În această lecție, ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs încrucișat al vectorilorși produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). E în regulă, se întâmplă uneori ca pentru fericire deplină, pe lângă produs scalar al vectorilor, este nevoie din ce în ce mai mult. Așa este dependența de vectori. Se poate avea impresia că intrăm în jungla geometriei analitice. Nu este adevarat. În această secțiune a matematicii superioare, în general există puține lemne de foc, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai dificil decât același produs scalar, chiar și vor fi mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor vedea sau au văzut deja, este A NU GREȘI CALCULELE. Repetați ca o vrajă și veți fi fericit =)

Dacă vectorii scânteie undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv, am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în lucrările practice

Ce te va face fericit? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei bile. A mers bine. Acum nu este nevoie să jonglam deloc, deoarece vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja mai ușor!

În această operație, în același mod ca și în produsul scalar, doi vectori. Să fie litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notatîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să desemnez produsul încrucișat al vectorilor în acest fel, între paranteze drepte cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produs scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? O diferență clară, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este un NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este un VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici și numele operațiunii. În diverse literaturi educaționale, denumirile pot varia, de asemenea, voi folosi litera .

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs încrucișat necoliniare vectori, luate în această ordine, se numește VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Analizăm definiția după oase, sunt o mulțime de lucruri interesante!

Deci, putem evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectori sursă, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Vectorii luați într-o ordine strictă: – „a” se înmulțește cu „fi”, nu „fi” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR , care este notat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, atunci obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoare purpurie). Adică egalitatea .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu ) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectorii . În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului încrucișat nu este egală cu aria paralelogramului.

Reamintim una dintre formulele geometrice: aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula pentru calcularea LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că în formulă vorbim despre LUNGIMEA vectorului, și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este de așa natură încât în ​​problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Obținem a doua formulă importantă. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită prin formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii , adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. Într-o lecție despre trecerea la o nouă bază Am vorbit în detaliu despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama care este orientarea spațiului. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector . Degetul inelar și degetul mic apăsați în palmă. Ca urmare deget mare- produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este baza orientată spre dreapta (este în figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. Poate aveți o întrebare: ce bază are o orientare spre stânga? „Atribuiți” aceleași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea spațiului stâng (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, cea mai obișnuită oglindă schimbă orientarea spațiului și, dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în general, nu va fi posibil să combinați-l cu „originalul”. Apropo, aduceți trei degete la oglindă și analizați reflexia ;-)

... cât de bine este despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre schimbarea de orientare sunt groaznice =)

Produs vectorial al vectorilor coliniari

Definiția a fost elaborată în detaliu, rămâne de aflat ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci și . Vă rugăm să rețineți că produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și scris că este, de asemenea, egal cu zero.

Un caz special este produsul vectorial al unui vector și însuși:

Folosind produsul încrucișat, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice, poate fi necesar tabel trigonometric pentru a afla valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să pornim un foc:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod intenționat datele inițiale din elementele de stare la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) După condiție, se cere să se constate lungime vector (produs vectorial). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Deoarece a fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) După condiţie se cere să se constate pătrat paralelogram construit pe vectori . Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului încrucișat:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că în răspunsul despre produsul vectorial nu se vorbește deloc, despre care am fost întrebați zona figurii, respectiv, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie găsit de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există destui literaliști printre profesori, iar sarcina cu șanse mari va fi returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o problemă deosebit de tensionată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest moment trebuie ținut mereu sub control, rezolvând orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde s-a dus litera mare „en”? În principiu, ar putea fi în plus lipit de soluție, dar pentru a scurta înregistrarea, nu am făcut-o. Sper că toată lumea înțelege asta și este denumirea aceluiași lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, triunghiurile pot fi în general torturate.

Pentru a rezolva alte probleme, avem nevoie de:

Proprietăți ale produsului încrucișat al vectorilor

Am luat în considerare deja unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei distins în proprietăți, dar este foarte important în termeni practici. Asa ca lasa sa fie.

2) - mai sus se discută și proprietatea, uneori se numește anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) - combinație sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele sunt ușor scoase din limitele produsului vectorial. Serios, ce fac ei acolo?

4) - distributie sau distributie legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Ca o demonstrație, luați în considerare un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Prin condiție, este din nou necesar să se găsească lungimea produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, scoatem constantele dincolo de limitele produsului vectorial.

(2) Scoatem constanta din modul, în timp ce modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Ceea ce urmează este clar.

Răspuns:

Este timpul să aruncăm lemne pe foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria unui triunghi folosind formula . Problema este că vectorii „ce” și „te” sunt ei înșiși reprezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției. Produsul punctual al vectorilor. Să o împărțim în trei pași pentru claritate:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, exprimă vectorul în termeni de vector. Nu există încă niciun cuvânt despre lungime!

(1) Înlocuim expresiile vectorilor .

(2) Folosind legi distributive, deschideți parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, scoatem toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, acțiunile 2 și 3 pot fi efectuate simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății plăcute . În al doilea termen, folosim proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul s-a dovedit a fi exprimat printr-un vector, care era ceea ce trebuia să fie realizat:

2) La a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Pașii 2-3 ai soluției ar putea fi aranjați într-o singură linie.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Găsiți dacă

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, dat în baza ortonormală , este exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: scriem vectorii de coordonate în linia superioară a determinantului, „împachetăm” coordonatele vectorilor pe a doua și a treia linie și punem în ordine strictă- mai întâi, coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci liniile ar trebui, de asemenea, schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A)
b)

Soluţie: Testul se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor încrucișat este zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Deci vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul se va baza pe definiție, sens geometric și câteva formule de lucru.

Produsul mixt al vectorilor este produsul a trei vectori:

Așa s-au aliniat ca un tren și așteaptă, nu pot aștepta până vor fi calculate.

În primul rând, definiția și imaginea:

Definiție: produs amestecat necoplanare vectori, luate în această ordine, se numește volumul paralelipipedului, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „-” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt trasate de o linie punctată:

Să ne aprofundăm în definiție:

2) Vectorii luați într-o anumită ordine, adică permutarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu este fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi remarca faptul evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi oarecum diferit, am folosit pentru a desemna un produs mixt prin, iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

Prin definitie produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul paralelipipedului dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne mai chinuim cu conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. În termeni simpli, produsul mixt poate fi negativ: .

Formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori rezultă direct din definiție.

Înainte de a da conceptul de produs vectorial, să ne întoarcem la întrebarea orientării triplului ordonat al vectorilor a → , b → , c → în spațiul tridimensional.

Pentru început, să lăsăm deoparte vectorii a → , b → , c → dintr-un punct. Orientarea triplei a → , b → , c → este dreapta sau stânga, în funcție de direcția vectorului c → . Din direcția în care se face cea mai scurtă întoarcere de la vectorul a → la b → de la capătul vectorului c → , se va determina forma triplul a → , b → , c →.

Dacă cea mai scurtă rotație este în sens invers acelor de ceasornic, atunci triplul vectorilor a → , b → , c → se numește dreapta daca in sensul acelor de ceasornic - stânga.

În continuare, luăm doi vectori necoliniari a → și b → . Să amânăm atunci vectorii A B → = a → și A C → = b → din punctul A. Să construim un vector A D → = c → , care este simultan perpendicular atât pe A B → cât și pe A C → . Astfel, atunci când construim vectorul A D → = c →, putem face două lucruri, dându-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

Trio-ul ordonat de vectori a → , b → , c → poate fi, după cum am aflat, dreapta sau stânga în funcție de direcția vectorului.

Din cele de mai sus, putem introduce definiția unui produs vectorial. Această definiție este dată pentru doi vectori definiți într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiția 1

Produsul vectorial al doi vectori a → și b → vom numi un astfel de vector dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional astfel încât:

• dacă vectorii a → și b → sunt coliniari, va fi zero;
• va fi perpendicular atât pe vectorul a →​​ cât și pe vectorul b → adică. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• lungimea sa este determinată de formula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• tripletul vectorilor a → , b → , c → are aceeași orientare ca și sistemul de coordonate dat.

Produsul încrucișat al vectorilor a → și b → are următoarea notație: a → × b → .

Coordonatele încrucișate ale produsului

Deoarece orice vector are anumite coordonate în sistemul de coordonate, este posibil să introduceți o a doua definiție a produsului vectorial, care vă va permite să găsiți coordonatele sale din coordonatele date ale vectorilor.

Definiția 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs vectorial al doi vectori a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) numiți vectorul c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , unde i → , j → , k → sunt vectori de coordonate.

Produsul vectorial poate fi reprezentat ca determinant al unei matrice pătrate de ordinul trei, unde primul rând sunt vectorii orta i → , j → , k → , al doilea rând conține coordonatele vectorului a → , iar al treilea este coordonatele vectorului b → într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, acest determinant de matrice arată astfel: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Expandând acest determinant peste elementele primului rând, obținem egalitatea: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Proprietăți încrucișate ale produsului

Se știe că produsul vectorial în coordonate este reprezentat ca determinant al matricei c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , apoi pe bază proprietățile determinante ale matricei următoarele proprietăți ale produsului vectorial:

1. anticomutatie a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivitatea a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → sau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativitatea λ a → × b → = λ a → × b → sau a → × (λ b →) = λ a → × b → , unde λ este un număr real arbitrar.

Aceste proprietăți nu au dovezi complicate.

De exemplu, putem demonstra proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial.

Dovada anticomutativității

Prin definiție, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z și b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Și dacă două rânduri ale matricei sunt schimbate, atunci valoarea determinantului matricei ar trebui să se schimbe la opus, prin urmare, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , care și demonstrează anticomutativitatea produsului vectorial.

Produs vectorial - Exemple și soluții

În cele mai multe cazuri, există trei tipuri de sarcini.

În problemele de primul tip, lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei sunt de obicei date, dar trebuie să găsiți lungimea produsului încrucișat. În acest caz, utilizați următoarea formulă c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Exemplul 1

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor a → și b → dacă a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 este cunoscută.

Soluţie

Folosind definiția lungimii produsului vectorial al vectorilor a → și b →, rezolvăm această problemă: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Răspuns: 15 2 2 .

Sarcinile de al doilea tip au o legătură cu coordonatele vectorilor, conțin un produs vectorial, lungimea acestuia etc. sunt căutate prin coordonatele cunoscute ale vectorilor dați a → = (a x ; a y ; a z) și b → = (b x ; b y ; b z) .

Pentru acest tip de sarcină, puteți rezolva o mulțime de opțiuni pentru sarcini. De exemplu, nu coordonatele vectorilor a → și b → , ci expansiunile lor în vectori de coordonate de forma b → = b x i → + b y j → + b z k → și c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , sau vectorii a → și b → pot fi dați de coordonatele lor puncte de început și de sfârșit.

Luați în considerare următoarele exemple.

Exemplul 2

Doi vectori sunt stabiliți într-un sistem de coordonate dreptunghiular a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Găsiți produsul lor vectorial.

Soluţie

Conform celei de-a doua definiții, găsim produsul vectorial al doi vectori în coordonate date: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Dacă scriem produsul vectorial prin determinantul matricei, atunci soluția acestui exemplu este următoarea: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Răspuns: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exemplul 3

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor i → - j → și i → + j → + k → , unde i → , j → , k → - orte ale unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Soluţie

Mai întâi, să găsim coordonatele produsului vectorial dat i → - j → × i → + j → + k → în sistemul de coordonate dreptunghiular dat.

Se știe că vectorii i → - j → și i → + j → + k → au coordonatele (1 ; - 1 ; 0) și respectiv (1 ; 1 ; 1). Aflați lungimea produsului vectorial folosind determinantul matricei, atunci avem i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Prin urmare, produsul vectorial i → - j → × i → + j → + k → are coordonate (- 1 ; - 1 ; 2) în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea produsului vectorial prin formula (vezi secțiunea privind găsirea lungimii vectorului): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Răspuns: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Exemplul 4

Coordonatele a trei puncte A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) sunt date într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Găsiți un vector perpendicular pe A B → și A C → în același timp.

Soluţie

Vectorii A B → și A C → au următoarele coordonate (- 1 ; 2 ; 2) și respectiv (0 ; 4 ; 1). După ce am găsit produsul vectorial al vectorilor A B → și A C → , este evident că este un vector perpendicular prin definiție atât pe A B → cât și pe A C → , adică este soluția problemei noastre. Găsiți-l A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Răspuns: - 6 i → + j → - 4 k → . este unul dintre vectorii perpendiculari.

Problemele de al treilea tip sunt concentrate pe utilizarea proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea acesteia, vom obține o soluție la problema dată.

Exemplul 5

Vectorii a → și b → sunt perpendiculari și lungimile lor sunt 3 și respectiv 4. Aflați lungimea produsului încrucișat 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Soluţie

Prin proprietatea de distributivitate a produsului vectorial, putem scrie 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Prin proprietatea asociativității, scoatem coeficienții numerici dincolo de semnul produselor vectoriale din ultima expresie: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Produsele vectoriale a → × a → și b → × b → sunt egale cu 0, deoarece a → × a → = a → a → sin 0 = 0 și b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , atunci 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Din anticomutativitatea produsului vectorial rezultă - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Folosind proprietățile produsului vectorial, obținem egalitatea 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Prin condiție, vectorii a → și b → sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu π 2 . Acum rămâne doar să înlocuim valorile găsite în formulele corespunzătoare: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Răspuns: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Lungimea produsului încrucișat al vectorilor prin definiție este a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Deoarece se știe deja (din cursul școlii) că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre aceste laturi. Prin urmare, lungimea produsului vectorial este egală cu aria unui paralelogram - un triunghi dublat, și anume produsul laturilor sub formă de vectori a → și b → , îndepărtați dintr-un punct, de sinus. a unghiului dintre ele sin ∠ a → , b → .

Acesta este sensul geometric al produsului vectorial.

Semnificația fizică a produsului vectorial

În mecanică, una dintre ramurile fizicii, datorită produsului vectorial, puteți determina momentul de forță relativ la un punct din spațiu.

Definiția 3

Sub momentul forței F → , aplicat punctului B , relativ la punctul A vom înțelege următorul produs vectorial A B → × F → .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

7.1. Definiţia cross product

Trei vectori necoplanari a , b și c , luați în ordinea indicată, formează un triplu drept dacă de la sfârșitul celui de-al treilea vector c cea mai scurtă rotație de la primul vector a la al doilea vector b este văzută în sens invers acelor de ceasornic și unul stâng dacă este în sensul acelor de ceasornic (vezi Fig. 16).

Produsul vectorial al unui vector a și al vectorului b se numește vector c, care:

1. Perpendicular pe vectorii a și b, adică c ^ a și c ^ b;

2. Are o lungime egală numeric cu aria paralelogramului construit pe vectorii a șib ca pe laterale (vezi fig. 17), i.e.

3. Vectorii a , b și c formează un triplu drept.

Produsul vectorial este notat a x b sau [a,b]. Din definiția unui produs vectorial, următoarele relații între ortele pe care le urmez direct, jși k(vezi fig. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Să demonstrăm, de exemplu, că eu xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, dar | eu x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vectorii i , j și k formează un triplu drept (vezi Fig. 16).

7.2. Proprietăți încrucișate ale produsului

1. Când factorii sunt rearanjați, produsul vectorial își schimbă semnul, adică. și xb \u003d (b xa) (a se vedea Fig. 19).

Vectorii a xb și b xa sunt coliniari, au aceleași module (aria paralelogramului rămâne neschimbată), dar sunt direcționați opus (triplurile a, b, a xb și a, b, b x a de orientare opusă). Acesta este axb = -(bxa).

2. Produsul vectorial are o proprietate de combinație în raport cu un factor scalar, adică l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Fie l >0. Vectorul l (a xb) este perpendicular pe vectorii a și b. Vector ( l topor b este de asemenea perpendiculară pe vectorii a şi b(vectorii a, l dar se află în același plan). Deci vectorii l(a xb) și ( l topor b coliniare. Este evident că direcțiile lor coincid. Au aceeasi lungime:

De aceea l(a xb)= l un xb. Se dovedește în mod similar pentru l<0.

3. Doi vectori nenuli a și b sunt coliniare dacă și numai dacă produsul lor vectorial este egal cu vectorul zero, adică și ||b<=>și xb \u003d 0.

În special, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Produsul vectorial are o proprietate de distribuție:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Accept fara dovezi.

7.3. Expresia încrucișată a produsului în termeni de coordonate

Vom folosi tabelul de produse vectoriale încrucișate i, jși k:

dacă direcția celei mai scurte căi de la primul vector la al doilea coincide cu direcția săgeții, atunci produsul este egal cu al treilea vector, dacă nu se potrivește, al treilea vector este luat cu semnul minus.

Fie doi vectori a =a x i +a y j+az kși b=bx i+de către j+bz k. Să găsim produsul vectorial al acestor vectori înmulțindu-i ca polinoame (în funcție de proprietățile produsului vectorial):

Formula rezultată poate fi scrisă și mai scurt:

întrucât partea dreaptă a egalității (7.1) corespunde expansiunii determinantului de ordinul trei în ceea ce privește elementele primului rând.Egalitatea (7.2) este ușor de reținut.

7.4. Unele aplicații ale produsului încrucișat

Stabilirea coliniarității vectorilor

Aflarea ariei unui paralelogram și a unui triunghi

Conform definiției produsului încrucișat al vectorilor Ași b |a xb | =| a | * |b |sin g , adică S par = |a x b |. Și, prin urmare, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Determinarea momentului de forță în jurul unui punct

Fie aplicată o forță în punctul A F =AB lăsați-l să plece O- un punct din spațiu (vezi Fig. 20).

Din fizică se știe că cuplu F relativ la punct O numit vector M, care trece prin punct Oși:

1) perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;

2) egal numeric cu produsul dintre forță și umăr

3) formează un triplu drept cu vectorii OA și A B .

Prin urmare, M \u003d OA x F.

Aflarea vitezei liniare de rotație

Viteză v punctul M al unui corp rigid care se rotește cu o viteză unghiulară wîn jurul unei axe fixe, este determinată de formula Euler v \u003d w x r, unde r \u003d OM, unde O este un punct fix al axei (vezi Fig. 21).

PRODUS MIXAT DIN TREI VECTORI ȘI PROPRIETĂȚILE EI

produs mixt trei vectori se numește număr egal cu . Notat . Aici primii doi vectori sunt înmulțiți vectorial și apoi vectorul rezultat este înmulțit scalar cu al treilea vector. Evident, un astfel de produs este un număr.

Luați în considerare proprietățile produsului amestecat.

1. sens geometric produs mixt. Produsul mixt a 3 vectori, până la un semn, este egal cu volumul paralelipipedului construit pe acești vectori, ca pe muchii, i.e. .

   Astfel, și .

   

   Dovada. Să amânăm vectorii de la originea comună și să construim un paralelipiped pe ei. Să notăm și să notăm că . Prin definiția produsului scalar

   Presupunând că și notând prin hînălțimea paralelipipedului, găsim .

   Astfel, la

   Dacă , atunci și . Prin urmare, .

   Combinând ambele cazuri, obținem sau .

   Din demonstrarea acestei proprietăți, în special, rezultă că dacă triplul vectorilor este drept, atunci produsul mixt , iar dacă este stânga, atunci .

2. Pentru orice vectori , , egalitatea

   Dovada acestei proprietăți rezultă din proprietatea 1. Într-adevăr, este ușor să arătăm că și . Mai mult, semnele „+” și „-” sunt luate simultan, deoarece unghiurile dintre vectorii și și și sunt ambele acute sau obtuze.

3. Atunci când oricare doi factori sunt interschimbați, produsul mixt își schimbă semnul.

   Într-adevăr, dacă luăm în considerare produsul mixt, atunci, de exemplu, sau

4. Un produs mixt dacă și numai dacă unul dintre factori este egal cu zero sau vectorii sunt coplanari.

   Dovada.

   Astfel, o condiție necesară și suficientă pentru compararea a 3 vectori este egalitatea cu zero a produsului lor mixt. În plus, rezultă din aceasta că trei vectori formează o bază în spațiu dacă .

   Dacă vectorii sunt dați sub formă de coordonate, atunci se poate demonstra că produsul lor mixt se găsește prin formula:

   .

   Astfel, produsul mixt este egal cu un determinant de ordinul trei a cărui primă linie conține coordonatele primului vector, a doua linie conține coordonatele celui de-al doilea vector, iar a treia linie conține coordonatele celui de-al treilea vector.

   Exemple.

GEOMETRIA ANALITĂ ÎN SPAȚIU

Ecuația F(x, y, z)= 0 definește în spațiu Oxyz oarecare suprafață, adică locusul punctelor ale căror coordonate x, y, z satisface această ecuație. Această ecuație se numește ecuația suprafeței și x, y, z– coordonatele curente.

Cu toate acestea, adesea suprafața nu este definită printr-o ecuație, ci ca un set de puncte din spațiu care au o proprietate sau alta. În acest caz, este necesar să se găsească ecuația suprafeței, pe baza proprietăților sale geometrice.

AVION.

VECTOR PLAN NORMAL.

ECUAȚIA UNUI AVION PENTRU UN PUNCT DATE

Considerăm un plan arbitrar σ în spațiu. Poziția sa este determinată prin stabilirea unui vector perpendicular pe acest plan și a unui punct fix M0(x0, y 0, z0) situată în planul σ.

Se numește vectorul perpendicular pe planul σ normal vector al acestui plan. Fie vectorul să aibă coordonate.

Deducem ecuația pentru planul σ care trece prin punctul dat M0și având un vector normal . Pentru a face acest lucru, luați un punct arbitrar pe planul σ M(x, y, z)și luați în considerare vectorul .

Pentru orice punct MÎ σ vector.De aceea, produsul lor scalar este egal cu zero. Această egalitate este condiția ca punctul MО σ. Este valabil pentru toate punctele acestui plan și este încălcat de îndată ce punctul M va fi în afara planului σ.

Dacă notăm cu vectorul rază punctele M, este vectorul rază al punctului M0, atunci ecuația poate fi scrisă ca

Această ecuație se numește vector ecuația plană. Să-l scriem sub formă de coordonate. De atunci

Deci, am obținut ecuația planului care trece prin punctul dat. Astfel, pentru a compune ecuația planului, trebuie să cunoașteți coordonatele vectorului normal și coordonatele unui punct situat pe plan.

Rețineți că ecuația planului este o ecuație de gradul I în raport cu coordonatele curente X yși z.

Exemple.

ECUAȚIA GENERALĂ A AVIONULUI

Se poate arăta că orice ecuație de gradul I în raport cu coordonatele carteziene x, y, z este o ecuație a unui plan. Această ecuație se scrie astfel:

Ax+By+Cz+D=0

și a sunat ecuație generală planul și coordonatele A, B, C aici sunt coordonatele vectorului normal al planului.

Să luăm în considerare cazuri particulare ale ecuației generale. Să aflăm cum este situat planul în raport cu sistemul de coordonate dacă unul sau mai mulți coeficienți ai ecuației dispar.

A este lungimea segmentului tăiat de planul de pe axă Bou. În mod similar, se poate arăta asta bși c sunt lungimile segmentelor tăiate de planul considerat pe axe Oiși Oz.

Este convenabil să folosiți ecuația unui plan în segmente pentru a construi planuri.

În acest articol, ne vom opri asupra conceptului de produs încrucișat a doi vectori. Vom da definițiile necesare, vom scrie o formulă pentru găsirea coordonatelor unui produs vectorial, vom enumera și vom justifica proprietățile acestuia. După aceea, ne vom opri asupra semnificației geometrice a produsului încrucișat a doi vectori și vom lua în considerare soluțiile diferitelor exemple tipice.

Navigare în pagină.

Definiția unui produs vectorial.

Înainte de a da o definiție a unui produs încrucișat, să ne ocupăm de orientarea unui triplu ordonat de vectori în spațiul tridimensional.

Să amânăm vectorii dintr-un punct. În funcție de direcția vectorului, triplul poate fi la dreapta sau la stânga. Să vedem de la sfârșitul vectorului cum cea mai scurtă viraj de la vector la . Dacă cea mai scurtă rotație este în sens invers acelor de ceasornic, atunci se numește triplul vectorilor dreapta, in caz contrar - stânga.

Acum să luăm doi vectori necoliniari și . Lăsați vectorii deoparte și din punctul A. Să construim un vector care este perpendicular pe și și în același timp. Evident, atunci când construim un vector, putem face două lucruri, oferindu-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

În funcție de direcția vectorului, triplul ordonat al vectorilor poate fi dreapta sau stânga.

Deci ne-am apropiat de definiția unui produs vectorial. Este dat pentru doi vectori dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiție.

Produs vectorial al doi vectoriși , dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se numește vector astfel încât

Produsul încrucișat al vectorilor și este notat ca .

Coordonatele produsului vectorial.

Acum dăm a doua definiție a unui produs vectorial, care ne permite să găsim coordonatele sale din coordonatele vectorilor dați și.

Definiție.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs încrucișat a doi vectori și este un vector, unde sunt vectori de coordonate.

Această definiție ne oferă produsul încrucișat sub formă de coordonate.

Este convenabil să se reprezinte produsul vectorial ca determinant al unei matrice pătrate de ordinul al treilea, al cărei prim rând este ortele, al doilea rând conține coordonatele vectorului, iar al treilea rând conține coordonatele vectorului în un sistem de coordonate dreptunghiular dat:

Dacă extindem acest determinant cu elementele primului rând, atunci obținem egalitate din definiția produsului vectorial în coordonate (dacă este necesar, consultați articolul):

Trebuie remarcat faptul că forma coordonată a produsului încrucișat este pe deplin conformă cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. Mai mult, aceste două definiții ale unui produs încrucișat sunt echivalente. Dovada acestui fapt poate fi găsită în cartea indicată la finalul articolului.

Proprietățile produsului vectorial.

Deoarece produsul vectorial în coordonate poate fi reprezentat ca determinant al matricei , următoarele pot fi fundamentate cu ușurință pe baza proprietățile produsului vectorial:

Ca exemplu, să demonstrăm proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial.

Prin definitie și . Știm că valoarea determinantului unei matrice este inversată atunci când două rânduri sunt schimbate, deci, , care demonstrează proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial.

Produs vectorial - exemple și soluții.

Practic, există trei tipuri de sarcini.

În problemele de primul tip, sunt date lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei și este necesar să se găsească lungimea produsului încrucișat. În acest caz, se folosește formula .

Exemplu.

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor și dacă este cunoscut .

Soluţie.

Știm din definiție că lungimea produsului încrucișat al vectorilor și este egală cu produsul lungimilor vectorilor și multiplicat cu sinusul unghiului dintre ei, prin urmare, .

Răspuns:

.

Sarcinile de al doilea tip sunt asociate cu coordonatele vectorilor, în care produsul vectorial, lungimea acestuia sau altceva este căutat prin coordonatele vectorilor dați și .

Există multe opțiuni diferite disponibile aici. De exemplu, nu coordonatele vectorilor și , ci expansiunile lor în vectori de coordonate ai formei și , sau vectori și pot fi specificate prin coordonatele punctelor lor de început și de sfârșit.

Să luăm în considerare exemplele tipice.

Exemplu.

Doi vectori sunt dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular . Găsiți produsul lor vectorial.

Soluţie.

Conform celei de-a doua definiții, produsul încrucișat a doi vectori în coordonate este scris astfel:

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi scris produsul vectorial prin determinant

Răspuns:

.

Exemplu.

Aflați lungimea produsului încrucișat al vectorilor și , unde sunt ortele sistemului de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Soluţie.

Mai întâi, găsiți coordonatele produsului vectorial într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat.

Deoarece vectorii și au coordonatele și respectiv (dacă este necesar, a se vedea coordonatele articolului unui vector într-un sistem de coordonate dreptunghiular), atunci conform celei de-a doua definiții a unui produs încrucișat, avem

Adică produsul vectorial are coordonate în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea unui produs vectorial ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale (am obținut această formulă pentru lungimea unui vector în secțiunea privind găsirea lungimii unui vector):

Răspuns:

.

Exemplu.

Coordonatele a trei puncte sunt date într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Găsiți un vector care este perpendicular pe și în același timp.

Soluţie.

Vectori și au coordonatele și, respectiv (vezi articolul găsirea coordonatelor unui vector prin coordonatele punctelor). Dacă găsim produsul încrucișat al vectorilor și , atunci prin definiție este un vector perpendicular atât pe cât și pe, adică este soluția problemei noastre. Să-l găsim

Răspuns:

este unul dintre vectorii perpendiculari.

În sarcinile de al treilea tip, se verifică abilitățile de utilizare a proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea proprietăților, se aplică formulele corespunzătoare.

Exemplu.

Vectorii și sunt perpendiculari, iar lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 4. Aflați lungimea produsului vectorial .

Soluţie.

Prin proprietatea de distributivitate a produsului vectorial, putem scrie

În virtutea proprietății asociative, scoatem coeficienții numerici pentru semnul produselor vectoriale din ultima expresie:

Produse vectoriale și sunt egale cu zero, deoarece și , apoi .

Deoarece produsul vectorial este anticomutativ, atunci .

Deci, folosind proprietățile produsului vectorial, am ajuns la egalitate .

Prin condiție, vectorii și sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal cu . Adică avem toate datele pentru a găsi lungimea necesară

Răspuns:

.

Sensul geometric al produsului vectorial.

Prin definiție, lungimea produsului încrucișat al vectorilor este . Și din cursul de geometrie din liceu, știm că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi ale triunghiului și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, lungimea produsului încrucișat este egală cu dublul aria unui triunghi cu laturile vectorilor și , dacă acestea sunt amânate dintr-un punct. Cu alte cuvinte, lungimea produsului încrucișat al vectorilor și este egală cu aria unui paralelogram cu laturile și și un unghi între ele egal cu . Acesta este sensul geometric al produsului vectorial.