Împărțirea triunghiurilor în acute, dreptunghiulare și obtuze. Clasificarea după raportul de aspect împarte triunghiurile în scalen, echilateral și isoscel. Mai mult, fiecare triunghi aparține simultan la două. De exemplu, poate fi dreptunghiular și scalen în același timp.
Când determinați tipul după tipul de unghiuri, fiți foarte atenți. Un triunghi obtuz va fi numit triunghi în care unul dintre unghiuri este , adică mai mult de 90 de grade. Un triunghi dreptunghic poate fi calculat având un unghi drept (egal cu 90 de grade). Cu toate acestea, pentru a clasifica un triunghi drept acut, va trebui să vă asigurați că toate cele trei unghiuri ale sale sunt acute.
Definirea speciei triunghi conform raportului de aspect, mai întâi va trebui să aflați lungimile tuturor celor trei laturi. Totuși, dacă, după condiție, lungimile laturilor nu vă sunt date, unghiurile vă pot ajuta. Un triunghi scalen este unul în care toate cele trei laturi au lungimi diferite. Dacă lungimile laturilor sunt necunoscute, atunci un triunghi poate fi clasificat ca scalen dacă toate cele trei unghiuri ale sale sunt diferite. Un triunghi scalen poate fi obtuz, drept sau acut.
Un triunghi isoscel este unul în care două dintre cele trei laturi ale sale sunt egale între ele. Dacă nu vă sunt date lungimile laturilor, folosiți ca ghid două unghiuri egale. Un triunghi isoscel, ca un triunghi scalen, poate fi obtuz, dreptunghiular sau acut.
Doar un triunghi poate fi echilateral dacă toate cele trei laturi au aceeași lungime. Toate unghiurile sale sunt, de asemenea, egale între ele și fiecare dintre ele este egal cu 60 de grade. Din aceasta este clar că triunghiurile echilaterale sunt întotdeauna acute.
Sfat 2: Cum să determinați obtuz și triunghi acut
Cel mai simplu dintre poligoane este un triunghi. Se formează folosind trei puncte situate în același plan, dar nu pe aceeași linie dreaptă, legate în perechi prin segmente. Cu toate acestea, triunghiurile vin în diferite tipuri și, prin urmare, au proprietăți diferite.
Instrucțiuni
Se obișnuiește să se distingă trei tipuri: unghi obtuz, unghi acut și dreptunghiular. E ca la colțuri. Un triunghi obtuz este un triunghi în care unul dintre unghiuri este obtuz. Un unghi obtuz este un unghi care este mai mare de nouăzeci de grade, dar mai mic de o sută optzeci. De exemplu, în triunghiul ABC, unghiul ABC este de 65°, unghiul BCA este de 95° și unghiul CAB este de 20°. Unghiurile ABC și CAB sunt mai mici de 90°, dar unghiul BCA este mai mare, ceea ce înseamnă că triunghiul este obtuz.
Un triunghi ascuțit este un triunghi în care toate unghiurile sunt acute. Un unghi ascuțit este un unghi care este mai mic de nouăzeci de grade și mai mare de zero grade. De exemplu, în triunghiul ABC, unghiul ABC este de 60°, unghiul BCA este de 70° și unghiul CAB este de 50°. Toate cele trei unghiuri sunt mai mici de 90°, ceea ce înseamnă că este un triunghi. Dacă știți că un triunghi are toate laturile egale, aceasta înseamnă că toate unghiurile sale sunt, de asemenea, egale între ele și sunt egale cu șaizeci de grade. În consecință, toate unghiurile dintr-un astfel de triunghi sunt mai mici de nouăzeci de grade și, prin urmare, un astfel de triunghi este acut.
Dacă unul dintre unghiurile dintr-un triunghi este de nouăzeci de grade, aceasta înseamnă că nu este nici unghi larg, nici unghi ascuțit. Acesta este un triunghi dreptunghic.
Dacă tipul de triunghi este determinat de raportul laturilor, acestea vor fi echilaterale, scalene și isoscele. Într-un triunghi echilateral, toate laturile sunt egale, iar asta, după cum ați aflat, înseamnă că triunghiul este acut. Dacă un triunghi are doar două laturi egale sau laturile nu sunt egale, acesta poate fi obtuz, dreptunghiular sau acut. Aceasta înseamnă că în aceste cazuri este necesar să se calculeze sau să se măsoare unghiurile și să se tragă concluzii conform punctelor 1, 2 sau 3.
Video pe tema
Surse:
- triunghi obtuz
Egalitatea a două sau mai multe triunghiuri corespunde cazului în care toate laturile și unghiurile acestor triunghiuri sunt egale. Cu toate acestea, există o serie de criterii mai simple pentru a demonstra această egalitate.
Vei avea nevoie
- Manual de geometrie, foaie de hârtie, creion, raportor, riglă.
Instrucțiuni
Deschideți manualul de geometrie de clasa a șaptea la secțiunea privind criteriile de congruență a triunghiurilor. Veți vedea că există o serie de semne de bază care dovedesc egalitatea a două triunghiuri. Dacă cele două triunghiuri a căror egalitate este verificată sunt arbitrare, atunci pentru ele există trei semne principale de egalitate. Dacă există Informații suplimentare despre triunghiuri, atunci principalele trei caracteristici sunt completate cu mai multe. Acest lucru se aplică, de exemplu, în cazul egalității triunghiurilor dreptunghiulare.
Citiți prima regulă despre congruența triunghiurilor. După cum se știe, ne permite să considerăm triunghiuri egale dacă se poate dovedi că orice unghi și două laturi adiacente ale două triunghiuri sunt egale. Pentru a înțelege această lege, desenați pe o bucată de hârtie cu ajutorul unui raportor două unghiuri specifice identice formate din două raze care emană dintr-un punct. Folosind o riglă, măsurați aceleași laturi din partea de sus a unghiului desenat în ambele cazuri. Cu ajutorul unui raportor, măsurați unghiurile rezultate ale celor două triunghiuri formate, asigurându-vă că sunt egale.
Pentru a nu apela la astfel de măsuri practice pentru a înțelege testul pentru egalitatea triunghiurilor, citiți demonstrația primului test pentru egalitate. Faptul este că fiecare regulă despre egalitatea triunghiurilor are o dovadă teoretică strictă, pur și simplu nu este convenabil să fie folosită în scopul memorării regulilor.
Citiți al doilea test pentru congruența triunghiurilor. Se afirmă că două triunghiuri vor fi egale dacă oricare dintre laturi și două unghiuri adiacente a două astfel de triunghiuri sunt egale. Pentru a vă aminti această regulă, imaginați-vă latura desenată a unui triunghi și două unghiuri adiacente. Imaginați-vă că lungimile laturilor colțurilor cresc treptat. În cele din urmă se vor intersecta, formând un al treilea colț. În această sarcină mentală, este important ca punctul de intersecție al laturilor care sunt crescute mental, precum și unghiul rezultat, să fie determinate în mod unic de a treia latură și de două unghiuri adiacente.
Dacă nu vi se oferă informații despre unghiurile triunghiurilor studiate, atunci utilizați al treilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor. Conform acestei reguli, două triunghiuri sunt considerate egale dacă toate cele trei laturi ale unuia dintre ele sunt egale cu cele trei laturi corespunzătoare ale celeilalte. Astfel, această regulă spune că lungimile laturilor unui triunghi determină în mod unic toate unghiurile triunghiului, ceea ce înseamnă că ele determină în mod unic triunghiul însuși.
Video pe tema
Cel mai simplu poligon care este studiat la școală este un triunghi. Este mai ușor de înțeles pentru elevi și întâmpină mai puține dificultăți. În ciuda faptului că există tipuri diferite triunghiuri care au proprietăți speciale.
Ce formă se numește triunghi?
Format din trei puncte și segmente. Primele se numesc vârfuri, cele doua se numesc laturi. Mai mult, toate cele trei segmente trebuie conectate astfel încât să se formeze unghiuri între ele. De aici și numele figurii „triunghi”.
Diferențele de nume între colțuri
Deoarece pot fi acute, obtuze și drepte, tipurile de triunghiuri sunt determinate de aceste nume. În consecință, există trei grupuri de astfel de figuri.
- Primul. Dacă toate unghiurile unui triunghi sunt acute, atunci acesta va fi numit acut. Totul este logic.
- Al doilea. Unul dintre unghiuri este obtuz, ceea ce înseamnă că triunghiul este obtuz. Mai simplu nu poate fi.
- Al treilea. Există un unghi egal cu 90 de grade, care se numește unghi drept. Triunghiul devine dreptunghiular.
Diferențele de nume pe părțile laterale
În funcție de caracteristicile laturilor, se disting următoarele tipuri de triunghiuri:
cazul general este scalen, în care toate laturile sunt de lungime arbitrară;
isoscel, ale căror două laturi au aceleași valori numerice;
echilateral, lungimile tuturor laturilor sale sunt aceleași.
Dacă problema nu specifică un anumit tip de triunghi, atunci trebuie să desenați unul arbitrar. În care toate colțurile sunt ascuțite, iar părțile laterale au lungimi diferite.
Proprietăți comune tuturor triunghiurilor
- Dacă adunăm toate unghiurile unui triunghi, obțineți un număr egal cu 180º. Și nu contează ce tip este. Această regulă se aplică întotdeauna.
- Valoarea numerică a oricărei laturi a unui triunghi este mai mică decât a celorlalte două adunate. În plus, este mai mare decât diferența lor.
- Fiecare unghi exterior are o valoare care se obține prin adăugarea a două unghiuri interne care nu sunt adiacente acestuia. Mai mult, este întotdeauna mai mare decât cea internă adiacentă acestuia.
- Cel mai mic unghi este întotdeauna opus laturii mai mici a triunghiului. Și invers, dacă latura este mare, atunci unghiul va fi cel mai mare.
Aceste proprietăți sunt întotdeauna valabile, indiferent de tipurile de triunghiuri luate în considerare în probleme. Toate restul provin din caracteristici specifice.
Proprietățile unui triunghi isoscel
- Unghiurile care sunt adiacente bazei sunt egale.
- Înălțimea, care este trasă la bază, este, de asemenea, mediana și bisectoarea.
- Altitudinile, medianele și bisectoarele, care sunt construite pe laturile laterale ale triunghiului, sunt, respectiv, egale între ele.
Proprietățile unui triunghi echilateral
Dacă există o astfel de cifră, atunci toate proprietățile descrise puțin mai sus vor fi adevărate. Pentru că un echilateral va fi întotdeauna isoscel. Dar nu invers; un triunghi isoscel nu va fi neapărat echilateral.
- Toate unghiurile sale sunt egale între ele și au o valoare de 60º.
- Orice mediană a unui triunghi echilateral este altitudinea și bisectoarea acestuia. În plus, toți sunt egali unul cu celălalt. Pentru a determina valorile lor, există o formulă care constă din produsul laturii și rădăcina pătrată a lui 3 împărțit la 2.
Proprietățile unui triunghi dreptunghic
- Două unghiuri ascuțite se adună până la 90º.
- Lungimea ipotenuzei este întotdeauna mai mare decât cea a oricăruia dintre catete.
- Valoarea numerică a medianei trase de ipotenuză este egală cu jumătatea acesteia.
- Piciorul este egal cu aceeași valoare dacă se află opus unui unghi de 30º.
- Înălțimea, care este desenată din vârful cu o valoare de 90º, are o anumită dependență matematică de catete: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Aici: a, b - picioare, n - înălțime.
Probleme cu diferite tipuri de triunghiuri
Numarul 1. Dat un triunghi isoscel. Perimetrul său este cunoscut și egal cu 90 cm Trebuie să-i aflăm laturile. Ca o condiție suplimentară: partea laterală este de 1,2 ori mai mică decât baza.
Valoarea perimetrului depinde direct de cantitățile care trebuie găsite. Suma tuturor celor trei laturi va da 90 cm. Acum trebuie să vă amintiți semnul unui triunghi, conform căruia este isoscel. Adică cele două părți sunt egale. Puteți crea o ecuație cu două necunoscute: 2a + b = 90. Aici a este latura, b este baza.
Acum este timpul pentru o condiție suplimentară. În urma acesteia, se obține a doua ecuație: b = 1,2a. Puteți înlocui această expresie în prima. Rezultă: 2a + 1,2a = 90. După transformări: 3,2a = 90. Prin urmare a = 28,125 (cm). Acum este ușor să aflați baza. Acest lucru se face cel mai bine din a doua condiție: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).
Pentru a verifica, puteți adăuga trei valori: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Asta e corect.
Răspuns: Laturile triunghiului sunt 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.
nr 2. Latura unui triunghi echilateral este de 12 cm. Trebuie să-i calculați înălțimea.
Soluţie. Pentru a găsi răspunsul, este suficient să revenim la momentul în care au fost descrise proprietățile triunghiului. Aceasta este formula pentru a afla înălțimea, mediana și bisectoarea unui triunghi echilateral.
n = a * √3 / 2, unde n este înălțimea și a este latura.
Înlocuirea și calculul dau următorul rezultat: n = 6 √3 (cm).
Nu este nevoie să memorezi această formulă. Este suficient să ne amintim că înălțimea împarte triunghiul în două dreptunghiulare. Mai mult, se dovedește a fi un picior, iar ipotenuza din el este latura originalului, al doilea picior este jumătate partid cunoscut. Acum trebuie să scrieți teorema lui Pitagora și să obțineți o formulă pentru înălțime.
Răspuns: înălțimea este de 6 √3 cm.
Numarul 3. Dat fiind că MKR este un triunghi, în care unghiul K face 90 de grade. Laturile MR și KR sunt cunoscute, ele sunt egale cu 30, respectiv 15 cm. Trebuie să aflăm valoarea unghiului P.
Soluţie. Dacă faci un desen, devine clar că MR este ipotenuza. Mai mult, este de două ori mai mare decât partea laterală a KR. Din nou trebuie să apelați la proprietăți. Una dintre ele are legătură cu unghiurile. Din aceasta este clar că unghiul KMR este de 30º. Aceasta înseamnă că unghiul dorit P va fi egal cu 60º. Aceasta rezultă dintr-o altă proprietate, care afirmă că suma a două unghiuri ascuțite trebuie să fie egală cu 90º.
Răspuns: unghiul P este de 60º.
nr. 4. Trebuie să găsim toate unghiurile unui triunghi isoscel. Se știe despre acesta că unghiul exterior față de unghiul de la bază este de 110º.
Soluţie. Deoarece este dat doar unghiul exterior, acesta este ceea ce trebuie să utilizați. Formează un unghi desfășurat cu cel intern. Aceasta înseamnă că în total vor da 180º. Adică, unghiul de la baza triunghiului va fi egal cu 70º. Deoarece este isoscel, al doilea unghi are aceeași valoare. Rămâne de calculat al treilea unghi. Conform unei proprietăți comune tuturor triunghiurilor, suma unghiurilor este 180º. Aceasta înseamnă că al treilea va fi definit ca 180º - 70º - 70º = 40º.
Răspuns: unghiurile sunt 70º, 70º, 40º.
nr. 5. Se știe că într-un triunghi isoscel unghiul opus bazei este de 90º. Există un punct marcat pe bază. Segmentul care îl conectează la un unghi drept îl împarte în raport de 1 la 4. Trebuie să aflați toate unghiurile triunghiului mai mic.
Soluţie. Unul dintre unghiuri poate fi determinat imediat. Deoarece triunghiul este dreptunghic și isoscel, cei care se află la baza lui vor fi de 45º fiecare, adică 90º/2.
Al doilea dintre ele vă va ajuta să găsiți relația cunoscută în afecțiune. Deoarece este egal cu 1 la 4, părțile în care este împărțit sunt doar 5. Aceasta înseamnă că pentru a afla unghiul mai mic al unui triunghi aveți nevoie de 90º/5 = 18º. Rămâne de aflat pe al treilea. Pentru a face acest lucru, trebuie să scădeți 45º și 18º din 180º (suma tuturor unghiurilor triunghiului). Calculele sunt simple și obțineți: 117º.
Tipuri de triunghiuri
Să luăm în considerare trei puncte care nu se află pe aceeași linie și trei segmente care leagă aceste puncte (Fig. 1).
Un triunghi este o parte a planului delimitată de aceste segmente, segmentele se numesc laturile triunghiului, iar capetele segmentelor (trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă) sunt vârfurile triunghiului.
Tabelul 1 enumeră toate tipurile posibile de triunghiuri în funcţie de mărimea unghiurilor lor .
Tabelul 1 - Tipuri de triunghiuri în funcție de mărimea unghiurilor
| Desen | Tip triunghi | Definiție |
 | Triunghi acut | Un triunghi cu toate unghiurile sunt ascuțite , numită cu unghi ascuțit |
 | Triunghi dreptunghic | Un triunghi cu unul dintre unghiuri este drept , numit dreptunghiular |
 | Triunghi obtuz | Un triunghi cu unul dintre unghiuri este obtuz , numit obtuz |
| Triunghi acut |
Definiție: Un triunghi cu toate unghiurile sunt ascuțite , numită cu unghi ascuțit |
| Triunghi dreptunghic |
Definiție: Un triunghi cu unul dintre unghiuri este drept , numit dreptunghiular |
| Triunghi obtuz |
Definiție: Un triunghi cu unul dintre unghiuri este obtuz , numit obtuz |
In functie de lungimile laturilor Există două tipuri importante de triunghiuri.
Tabelul 2 - Triunghiuri isoscele și echilaterale
| Desen | Tip triunghi | Definiție |
 | Triunghi isoscel | laturi, iar a treia latură se numește baza unui triunghi isoscel |
 | echilateral (corect) triunghi | Un triunghi în care toate cele trei laturi sunt egale se numește triunghi echilateral sau regulat. |
| Triunghi isoscel |
Definiție: Un triunghi ale cărui două laturi sunt egale se numește triunghi isoscel. În acest caz, sunt numite două laturi egale laturi, iar a treia latură se numește baza unui triunghi isoscel |
| Triunghi echilateral (drept). |
Definiție: Un triunghi în care toate cele trei laturi sunt egale se numește triunghi echilateral sau regulat. |
Semne de egalitate a triunghiurilor
Se spune că triunghiurile sunt egale dacă acestea pot fi combinate prin suprapunere .
Tabelul 3 arată semne de egalitate a triunghiurilor.
Tabelul 3 – Semne de egalitate a triunghiurilor
| Desen | Numele caracteristicii | Formularea atributelor |
 | De două laturi și unghiul dintre ele | |
 | Test pentru echivalența triunghiurilor De latura si doua unghiuri adiacente | |
 | Test pentru echivalența triunghiurilor De trei partide |
| Test pentru echivalența triunghiurilor pe două laturi și unghiul dintre ele |
|
| Formularea atributelor. Dacă două laturi ale unui triunghi și unghiul dintre ele sunt, respectiv, egale cu două laturi ale altui triunghi și unghiul dintre ele, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente |
| Test pentru echivalența triunghiurilor de-a lungul unei laturi și a două colțuri adiacente |
|
| Formularea atributelor. Dacă o latură și două unghiuri adiacente ale unui triunghi sunt egale cu o latură și, respectiv, două unghiuri adiacente ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente |
| Test pentru echivalența triunghiurilor pe trei laturi |
|
| Formularea atributelor. Dacă trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, egale cu trei laturi ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt congruente |
Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare
Următoarele nume sunt utilizate în mod obișnuit pentru laturile triunghiurilor dreptunghiulare.
Ipotenuza este latura unui triunghi dreptunghic care se află opus unghi drept(Fig. 2), celelalte două laturi se numesc picioare.
Tabelul 4 – Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare
| Desen | Numele caracteristicii | Formularea atributelor |
 | De două părți | |
 | Test de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare De piciorul și unghiul ascuțit adiacent | |
 | Test de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare De picior și unghi ascuțit opus | Dacă cateta și unghiul acut opus al unui triunghi dreptunghic sunt egale cu cateta și, respectiv, unghiul ascuțit opus al altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri dreptunghic sunt congruente |
 | Test de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare De ipotenuza si unghiul ascutit | Dacă ipotenuza și unghiul ascuțit al unui triunghi dreptunghic sunt, respectiv, egale cu ipotenuza și unghiul ascuțit al altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri dreptunghic sunt congruente |
 | Test de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare De picior și ipotenuză | Dacă cateta și ipotenuza unui triunghi dreptunghic sunt egale cu cateta și ipotenuza altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri dreptunghic sunt congruente |
| Semnul egalității triunghiurilor dreptunghiulare pe două laturi |
|
| Formularea atributelor. Dacă două catete ale unui triunghi dreptunghic sunt, respectiv, egale cu două catete ale altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri dreptunghic sunt congruente |
| Test de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare de-a lungul piciorului și unghiului acut adiacent |
|
| Formularea atributelor. Dacă cateta și unghiul ascuțit adiacent al unui triunghi dreptunghic sunt egale cu cateta și respectiv unghiul ascuțit adiacent al altui triunghi dreptunghic, atunci astfel de triunghiuri dreptunghic sunt congruente |
| Test de egalitate pentru triunghiuri dreptunghiulare de-a lungul piciorului și unghiului acut opus |
Triunghi este un poligon cu 3 laturi (sau 3 unghiuri). Laturile unui triunghi sunt adesea indicate prin litere mici care corespund cu litere mari care indică vârfurile inverse.
Triunghi acut se numește triunghi în care toate cele trei unghiuri sunt acute.
Triunghi obtuz se numește triunghi în care unul dintre unghiuri este obtuz.
Triunghi dreptunghic se numeste triunghi in care unul dintre unghiuri este unghi drept, cu alte cuvinte egal cu 90°; laturile a, b care formează un unghi drept se numesc picioare; latura c, opusa unghiului drept, se numeste ipotenuză.
Triunghi isoscel se numește triunghi ale cărui două laturi sunt egale (a = c); aceste laturi egale se numesc lateral, a treia parte este apelată baza triunghiului.
Triunghi echilateral se numește triunghi în care toate laturile sale sunt egale (a = b = c). În acest caz, într-un triunghi niciuna dintre laturile sale (abc) nu este egală, atunci aceasta triunghi echilateral.
Principalele caracteristici ale triunghiurilor
În orice triunghi:
Semne de egalitate a triunghiurilor
Triunghiurile sunt congruente, caz în care sunt, respectiv, egale:
Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare
Două triunghiuri dreptunghiulare sunt egale, caz în care se realizează unul dintre următoarele criterii:
Înălţimetriunghi- aceasta este o perpendiculară căzută de la orice vârf spre partea opusă (sau continuarea acesteia). Această parte se numește baza triunghiului. Cele trei altitudini ale unui triunghi se intersectează întotdeauna într-un punct numit ortocentrul triunghiului.
Ortocentrul unui triunghi acut este situat în interiorul triunghiului, iar ortocentrul unui triunghi obtuz este situat în exterior; Ortocentrul unui triunghi dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.
Median- acesta este un segment care leagă fiecare vârf al triunghiului cu mijlocul reversului. Cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct, care se află întotdeauna în interiorul triunghiului și este centrul său de masă. Acest punct împarte fiecare mediană într-un raport de 2:1, numărând de la vârf.
Bisectoare- acesta este segmentul bisectoare al unghiului de la vârf până la punctul de intersecție cu reversul. Cele trei bisectoare ale unui triunghi se intersectează într-un punct, care se află întotdeauna în interiorul triunghiului și este centrul cercului înscris. Bisectoarea împarte reversul în părți proporționale cu laturile adiacente.
Perpendiculară mediană- aceasta este o perpendiculară desenată de la mijlocul unui segment (latură). Cele trei perpendiculare mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct, care este centrul cercului circumferitor.
Într-un triunghi ascuțit acest punct se află în interiorul triunghiului, într-un triunghi obtuz se află în exterior, într-un triunghi dreptunghiular se află în mijlocul ipotenuzei. Ortocentrul, centrul de masă, centrul cercului circumscris și centrul cercului înscris coincid exclusiv într-un triunghi echilateral.
Axioma lui Pitagora
ÎN triunghi dreptunghic Pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
Confirmarea axiomei lui Pitagora
Să construim un pătrat AKMB folosind ipotenuza AB ca latură. Apoi continuăm laturile triunghiului dreptunghic ABC astfel încât să obținem un pătrat CDEF, a cărui latură este egală cu a + b. Acum este clar că aria pătratului CDEF este egală cu (a + b) 2. Pe de altă parte, această zonă este egală cu suma ariilor celor patru triunghiuri dreptunghiulare și pătratului AKMB, în alte părți. cuvinte,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
și avem:
c 2 = a 2 + b 2 .
Raportul de aspect într-un triunghi aleatoriu
În cazul general (pentru un triunghi aleatoriu) avem:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
unde C este unghiul dintre laturile a și b.
În plus, pe site:
Triunghiuri
Triunghi este o figură care constă din trei puncte care nu se află pe aceeași dreaptă și trei segmente care leagă aceste puncte în perechi. Punctele sunt numite culmi triunghi, iar segmentele sunt ale acestuia petreceri.
Tipuri de triunghiuri
Triunghiul se numește isoscel, dacă cele două laturi ale sale sunt egale. Aceste laturi egale sunt numite laturi, iar tertul este sunat bază triunghi.
Se numește un triunghi în care toate laturile sunt egale echilateral sau corect.
Triunghiul se numește dreptunghiular, dacă are unghi drept, atunci există un unghi de 90°. Latura unui triunghi dreptunghic opus unghiului drept se numește ipotenuză, celelalte două părți sunt numite picioare.
Triunghiul se numește acut, dacă toate cele trei unghiuri ale sale sunt acute, adică mai mici de 90°.
Triunghiul se numește obtuz, dacă unul dintre unghiurile sale este obtuz, adică mai mult de 90°.
Liniile de bază ale triunghiului
Median
Median al unui triunghi este un segment care leagă vârful unui triunghi cu mijlocul laturii opuse a acestui triunghi. 
Proprietățile medianelor triunghiulare
Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de suprafață egală.
Medianele unui triunghi se intersectează într-un punct, care împarte fiecare dintre ele într-un raport de 2:1, numărând de la vârf. Acest punct se numește centrul de greutate triunghi.
Întregul triunghi este împărțit de medianele sale în șase triunghiuri egale.
Bisectoare
Bisectoarea unghiului este o rază care emană din vârful ei, trece între laturile sale și traversează un unghi dat. Bisectoarea unui triunghi numit segmentul bisectoare al unui unghi al unui triunghi care leagă un vârf de un punct de pe latura opusă acestui triunghi. 
Proprietățile bisectoarelor triunghiului
Înălţime
Înălţime a unui triunghi este perpendiculara trasată de la vârful triunghiului la dreapta care conține latura opusă a acestui triunghi. 
Proprietățile altitudinilor triunghiului
ÎN triunghi dreptunghic altitudinea trasată de la vârful unui unghi drept îl împarte în două triunghiuri, asemănătoare original.
ÎN triunghi acut cele două înălțimi ale sale tăiate de ea asemănătoare triunghiuri.
Perpendiculară mediană
O linie dreaptă care trece prin mijlocul unui segment perpendicular pe acesta se numește bisectoare perpendiculară la segment .
Proprietățile bisectoarelor perpendiculare ale unui triunghi
Fiecare punct al bisectoarei perpendiculare a unui segment este echidistant de capetele acelui segment. Este adevărat și invers: fiecare punct echidistant de capetele unui segment se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.
Punctul de intersecție al bisectoarelor perpendiculare trasate pe laturile triunghiului este centrul circumcercul acestui triunghi.
linia de mijloc
Linia de mijloc a triunghiului numit segment care leagă punctele medii ale celor două laturi ale sale.
Proprietatea liniei mediane a unui triunghi
Linia mediană a unui triunghi este paralelă cu una dintre laturile sale și egală cu jumătate din acea latură.
Formule și rapoarte
Semne de egalitate a triunghiurilor
Două triunghiuri sunt egale dacă sunt, respectiv, egale:
două laturi și unghiul dintre ele;
două colțuri și partea adiacentă acestora;
trei laturi.
Semne de egalitate ale triunghiurilor dreptunghiulare
Două triunghi dreptunghic sunt egale dacă sunt, respectiv, egale: 
ipotenuzăși un unghi ascuțit;
piciorși unghiul opus;
piciorși unghiul adiacent;
Două picior;
ipotenuzăȘi picior.
Asemănarea triunghiurilor
Două triunghiuri asemănătoare dacă una dintre următoarele condiții, apelat semne de asemănare:
două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi;
două laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu două laturi ale altui triunghi, iar unghiurile formate de aceste laturi sunt egale;
cele trei laturi ale unui triunghi sunt, respectiv, proportionale cu cele trei laturi ale celuilalt triunghi.
În triunghiuri similare, liniile corespunzătoare ( înălțimi, mediane, bisectoare etc.) sunt proporţionale.
Teorema sinusurilor
Laturile unui triunghi sunt proportionale cu sinusurile unghiurilor opuse, iar coeficientul de proportionalitate este egal cu diametru
cerc circumscris unui triunghi:
Teorema cosinusului
Pătratul unei laturi a unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul acestor laturi și cosinusul unghiului dintre ele:
A 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos
Formulele ariei triunghiulare
Triunghiul liber
a, b, c - laterale; - unghiul dintre laturi AȘi b;- semiperimetrul; R- raza cercului circumscris; r- raza cercului înscris; S- pătrat; h A - înălțimea trasă în lateral A.
