Teória pravdepodobnosti na skúške z matematiky. Riešenie úloh z teórie pravdepodobnosti v rámci jednotnej štátnej skúšky

Plán workshopu pre učiteľov matematiky vo vzdelávacej inštitúcii mesta Tula na tému „Riešenie úloh jednotnej štátnej skúšky z matematiky zo sekcií: kombinatorika, teória pravdepodobnosti. Metodika vyučovania"

Trávenie času: 12 00 ; 15 00

Poloha: MBOU "Lýceum č. 1", kancelária. č. 8

ja Riešenie problémov pravdepodobnosti

1. Riešenie úloh klasického určovania pravdepodobnosti

My ako učitelia už vieme, že hlavné typy problémov v Jednotnej štátnej skúške z teórie pravdepodobnosti vychádzajú z klasickej definície pravdepodobnosti. Spomeňme si, čo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti?

Pravdepodobnosť udalosti je pomer počtu výsledkov priaznivých pre danú udalosť k celkovému počtu výsledkov.

Naše vedecké a metodické združenie učiteľov matematiky vypracovalo všeobecnú schému riešenia pravdepodobnostných úloh. Chcel by som vám to predstaviť. Mimochodom, podelili sme sa o svoje pracovné skúsenosti a v materiáloch, ktoré sme vám dali na spoločnú diskusiu o riešení problémov, sme uviedli tento diagram. Chcem to však vyjadriť.

Podľa nášho názoru táto schéma pomáha rýchlo logicky roztriediť všetko na kúsky a potom je možné problém vyriešiť oveľa jednoduchšie pre učiteľa aj pre študentov.

Chcem teda podrobne analyzovať nasledujúcu úlohu.

Chcel som sa s vami spoločne porozprávať, aby sme vysvetlili metodiku, ako sprostredkovať chlapom také riešenie, pri ktorom by deti pochopili tento typický problém a následne týmto problémom porozumeli aj sami.

Čo je to náhodný experiment v tomto probléme? Teraz musíme v tomto experimente izolovať elementárnu udalosť. Čo je to základná udalosť? Poďme si ich vymenovať.

Máte otázky týkajúce sa úlohy?

Vážení kolegovia, aj vy ste evidentne uvažovali o pravdepodobnostných problémoch s kockami. Myslím, že to musíme analyzovať, pretože má svoje vlastné nuansy. Poďme analyzovať tento problém podľa schémy, ktorú sme vám navrhli. Keďže na každej strane kocky je číslo od 1 do 6, potom elementárne udalosti sú čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zistili sme, že celkový počet elementárnych udalostí je 6. Určme ktoré elementárne udalosti uprednostňujú udalosť. Iba dve udalosti favorizujú toto podujatie - 5 a 6 (keďže z podmienky vyplýva, že by malo vypadnúť 5 a 6 bodov).

Vysvetlite, že všetky elementárne udalosti sú rovnako možné. Aké otázky budú k úlohe?

Ako viete, že minca je symetrická? Povedzme si to pekne po poriadku, niekedy niektoré frázy spôsobujú nedorozumenia. Pochopme tento problém koncepčne. Poďme spolu s vami zistiť v experimente, ktorý je popísaný, aké by mohli byť základné výsledky. Máte všetci predstavu, kde sú hlavy a kde chvosty? Aké sú možné možnosti vypadnutia? Sú aj iné podujatia? Aký je celkový počet udalostí? Podľa problému je známe, že hlavy prišli presne raz. To znamená, že táto udalosťelementárne udalosti z týchto štyroch OR a RO sú priaznivé; Používame vzorec, ktorý počíta pravdepodobnosť udalosti. Pripomíname, že odpovede v časti B musia byť buď celé číslo, alebo desatinné číslo.

Ukážeme si to na interaktívnej tabuli. Prečítali sme si problém. Aký je základný výsledok tejto skúsenosti? Ujasnite si, že dvojica je usporiadaná – to znamená, že číslo padlo na prvej kocke a na druhej kocke. V každom probléme sú momenty, keď je potrebné zvoliť racionálne metódy, formy a prezentovať riešenie vo forme tabuliek, diagramov atď. V tomto probléme je vhodné použiť takúto tabuľku. Dávam vám hotové riešenie, ale počas riešenia sa ukazuje, že v tomto probléme je racionálne použiť riešenie vo forme tabuľky. Vysvetlíme, čo tabuľka znamená. Môžete pochopiť, prečo sú v stĺpcoch uvedené 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Nakreslíme štvorec. Čiary zodpovedajú výsledkom prvého hodu – je ich šesť, pretože kocka má šesť strán. Rovnako aj stĺpce. Do každej bunky napíšeme súčet vyžrebovaných bodov. Ukážeme vyplnenú tabuľku. Vyfarbme bunky, kde sa súčet rovná ôsmim (keďže sa to vyžaduje v podmienke).

Verím, že ďalší problém, po rozbore predchádzajúcich, môžu deti nechať vyriešiť samy.

V nasledujúcich úlohách nie je potrebné zapisovať všetky elementárne výsledky. Stačí jednoducho spočítať ich počet.

(Žiadne riešenie) Dal som tento problém chlapcom, aby ho vyriešili sami. Algoritmus na riešenie problému

1. Definujte, z čoho pozostáva náhodný experiment a čo je náhodná udalosť.

2. Nájdite celkový počet elementárnych udalostí.

3. Nájdite počet udalostí priaznivých pre udalosť špecifikovanú vo vyhlásení o probléme.

4. Nájdite pravdepodobnosť udalosti pomocou vzorca.

Študentom možno položiť otázku: ak sa do predaja dostane 1 000 batérií a z nich 6 je chybných, potom je vybraná batéria určená ako? Čo je v našej úlohe? Ďalej položím otázku, ako zistiť, čo sa tu používa ako čísloa navrhujem, aby si to našielčíslo. Ďalej sa pýtam, aká je tu udalosť? Koľko akumulátorov prispieva na akciu? Ďalej pomocou vzorca vypočítame túto pravdepodobnosť.

Tu môže byť chlapcom ponúknuté druhé riešenie. Poďme diskutovať o tom, čo by táto metóda mohla byť?

1. Akú udalosť môžeme teraz zvážiť?

2. Ako zistiť pravdepodobnosť danej udalosti?

Chlapom treba povedať o týchto vzorcoch. Sú nasledovné

Ôsmy problém možno deťom ponúknuť samostatne, keďže je podobný šiestemu problému. Môže im byť ponúknutá ako samostatná práca, alebo na karte pri tabuli.

Tento problém je možné vyriešiť v súvislosti s olympiádou, ktorá práve prebieha. Napriek tomu, že do úloh sú zapojené rôzne udalosti, úlohy sú typické.

2. Najjednoduchšie pravidlá a vzorce na výpočet pravdepodobností (opačné udalosti, súčet udalostí, súčin udalostí)

Toto je úloha z kolekcie Jednotná štátna skúška. Riešenie zobrazíme na tabuli. Aké otázky by sme mali položiť žiakom, aby pochopili tento problém?

1. Koľko strojov tam bolo? Ak sú dva stroje, potom už existujú dve udalosti. Dávam deťom otázku – aká bude akcia?? Aké bude druhé podujatie?

2. je pravdepodobnosť udalosti. Nemusíme to počítať, keďže je to dané v podmienke. Pravdepodobnosť, že „káva dôjde v oboch automatoch“ je podľa podmienok problému 0,12. Bola udalosť A, bola udalosť B. A objaví sa nová udalosť? Položím deťom otázku – akú? Ide o udalosť, keď obom strojom dôjde káva. V tomto prípade ide v teórii pravdepodobnosti o novú udalosť, ktorá sa nazýva priesečník dvoch udalostí A a B a je takto označená.

Použime vzorec na sčítanie pravdepodobnosti. Vzorec je nasledujúci

Dáme vám to v referenčnom materiáli a chlapi môžu dostať tento vzorec. Umožňuje vám nájsť pravdepodobnosť súčtu udalostí. Dostali sme otázku, aká je pravdepodobnosť opačnej udalosti, ktorej pravdepodobnosť sa zistí pomocou vzorca.

Úloha 13 využíva pojem súčin udalostí, ktorých vzorec na zistenie pravdepodobnosti je uvedený v prílohe.

3. Problémy týkajúce sa použitia stromu možných možností

Na základe podmienok problému je ľahké zostaviť diagram a nájsť uvedené pravdepodobnosti.

Aký teoretický materiál ste použili na pomoc študentom pri riešení problémov tohto druhu? Použili ste na riešenie takýchto problémov možný strom alebo iné metódy? Dali ste si koncept grafov? V piatom alebo šiestom ročníku majú deti také problémy, ktorých rozbor dáva koncept grafov.

Chcel by som sa vás opýtať, uvažovali ste vy a vaši študenti o použití stromu možných možností pri riešení pravdepodobnostných úloh? Faktom je, že takéto úlohy má nielen Jednotná štátna skúška, ale objavili sa aj pomerne zložité problémy, ktoré teraz budeme riešiť.

Poďme s vami prediskutovať metodiku riešenia takýchto problémov - ak sa zhoduje s mojou metodikou, ako vysvetľujem chlapcom, bude sa mi s vami ľahšie spolupracovať, ak nie, pomôžem vám s týmto problémom vyriešiť.

Poďme diskutovať o udalostiach. Aké udalosti v úlohe 17 možno izolovať?

Pri konštrukcii stromu na rovine je určený bod, ktorý sa nazýva koreň stromu. Ďalej začneme zvažovať udalostiA. Zostrojíme segment (v teórii pravdepodobnosti sa nazýva vetva). Podľa podmienky sa hovorí, že prvá fabrika vyrába 30% mobilov tejto značky (ktorý? Ten vyrábajú), čiže momentálne sa pýtam študentov, aká je pravdepodobnosť prvej fabriky vyrábajúce telefóny tejto značky, tie, ktoré vyrábajú? Keďže udalosťou je vydanie telefónu v prvej továrni, pravdepodobnosť tejto udalosti je 30 % alebo 0,3. Zvyšné telefóny boli vyrobené v druhej továrni - budujeme druhý segment a pravdepodobnosť tejto udalosti je 0,7.

Študentom sa kladie otázka: aký typ telefónu by mohla vyrábať prvá továreň? S defektom alebo bez. Aká je pravdepodobnosť, že telefón vyrobený v prvej továrni má poruchu? Podmienka hovorí, že sa rovná 0,01. Otázka: Aká je pravdepodobnosť, že telefón vyrobený v prvej továrni nemá poruchu? Keďže táto udalosť je opačná k danej, jej pravdepodobnosť je rovnaká.

Musíte zistiť pravdepodobnosť, že telefón je chybný. Môže to byť z prvej továrne alebo možno z druhej. Potom použijeme vzorec na sčítanie pravdepodobností a zistíme, že celá pravdepodobnosť je súčtom pravdepodobností, že telefón s defektom je z prvej továrne a telefón s defektom je z druhej továrne. Pravdepodobnosť, že telefón má poruchu a bol vyrobený v prvej továrni, zistíme pomocou vzorca súčinu pravdepodobností, ktorý je uvedený v prílohe.

4. Jeden z najťažších problémov banky zjednotenej štátnej skúšky o pravdepodobnosti

Pozrime sa napríklad na číslo 320199 z FIPI Task Bank. Toto je jedna z najťažších úloh v B6.

Pravdepodobnosť, že uchádzač Z. získa aspoň 70 bodov z matematiky je 0,6, z ruštiny - 0,8, z cudzieho jazyka - 0,7 a zo spoločenských vied - 0,5.

Nájdite pravdepodobnosť, že sa Z. bude môcť zapísať aspoň na jeden z dvoch uvedených odborov.

Na zapísanie aspoň jednej z dvoch špecializácií musí Z. získať aspoň 70 bodov z matematiky. A v ruštine. A tiež - sociálne štúdiá alebo zahraničné.

Pravdepodobnosť, že získa 70 bodov z matematiky je 0,6.

Pravdepodobnosť dosiahnutia bodov v matematike a ruštine je rovnaká.

Venujme sa cudzím a spoločenským štúdiám. Vyhovujú nám možnosti, keď uchádzač zabodoval v sociálnych štúdiách, zahraničných štúdiách alebo v oboch. Možnosť nie je vhodná, ak nezískal žiadne body ani v jazyku, ani v „spoločnosti“. To znamená, že pravdepodobnosť úspešného absolvovania spoločenských štúdií alebo cudzieho jazyka s minimálne 70 bodmi je rovnaká. V dôsledku toho je pravdepodobnosť absolvovania matematiky, ruštiny a spoločenských vied alebo zahraničia rovnaká

Toto je odpoveď.

II . Riešenie kombinatorických úloh

1. Počet kombinácií a faktoriálov

Pozrime sa v krátkosti na teoretický materiál.

Výrazn ! číta sa ako „faktoriálny“ a označuje súčin všetkých prirodzených čísel od 1 don vrátane:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Okrem toho v matematike podľa definície veria, že 0! = 1. Takýto výraz je zriedkavý, ale stále sa vyskytuje v problémoch v teórii pravdepodobnosti.

Definícia

Nech sú predmety (ceruzky, cukríky, čokoľvek), z ktorých chcete vybrať presne odlišné predmety. Potom sa nazýva počet možností pre takýto výberpočet kombinácií z prvkov podľa. Toto číslo je určené a vypočítané pomocou špeciálneho vzorca.

Označenie

Čo nám dáva tento vzorec? V skutočnosti sa bez nej nedá vyriešiť takmer žiadny vážny problém.

Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko jednoduchých kombinatorických problémov:

Úloha

Barman má 6 druhov zeleného čaju. Na uskutočnenie čajového obradu je potrebné podávať presne 3 rôzne druhy zeleného čaju. Koľkými spôsobmi môže barman vyplniť objednávku?

Riešenie

Všetko je tu jednoduché: existujen = 6 druhov na výberk = 3 odrody. Počet kombinácií možno zistiť pomocou vzorca:

Odpoveď

Dosaďte do vzorca. Nemôžeme vyriešiť všetky problémy, ale spísali sme typické problémy a sú vám predložené.

Úloha

V skupine 20 študentov si musíte vybrať 2 zástupcov, ktorí vystúpia na konferencii. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

Riešenie

Opäť, to je všetko, čo mámen = 20 študentov, no treba si vybraťk = 2 študenti. Nájdite počet kombinácií:

Poznámka: faktory zahrnuté v rôznych faktoriáloch sú označené červenou farbou. Tieto multiplikátory je možné bezbolestne redukovať a tým výrazne znížiť celkové množstvo výpočtov.

Odpoveď

190

Úloha

Do skladu bolo dodaných 17 serverov s rôznymi poruchami, ktoré stoja 2-krát menej ako bežné servery. Riaditeľ kúpil pre školu 14 takýchto serverov a ušetrené peniaze vo výške 200 000 rubľov použil na nákup ďalšieho vybavenia. Koľkými spôsobmi môže riaditeľ vybrať chybné servery?

Riešenie

Problém obsahuje pomerne veľa údajov navyše, ktoré môžu byť mätúce. Najdôležitejšie fakty: existujú lenn = 17 serverov a riaditeľ potrebujek = 14 serverov. Počítame počet kombinácií:

Násobiče, ktoré sa znižujú, sú opäť označené červenou farbou. Celkovo išlo o 680 kombinácií. Vo všeobecnosti má režisér z čoho vyberať.

Odpoveď

680

Táto úloha je zložitá, pretože v nej sú ďalšie údaje. Mnohých študentov zvádzajú od správneho rozhodnutia. Celkovo bolo 17 serverov a riaditeľ potreboval vybrať 14. Dosadením do vzorca dostaneme 680 kombinácií.

2. Zákon násobenia

Definícia

Zákon násobenia v kombinatorike: počet kombinácií (spôsobov, kombinácií) v nezávislých množinách sa násobí.

Inými slovami, nech jeA spôsoby vykonania jednej akcie aB spôsoby vykonania inej akcie. Cestou je aj to, že tieto akcie sú nezávislé, t.j. nijakým spôsobom spolu nesúvisia. Potom môžete nájsť počet spôsobov vykonania prvej a druhej akcie pomocou vzorca:C = A · B .

Úloha

Petya má 4 mince 1 rubeľ a 2 mince 10 rubľov. Petya bez toho, aby sa pozrel, vybral z vrecka 1 mincu v nominálnej hodnote 1 rubeľ a ďalšiu 1 mincu v nominálnej hodnote 10 rubľov, aby si kúpil pero za 11 rubľov. Koľkými spôsobmi si môže tieto mince vybrať?

Riešenie

Takže najprv dostane Peťak = 1 minca odn = 4 dostupné mince s nominálnou hodnotou 1 rubeľ. Počet spôsobov, ako to urobiť, jeC 4 1 = ... = 4.

Potom Peťa opäť siahne do vrecka a vyberie hok = 1 minca odn = 2 dostupné mince s nominálnou hodnotou 10 rubľov. Tu je počet kombinácií rovnýC 2 1 = ... = 2.

Keďže tieto akcie sú nezávislé, celkový počet možností je rovnakýC = 4 · 2 = 8.

Odpoveď

Úloha

V košíku je 8 bielych loptičiek a 12 čiernych loptičiek. Koľkými spôsobmi môžete z tohto koša získať 2 biele a 2 čierne loptičky?

Riešenie

Celkom v košíkun = 8 bielych loptičiek na výberk = 2 loptičky. Dá sa toC 8 2 = ... = 28 rôznych spôsobov.

Okrem toho košík obsahujen = 12 čiernych loptičiek, z ktorých si musíte opäť vybraťk = 2 loptičky. Počet spôsobov, ako to urobiť, jeC 12 2 = ... = 66.

Keďže výber bielej gule a výber čiernej gule sú nezávislé udalosti, celkový počet kombinácií sa vypočíta podľa zákona násobenia:C = 28 · 66 = 1848. Ako vidíte, možností môže byť pomerne veľa.

Odpoveď

1848

Zákon násobenia ukazuje, koľko spôsobov možno vykonať komplexnú akciu, ktorá pozostáva z dvoch alebo viacerých jednoduchých – za predpokladu, že sú všetky nezávislé.

3. Zákon sčítania

Ak zákon násobenia funguje s „izolovanými“ udalosťami, ktoré na sebe nezávisia, potom v zákone sčítania je opak pravdou. Zaoberá sa vzájomne sa vylučujúcimi udalosťami, ktoré sa nikdy nestanú súčasne.

Napríklad „Peťa vytiahol z vrecka 1 mincu“ a „Péťa nevytiahol z vrecka ani jednu mincu“ sú vzájomne sa vylučujúce udalosti, pretože nie je možné vybrať jednu mincu bez toho, aby ste žiadnu nevybrali.

Podobne sa navzájom vylučujú aj udalosti „Náhodná lopta je biela“ a „Náhodná lopta je čierna“.

Definícia

Zákon pridávania v kombinatorike: ak možno vykonať dve vzájomne sa vylučujúce akcieA AB podľa toho možno tieto udalosti kombinovať. Tým sa vytvorí nová udalosť, ktorú môžete spustiťX = A + B spôsoby.

Inými slovami, pri kombinovaní vzájomne sa vylučujúcich akcií (udalostí, možností) sa počet ich kombinácií sčítava.

Dá sa povedať, že zákon sčítania je v kombinatorike logické „ALEBO“, keď sa uspokojíme s niektorou zo vzájomne sa vylučujúcich možností. Naopak, zákon násobenia je logické „A“, v ktorom nás zaujíma súčasné vykonanie prvej aj druhej akcie.

Úloha

V košíku je 9 čiernych loptičiek a 7 červených loptičiek. Chlapec vyberie 2 loptičky rovnakej farby. Koľkými spôsobmi to môže urobiť?

Riešenie

Ak sú gule rovnakej farby, potom existuje niekoľko možností: obe sú čierne alebo červené. Je zrejmé, že tieto možnosti sa navzájom vylučujú.

V prvom prípade si musí chlapec vybraťk = 2 čierne gule zn = 9 k dispozícii. Počet spôsobov, ako to urobiť, jeC 9 2 = ... = 36.

Podobne v druhom prípade volímek = 2 červené gule zn = 7 možných. Počet ciest je rovnakýC 7 2 = ... = 21.

Zostáva nájsť celkový počet spôsobov. Keďže možnosti s čiernymi a červenými loptičkami sa navzájom vylučujú, podľa zákona sčítania máme:X = 36 + 21 = 57.

Odpoveď57

Úloha

V stánku sa predáva 15 ruží a 18 tulipánov. Žiak 9. ročníka chce kúpiť spolužiakovi 3 kvety a všetky kvety musia byť rovnaké. Na koľko spôsobov dokáže vyrobiť takúto kyticu?

Riešenie

Podľa stavu musia byť všetky kvety rovnaké. To znamená, že kúpime buď 3 ruže alebo 3 tulipány. každopádne,k = 3.

V prípade ruží budete mať z čoho vyberaťn = 15 možností, takže počet kombinácií jeC 15 3 = ... = 455. Pre tulipányn = 18 a počet kombinácií jeC 18 3 = ... = 816.

Keďže ruže a tulipány sa navzájom vylučujú, pracujeme podľa zákona sčítania. Dostaneme celkový počet možnostíX = 455 + 816 = 1271. Toto je odpoveď.

Odpoveď

1271

Ďalšie podmienky a obmedzenia

Text problému veľmi často obsahuje ďalšie podmienky, ktoré ukladajú značné obmedzenia na kombinácie, ktoré nás zaujímajú. Porovnaj dve vety:

K dispozícii je sada 5 pier v rôznych farbách. Koľkými spôsobmi si môžete vybrať 3 perá na obrys kresby?

K dispozícii je sada 5 pier v rôznych farbách. Koľkými spôsobmi si môžete vybrať 3 perá na obrys kresby, ak jedno z nich musí byť červené?

V prvom prípade máme právo vziať si akékoľvek farby, ktoré sa nám páčia - neexistujú žiadne ďalšie obmedzenia. V druhom prípade je všetko komplikovanejšie, pretože sme povinní vybrať si červené pero (predpokladá sa, že je v pôvodnej súprave).

Je zrejmé, že akékoľvek obmedzenia výrazne znižujú konečný počet možností. Ako zistíte počet kombinácií v tomto prípade? Len si zapamätajte toto pravidlo:

Nech je súborn prvky, z ktorých si môžete vybraťk prvkov. Pri zavádzaní ďalších obmedzení počtun Ak znížiť o rovnakú sumu.

Inými slovami, ak si z 5 pier potrebujete vybrať 3 a jedno z nich by malo byť červené, budete si musieť vybrať zn = 5 − 1 = 4 prvky každýk = 3 − 1 = 2 prvky. Takže namiesto tohoC 5 3 treba počítaťC 4 2 .

Teraz sa pozrime, ako toto pravidlo funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha

V skupine 20 študentov, z toho 2 vynikajúci študenti, musíte vybrať 4 ľudí, ktorí sa zúčastnia konferencie. Koľkými spôsobmi možno vybrať týchto štyroch, ak sa na konferenciu musia dostať vynikajúci študenti?

Riešenie

Existuje teda skupinan = 20 študentov. Ale treba si len vybraťk = 4 z nich. Ak by neexistovali žiadne ďalšie obmedzenia, potom by sa počet možností rovnal počtu kombináciíC 20 4 .

Dostali sme však dodatočnú podmienku: medzi týmito štyrmi musia byť 2 výborní študenti. Takže podľa vyššie uvedeného pravidla znižujeme číslan Ak od 2. Máme:

Odpoveď

153

Úloha

Peťa má vo vrecku 8 mincí, z toho 6 rubľových a 2 10 rubľové. Peťa presunie nejaké tri mince do iného vrecka. Koľkými spôsobmi to môže Peťa urobiť, ak je známe, že obe 10 rubľové mince skončili v druhom vrecku?

Riešenie

Takže existujen = 8 mincí. Peťa sa posúvak = 3 mince, z ktorých 2 sú desaťrubľové mince. Ukazuje sa, že z 3 mincí, ktoré budú prevedené, 2 už boli opravené, takže číslan Ak treba znížiť o 2. Máme:

Odpoveď

III . Riešenie kombinovaných úloh pomocou vzorcov kombinatoriky a teórie pravdepodobnosti

Úloha

Petya mal vo vrecku 4 ruble a 2 ruble. Peťa bez toho, aby sa pozrel, preložil nejaké tri mince do iného vrecka. Nájdite pravdepodobnosť, že obe dvojrubľové mince sú v rovnakom vrecku.

Riešenie

Predpokladajme, že obe dvojrubľové mince skutočne skončili v tom istom vrecku, potom sú možné 2 možnosti: buď ich Peťa nepreviedol vôbec, alebo previedol obe naraz.

V prvom prípade, keď sa dvojrubľové mince neposunuli, budete musieť posunúť 3 rubľové mince. Keďže sú celkovo 4 takéto mince, počet spôsobov, ako to urobiť, sa rovná počtu kombinácií 4 x 3:C 4 3 .

V druhom prípade, keď boli prevedené obe dvojrubľové mince, bude potrebné previesť ďalšiu rubľovú mincu. Musí sa vybrať zo 4 existujúcich a počet spôsobov, ako to urobiť, sa rovná počtu kombinácií 4 x 1:C 4 1 .

Teraz poďme nájsť celkový počet spôsobov, ako zmeniť usporiadanie mincí. Keďže je spolu 4 + 2 = 6 mincí a stačí si vybrať 3 z nich, celkový počet možností sa rovná počtu kombinácií 6 x 3:C 6 3 .

Zostáva nájsť pravdepodobnosť:

Odpoveď

0,4

Ukážte na interaktívnej tabuli. Venujte pozornosť tomu, že podľa podmienok problému Petya bez toho, aby sa pozrel, vložil tri mince do jedného vrecka. Pri odpovedi na túto otázku môžeme predpokladať, že dve dvojrubľové mince skutočne zostali v jednom vrecku. Pozrite si vzorec na pridávanie pravdepodobností. Znova ukáž vzorec.

Úloha

Petya mal vo vrecku 2 mince po 5 rubľov a 4 mince po 10 rubľov. Peťa bez toho, aby sa pozrel, preložil nejaké 3 mince do iného vrecka. Nájdite pravdepodobnosť, že päťrubľové mince sú teraz v rôznych vreckách.

Riešenie

Ak chcete mať päťrubľové mince v rôznych vreckách, musíte presunúť iba jednu z nich. Počet spôsobov, ako to urobiť, sa rovná počtu kombinácií 2 x 1:C 2 1 .

Keďže Petya posunul celkovo 3 mince, bude musieť presunúť ďalšie 2 mince po 10 rubľov. Petya má 4 takéto mince, takže počet spôsobov sa rovná počtu kombinácií 4 x 2:C 4 2 .

Zostáva zistiť, koľko možností je na prevod 3 mincí zo 6 dostupných. Toto množstvo, rovnako ako v predchádzajúcom probléme, sa rovná počtu kombinácií 6 x 3:C 6 3 .

Nájdeme pravdepodobnosť:

V poslednom kroku sme znásobili počet spôsobov výberu dvojrubľových mincí a počet spôsobov výberu desaťrubľových mincí, keďže tieto udalosti sú nezávislé.

Odpoveď

0,6

Takže problémy s mincami majú svoj vlastný vzorec pravdepodobnosti. Je taký jednoduchý a dôležitý, že ho možno sformulovať ako vetu.

Veta

Nechajte si hodiť mincoun raz. Potom je pravdepodobnosť, že hlavy presne pristanúk krát, možno nájsť pomocou vzorca:

KdeC n k - počet kombináciín prvky podľak , ktorý sa vypočíta podľa vzorca:

Na vyriešenie problému s mincami teda potrebujete dve čísla: počet hodov a počet hláv. Najčastejšie sú tieto čísla uvedené priamo v texte úlohy. Navyše nezáleží na tom, čo presne počítate: chvosty alebo hlavy. Odpoveď bude rovnaká.

Na prvý pohľad sa veta zdá príliš ťažkopádna. Ale akonáhle si trochu zacvičíte, už sa nebudete chcieť vrátiť k vyššie opísanému štandardnému algoritmu.

Minca sa hodí štyrikrát. Nájdite pravdepodobnosť, že dostanete hlavy presne trikrát.

Riešenie

Podľa problému boli celkové hodyn = 4. Požadovaný počet orlov:k = 3. Náhradníkn Ak do vzorca:

Rovnako ľahko môžete spočítať počet hláv:k = 4 − 3 = 1. Odpoveď bude rovnaká.

Odpoveď

0,25

Úloha [Pracovný zošit „Jednotná štátna skúška 2012 z matematiky. Problémy B6"]

Minca sa hodí trikrát. Nájdite pravdepodobnosť, že nikdy nedostanete hlavy.

Riešenie

Znovu vypisujte číslan Ak . Keďže minca sa hodí 3 krát,n = 3. A keďže by nemali byť hlavy,k = 0. Zostáva dosadiť číslan Ak do vzorca:

Dovoľte mi pripomenúť, že 0! = 1 podľa definície. PretoC 3 0 = 1.

Odpoveď

0,125

Problém [Skúšobná jednotná štátna skúška z matematiky 2012. Irkutsk]

V náhodnom experimente sa 4-krát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že hlavy sa objavia viackrát ako chvosty.

Riešenie

Aby bolo hláv viac ako chvostov, musia sa objaviť buď 3-krát (vtedy bude 1 chvost) alebo 4-krát (vtedy nebudú žiadne chvosty). Nájdite pravdepodobnosť každej z týchto udalostí.

Nechajp 1 - pravdepodobnosť, že sa hlavy objavia 3-krát. Potomn = 4, k = 3. Máme:

Teraz poďme nájsťp 2 - pravdepodobnosť, že sa hlavy objavia všetky 4-krát. V tomto prípaden = 4, k = 4. Máme:

Na získanie odpovede zostáva už len sčítať pravdepodobnostip 1 Ap 2 . Pamätajte: môžete pridať iba pravdepodobnosti pre vzájomne sa vylučujúce udalosti. Máme:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Odpoveď

0,3125

Aby sme vám ušetrili čas pri príprave s chalanmi na jednotnú štátnu skúšku a štátnu skúšku, predstavili sme vám riešenia mnohých ďalších problémov, ktoré si môžete vybrať a vyriešiť s chlapmi.

Materiály Štátneho skúšobného ústavu, Jednotná štátna skúška rôznych ročníkov, učebnice a webové stránky.

IV. Referenčný materiál

Pravdepodobnosť. Problémy profilovej Jednotnej štátnej skúšky z matematiky.

Pripravila učiteľka matematiky na MBOU „Lýceum č. 4“, Ruzaevka

Ovchinnikova T.V.

Definícia pravdepodobnosti

Pravdepodobnosť udalosti A sa nazývajú pomer čísel m výsledky priaznivé pre túto udalosť k celkovému počtu n všetky rovnako možné nezlučiteľné udalosti, ktoré sa môžu vyskytnúť ako výsledok jedného testu alebo pozorovania:

Nechaj k – počet hodov mincou, potom počet možných výsledkov: n=2 k .

Nechaj k – počet hodov kockou, potom počet možných výsledkov: n=6 k .

V náhodnom experimente sa dvakrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že sa hlavy objavia presne raz.

Riešenie.

Sú len 4 možnosti: O; o o; r r; r r; O .

Priaznivá 2: O; R A R; O .

Pravdepodobnosť je 2/4 = 1/2 = 0,5 .

Odpoveď: 0,5.

V náhodnom experimente sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 8 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.

Riešenie.

Kocky sú kocky so 6 stranami. Prvá kocka môže hodiť 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6 bodov. Každá bodovacia možnosť zodpovedá 6 bodovacím možnostiam na druhej kocke.

Tie. celkový počet rôznych možností 6×6 = 36.

Možnosti (výsledky experimentu) budú nasledovné:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

atď. ...................................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Spočítajme počet výsledkov (možností), pri ktorých je súčet bodov dvoch kociek 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

Celkom je 5 možností.

Nájdite pravdepodobnosť: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.

Odpoveď: 0,14.

V zbierke lístkov na biológiu je len 55 lístkov, z toho 11 obsahuje otázku z botaniky. Nájdite pravdepodobnosť, že študent dostane otázku z botaniky na náhodne vybranom lístku na skúšku.

Riešenie:

Pravdepodobnosť, že študent dostane otázku z botaniky na náhodne vybranom testovacom lístku je 11/55 = 1/5 = 0,2.

Odpoveď: 0,2.

Na gymnastickom šampionáte sa zúčastňuje 20 športovcov: 8 z Ruska, 7 z USA, zvyšok z Číny. Poradie, v ktorom gymnastky vystúpia, určí žreb. Nájdite pravdepodobnosť, že prvý súťažiaci športovec pochádza z Číny.

Riešenie.

Celkovo sa zúčastňuje 20 športovcov,

z toho 20 – 8 – 7 = 5 športovcov z Číny.

Pravdepodobnosť, že prvý súťažiaci športovec bude z Číny, je 5/20 = 1/4 = 0,25.

Odpoveď: 0,25.

Vedecká konferencia trvá 5 dní. Celkovo je naplánovaných 75 správ - prvé tri dni obsahujú 17 správ, ostatné sú rovnomerne rozdelené medzi štvrtý a piaty deň. Poradie správ je určené žrebovaním. Aká je pravdepodobnosť, že správa profesora M. bude naplánovaná na posledný deň konferencie?

Riešenie:

Je naplánovaný na posledný deň konferencie

(75 – 17 × 3) : 2 = 12 správ.

Pravdepodobnosť, že správa profesora M. bude naplánovaná na posledný deň konferencie, je 12/75 = 4/25 = 0,16.

Odpoveď: 0,16.

Pred začiatkom prvého kola bedmintonového šampionátu sú účastníci náhodne rozdelení do hracích dvojíc pomocou žrebov. Celkovo sa na šampionáte zúčastňuje 26 bedmintonistov, z toho 10 účastníkov z Ruska vrátane Ruslana Orlova. Nájdite pravdepodobnosť, že v prvom kole si Ruslan Orlov zahrá s nejakým bedmintonistom z Ruska?

Riešenie:

Treba brať do úvahy, že Ruslan Orlov musí hrať s nejakým bedmintonistom z Ruska. A samotný Ruslan Orlov je tiež z Ruska.

Pravdepodobnosť, že si v prvom kole zahrá Ruslan Orlov s ktorýmkoľvek bedmintonistom z Ruska, je 9/25 = 36/100 = 0,36.

Odpoveď: 0,36.

Dáša hádže kockou dvakrát. Celkovo získala 8 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že pri prvom hode získate 2 body.

Riešenie.

Na dvoch kockách by sa malo objaviť spolu 8 bodov. Je to možné, ak existujú nasledujúce kombinácie:

Celkom je 5 možností. Spočítajme počet výsledkov (možností), v ktorých boli získané 2 body pri prvom hode.

Toto je možnosť 1.

Nájdite pravdepodobnosť: 1/5 = 0,2.

Odpoveď: 0,2.

Majstrovstiev sveta sa zúčastňuje 20 tímov. Pomocou žrebov ich treba rozdeliť do piatich skupín po štyri tímy. V krabici sú zmiešané karty s číslami skupín:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Kapitáni tímov si ťahajú po jednej karte. Aká je pravdepodobnosť, že ruský tím bude v tretej skupine.

Riešenie:

Celkovo je 20 tímov, 5 skupín.

Každá skupina má 4 tímy.

Celkovo je teda 20 výsledkov, tie, ktoré potrebujeme, sú 4, čo znamená, že pravdepodobnosť dosiahnutia požadovaného výsledku je 4/20 = 0,2.

Odpoveď: 0,2.

Dve továrne vyrábajú rovnaké sklá pre svetlomety automobilov. Prvá továreň vyrába 45 % týchto okuliarov, druhá 55 %. Prvá továreň vyrába 3 % chybného skla a druhá – 1 %. Nájdite pravdepodobnosť, že sklo náhodne zakúpené v obchode bude chybné.

Riešenie:

Pravdepodobnosť, že sklo bolo zakúpené v prvej továrni a je chybné:

R 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Pravdepodobnosť, že sklo bolo zakúpené v druhej továrni a je chybné:

R 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Preto podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti sa pravdepodobnosť, že sklo náhodne zakúpené v obchode bude chybné, rovná

p = p 1 + p 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Odpoveď: 0,019.

Ak hrá veľmajster A. biely, potom vyhráva proti veľmajstrovi B. s pravdepodobnosťou 0,52. Ak A. hrá čiernymi, potom A. vyhrá proti B. s pravdepodobnosťou 0,3.

Veľmajstri A. a B. hrajú dve hry a v druhej hre menia farbu figúrok. Nájdite pravdepodobnosť, že A. vyhrá v oboch prípadoch.

Riešenie:

Možnosť vyhrať prvú a druhú hru na sebe nezávisí. Pravdepodobnosť súčinu nezávislých udalostí sa rovná súčinu ich pravdepodobností:

p = 0,52 · 0,3 = 0,156.

Odpoveď: 0,156.

Biatlonista strieľa na terče päťkrát. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že biatlonista tri razy zasiahne terče ako prvý a dva razy minul. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.

Riešenie:

Výsledok každého ďalšieho výstrelu nezávisí od predchádzajúcich. Preto udalosti „zásah na prvý výstrel“, „zásah na druhý výstrel“ atď. nezávislý.

Pravdepodobnosť každého zásahu je 0,8. To znamená, že pravdepodobnosť netrafenia je 1 – 0,8 = 0,2.

1 strela: 0,8

2 strely: 0,8

3 strely: 0,8

4 strely: 0,2

5 výstrelov: 0,2

Pomocou vzorca na vynásobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí zistíme, že požadovaná pravdepodobnosť sa rovná:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Odpoveď: 0,02.

V predajni sú dva platobné automaty. Každý z nich môže byť chybný s pravdepodobnosťou 0,05, bez ohľadu na druhý stroj. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň jeden stroj funguje.

Riešenie:

Nájdite pravdepodobnosť, že oba stroje sú chybné.

Tieto udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich výskytu sa rovná súčinu pravdepodobnosti týchto udalostí:

0,05 · 0,05 = 0,0025.

Udalosť spočívajúca v tom, že aspoň jeden stroj pracuje, naopak.

Preto sa jeho pravdepodobnosť rovná

1 − 0,0025 = 0,9975.

Odpoveď: 0,9975.

Kovboj John má šancu zasiahnuť muchu na stene 0,9, ak vystrelí z revolvera s nulou. Ak John vystrelí z nevystreleného revolveru, zasiahne muchu s pravdepodobnosťou 0,2. Na stole je 10 revolverov, z ktorých sú len 4 prestrelené. Kovboj John vidí muchu na stene, náhodne schmatne prvý revolver, na ktorý narazí, a muchu vystrelí. Nájdite pravdepodobnosť, že John netrafí.

Riešenie:

Pravdepodobnosť, že John vynechá, ak chytí vynulovaný revolver, je:

0,4 (1 − 0,9) = 0,04

Pravdepodobnosť, že John vynechá, ak schmatne nevystrelený revolver, je:

0,6 · (1 − 0,2) = 0,48

Tieto udalosti sú nezlučiteľné, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Odpoveď: 0,52.

Počas delostreleckej paľby automatický systém vystrelí strelu na cieľ. Ak cieľ nie je zničený, systém vypáli druhý výstrel. Výstrely sa opakujú, kým nie je cieľ zničený. Pravdepodobnosť zničenia určitého cieľa pri prvom výstrele je 0,4 a pri každom ďalšom výstrele je 0,6. Koľko výstrelov bude potrebných, aby sa zabezpečilo, že pravdepodobnosť zničenia cieľa je aspoň 0,98?

Riešenie:

Problém môžete vyriešiť „akciou“ vypočítaním pravdepodobnosti prežitia po sérii po sebe nasledujúcich chýb:

P(l) = 0,6;

P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;

P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;

P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;

P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.

Posledná pravdepodobnosť je menšia ako 0,02, takže päť výstrelov na cieľ stačí.

odpoveď: 5.

V triede je 26 ľudí, medzi nimi dve dvojčatá - Andrey a Sergey. Trieda je náhodne rozdelená do dvoch skupín po 13 ľudí. Nájdite pravdepodobnosť, že Andrey a Sergey budú v rovnakej skupine.

Riešenie:

Nech je jedno z dvojčiat v nejakej skupine.

Spolu s ním bude v skupine 12 ľudí z 25 zostávajúcich spolužiakov.

Pravdepodobnosť, že druhé dvojča bude medzi týmito 12 ľuďmi, je

P = 12:25 = 0,48.

Odpoveď: 0,48.

Na obrázku je labyrint. Pavúk sa plazí do bludiska pri vstupnom bode. Pavúk sa nemôže otočiť a plaziť sa späť, preto si pavúk pri každom konári vyberie jednu z ciest, po ktorej sa ešte neplazil. Za predpokladu, že výber ďalšej cesty je čisto náhodný, určite, s akou pravdepodobnosťou sa pavúk dostane k východu D.

Riešenie:

Na každej zo štyroch označených vidlíc si pavúk môže vybrať buď cestu vedúcu k východu D alebo inú cestu s pravdepodobnosťou 0,5. Ide o nezávislé udalosti, pravdepodobnosť ich výskytu (pavúk sa dostane k východu D) sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí. Preto je pravdepodobnosť príchodu k východu D (0,5) 4 = 0,0625.

Pozor na uchádzačov! Tu sa diskutuje o niekoľkých úlohách USE. Ostatné, zaujímavejšie, sú v našom bezplatnom videu. Sledujte a robte!

Začneme jednoduchými problémami a základnými pojmami teórie pravdepodobnosti.
Náhodný Udalosť, ktorá sa nedá vopred presne predpovedať, sa nazýva. Buď sa to môže stať, alebo nie.
Vyhrali ste v lotérii - náhodná udalosť. Pozvali ste priateľov, aby oslávili vašu výhru a na ceste k vám uviazli vo výťahu – tiež náhodná udalosť. Pravda, pán sa ukázal byť nablízku a za desať minút vyslobodil celú rotu – a aj to sa dá považovať za šťastnú náhodu...

Náš život je plný náhodných udalostí. O každom z nich môžeme povedať, že s niektorými sa to stane pravdepodobnosť. S najväčšou pravdepodobnosťou tento koncept intuitívne poznáte. Teraz uvedieme matematickú definíciu pravdepodobnosti.

Začnime s najjednoduchším príkladom. Hoďte si mincou. Hlavy alebo chvosty?

Takáto akcia, ktorá môže viesť k jednému z niekoľkých výsledkov, sa v teórii pravdepodobnosti nazýva test.

Hlavy a chvosty - dve možné výsledok testy.

Hlavy vypadnú v jednom prípade z dvoch možných. To hovoria pravdepodobnosťže minca pristane na hlavách je .

Hodíme kockou. Kocka má šesť strán, takže existuje aj šesť možných výsledkov.

Napríklad ste si priali, aby sa objavili tri body. Toto je jeden výsledok zo šiestich možných. V teórii pravdepodobnosti to bude tzv priaznivý výsledok.

Pravdepodobnosť získania trojky je rovnaká (jeden priaznivý výsledok zo šiestich možných).

Pravdepodobnosť štyroch je tiež

Ale pravdepodobnosť, že sa objaví sedmička, je nulová. Koniec koncov, na kocke nie je hrana so siedmimi bodmi.

Pravdepodobnosť udalosti sa rovná pomeru počtu priaznivých výsledkov k celkovému počtu výsledkov.

Je zrejmé, že pravdepodobnosť nemôže byť väčšia ako jedna.

Tu je ďalší príklad. Vo vrecúšku sú jablká, niektoré sú červené, ostatné zelené. Jablká sa nelíšia tvarom ani veľkosťou. Strčíš ruku do tašky a náhodne vyberieš jablko. Pravdepodobnosť nakreslenia červeného jablka sa rovná a pravdepodobnosť nakreslenia zeleného jablka sa rovná .

Pravdepodobnosť získania červeného alebo zeleného jablka je rovnaká.

Analyzujme problémy v teórii pravdepodobnosti zahrnuté v zbierkach na prípravu na jednotnú štátnu skúšku.

. Taxi spoločnosť má momentálne voľné autá: červené, žlté a zelené. Na výzvu zareagovalo jedno z áut, ktoré bolo náhodou najbližšie k zákazníkovi. Nájdite pravdepodobnosť, že k nej príde žltý taxík.

Aut je celkovo, teda jedno z pätnástich príde k zákazníkovi. Je ich deväť žltých, čo znamená, že pravdepodobnosť príchodu žltého auta sa rovná , teda.

. (Demo verzia) V zbierke lístkov na biológiu všetkých lístkov, v dvoch z nich je otázka na huby. Počas skúšky študent dostane jeden náhodne vybraný tiket. Nájdite pravdepodobnosť, že tento lístok nebude obsahovať otázku o hubách.

Je zrejmé, že pravdepodobnosť vyžrebovania tiketu bez opýtania sa na huby sa rovná , teda .

. Rodičovský výbor zakúpil na konci školského roka deťom za darčeky puzzle, medzi ktorými boli obrazy známych umelcov a obrázky zvieratiek. Darčeky sa rozdávajú náhodne. Nájdite pravdepodobnosť, že Vovochka dostane hádanku so zvieratkom.

Problém sa rieši podobným spôsobom.

Odpoveď: .

. Na gymnastickom šampionáte sa zúčastňujú športovci z Ruska, USA a zvyšok z Číny. Poradie, v ktorom gymnastky vystúpia, určí žreb. Nájdite pravdepodobnosť, že posledný súťažiaci športovec je z Číny.

Predstavme si, že všetci športovci súčasne pristúpili k klobúku a vytiahli z neho papieriky s číslami. Niektorí z nich dostanú číslo dvadsať. Pravdepodobnosť, že ju vytiahne čínsky športovec, je rovnaká (keďže športovci sú z Číny). Odpoveď: .

. Študent bol požiadaný, aby pomenoval číslo od do. Aká je pravdepodobnosť, že pomenuje číslo, ktoré je násobkom piatich?

Každý piatyčíslo z tejto množiny je deliteľné . To znamená, že pravdepodobnosť sa rovná .

Hodí sa kocka. Nájdite pravdepodobnosť získania nepárneho počtu bodov.

Nepárne čísla; - dokonca. Pravdepodobnosť nepárneho počtu bodov je .

Odpoveď: .

. Minca sa hodí trikrát. Aká je pravdepodobnosť dvoch hláv a jedného chvosta?

Všimnite si, že problém môže byť formulovaný inak: boli hodené tri mince súčasne. Toto rozhodnutie neovplyvní.

Koľko si myslíte, že existuje možných výsledkov?

Hodíme si mincou. Táto akcia má dva možné výsledky: hlavy a chvosty.

Dve mince – už štyri výsledky:

Tri mince? Presne tak, výsledky, keďže .

Dve hlavy a jeden chvost sa objavia trikrát z ôsmich.

Odpoveď: .

. V náhodnom experimente sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.

Hodíme prvou kockou - šesť výsledkov. A pre každého z nich je možných šesť ďalších - keď hodíme druhú kocku.

Zistili sme, že táto akcia – hod dvomi kockami – má celkom možné výsledky, keďže .

A teraz - priaznivé výsledky:

Pravdepodobnosť získania ôsmich bodov je .

>. Strelec s pravdepodobnosťou zasiahne cieľ. Nájdite pravdepodobnosť, že zasiahne cieľ štyrikrát za sebou.

Ak je pravdepodobnosť zásahu rovnaká, potom je pravdepodobnosť nezdaru . Uvažujeme rovnako ako v predchádzajúcom probléme. Pravdepodobnosť dvoch zásahov za sebou je rovnaká. A pravdepodobnosť štyroch zásahov za sebou je rovnaká.

Pravdepodobnosť: logika hrubej sily.

Tu je problém z diagnostickej práce, ktorý mnohí ľudia považovali za ťažký.

Peťa mal vo vrecku mince v hodnote rubľov a mince v hodnote rubľov. Petya bez toho, aby sa pozrel, preložil pár mincí do iného vrecka. Nájdite pravdepodobnosť, že päťrubľové mince sú teraz v rôznych vreckách.

Vieme, že pravdepodobnosť udalosti sa rovná pomeru počtu priaznivých výsledkov k celkovému počtu výsledkov. Ale ako vypočítať všetky tieto výsledky?

Môžete samozrejme označiť päťrubľové mince číslami a desaťrubľové mince číslami - a potom spočítať, koľkými spôsobmi môžete vybrať tri prvky zo sady.

Existuje však jednoduchšie riešenie:

Mince kódujeme číslami: , (sú to päťrubľové mince), (sú to desaťrubľové mince). Problémový stav možno teraz formulovať takto:

Existuje šesť žetónov s číslami od do . Koľkými spôsobmi sa dajú rovnomerne rozdeliť do dvoch vreciek, aby žetóny s číslami neskončili spolu?

Zapíšme si, čo máme v prvom vrecku.

K tomu si poskladáme zo sady všetky možné kombinácie. Sada troch žetónov bude trojmiestne číslo. Je zrejmé, že v našich podmienkach sú rovnaké čipy. Aby sme nič nezmeškali alebo sa neopakovali, usporiadame zodpovedajúce trojciferné čísla vo vzostupnom poradí:

Všetky! Prešli sme všetkými možnými kombináciami počnúc . Pokračujme:

Celkové možné výsledky.

Máme podmienku - žetóny s číslami by nemali byť spolu. To znamená, že nám napríklad nevyhovuje kombinácia – to znamená, že oba žetóny skončili nie v prvom, ale v druhom vrecku. Výsledky, ktoré sú pre nás priaznivé, sú tie, kde je buď len, alebo len . Tu sú:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – celkovo priaznivé výsledky.

Potom sa požadovaná pravdepodobnosť rovná .

Aké úlohy vás čakajú na Jednotnej štátnej skúške z matematiky?

Analyzujme jeden zo zložitých problémov teórie pravdepodobnosti.

Na prijatie do ústavu pre odbor „lingvistika“ musí uchádzač Z. získať najmenej 70 bodov na jednotnej štátnej skúške z každého z troch predmetov – matematika, ruský jazyk a cudzí jazyk. Ak sa chcete zapísať do špecializácie „Obchod“, musíte získať najmenej 70 bodov v každom z troch predmetov - matematika, ruský jazyk a spoločenské vedy.

Pravdepodobnosť, že uchádzač Z. získa aspoň 70 bodov z matematiky je 0,6, z ruštiny - 0,8, z cudzieho jazyka - 0,7 a zo spoločenských vied - 0,5.
Nájdite pravdepodobnosť, že sa Z. bude môcť zapísať aspoň na jeden z dvoch uvedených odborov.

Všimnite si, že problém sa nepýta, či uchádzač menom Z. bude študovať súčasne lingvistiku aj obchod a získa dva diplomy. Tu musíme nájsť pravdepodobnosť, že sa Z. bude môcť zapísať aspoň na jednu z týchto dvoch špecializácií - to znamená, že získa potrebný počet bodov.
Na zapísanie aspoň jednej z dvoch špecializácií musí Z. získať aspoň 70 bodov z matematiky. A v ruštine. A tiež - sociálne štúdiá alebo zahraničné.
Pravdepodobnosť, že získa 70 bodov z matematiky je 0,6.
Pravdepodobnosť dosiahnutia bodov v matematike a ruštine je 0,6 0,8.

Venujme sa cudzím a spoločenským štúdiám. Vyhovujú nám možnosti, keď uchádzač zabodoval v sociálnych štúdiách, zahraničných štúdiách alebo v oboch. Možnosť nie je vhodná, ak nezískal žiadne body ani v jazyku, ani v „spoločnosti“. To znamená, že pravdepodobnosť úspešného absolvovania spoločenských štúdií alebo cudzieho jazyka s minimálne 70 bodmi sa rovná
1 – 0,5 0,3.
V dôsledku toho je pravdepodobnosť absolvovania matematiky, ruštiny a spoločenských vied alebo zahraničia rovnaká
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Toto je odpoveď.

Klasická definícia pravdepodobnosti

Náhodná udalosť – akákoľvek udalosť, ktorá môže alebo nemusí nastať v dôsledku nejakej skúsenosti.

Pravdepodobnosť udalosti R rovná pomeru počtu priaznivých výsledkov k na počet možných výsledkov n, t.j.

p=\frac(k)(n)

Vzorce na sčítanie a násobenie teórie pravdepodobnosti

Udalosť \bar(A) volal oproti udalosti A, ak udalosť A nenastala.

Súčet pravdepodobností opačných dejov sa rovná jednej, t.j.

P(\bar(A)) + P(A) =1

Pravdepodobnosť udalosti nemôže byť väčšia ako 1.
Ak je pravdepodobnosť udalosti 0, nenastane.
Ak je pravdepodobnosť udalosti 1, stane sa.

Pravdepodobná veta sčítania:

"Pravdepodobnosť súčtu dvoch nezlučiteľných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí."

P(A+B) = P(A) + P(B)

Pravdepodobnosť sumy dve spoločné podujatia rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí bez zohľadnenia ich spoločného výskytu:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Veta o násobení pravdepodobnosti

"Pravdepodobnosť výskytu dvoch udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich a podmienenej pravdepodobnosti druhej, vypočítanej za podmienky, že prvá nastala."

P(AB)=P(A)*P(B)

Diania sa volajú nezlučiteľné, ak vzhľad jedného z nich vylučuje vzhľad ostatných. To znamená, že sa môže stať iba jedna alebo druhá konkrétna udalosť.

Diania sa volajú kĺb, ak výskyt jedného z nich nevylučuje výskyt druhého.

Dve náhodné udalosti A a B sa nazývajú nezávislý, ak výskyt jedného z nich nemení pravdepodobnosť výskytu druhého. Inak sa udalosti A a B nazývajú závislé.

V-6-2014 (všetkých 56 prototypov z banky Unified State Exam)

Byť schopný zostaviť a študovať najjednoduchšie matematické modely (teória pravdepodobnosti)

1.V náhodnom pokuse sa hádžu dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bude 8 bodov. Výsledok zaokrúhlite na stotiny. Riešenie: Počet výsledkov, v ktorých sa ako výsledok hodu kockou objaví 8 bodov, je 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Každá kocka má šesť možných hodov, takže celkový počet výsledkov je 6·6 = 36. Pravdepodobnosť hodu celkom 8 je teda 5: 36=0,138...=0,14

2. Pri náhodnom pokuse sa dvakrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že sa hlavy objavia presne raz. Riešenie: Existujú 4 rovnako možné výsledky experimentu: hlavy – hlavy, hlavy – chvosty, chvosty – hlavy, chvosty – chvosty. Hlavy sa objavujú presne raz v dvoch prípadoch: hlavy-chvosty a chvosty-hlavy. Pravdepodobnosť, že sa hlavy objavia presne raz, je teda 2: 4 = 0,5.

3. Na gymnastickom šampionáte sa zúčastňuje 20 pretekárok: 8 z Ruska, 7 z USA, zvyšok z Číny. Poradie, v ktorom gymnastky vystúpia, určí žreb. Nájdite pravdepodobnosť, že prvý súťažiaci športovec pochádza z Číny. Riešenie: Zúčastňuje sa šampionátušportovcov z Číny. Potom pravdepodobnosť, že športovec, ktorý bude súťažiť ako prvý, bude z Číny, je 5: 20 = 0,25

4. V priemere z 1000 predaných záhradných čerpadiel 5 uniká. Nájdite pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neuniká. Riešenie: V priemere z 1 000 predaných záhradných čerpadiel 1 000 − 5 = 995 netečie. To znamená, že pravdepodobnosť, že jedno čerpadlo náhodne vybrané na kontrolu neunikne, sa rovná 995: 1000 = 0,995

5. Továreň vyrába tašky. V priemere na 100 kvalitných tašiek pripadá osem tašiek so skrytými chybami. Nájdite pravdepodobnosť, že zakúpená taška bude vysoko kvalitná. Výsledok zaokrúhlite na stotiny. Riešenie: Podľa stavu na 100 + 8 = 108 vriec pripadá 100 kvalitných vriec. To znamená, že pravdepodobnosť, že zakúpená taška bude kvalitná, je 100: 108 =0,925925...= 0,93

6. Súťaže vo vrhu guľou sa zúčastňujú 4 pretekári z Fínska, 7 pretekárov z Dánska, 9 pretekárov zo Švédska a 5 z Nórska. Poradie, v ktorom súťažiaci súťažia, je určené žrebom. Nájdite pravdepodobnosť, že posledný súťažiaci športovec pochádza zo Švédska. Riešenie: Celkovo sa súťaže zúčastňuje 4 + 7 + 9 + 5 = 25 pretekárov. To znamená, že pravdepodobnosť, že športovec, ktorý bude súťažiť ako posledný, bude zo Švédska, je 9:25 = 0,36

7. Vedecká konferencia trvá 5 dní. Celkovo je naplánovaných 75 správ - prvé tri dni obsahujú 17 správ, ostatné sú rovnomerne rozdelené medzi štvrtý a piaty deň. Poradie správ je určené žrebovaním. Aká je pravdepodobnosť, že správa profesora M. bude naplánovaná na posledný deň konferencie? Riešenie: Za prvé tri dni sa prečíta 51 správ, na posledné dva dni je naplánovaných 24 správ. Na posledný deň je preto naplánovaných 12 hlásení. To znamená, že pravdepodobnosť, že správa profesora M. bude naplánovaná na posledný deň konferencie, je 12: 75 = 0,16

8. Súťaž účinkujúcich trvá 5 dní. Celkovo je ohlásených 80 predstavení – jedno z každej krajiny. Prvý deň je 8 predstavení, ostatné sú rovnomerne rozdelené medzi zvyšné dni. Poradie výkonov sa určuje žrebovaním. Aká je pravdepodobnosť, že sa v tretí súťažný deň predstaví ruský reprezentant? Riešenie: Naplánovaný na tretí deňprejavy. To znamená, že pravdepodobnosť, že vystúpenie reprezentanta z Ruska bude naplánované na tretí deň súťaže, je 18:80 = 0,225.

9. Na seminár prišli 3 vedci z Nórska, 3 z Ruska a 4 zo Španielska. Poradie správ je určené žrebovaním. Nájdite pravdepodobnosť, že ôsma správa bude správou vedca z Ruska. Riešenie: Celkovo sa seminára zúčastňuje 3 + 3 + 4 = 10 vedcov, čo znamená, že pravdepodobnosť, že vedec, ktorý hovorí ôsmy, bude z Ruska, je 3:10 = 0,3.

10. Pred začiatkom prvého kola bedmintonového šampionátu sú účastníci náhodne rozdelení do hracích dvojíc pomocou žrebov. Celkovo sa na šampionáte zúčastňuje 26 bedmintonistov, z toho 10 účastníkov z Ruska vrátane Ruslana Orlova. Nájdite pravdepodobnosť, že v prvom kole si Ruslan Orlov zahrá s nejakým bedmintonistom z Ruska? Riešenie: V prvom kole môže Ruslan Orlov hrať s 26 − 1 = 25 bedmintonistami, z toho 10 − 1 = 9 z Ruska. To znamená, že pravdepodobnosť, že v prvom kole si Ruslan Orlov zahrá s akýmkoľvek bedmintonistom z Ruska, je 9:25 = 0,36.

11. V zbierke lístkov na biológiu je len 55 lístkov, z toho 11 obsahuje otázku z botaniky. Nájdite pravdepodobnosť, že študent dostane otázku z botaniky na náhodne vybranom lístku na skúšku. Riešenie: 11:55 = 0,2

12. Na potápačskom šampionáte účinkuje 25 športovcov, medzi nimi 8 skokanov z Ruska a 9 skokanov z Paraguaja. Poradie výkonov sa určuje žrebovaním. Nájdite pravdepodobnosť, že paraguajský skokan bude šiesty.

13. Dve továrne vyrábajú rovnaké sklá pre svetlomety automobilov. Prvá továreň vyrába 30% týchto okuliarov, druhá - 70%. Prvá továreň vyrába 3% chybného skla a druhá - 4%. Nájdite pravdepodobnosť, že sa sklo náhodne zakúpené v obchode ukáže ako chybné.

Riešenie. Previesť %% na zlomky.

Udalosť A - "Bolo zakúpené sklo z prvej továrne." P(A) = 0,3

Udalosť B - "Bolo zakúpené sklo z druhej továrne." P(B) = 0,7

Udalosť X – „Vadné sklo“.

P(A a X) = 0,3 x 0,03 = 0,009

P(B a X) = 0,7*0,04=0,028 Podľa vzorca celkovej pravdepodobnosti: P = 0,009+0,028 = 0.037

14.Ak veľmajster A. hrá bielym, potom vyhráva proti veľmajstrovi B. s pravdepodobnosťou 0,52. Ak A. hrá čiernymi, potom A. vyhrá proti B. s pravdepodobnosťou 0,3. Veľmajstri A. a B. hrajú dve hry a v druhej hre menia farbu figúrok. Nájdite pravdepodobnosť, že A. vyhrá v oboch prípadoch. Riešenie: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasya, Petya, Kolya a Lyosha losujú, kto by mal začať hru. Nájdite pravdepodobnosť, že Petya bude musieť začať hru.

Riešenie: Náhodný pokus - losovanie.
V tomto experimente je základnou udalosťou účastník, ktorý vyhrá žreb.
Uveďme zoznam možných základných udalostí:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lyosha).
Budú 4 z nich, t.j. N=4. Zo žrebu vyplýva, že všetky elementárne udalosti sú rovnako možné.
Udalosť A= (Peťa vyhral žreb) uprednostňuje iba jedno základné podujatie (Péťa). Preto N(A)=1.
Potom P(A) = 0,25 Odpoveď: 0,25.

16. Majstrovstiev sveta sa zúčastňuje 16 tímov. Pomocou žrebov ich treba rozdeliť do štyroch skupín po štyri tímy. V krabici sú pomiešané karty s číslami skupín: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Kapitáni družstiev si ťahajú po jednej karte. Aká je pravdepodobnosť, že ruský tím bude v druhej skupine? Riešenie: Celkové výsledky - 16. Z toho priaznivé, t.j. s číslom 2 to bude 4. Takže 4: 16=0,25

17. Na skúške z geometrie dostane študent jednu otázku zo zoznamu skúšobných otázok. Pravdepodobnosť, že ide o otázku s vpísaným kruhom, je 0,2. Pravdepodobnosť, že ide o otázku na tému „Paralelogram“ je 0,15. Neexistujú žiadne otázky, ktoré by sa súčasne týkali týchto dvoch tém. Nájdite pravdepodobnosť, že študent dostane na skúške otázku na jednu z týchto dvoch tém.

= (otázka na tému „Vpísaný kruh“),
= (otázka na tému „Paralelogram“).
Diania A sú nezlučiteľné, keďže podľa podmienky zoznam neobsahuje súčasne otázky týkajúce sa týchto dvoch tém.
Udalosť= (otázka na jednu z týchto dvoch tém) je ich kombináciou:.
Použime vzorec na sčítanie pravdepodobností nekompatibilných udalostí:
.

18. V nákupnom centre predávajú kávu dva rovnaké automaty. Pravdepodobnosť, že sa v kávovare minie káva do konca dňa, je 0,3. Pravdepodobnosť, že obom strojom dôjde káva, je 0,12. Nájdite pravdepodobnosť, že na konci dňa zostane káva v oboch strojoch.

Definujme udalosti
= (káva sa minie v prvom automate),
= (v druhom automate dôjde káva).
Podľa podmienok problému A .
Pomocou vzorca na sčítanie pravdepodobností nájdeme pravdepodobnosť udalosti
A = (káva sa minie aspoň v jednom z automatov):

.
Pravdepodobnosť opačnej udalosti (káva zostane v oboch automatoch) sa teda rovná
.

19. Biatlonista strieľa na terče päťkrát. Pravdepodobnosť zasiahnutia cieľa jednou ranou je 0,8. Nájdite pravdepodobnosť, že biatlonista tri razy zasiahne terče a posledné dva minul. Výsledok zaokrúhlite na stotiny.

V tomto probléme sa predpokladá, že výsledok každého ďalšieho výstrelu nezávisí od predchádzajúcich. Preto udalosti „zásah na prvý výstrel“, „zásah na druhý výstrel“ atď. nezávislý.
Pravdepodobnosť každého zásahu je rovnaká. To znamená, že pravdepodobnosť každého netrafenia sa rovná. Použime vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí. Zistili sme, že postupnosť
= (zásah, zásah, zásah, minul, minul) má pravdepodobnosť
=
= . Odpoveď: .

20. V predajni sú dva platobné automaty. Každý z nich môže byť chybný s pravdepodobnosťou 0,05, bez ohľadu na druhý stroj. Nájdite pravdepodobnosť, že aspoň jeden stroj funguje.

Tento problém tiež predpokladá, že automaty fungujú nezávisle.
Nájdite pravdepodobnosť opačnej udalosti
= (oba stroje sú chybné).
Na tento účel používame vzorec na vynásobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí:
.
To znamená pravdepodobnosť udalosti= (aspoň jeden stroj pracuje) sa rovná. Odpoveď: .

21. Miestnosť je osvetlená lampášom s dvoma lampami. Pravdepodobnosť vyhorenia jednej lampy za rok je 0,3. Nájdite pravdepodobnosť, že počas roka nevyhorí aspoň jedna lampa. Riešenie: Oboje vyhorí (udalosti sú nezávislé a na súčin pravdepodobností používame vzorec) s pravdepodobnosťou p1=0,3⋅0,3=0,09
Opačná udalosť(NIE obe zhoria = aspoň JEDEN nevyhorí)
sa stane s pravdepodobnosťou p=1-p1=1-0,09=0,91
ODPOVEĎ: 0,91

22. Pravdepodobnosť, že nová rýchlovarná kanvica vydrží viac ako rok je 0,97. Pravdepodobnosť, že bude trvať viac ako dva roky, je 0,89. Nájdite pravdepodobnosť, že to bude trvať menej ako dva roky, ale viac ako rok

Riešenie.

Nech A = „kanvica vydrží viac ako rok, ale menej ako dva roky“, B = „kanvica vydrží viac ako dva roky“, potom A + B = „kanvica vydrží viac ako rok“.

Udalosti A a B sú spoločné, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí zníženému o pravdepodobnosť ich výskytu. Pravdepodobnosť výskytu týchto udalostí spočívajúcich v tom, že kanvica zlyhá presne o dva roky - presne v ten istý deň, hodinu a sekundu - je nulová. potom:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

odkiaľ pomocou údajov z podmienky získame 0,97 = P(A) + 0,89.

Pre požadovanú pravdepodobnosť teda platí: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Poľnohospodárska spoločnosť nakupuje slepačie vajcia od dvoch domácností. 40% vajec z prvej farmy sú vajcia najvyššej kategórie a z druhej farmy - 20% vajec najvyššej kategórie. Celkovo 35 % vajec dostáva najvyššiu kategóriu. Nájdite pravdepodobnosť, že vajce zakúpené od tejto poľnohospodárskej spoločnosti bude pochádzať z prvej farmy. Riešenie: Nechajte poľnohospodársku firmu nakupovať z prvej farmy vajcia, vrátane vajcia najvyššej kategórie a na druhej farme - vajcia, vrátane vajcia najvyššej kategórie. Teda celkovú sumu, ktorú agroform nakupuje vajcia, vrátane vajcia najvyššej kategórie. Podľa stavu má 35 % vajec najvyššiu kategóriu, potom:

Pravdepodobnosť, že kúpené vajce bude z prvej farmy, sa teda rovná =0,75

24. Na klávesnici telefónu je 10 číslic, od 0 do 9. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne stlačená číslica bude párna?

25.Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vybrané prirodzené číslo od 10 do 19 je deliteľné tromi?

26.Kovboj John zasiahne muchu o stenu s pravdepodobnosťou 0,9, ak strieľa z vynulovaného revolvera. Ak John vystrelí z nevystreleného revolveru, zasiahne muchu s pravdepodobnosťou 0,2. Na stole je 10 revolverov, z ktorých sú len 4 prestrelené. Kovboj John vidí muchu na stene, náhodne schmatne prvý revolver, na ktorý narazí, a muchu vystrelí. Nájdite pravdepodobnosť, že John netrafí. Riešenie: John zasiahne muchu, ak chytí vynulovaný revolver a udrie ním, alebo ak chytí nevystrelený revolver a udrie ním. Podľa vzorca podmienenej pravdepodobnosti sa pravdepodobnosti týchto udalostí rovnajú 0,4 · 0,9 = 0,36 a 0,6 · 0,2 = 0,12. Tieto udalosti sú nezlučiteľné, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: 0,36 + 0,12 = 0,48. Udalosť, ktorú John vynechá, je opakom. Jeho pravdepodobnosť je 1 − 0,48 = 0,52.

27. V skupine turistov je 5 osôb. Pomocou žrebov vyberú dvoch ľudí, ktorí musia ísť do dediny nakúpiť jedlo. Turista A. by chcel ísť do obchodu, ale poslúchne. Aká je pravdepodobnosť, že A. pôjde do obchodu? Riešenie: Turistov je celkovo päť, dvaja sú náhodne vybraní. Pravdepodobnosť výberu je 2 : 5 = 0,4. Odpoveď: 0,4.

28. Pred začiatkom futbalového zápasu rozhodca hodí mincou, aby určil, ktoré družstvo začne hru s loptou. Fizik tím hrá tri zápasy s rôznymi mužstvami. Nájdite pravdepodobnosť, že v týchto hrách „Fyzik“ vyhrá žreb presne dvakrát. Riešenie: Označme „1“ stranu mince, ktorá je zodpovedná za to, že „Fyzik“ vyhral žreb, a druhú stranu mince označme „0“. Potom sú tu tri výhodné kombinácie: 110, 101, 011 a celkovo sú 2 kombinácie 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Požadovaná pravdepodobnosť sa teda rovná:

29. Kocky sú hodené dvakrát. Koľko elementárnych výsledkov experimentu uprednostňuje udalosť „A = súčet bodov je 5“? Riešenie: Súčet bodov sa môže rovnať 5 v štyroch prípadoch: „3 + 2“, „2 + 3“, „1 + 4“, „4 + 1“. odpoveď: 4.

30. Pri náhodnom pokuse sa dvakrát hodí symetrická minca. Nájdite pravdepodobnosť, že dôjde k výsledku OP (prvýkrát vedie, druhýkrát končí). Riešenie: Existujú štyri možné výsledky: hlavy – hlavy, hlavy – chvosty, chvosty – hlavy, chvosty – chvosty. Jeden je priaznivý: hlavy a chvosty. Preto je požadovaná pravdepodobnosť 1: 4 = 0,25. Odpoveď: 0,25.

31. Na rockovom festivale vystupujú kapely – jedna z každej z deklarovaných krajín. Poradie plnenia je určené žrebom. Aká je pravdepodobnosť, že po skupine zo Švédska a po skupine z Nórska vystúpi skupina z Dánska? Výsledok zaokrúhlite na stotiny. Riešenie: Na zodpovedanie otázky nie je dôležitý celkový počet skupín účinkujúcich na festivale. Bez ohľadu na to, koľko ich je, pre tieto krajiny existuje 6 spôsobov relatívnej pozície medzi hovoriacimi (D - Dánsko, W - Švédsko, N - Nórsko):

D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...W...D...

Dánsko je v dvoch prípadoch za Švédskom a Nórskom. Pravdepodobnosť, že skupiny budú takto náhodne rozdelené, sa teda rovná Odpoveď: 0,33.

32. Počas delostreleckej paľby automatický systém vystrelí strelu na cieľ. Ak cieľ nie je zničený, systém vypáli druhý výstrel. Výstrely sa opakujú, kým nie je cieľ zničený. Pravdepodobnosť zničenia určitého cieľa pri prvom výstrele je 0,4 a pri každom ďalšom výstrele je 0,6. Koľko výstrelov bude potrebných, aby sa zabezpečilo, že pravdepodobnosť zničenia cieľa je aspoň 0,98? Riešenie: Problém môžete vyriešiť „akciou“ vypočítaním pravdepodobnosti prežitia po sérii po sebe idúcich nezdarov: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Posledná pravdepodobnosť je menšia ako 0,02, takže päť výstrelov na cieľ stačí.

33.Na postup do ďalšieho kola súťaže musí futbalový tím získať aspoň 4 body v dvoch zápasoch. Ak tím vyhrá, získa 3 body, v prípade remízy - 1 bod, ak prehrá - 0 bodov. Nájdite pravdepodobnosť, že tím postúpi do ďalšieho kola súťaže. Zvážte, že v každej hre je pravdepodobnosť výhry a prehry rovnaká a rovná sa 0,4. Riešenie : Tím môže získať aspoň 4 body v dvoch zápasoch tromi spôsobmi: 3+1, 1+3, 3+3. Tieto udalosti sú nezlučiteľné; pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu ich pravdepodobností. Každá z týchto udalostí je výsledkom dvoch nezávislých udalostí – výsledku v prvej a v druhej hre. Odtiaľto máme:

34. V určitom meste je z 5000 narodených detí 2512 chlapcov. Nájdite frekvenciu pôrodov dievčat v tomto meste. Výsledok zaokrúhlite na tisícky. Riešenie: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. Na palube lietadla je 12 sedadiel vedľa núdzových východov a 18 sedadiel za prepážkami oddeľujúcimi kabíny. Zvyšné sedadlá sú pre vysokých pasažierov nepohodlné. Spolujazdec V. je vysoký. Nájdite pravdepodobnosť, že pri odbavení, ak je miesto vybrané náhodne, dostane cestujúci B pohodlné sedadlo, ak je v lietadle celkovo 300 miest. Riešenie : V lietadle je 12 + 18 = 30 sedadiel, ktoré sú pohodlné pre cestujúceho B, a celkovo je v lietadle 300 miest. Pravdepodobnosť, že cestujúci B získa pohodlné sedadlo, je teda 30 : 300 = 0,1 Odpoveď: 0,1.

36. Na olympiáde na univerzite sedia účastníci v troch triedach. V prvých dvoch je po 120 ľudí, zvyšní sú odvezení do rezervnej posluchárne v inej budove. Pri sčítaní nám vyšlo, že spolu bolo 250 účastníkov. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraný účastník napísal súťaž v náhradnej triede. Riešenie: Celkovo bolo do rezervného publika poslaných 250 − 120 − 120 = 10 ľudí. Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný účastník napísal olympiádu v náhradnej učebni, je teda 10 : 250 = 0,04. Odpoveď: 0,04.

37. V triede je 26 ľudí, medzi nimi dve dvojčatá - Andrey a Sergey. Trieda je náhodne rozdelená do dvoch skupín po 13 ľudí. Nájdite pravdepodobnosť, že Andrey a Sergey budú v rovnakej skupine. Riešenie: Nech je jedno z dvojčiat v nejakej skupine. Spolu s ním bude v skupine 12 ľudí z 25 zostávajúcich spolužiakov. Pravdepodobnosť, že druhé dvojča bude medzi týmito 12 ľuďmi, je 12:25 = 0,48.

38. Taxi spoločnosť má 50 áut; 27 z nich je čiernych so žltými nápismi na bokoch, ostatné sú žlté s čiernymi nápismi. Nájdite pravdepodobnosť, že žlté auto s čiernymi nápismi zareaguje na náhodný hovor. Riešenie: 23:50=0,46

39.V skupine turistov je 30 ľudí. Helikoptérou sú vysadzovaní do ťažko dostupnej oblasti v niekoľkých etapách, 6 osôb na let. Poradie, v akom vrtuľník preváža turistov, je náhodné. Nájdite pravdepodobnosť, že turista P. absolvuje prvý let helikoptérou. Riešenie: Na prvom lete je 6 miest, spolu 30 miest Potom pravdepodobnosť, že turista P. poletí prvým letom helikoptérou, je: 6:30 = 0,2

40. Pravdepodobnosť, že nový DVD prehrávač bude opravený v rámci záruky do roka, je 0,045. V istom meste sa z 1000 predaných DVD prehrávačov v priebehu roka dostalo do záručnej dielne 51 kusov. Ako sa líši frekvencia udalosti „záručná oprava“ od jej pravdepodobnosti v tomto meste? Riešenie: Frekvencia (relatívna frekvencia) udalosti „záručná oprava“ je 51: 1000 = 0,051. Od predpovedanej pravdepodobnosti sa líši o 0,006.

41. Pri výrobe ložísk s priemerom 67 mm je pravdepodobnosť, že sa priemer bude líšiť od uvedeného priemeru najviac o 0,01 mm, 0,965. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodné ložisko bude mať priemer menší ako 66,99 mm alebo väčší ako 67,01 mm. Riešenie. Priemer ložiska bude podľa stavu ležať v rozsahu od 66,99 do 67,01 mm s pravdepodobnosťou 0,965. Preto je požadovaná pravdepodobnosť opačného javu 1 − 0,965 = 0,035.

42. Pravdepodobnosť, že žiak O. v teste z biológie správne vyrieši viac ako 11 úloh, je 0,67. Pravdepodobnosť, že O. správne vyrieši viac ako 10 úloh, je 0,74. Nájdite pravdepodobnosť, že O. správne vyrieši práve 11 úloh. Riešenie: Zvážte udalosti A = „študent vyrieši 11 problémov“ a B = „študent vyrieši viac ako 11 problémov“. Ich súčet je udalosť A + B = „žiak vyrieši viac ako 10 úloh“. Udalosti A a B sú nezlučiteľné, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: P(A + B) = P(A) + P(B). Potom pomocou týchto úloh dostaneme: 0,74 = P(A) + 0,67, odkiaľ P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

43. Na prijatie do ústavu pre odbor „lingvistika“ musí uchádzač získať najmenej 70 bodov na jednotnej štátnej skúške z každého z troch predmetov – matematika, ruský jazyk a cudzí jazyk. Ak sa chcete zapísať do špecializácie „Obchod“, musíte získať najmenej 70 bodov v každom z troch predmetov - matematika, ruský jazyk a spoločenské vedy. Pravdepodobnosť, že uchádzač Z. získa aspoň 70 bodov z matematiky je 0,6, z ruštiny - 0,8, z cudzieho jazyka - 0,7 a zo spoločenských vied - 0,5 Nájdite pravdepodobnosť, že sa Z. bude môcť zapísať aspoň na jeden z dvoch spomínaných špecialít. Riešenie: Na to, aby sa Z. mohol kdekoľvek zapísať, potrebuje zvládnuť ruštinu aj matematiku aspoň na 70 bodov a okrem toho aj cudzí jazyk alebo náuku o spoločnosti s aspoň 70 bodmi. Nechaj A, B, C a D - ide o podujatia, na ktorých Z. absolvuje matematiku, ruštinu, zahraničné a sociálne vedy s minimálne 70 bodmi. Potom odvtedy

Pre pravdepodobnosť príchodu máme:

44. V továrni na výrobu keramického riadu je 10 % vyrobených tanierov chybných. Počas kontroly kvality výrobkov sa identifikuje 80 % chybných dosiek. Zvyšné taniere sú v predaji. Nájdite pravdepodobnosť, že tanier náhodne vybraný pri kúpe nemá žiadne chyby. Svoju odpoveď zaokrúhlite na stotiny. Riešenie : Nechajte továreň vyrábaťtaniere. Všetky kvalitné platne a 20 % nezistených chybných platní pôjde do predaja:taniere. Pretože tie kvalitné, pravdepodobnosť nákupu kvalitného taniera je 0,9p:0,92p=0,978 Odpoveď: 0,978.

45.V predajni sú traja predajcovia. Každý z nich je zaneprázdnený klientom s pravdepodobnosťou 0,3. Nájdite pravdepodobnosť, že v náhodnom okamihu sú všetci traja predajcovia súčasne zaneprázdnení (predpokladajme, že zákazníci prichádzajú nezávisle od seba). Riešenie : Pravdepodobnosť súčinu nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí. Preto je pravdepodobnosť, že všetci traja predajcovia sú zaneprázdnení, rovnaká

46.Na základe zákazníckych recenzií Ivan Ivanovič zhodnotil spoľahlivosť dvoch internetových obchodov. Pravdepodobnosť doručenia požadovaného produktu z predajne A je 0,8. Pravdepodobnosť, že tento produkt bude doručený z predajne B je 0,9. Ivan Ivanovič si objednal tovar z oboch obchodov naraz. Za predpokladu, že internetové obchody fungujú nezávisle od seba, nájdite pravdepodobnosť, že produkt nedodá žiadny obchod. Riešenie: Pravdepodobnosť, že prvý obchod nedodá tovar je 1 − 0,9 = 0,1. Pravdepodobnosť, že druhá predajňa tovar nedoručí, je 1 − 0,8 = 0,2. Keďže tieto udalosti sú nezávislé, pravdepodobnosť ich výskytu (obe predajne tovar nedodajú) sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí: 0,1 · 0,2 = 0,02

47. Z okresného centra do obce denne premáva autobus. Pravdepodobnosť, že v pondelok bude v autobuse menej ako 20 cestujúcich, je 0,94. Pravdepodobnosť, že tam bude menej ako 15 cestujúcich je 0,56. Nájdite pravdepodobnosť, že počet cestujúcich bude medzi 15 a 19. Riešenie: Zvážte udalosti A = „v autobuse je menej ako 15 cestujúcich“ a B = „v autobuse je 15 až 19 cestujúcich“. Ich súčet je udalosť A + B = „v autobuse je menej ako 20 cestujúcich“. Udalosti A a B sú nezlučiteľné, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: P(A + B) = P(A) + P(B). Potom pomocou týchto úloh dostaneme: 0,94 = 0,56 + P(B), odkiaľ P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Odpoveď: 0,38.

48. Pred začiatkom volejbalového zápasu kapitáni tímov žrebom určia, ktorý tím začne hru s loptou. Tím „Stator“ sa striedavo hrá s tímami „Rotor“, „Motor“ a „Štartér“. Nájdite pravdepodobnosť, že Stator spustí iba prvú a poslednú hru. Riešenie. Musíte nájsť pravdepodobnosť, že nastanú tri udalosti: „Stator“ spustí prvú hru, nespustí druhú hru a spustí tretiu hru. Pravdepodobnosť súčinu nezávislých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí. Pravdepodobnosť každého z nich je 0,5, z čoho zistíme: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Odpoveď: 0,125.

49. V Čarovnej krajine sú dva typy počasia: dobré a vynikajúce a počasie, ktoré sa ráno nastolí, zostáva nezmenené celý deň. Je známe, že s pravdepodobnosťou 0,8 bude zajtra počasie rovnaké ako dnes. Dnes je 3. júla, počasie v Čarovnej krajine je dobré. Nájdite pravdepodobnosť, že 6. júla bude v krajine rozprávok skvelé počasie. Riešenie. Pre počasie 4., 5. a 6. júla sú 4 možnosti: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (tu X je dobré, O je vynikajúce počasie). Nájdite pravdepodobnosti výskytu takéhoto počasia: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Tieto udalosti sú nezlučiteľné, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Všetci pacienti s podozrením na hepatitídu podstupujú krvný test. Ak test odhalí hepatitídu, výsledok testu sa nazýva pozitívne . U pacientov s hepatitídou test dáva pozitívny výsledok s pravdepodobnosťou 0,9. Ak pacient nemá hepatitídu, test môže poskytnúť falošne pozitívny výsledok s pravdepodobnosťou 0,01. Je známe, že 5 % pacientov prijatých s podozrením na hepatitídu má v skutočnosti hepatitídu. Zistite pravdepodobnosť, že pacient prijatý na kliniku s podozrením na hepatitídu bude pozitívny. Riešenie . Analýza pacienta môže byť pozitívna z dvoch dôvodov: A) pacient má hepatitídu, jeho analýza je správna; B) pacient nemá hepatitídu, jeho analýza je falošná. Ide o nezlučiteľné udalosti, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí. Máme: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Misha mal vo vrecku štyri cukríky – „Grilyazh“, „Veverička“, „Korovka“ a „Lastovička“, ako aj kľúče od bytu. Mišovi pri vyberaní kľúčov omylom vypadol z vrecka jeden cukrík. Nájdite pravdepodobnosť, že sa cukrík „Grilage“ stratil.

52. Mechanické hodinky s dvanásťhodinovým ciferníkom sa v určitom okamihu pokazili a prestali bežať. Nájdite pravdepodobnosť, že hodinová ručička zamrzne a dosiahne polohu 10 hodín, ale nedosiahne polohu 1 hodiny. Riešenie: 3:12=0,25

53. Pravdepodobnosť, že je batéria chybná, je 0,06. Kupujúci v obchode si vyberie náhodný balík obsahujúci dve z týchto batérií. Nájdite pravdepodobnosť, že obe batérie sú dobré. Riešenie: Pravdepodobnosť, že je batéria v poriadku, je 0,94. Pravdepodobnosť výskytu nezávislých udalostí (obe batérie budú dobré) sa rovná súčinu pravdepodobností týchto udalostí: 0,94·0,94 = 0,8836 Odpoveď: 0,8836.

54. Automatická linka vyrába batérie. Pravdepodobnosť, že hotová batéria je chybná, je 0,02. Pred zabalením prechádza každá batéria kontrolným systémom. Pravdepodobnosť, že systém odmietne chybnú batériu, je 0,99. Pravdepodobnosť, že systém omylom odmietne fungujúcu batériu, je 0,01. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraná vyrobená batéria bude zamietnutá kontrolným systémom. Riešenie. Situácia, v ktorej dôjde k odmietnutiu batérie, môže nastať v dôsledku nasledujúcich udalostí: A = batéria je skutočne chybná a bola správne odmietnutá alebo B = batéria funguje, ale bola omylom odmietnutá. Ide o nezlučiteľné udalosti, pravdepodobnosť ich súčtu sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí. Máme:

55.Na obrázku je labyrint. Pavúk sa plazí do bludiska pri vstupnom bode. Pavúk sa nemôže otočiť a plaziť sa späť, preto si pavúk pri každom konári vyberie jednu z ciest, po ktorej sa ešte neplazil. Za predpokladu, že výber ďalšej cesty je čisto náhodný, určite, s akou pravdepodobnosťou pavúk príde k východu.

Riešenie.

Pravdepodobnosť: logika hrubej sily.

Aké úlohy vás čakajú na Jednotnej štátnej skúške z matematiky?

Klasická definícia pravdepodobnosti

Vzorce na sčítanie a násobenie teórie pravdepodobnosti

Pravdepodobná veta sčítania:

Veta o násobení pravdepodobnosti

Súvisiace materiály: