Găsirea derivatei unei funcții matematice se numește diferențiere. Găsirea derivatei unei funcții matematice este o problemă comună întâlnită în matematica superioară. Puteți vorbi în diferite moduri: găsiți derivata, calculați derivata, diferențiați o funcție, luați derivata, dar toate acestea sunt aceleași concepte. Există, desigur, sarcini complexe în care găsirea derivatei este doar una dintre componentele problemei. Pe serviciul nostru de site ai posibilitatea de a calcula online derivata atat din functii elementare cat si complexe care nu au o solutie analitica. Derivatul online de pe serviciul nostru poate fi găsit din aproape orice funcție matematică, chiar și cea mai complexă pe care alte servicii nu ar putea să o rezolve pentru tine. Iar răspunsul primit este întotdeauna 100% corect și elimină erorile. Puteți vedea cum are loc procesul de găsire a unui derivat pe site-ul nostru la adresa exemple concrete. Exemplele sunt situate în partea dreaptă a butonului Soluție. Selectați orice funcție din lista de exemple, aceasta va fi inserată automat în câmpul de funcție, apoi faceți clic pe butonul „Soluție”. Veți vedea o soluție pas cu pas, derivatul dvs. va fi găsit în același mod. Avantajele rezolvării derivatelor online. Chiar dacă știi cum să găsești derivate, procesul poate dura mult timp și efort. Site-ul de servicii este conceput pentru a vă scuti de calcule obositoare și îndelungate, în care este posibil să faceți și o greșeală. Calculăm derivatul online cu un singur clic pe butonul „Soluție” după intrarea în funcția specificată. Site-ul este perfect și pentru cei care doresc să își testeze abilitățile în găsirea derivatei unei funcții matematice și să se asigure că soluția lor independentă este corectă sau să găsească o greșeală făcută în ea. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să comparați răspunsul dvs. cu rezultatul calculului serviciului online. Dacă nu doriți să utilizați tabele derivate cu care constatare funcția necesară necesită suficient timp, apoi folosiți serviciul nostru în loc de tabele derivate pentru a găsi derivatul. Principalele avantaje ale site-ului nostru în comparație cu alte servicii similare sunt că calculul are loc foarte rapid (în medie 5 secunde) și nu trebuie să plătiți nimic pentru el - serviciul este absolut gratuit. Nu vi se va cere să vă înregistrați, să introduceți e-mail sau să introduceți datele dumneavoastră personale. Tot ce trebuie să faceți este să intrați în funcția dată și să faceți clic pe butonul „Soluție”. Ce este un derivat. Derivata unei funcții este un concept de bază în matematică și analiză matematică. Reversul acestui proces este integrarea, adică găsirea unei funcții dintr-o derivată cunoscută. Pentru a spune simplu, diferențierea este o acțiune asupra unei funcții, iar derivata este rezultatul unei astfel de acțiuni. Pentru a calcula derivata unei funcții într-un anumit punct, argumentul x este înlocuit cu o valoare numerică și expresia este evaluată. Derivata este indicată de un prim în colțul din dreapta sus deasupra funcției. Cursa poate fi, de asemenea, o desemnare a unei anumite funcții. Pentru a găsi derivata unei funcții elementare, va trebui să cunoașteți tabelul derivatelor sau să o aveți întotdeauna la îndemână, ceea ce poate să nu fie foarte convenabil și să cunoașteți și regulile de diferențiere, așa că vă recomandăm să utilizați serviciul nostru, unde derivata este calculat online, trebuie doar să introduceți funcția în câmpul prevăzut pentru aceasta. Argumentul trebuie să fie variabila x, deoarece diferențierea este efectuată în raport cu aceasta. Dacă trebuie să calculați derivata a doua, puteți diferenția răspunsul rezultat. Cum se calculează derivatul online. Tabelele de derivate pentru funcții elementare au fost create cu mult timp în urmă și le puteți găsi cu ușurință, așa că calcularea derivatei unei funcții matematice elementare (simple) este o chestiune destul de simplă. Cu toate acestea, atunci când trebuie să găsiți derivata unei funcții matematice complexe, aceasta nu mai este o sarcină banală și va necesita mult efort și timp. Puteți scăpa de calculele inutile și lungi dacă folosiți noastre serviciu online. Datorită acesteia, derivata va fi calculată în câteva secunde.

Se prezintă demonstrația și derivarea formulei pentru derivata cosinusului - cos(x). Exemple de calculare a derivatelor de cos 2x, cos 3x, cos nx, cosinus pătrat, cub și la puterea n. Formula pentru derivata cosinusului de ordinul al n-lea.

Derivata față de variabila x din cosinusul lui x este egală cu minus sinusul lui x:
(cos x)′ = - sin x.

Dovada

Pentru a deriva formula pentru derivata cosinusului, folosim definiția derivatei:
.

Să transformăm această expresie pentru a o reduce la legile și regulile matematice cunoscute. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoaștem patru proprietăți.
1) Formule trigonometrice. Vom avea nevoie de următoarea formulă:
(1) ;
2) Proprietatea de continuitate a funcției sinus:
(2) ;
3) Semnificația primei limite remarcabile:
(3) ;
4) Proprietatea limitei produsului a două funcții:
Dacă și , atunci
(4) .

Să aplicăm aceste legi până la limita noastră. Mai întâi transformăm expresia algebrică
.
Pentru a face acest lucru, aplicăm formula
(1) ;
În cazul nostru
; . Apoi
;
;
;
.

Să facem o înlocuire. La , .
.

Folosim proprietatea continuității (2): Să facem aceeași înlocuire și să o aplicăm pe prima (3):
.

limita minunata

.

Deoarece limitele calculate mai sus există, aplicăm proprietatea (4):

Astfel, am obținut formula pentru derivata cosinusului.

Exemple Sa luam in considerare exemple simple
găsirea derivatelor de funcţii care conţin cosinus. Să găsim derivate ale următoarelor funcții: y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x ; y = cos 3 x și y =.

cos n x

Exemplul 1 Găsiți derivate ale cos 2x, cos 3x Și.

cosnx

Soluţie Funcțiile originale au o formă similară. Prin urmare vom găsi derivata funcției y = cosnx Și. Apoi, ca derivat al , înlocuiți n = 2 și n = 3. Și, astfel, obținem formule pentru derivatele lui ca 2x cos 2x, .

Și
Funcțiile originale au o formă similară. Prin urmare vom găsi derivata funcției .
Deci, găsim derivata funcției
1)
2)
Să ne imaginăm această funcție a variabilei x ca o funcție complexă constând din două funcții:
.

Atunci funcția originală este o funcție complexă (compozită) compusă din funcții și:
.
Să găsim derivata funcției față de variabila x:
.
Să găsim derivata funcției în raport cu variabila:
.
Aplicam.
Să înlocuim: .

(P1)
;
.

Acum, în formula (A1) înlocuim și:

;
;
.

Răspuns

Exemplul 2
Aflați derivatele cosinus pătrat, cosinus cub și cosinus la puterea n: y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = cos 2 x ; y = cos 2 x și y =.

cosnx

y =
Aflați derivatele cosinus pătrat, cosinus cub și cosinus la puterea n: și y =.
În acest exemplu, funcțiile au, de asemenea, un aspect similar. Prin urmare, vom găsi derivata funcției celei mai generale - cosinus la puterea n:

Apoi înlocuim n = 2 și n = 3. Și, astfel, obținem formule pentru derivatele cosinus pătrat și cosinus cub.
.
Deci trebuie să găsim derivata funcției
.
Să-l rescriem într-o formă mai înțeleasă:
1) Să ne imaginăm această funcție ca o funcție complexă constând din două funcții:
2) Funcții în funcție de o variabilă: ;
Funcţii în funcţie de o variabilă: .
.

Atunci funcția originală este o funcție complexă compusă din două funcții și:
.
Aflați derivata funcției față de variabila x:
.
Aflați derivata funcției în raport cu variabila:
.
Aplicam.
Aplicam regula de diferentiere a functiilor complexe. .

Acum să înlocuim și:
;
.

Acum, în formula (A1) înlocuim și:

;
;
.

Derivate de ordin superior

Rețineți că derivata lui cos x primul ordin poate fi exprimat prin cosinus după cum urmează:
.

Să găsim derivata de ordinul doi folosind formula pentru derivata unei funcții complexe:

.
Aici .

Rețineți că diferențierea cos x face ca argumentul său să crească cu . Atunci derivata de ordinul n-a are forma:
(5) .

Această formulă poate fi dovedită mai strict folosind metoda inducției matematice. Dovada pentru derivata a n-a a sinusului este prezentată pe pagina „Derivată a sinusului”. Pentru derivata a n-a a cosinusului, demonstrația este exact aceeași. Trebuie doar să înlocuiți sin cu cos în toate formulele.

Aplicație

Rezolvarea derivatului de pe site pentru consolidarea materialului acoperit de elevi și școlari. Calcularea derivatei unei funcții în câteva secunde nu pare dificilă dacă utilizați serviciul nostru de rezolvare a problemelor online. Conduce analiză detaliată studiu aprofundat asupra lectie practica fiecare al treilea elev va putea. Adesea, departamentul departamentului relevant pentru promovarea matematicii în institutii de invatamantţări. În acest caz, cum să nu menționăm rezolvarea derivatei online pentru un spațiu închis de secvențe de numere? Mulți oameni bogați au voie să-și exprime nedumerirea. Dar, între timp, matematicienii nu stau pe loc și muncesc mult. Calculatorul derivat va accepta modificări ale parametrilor de intrare bazate pe caracteristici liniare, în principal datorită supremului pozițiilor descendente ale cuburilor. Rezultatul este la fel de inevitabil ca suprafața. Ca date inițiale, derivatul online elimină necesitatea de a lua măsuri inutile. Cu excepția treburilor casnice fictive. Pe lângă faptul că rezolvarea derivatelor online este necesară și aspect important studiind matematica, elevii adesea nu-și amintesc problemele din trecut. Studentul, fiind o creatură leneșă, înțelege acest lucru. Dar studenții sunt oameni amuzanți! Fie o faceți conform regulilor, fie derivata unei funcții într-un plan înclinat poate conferi accelerație unui punct material. Să direcționăm vectorul razei spațiale în jos undeva. În răspunsul cerut, găsirea derivatei pare a fi o direcție teoretică abstractă din cauza instabilității sistemului matematic. Să ne gândim la o relație numerică ca la o secvență de opțiuni neutilizate. Canalul de comunicare a fost completat cu o a cincea linie de-a lungul unui vector descrescător din punctul de bifurcare închisă a cubului. Pe planul spațiilor curbe, rezolvarea derivatului online ne duce la o concluzie care a făcut să se gândească la asta pe cele mai mari minți de pe planetă în ultimul secol. Pe parcursul evenimentelor din domeniul matematicii au fost adusi in discutie publica cinci factori de importanta fundamentala care contribuie la imbunatatirea pozitiei selectiei variabilelor. Deci legea pentru puncte prevede că derivatul online nu este calculat în detaliu în fiecare caz, singura excepție fiind un moment loial progresiv. Prognoza ne-a adus într-o nouă etapă de dezvoltare. Avem nevoie de rezultate. În linia pantei matematice trecute sub suprafață, calculatorul de derivate de mod este situat în zona de intersecție a produselor de pe setul de îndoire. Rămâne de analizat diferențierea funcției în punctul său independent din apropierea vecinătății epsilon. Toată lumea poate verifica acest lucru în practică. Ca urmare, va fi ceva de decis la următoarea etapă de programare. Studentul are nevoie de derivatul online ca întotdeauna, indiferent de cercetarea imaginară practicată. Rezultă că soluția derivatei online înmulțită cu o constantă nu schimbă direcția generală de mișcare a punctului material, ci caracterizează creșterea vitezei de-a lungul unei linii drepte. În acest sens, va fi util să folosim calculatorul nostru derivat și să calculam toate valorile funcției pe întregul set al definiției sale. Nu este nevoie să studiem undele de forță ale câmpului gravitațional. În niciun caz rezolvarea derivatelor online nu va arăta înclinația razei de ieșire, dar doar în cazuri rare, când acest lucru este cu adevărat necesar, studenții își pot imagina acest lucru. Să-l investigăm pe director. Valoarea celui mai mic rotor este previzibilă. Aplicați la rezultatul liniilor care privesc spre dreapta care descriu mingea, dar calculator online derivate, aceasta este baza pentru cifrele de rezistență specială și dependență neliniară. Raportul proiectului de matematică este gata. Caracteristici personale: diferența dintre cele mai mici numere și derivata unei funcții de-a lungul axei ordonatelor va aduce concavitatea aceleiași funcții la înălțime. Există o direcție - există o concluzie. Este mai ușor să pui teoria în practică. Elevii au o propunere cu privire la momentul începerii studiului. Am nevoie de răspunsul unui profesor. Din nou, ca și în poziția anterioară, sistemul matematic nu este reglementat pe baza unei acțiuni care va ajuta la găsirea derivatei La fel ca versiunea semiliniară inferioară, derivata online va indica în detaliu identificarea soluției conform lege condițională degenerată. Tocmai a fost propusă ideea de a calcula formule. Diferențierea liniară a unei funcții deturnează adevărul soluției la simpla prezentare a variațiilor pozitive irelevante. Importanța semnelor de comparație va fi privită ca o întrerupere continuă a funcției de-a lungul axei. Aceasta este importanța celei mai conștiente concluzii, potrivit studentului, în care derivatul online este altceva decât un exemplu fidel de analiză matematică. Raza unui cerc curbat în spațiul euclidian, dimpotrivă, a oferit calculatorului de derivate o reprezentare naturală a schimbului de probleme decisive pentru stabilitate. Cea mai bună metodă găsite. A fost mai ușor să muți sarcina la un nivel. Lăsați aplicabilitatea proporției diferențelor independente să conducă la soluția derivatelor online. Soluția se rotește în jurul axei absciselor, descriind figura unui cerc. Există o cale de ieșire, și se bazează pe cercetări susținute teoretic de către studenți, din care toată lumea studiază, și chiar și în acele momente de timp există o derivată a funcției. Am găsit o cale de progres și elevii au confirmat-o. Ne putem permite să găsim derivata fără a depăși abordarea nefirească a transformării sistemului matematic. Semnul de proporționalitate din stânga crește cu succesiunea geometrică ca reprezentare matematică calculator derivat online din cauza circumstanței necunoscute a factorilor liniari pe axa y infinită. Matematicienii din întreaga lume au dovedit caracterul excepțional al procesului de producție. Există un pătrat cel mai mic în interiorul unui cerc conform descrierii teoriei. Din nou, derivatul online va exprima în detaliu ipoteza noastră cu privire la ceea ce ar putea influența în primul rând opinia rafinată teoretic. Au existat opinii de altă natură decât raportul analizat pe care l-am furnizat. O atenție specială poate să nu se acorde studenților facultăților noastre, dar nu și matematicienilor inteligenți și avansați din punct de vedere tehnologic, pentru care diferențierea unei funcții este doar o scuză. Sensul mecanic al derivatului este foarte simplu. Forța de ridicare este calculată ca derivată online pentru spațiile stabile care coboară în sus în timp. Calculatorul, evident, derivat este un proces riguros de descriere a problemei degenerării. transformare artificială ca un corp amorf. Prima derivată indică o modificare a mișcării unui punct material. Spațiul tridimensional este evident observat în contextul tehnologiilor special pregătite pentru rezolvarea derivatelor online, de fapt, acesta este în fiecare colocviu pe tema unei discipline matematice. A doua derivată caracterizează schimbarea vitezei unui punct material și determină accelerația. Abordarea meridiană bazată pe utilizarea transformării afine duce la nou nivel derivata unei functii intr-un punct din domeniul de definitie al acestei functii. Un calculator derivat online nu poate exista fără numere și notații simbolice în unele cazuri pentru momentul executabil potrivit, pe lângă aranjarea transformabilă a lucrurilor din sarcină. În mod surprinzător, există o a doua accelerare a punctului material care caracterizează schimbarea accelerației. În scurt timp, vom începe să studiem rezolvarea derivatei online, dar de îndată ce se ajunge la o anumită piatră de hotar în cunoaștere, studentul nostru va întrerupe acest proces. Cel mai bun remediu a stabili contacte este comunicare live pe o temă matematică. Există principii care nu pot fi încălcate în nicio circumstanță, oricât de dificilă ar fi sarcina. Este util să găsiți derivatul online la timp și fără erori. Aceasta va duce la o nouă poziție a expresiei matematice. Sistemul este stabil. Sensul fizic derivatul nu este la fel de popular ca cel mecanic. Este puțin probabil ca cineva să-și amintească modul în care derivata online a afișat în detaliu pe plan conturul liniilor funcției în normal din triunghiul adiacent axei absciselor. Omul merită un rol major în cercetările secolului trecut. Să diferențiem funcția în puncte atât din domeniul definiției, cât și la infinit în trei etape elementare. Va fi în formă scrisă doar în domeniul cercetării, dar poate lua locul vectorului principal în matematică și teoria numerelor, de îndată ce ceea ce se întâmplă leagă calculatorul de derivate online cu problema. Dacă ar exista un motiv, ar exista un motiv pentru a crea o ecuație. Este foarte important să țineți cont de toți parametrii de intrare. Cel mai bun nu este întotdeauna acceptat direct în spatele acestui lucru este o cantitate colosală de muncă grea cele mai bune minți, care știa cum se calculează derivatul online în spațiu. De atunci, convexitatea a fost considerată o proprietate a unei funcții continue. Cu toate acestea, este mai bine să stabiliți mai întâi sarcina de a rezolva derivatele online în cel mai scurt timp posibil. Astfel, soluția va fi completă. În afară de standardele nerespectate, acest lucru nu este considerat suficient. Inițial, aproape fiecare student își propune să propună o metodă simplă despre modul în care derivata unei funcții provoacă un algoritm de augmentare controversat. În direcția fasciculului ascendent. Acest lucru are sens ca situatie generala. Anterior, am marcat începutul finalizării unei anumite operații matematice, dar astăzi va fi invers. Poate că rezolvarea derivatului online va ridica din nou problema și vom adopta o opinie comună pentru a o păstra în timpul discuției de la ședința profesorilor. Sperăm la înțelegere din toate părțile participanților la întâlnire. Sensul logic constă în descrierea calculatorului derivat în rezonanța numerelor despre succesiunea de prezentare a gândirii problemei, la care au răspuns în secolul trecut marii oameni de știință ai lumii. Vă va ajuta să extrageți o variabilă complexă dintr-o expresie transformată și să găsiți derivatul online pentru a efectua o acțiune masivă de același tip. Adevărul este de multe ori mai bun decât presupunerile. Cea mai mică valoare în tendință. Rezultatul nu va întârzia să apară atunci când se folosește un serviciu unic de determinare precisă, pentru care există o esență a derivatului online în detaliu. Indirect, dar la obiect, după cum a spus un înțelept, un calculator de derivate online a fost creat la cererea multor studenți din diferite orașe ale uniunii. Dacă există o diferență, atunci de ce să decideți de două ori. Vectorul dat se află pe aceeași parte cu normalul. La mijlocul secolului trecut, diferențierea funcției nu era percepută deloc așa cum este astăzi. Datorită evoluțiilor în curs, a apărut matematica online. Odată cu trecerea timpului, elevii uită să acorde creditul cuvenit disciplinelor de matematică. Rezolvarea derivatului online va provoca teza noastră pe bună dreptate, bazată pe aplicarea teoriei susținute de cunoștințe practice. Va depăși valoarea existentă a factorului de prezentare și vom scrie formula într-o formă explicită pentru funcție. Se întâmplă că trebuie să găsiți imediat un derivat online, fără a utiliza niciun calculator, cu toate acestea, puteți oricând să recurgeți la trucul unui student și să utilizați în continuare un serviciu, cum ar fi un site web. Astfel, studentul va economisi mult timp la copierea exemplelor din caietul brut în forma finală. Dacă nu există contradicții, atunci utilizați serviciul pas cu pas pentru a rezolva astfel de exemple complexe.

Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivatul este unul dintre cele mai importante concepte analiză matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este un derivat, ce este fizic și sens geometric Cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivată a produsului funcțiilor

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. In spate Pe termen scurt Vă vom ajuta să rezolvați cele mai dificile teste și să rezolvați probleme, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.

Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate ale funcțiilor elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(X) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinusul	f(X) = păcat X	cos X
Cosinus	f(X) = cos X	−păcat X(minus sinus)
Tangentă	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangentă	f(X) = ctg X	− 1/sin 2 X
Logaritmul natural	f(X) = jurnal X	1/X
Logaritmul arbitrar	f(X) = jurnal A X	1/(X ln A)
Functie exponentiala	f(X) = e X	e X(Nimic nu s-a schimbat)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai ales elementare, dar și diferențiabile în raport cu anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(X) Și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sin x; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(X) = (X 2 + păcat X)’ = (X 2)’ + (păcat X)’ = 2X+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cos x;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivatul unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cos x; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)’ cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (− păcat X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul multiplicator este puțin mai complicat, dar schema generală nu se schimbă. Evident, primul factor al funcției g(X) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Vă rugăm să rețineți că pe ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(X) Și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Acesta este unul dintre cele mai multe formule complexe- Nu poți să-ți dai seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2 + ln X. Se va rezolva f(X) = păcat ( X 2 + ln X) - aceasta este o funcție complexă. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', Dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliata fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2 + ln X)

Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci se va rezolva functie elementara f(X) = e X. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcție g(X). Evident că trebuie înlocuit X 2 + ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2 + ln X. Apoi:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos ( X 2 + ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, cursa sumei este egală cu suma curselor. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții teste si examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini: