru numitor. Evident, toți termenii rămași au forma C/(n-k) și tind spre zero ca n>k (n tinde spre infinit). După aceasta, notează răspunsul: 0 dacă pq.

Să indicăm o metodă netradițională pentru găsirea limitei unei secvențe și a sumelor infinite. Vom folosi secvențe funcționale (termenii lor de funcție definiți pe un anumit interval (a,b)) Exemplul 3. Aflați o sumă de forma 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Soluție. Orice număr a^0=1. Setați 1=exp(0) și luați în considerare șirul funcțional (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Sfat 2: În ce ordine ar trebui să văd filmele Marvel despre Răzbunătorii?

Universul Marvel se bazează pe benzi desenate de la Marvel, dar nu toate adaptările de benzi desenate fac parte din universul cinematografic. Include numai filme produse de sau în colaborare cu Studiourile Marvel. Universul cinematografic Marvel este împărțit în faze, fiecare film având propriul loc în el. Cu toate acestea, serialele și scurtmetrajele, fiind parte a universului, pot fi între faze în cronologie. Acestea. poate să nu aparțină unor părți specifice ale universului cinematografic.

Serile Netflix și ABC sunt diferite de universul Marvel. Universul cinematografic are două caracteristici:

• fiecare film are povestea lui;
• intriga globală trece de la un film la altul și, în final, fiecare dintre ele avansează acest complot.

Serile de canale ABC sunt legate de complotul global al universului cinematografic, dar nu îl promovează, ci doar îl completează. Seriale Netflix sunt povești complet independente, cu propria lor intriga și propria lor lume globală.

De-a lungul anilor, universul Marvel a crescut și continuă să se extindă. Prin urmare, este dificil pentru o persoană nepregătită să înțeleagă cronologia filmelor ei, deoarece nu toată lumea înțelege că nu puteți viziona „Iron Man 3” imediat după „Iron Man 2”. Și pentru a înțelege, trebuie să studiați cronologia, care include trei faze.

Primă fază:

1. Filmul „Iron Man”, 2008. Această imagine pune bazele și tonul general pentru următoarele adaptări cinematografice; acțiunea sa are loc în 2010.
2. Filmul Incredibilul Hulk, 2008. În această adaptare cinematografică, spectatorii înțeleg că poveștile a doi eroi diferiți se petrec în același univers, deoarece atât „Iron Man”, cât și „The Incredible Hulk” menționează S.H.I.E.L.D., programul „super-soldat”, se găsește sigla StarkIndusries etc. . . Filmul are loc în 2011. Filmul nu continuă povestea filmului Hulk din 2003.
3. Filmul „Iron Man 2”, 2010. Această poveste este o sămânță pentru Răzbunători, introducându-l pe Black Widow în complot, oferind o mulțime de fundal pentru proiectele viitoare și vorbind despre noile probleme cu care se confruntă Tony Stark la un an după prima parte din Iron Man.
4. Filmul „Thor”, 2011. Aceasta este, de asemenea, pregătirea pentru Răzbunători, iar scopul principal al filmului este de a prezenta spectatorului Thor și Loki. Intriga are loc paralel cu povestea lui Incredibilul Hulk și Iron Man 2.
5. Filmul „Primul răzbunător”, 2011. Acesta spune povestea Căpitanului America, primul super-erou de pe Pământ, care, la fel ca Hulk, a apărut datorită serului „super soldat”. Primele și ultimele scene ale filmului au loc în 2011, iar principalele acțiuni au loc între 1943 și 1945. Tesseract, una dintre cele șase Pietre Infinite, apare în film și se dovedește că „părintele” S.H.I.E.L.D. a fost organizația SSR (Rezervația Științifică Strategică).
6. Scurtmetraj „Consultant”, 2011. Scena finală a lui Incredibilul Hulk este explicată aici.
7. Scurtmetraj „Un incident amuzant pe drumul spre ciocanul lui Thor”, 2011.
8. Filmul „Răzbunătorii”, 2012. Povestea are loc în 2012, când S.H.I.E.L.D. De dragul salvării lumii, el anunță o „adunare generală”.

Faza a doua:

1. Film „Iron Man 3”, 2013. Acțiunea are loc în iarna lui 2012, când Tony Stark se întoarce acasă după bătălia de la New York, dar este chinuit de coșmaruri. Nu poate dormi și își dedică timpul creării de noi costume.
2. Seria „Agenții S.H.I.E.L.D.”, 2013.
3. Film „Thor 2: The Dark World”, 2013. Filmul povestește cum Thor s-a întors acasă și a descoperit că toate cele nouă lumi erau în haos. Și despre cum Thor a restabilit ordinea.
4. Scurtmetraj „Trăiască Regele”, 2014. Aceasta este povestea lui Trevor Slattery, care are loc după evenimentele din Iron Man 3.
5. Film „Captain America: The Winter Soldier”, 2014. Aceasta este povestea Căpitanului America, care nu se poate întoarce acasă, așa că își caută un nou loc de muncă și devine agent al S.H.I.E.L.D., lucrând în echipă cu Black Widow. Filmul este vizionat cel mai bine între episoadele 16 și 17 din Agents of S.H.I.E.L.D.
6. Film „Gardienii Galaxiei”, 2014. Trebuie vizionat după sezonul 1 din Agents of S.H.I.E.L.D. Aceasta este povestea criminalilor din afara Pământului care formează o echipă pentru a-l opri pe criminalul mai periculos Ronan să obțină Piatra Infinitului.
7. Serialul „Agenții S.H.I.E.L.D.”, sezonul doi, 2014.
8. Serialul TV „Agent Carter”, 2016. Aceasta este povestea modului în care Peggy Carter și majordomul Edwin Jarvis îl ajută pe Howard Stark să-și recapete numele.
9. Film „Răzbunătorii: Era Ultron”, 2015. În acest film, Răzbunătorii s-au adunat din nou pentru a salva lumea, dar de data aceasta au devenit o echipă cu drepturi depline. Cel mai bine este să urmăriți între episoadele 19 și 20 din cel de-al doilea sezon din Agenții din S.H.I.E.L.D.
10. Filmul „Ant-Man”, 2015. Urmărește după sezonul 2 din Agents of S.H.I.E.L.D.

A treia faza:

1. Film „Captain America: Civil War”, 2016. După Tratatul de la Sokovia, Răzbunătorii sunt obligați să se supună guvernului, dar acest lucru îi împarte în două tabere: cei care sunt pentru înregistrare și cei care sunt împotriva lui.

Acestea sunt toate filme care au fost deja lansate. Dar asta nu este toată povestea. Mai sunt 14 filme planificate în a treia fază, urmată de o a patra fază.

Articol înrudit

Pentru cei care vor să învețe cum să găsească limitele, în acest articol vă vom spune despre asta. Nu vom aprofunda în teorie; profesorii o susțin de obicei la cursuri. Așa că „teoria plictisitoare” ar trebui notă în caiete. Dacă nu este cazul, atunci puteți citi manuale preluate din biblioteca instituției de învățământ sau din alte resurse de pe Internet.

Deci, conceptul de limită este destul de important în studiul matematicii superioare, mai ales când dai peste calcul integral și înțelegi legătura dintre limită și integrală. Materialul actual va analiza exemple simple, precum și modalități de a le rezolva.

Exemple de soluții

Exemplul 1

Calculați a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Soluţie

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Oamenii ne trimit adesea aceste limite cu o solicitare de a ajuta la rezolvarea lor. Am decis să le evidențiem ca exemplu separat și să explicăm că aceste limite trebuie doar să fie amintite, de regulă. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Ce să faci cu incertitudinea formei: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Exemplul 3

Rezolvați $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

Ca întotdeauna, începem prin a înlocui valoarea $ x $ în expresia de sub semnul limită. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Ce urmează acum? Ce ar trebui să se întâmple până la urmă? Deoarece aceasta este o incertitudine, acesta nu este încă un răspuns și continuăm calculul. Deoarece avem un polinom în numărători, îl vom factoriza folosind formula familiară tuturor de la școală $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vă amintiți? Grozav! Acum continuă și folosește-l cu melodia :) Constatăm că numărătorul $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuăm să rezolvăm ținând cont de transformarea de mai sus: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Să împingem limita din ultimele două exemple la infinit și să luăm în considerare incertitudinea: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Exemplul 5

Calculați $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ce să fac? Ce ar trebuii să fac? Nu intrați în panică, pentru că imposibilul este posibil. Este necesar să scoateți x atât la numărător, cât și la numitor și apoi să-l reduceți. După aceasta, încercați să calculați limita. Sa incercam... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Folosind definiția din exemplul 2 și înlocuind infinitul cu x, obținem: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritm pentru calculul limitelor

Deci, să rezumăm pe scurt exemplele și să creăm un algoritm pentru rezolvarea limitelor:

1. Înlocuiți punctul x în expresia care urmează semnului limită. Dacă se obține un anumit număr sau infinit, atunci limita este complet rezolvată. În caz contrar, avem incertitudine: „zero împărțit la zero” sau „infinit împărțit la infinit” și trecem la următorii pași ai instrucțiunilor.
2. Pentru a elimina incertitudinea „zero împărțit la zero”, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Reduceți-le pe cele similare. Înlocuiți punctul x în expresia de sub semnul limită.
3. Dacă incertitudinea este „infinitul împărțit la infinit”, atunci scoatem atât numărătorul, cât și numitorul x la cel mai mare grad. Scurtăm X-urile. Înlocuim valorile lui x de sub limită în expresia rămasă.

În acest articol, ați învățat elementele de bază ale rezolvării limitelor, adesea folosite în cursul de calcul. Desigur, acestea nu sunt toate tipurile de probleme oferite de examinatori, ci doar limitele cele mai simple. Vom vorbi despre alte tipuri de teme în articolele viitoare, dar mai întâi trebuie să înveți această lecție pentru a merge mai departe. Să discutăm ce să facem dacă există rădăcini, grade, studiem funcții echivalente infinitezimale, limite minunate, regula lui L'Hopital.

Dacă nu vă puteți da seama singuri de limite, nu intrați în panică. Suntem mereu bucuroși să ajutăm!

Soluţie limitele funcției online. Găsiți valoarea limită a unei funcții sau a secvenței funcționale într-un punct, calculați final valoarea funcției la infinit. determina convergența unei serii de numere și multe altele se pot face datorită noastră serviciu online- . Vă permitem să găsiți limitele funcțiilor online rapid și precis. Dumneavoastră introduceți variabila funcție și limita la care tinde aceasta, iar serviciul nostru efectuează toate calculele pentru dvs., oferind un răspuns precis și simplu. Si pentru găsirea limitei online puteți introduce atât serii numerice, cât și funcții analitice care conțin constante în expresie literală. În acest caz, limita găsită a funcției va conține aceste constante ca argumente constante în expresie. Serviciul nostru rezolvă orice probleme complexe de găsire limite online, este suficient să indicați funcția și punctul în care este necesar să se calculeze valoarea limită a funcției. De calculat limitele online, puteți folosi diverse metode și reguli de rezolvare a acestora, verificând în același timp rezultatul obținut cu rezolvarea limitelor online pe www.site-ul, ceea ce va duce la îndeplinirea cu succes a sarcinii - veți evita propriile greșeli și erori de scris. Sau puteți avea încredere completă în noi și folosiți rezultatul nostru în munca dvs., fără a cheltui efort și timp suplimentar pentru a calcula în mod independent limita funcției. Permitem introducerea de valori limită, cum ar fi infinitul. Este necesar să introduceți un membru comun al unei secvențe de numere și www.site va calcula valoarea limita online la plus sau minus infinit.

Unul dintre conceptele principale analiză matematică este limita functieiȘi limită de secvență la un punct și la infinit, este important să poți rezolva corect limite. Cu serviciul nostru acest lucru nu va fi dificil. Se ia o decizie limite onlineîn câteva secunde, răspunsul este corect și complet. Studiul analizei matematice începe cu trecerea la limită, limite sunt folosite în aproape toate domeniile matematicii superioare, așa că este util să aveți un server la îndemână pentru soluții limită online, care este site-ul.