Aihe 4.6. Rajojen laskeminen

Toiminnon raja ei riipu siitä, onko se määritelty rajapisteessä vai ei. Mutta perusfunktioiden rajojen laskennassa tällä seikalla on suuri merkitys.

1. Jos funktio on alkeisfunktio ja jos argumentin raja-arvo kuuluu sen määritelmäalueeseen, niin funktion rajan laskeminen pelkistyy argumentin raja-arvon yksinkertaiseen korvaamiseen, koska raja alkeistoiminto f(x) at x pyrkiiA , joka sisältyy määritelmäalueeseen, on yhtä suuri kuin funktion osaarvo kohdassa x = A, eli lim f(x)=f( a) .

2. Jos x pyrkii äärettömään tai argumentti pyrkii numeroon, joka ei kuulu funktion määritelmäalueeseen, niin kussakin tällaisessa tapauksessa funktion rajan löytäminen vaatii erityistä tutkimusta.

Alla on yksinkertaisimmat rajat, jotka perustuvat rajojen ominaisuuksiin, joita voidaan käyttää kaavoina:

Monimutkaisemmat tapaukset funktion rajan löytämiseksi:

jokainen harkitaan erikseen.

Tässä osiossa hahmotellaan tärkeimmät tavat paljastaa epävarmuustekijät.

1. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f(x) edustaa kahden äärettömän pienen suuren suhdetta

a) Ensin on varmistettava, että funktion rajaa ei voida löytää suoralla substituutiolla, ja esitetyllä argumentin muutoksella se edustaa kahden äärettömän pienen suuren suhdetta. Muunnoksia tehdään murto-osuuden pienentämiseksi 0:aan pyrkivällä kertoimella. Funktion rajan määritelmän mukaan argumentti x pyrkii raja-arvoonsa, ei koskaan sen kanssa.

Yleensä, jos etsimme funktion rajaa osoitteessa x pyrkiiA , sinun on muistettava, että x ei ota arvoa A, eli x ei ole yhtä suuri kuin a.

b) Bezoutin lausetta sovelletaan. Jos etsit murto-osan rajaa, jonka osoittaja ja nimittäjä ovat polynomeja, jotka katoavat rajapisteessä x = A, niin yllä olevan lauseen mukaan molemmat polynomit ovat jaollisia x- A.

c) Irrationaalisuus osoittajassa tai nimittäjässä tuhotaan kertomalla osoittaja tai nimittäjä irrationaalisen lausekkeen konjugaatilla, minkä jälkeen murto-osaa pienennetään yksinkertaistamisen jälkeen.

d) Käytetään ensimmäistä merkittävää rajaa (4.1).

e) Käytetään infinitesimaalien ekvivalenssilausetta ja seuraavia periaatteita:

2. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f(x) edustaa kahden äärettömän suuren suuren suhdetta

a) Murtoluvun osoittajan ja nimittäjän jakaminen tuntemattoman suurimmalla potenssilla.

b) Yleensä voit käyttää sääntöä

3. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f (x) edustaa äärettömän pienen määrän ja äärettömän suuren tuloa

Murtoluku muunnetaan muotoon, jonka osoittaja ja nimittäjä pyrkivät samanaikaisesti nollaan tai äärettömyyteen, ts. tapaus 3 pienenee tapaukseksi 1 tai tapaukseksi 2.

4. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f (x) edustaa kahden positiivisen äärettömän suuren määrän erotusta

Tämä tapaus pelkistetään tyypiksi 1 tai 2 jollakin seuraavista tavoista:

a) tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään;

b) muunnetaan funktio murtoluvuksi;

c) irrationaalisuudesta eroon pääseminen.

5. Tapaus, kun x pyrkiiA funktio f(x) edustaa potenssia, jonka kanta on 1 ja eksponentti äärettömään.

Funktio muunnetaan siten, että se käyttää toista merkittävää rajaa (4.2).

Esimerkki. löytö .

Koska x yleensä 3, silloin murto-osan osoittaja pyrkii numeroon 3 2 +3 *3+4=22 ja nimittäjä numeroon 3+8=11. Siten,

Esimerkki

Tässä ovat murtoluvun osoittaja ja nimittäjä x pyrkii 2:een yleensä 0 (tyypin epävarmuus), jaamme osoittajan ja nimittäjän tekijöihin, saamme lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

Esimerkki

Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä lausekkeella, joka on konjugoitu osoittajaan, saadaan

Avaamalla sulut osoittajassa, saamme

Esimerkki

Taso 2. Esimerkki. Otetaan esimerkki funktion rajan käsitteen soveltamisesta taloudellisissa laskelmissa. Ajatellaanpa tavallista rahoitustapahtumaa: summan lainaamista S 0 sillä ehdolla, että tietyn ajan kuluttua T summa palautetaan S T. Määritetään arvo r suhteellinen kasvu kaava

r = (S T - S 0)/S 0 (1)

Suhteellinen kasvu voidaan ilmaista prosentteina kertomalla saatu arvo r 100 mennessä.

Kaavasta (1) on helppo määrittää arvo S T:

S T= S 0 (1 + r)

Laskettaessa pitkäaikaisia ​​lainoja, jotka kattavat useita täysiä vuosia, käytä korkokorkojärjestelmää. Se koostuu siitä, että jos ensimmäisen vuoden määrä S 0 kasvaa arvoon (1 + r) kertaa, sitten toisena vuonna vuonna (1 + r) kertaa summa kasvaa S 1 = S 0 (1 + r), tuo on S 2 = S 0 (1 + r) 2. Se selviää samalla tavalla S 3 = S 0 (1 + r) 3. Yllä olevista esimerkeistä voimme johtaa yleisen kaavan määrän kasvun laskemiseksi n vuodet laskettuna korkojärjestelmällä:

S n= S 0 (1 + r) n.

Rahoituslaskelmissa käytetään järjestelmiä, joissa korkokorko lasketaan useita kertoja vuodessa. Tässä tapauksessa se on määrätty vuosikorko r Ja kertymien määrä vuodessa k. Pääsääntöisesti jaksotukset tehdään tasavälein, eli kunkin välin pituuden mukaan Tk on osa vuotta. Sitten ajanjaksolle vuonna T vuotta (täällä T ei välttämättä kokonaisluku) määrä S T lasketaan kaavalla

(2)

Missä - koko osa numero, joka on sama kuin itse numero, jos esim. T? kokonaisluku.

Olkoon vuosikorko r ja sitä tuotetaan n kertyy vuosittain säännöllisin väliajoin. Sitten vuoden summa S 0 kasvaa kaavan määräämään arvoon

(3)

SISÄÄN teoreettinen analyysi ja käytännössä rahoitustoimintaa Käsitettä "jatkuvasti kertynyt korko" käytetään usein. Jos haluat siirtyä jatkuvasti kertyviin korkoihin, sinun on lisättävä loputtomasti kaavoissa (2) ja (3) lukuja. k Ja n(eli ohjaamaan k Ja näärettömään) ja laske, mihin rajaan funktiot pyrkivät S T Ja S 1 . Sovelletaan tätä menettelyä kaavaan (3):

Huomaa, että suluissa oleva raja on sama kuin toinen merkittävä raja. Tästä seuraa, että vuosikorolla r jatkuvasti kertyneellä korolla, summa S 0 vuodessa nousee arvoon S 1 *, joka määritetään kaavasta

S 1 * = S 0 e r (4)

Anna nyt summa S 0 myönnetään lainana korkoineen n kerran vuodessa säännöllisin väliajoin. Merkitään r e vuosikorko, jolla vuoden lopussa määrä S 0 kasvaa arvoon S 1 * kaavasta (4). Tässä tapauksessa sanomme sen r e- Tämä vuosikorko n kerran vuodessa, joka vastaa vuosikorkoa r jatkuvalla kerrytyksellä. Kaavasta (3) saamme

S*1 =S0 (1+re/n) n

Yhdistäen viimeisen kaavan ja kaavan (4) oikeat puolet, olettaen, että jälkimmäinen T= 1, voimme johtaa suhteita suureiden välille r Ja r e:

Näitä kaavoja käytetään laajalti rahoituslaskelmissa.

Rajojen etsimiseen liittyvien tehtävien ratkaiseminen Raja-arvojen etsimiseen liittyvien tehtävien ratkaisussa tulee muistaa joitain rajoja, jotta niitä ei joka kerta lasketa uudelleen. Yhdistämällä nämä tunnetut rajat, löydämme uudet rajat käyttämällä § 4:ssä mainittuja ominaisuuksia. Mukavuuden vuoksi esittelemme yleisimmät rajat: Rajat 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X-> o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), jos f (x) on jatkuva x a Jos tiedetään, että funktio on jatkuva, niin rajan löytämisen sijaan lasketaan funktion arvo. Esimerkki 1. Etsi lim (x*-6l:+ 8). Koska monitermi X->2 termifunktio on jatkuva, niin lim (x*-6x4-8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Esimerkki 2. Etsi lim -G. . Ensin löydetään nimittäjän raja: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; se ei ole yhtä suuri kuin X-Y1 nolla, mikä tarkoittaa, että voimme soveltaa ominaisuutta 4 § 4, sitten x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. nimittäjä X X on nolla, joten pykälän 4 ominaisuutta 4 ei voida soveltaa. Koska osoittaja on vakioluku ja nimittäjä [x2x) -> -0 x - - 1:lle, niin koko murto-osa kasvaa rajattomasti itseisarvo, eli lim " 1 X - * - - 1 x* + x Esimerkki 4. Etsi lim\-ll*"!"" "Nimittäjän raja on nolla: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, joten X-ominaisuus 4 § 4 ei sovelleta. Mutta osoittajan raja on myös nolla: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Eli osoittajan ja nimittäjän rajat ovat samanaikaisesti nolla. Luku 2 on kuitenkin sekä osoittajan että nimittäjän juuri, joten murto-osaa voidaan pienentää erolla x-2 (Bezoutin lauseen mukaan). Itse asiassa x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" siis xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Esimerkki 5. Etsi lim xn (n kokonaisluku, positiivinen). X kanssa Meillä on xn = X* X . . X, n kertaa Koska jokainen tekijä kasvaa rajattomasti, myös tuote kasvaa rajattomasti, eli lim xn = oo. x oo Esimerkki 6. Etsi lim xn(n kokonaisluku, positiivinen). X -> - CO Meillä on xn = x x... x. Koska jokainen tekijä kasvaa itseisarvossaan pysyen negatiivisena, niin parillisen asteen tapauksessa tulo kasvaa rajattomasti pysyen positiivisena, eli lim *n = + oo (parilliselle n:lle). *-* -о Parittoman asteen tapauksessa tulon itseisarvo kasvaa, mutta pysyy negatiivisena, eli lim xn = - oo (n parittiselle). p -- 00 Esimerkki 7. Etsi lim . x x-*- co * Jos m>pu niin voidaan kirjoittaa: m = n + kt missä k>0. Siksi xm b lim -=- = lim -=-= lim x. YLÖS Yn x - x> A x yu Tulimme esimerkkiin 6. Jos ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Tässä osoittaja pysyy vakiona ja nimittäjä kasvaa absoluuttisessa arvossa, joten lim -ь = 0. X - *oo X* On suositeltavaa muistaa tämän esimerkin tulos seuraava muoto: Potenttifunktio kasvaa sitä nopeammin, mitä suurempi eksponentti. $хв_Зхг + 7 Esimerkki 8. Etsi lim g L -г-= Tässä esimerkissä x-*® «J* "Г bХ -ох-о ja osoittaja ja nimittäjä kasvavat rajattomasti. Jaetaan sekä osoittaja että osoittaja nimittäjä x:n suurimmalla potenssilla, eli xb:llä, niin 3 7_ Esimerkki 9. Etsi liira... Suorittamalla muunnoksia saadaan liira... ^ = lim X CO + 3 7 3 Koska lim -5 = 0, lim - , = 0 , niin nimittäjän rad-*® X X-+-CD X raja on nolla, kun taas osoittajan raja on 1. Näin ollen koko murtoluku kasvaa ilman rajaa, eli t. 7x hm X-+ yu Esimerkki 10. Etsi lim Lasketaan nimittäjän raja S muistaen, että cos*-funktio on jatkuva: liira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Sitten x->- S lim (l-fsin*) Esimerkki 15. Etsi lim *<*-e>2 ja lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; koska (Λ;-a)2 kasvaa aina ei-negatiivisesti ja rajattomasti x:n kanssa, niin x - ±oo:lle uusi muuttuja z-*oc. Siksi saamme qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (katso huomautus §5:een). g -*■ co Samalla tavalla lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, koska x ± oo g m - (x- a)z pienenee ilman rajaa x ->±oo (katso huomautus §:ään)

Ensimmäinen merkittävä raja on seuraava yhtäläisyys:

\begin(yhtälö)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö)

Koska $\alpha\to(0)$:lla on $\sin\alpha\to(0)$, he sanovat, että ensimmäinen merkittävä raja paljastaa muodon $\frac(0)(0)$ epävarmuuden. Yleisesti ottaen kaavassa (1) muuttujan $\alpha$ sijasta mikä tahansa lauseke voidaan sijoittaa sinimerkin alle ja nimittäjään, kunhan kaksi ehtoa täyttyvät:

1. Sinimerkin alla ja nimittäjässä olevat lausekkeet pyrkivät samanaikaisesti nollaan, ts. on epävarmuus muodossa $\frac(0)(0)$.
2. Lausekkeet sinimerkin alla ja nimittäjässä ovat samat.

Usein käytetään myös seurauksia ensimmäisestä. ihana raja:

\begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö)

Tällä sivulla on ratkaistu yksitoista esimerkkiä. Esimerkki nro 1 on omistettu kaavojen (2)-(4) todistukselle. Esimerkit nro 2, nro 3, nro 4 ja nro 5 sisältävät ratkaisuja yksityiskohtaisine kommentteineen. Esimerkit 6-10 sisältävät ratkaisuja käytännössä ilman kommentteja, koska yksityiskohtaiset selitykset annettiin aiemmissa esimerkeissä. Ratkaisu käyttää jonkin verran trigonometriset kaavat joka löytyy.

Haluan huomauttaa, että trigonometristen funktioiden esiintyminen yhdessä epävarmuuden $\frac (0) (0)$ kanssa ei välttämättä tarkoita ensimmäisen merkittävän rajan soveltamista. Joskus yksinkertaiset asiat riittää trigonometriset muunnokset, - katso esimerkiksi .

Esimerkki nro 1

Todista, että $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Koska $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, niin:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Koska $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ja $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , Että:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Tehdään muutos $\alpha=\sin(y)$. Koska $\sin(0)=0$, niin ehdosta $\alpha\to(0)$ meillä on $y\to(0)$. Lisäksi on nollan ympäristö, jossa $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, joten:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Yhtälö $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ on todistettu.

c) Tehdään korvaus $\alpha=\tg(y)$. Koska $\tg(0)=0$, ehdot $\alpha\to(0)$ ja $y\to(0)$ ovat vastaavat. Lisäksi on nollan ympäristö, jossa $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, joten pisteen a) tulosten perusteella meillä on:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Yhtälö $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ on todistettu.

Yhtälöitä a), b), c) käytetään usein yhdessä ensimmäisen merkittävän rajan kanssa.

Esimerkki nro 2

Laske raja $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Koska $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ja $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ts. ja murtoluvun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät samanaikaisesti nollaan, niin tässä on kyse muotoa $\frac(0)(0)$ olevasta epävarmuudesta, ts. tehty. Lisäksi on selvää, että sinimerkin alla ja nimittäjässä olevat lausekkeet ovat samat (eli ja täyttyvät):

Joten molemmat sivun alussa luetellut ehdot täyttyvät. Tästä seuraa, että kaava on sovellettavissa, ts. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Vastaus: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Esimerkki nro 3

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Koska $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))x=0$, niin kyseessä on muodon $\frac epävarmuus (0 )(0)$, ts. tehty. Sinimerkin alla ja nimittäjässä olevat lausekkeet eivät kuitenkaan täsmää. Tässä sinun on säädettävä nimittäjässä oleva lauseke haluttuun muotoon. Tarvitsemme lausekkeen $9x$ olevan nimittäjässä, niin siitä tulee totta. Pohjimmiltaan meiltä puuttuu tekijä 9$ nimittäjästä, jonka syöttäminen ei ole niin vaikeaa – kerro vain nimittäjässä oleva lauseke 9$:lla. Luonnollisesti kompensoidaksesi kertomisen $9$:lla sinun on jaettava välittömästi 9$:lla:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Nyt nimittäjässä ja sinimerkin alla olevat lausekkeet ovat samat. Molemmat rajan $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ehdot täyttyvät. Siksi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Ja tämä tarkoittaa, että:

9 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Esimerkki nro 4

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Koska $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, tässä on kyse muodon epävarmuudesta $\frac(0)(0)$. Ensimmäisen merkittävän rajan muoto on kuitenkin rikottu. Osoittaja, joka sisältää $\sin(5x)$, vaatii nimittäjän $5x$. Tässä tilanteessa helpoin tapa on jakaa osoittaja $5x$:lla ja kertoa heti $5x$:lla. Lisäksi suoritamme samanlaisen toimenpiteen nimittäjällä kertomalla ja jakamalla $\tg(8x)$ $8x$:lla:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Pienentämällä $x$ ja ottamalla vakio $\frac(5)(8)$ rajamerkin ulkopuolelle, saamme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Huomaa, että $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ täyttää täysin ensimmäisen merkittävän rajan vaatimukset. Löytääksesi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ käytetään seuraavaa kaavaa:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Esimerkki nro 5

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Koska $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (muista, että $\cos(0)=1$) ja $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, niin kyseessä on muodon $\frac(0)(0)$ epävarmuus. Ensimmäisen merkittävän rajan soveltamiseksi sinun tulee kuitenkin päästä eroon osoittajassa olevasta kosinista siirtymällä sineihin (kaavan soveltamiseksi) tai tangenteihin (kaavan soveltamiseksi). Tämä voidaan tehdä seuraavalla muunnolla:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\oikea)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\oikea)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Palataan rajaan:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\oikea) $$

Murtoluku $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ on jo lähellä muotoa, joka vaaditaan ensimmäiselle merkittävälle rajalle. Työstetään vähän murto-osan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kanssa ja sovitetaan se ensimmäiseen merkittävään rajaan (huomaa, että osoittajan ja sinin alla olevien lausekkeiden on vastattava):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Palataan tähän rajaan:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\oikea) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Esimerkki nro 6

Etsi raja $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Koska $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ja $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, niin kyseessä on epävarmuus $\frac(0)(0)$. Paljastakaamme se ensimmäisen merkittävän rajan avulla. Tätä varten siirrytään kosinuksista sineihin. Koska $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, niin:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Kun siirrymme sineihin annetussa rajassa, meillä on:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\oikea)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Esimerkki nro 7

Laske raja $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ riippuen $\alpha\neq \ beta$.

Yksityiskohtaiset selitykset annettiin aiemmin, mutta tässä on vain huomautettava, että taas on epävarmuus $\frac(0)(0)$. Siirrytään kosineista sineihin kaavan avulla

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Käyttämällä tätä kaavaa saamme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\oikea)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\oikea))(x)\oikea)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\oikea))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Esimerkki nro 8

Etsi raja $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Koska $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (muista, että $\sin(0)=\tg(0)=0$) ja $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, niin tässä on kyse muodon $\frac(0)(0)$ epävarmuudesta. Jaetaan se seuraavasti:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\oikea))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\oikea))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\oikea)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\oikea) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Esimerkki nro 9

Etsi raja $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Koska $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ja $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, silloin on epävarmuus muodossa $\frac(0)(0)$. Ennen kuin jatkat sen laajentamista, on kätevää tehdä muuttujan muutos siten, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (huomaa, että kaavoissa muuttuja $\alpha \to 0$). Helpoin tapa on ottaa käyttöön muuttuja $t=x-3$. Kuitenkin jatkomuunnosten mukavuuden vuoksi (tämä etu näkyy alla olevan ratkaisun aikana) kannattaa tehdä seuraava korvaus: $t=\frac(x-3)(2)$. Huomaan, että molemmat korvaukset ovat sovellettavissa tässä tapauksessa, se on vain, että toinen vaihto antaa sinun työskennellä vähemmän murto-osien kanssa. Alkaen $x\to(3)$, sitten $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\oikea| =\left|\begin(tasattu)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(tasattu)\oikea| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\oikea) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Esimerkki nro 10

Etsi raja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Jälleen kerran olemme tekemisissä epävarmuuden $\frac(0)(0)$ kanssa. Ennen kuin jatkat sen laajentamista, on kätevää tehdä muuttujan muutos siten, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (huomaa, että kaavoissa muuttuja on $\alpha\to(0)$). Helpoin tapa on ottaa käyttöön muuttuja $t=\frac(\pi)(2)-x$. Alkaen $x\to\frac(\pi)(2)$, sitten $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\oikea| =\left|\begin(tasattu)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(tasattu)\oikea| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\oikea))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Esimerkki nro 11

Etsi rajat $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Tässä tapauksessa meidän ei tarvitse käyttää ensimmäistä ihmeellistä rajaa. Huomaa, että sekä ensimmäinen että toinen raja sisältävät vain trigonometrisiä funktioita ja numeroita. Usein tällaisissa esimerkeissä on mahdollista yksinkertaistaa rajamerkin alla olevaa lauseketta. Lisäksi edellä mainitun yksinkertaistamisen ja joidenkin tekijöiden vähentämisen jälkeen epävarmuus katoaa. Annoin tämän esimerkin vain yhtä tarkoitusta varten: osoittaakseni, että trigonometristen funktioiden läsnäolo rajamerkin alla ei välttämättä tarkoita ensimmäisen merkittävän rajan käyttöä.

Koska $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (muista, että $\sin\frac(\pi)(2)=1$) ja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (muistutan, että $\cos\frac(\pi)(2)=0$), niin meillä on käsittelee muodon $\frac(0)(0)$ epävarmuutta. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että meidän on käytettävä ensimmäistä upeaa rajaa. Epävarmuuden paljastamiseksi riittää, kun huomioidaan, että $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Samanlainen ratkaisu on Demidovichin ratkaisukirjassa (nro 475). Toisen rajan osalta, kuten tämän osan edellisissä esimerkeissä, meillä on epävarmuus muodossa $\frac(0)(0)$. Miksi se syntyy? Se syntyy, koska $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ja $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Käytämme näitä arvoja muuntamaan osoittajan ja nimittäjän lausekkeet. Toimenpiteidemme tavoitteena on kirjoittaa osoittajaan ja nimittäjään oleva summa tuotteeksi. Muuten, usein samantyyppisen tyypin sisällä on kätevää muuttaa muuttujaa, joka on tehty siten, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (katso esimerkiksi tällä sivulla olevat esimerkit nro 9 tai nro 10). Kuitenkin sisään tässä esimerkissä sitä ei kannata korvata, vaikka haluttaessa muuttujan $t=x-\frac(2\pi)(3)$ korvaaminen ei ole vaikeaa toteuttaa.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\oikea )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\oikea))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\oikea)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Kuten näet, meidän ei tarvinnut soveltaa ensimmäistä upeaa rajaa. Voit tietysti tehdä tämän, jos haluat (katso huomautus alla), mutta se ei ole välttämätöntä.

Mikä on ratkaisu käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa? näytä piilota

Käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa saamme:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ oikea))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\oikea)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Vastaus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Raja

RAJA-A; m.

1. reuna, lopullinen osa jotain. P. peltoja, metsiä. Aro leviää ilman loppua ja rajoitusta. Aavikolle ei näytä olevan rajaa. P. elämä(kuolema, kuolema).

2. yleensä monikko: rajat, -s. Luonnollinen tai tavanomainen piirre, joka on jonkin raja. alueet; rajalla Laajenna tontin rajoja. Löydä itsesi isänmaan ulkopuolelta. En matkustanut osavaltioni ulkopuolelle. // mitä tai mitä. Maasto, avaruus, jkn sisällä rajoja. Metsä, suojelualueet. Huoneen rajoittama. Sijaitsee kaupungissa tai alueella. // Trad.-runoilija. Alue, maa. Jätä kotirajasi. Tuhoaa muiden ihmisten rajoja. Joku kaukaa.

3. vain yksiköitä Razg. Kohtalo, kohtalo, kohtalo. Se oli hänen tapansa - kuolla vieraassa maassa. Ilmeisesti minulla on oikeus tällaiseen lausekkeeseen.

4. yleensä monikko: rajat, -s. reunus, kehys jtk hyväksytty, perustettu, sallittu. Mene hyväksyttävää pidemmälle. Mene rajojen yli. Tehon rajat. Kaupallisten transaktioiden rajoitukset. Pysy säädyllisyyden rajoissa. laittaa, laittaa p. jtk(pysäyttää, keskeyttää jtk).

5. viimeinen, äärimmäinen aste Viimeinen, äärimmäinen kohta. P. kärsivällisyyttä, julmuutta. Saavuta köyhyyden raja. Raivo saavutti korkeimman rajansa. Kaikella on p. Kiitollisuudellani ei ole rajaa. Äidin rakkaus ei tunne rajoja. Ihmisten voimat on painettu äärirajoille. P. unelmia, onnea, toiveita. P. täydellisyys. // asiantuntija. Kriittinen piste, joka kuvaa mahdollisuutta ilmentää jotain. ominaisuuksia, ominaisuuksia. P. vahvuus. P. kestävyys. P. elastisuus.

6. Optimaalinen mitta normi. P. sulamislämpötila. P. puiden elämä. P. nopeus.

7. Matematiikka. Vakiosuure, jota muuttuva suure lähestyy toisesta muuttuvasta suuresta riippuen tietyllä muutoksella jälkimmäisessä. P. numerosarja. Rajan käsite. Rajojen teoria.

◁ Rajalla.

minä merkissä. adv.Äärimmäisessä jännityksessä. Työskentele äärirajoille.

II. toiminnassa tarina Äärimmäisen ärsyttävää. jk rajalla. Hermot äärimmilleen.

raja

reaalilukujonoja a 1 , a 2 , ..., a n, ..., numero Aa n jaksoja riittävästi iso luku n vaihtelevat A niin vähän kuin haluat (merkintä: ). Esimerkiksi sarjan raja . Kaikilla sarjoilla ei ole rajaa. Toiminnan vuoksi f(X) raja klo X, pyrkii X 0, tätä numeroa kutsutaan A, Mitä f(X A klo X, tarpeeksi lähellä X 0 (ennätys). Rajateoria on matemaattisen analyysin perusta.

RAJA

LIMIT reaalilukujen sarjasta a 1 , a 2 , ..., a n, ..., numero a, jolla on kaikilla ehdoilla ominaisuus a n sekvenssiä Kanssa melko suuri määrä n vaihtelevat a niin vähän kuin haluat (ennätys:). Esimerkiksi sekvenssirajoitus
Kaikilla sarjoilla ei ole rajaa. funktiolle f( x) raja klo X, pyrkii X 0 kutsutaan sellaiseksi numeroksi A, että f( x) vaihtelee vähän A klo X, tarpeeksi lähellä X 0 (merkintä:). Rajateoria on matemaattisen analyysin perusta.

tietosanakirja. 2009 .

Synonyymit:

Katso, mikä "raja" on muissa sanakirjoissa:

LIMIT, raja, aviomies. (kirja). 1. vain monikko Raja, linja, joka jakaa maita ja valtioita keskenään; rajalla Mene kaupungin ulkopuolelle. Merkitse alueen rajat karttaan. || Maasto, tila, joidenkin rajojen sisällä;... ... Ushakovin selittävä sanakirja

Objekti, joka edustaa kuvitteellista tai todellista rajaa toiselle kohteelle. SISÄÄN matemaattinen analyysi katso Raja (matematiikka), sekä: Jakson raja Funktion raja Kategorian raja Osittaisraja Projektiivinen raja Banach ... ... Wikipedia

Katso apogee, sallitun rajojen ylittämisen raja, säädyllisyyden rajojen ylittämättä jättäminen, rajan tietämättä jättäminen, rajan asettaminen... Venäjän synonyymien ja vastaavien ilmaisujen sanakirja. alla. toim. N. Abramova, M.: Venäjän sanakirjat, 1999.… … Synonyymien sanakirja

Aviomies. alku tai loppu, loppu, raja, reuna, leikkaus, reuna, raja tai raja; yhden loppu ja toisen alku, aineellisessa ja henkisessä mielessä. Valtion rajat, rajat, rajat. Meren raja, ranta; maaraja, vesi. Elämän raja on kuolema. Raja... ... Dahlin selittävä sanakirja

Reaalilukujen sekvenssit a1 a2, ..., an, ..., luku a, jonka ominaisuus on, että kaikki riittävän suuren n luvun jäsenet an eroavat a:sta niin vähän kuin halutaan (merkintä:). Esimerkiksi sarjan raja Ei joka... ... Suuri Ensyklopedinen sanakirja

RAJA matematiikassa arvoa tai arvoja, joihin peräkkäisen numerosarjan arvot lähestyvät. Matemaattisen SARJAN raja on arvo, jota lähestyy summa, jonka arvo on sitä suurempi mitä enemmän siihen sisältyy lukuja.… … Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja

Raja- LIMIT, vakioluku, jota muuttujan arvo lähestyy loputtomasti jonkin muutosprosessinsa aikana. Yksinkertaisin käsite on lukusarjan a1, a2, ..., an, ... raja a, jolla on ominaisuus, että... ... Kuvitettu tietosanakirja

LIMIT, ah, aviomies. 1. jonkin tilallinen tai ajallinen raja; mikä rajoittaa mitä n. Maan ulkopuolella. Kuluvan vuoden sisällä. 2. Jonkin viimeinen, äärimmäinen reuna, aste. P. täydellisyys. P. nopeus. P. vahvuus. P.…… Ožegovin selittävä sanakirja

Katso nykyinen V.V. Vinogradov. Sanojen historia, 2010 ... Sanojen historia

Raja on olemassa, sitä ei voi ylittää. Kirja Vanhentunut Siitä linjasta, jota ei voi ylittää. /i> Palaa Raamatun kirkkoslaavilaiseen tekstiin. BMS 1998, 471 ... Suuri sanakirja venäläisiä sanontoja

Jatkuva numero A nimeltään raja sekvenssejä(x n ), jos mikä tahansa mielivaltaisen pieni positiivinen lukuε > 0 on luku N, jolla on kaikki arvot x n, jolle n>N, tyydyttää epäyhtälön

|x n - a|< ε. (6.1)

Kirjoita se muistiin seuraavasti: tai x n → a.

Epäyhtälö (6.1) vastaa kaksois-epäyhtälöä

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

mikä tarkoittaa, että pisteet x n, alkaen jostain luvusta n>N, ovat intervallin sisällä (a-ε, a+ ε ), eli pudota mihin tahansa pieneenε -pisteen naapurustossa A.

Kutsutaan sarjaa, jolla on raja lähentyvä, muuten - poikkeava.

Funktiorajan käsite on yleistys sarjarajan käsitteestä, koska sekvenssin rajaa voidaan pitää kokonaislukuargumentin funktion x n = f(n) rajana. n.

Olkoon funktio f(x) annettu ja olkoon a - rajapiste tämän funktion määritelmäalue D(f), ts. sellainen piste, jonka mikä tahansa ympäristö sisältää joukon D(f) muita pisteitä kuin a. Piste a voi kuulua joukkoon D(f) tai ei.

Määritelmä 1.Vakiolukua A kutsutaan raja toimintoja f(x) klo x →a, jos mille tahansa argumenttiarvojen sekvenssille (x n ), joka pyrkii A, vastaavilla sarjoilla (f(x n)) on sama raja A.

Tätä määritelmää kutsutaan määrittämällä funktion raja Heinen mukaan, tai " sarjakielellä”.

Määritelmä 2. Vakiolukua A kutsutaan raja toimintoja f(x) klo x →a, jos määrittämällä mielivaltaisen mielivaltaisen pienen positiivisen luvun ε, löytyy sellainen δ>0 (riippuen ε), joka sopii kaikille x, makaaNumeron ε-alueet A, eli varten x, tyydyttää eriarvoisuutta
0 < x-a< ε , funktion f(x) arvot ovat sisälläLuvun A ε-naapurusto, ts.|f(x)-A|< ε.

Tätä määritelmää kutsutaan määrittelemällä funktion rajan Cauchyn mukaan, tai "kielellä ε - δ “.

Määritelmät 1 ja 2 ovat vastaavia. Jos funktio f(x) on x →a on raja, yhtä suuri kuin A, tämä kirjoitetaan muodossa

. (6.3)

Siinä tapauksessa, että sekvenssi (f(x n)) kasvaa (tai pienenee) ilman rajoituksia millekään approksimaatiomenetelmälle x rajallesi A, silloin sanomme, että funktiolla f(x) on ääretön raja, ja kirjoita se muotoon:

Kutsutaan muuttuja (eli sekvenssi tai funktio), jonka raja on nolla äärettömän pieni.

Kutsutaan muuttujaa, jonka raja on ääretön äärettömän suuri.

Käytännössä rajan löytämiseksi käytetään seuraavia lauseita.

Lause 1 . Jos jokainen raja on olemassa

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommentti. Lausekkeet kuten 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - ovat epävarmoja, esimerkiksi kahden äärettömän pienen tai äärettömän suuren määrän suhde, ja tämän tyyppisen rajan löytämistä kutsutaan "epävarmuuksien paljastamiseksi".

Lause 2. (6.7)

nuo. rajaan voi mennä vakion eksponentin potenssin perusteella, erityisesti ;

(6.8)

(6.9)

Lause 3.

(6.10)

(6.11)

Missä e » 2.7 - luonnollisen logaritmin kanta. Kaavoja (6.10) ja (6.11) kutsutaan ensimmäisiksi ihana raja ja toinen merkittävä raja.

Kaavan (6.11) seurauksia käytetään myös käytännössä:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

erityisesti raja,

Jos x → a ja samalla x > a, kirjoita sitten x→a + 0. Jos erityisesti a = 0, kirjoita symbolin 0+0 sijaan +0. Vastaavasti jos x→a ja samalla x a-0. Numerot ja niitä kutsutaan sen mukaan oikea raja Ja vasen raja toimintoja f(x) pisteessä A. Jotta funktiolle f(x) olisi rajana x→a on välttämätön ja riittävä, jotta . Funktiota f(x) kutsutaan jatkuva pisteessä x 0 jos raja

. (6.15)

Ehto (6.15) voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

,

eli siirtyminen funktion etumerkin alla olevaan rajaan on mahdollista, jos se on jatkuva tietyssä pisteessä.

Jos tasa-arvoa (6.15) rikotaan, niin sanotaan klo x = xo toiminto f(x) Sillä on aukko Tarkastellaan funktiota y = 1/x. Tämän funktion määrittelyalue on joukko R, paitsi x = 0. Piste x = 0 on joukon D(f) rajapiste, koska missä tahansa sen ympäristössä, ts. missä tahansa avoimessa välissä, joka sisältää pisteen 0, on pisteitä D(f:stä), mutta se ei itse kuulu tähän joukkoon. Arvoa f(x o)= f(0) ei ole määritelty, joten pisteessä x o = 0 funktiolla on epäjatkuvuus.

Funktiota f(x) kutsutaan jatkuva oikealla pisteessä x o jos raja

,

Ja jatkuva vasemmalla pisteessä x o, jos raja

.

Funktion jatkuvuus pisteessä xo vastaa sen jatkuvuutta tässä kohdassa sekä oikealla että vasemmalla.

Jotta funktio olisi jatkuva pisteessä xo, esimerkiksi oikealla, on ensinnäkin välttämätöntä, että on äärellinen raja, ja toiseksi, että tämä raja on yhtä suuri kuin f(x o). Siksi, jos ainakin toinen näistä kahdesta ehdosta ei täyty, funktiolla on epäjatkuvuus.

1. Jos raja on olemassa eikä se ole yhtä suuri kuin f(x o), niin he sanovat niin toiminto f(x) pisteessä x o on ensimmäisen tyyppinen repeämä, tai harppaus.

2. Jos raja on+∞ tai -∞ tai ei ole olemassa, niin he sanovat, että sisään kohta xo funktiossa on epäjatkuvuus toinen laji.

Esimerkiksi funktio y = cot x x x→ +0:n raja on yhtä suuri kuin +∞, mikä tarkoittaa, että pisteessä x=0 sillä on toisen tyyppinen epäjatkuvuus. Funktio y = E(x) (kokonaisluku osa x) pisteissä, joissa on kokonaisia ​​abskissat, on ensimmäisen tyyppisiä epäjatkuvuuksia tai hyppyjä.

Kutsutaan funktiota, joka on jatkuva jokaisessa intervallin pisteessä jatkuva V . Jatkuvaa funktiota edustaa kiinteä käyrä.

Monet ongelmat, jotka liittyvät jonkin määrän jatkuvaan kasvuun, johtavat toiseen merkittävään rajaan. Tällaisia ​​tehtäviä ovat esimerkiksi: talletusten kasvu korkolain mukaan, maan väestön kasvu, radioaktiivisten aineiden hajoaminen, bakteerien lisääntyminen jne.

Harkitsemme esimerkki Ya. I. Perelmanista, joka antaa tulkinnan numerosta e korkokorkoongelmassa. Määrä e on raja . Säästöpankeissa korkorahat lisätään kiinteään pääomaan vuosittain. Jos liittyminen tehdään useammin, pääoma kasvaa nopeammin, koska koron muodostukseen osallistuu suurempi summa. Otetaanpa puhtaasti teoreettinen, hyvin yksinkertaistettu esimerkki. Talletetaan pankkiin 100 denieriä. yksiköitä perustuu 100 %:iin vuodessa. Jos korkorahaa lisätään kiinteään pääomaan vasta vuoden kuluttua, niin tähän ajanjaksoon mennessä 100 den. yksiköitä muuttuu 200 rahayksiköksi. Katsotaan nyt mitä 100 denize muuttuu. yksikköä, jos kiinteään pääomaan lisätään korkorahaa kuuden kuukauden välein. Kuuden kuukauden kuluttua 100 den. yksiköitä kasvaa 100:ksi× 1,5 = 150 ja vielä kuuden kuukauden kuluttua - 150× 1,5 = 225 (den. yksikköä). Jos liittyminen tehdään joka kolmasosa vuodesta, niin vuoden kuluttua 100 den. yksiköitä muuttuu 100:ksi× (1 +1/3) 3" 237 (den. yksikköä). Nostamme korkorahojen lisäysehdot 0,1 vuoteen, 0,01 vuoteen, 0,001 vuoteen jne. Sitten 100 denistä. yksiköitä vuoden kuluttua se on:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. yksikköä),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. yksikköä),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. yksikköä).

Koronlisäysehtojen rajoittamattomalla alennuksella kertynyt pääoma ei kasva loputtomasti, vaan lähestyy tiettyä rajaa, joka on noin 271. 100 % vuodessa talletettu pääoma ei voi kasvaa enempää kuin 2,71-kertainen, vaikka kertynyt korko. lisättiin pääomaan joka toinen, koska raja

Esimerkki 3.1.Todista lukujonon rajan määritelmää käyttäen, että sekvenssin x n =(n-1)/n raja on yhtä suuri kuin 1.

Ratkaisu.Meidän on todistettava se, olipa mitä tahansaε > 0 riippumatta siitä, mitä otamme, hänelle on jotain luonnollinen luku N siten, että kaikilla n N:llä epäyhtälö pätee|x n -1|< ε.

Otetaan mikä tahansa e > 0. Koska ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, niin N:n löytämiseksi riittää ratkaisemaan epäyhtälö 1/n< e. Tästä syystä n>1/e ja siksi N voidaan pitää kokonaisluvun osana 1/ e, N = E(1/e ). Olemme siten osoittaneet, että raja .

Esimerkki 3.2 . Etsi yhteisen termin antaman sekvenssin raja .

Ratkaisu.Sovelletaan summalauseen rajaa ja löydetään kunkin termin raja. Kun n→ ∞ kunkin termin osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömään, emmekä voi suoraan soveltaa osamäärärajalausetta. Siksi ensin muunnamme x n, jakamalla ensimmäisen termin osoittajan ja nimittäjän n 2, ja toinen päällä n. Sitten, soveltamalla osamäärän rajaa ja summalauseen rajaa, löydämme:

.

Esimerkki 3.3. . Löytö .

Ratkaisu. .

Tässä käytettiin astelauseen rajaa: asteen raja on yhtä suuri kuin kantarajan aste.

Esimerkki 3.4 . Löytö ( ).

Ratkaisu.Erotuksen rajalausetta on mahdotonta soveltaa, koska meillä on muodon epävarmuus ∞-∞ . Muunnetaan yleistermin kaava:

.

Esimerkki 3.5 . Funktio f(x)=2 1/x on annettu. Todista, että rajaa ei ole.

Ratkaisu.Käytetään funktion rajan määritelmää 1 sekvenssin kautta. Otetaan sekvenssi ( x n ), joka suppenee nollaan, ts. Osoitetaan, että arvo f(x n)= käyttäytyy eri tavalla eri sarjoille. Olkoon x n = 1/n. Ilmeisesti sitten raja Valitsemme nyt niin x n sekvenssi, jolla on yhteinen termi x n = -1/n, joka myös pyrkii nollaan. Siksi rajaa ei ole.

Esimerkki 3.6 . Todista, että rajaa ei ole.

Ratkaisu.Olkoon x 1 , x 2 ,..., x n ,... jono, jolle
. Kuinka sekvenssi (f(x n)) = (sin x n) käyttäytyy eri x n → ∞

Jos x n = p n, niin sin x n = sin p n = 0 kaikille n ja raja jos
x n = 2 p n+ p /2, sitten sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 kaikille n ja siksi raja. Joten sitä ei ole olemassa.

Widget rajojen laskemiseen verkossa

Syötä ylempään ikkunaan sin(x)/x:n sijaan funktio, jonka rajan haluat löytää. Syötä alempaan ikkunaan numero, johon x pyrkii, ja napsauta Laskenta-painiketta saadaksesi haluamasi rajan. Ja jos napsautat tulosikkunassa Näytä vaiheet oikeassa yläkulmassa, saat yksityiskohtaisen ratkaisun.

Säännöt funktioiden syöttämiseen: sqrt(x) - neliöjuuri, cbrt(x) - kuutiojuuri, exp(x) - eksponentti, ln(x) - luonnollinen logaritmi, sin(x) - sini, cos(x) - kosini, tan (x) - tangentti, cot(x) - kotangentti, arcsin(x) - arcsini, arccos(x) - arkosiini, arctan(x) - arktangentti. Merkit: * kertolasku, / jako, ^ eksponentio, sen sijaan ääretönääretön. Esimerkki: funktio syötetään muodossa sqrt(tan(x/2)).