Video tutorial "Pojednostavljenje trigonometrijski izrazi» je osmišljen da razvije vještine učenika u rješavanju trigonometrijskih problema koristeći osnovne trigonometrijske identitete. Tokom video lekcije razmatraju se vrste trigonometrijskih identiteta, primjeri rješavanja zadataka pomoću njih. Koristeći vizuelna pomagala, nastavniku je lakše postići ciljeve časa. Živopisna prezentacija materijala doprinosi pamćenju važne tačke. Upotreba efekata animacije i glasovne glume omogućavaju vam da u potpunosti zamijenite nastavnika u fazi objašnjavanja materijala. Dakle, koristeći ovu vizuelnu pomoć na časovima matematike, nastavnik može povećati efikasnost nastave.

Na početku video lekcije najavljuje se njegova tema. Zatim se prisjećaju prethodno proučavanih trigonometrijskih identiteta. Na ekranu se prikazuju jednakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdje je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, istina za t≠πk, gdje je kϵZ, tan t · ctg t=1, na t≠πk/2, gdje je kϵZ, nazvani osnovnim trigonometrijskim identitetima. Primjećuje se da se ovi identiteti često koriste u rješavanju problema gdje je potrebno dokazati jednakost ili pojednostaviti izraz.

Nadalje, razmatraju se primjeri primjene ovih identiteta u rješavanju problema. Prvo, predlaže se razmatranje rješavanja problema pojednostavljivanja izraza. U primjeru 1 potrebno je pojednostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Da bi se riješio primjer, zajednički faktor cos 2 t se prvo stavlja u zagrade. Kao rezultat takve transformacije u zagradama, dobija se izraz 1-cos 2 t, čija je vrijednost iz osnovnog identiteta trigonometrije jednaka sin 2 t. Nakon transformacije izraza, očigledno je da se još jedan zajednički faktor sin 2 t može izvaditi iz zagrada, nakon čega izraz dobija oblik sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Iz istog osnovnog identiteta izvodimo vrijednost izraza u zagradama jednaku 1. Kao rezultat pojednostavljenja, dobijamo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

U primjeru 2, izraz trošak/(1- sint)+ trošak/(1+ sint) također treba biti pojednostavljen. Budući da je cijena izraza u brojiocima oba razlomka, može se staviti u zagrade kao zajednički faktor. Tada se razlomci u zagradama svode na zajednički nazivnik množenjem (1- sint)(1+ sint). Nakon redukcije sličnih članova, 2 ostaje u brojniku, a 1 - sin 2 t u nazivniku. Na desnoj strani ekrana se prisjeća osnovni trigonometrijski identitet sin 2 t+cos 2 t=1. Koristeći ga, nalazimo imenilac razlomka cos 2 t. Nakon smanjenja razlomka, dobijamo pojednostavljeni oblik izraza trošak / (1- sint) + trošak / (1 + sint) \u003d 2 / trošak.

Zatim se razmatraju primjeri dokazivanja identiteta u kojima se primjenjuju stečena znanja o osnovnim identitetima trigonometrije. U primjeru 3 potrebno je dokazati identičnost (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Desna strana ekrana prikazuje tri identiteta koja će biti potrebna za dokaz - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t i tg t=sin t/cos t sa ograničenjima. Za dokazivanje identiteta prvo se otvaraju zagrade, nakon čega se formira proizvod koji odražava izraz glavnog trigonometrijskog identiteta tg t·ctg t=1. Tada se, prema istovjetnosti iz definicije kotangensa, ctg 2 t transformira. Kao rezultat transformacija dobija se izraz 1-cos 2 t. Koristeći osnovni identitet, nalazimo vrijednost izraza. Dakle, dokazano je da je (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

U primjeru 4, potrebno je pronaći vrijednost izraza tg 2 t+ctg 2 t ako je tg t+ctg t=6. Za procjenu izraza, desna i lijeva strana jednadžbe (tg t+ctg t) 2 =6 2 se prvo kvadriraju. Skraćena formula za množenje je prikazana na desnoj strani ekrana. Nakon otvaranja zagrada na lijevoj strani izraza formira se zbir tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t za čiju transformaciju se može primijeniti jedan od trigonometrijskih identiteta tg t ctg t=1, čiji se oblik poziva na desnoj strani ekrana. Nakon transformacije dobija se jednakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Lijeva strana jednakosti se poklapa sa uslovom zadatka, pa je odgovor 34. Zadatak je riješen.

Video lekcija "Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza" preporučuje se za upotrebu u tradicionalnoj školskoj lekciji matematike. Također, materijal će biti koristan i nastavniku koji pruža učenje na daljinu. U cilju formiranja vještine rješavanja trigonometrijskih zadataka.

TUMAČENJE TEKSTA:

"Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza".

Jednakost

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus na kvadrat te plus kosinus na kvadrat te jednako jedan)

2) tgt =, pri t ≠ + πk, kϵZ (tangent od te je jednak omjeru sinusa od te i kosinusa od te kada te nije jednako pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3) ctgt = , pri t ≠ πk, kϵZ (kotangens od te je jednak omjeru kosinusa od te i sinusa od te kada te nije jednako vrhuncu ka, koji pripada z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ

nazivaju se osnovnim trigonometrijskim identitetima.

Često se koriste za pojednostavljivanje i dokazivanje trigonometrijskih izraza.

Razmotrite primjere korištenja ovih formula kada pojednostavljujete trigonometrijske izraze.

PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz kosinus na kvadrat te minus kosinus četvrtog stepena te plus sinus četvrtog stepena te).

Rješenje. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(izvadimo zajednički faktor kosinus kvadrat te, u zagradi dobijamo razliku između jedinice i kvadrata kosinusa te, koji je jednak kvadratu sinusa te po prvom identitetu. Dobijamo zbir sinusa četvrtog stepen te umnoška kosinusa kvadrata te i sinusnog kvadrata te Izvadimo zajednički faktor sinus kvadrat te van zagrada, u zagradi dobijamo zbir kvadrata kosinusa i sinusa, koji prema osnovnoj trigonometriji identičnost, jednak je 1. Kao rezultat, dobijamo kvadrat sinusa te).

PRIMJER 2. Pojednostavite izraz: + .

(izraz je zbir dva razlomka u brojiocu prvog kosinusa te u nazivniku jedan minus sinus te, u brojniku drugog kosinusa te u nazivniku drugog plus sinus te).

(Izvadimo zajednički faktor kosinus te iz zagrada, a u zagradi ga dovodimo do zajedničkog nazivnika, koji je proizvod jedan minus sinus te sa jedan plus sinus te.

U brojiocu dobijamo: jedan plus sinus te plus jedan minus sin te, dajemo slične, brojilac je jednak dva nakon donošenja sličnih.

U nazivniku možete primijeniti skraćenu formulu množenja (razlika kvadrata) i dobiti razliku između jedinice i kvadrata sinusa te, koji prema osnovnom trigonometrijskom identitetu

jednak je kvadratu kosinusa te. Nakon smanjenja kosinusom te, dobijamo konačni odgovor: dva podijeljena kosinusom te).

Razmotrimo primjere upotrebe ovih formula u dokazu trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 3. Dokažite identičnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (proizvod razlike između kvadrata tangente od te i sinusa od te i kvadrata kotangensa od te je jednako kvadratu sinusa od te).

Dokaz.

Transformirajmo lijevu stranu jednakosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 2 t = sin 2 t

(Otvorimo zagrade, iz prethodno dobijene relacije poznato je da je proizvod kvadrata tangente od te na kotangens od te jednak jedan. Podsjetimo da je kotangens od te jednak omjeru kosinusa od te na sinus od te, što znači da je kvadrat kotangensa omjer kvadrata kosinusa od te i kvadrata sinusa od te.

Nakon redukcije za sinusni kvadrat od te, dobijamo razliku između jedinice i kosinusa kvadrata od te, koji je jednak sinusu kvadrata od te). Q.E.D.

PRIMJER 4. Pronađite vrijednost izraza tg 2 t + ctg 2 t ako je tgt + ctgt = 6.

(zbir kvadrata tangente od te i kotangensa od te, ako je zbir tangente i kotangensa šest).

Rješenje. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Kvadirajmo oba dijela izvorne jednakosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat zbira tangenta od te i kotangensa od te je šest na kvadrat). Prisjetite se skraćene formule množenja: Kvadrat zbira dvije veličine jednak je kvadratu prve plus dvostruki proizvod prve i druge plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobijamo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Budući da je proizvod tangenta od te i kotangensa od te jednak jedan, tada je tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (zbir kvadrata tangente od te i kotangensa od te i dva je trideset i šest),

Na Vaš zahtjev.

6. Pojednostavite izraz:

Jer kofunkcije uglova koji se međusobno nadopunjuju do 90° su jednake, tada zamjenjujemo sin50° u brojiocu razlomka sa cos40° i primjenjujemo sinusnu formulu dvostrukog argumenta na brojnik. Dobijamo 5sin80° u brojiocu. Zamenimo sin80° sa cos10°, što će nam omogućiti da smanjimo razlomak.

Primijenjene formule: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. IN aritmetička progresija, čija je razlika 12, a osmi član 54, pronađite broj negativnih članova.

Plan rješenja. Napravimo formulu za zajednički član ove progresije i saznamo za koje vrijednosti n negativnih članova će se dobiti. Da bismo to učinili, morat ćemo pronaći prvi član progresije.

Imamo d=12, a 8 =54. Prema formuli a n \u003d a 1 + (n-1) ∙ d pišemo:

a 8 =a 1 +7d. Zamijenite dostupne podatke. 54=a 1 +7∙12;

a 1 \u003d -30. Zamijenite ovu vrijednost u formulu a n =a 1 +(n-1)∙d

a n =-30+(n-1)∙12 ili a n =-30+12n-12. Pojednostavite: a n \u003d 12n-42.

Tražimo broj negativnih članova, pa moramo riješiti nejednakost:

a n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Pronađite opsege sljedeće funkcije: y=x-|x|.

Proširimo modularne nosače. Ako je x≥0, tada je y=x-x ⇒ y=0. Grafikon će služiti kao x-osa desno od početka. Ako je x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Nađite površinu bočne površine pravog kružnog konusa ako je njegova generatriksa 18 cm, a površina osnove 36 cm 2.

Dat je konus aksijalnog presjeka MAB. Generisanje BM=18, S glavno. =36π. Površina bočne površine konusa izračunava se po formuli: S strana. \u003d πRl, gdje je l generatriksa i jednaka je 18 cm po uvjetu, R je polumjer baze, nalazimo po formuli: S cr. = πR 2 . Imamo S cr. = S glavni. = 36π. Dakle, πR 2 =36π ⇒ R=6.

Zatim S strana. =π∙6∙18 ⇒ S strana. \u003d 108π cm 2.

12. Rješavamo logaritamsku jednačinu. Razlomak je jednak 1 ako mu je brojilac jednak nazivniku, tj.

lg(x 2 +5x+4)=2lgx na lgx≠0. Na desnu stranu jednakosti primjenjujemo svojstvo stepena broja pod znakom logaritma: lg (x 2 +5x+4) = lgx 2, Ovi decimalni logaritmi su jednaki, stoga su brojevi pod predznacima logaritmi su takođe jednaki, dakle:

x 2 +5x+4=x 2 , dakle 5x=-4; dobijamo x=-0,8. Međutim, ova vrijednost se ne može uzeti, jer samo pozitivni brojevi mogu biti pod znakom logaritma, pa ova jednačina nema rješenja. Bilješka. Nije potrebno pronaći ODZ na početku rješenja (nepožurite!), bolje je napraviti provjeru (kao što smo sada) na kraju.

13. Pronađite vrijednost izraza (x o - y o), gdje je (x o; y o) rješenje sistema jednačina:

14. Riješite jednačinu:

Ako podijelite po 2 i brojnik i nazivnik razlomka, saznat ćete formulu za tangentu dvostrukog ugla. Dobijate jednostavnu jednačinu: tg4x=1.

15. Pronađite izvod funkcije: f(x)=(6x 2 -4x) 5 .

Zadata nam je složena funkcija. Definišemo ga jednom rečju - to je diploma. Stoga, prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije, nalazimo derivaciju stepena i množimo je sa derivacijom baze ovog stepena prema formuli:

(u n)' = n ∙ u n-1 ∙ u'.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Potrebno je pronaći f ‘(1) ako je funkcija

17. U jednakostraničnom trokutu zbir svih simetrala je 33√3 cm. Nađite površinu trokuta.

Simetrala jednakostraničnog trougla je i medijana i visina. Dakle, dužina visine BD ovog trougla je

Nađimo stranicu AB iz pravougaonika Δ ABD. Pošto sin60° = BD : AB, zatim AB = BD : sin60°.

18. Krug je upisan u jednakostranični trokut čija je visina 12 cm. Nađite površinu kruga.

Krug (O; OD) je upisan u jednakostranični Δ ABC. Visina BD je također simetrala i medijana, a centar kružnice, tačka O, leži na BD.

O - tačka presjeka visina, simetrala i medijana dijeli medijanu BD u omjeru 2:1, računajući od vrha. Dakle, OD=(1/3)BD=12:3=4. Poluprečnik kruga R=OD=4 cm Površina kruga S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Bočne ivice pravilne četvorougaone piramide su 9 cm, a stranica osnove 8 cm. Pronađite visinu piramide.

Osnova pravilne četvorougaone piramide je kvadrat ABCD, osnova visine MO je centar kvadrata.

20. Pojednostavite:

U brojniku je kvadrat razlike smanjen.

Faktoriziramo imenilac koristeći metodu grupisanja sabiraka.

21. Izračunati:

Da bi se mogao izdvojiti aritmetički kvadratni korijen, izraz korijena mora biti pun kvadrat. Izraz pod znakom korijena predstavljamo kao kvadrat razlike dva izraza prema formuli:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 , uz pretpostavku da je a 2 +b 2 =10.

22. Riješite nejednačinu:

Predstavljamo lijevu stranu nejednakosti kao proizvod. Zbir sinusa dva ugla jednak je dvostrukom umnošku sinusa poluzbira ovih uglova i kosinusa polurazlike ovih uglova:

Dobijamo:

Rešimo ovu nejednačinu grafički. Odabiremo one tačke na grafikonu y=trošak koje leže iznad prave linije i odredimo apscise ovih tačaka (prikazane senčenjem).

23. Naći sve antiderivate za funkciju: h(x)=cos 2 x.

Ovu funkciju transformiramo snižavanjem njenog stepena koristeći formulu:

1+cos2α=2cos2α. Dobijamo funkciju:

24. Pronađite vektorske koordinate

25. Umjesto zvjezdica umetnite aritmetičke znakove tako da se dobije tačna jednakost: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.

Mi tvrdimo: treba dobiti broj 25 (31 - 6 \u003d 25). Kako dobiti ovaj broj od dvije "trojke" i dvije "četvorke" koristeći znakove akcije?

Naravno da jeste: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 = 9 + 16 \u003d 25. Odgovor E).

Lekcija 1

Predmet: 11. razred (priprema za ispit)

Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.

Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)

Ciljevi:

• Sistematizovati, generalizovati, proširiti znanja i veštine učenika u vezi sa upotrebom trigonometrijskih formula i rešavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.

Oprema za nastavu:

Struktura lekcije:

1. Orgmoment
2. Testiranje na laptopovima. Diskusija o rezultatima.
3. Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza
4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi
5. Samostalan rad.
6. Sažetak lekcije. Objašnjenje domaće zadaće.

1. Organizacioni trenutak. (2 minute.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa, prisjeća se da je prethodno dat zadatak da se ponove trigonometrijske formule i postavlja učenike za testiranje.

2. Testiranje. (15 min + 3 min diskusije)

Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima laptop u kojem postoji opcija testa.

Može biti bilo koji broj opcija, dat ću primjer jedne od njih:

I opcija.

Pojednostavite izraze:

a) osnovni trigonometrijski identiteti

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule sabiranja

3. sin5x - sin3x;

c) pretvaranje proizvoda u zbir

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvostrukog ugla

7.2sin5x cos5x;

e) formule poluugla

f) formule trostrukog ugla

g) univerzalna supstitucija

h) snižavanje stepena

16. cos 2 (3x/7);

Učenici na laptopu ispred svake formule vide svoje odgovore.

Rad se odmah provjerava kompjuterom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ga svi mogli vidjeti.

Takođe, po završetku rada, tačni odgovori se prikazuju na laptopovima učenika. Svaki učenik vidi gdje je napravljena greška i koje formule treba ponoviti.

3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)

Cilj je ponoviti, razraditi i učvrstiti primjenu osnovnih formula trigonometrije. Rješavanje zadataka B7 sa ispita.

U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih (samostalan rad uz naknadnu provjeru) i slabih učenika koji rade sa nastavnikom.

Zadatak za jake studente (unaprijed pripremljen na štampanoj osnovi). Glavni naglasak je na formulama redukcije i dvostrukog ugla, prema USE 2011.

Pojednostavite izraze (za jake učenike):

Paralelno, nastavnik radi sa slabim učenicima, raspravljajući i rješavajući zadatke na ekranu pod diktatom učenika.

Izračunati:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Pojednostavite:

Došao je red da se razgovara o rezultatima rada jake grupe.

Na ekranu se pojavljuju odgovori, a uz pomoć video kamere prikazuje se rad 5 različitih učenika (po jedan zadatak za svakog).

Slaba grupa vidi uslov i metodu rešenja. Postoji diskusija i analiza. Uz korištenje tehničkih sredstava, to se dešava brzo.

4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina. (30 min.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina, bilježeći njihove korijene. Rješenje problema B3.

Svaka trigonometrijska jednadžba, bez obzira kako je riješimo, vodi do najjednostavnije.

Prilikom izvođenja zadatka učenici treba da obrate pažnju na pisanje korijena jednadžbi pojedinih slučajeva i opšteg oblika i na odabir korijena u posljednjoj jednačini.

Riješite jednačine:

Zapišite najmanji pozitivan korijen odgovora.

5. Samostalni rad (10 min.)

Cilj je testirati stečene vještine, identificirati probleme, greške i načine za njihovo otklanjanje.

Po izboru studenta nudi se raznovrstan rad.

Opcija za "3"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Riješite jednačinu

Opcija za "4"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Riješite jednačinu Zapišite najmanji pozitivan korijen vašeg odgovora.

Opcija za "5"

1) Naći tgα ako

2) Pronađite korijen jednačine Zapišite najmanji pozitivan korijen vašeg odgovora.

6. Sažetak lekcije (5 min.)

Nastavnik sumira činjenicu da se na času ponavljaju i konsoliduju trigonometrijske formule, rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.

Domaća zadaća se zadaje (unaprijed pripremljena na štampanoj osnovi) uz provjeru na licu mjesta na sljedećem času.

Riješite jednačine:

9)

10) Navedite svoj odgovor kao najmanji pozitivan korijen.

Lekcija 2

Predmet: 11. razred (priprema za ispit)

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Odabir korijena. (2 sata)

Ciljevi:

• Uopštiti i sistematizirati znanja o rješavanju trigonometrijskih jednačina različitih tipova.
• Promovirati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnost zapažanja, poređenja, generalizacije, klasifikacije.
• Podsticati učenike na prevazilaženje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu, introspekciju svojih aktivnosti.

Oprema za nastavu: KRMu, laptop za svakog učenika.

Struktura lekcije:

1. Orgmoment
2. Diskusija d/s i samot. rad zadnje lekcije
3. Ponavljanje metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
5. Izbor korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
6. Samostalan rad.
7. Sažetak lekcije. Zadaća.

1. Organizacioni trenutak (2 min.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa i plan rada.

2. a) Analiza domaće zadaće (5 min.)

Cilj je provjeriti performanse. Jedan rad uz pomoć video kamere se prikazuje na ekranu, ostali se selektivno prikupljaju kako bi ih nastavnik provjerio.

b) Analiza samostalnog rada (3 min.)

Cilj je ispraviti greške, ukazati na načine za njihovo prevazilaženje.

Na ekranu su odgovori i rješenja, studenti su unaprijed izdali svoje radove. Analiza ide brzo.

3. Ponavljanje metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina (5 min.)

Cilj je prisjetiti se metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednačina znaju. Naglasite da postoje takozvane osnovne (često korištene) metode:

• varijabilna zamjena,
• faktorizacija,
• homogene jednadžbe,

a primjenjuju se i metode:

• prema formulama za pretvaranje zbroja u proizvod i proizvoda u zbir,
• po formulama redukcije,
• univerzalna trigonometrijska supstitucija
• uvođenje pomoćnog ugla,
• množenje nekom trigonometrijskom funkcijom.

Također treba podsjetiti da se jedna jednačina može riješiti na različite načine.

4. Rješavanje trigonometrijskih jednačina (30 min.)

Cilj je generalizacija i konsolidacija znanja i vještina o ovoj temi, priprema za rješavanje C1 iz USE.

Smatram da je svrsishodno da se jednačine za svaku metodu rešavaju zajedno sa učenicima.

Učenik diktira rješenje, nastavnik zapisuje na tabletu, cijeli proces se prikazuje na ekranu. Ovo će vam omogućiti da brzo i efikasno vratite prethodno pokriveni materijal u svoju memoriju.

Riješite jednačine:

1) promjenljiva promjena 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene jednadžbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvaranje sume u proizvod cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvaranje proizvoda u zbir 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) smanjenje stepena sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe treba napomenuti da korištenje ove metode dovodi do sužavanja domene definicije, jer su sinus i kosinus zamijenjeni sa tg(x/2). Stoga, prije pisanja odgovora, potrebno je provjeriti da li su brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.

8) uvođenje pomoćnog ugla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)

Budući da u uslovima žestoke konkurencije pri upisu na fakultete, rešenje jednog prvog dela ispita nije dovoljno, većina studenata treba da obrati pažnju na zadatke drugog dela (C1, C2, C3).

Stoga je svrha ove faze lekcije prisjetiti se prethodno proučenog materijala, pripremiti se za rješavanje problema C1 iz USE 2011. godine.

Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima morate odabrati korijene prilikom pisanja odgovora. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz ispod korijena parnog stepena nije negativan, izraz pod znakom logaritma je pozitivan, itd.

Takve jednačine se smatraju jednadžbama povećane složenosti iu USE verziji nalaze se u drugom dijelu, odnosno C1.

Riješite jednačinu:

Razlomak je nula ako je tada koristeći jedinični krug, izabraćemo korijene (vidi sliku 1)

Slika 1.

dobijamo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na ekranu je izbor korena prikazan u krugu u slici u boji.

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk pritom ne gubi svoje značenje. Onda

Koristeći jedinični krug, odaberite korijene (vidi sliku 2)