PERVUŠKIN BORIS NIKOLAEVIČ

Súkromná vzdelávacia inštitúcia "St. Petersburg School "Tete-a-Tete"

Učiteľ matematiky najvyššej kategórie

Porovnávanie čísel modulo

Definícia 1. Ak dve čísla1 ) aAbpri delení podľapdať rovnaký zvyšokr, potom sa takéto čísla nazývajú equiremainder respporovnateľné v module p.

Vyhlásenie 1. Nechajpnejaké kladné číslo. Potom každé čísloavždy a navyše jediným spôsobom môže byť zastúpený vo forme

a=sp+r,

(1)

Kdes- číslo arjedno z čísel 0,1, ...,p−1.

1 ) V tomto článku bude slovo číslo chápané ako celé číslo.

Naozaj. Aksdostane hodnotu od −∞ do +∞, potom číslasppredstavujú súbor všetkých čísel, ktoré sú násobkamip. Pozrime sa na čísla medzi nimispa (s+1) p=sp+p. Pretožepje kladné celé číslo, potom medzispAsp+psú tam čísla

Ale tieto čísla je možné získať nastavenímrrovná sa 0, 1, 2,...,p−1. Pretosp+r=azíska všetky možné celočíselné hodnoty.

Ukážme, že táto reprezentácia je jedinečná. Predstierajme topmôžu byť reprezentované dvoma spôsobmia=sp+rAa=s1 p+ r1 . Potom

alebo

(2)

Pretožer1 akceptuje jedno z čísel 0,1, ...,p−1, potom absolútna hodnotar1 − rmenejp. Ale z (2) vyplýva, žer1 − rviacnásobnép. Pretor1 = rAs1 = s.

číslorvolalmínus číslaamodulop(inými slovami, číslorzavolal zvyšok číslaanap).

Vyhlásenie 2. Ak dve číslaaAbporovnateľné v modulep, Toa-bdelenop.

Naozaj. Ak dve číslaaAbporovnateľné v modulep, potom pri delenípmajú rovnaký zvyšokp. Potom

KdesAs1 nejaké celé čísla.

Rozdiel týchto čísel

(3)

delenop, pretože pravá strana rovnice (3) je vydelenáp.

Vyhlásenie 3. Ak je rozdiel dvoch čísel deliteľnýp, potom sú tieto čísla v module porovnateľnép.

Dôkaz. Označme podľarAr1 deliace zvyškyaAbnap. Potom

kde

Podľaa-bdelenop. Pretor− r1 je tiež deliteľnép. Ale pretožerAr1 čísla 0,1,...,p−1, potom absolútna hodnota |r− r1 |< p. Potom, aby sar− r1 delenopmusí byť splnená podmienkar= r1 .

Z tvrdenia vyplýva, že porovnateľné čísla sú tie čísla, ktorých rozdiel je deliteľný modulom.

Ak potrebujete zapísať tieto číslaaAbporovnateľné v modulep, potom použijeme zápis (zavedený Gaussom):

a≡bmod(p)

Príklady 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Z prvého príkladu vyplýva, že 25 pri delení 7 dáva rovnaký zvyšok ako 39. Skutočne, 25 = 3·7+4 (zvyšok 4). 39=3·7+4 (zvyšok 4). Pri zvažovaní druhého príkladu musíte vziať do úvahy, že zvyšok musí byť nezáporné číslo menšie ako modul (t.j. 4). Potom môžeme napísať: −18=−5·4+2 (zvyšok 2), 14=3·4+2 (zvyšok 2). Preto −18 pri delení 4 zostáva zvyšok 2 a 14 pri delení 4 zostáva zvyšok 2.

Vlastnosti modulových porovnaní

Nehnuteľnosť 1. Pre hocikohoaApVždy

a≡amod(p).

Nehnuteľnosť 2. Ak dve číslaaAcporovnateľné s číslombmodulop, ToaAcnavzájom porovnateľné podľa rovnakého modulu, t.j. Ak

a≡bmod(p), b≡cmod(p).

To

a≡cmod(p).

Naozaj. Zo stavu majetku 2 to vyplývaa-bAb-csa delia nap. Potom ich súčeta-b+(b-c)=a-ctiež rozdelené nap.

Nehnuteľnosť 3. Ak

a≡bmod(p) Am≡nmod(p),

To

a+m≡b+nmod(p) Aa−m≡b−nmod(p).

Naozaj. Pretožea-bAm-nsa delia nap, To

( a-b)+ ( m-n)=( a+m)−( b+n) ,

( a-b)−( m-n)=( a-m)−( b−n)

tiež rozdelené nap.

Táto vlastnosť môže byť rozšírená na ľubovoľný počet porovnaní, ktoré majú rovnaký modul.

Nehnuteľnosť 4. Ak

a≡bmod(p) Am≡nmod(p),

To

Ďalejm-ndelenop, tedab(m-n)=bm-bntiež rozdelené nap, Prostriedky

bm≡ mldmod(p).

Takže dve číslaránoAmldporovnateľné v module s rovnakým číslombm, preto sú navzájom porovnateľné (vlastnosť 2).

Nehnuteľnosť 5. Ak

a≡bmod(p).

To

ak≡bkmod(p).

Kdeknejaké nezáporné celé číslo.

Naozaj. Mámea≡bmod(p). Z vlastnosti 4 to vyplýva

.................

ak≡bkmod(p).

Prezentujte všetky vlastnosti 1-5 v nasledujúcom vyhlásení:

Vyhlásenie 4. Nechajf( X1 , X2 , X3 , ...) je celá racionálna funkcia s celočíselnými koeficientmi a nech

a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 , a3 ≡ b3 , ... mod (p).

Potom

f( a1 , a2 , a3 , ...)≡ f( b1 , b2 , b3 , ...) mod (p).

S rozdelením je všetko inak. Z porovnania

Vyhlásenie 5. Nechaj

Kdeλ Totonajväčší spoločný deliteľčíslamAp.

Dôkaz. Nechajλ najväčší spoločný deliteľ číselmAp. Potom

Pretožem(a-b)delenok, To

má nulový zvyšok, t.j.m1 ( a-b) delenok1 . Ale číslam1 Ak1 čísla sú relatívne prvočísla. Pretoa-bdelenok1 = k/λa potom,p,q,s.

Naozaj. Rozdiela≡bmusí byť násobkomp,q,s.a preto musí byť násobkomh.

V špeciálnom prípade, ak sú modulyp,q,scoprime čísla teda

a≡bmod(h),

Kdeh=pqs.

Upozorňujeme, že môžeme povoliť porovnania založené na negatívnych moduloch, t.j. porovnaniea≡bmod(p) v tomto prípade znamená, že rozdiela-bdelenop. Všetky vlastnosti porovnaní zostávajú v platnosti pre negatívne moduly.

Označme dva body na súradnici, ktoré zodpovedajú číslam −4 a 2.

Bod A, zodpovedajúci číslu -4, sa nachádza vo vzdialenosti 4 segmentov jednotiek od bodu 0 (počiatok), to znamená, že dĺžka segmentu OA sa rovná 4 jednotkám.

Číslo 4 (dĺžka segmentu OA) sa nazýva modul čísla −4.

Vymenovať absolútna hodnota čísla takto: |−4| = 4

Vyššie uvedené symboly sa čítajú takto: „modul čísla mínus štyri sa rovná štyrom“.

Bod B, zodpovedajúci číslu +2, sa nachádza vo vzdialenosti dvoch jednotkových segmentov od začiatku, to znamená, že dĺžka segmentu OB sa rovná dvom jednotkám.

Číslo 2 sa nazýva modul čísla +2 a píše sa: |+2| = 2 alebo |2| = 2.

Ak vezmeme určité číslo „a“ a zobrazíme ho ako bod A na súradnicovej čiare, potom sa vzdialenosť od bodu A k počiatku (inými slovami, dĺžka segmentu OA) bude nazývať modul čísla „ a“.

Pamätajte

Modul racionálneho čísla Nazývajú vzdialenosť od začiatku k bodu na súradnicovej čiare zodpovedajúcej tomuto číslu.

Keďže vzdialenosť (dĺžka segmentu) môže byť vyjadrená iba ako kladné číslo alebo nula, môžeme povedať, že modul čísla nemôže byť záporný.

Pamätajte

Zapíšme si vlastnosti modulu pomocou doslovných výrazov, berúc do úvahy

všetky možné prípady.

1. Modul kladného čísla sa rovná samotnému číslu. |a| = a, ak a > 0;

2. Modul záporného čísla sa rovná opačnému číslu. |−a| = a ak a< 0;

3. Modul nuly je nula. |0| = 0, ak a = 0;

4. Opačné čísla majú rovnaké moduly.

Príklady modulov racionálnych čísel:

· |−4,8| = 4,8

· |0| = 0

· |−3/8| = |3/8|

Z dvoch čísel na súradnicovej čiare je to, ktoré sa nachádza vpravo, väčšie a to, ktoré sa nachádza vľavo, je menšie.

Pamätajte

akékoľvek kladné číslo väčšie ako nula a väčšie ako akékoľvek

záporné číslo;

· akékoľvek záporné číslo je menšie ako nula a menšie ako akékoľvek

kladné číslo.

Príklad.

Je vhodné porovnávať racionálne čísla pomocou konceptu modulu.

Väčšie z dvoch kladných čísel predstavuje bod umiestnený na súradnicovej čiare vpravo, teda ďalej od začiatku. To znamená, že toto číslo má väčší modul.

Pamätajte

Z dvoch kladných čísel je väčšie to, ktorého modul je väčší.

Pri porovnávaní dvoch záporných čísel bude väčšie číslo umiestnené vpravo, teda bližšie k začiatku. To znamená, že jeho modul (dĺžka segmentu od nuly po číslo) bude menší.

Pre dve celé čísla X A pri Zaveďme vzťah porovnateľnosti paritou, ak je ich rozdiel párne číslo. Je ľahké skontrolovať, či sú splnené všetky tri predtým zavedené podmienky rovnocennosti. Takto zavedený vzťah ekvivalencie rozdeľuje celú množinu celých čísel na dve disjunktné podmnožiny: podmnožinu párnych čísel a podmnožinu nepárnych čísel.

Zovšeobecnením tohto prípadu povieme, že dve celé čísla, ktoré sa líšia o násobok nejakého pevného prirodzeného čísla, sú ekvivalentné. Toto je základ pre koncept modulovej porovnateľnosti, ktorý zaviedol Gauss.

číslo A, porovnateľné s b modulo m, ak je ich rozdiel deliteľný pevným prirodzeným číslom m, teda a - b deleno m. Symbolicky je to napísané takto:

a ≡ b(mod m),

a znie to takto: A porovnateľné s b modulo m.

Takto zavedený vzťah vďaka hlbokej analógii medzi porovnávaním a rovnosťou zjednodušuje výpočty, v ktorých sa čísla líšia o násobok m, sa v skutočnosti nelíšia (keďže porovnanie je rovnosť do nejakého násobku m).

Napríklad čísla 7 a 19 sú porovnateľné modulo 4, ale nie porovnateľné modulo 5, pretože 19-7=12 je deliteľné 4 a nie je deliteľné 5.

Dá sa povedať aj to, že číslo X modulo m rovný zvyšku pri delení celým číslom X na m, pretože

x = km + r, r = 0, 1, 2, ..., m-1.

Je ľahké skontrolovať, či porovnateľnosť čísel podľa daného modulu má všetky vlastnosti ekvivalencie. Preto je množina celých čísel rozdelená do tried čísel porovnateľných modulom m. Počet takýchto tried je rovnaký m, a všetky čísla rovnakej triedy pri delení m dať rovnaký zvyšok. Napríklad, ak m= 3, potom dostaneme tri triedy: triedu čísel, ktoré sú násobkami 3 (pri delení 3 dávajú zvyšok 0), triedu čísel, ktoré po delení 3 zanechávajú zvyšok 1, a triedu čísel, ktoré zostávajú zvyšok 2 pri delení 3.

Príklady použitia porovnaní poskytujú dobre známe kritériá deliteľnosti. Reprezentácia bežného čísla nčísla v desiatkovej číselnej sústave majú tvar:

n = c102 + b101 + a100,

Kde a, b, c,- číslice čísla písané sprava doľava, tzv A- počet jednotiek, b- počet desiatok atď. Od 10 tis ≡ 1(mod9) pre ľubovoľné k≥0, potom z toho, čo je napísané, vyplýva, že

n ≡ c + b + a(mod9),

odkiaľ nasleduje test deliteľnosti 9: n je deliteľné 9 práve vtedy, ak súčet jeho číslic je deliteľný 9. Táto úvaha platí aj pri nahrádzaní 9 3.

Získame test deliteľnosti 11. Porovnania prebiehajú:

10≡- 1(mod11), 102 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1 (mod11) a tak ďalej. Preto n ≡ c - b + a - ….(mod11).

teda n je deliteľné 11 práve vtedy, ak je striedavý súčet jeho číslic a - b + c -... deliteľný 11.

Napríklad striedavý súčet číslic čísla 9581 je 1 - 8 + 5 - 9 = -11, je deliteľné 11, čo znamená, že číslo 9581 je deliteľné 11.

Ak existujú porovnania: , potom ich možno sčítať, odčítať a násobiť po členoch rovnakým spôsobom ako pri rovnosti:

Porovnanie môže byť vždy vynásobené celým číslom:

Ak potom

Zníženie porovnania o akýkoľvek faktor však nie je vždy možné, napríklad, ale nie je možné ho znížiť o spoločný faktor 6 pre čísla 42 a 12; takéto zníženie vedie k nesprávnemu výsledku, keďže .

Z definície modulu porovnateľnosti vyplýva, že zníženie o faktor je prípustné, ak je tento faktor rovnaký ako modul.

Už bolo uvedené vyššie, že akékoľvek celé číslo je porovnateľný mod m s jedným z nasledujúcich čísel: 0, 1, 2,... , m-1.

Okrem tohto radu existujú aj ďalšie rady čísel, ktoré majú rovnakú vlastnosť; takže napríklad akékoľvek číslo je porovnateľné mod 5 s jedným z nasledujúcich čísel: 0, 1, 2, 3, 4, ale tiež porovnateľné s jedným z nasledujúcich čísel: 0, -4, -3, -2, - 1 alebo 0, 1, -1, 2, -2. Každá takáto séria čísel sa nazýva úplný systém zvyškov modulo 5.

Teda kompletný systém zvyškov mod m akejkoľvek série mčísla, z ktorých žiadne dve nie sú navzájom porovnateľné. Zvyčajne sa používa úplný systém zrážok pozostávajúci z čísel: 0, 1, 2, ..., m-1. Odčítanie čísla n modulo m je zvyšok divízie n na m, čo vyplýva zo zastúpenia n = km + r, 0<r<m- 1.

Porovnávanie čísel modulo

Pripravila: Irina Zutikova

MAOU "Lýceum č. 6"

trieda: 10 "a"

Vedecký vedúci: Zheltova Olga Nikolaevna

Tambov

2016

• Problém
• Cieľ projektu
• Hypotéza
• Ciele projektu a plán na ich dosiahnutie
• Porovnania a ich vlastnosti
• Príklady problémov a ich riešenia
• Použité stránky a literatúra

problém:

Väčšina študentov len zriedka využíva modulo porovnávanie čísel na riešenie neštandardných a olympijských úloh.

Cieľ projektu:

Ukážte, ako porovnávaním čísel modulo môžete riešiť neštandardné a olympijské úlohy.

hypotéza:

Hlbšie štúdium témy „Porovnávanie čísel modulo“ pomôže študentom vyriešiť niektoré neštandardné a olympijské úlohy.

Ciele projektu a plán na ich dosiahnutie:

1. Podrobne si preštudujte tému „Porovnanie čísel modulo“.

2. Vyriešte niekoľko neštandardných a olympijských úloh pomocou modulového porovnávania čísel.

3. Vytvorte poznámku pre študentov na tému „Porovnávanie čísel modulo“.

4. Urobte lekciu na tému „Porovnávanie čísel modulo“ v 10. ročníku.

5. Zadajte triede domácu úlohu na tému „Porovnanie podľa modulu“.

6. Porovnajte čas na dokončenie úlohy pred a po preštudovaní témy „Porovnanie podľa modulu“.

7.Vyvodzujte závery.

Predtým, ako som začal podrobne študovať tému „Porovnávanie čísel modulo“, rozhodol som sa porovnať, ako je prezentovaný v rôznych učebniciach.

• Algebra a začiatok matematickej analýzy. Pokročilá úroveň. 10. ročník (Yu.M. Kolyagin a ďalší)
• Matematika: algebra, funkcie, analýza dát. 7. ročník (L.G. Peterson a ďalší)
• Algebra a začiatok matematickej analýzy. Úroveň profilu. 10. ročník (E.P. Nelin a ďalší)
• Algebra a začiatok matematickej analýzy. Úroveň profilu. 10. ročník (G.K. Muravin a ďalší)

Ako som zistil, niektoré učebnice sa tejto témy aj napriek pokročilej úrovni ani nedotýkajú. A téma je podaná najjasnejším a najprístupnejším spôsobom v učebnici L.G. Petersona (kapitola: Úvod do teórie deliteľnosti), takže skúsme pochopiť „Porovnanie čísel modulo“, spoliehajúc sa na teóriu z tejto učebnice.

Porovnania a ich vlastnosti.

Definícia: Ak dve celé čísla a a b majú po delení nejakým celým číslom m (m>0) rovnaké zvyšky, potom hovoria, žea a b sú porovnateľné modulo m, a napíš:

Veta: práve vtedy, ak je rozdiel a a b deliteľný m.

Vlastnosti:

1. Reflexivita prirovnaní.Akékoľvek číslo a je porovnateľné samo so sebou modulo m (m>0; a,m sú celé čísla).
2. Symetrické porovnania.Ak je číslo a porovnateľné s číslom b modulo m, potom číslo b je porovnateľné s číslom a modulo rovnaké (m>0; a,b,m sú celé čísla).
3. Prechodnosť prirovnaní.Ak je číslo a porovnateľné s číslom b modulo m a číslo b je porovnateľné s číslom c modulo rovnaké modulo, potom číslo a je porovnateľné s číslom c modulo m (m>0; a,b,c ,m sú celé čísla).
4. Ak je číslo a porovnateľné s číslom b modulo m, potom číslo a n porovnateľné počtom b n modulo m(m>0; a,b,m-celé čísla; n-prirodzené číslo).

Príklady problémov a ich riešenia.

1. Nájdite poslednú číslicu čísla 3 999 .

Riešenie:

Pretože Posledná číslica čísla je zvyšok po delení 10

3 999 = 3 3 * 3 996 = 3 3 * (3 4 ) 249 = 7*81 249 7 (mod 10)

(Pretože 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (podľa vlastnosti))

odpoveď: 7.

2.Dokážte, že 2 4n -1 je deliteľné 15 bezo zvyšku. (Phystech2012)

Riešenie:

Pretože 16 1 (mod 15), potom

16n-1 0(mod 15) (podľa vlastnosti); 16n= (2 4) n

2 4n -1 0 (mod 15)

3.Dokážte, že 12 2n+1 +11 n+2 Deliteľné 133 bezo zvyšku.

Riešenie:

12 2n+1 = 12*144 n 12*11 n (mod 133) (podľa vlastnosti)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Číslo (11n *133) bezo zvyšku delí číslom 133. Preto (12 2n+1 +11 n+2 ) je bezo zvyšku deliteľné číslom 133.

4. Nájdite zvyšok čísla 2 vydelený 15 2015 .

Riešenie:

Od 16 1 (mod 15), teda

2 2015 8 (mod 15)

Odpoveď: 8.

5.Nájdite zvyšok delenia 17. číslom 2 2015. (Phystech2015)

Riešenie:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

Od 16 -1 (mod 17), teda

2 2015 -8 (mod 15)

8 9 (mod 17)

Odpoveď: 9.

6.Dokážte, že číslo je 11 100 -1 je deliteľné 100 bezo zvyšku. (Phystech2015)

Riešenie:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (podľa vlastnosti)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (podľa vlastnosti)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (podľa vlastnosti)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100) (podľa vlastnosti)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (podľa vlastnosti)

41*21 3 =41*21*441

441 41 (mod 100) (podľa vlastnosti)

21*41 2 =21*1681

1681 -19 (mod 100) (podľa vlastnosti)

21*(-19)=-399

399 1 (mod 100) (podľa vlastnosti)

Takže 11 100 1 (mod 100)

11 100 -1 0 (mod 100) (podľa vlastnosti)

7. Sú uvedené tri čísla: 1771,1935,2222. Nájdite číslo také, že po jeho delení budú zvyšky troch daných čísel rovnaké. (HSE2016)

Riešenie:

Nech sa neznáme číslo rovná a

2222 1935 (mod a); 1935 1771 (mod a); 2222 1771 (mod a)

2222-1935 0(moda) (podľa vlastnosti); 1935-17710(moda) (podľa vlastnosti); 2222-17710 (moda) (podľa vlastnosti)

287 0 (mod a); 164 0 (mod a); 451 0 (mod a)

287-164 0(moda) (podľa vlastnosti); 451-2870 (moda) (podľa vlastnosti)

123 0 (mod a); 164 0 (mod a)

164-123 0(mod a) (podľa vlastnosti)

41

Olympiáda HSE 2016

Pokračujeme v štúdiu racionálnych čísel. V tejto lekcii sa naučíme, ako ich porovnávať.

Z predchádzajúcich lekcií sme sa naučili, že čím viac vpravo sa číslo nachádza na súradnicovej čiare, tým je väčšie. A teda čím ďalej vľavo sa číslo nachádza na súradnicovej čiare, tým je menšie.

Ak napríklad porovnáte čísla 4 a 1, môžete okamžite odpovedať, že 4 je viac ako 1. Toto je úplne logické tvrdenie a každý s ním bude súhlasiť.

Ako dôkaz môžeme uviesť súradnicovú čiaru. Ukazuje, že štyri leží napravo od jedného

Pre tento prípad existuje aj pravidlo, ktoré možno použiť, ak je to žiaduce. Vyzerá to takto:

Z dvoch kladných čísel je číslo, ktorého modul je väčší, väčšie.

Ak chcete odpovedať na otázku, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie, musíte najprv nájsť moduly týchto čísel, porovnať tieto moduly a potom odpovedať na otázku.

Napríklad porovnajte rovnaké čísla 4 a 1 s použitím vyššie uvedeného pravidla

Nájdenie modulov čísel:

|4| = 4

|1| = 1

Porovnajme nájdené moduly:

4 > 1

Odpovedáme na otázku:

4 > 1

Pre záporné čísla existuje ďalšie pravidlo, ktoré vyzerá takto:

Z dvoch záporných čísel je číslo, ktorého modul je menší, väčšie.

Napríklad porovnajte čísla -3 a -1

Hľadanie modulov čísel

|−3| = 3

|−1| = 1

Porovnajme nájdené moduly:

3 > 1

Odpovedáme na otázku:

−3 < −1

Modul čísla by sa nemal zamieňať so samotným číslom. Bežná chyba mnohých nováčikov. Napríklad, ak je modul −3 väčší ako modul −1, neznamená to, že −3 je väčší ako −1.

Číslo -3 je menšie ako číslo -1. Dá sa to pochopiť, ak použijeme súradnicovú čiaru

Je vidieť, že číslo −3 leží ďalej vľavo ako −1. A vieme, že čím viac doľava, tým menej.

Ak porovnáte záporné číslo s kladným, odpoveď sa navrhne sama. Akékoľvek záporné číslo bude menšie ako akékoľvek kladné číslo. Napríklad -4 je menšie ako 2

Je vidieť, že −4 leží ďalej vľavo ako 2. A vieme, že „čím viac doľava, tým menej“.

Tu sa musíte najskôr pozrieť na znaky čísel. Znamienko mínus pred číslom znamená, že číslo je záporné. Ak znak čísla chýba, potom je číslo kladné, ale pre prehľadnosť si ho môžete zapísať. Pripomeňme, že toto je znamienko plus

Ako príklad sme sa pozreli na celé čísla v tvare −4, −3 −1, 2. Porovnanie takýchto čísel, ako aj ich zobrazenie na súradnicovej čiare, nie je ťažké.

Je oveľa ťažšie porovnávať iné druhy čísel, ako sú zlomky, zmiešané čísla a desatinné čísla, z ktorých niektoré sú záporné. Tu budete v podstate musieť použiť pravidlá, pretože nie vždy je možné presne zobraziť takéto čísla na súradnicovej čiare. V niektorých prípadoch bude potrebné číslo na uľahčenie porovnávania a pochopenia.

Príklad 1 Porovnajte racionálne čísla

Takže musíte porovnať záporné číslo s kladným. Akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo. Preto bez straty času odpovedáme, že je to menej ako

Príklad 2

Musíte porovnať dve záporné čísla. Z dvoch záporných čísel je to, ktorého veľkosť je menšia, väčšie.

Nájdenie modulov čísel:

Porovnajme nájdené moduly:

Príklad 3 Porovnajte čísla 2,34 a

Musíte porovnať kladné číslo so záporným. Každé kladné číslo je väčšie ako akékoľvek záporné číslo. Preto bez straty času odpovedáme, že 2,34 je viac ako

Príklad 4. Porovnajte racionálne čísla a

Nájdenie modulov čísel:

Nájdené moduly porovnávame. Najprv ich však uvedieme do jasnej podoby, aby sa dali ľahšie porovnávať, konkrétne ich prevedieme na nesprávne zlomky a privedieme ich k spoločnému menovateľovi

Podľa pravidla z dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší. To znamená, že racionálne je väčšie ako , pretože modul čísla je menší ako modul čísla

Príklad 5.

Musíte porovnať nulu so záporným číslom. Nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo, takže bez straty času odpovieme, že 0 je väčšie ako

Príklad 6. Porovnajte racionálne čísla 0 a

Musíte porovnať nulu s kladným číslom. Nula je menšia ako akékoľvek kladné číslo, takže bez straty času odpovieme, že 0 je menšie ako

Príklad 7. Porovnajte racionálne čísla 4,53 a 4,403

Musíte porovnať dve kladné čísla. Z dvoch kladných čísel je číslo, ktorého modul je väčší, väčšie.

Urobme počet číslic za desatinnou čiarkou rovnaký v oboch zlomkoch. Aby sme to dosiahli, v zlomku 4,53 pridáme na koniec jednu nulu

Hľadanie modulov čísel

Porovnajme nájdené moduly:

Podľa pravidla z dvoch kladných čísel je väčšie číslo, ktorého absolútna hodnota je väčšia. To znamená, že racionálne číslo 4,53 je väčšie ako 4,403, pretože modul 4,53 je väčší ako modul 4,403

Príklad 8. Porovnajte racionálne čísla a

Musíte porovnať dve záporné čísla. Z dvoch záporných čísel je číslo, ktorého modul je menší, väčšie.

Nájdenie modulov čísel:

Nájdené moduly porovnávame. Najprv ich však uvedieme do jasnej podoby, aby sa dali ľahšie porovnávať, konkrétne zmiešané číslo prevedieme na nesprávny zlomok a potom oba zlomky privedieme do spoločného menovateľa:

Podľa pravidla z dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší. To znamená, že racionálne je väčšie ako , pretože modul čísla je menší ako modul čísla

Porovnávanie desatinných miest je oveľa jednoduchšie ako porovnávanie zlomkov a zmiešaných čísel. V niektorých prípadoch môžete pri pohľade na celú časť takéhoto zlomku okamžite odpovedať na otázku, ktorý zlomok je väčší a ktorý menší.

Aby ste to dosiahli, musíte porovnať moduly celých častí. To vám umožní rýchlo odpovedať na otázku v úlohe. Koniec koncov, ako viete, celé časti v desatinných zlomkoch majú väčšiu váhu ako zlomkové časti.

Príklad 9. Porovnajte racionálne čísla 15,4 a 2,1256

Modul celej časti frakcie je o 15,4 väčší ako modul celej časti frakcie 2,1256

preto je zlomok 15,4 väčší ako zlomok 2,1256

15,4 > 2,1256

Inými slovami, nemuseli sme strácať čas pridávaním núl do zlomku 15,4 a porovnávaním výsledných zlomkov ako bežné čísla

154000 > 21256

Pravidlá porovnávania zostávajú rovnaké. V našom prípade sme porovnávali kladné čísla.

Príklad 10. Porovnajte racionálne čísla −15,2 a −0,152

Musíte porovnať dve záporné čísla. Z dvoch záporných čísel je číslo, ktorého modul je menší, väčšie. Ale budeme porovnávať len moduly celočíselných častí

Vidíme, že modul celej časti frakcie je o −15,2 väčší ako modul celej časti frakcie −0,152.

To znamená, že racionálne −0,152 je väčšie ako −15,2, pretože modul celočíselnej časti čísla −0,152 je menší ako modul celočíselnej časti čísla −15,2

−0,152 > −15,2

Príklad 11. Porovnajte racionálne čísla −3,4 a −3,7

Musíte porovnať dve záporné čísla. Z dvoch záporných čísel je číslo, ktorého modul je menší, väčšie. Ale budeme porovnávať len moduly celočíselných častí. Problém je však v tom, že moduly celých čísel sú rovnaké:

V tomto prípade budete musieť použiť starú metódu: nájdite moduly racionálnych čísel a porovnajte tieto moduly

Porovnajme nájdené moduly:

Podľa pravidla z dvoch záporných čísel je číslo, ktorého absolútna hodnota je menšia, väčšie. To znamená, že racionálne −3,4 je väčšie ako −3,7, pretože modul čísla −3,4 je menší ako modul čísla −3,7

−3,4 > −3,7

Príklad 12. Porovnajte racionálne čísla 0,(3) a

Musíte porovnať dve kladné čísla. Okrem toho porovnajte periodický zlomok s jednoduchým zlomkom.

Preveďme periodický zlomok 0,(3) na obyčajný zlomok a porovnajme ho so zlomkom . Po premene periodického zlomku 0,(3) na obyčajný zlomok sa z neho stane zlomok

Nájdenie modulov čísel:

Nájdené moduly porovnávame. Najprv ich však priveďme do zrozumiteľnej podoby, aby sa dali ľahšie porovnávať, konkrétne ich priveďme k spoločnému menovateľovi:

Podľa pravidla z dvoch kladných čísel je väčšie číslo, ktorého absolútna hodnota je väčšia. To znamená, že racionálne číslo je väčšie ako 0,(3), pretože modul čísla je väčší ako modul čísla 0,(3)

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine VKontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie