Teoria limitelor- una dintre secțiunile analizei matematice pe care unii o pot stăpâni, în timp ce alții au dificultăți în calcularea limitelor. Întrebarea găsirii limitelor este destul de generală, deoarece există zeci de tehnici limite de soluție tipuri variate. Aceleași limite pot fi găsite atât folosind regula lui L'Hopital, cât și fără ea. Se întâmplă ca programarea unei serii de funcții infinitezimale vă permite să obțineți rapid rezultatul dorit. Există un set de tehnici și trucuri care vă permit să găsiți limita unei funcții de orice complexitate. În acest articol vom încerca să înțelegem principalele tipuri de limite care sunt cel mai des întâlnite în practică. Nu vom da aici teoria și definiția limitei; există multe resurse pe Internet unde se discută acest lucru. Prin urmare, să trecem la calcule practice, aici este locul în care „Nu știu! Nu pot! Nu am fost învățați!”

Calcularea limitelor folosind metoda substituției

Exemplul 1. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Rezolvare: Exemple de acest fel pot fi calculate teoretic folosind substituția obișnuită

Limita este 18/11.
Nu este nimic complicat sau înțelept în legătură cu astfel de limite - am înlocuit valoarea, am calculat-o și am notat limita ca răspuns. Cu toate acestea, pe baza unor astfel de limite, toată lumea este învățată că, în primul rând, trebuie să înlocuiască valoarea în funcție. În plus, limitele devin mai complicate, introducând conceptul de infinit, incertitudine și altele asemenea.

O limită cu incertitudine ca infinitul împărțit la infinit. Tehnici de dezvăluire a incertitudinii

Exemplul 2. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinit).
Rezolvare: este dată o limită a formei polinom împărțită la un polinom, iar variabila tinde spre infinit

Pur și simplu înlocuirea valorii la care ar trebui găsită variabila pentru a găsi limitele nu va ajuta, obținem o incertitudine de forma infinit împărțită la infinit.
Conform teoriei limitelor, algoritmul de calcul al limitei este de a găsi cea mai mare putere a lui „x” în numărător sau numitor. În continuare, numărătorul și numitorul sunt simplificați la acesta și se găsește limita funcției

Deoarece valoarea tinde spre zero atunci când variabila se apropie de infinit, acestea sunt neglijate sau sunt scrise în expresia finală sub formă de zerouri.

Imediat din practică, puteți obține două concluzii care sunt un indiciu în calcule. Dacă o variabilă tinde spre infinit și gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului, atunci limita este egală cu infinitul. În caz contrar, dacă polinomul din numitor este de ordin mai mare decât în ​​numărător, limita este zero.
Limita poate fi scrisă în formule ca aceasta:

Dacă avem o funcție de forma unui câmp obișnuit fără fracții, atunci limita sa este egală cu infinitul

Următorul tip de limite se referă la comportamentul funcțiilor aproape de zero.

Exemplul 3. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Soluție: Nu este nevoie să eliminați aici factorul conducător al polinomului. Exact invers, trebuie să găsiți cea mai mică putere a numărătorului și numitorului și să calculați limita

Valoarea x^2; x tinde spre zero atunci când variabila tinde spre zero. Prin urmare, ele sunt neglijate, așa că obținem

că limita este 2,5.

Acum știi cum să găsiți limita unei funcții din formă, împărțiți un polinom la un polinom dacă variabila tinde spre infinit sau 0. Dar aceasta este doar o mică și ușoară parte a exemplelor. Din următorul material veți învăța cum să descoperiți incertitudinile în limitele unei funcții.

Limită cu incertitudine de tip 0/0 și metode de calcul a acesteia

Toată lumea își amintește imediat regula că nu poți împărți la zero. Totuși, teoria limitelor în acest context implică funcții infinitezimale.
Să ne uităm la câteva exemple pentru claritate.

Exemplul 4. Găsiți limita unei funcții
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Rezolvare: Când înlocuim valoarea variabilei x = -1 în numitor, obținem zero și obținem același lucru la numărător. Deci avem incertitudinea formei 0/0.
Abordarea unei astfel de incertitudini este simplă: trebuie să factorizați polinomul sau, mai degrabă, să selectați factorul care transformă funcția în zero.

După extindere, limita funcției poate fi scrisă ca

Aceasta este întreaga metodă de calcul a limitei unei funcții. Facem același lucru dacă există o limită a formei polinom împărțit la un polinom.

Exemplul 5. Găsiți limita unei funcții
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Soluție: Substituirea directă arată
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
ce avem incertitudine de tip 0/0.
Să împărțim polinoamele la factorul care introduce singularitatea


Există profesori care învață că polinoamele de ordinul 2, adică de tipul „ecuații pătratice”, trebuie rezolvate prin discriminant. Dar practica reală arată că acest lucru este mai lung și mai confuz, așa că scăpați de caracteristicile în limitele conform algoritmului specificat. Astfel, scriem funcția sub formă de factori simpli și o calculăm în limită

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în calcularea unor astfel de limite. În momentul studierii limitelor, știți să împărțiți polinoamele. macar Conform programului, ar trebui să treacă deja.
Printre sarcinile pe incertitudine de tip 0/0 Există unele în care trebuie să utilizați formule de înmulțire abreviate. Dar dacă nu le cunoașteți, atunci împărțind un polinom la un monom puteți obține formula dorită.

Exemplul 6. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Rezolvare: Avem o incertitudine de tip 0/0. La numărător folosim formula de înmulțire prescurtată

și calculați limita necesară

Metodă de dezvăluire a incertitudinii prin înmulțirea cu conjugatul său

Metoda se aplică la limitele în care incertitudinea este generată de funcțiile iraționale. Numătorul sau numitorul se transformă în zero în punctul de calcul și nu se știe cum să se găsească granița.

Exemplul 7. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Soluţie: Să reprezentăm variabila în formula limită

La substituire, obținem o incertitudine de tip 0/0.
Conform teoriei limitelor, modalitatea de a ocoli această caracteristică este de a multiplica expresia irațională cu conjugatul ei. Pentru a vă asigura că expresia nu se schimbă, numitorul trebuie împărțit la aceeași valoare

Folosind regula diferenței de pătrate, simplificăm numărătorul și calculăm limita funcției

Simplificam termenii care creeaza singularitatea in limita si efectuam substitutia

Exemplul 8. Găsiți limita unei funcții
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Rezolvare: Substituția directă arată că limita are o singularitate de forma 0/0.

Pentru a extinde, înmulțim și împărțim la conjugatul numărătorului

Notăm diferența de pătrate

Simplificam termenii care introduc singularitatea si gasim limita functiei

Exemplul 9. Găsiți limita unei funcții
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Soluție: Înlocuiți doi în formulă

Primim incertitudine 0/0.
Numitorul trebuie înmulțit cu expresia conjugată, iar numărătorul trebuie rezolvat ecuație pătratică sau factorizați, ținând cont de singularitate. Deoarece se știe că 2 este o rădăcină, găsim a doua rădăcină folosind teorema lui Vieta

Astfel, scriem numeratorul sub forma

și înlocuiți-l în limită

Prin reducerea diferenței de pătrate, scăpăm de singularitățile din numărător și numitor

În acest fel, puteți scăpa de singularități în multe exemple, iar aplicația trebuie remarcată oriunde o anumită diferență de rădăcini se transformă în zero în timpul înlocuirii. Alte tipuri de limite se referă funcții exponențiale, funcții infinitezimale, logaritmi, limite speciale și alte tehnici. Dar puteți citi despre acest lucru în articolele enumerate mai jos despre limite.

Funcţie y = f (X) este o lege (regulă) conform căreia fiecare element x al mulțimii X este asociat cu unul și un singur element y al mulțimii Y.

Elementul x ∈ X numit argumentul funcției sau variabila independenta.
Elementul y ∈ Y numit valoarea functiei sau variabilă dependentă.

Se numește mulțimea X domeniul functiei.
Set de elemente y ∈ Y, care au preimagini în setul X, se numește zonă sau set de valori ale funcției.

Funcția reală este numită limitat de sus (de jos), dacă există un număr M astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toți:
.
Se apelează funcția de număr limitat, dacă există un număr M astfel încât pentru toate:
.

Marginea superioară sau limita superioară exactă O funcție reală se numește cel mai mic număr care își limitează intervalul de valori de sus. Adică acesta este un număr s pentru care, pentru toată lumea și pentru oricare, există un argument a cărui valoare a funcției depășește s′: .
Limita superioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.

Respectiv marginea de jos sau limita inferioară exactă O funcție reală se numește cel mai mare număr care își limitează intervalul de valori de jos. Adică acesta este un număr i pentru care, pentru toată lumea și pentru oricare, există un argument a cărui valoare a funcției este mai mică decât i′: .
Infimul unei funcții poate fi notat astfel:
.

Determinarea limitei unei funcții

Determinarea limitei unei funcţii după Cauchy

Limite finite ale funcției la punctele finale

Fie ca funcția să fie definită într-o vecinătate a punctului final, cu posibila excepție a punctului însuși. la un moment dat, dacă pentru oricare există așa ceva, în funcție de , că pentru tot x pentru care , inegalitatea este valabilă
.
Limita unei funcții se notează după cum urmează:
.
Sau la .

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei unei funcții poate fi scrisă după cum urmează:
.

Limite unilaterale.
Limită din stânga într-un punct (limită din stânga):
.
Limită dreaptă într-un punct (limită dreaptă):
.
Limitele din stânga și din dreapta sunt adesea indicate după cum urmează:
; .

Limitele finite ale unei funcții în puncte la infinit

Limitele în puncte la infinit sunt determinate într-un mod similar.
.
.
.
Ele sunt adesea denumite ca:
; ; .

Folosind conceptul de vecinătate a unui punct

Dacă introducem conceptul de vecinătate perforată a unui punct, atunci putem da o definiție unificată a limitei finite a unei funcții în puncte finite și infinit îndepărtate:
.
Aici pentru puncte finale
; ;
.
Orice vecinătate de puncte la infinit este perforată:
; ; .

Limite infinite ale funcției

Definiție
Fie definită funcția într-o vecinătate perforată a unui punct (finit sau la infinit). Limita funcției f (X) ca x → x 0 este egal cu infinitul, dacă pentru orice număr arbitrar de mare M > 0 , există un număr δ M > 0 , în funcție de M, că pentru tot x aparținând δ M perforat - vecinătatea punctului: , se respectă următoarea inegalitate:
.
Limita infinită se notează după cum urmează:
.
Sau la .

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei infinite a unei funcții poate fi scrisă după cum urmează:
.

De asemenea, puteți introduce definiții ale limitelor infinite ale anumitor semne egale cu și:
.
.

Definiția universală a limitei unei funcții

Folosind conceptul de vecinătate a unui punct, putem da o definiție universală a limitei finite și infinite a unei funcții, aplicabilă atât pentru puncte finite (bilaterale și unilaterale) cât și infinit îndepărtate:
.

Determinarea limitei unei funcţii după Heine

Să fie definită funcția pe o mulțime X:.
Numărul a se numește limita funcției la un moment dat:
,
dacă pentru orice succesiune convergentă spre x 0 :
,
ale căror elemente aparțin mulțimii X: ,
.

Să scriem această definiție folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
.

Dacă luăm vecinătatea din stânga a punctului x ca o mulțime X 0 , apoi obținem definiția limitei stângi. Dacă este dreptaci, atunci obținem definiția limitei drepte. Dacă luăm vecinătatea unui punct la infinit ca mulțime X, obținem definiția limitei unei funcții la infinit.

Teorema
Definițiile Cauchy și Heine ale limitei unei funcții sunt echivalente.
Dovada

Proprietăţi şi teoreme ale limitei unei funcţii

În plus, presupunem că funcțiile luate în considerare sunt definite în vecinătatea corespunzătoare a punctului, care este un număr finit sau unul dintre simbolurile: . Poate fi, de asemenea, un punct limită unilateral, adică să aibă forma sau . Cartierul este bilateral pentru o limită cu două laturi și unilateral pentru o limită unilaterală.

Proprietăți de bază

Dacă valorile funcției f (X) schimbați (sau faceți nedefinit) un număr finit de puncte x 1, x 2, x 3, ... x n, atunci această modificare nu va afecta existența și valoarea limitei funcției la un punct arbitrar x 0 .

Dacă există o limită finită, atunci există o vecinătate perforată a punctului x 0 , pe care funcția f (X) limitat:
.

Fie funcția să aibă în punctul x 0 limită finită diferită de zero:
.
Atunci, pentru orice număr c din intervalul , există o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0 , pentru ce ,
, Dacă ;
, Dacă .

Dacă, pe o vecinătate perforată a punctului, , este o constantă, atunci .

Dacă există limite finite și și pe o vecinătate perforată a punctului x 0
,
Acea .

Dacă , și pe o anumită vecinătate a punctului
,
Acea .
În special, dacă se află într-un anumit punct
,
atunci dacă , atunci și ;
dacă , atunci și .

Dacă pe o vecinătate perforată a unui punct x 0 :
,
și există limite egale finite (sau infinite ale unui anumit semn):
, Acea
.

Dovezile principalelor proprietăți sunt date pe pagină
„Proprietățile de bază ale limitelor unei funcții”.

Proprietăți aritmetice ale limitei unei funcții

Fie funcțiile și să fie definite într-o vecinătate perforată a punctului. Și să fie limite finite:
Și .
Și să fie C o constantă, adică un număr dat. Apoi
;
;
;
, Dacă .

Daca atunci.

Pe pagină sunt date dovezi ale proprietăților aritmetice
„Proprietăți aritmetice ale limitelor unei funcții”.

Criteriul Cauchy pentru existența unei limite a unei funcții

Teorema
Pentru o funcție definită pe o vecinătate perforată a unui punct finit sau infinit x 0 , a avut o limită finită în acest punct, este necesar și suficient ca pentru orice ε > 0 exista o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0 , că pentru orice puncte și din această vecinătate este valabilă următoarea inegalitate:
.

Limita unei funcții complexe

Teoremă asupra limitei unei funcții complexe
Fie ca funcția să aibă o limită și mapați o vecinătate perforată a unui punct pe o vecinătate perforată a unui punct. Lăsați funcția să fie definită pe această vecinătate și aveți o limită asupra acesteia.
Iată punctele finale sau infinit îndepărtate: . Vecinătățile și limitele lor corespunzătoare pot fi fie cu două laturi, fie unilaterale.
Atunci există o limită a unei funcții complexe și este egală cu:
.

Teorema limită a unei funcții complexe se aplică atunci când funcția nu este definită într-un punct sau are o valoare diferită de limită. Pentru a aplica această teoremă, trebuie să existe o vecinătate perforată a punctului în care mulțimea de valori a funcției nu conține punctul:
.

Dacă funcția este continuă în punctul , atunci semnul limită poate fi aplicat argumentului funcției continue:
.
Următoarea este o teoremă corespunzătoare acestui caz.

Teoremă asupra limitei unei funcții continue a unei funcții
Să existe o limită a funcției g (t) ca t → t 0 , și este egal cu x 0 :
.
Aici este punctul t 0 poate fi finit sau infinit distant: .
Și fie funcția f (X) este continuă în punctul x 0 .
Atunci există o limită a funcției complexe f (g(t)), și este egal cu f (x0):
.

Pe pagină sunt date dovezi ale teoremelor
„Limita și continuitatea unei funcții complexe”.

Funcții infinitezimale și infinit de mari

Funcții infinitezimale

Definiție
Se spune că o funcție este infinitezimală dacă
.

Sumă, diferență și produs a unui număr finit de funcții infinitezimale la este o funcție infinitezimală la .

Produsul unei funcții mărginit pe o vecinătate perforată a punctului , la o infinitezimală la este o funcție infinitezimală la .

Pentru ca o funcție să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca
,
unde este o funcție infinitezimală la .

„Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale”.

Funcții infinit de mari

Definiție
Se spune că o funcție este infinit de mare dacă
.

Sumă sau diferență funcție limitată, pe o vecinătate perforată a punctului , și o funcție infinit de mare la este o funcție infinit de mare la .

Dacă funcția este infinit de mare pentru , și funcția este mărginită pe o vecinătate perforată a punctului , atunci
.

Dacă funcția , pe o vecinătate perforată a punctului , satisface inegalitatea:
,
iar funcția este infinitezimală la:
, și (pe vreo vecinătate perforată a punctului), apoi
.

Dovezile proprietăților sunt prezentate în secțiune
„Proprietăți ale funcțiilor infinit de mari”.

Relația dintre funcțiile infinit de mari și infinitezimale

Din cele două proprietăți anterioare rezultă legătura dintre funcțiile infinit de mari și infinitezimale.

Dacă o funcție este infinit de mare la , atunci funcția este infinitezimală la .

Dacă o funcție este infinitezimală pentru , și , atunci funcția este infinit mare pentru .

Relația dintre o funcție infinitezimală și o funcție infinit de mare poate fi exprimată simbolic:
, .

Dacă o funcție infinitezimală are un anumit semn la , adică este pozitivă (sau negativă) pe o vecinătate perforată a punctului , atunci acest fapt poate fi exprimat astfel:
.
În același mod, dacă o funcție infinit de mare are un anumit semn la , atunci ei scriu:
.

Apoi legătura simbolică dintre funcțiile infinit de mici și infinit de mari poate fi completată cu următoarele relații:
, ,
, .

Formule suplimentare referitoare la simbolurile infinitului pot fi găsite pe pagină
„Punctează la infinit și proprietățile lor”.

Limitele funcţiilor monotone

Definiție
Se numește o funcție definită pe un set de numere reale X strict crescând, dacă pentru toate acestea sunt valabile următoarea inegalitate:
.
În consecință, pentru strict în scădere Funcționează următoarea inegalitate:
.
Pentru nedescrescătoare:
.
Pentru necrescătoare:
.

Rezultă că o funcție strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O funcție strict descrescătoare este, de asemenea, necreștetoare.

Funcția este numită monoton, dacă nu este în scădere sau în creștere.

Teorema
Fie ca funcția să nu scadă pe intervalul în care .
Dacă este mărginită mai sus de numărul M: atunci există o limită finită. Dacă nu este limitat de sus, atunci.
Dacă este limitată de jos de numărul m: atunci există o limită finită. Dacă nu este limitat de jos, atunci.

Dacă punctele a și b sunt la infinit, atunci în expresii semnele limită înseamnă că .
Această teoremă poate fi formulată mai compact.

Fie ca funcția să nu scadă pe intervalul în care . Atunci există limite unilaterale în punctele a și b:
;
.

O teoremă similară pentru o funcție care nu crește.

Fie ca funcția să nu crească pe intervalul în care . Apoi există limite unilaterale:
;
.

Dovada teoremei este prezentată pe pagină
„Limitele funcțiilor monotone”.

Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Pentru cei care vor să învețe cum să găsească limitele, în acest articol vă vom spune despre asta. Nu vom aprofunda în teorie; profesorii o susțin de obicei la cursuri. Așa că „teoria plictisitoare” ar trebui notă în caiete. Dacă nu este cazul, atunci puteți citi manuale împrumutate de la bibliotecă. instituție educațională sau pe alte resurse de pe Internet.

Deci, conceptul de limită este destul de important în studiul matematicii superioare, mai ales când dai peste calcul integral și înțelegi legătura dintre limită și integrală. În materialul actual vom lua în considerare exemple simple, precum și modalități de a le rezolva.

Exemple de soluții

Exemplul 1

Calculați a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Soluţie

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Oamenii ne trimit adesea aceste limite cu o solicitare de a ajuta la rezolvarea lor. Am decis să le evidențiem ca exemplu separat și să explicăm că aceste limite trebuie doar să fie amintite, de regulă. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Noi vom oferi solutie detaliata. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Ce să faci cu incertitudinea formei: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Exemplul 3

Rezolvați $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

Ca întotdeauna, începem prin a înlocui valoarea $ x $ în expresia de sub semnul limită. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Ce urmează acum? Ce ar trebui să se întâmple până la urmă? Deoarece aceasta este o incertitudine, acesta nu este încă un răspuns și continuăm calculul. Deoarece avem un polinom în numărători, îl vom factoriza folosind formula familiară tuturor de la școală $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vă amintiți? Grozav! Acum continuă și folosește-l cu melodia :) Constatăm că numărătorul $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuăm să rezolvăm ținând cont de transformarea de mai sus: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Să împingem limita din ultimele două exemple la infinit și să luăm în considerare incertitudinea: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Exemplul 5

Calculați $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ce să fac? Ce ar trebuii să fac? Nu intrați în panică, pentru că imposibilul este posibil. Este necesar să scoateți x atât la numărător, cât și la numitor și apoi să-l reduceți. După aceasta, încercați să calculați limita. Sa incercam... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Folosind definiția din exemplul 2 și înlocuind infinitul cu x, obținem: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritm pentru calculul limitelor

Deci, să rezumăm pe scurt exemplele și să creăm un algoritm pentru rezolvarea limitelor:

1. Înlocuiți punctul x în expresia care urmează semnului limită. Dacă se obține un anumit număr sau infinit, atunci limita este complet rezolvată. În caz contrar, avem incertitudine: „zero împărțit la zero” sau „infinit împărțit la infinit” și trecem la următorii pași ai instrucțiunilor.
2. Pentru a elimina incertitudinea „zero împărțit la zero”, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Reduceți-le pe cele similare. Înlocuiți punctul x în expresia de sub semnul limită.
3. Dacă incertitudinea este „infinitul împărțit la infinit”, atunci scoatem atât numărătorul, cât și numitorul x la cel mai mare grad. Scurtăm X-urile. Înlocuim valorile lui x de sub limită în expresia rămasă.

În acest articol, ați învățat elementele de bază ale rezolvării limitelor care sunt adesea folosite în curs. Analiza matematică. Desigur, acestea nu sunt toate tipurile de probleme oferite de examinatori, ci doar limitele cele mai simple. Vom vorbi despre alte tipuri de teme în articolele viitoare, dar mai întâi trebuie să înveți această lecție pentru a merge mai departe. Să discutăm ce să facem dacă există rădăcini, grade, studiază funcții echivalente infinitezimale, limite remarcabile, regula lui L'Hopital.

Dacă nu vă puteți da seama singuri de limite, nu intrați în panică. Suntem mereu bucuroși să ajutăm!

Atunci când se calculează limitele, ar trebui să se țină cont următoarele reguli de bază:

1. Limita sumei (diferenței) funcțiilor este egală cu suma (diferenței) limitelor termenilor:

2. Limita unui produs de funcții este egală cu produsul limitelor factorilor:

3. Limita raportului dintre două funcții este egală cu raportul limitelor acestor funcții:

.

4. Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită:

.

5. Limita unei constante este egală cu constanta însăși:

6. Pentru funcțiile continue, simbolurile de limită și de funcție pot fi schimbate:

.

Găsirea limitei unei funcții ar trebui să înceapă prin înlocuirea valorii în expresia funcției. Mai mult, dacă se obține valoarea numerică 0 sau ¥, atunci s-a găsit limita dorită.

Exemplul 2.1. Calculați limita.

Soluţie.

.

Sunt numite expresii de forma , , , , incertitudini.

Dacă obțineți o incertitudine a formei , atunci pentru a găsi limita trebuie să transformați funcția astfel încât să relevați această incertitudine.

Incertitudinea formei se obține de obicei atunci când este dată limita raportului a două polinoame. În acest caz, pentru a calcula limita, se recomandă factorizarea polinoamelor și reducerea acestora cu un factor comun. Acest multiplicator este zero la valoarea limită X .

Exemplul 2.2. Calculați limita.

Soluţie.

Înlocuind , obținem incertitudinea:

.

Să factorizăm numărătorul și numitorul:

;

Să reducem printr-un factor comun și să obținem

O incertitudine a formei se obține atunci când limita raportului a două polinoame este dată la . În acest caz, pentru a-l calcula, se recomandă împărțirea ambelor polinoame la X în gradul superior.

Exemplul 2.3. Calculați limita.

Soluţie. Când înlocuim ∞, obținem o incertitudine de forma , deci împărțim toți termenii expresiei la x 3.

.

Se are în vedere aici că .

Când se calculează limitele unei funcții care conține rădăcini, se recomandă înmulțirea și împărțirea funcției la conjugatul său.

Exemplul 2.4. Calculați limita

Soluţie.

Când se calculează limite pentru a dezvălui incertitudinea formei sau (1) ∞, prima și a doua limită remarcabilă sunt adesea folosite:

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă.

Să luăm în considerare exemplul lui Ya. I. Perelman, dând o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea are loc mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece participă la formarea interesului suma mare. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat.

Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare.

Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește cu 100 × 1,5 = 150, iar după alte șase luni - cu 150 × 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma în 100 × (1 +1/3) 3 »237 (unităţi den.).

Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de adunare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul depus la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată. au fost adăugate capitalei la fiecare secundă pentru că

Exemplul 2.5. Calculați limita unei funcții

Soluţie.

Exemplul 2.6. Calculați limita unei funcții .

Soluţie.Înlocuind obținem incertitudinea:

.

Folosind formula trigonometrică, transformați numărătorul într-un produs:

Ca rezultat obținem

Al doilea este luat în considerare aici limita minunata.

Exemplul 2.7. Calculați limita unei funcții

Soluţie.

.

Pentru a dezvălui incertitudinea formei sau, puteți folosi regula lui L'Hopital, care se bazează pe următoarea teoremă.

Teorema. Limita raportului a două funcții infinitezimale sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor

Rețineți că această regulă poate fi aplicată de mai multe ori la rând.

Exemplul 2.8. Găsi

Soluţie. Când înlocuim, avem o incertitudine a formei. Aplicând regula lui L'Hopital, obținem

Continuitatea funcției

O proprietate importantă a unei funcții este continuitatea.

Definiție. Se ia în considerare funcția continuu, dacă o mică modificare a valorii argumentului implică o mică modificare a valorii funcției.

Matematic aceasta se scrie astfel: când

Prin și se înțelege incrementul de variabile, adică diferența dintre valorile ulterioare și cele precedente: , (Figura 2.3)

Figura 2.3 – Creșterea variabilelor

Din definiţia unei funcţii continue în punctul rezultă că . Această egalitate înseamnă că sunt îndeplinite trei condiții:

Soluţie. Pentru funcție punctul este suspect pentru o discontinuitate, să verificăm asta și să găsim limite unilaterale

Prin urmare, , Mijloace - punct de rupere

Derivată a unei funcții

Concepte de limite ale secvențelor și funcțiilor. Când este necesar să se găsească limita unei secvențe, se scrie astfel: lim xn=a. Într-o astfel de succesiune de secvențe, xn tinde spre a și n tinde spre infinit. Secvența este de obicei reprezentată ca o serie, de exemplu:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Secvențele sunt împărțite în crescătoare și descrescătoare. De exemplu:
xn=n^2 - succesiune crescătoare
yn=1/n - succesiune
Deci, de exemplu, limita șirului xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Această limită este egală cu zero, deoarece n→∞, iar succesiunea 1/n^2 tinde spre zero.

De obicei, o cantitate variabilă x tinde spre o limită finită a, iar x se apropie constant de a, iar mărimea a este constantă. Aceasta este scrisă după cum urmează: limx =a, în timp ce n poate tinde, de asemenea, fie spre zero, fie spre infinit. Există infinite funcții, pentru care limita tinde spre infinit. În alte cazuri, când, de exemplu, funcția încetinește un tren, este posibil ca limita să tinde spre zero.
Limitele au o serie de proprietăți. De obicei, orice funcție are o singură limită. Aceasta este proprietatea principală a limitei. Altele sunt enumerate mai jos:
* Limita sumei este egală cu suma limitelor:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Limita produsului este egală cu produsul limitelor:
lim(xy)=lim x*lim y
* Limita coeficientului este egală cu câtul limitelor:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Factorul constant este luat în afara semnului limită:
lim(Cx)=C lim x
Având în vedere o funcție 1 /x în care x →∞, limita sa este zero. Dacă x→0, limita unei astfel de funcții este ∞.
Pentru funcții trigonometrice sunt din aceste reguli. Deoarece funcţia păcatului x tinde întotdeauna spre unitate când se apropie de zero, identitatea este valabilă pentru el:
lim sin x/x=1

Într-o serie de funcții există funcții, atunci când se calculează limitele cărora apare incertitudinea - o situație în care limita nu poate fi calculată. Singura cale de ieșire din această situație este L'Hopital. Există două tipuri de incertitudini:
* incertitudinea formei 0/0
* incertitudinea formei ∞/∞
De exemplu, este dată o limită de următoarea formă: lim f(x)/l(x) și f(x0)=l(x0)=0. În acest caz, apare o incertitudine de forma 0/0. Pentru a rezolva o astfel de problemă se diferențiază ambele funcții, după care se găsește limita rezultatului. Pentru incertitudinile de tip 0/0, limita este:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (la x→0)
Aceeași regulă este valabilă și pentru incertitudinile de tip ∞/∞. Dar în acest caz următoarea egalitate este adevărată: f(x)=l(x)=∞
Folosind regula lui L'Hopital, puteți găsi valorile oricăror limite în care apar incertitudini. O condiție prealabilă pentru

volum - fără erori la găsirea derivatelor. Deci, de exemplu, derivata funcției (x^2)" este egală cu 2x. De aici putem concluziona că:
f"(x)=nx^(n-1)