Ovaj članak je posvećen detaljnoj studiji trigonometrijske formule duhovi Dan puna lista formule redukcije, prikazani su primjeri njihove upotrebe i dat je dokaz ispravnosti formula. Članak također pruža mnemoničko pravilo koje vam omogućava da izvedete formule redukcije bez pamćenja svake formule.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formule redukcije. Lista

Formule redukcije vam omogućavaju da svedete osnovne trigonometrijske funkcije uglova proizvoljne veličine na funkcije uglova koji se nalaze u rasponu od 0 do 90 stepeni (od 0 do π 2 radijana). Rad sa uglovima od 0 do 90 stepeni mnogo je pogodniji od rada sa proizvoljno velikim vrednostima, zbog čega se formule redukcije široko koriste u rešavanju trigonometrijskih problema.

Prije nego što zapišemo same formule, razjasnimo nekoliko važnih tačaka za razumijevanje.

• Argumenti trigonometrijskih funkcija u redukcijskim formulama su uglovi oblika ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Ovdje je z bilo koji cijeli broj, a α je proizvoljan ugao rotacije.
• Nije potrebno naučiti sve formule redukcije, čiji je broj prilično impresivan. Postoji mnemoničko pravilo koje olakšava izvođenje željene formule. O mnemotehničkom pravilu ćemo govoriti kasnije.

Sada idemo direktno na formule redukcije.

Formule redukcije vam omogućavaju da pređete sa rada sa proizvoljnim i proizvoljno velikim uglovima na rad sa uglovima u rasponu od 0 do 90 stepeni. Napišimo sve formule u obliku tabele.

Formule redukcije

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

U ovom slučaju, formule se pišu u radijanima. Međutim, možete ih napisati i pomoću stupnjeva. Dovoljno je samo pretvoriti radijane u stepene, zamjenjujući π za 180 stepeni.

Primjeri korištenja redukcijskih formula

Pokazat ćemo kako se koriste formule redukcije i kako se te formule koriste za rješavanje praktičnih primjera.

Ugao pod znakom trigonometrijske funkcije može se predstaviti ne na jedan, već na više načina. Na primjer, argument trigonometrijske funkcije može se predstaviti u obliku ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Hajde da to demonstriramo.

Uzmimo ugao α = 16 π 3. Ovaj ugao se može napisati ovako:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

U zavisnosti od prikaza ugla, koristi se odgovarajuća formula redukcije.

Uzmimo isti ugao α = 16 π 3 i izračunajmo njegovu tangentu

Primjer 1: Korištenje formula redukcije

α = 16 π 3 , t g α = ?

Predstavimo ugao α = 16 π 3 kao α = π + π 3 + 2 π 2

Ovaj prikaz ugla će odgovarati formuli redukcije

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

Koristeći tabelu, označavamo vrijednost tangente

Sada koristimo još jedan prikaz ugla α = 16 π 3.

Primjer 2: Korištenje formula redukcije

α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Konačno, za treći prikaz ugla pišemo

Primjer 3. Korištenje formula redukcije

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

Sada dajmo primjer korištenja složenijih formula redukcije

Primjer 4: Korištenje formula redukcije

Zamislimo sinus 197° kroz sinus i kosinus oštrog ugla.

Da biste mogli primijeniti formule redukcije, trebate predstaviti ugao α = 197 ° u jednom od oblika

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Prema uslovima problema, ugao mora biti oštar. Shodno tome, imamo dva načina da to predstavimo:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Dobijamo

sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°)

Pogledajmo sada formule redukcije za sinuse i izaberimo odgovarajuće

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

Mnemoničko pravilo

Postoji mnogo formula redukcije i, na sreću, nema potrebe da ih pamtite. Postoje pravilnosti pomoću kojih se formule redukcije mogu izvesti za različite uglove i trigonometrijske funkcije. Ovi obrasci se zovu mnemonička pravila. Mnemotehnika je umjetnost pamćenja. Mnemoničko pravilo se sastoji od tri dijela, ili sadrži tri faze.

Mnemoničko pravilo

1. Argument originalne funkcije je predstavljen u jednom od sljedećih oblika:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Ugao α mora biti između 0 i 90 stepeni.

2. Određuje se predznak originalne trigonometrijske funkcije. Funkcija napisana na desnoj strani formule imat će isti predznak.

3. Za uglove ± α + 2 πz i π ± α + 2 πz naziv izvorne funkcije ostaje nepromijenjen, a za uglove π 2 ± α + 2 πz i 3 π 2 ± α + 2 πz, respektivno, mijenja se u “kofunkcija”. Sinus - kosinus. Tangenta - kotangens.

Da biste koristili mnemonički vodič za formule redukcije, morate biti u stanju odrediti znakove trigonometrijskih funkcija na osnovu četvrtina jediničnog kruga. Pogledajmo primjere korištenja mnemoničkog pravila.

Primjer 1: Upotreba mnemoničkog pravila

Zapišimo formule redukcije za cos π 2 - α + 2 πz i t g π - α + 2 πz. α je dnevnik prve četvrtine.

1. Pošto je po uslovu α dnevnik prve četvrtine, preskačemo prvu tačku pravila.

2. Odrediti predznake funkcija cos π 2 - α + 2 πz i t g π - α + 2 πz. Ugao π 2 - α + 2 πz je takođe ugao prve četvrtine, a ugao π - α + 2 πz je u drugoj četvrtini. U prvoj četvrtini kosinusna funkcija je pozitivna, a tangenta u drugoj četvrtini ima predznak minus. Zapišimo kako će izgledati tražene formule u ovoj fazi.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Prema trećoj tački, za ugao π 2 - α + 2 π naziv funkcije se mijenja u Konfučijev, a za ugao π - α + 2 πz ostaje isti. Hajde da zapišemo:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Pogledajmo sada gore navedene formule i uvjerimo se da mnemoničko pravilo funkcionira.

Pogledajmo primjer sa određenim uglom α = 777°. Svedujmo sinus alfa na trigonometrijsku funkciju oštrog ugla.

Primjer 2: Upotreba mnemoničkog pravila

1. Zamislite ugao α = 777 ° u traženom obliku

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Originalni ugao je ugao prve četvrtine. To znači da sinus ugla ima pozitivan predznak. Kao rezultat imamo:

3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Pogledajmo sada primjer koji pokazuje koliko je važno pravilno odrediti predznak trigonometrijske funkcije i pravilno predstaviti kut kada se koristi mnemoničko pravilo. Ponovimo ponovo.

Bitan!

Ugao α mora biti oštar!

Izračunajmo tangentu ugla 5 π 3. Iz tablice vrijednosti glavnih trigonometrijskih funkcija možete odmah uzeti vrijednost t g 5 π 3 = - 3, ali ćemo primijeniti mnemoničko pravilo.

Primjer 3: Upotreba mnemoničkog pravila

Zamislimo ugao α = 5 π 3 u traženom obliku i koristimo pravilo

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Ako alfa ugao predstavimo u obliku 5 π 3 = π + 2 π 3, onda će rezultat primjene mnemoničkog pravila biti netačan.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Netačan rezultat je zbog činjenice da ugao 2 π 3 nije oštar.

Dokaz redukcijskih formula zasniva se na svojstvima periodičnosti i simetrije trigonometrijskih funkcija, kao i na svojstvu pomaka za uglove π 2 i 3 π 2. Dokaz valjanosti svih redukcijskih formula može se izvesti bez uzimanja u obzir pojma 2 πz, jer on označava promjenu ugla cijelim brojem punih okretaja i precizno odražava svojstvo periodičnosti.

Prvih 16 formula proizilaze direktno iz svojstava osnovnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Evo dokaza redukcijskih formula za sinuse i kosinuse

sin π 2 + α = cos α i cos π 2 + α = - sin α

Pogledajmo jediničnu kružnicu, čija početna tačka, nakon rotacije kroz ugao α, ide u tačku A 1 x, y, a nakon rotacije kroz ugao π 2 + α - u tačku A 2. Iz obje točke povlačimo okomite na osu apscise.

Dva pravougaonog trougla O A 1 H 1 i O A 2 H 2 su jednaki po hipotenuzi i susednim uglovima. Iz položaja tačaka na kružnici i jednakosti trokuta možemo zaključiti da tačka A 2 ima koordinate A 2 - y, x. Koristeći definicije sinusa i kosinusa, pišemo:

sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α

Uzimajući u obzir osnovne identitete trigonometrije i ono što je upravo dokazano, možemo pisati

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α

Da bi se dokazale formule redukcije sa argumentom π 2 - α, mora se prikazati u obliku π 2 + (- α). Na primjer:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α

Dokaz koristi svojstva trigonometrijskih funkcija s argumentima suprotnih predznaka.

Sve ostale formule redukcije mogu se dokazati na osnovu gore napisanih.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Postoje dva pravila za korištenje formula redukcije.

1. Ako se ugao može predstaviti kao (π/2 ±a) ili (3*π/2 ±a), tada promjene naziva funkcije greh na cos, cos na sin, tg na ctg, ctg na tg. Ako se ugao može predstaviti u obliku (π ±a) ili (2*π ±a), onda Naziv funkcije ostaje nepromijenjen.

Pogledajte sliku ispod, shematski pokazuje kada trebate promijeniti znak, a kada ne.

2. Pravilo „kakav si bio, takav i ostaješ“.

Predznak reducirane funkcije ostaje isti. Ako je originalna funkcija imala znak plus, onda redukovana funkcija također ima znak plus. Ako je originalna funkcija imala predznak minus, onda redukovana funkcija također ima predznak minus.

Na slici ispod prikazani su znakovi osnovnih trigonometrijskih funkcija ovisno o četvrtini.

Izračunaj Sin(150˚)

Koristimo formule redukcije:

Sin(150˚) je u drugoj četvrtini; sa slike vidimo da je predznak greha u ovoj četvrtini jednak +. To znači da će data funkcija imati i znak plus. Primijenili smo drugo pravilo.

Sada 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ je π/2. Odnosno, radi se o slučaju π/2+60, dakle, prema prvom pravilu, mijenjamo funkciju iz sin u cos. Kao rezultat, dobijamo Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Po želji, sve formule redukcije se mogu sažeti u jednu tabelu. Ali ipak je lakše zapamtiti ova dva pravila i koristiti ih.

Trebate pomoć oko studija?

Prethodna tema:

Trigonometrija Redukcione formule.

Formule redukcije ne treba podučavati, treba ih razumjeti. Razumjeti algoritam za njihovo izvođenje. Vrlo je lako!

Uzmimo jedinični krug i na njega postavimo sve stepene (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Analizirajmo funkcije sin(a) i cos(a) u svakoj četvrtini.

Zapamtite da gledamo funkciju sin(a) duž ose Y, a funkciju cos(a) duž ose X.

U prvoj četvrtini je jasno da je funkcija sin(a)>0
I funkcija cos(a)>0
Prvi kvartal se može opisati u terminima stepen mera, kao (90-α) ili (360+α).

U drugoj četvrtini je jasno da je funkcija sin(a)>0, jer je Y osa pozitivna u ovom kvartalu.
Funkcija cos(a) jer je X osa negativna u ovom kvadrantu.
Druga četvrtina se može opisati u smislu stepeni, kao (90+α) ili (180-α).

U trećoj četvrtini jasno je da su funkcije grijeh(a) Treća četvrtina se može opisati u smislu stepeni, kao (180+α) ili (270-α).

U četvrtoj četvrtini jasno je da je funkcija sin(a) jer je Y osa negativna u ovoj četvrtini.
Funkcija cos(a)>0, jer je X osa pozitivna u ovom kvartalu.
Četvrta četvrtina se može opisati u smislu stepeni, kao (270+α) ili (360-α).

Pogledajmo sada same formule redukcije.

Zapamtimo jednostavno algoritam:
1. Kvart.(Uvijek gledajte u kojoj ste četvrtini).
2. Potpiši.(Za četvrtine pogledajte pozitivne ili negativne kosinusne ili sinusne funkcije).
3. Ako imate (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, onda promjene funkcije.

I tako ćemo početi analizirati ovaj algoritam po četvrtinama.

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(90-α).
Rasuđujemo prema algoritmu:
1. Četvrtina prva.


Will cos(90-α) = sin(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin(90-α).
Rasuđujemo prema algoritmu:
1. Četvrtina prva.


Will sin(90-α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(360+α).
Rasuđujemo prema algoritmu:
1. Četvrtina prva.
2. U prvoj četvrtini predznak kosinusne funkcije je pozitivan.

Will cos(360+α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin(360+α).
Rasuđujemo prema algoritmu:
1. Četvrtina prva.
2. U prvoj četvrtini predznak funkcije sinusa je pozitivan.
3. Nema (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada se funkcija ne mijenja.
Will sin(360+α) = sin(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(90+α).
Rasuđujemo prema algoritmu:
1. Četvrtina dva.

3. U zagradi je (90° ili π/2), a zatim se funkcija mijenja iz kosinusa u sinus.
Will cos(90+α) = -sin(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin(90+α).
Rasuđujemo prema algoritmu:
1. Četvrtina dva.

3. U zagradi je (90° ili π/2), a zatim se funkcija mijenja iz sinusa u kosinus.
Will sin(90+α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz cos(180-α).
Rasuđujemo prema algoritmu:
1. Četvrtina dva.
2. U drugoj četvrtini predznak kosinusne funkcije je negativan.
3. Nema (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada se funkcija ne mijenja.
Will cos(180-α) = cos(α)

Saznajte čemu će biti jednak izraz sin(180-α).
Rasuđujemo prema algoritmu:
1. Četvrtina dva.
2. U drugoj četvrtini predznak funkcije sinusa je pozitivan.
3. Nema (90° ili π/2) i (270° ili 3π/2) u zagradama, tada se funkcija ne mijenja.
Will sin(180-α) = sin(α)

Govorim o trećem i četvrtom kvartalu, napravimo tabelu na sličan način:

Pretplatite se na kanal na YOUTUBE-u i pogledajte video, pripremite se za ispite iz matematike i geometrije sa nama.

Formule redukcije su odnosi koji vam omogućavaju da idete od sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa sa uglovima `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` na iste funkcije ugla `\alpha`, koji se nalazi u prvoj četvrtini jedinične kružnice. Dakle, formule redukcije nas "vode" na rad sa uglovima u rasponu od 0 do 90 stepeni, što je vrlo zgodno.

Sve zajedno postoje 32 formule redukcije. Oni će nesumnjivo biti od koristi tokom Jedinstvenog državnog ispita, ispita i testova. Ali odmah da vas upozorimo da nema potrebe da ih pamtite! Morate potrošiti malo vremena i razumjeti algoritam za njihovu primjenu, tada vam neće biti teško da izvedete potrebnu jednakost u pravo vrijeme.

Prvo, zapišimo sve formule redukcije:

Za ugao (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ili (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Za ugao (`\pi \pm \alpha`) ili (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Za ugao (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ili (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Za ugao (`2\pi \pm \alpha`) ili (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Često možete pronaći formule redukcije u obliku tablice u kojoj su uglovi napisani u radijanima:

Da bismo ga koristili, trebamo odabrati red sa funkcijom koja nam je potrebna i stupac sa željenim argumentom. Na primjer, da pomoću tabele saznate čemu će biti ` sin(\pi + \alpha)`, dovoljno je pronaći odgovor na presjeku reda ` sin \beta` i stupca ` \pi + \alpha`. Dobijamo ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

I druga, slična tabela, u kojoj su uglovi zapisani u stepenima:

Mnemoničko pravilo za formule redukcije ili kako ih zapamtiti

Kao što smo već spomenuli, nema potrebe pamtiti sve gore navedene odnose. Ako ste ih pažljivo pogledali, vjerovatno ste primijetili neke uzorke. Oni nam omogućavaju da formuliramo mnemoničko pravilo (mnemoničko - zapamtite), uz pomoć kojeg lako možemo dobiti bilo koju formulu redukcije.

Odmah da primijetimo da za primjenu ovog pravila morate biti dobri u prepoznavanju (ili sjećanju) znakova trigonometrijskih funkcija u različitim četvrtima jediničnog kruga.
Sama vakcina sadrži 3 faze:

1. 1. Argument funkcije mora biti predstavljen kao `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, a `\alpha` je nužno oštar ugao (od 0 do 90 stepeni).
   2. Za argumente `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` trigonometrijska funkcija izraz koji se pretvara se mijenja u kofunkciju, odnosno suprotno (sinus u kosinus, tangenta u kotangens i obrnuto). Za argumente `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` funkcija se ne mijenja.
   3. Određuje se predznak izvorne funkcije. Rezultirajuća funkcija na desnoj strani imat će isti predznak.

Da vidimo kako se ovo pravilo može primijeniti u praksi, transformirajmo nekoliko izraza:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Funkcija nije obrnuta. Ugao `\pi + \alpha` je u trećoj četvrtini, kosinus u ovoj četvrtini ima predznak "-", tako da će transformirana funkcija također imati predznak "-".

Odgovor: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Prema mnemoničkom pravilu, funkcija će biti obrnuta. Ugao `\frac (3\pi)2 - \alpha` je u trećoj četvrtini, sinus ovdje ima predznak "-", tako da će rezultat također imati predznak "-".

Odgovor: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alpha))`. Predstavimo `3\pi` kao `2\pi+\pi`. `2\pi` je period funkcije.

Važno: Funkcije `cos \alpha` i `sin \alpha` imaju period od `2\pi` ili `360^\circ`, njihove vrijednosti se neće promijeniti ako se argument poveća ili smanji za ove vrijednosti.

Na osnovu ovoga, naš izraz se može napisati na sljedeći način: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Primjenjujući mnemoničko pravilo dvaput, dobijamo: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Odgovor: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

Pravilo konja

Druga točka gore opisanog mnemoničkog pravila naziva se i konjsko pravilo redukcijskih formula. Pitam se zašto baš konji?

Dakle, imamo funkcije sa argumentima `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, tačke `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` su ključne, nalaze se na koordinatnim osama. `\pi` i `2\pi` su na horizontalnoj x-osi, a `\frac (\pi)2` i `\frac (3\pi)2` su na vertikalnoj ordinati.

Postavljamo sebi pitanje: "Da li se funkcija mijenja u kofunkciju?" Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate pomicati glavu duž ose na kojoj se nalazi ključna točka.

Odnosno, za argumente sa ključnim tačkama koje se nalaze na horizontalnoj osi, odgovaramo sa „ne“ odmahujući glavom u stranu. A za uglove sa ključnim tačkama koje se nalaze na okomitoj osi, odgovaramo "da" klimanjem glavom odozgo prema dole, kao konj :)

Preporučujemo da pogledate video tutorijal u kojem autor detaljno objašnjava kako zapamtiti formule redukcije bez pamćenja.

Praktični primjeri korištenja redukcijskih formula

Korištenje redukcijskih formula počinje u 9. i 10. razredu. Mnogi problemi sa njihovim korištenjem predati su na Jedinstveni državni ispit. Evo nekih problema na koje ćete morati primijeniti ove formule:

• zadaci za rješavanje pravouglog trougla;
• numeričke i alfabetske konverzije trigonometrijski izrazi, izračunavanje njihovih vrijednosti;
• stereometrijski zadaci.

Primjer 1. Izračunajte korištenjem redukcijskih formula a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.

Rješenje: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Primjer 2. Izrazivši kosinus kroz sinus koristeći formule redukcije, uporedite brojeve: 1) `sin \frac (9\pi)8` i `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` i `cos \frac (3\pi)10`.

Rješenje: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Hajde da prvo dokažemo dvije formule za sinus i kosinus argumenta `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` i ` cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Ostalo je izvedeno iz njih.

Uzmimo jediničnu kružnicu i na njoj tačku A sa koordinatama (1,0). Neka nakon okretanja na ugao `\alpha` ići će do tačke `A_1(x, y)`, a nakon skretanja za ugao `\frac (\pi)2 + \alpha` do tačke `A_2(-y, x)`. Spuštajući okomice iz ovih tačaka na pravu OX, vidimo da su trouglovi `OA_1H_1` i `OA_2H_2` jednaki, jer su im hipotenuze i susedni uglovi jednaki. Zatim, na osnovu definicija sinusa i kosinusa, možemo napisati `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Gdje možemo napisati da je ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` i `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, što dokazuje redukciju formule za sinusne i kosinusne uglove `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Polazeći od definicije tangenta i kotangensa, dobijamo ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` i ` stg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, što dokazuje formule redukcije za tangentu i kotangens ugla `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Da biste dokazali formule sa argumentom `\frac (\pi)2 - \alpha`, dovoljno je predstaviti ga kao `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` i slijediti isti put kao gore. Na primjer, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Uglovi `\pi + \alpha` i `\pi - \alpha` mogu se predstaviti kao `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` i `\frac (\pi ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` respektivno.

I `\frac (3\pi)2 + \alpha` i `\frac (3\pi)2 - \alpha` kao `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` i `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Oni pripadaju trigonometrijskom dijelu matematike. Njihova suština je da se trigonometrijske funkcije uglova svedu na „jednostavan“ oblik. Mnogo se može napisati o važnosti njihovog poznavanja. Već postoje 32 ove formule!

Ne brinite, ne morate ih učiti, kao mnoge druge formule na kursu matematike. Nema potrebe da punite glavu nepotrebnim informacijama, morate zapamtiti "ključeve" ili zakone, a zapamtiti ili izvući traženu formulu neće biti problem. Usput, kad pišem u člancima “...treba naučiti!!!” - to znači da to zaista treba naučiti.

Ako niste upoznati s formulama redukcije, onda će vas jednostavnost njihovog izvođenja ugodno iznenaditi - postoji "zakon" uz pomoć kojeg se to lako može učiniti. I možete napisati bilo koju od 32 formule za 5 sekundi.

Navešću samo neke od problema koji će se pojaviti na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike, gdje bez poznavanja ovih formula postoji velika vjerovatnoća neuspjeha u njihovom rješavanju. Na primjer:

– zadaci za rešavanje pravouglog trougla, gde je reč o spoljašnjem uglu, i zadaci za unutrašnje uglove, neke od ovih formula su takođe neophodne.

– zadaci za izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih izraza; pretvaranje numeričkih trigonometrijskih izraza; pretvaranje literalnih trigonometrijskih izraza.

– zadaci o tangenti i geometrijskom značenju tangente; potrebna je redukciona formula za tangentu, kao i drugi problemi.

– stereometrijski problemi, u toku rješavanja često je potrebno odrediti sinus ili kosinus ugla koji se nalazi u rasponu od 90 do 180 stepeni.

A to su samo one točke koje se odnose na Jedinstveni državni ispit. A u samom kursu algebre ima mnogo problema čije se rješenje jednostavno ne može učiniti bez poznavanja formula redukcije.

Pa čemu to vodi i kako nam navedene formule olakšavaju rješavanje problema?

Na primjer, morate odrediti sinus, kosinus, tangentu ili kotangens bilo kojeg ugla od 0 do 450 stepeni:

alfa ugao se kreće od 0 do 90 stepeni

* * *

Dakle, potrebno je razumjeti "zakon" koji ovdje funkcionira:

1. Odredite predznak funkcije u odgovarajućem kvadrantu.

da vas podsjetim:

2. Zapamtite sljedeće:

funkcija se mijenja u kofunkciju

funkcija se ne mijenja u kofunkciju

Šta znači koncept - funkcija se mijenja u kofunkciju?

Odgovor: sinus se mijenja u kosinus ili obrnuto, tangenta na kotangens ili obrnuto.

To je sve!

Sada ćemo, prema predstavljenom zakonu, sami zapisati nekoliko formula za smanjenje:

Ovaj ugao leži u trećoj četvrtini, kosinus u trećoj četvrtini je negativan. Ne mijenjamo funkciju u kofunkciju, jer imamo 180 stupnjeva, što znači:

Ugao leži u prvoj četvrtini, sinus u prvoj četvrtini je pozitivan. Ne mijenjamo funkciju u kofunkciju, jer imamo 360 stupnjeva, što znači:

Evo još jedne dodatne potvrde da su sinusi susjednih uglova jednaki:

Ugao leži u drugoj četvrtini, sinus u drugoj četvrtini je pozitivan. Ne mijenjamo funkciju u kofunkciju, jer imamo 180 stupnjeva, što znači:

U budućnosti, koristeći svojstvo periodičnosti, ravnomjernosti (neparnosti), možete lako odrediti vrijednost bilo kojeg ugla: 1050 0, -750 0, 2370 0 i bilo koje druge. Sigurno će biti članak o tome u budućnosti, ne propustite ga!

Kada koristim formule redukcije za rješavanje problema, svakako ću se osvrnuti na ovaj članak kako biste uvijek mogli osvježiti sjećanje na teoriju predstavljenu iznad. To je sve. Nadam se da vam je materijal bio koristan.

Preuzmite materijal za članak u PDF formatu

S poštovanjem, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.