Trigonometrijske funkcije su elementarne funkcije čiji je argument kutak. Korišćenjem trigonometrijske funkcije opisuje odnose između stranica i oštrih uglova u pravokutnom trokutu. Područja primjene trigonometrijskih funkcija su izuzetno raznolika. Na primjer, bilo koji periodični proces može se predstaviti kao zbir trigonometrijskih funkcija (Fourierov red). Ove funkcije se često pojavljuju pri rješavanju diferencijalnih i funkcionalnih jednadžbi.

Trigonometrijske funkcije uključuju sljedećih 6 funkcija: sinus, kosinus, tangenta, kotangens, secant I kosekans. Za svaku od ovih funkcija postoji inverzna trigonometrijska funkcija.

Geometrijska definicija trigonometrijskih funkcija može se prikladno uvesti pomoću jedinični krug. Na slici ispod prikazan je krug poluprečnika r= 1. Na kružnici postoji tačka M(x,y). Ugao između radijus vektora OM i pozitivan smjer ose Ox jednaki α .

Sinus ugao α y bodova M(x,y) do radijusa r: sin α = y/r. Zbog r= 1, tada je sinus jednak ordinati tačke M(x,y).

Kosinus ugao α x bodova M(x,y) do radijusa r:cos α = x/r = x

Tangenta ugao α zove se ordinatni odnos y bodova M(x,y) na svoju apscisu x:tan α = y/x, x ≠ 0

Kotangens ugao α naziva se omjer apscisa x bodova M(x,y) na svoju ordinatu y:cot α = x/y, y ≠ 0

Secant ugao α − je omjer polumjera r do apscise x bodova M(x,y):sec α = r/x = 1/x, x ≠ 0

Kosekans ugao α − je omjer polumjera r na ordinatu y bodova M(x,y): cosec α = r/y = 1/y, y ≠ 0

U jediničnom krugu projekcije x, y bodova M(x,y) i radijus r formiraju pravougaoni trougao u kojem x, y su noge i r− hipotenuza. Stoga su gornje definicije trigonometrijskih funkcija primijenjene na pravokutni trokut formulirane na sljedeći način: Sinus ugao α naziva se odnos suprotne strane prema hipotenuzi. Kosinus ugao α naziva se odnos susednog kraka i hipotenuze. Tangenta ugao α zove suprotnu stranu od susedne. Kotangens ugao α naziva se susjedna strana suprotnoj strani.

Grafikon funkcije sinusa y= grijeh x, domena: x ∈ ℜ , opseg: −1 ≤ sin x ≤ 1

Grafikon kosinusne funkcije y=cos x, domena: x ∈ ℜ , opseg: −1 ≤ cos x ≤ 1

Grafikon tangentne funkcije y= ttg x, domena: x ∈ ℜ , x ≠ (2k + 1)π /2, opseg: −∞< tg x < ∞

Grafikon kotangens funkcije y=ctg x, domena: x ∈ ℜ , x ≠ kπ, raspon: −∞< ctg x < ∞

Uglovi se mjere u stepenima ili radijanima. Važno je razumjeti odnos između ovih mjernih jedinica. Razumijevanje ovog odnosa omogućava vam da radite s uglovima i napravite prijelaz od stupnjeva do radijana i nazad. U ovom članku ćemo izvesti formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane i radijane u stupnjeve, a također ćemo pogledati nekoliko praktičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Odnos između stupnjeva i radijana

Za uspostavljanje veze između stepeni i radijana potrebno je znati stepen i radijansku mjeru ugla. Na primjer, uzmite središnji ugao, koji se zasniva na promjeru kruga polumjera r. Da biste izračunali radijansku mjeru ovog ugla, potrebno je podijeliti dužinu luka sa dužinom polumjera kružnice. Ugao koji se razmatra odgovara dužini luka jednakoj polovini obima π·r. Podelite dužinu luka poluprečnikom i dobijete radijansku meru ugla: π · r r = π rad.

Dakle, ugao u pitanju je π radijana. S druge strane, to je obrnuti ugao jednak 180°. Stoga 180° = π rad.

Odnos između stupnjeva i radijana

Odnos između radijana i stupnjeva izražava se formulom

π radijan = 180°

Formule za pretvaranje radijana u stupnjeve i obrnuto

Iz gore dobivene formule možete izvesti druge formule za pretvaranje uglova iz radijana u stupnjeve i iz stupnjeva u radijane.

Izrazimo jedan radijan u stepenima. Da biste to učinili, podijelite lijevu i desnu stranu polumjera sa pi.

1 r a d = 180 π ° - stepen stepena ugla od 1 radijana jednak je 180 π.

Takođe možete izraziti jedan stepen u radijanima.

1° = π 180 r a d

Možete napraviti približne proračune vrijednosti uglova u radijanima i obrnuto. Da biste to učinili, uzmite vrijednosti broja π s točnošću od deset tisućinki i zamijenite ih u rezultirajuće formule.

1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °

Dakle, u jednom radijanu ima otprilike 57 stepeni

1° = π 180 r a d = 3,1416 180 r a d = 0,0175 r a d

Jedan stepen sadrži 0,0175 radijana.

Formula za pretvaranje radijana u stepeni

x r a d = x 180 π °

Da biste pretvorili ugao iz radijana u stepene, trebate pomnožiti ugao u radijanima sa 180 i podijeliti s pi.

Primjeri pretvaranja stupnjeva u radijane i radijane u stupnjeve

Pogledajmo primjer.

Primjer 1. Pretvaranje iz radijana u stupnjeve

Neka je α = 3,2 rad. Moramo saznati stepen mjere ovog ugla.

Neka nam je jedinična kružnica sa centrom u tački O. Nacrtajmo vertikalnu tangentu na nju u tački P. Pretpostavimo da je ta tangenta numerička osa sa ishodištem u tački P i neka je pozitivan pravac nagore. Uzmimo polumjer naše kružnice kao jedinicu dužine na brojevnoj osi. Sada na brojevnoj osi označavamo nekoliko tačaka ±1, ±pi/2, ±3, ±pi. Ovdje je pi ≈3,1415 iracionalan broj.

Šta znači radijanska mjera?

Sada, hajde da mentalno omotamo brojevnu pravu oko kruga. Tada će se tačke sa koordinatama 1, pi/2, -1, -2 i ostalima pomjeriti do tačaka M1, M2, M3, M4 na kružnici. U ovom slučaju, dužina luka PM1 će biti jednaka 1, dužina PM2 = pi/2, itd.

Svaku tačku na pravoj smo povezali sa određenom tačkom na kružnici.

U ovom slučaju se kaže da se uglovi mjere u radijanima, a ugao POM1 se smatra uglom od 1 radijana (1 rad).

Razmotrimo određeni krug poluprečnika R i označimo na njemu luk RM dužine jednake R. Označimo i ugao ROM.

Centralni ugao koji spaja luk čija je dužina jednaka poluprečniku naziva se ugao od jednog radijana (1 rad).

Izračunajmo stepen stepena ugla od 1 radijana.

Dužina luka polukruga je pi*R. Centralni ugao od 180 stepeni počiva na ovom luku. Prema tome, luk jednake dužine R savija ugao pi puta manji od 180 stepeni. To je,

1 radijan = (180/pi) stepeni.

Poznato je da je pi≈3,14, zatim 1 rad ≈ 57,3 stepeni.

Ako je poznato da kut sadrži x radijana, onda za izračunavanje njegove mjere stepena koristite sljedeću formulu:

X radijani = ((180*x)/pi) stepeni.

Tabela osnovnih uglova izraženih u radijanima

Kada se označava radijanska mjera uglova, naziv “rad” se obično izostavlja.

Poznavajući radijansku mjeru ugla (a), možete izračunati dužinu luka (l) savijenog ovim uglom koristeći sljedeću formulu: l=a*R.

Pogledajmo sliku. Vektor \(AB\) se "okrenuo" u odnosu na tačku \(A\) za određenu količinu. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početnu poziciju će biti ugao \(\alpha\).

Šta još trebate znati o pojmu ugla? Pa, naravno, jedinice ugla!

Ugao, kako u geometriji tako i u trigonometriji, može se mjeriti u stepenima i radijanima.

Ugao od \(1()^\circ \) (jedan stepen) je centralni ugao u krugu sastavljen kružnim lukom jednak \(\dfrac(1)(360) \) dijelu kružnice.

Dakle, cijeli krug se sastoji od \(360\) "komada" kružnih lukova, ili je ugao opisan krugom \(360()^\circ \) .

To jest, gornja slika prikazuje ugao \(\beta \) jednak \(50()^\circ \), to jest, ovaj ugao počiva na kružnom luku veličine \(\dfrac(50)(360) \ ) obim.

Ugao u \(1\) radijanima je centralni ugao u krugu sastavljen kružnim lukom čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice.

Dakle, na slici je prikazan ugao \(\gamma \) jednak \(1 \) radijana, odnosno, ovaj ugao počiva na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kruga (dužina \( AB \) jednako je dužini \(BB" \) ili je poluprečnik \(r\) jednak dužini luka \(l\)) Dakle, dužina luka se izračunava po formuli:

\(l=\theta \cdot r\) , gdje je \(\theta \) centralni ugao u radijanima.

Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži ugao koji opisuje krug? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za obim. evo nje:

\(L=2\pi \cdot r\)

Pa, hajde sada da povežemo ove dvije formule i otkrijemo da je ugao opisan krugom jednak \(2\pi \) . To jest, korelacijom vrijednosti u stepenima i radijanima, nalazimo da je \(2\pi =360()^\circ \) . Prema tome, \(\pi =180()^\circ \) . Kao što vidite, za razliku od "stepeni", riječ "radijan" je izostavljena, jer je jedinica mjere obično jasna iz konteksta.

U ovom članku ćemo uspostaviti odnos između osnovnih mjernih jedinica uglova - stepeni i radijana. Ova veza će nam na kraju omogućiti da izvršimo pretvaranje stupnjeva u radijane i nazad. Kako ovi procesi ne bi izazivali poteškoće, dobit ćemo formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane i formulu za pretvaranje iz radijana u stupnjeve, nakon čega ćemo detaljno analizirati rješenja primjera.

Navigacija po stranici.

Odnos između stupnjeva i radijana

Veza između stepeni i radijana će se uspostaviti ako su poznate i stepen i radijanske mere ugla (stepen i radijanske mere ugla mogu se naći u odeljku).

Uzmimo centralni ugao na osnovu prečnika kruga poluprečnika r. Možemo izračunati mjeru ovog ugla u radijanima: da bismo to učinili moramo podijeliti dužinu luka sa dužinom polumjera kruga. Ovaj ugao odgovara dužini luka jednakoj polovini obim, to je, . Podijelivši ovu dužinu dužinom polumjera r, dobijamo radijansku mjeru ugla koji smo uzeli. Dakle, naš ugao je rad. S druge strane, ovaj ugao je proširen, jednak je 180 stepeni. Dakle, pi radijani je 180 stepeni.

Dakle, izražava se formulom π radijana = 180 stepeni, to je, .

Formule za pretvaranje stupnjeva u radijane i radijane u stupnjeve

Iz jednakosti oblika , koju smo dobili u prethodnom pasusu, možemo lako zaključiti formule za pretvaranje radijana u stepeni i stepeni u radijane.

Podijelivši obje strane jednakosti sa pi, dobijamo formulu koja izražava jedan radijan u stepenima: . Ova formula znači da je stepen stepena ugla od jednog radijana jednak 180/π. Ako zamijenimo lijevu i desnu stranu jednakosti, a zatim obje strane podijelimo sa 180, dobićemo formulu oblika . Izražava jedan stepen u radijanima.

Da bismo zadovoljili našu radoznalost, izračunajmo približnu vrijednost ugla od jednog radijana u stepenima i vrijednost ugla od jednog stepena u radijanima. Da biste to učinili, uzmite vrijednost pi tačne na deset hiljaditih dionica i zamijenite je u formule I , i izvršite proračune. Imamo i . Dakle, jedan radijan je približno jednak 57 stepeni, a jedan stepen je 0,0175 radijana.

Konačno, iz dobijenih relacija I Prijeđimo na formule za pretvaranje radijana u stupnjeve i obrnuto, a također razmotrimo primjere primjene ovih formula.

Formula za pretvaranje radijana u stepeni ima oblik: . Dakle, ako je vrijednost ugla u radijanima poznata, onda množenjem sa 180 i dijeljenjem sa pi dobijamo vrijednost ovog ugla u stupnjevima.

Primjer.

Dat je ugao od 3,2 radijana. Koja je mjera ovog ugla u stepenima?

Rješenje.

Koristimo formulu za pretvaranje iz radijana u stepene, imamo

odgovor:

.

Formula za pretvaranje stupnjeva u radijane izgleda kao . Odnosno, ako je vrijednost ugla u stepenima poznata, onda množenjem sa pi i dijeljenjem sa 180 dobijamo vrijednost ovog ugla u radijanima. Pogledajmo primjer rješenja.