PERVUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH

Privatna obrazovna ustanova "Sankt Peterburg škola "Tete-a-Tete"

Nastavnik matematike najviše kategorije

Poređenje brojeva po modulu

Definicija 1. Ako dva broja1 ) aIbkada se podijeli sastrdati isti ostatakr, tada se takvi brojevi nazivaju equiremainder iliuporedivi po modulu str.

Izjava 1. Nekastrneki pozitivan broj. Zatim svaki brojauvijek i, štaviše, na jedini način može biti predstavljen u obliku

a=sp+r,

(1)

Gdjes- broj irjedan od brojeva 0,1, ...,str−1.

1 ) U ovom članku riječ broj će se shvatiti kao cijeli broj.

Zaista. Akosće dobiti vrijednost od −∞ do +∞, zatim brojevesppredstavljaju skup svih brojeva koji su višestrukistr. Pogledajmo brojeve izmeđuspi (s+1) p=sp+p. Jerstrje pozitivan cijeli broj, zatim izmeđuspIsp+ppostoje brojevi

Ali ovi brojevi se mogu dobiti postavljanjemrjednako 0, 1, 2,...,str−1. Daklesp+r=aće dobiti sve moguće cjelobrojne vrijednosti.

Pokažimo da je ovaj prikaz jedinstven. Pretvarajmo se tostrmože se predstaviti na dva načinaa=sp+rIa=s1 str+ r1 . Onda

ili

(2)

Jerr1 prihvata jedan od brojeva 0,1, ...,str−1, zatim apsolutnu vrijednostr1 − rmanjestr. Ali iz (2) proizilazi dar1 − rvišestrukostr. Dakler1 = rIs1 = s.

Brojrpozvaooduzeti brojeviamodulostr(drugim riječima, brojrzove ostatak brojaaonstr).

Izjava 2. Ako dva brojaaIbuporedivi po modulustr, Toa−bpodijeljenastr.

Zaista. Ako dva brojaaIbuporedivi po modulustr, zatim kada se podijeli sastrimaju isti ostatakstr. Onda

GdjesIs1 neki cijeli brojevi.

Razlika ovih brojeva

(3)

podijeljenastr, jer desna strana jednačine (3) je podijeljena sastr.

Izjava 3. Ako je razlika dva broja djeljiva sastr, onda su ovi brojevi uporedivi po modulustr.

Dokaz. Označimo sarIr1 ostatke podjeleaIbonstr. Onda

gdje

Premaa−bpodijeljenastr. Dakler− r1 je također djeljiv sastr. Ali zatorIr1 brojevi 0,1,...,str−1, tada apsolutna vrijednost |r− r1 |< str. Zatim, da bir− r1 podijeljenastruslov mora biti ispunjenr= r1 .

Iz tvrdnje proizilazi da su uporedivi brojevi oni brojevi čija je razlika djeljiva modulom.

Ako treba da zapišete te brojeveaIbuporedivi po modulustr, tada koristimo notaciju (koju je uveo Gauss):

a≡bmod (str)

Primjeri 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).

Iz prvog primjera slijedi da 25 kada se podijeli sa 7 daje isti ostatak kao 39. Zaista, 25 = 3·7+4 (ostatak 4). 39=3·7+4 (ostatak 4). Kada razmatrate drugi primjer, morate uzeti u obzir da ostatak mora biti nenegativan broj manji od modula (tj. 4). Tada možemo napisati: −18=−5·4+2 (ostatak 2), 14=3·4+2 (ostatak 2). Stoga, −18 kada se podijeli sa 4 ostavlja ostatak od 2, a 14 kada se podijeli sa 4 ostavlja ostatak od 2.

Svojstva modulo poređenja

Nekretnina 1. Za bilo kogaaIstrUvijek

a≡amod (str).

Nekretnina 2. Ako dva brojaaIcuporedivo sa brojembmodulostr, ToaIcmeđusobno uporedivi prema istom modulu, tj. Ako

a≡bmod (str), b≡cmod (str).

To

a≡cmod (str).

Zaista. Iz stanja imovine 2 proizilazia−bIb−cse dijele nastr. Zatim njihov zbira−b+(b−c)=a−ctakođe podeljen nastr.

Nekretnina 3. Ako

a≡bmod (str) Im≡nmod (str),

To

a+m≡b+nmod (str) Ia−m≡b−nmod (str).

Zaista. Jera−bIm−nse dijele nastr, To

( a−b)+ ( m−n)=( a+m)−( b+n) ,

( a−b)−( m−n)=( a−m)−( b−n)

takođe podeljen nastr.

Ovo svojstvo se može proširiti na bilo koji broj poređenja koja imaju isti modul.

Nekretnina 4. Ako

a≡bmod (str) Im≡nmod (str),

To

Daljem−npodijeljenastr, dakleb(m−n)=bm−bntakođe podeljen nastr, znači

bm≡bnmod (str).

Dakle, dva brojaamIbnuporedivi po modulu sa istim brojembm, stoga su međusobno uporedivi (svojstvo 2).

Nekretnina 5. Ako

a≡bmod (str).

To

ak≡bkmod (str).

Gdjekneki nenegativni cijeli broj.

Zaista. Imamoa≡bmod (str). Iz imovine 4 slijedi

.................

ak≡bkmod (str).

Predstavite sva svojstva 1-5 u sljedećoj izjavi:

Izjava 4. Nekaf( x1 , x2 , x3 , ...) je cijela racionalna funkcija s cjelobrojnim koeficijentima i neka

a1 ≡ b1 , a2 ≡ b2 , a3 ≡ b3 , ... mod (str).

Onda

f( a1 , a2 , a3 , ...)≡ f( b1 , b2 , b3 , ...) mod (str).

Sa podjelom je sve drugačije. Iz poređenja

Izjava 5. Neka

Gdjeλ Ovonajveći zajednički djeliteljbrojevimIstr.

Dokaz. Nekaλ najveći zajednički djelitelj brojevamIstr. Onda

Jerm(a−b)podijeljenak, To

ima nulti ostatak, tj.m1 ( a−b) podijeljenak1 . Ali brojevim1 Ik1 brojevi su relativno prosti. Daklea−bpodijeljenak1 = k/λi onda,p,q,s.

Zaista. Razlikaa≡bmora biti višestruki odp,q,s.i stoga mora biti višestrukah.

U posebnom slučaju, ako su modulip,q,sonda koprosti brojevi

a≡bmod (h),

Gdjeh=pqs.

Imajte na umu da možemo dozvoliti poređenja zasnovana na negativnim modulima, tj. poređenjea≡bmod (str) znači u ovom slučaju da je razlikaa−bpodijeljenastr. Sva svojstva poređenja ostaju na snazi ​​za negativne module.

Označimo dvije tačke na koordinatnoj liniji koje odgovaraju brojevima −4 i 2.

Tačka A, koja odgovara broju −4, nalazi se na udaljenosti od 4 jedinična segmenta od tačke 0 (početak), odnosno dužina segmenta OA je jednaka 4 jedinice.

Broj 4 (dužina segmenta OA) naziva se modulom broja −4.

Odrediti apsolutnu vrijednost broja ovako: |−4| = 4

Gornji simboli se čitaju na sljedeći način: "modul broja minus četiri jednak je četiri."

Tačka B, koja odgovara broju +2, nalazi se na udaljenosti od dva jedinična segmenta od početka, odnosno dužina segmenta OB jednaka je dvije jedinice.

Broj 2 naziva se modulom broja +2 i piše se: |+2| = 2 ili |2| = 2.

Ako uzmemo određeni broj "a" i prikažemo ga kao tačku A na koordinatnoj liniji, tada će se udaljenost od tačke A do ishodišta (drugim riječima, dužina segmenta OA) zvati modulom broja " a”.

Zapamti

Modul racionalnog broja Oni nazivaju udaljenost od početka do tačke na koordinatnoj liniji koja odgovara ovom broju.

Budući da se udaljenost (dužina segmenta) može izraziti samo kao pozitivan broj ili nula, možemo reći da modul broja ne može biti negativan.

Zapamti

Hajde da zapišemo svojstva modula koristeći doslovne izraze, s obzirom

svim mogućim slučajevima.

1. Modul pozitivnog broja jednak je samom broju. |a| = a, ako je a > 0;

2. Modul negativnog broja jednak je suprotnom broju. |−a| = a ako a< 0;

3. Modul nule je nula. |0| = 0 ako je a = 0;

4. Suprotni brojevi imaju jednake module.

Primjeri modula racionalnih brojeva:

· |−4,8| = 4.8

· |0| = 0

· |−3/8| = |3/8|

Od dva broja na koordinatnoj liniji, onaj koji se nalazi desno je veći, a onaj koji se nalazi lijevo je manji.

Zapamti

bilo koji pozitivni broj veći od nule i veći od bilo kojeg

negativan broj;

· bilo koji negativan broj je manji od nule i manji od bilo kojeg

pozitivan broj.

Primjer.

Zgodno je porediti racionalne brojeve koristeći koncept modula.

Veći od dva pozitivna broja predstavljen je tačkom koja se nalazi na koordinatnoj liniji desno, odnosno dalje od početka. To znači da ovaj broj ima veći modul.

Zapamti

Od dva pozitivna broja veći je onaj čiji je modul veći.

Kada se porede dva negativna broja, veći će se nalaziti desno, odnosno bliže ishodištu. To znači da će njegov modul (dužina segmenta od nule do broja) biti manji.

Za dva cijela broja X I at Hajde da uvedemo relaciju uporedivosti po paritetu ako je njihova razlika paran broj. Lako je provjeriti da su sva tri prethodno uvedena uslova ekvivalencije zadovoljena. Ovako uvedena relacija ekvivalencije ceo skup celih brojeva deli na dva disjunktna ​​podskupa: podskup parnih brojeva i podskup neparnih brojeva.

Uopštavajući ovaj slučaj, reći ćemo da su dva cijela broja koja se razlikuju za višekratnik nekog fiksnog prirodnog broja ekvivalentna. Ovo je osnova za koncept uporedivosti po modulu, koji je uveo Gauss.

Broj A, uporedivo sa b modulo m, ako je njihova razlika djeljiva fiksnim prirodnim brojem m, to je a - b podijeljena m. Simbolično se ovo piše kao:

a ≡ b(mod m),

a glasi ovako: A uporedivi sa b modulo m.

Ovako uvedena relacija, zahvaljujući dubokoj analogiji između poređenja i jednakosti, pojednostavljuje proračune u kojima se brojevi razlikuju za višestruko m, zapravo se ne razlikuju (pošto je poređenje jednakost do nekog višekratnika m).

Na primjer, brojevi 7 i 19 su uporedivi po modulu 4, ali ne i po modulu 5, jer 19-7=12 je deljivo sa 4 i nije deljivo sa 5.

Takođe se može reći da je broj X modulo m jednak ostatku kada se dijeli cijelim brojem X on m, jer

x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.

Lako je provjeriti da uporedivost brojeva prema datom modulu ima sva svojstva ekvivalencije. Stoga je skup cijelih brojeva podijeljen na klase brojeva uporedivih po modulu m. Broj takvih klasa je jednak m, i svi brojevi iste klase kada se dijele sa m dati isti ostatak. Na primjer, ako m= 3, onda dobijamo tri klase: klasu brojeva koji su višestruki od 3 (daju ostatak 0 kada se podijele sa 3), klasu brojeva koji ostavljaju ostatak 1 kada se podijele sa 3, i klasu brojeva koji ostavljaju ostatak 2 kada se podijeli sa 3.

Primjeri korištenja poređenja daju dobro poznati kriteriji djeljivosti. Reprezentacija uobičajenih brojeva n brojevi u decimalnom brojevnom sistemu imaju oblik:

n = c10 2 + b10 1 + a10 0,

Gdje a, b, c,- cifre broja ispisane s desna na lijevo, dakle A- broj jedinica, b- broj desetica itd. Od 10k ≡ 1(mod9) za bilo koji k≥0, onda iz napisanog proizilazi da

n ≡ c + b + a(mod9),

odakle slijedi test djeljivosti sa 9: n je djeljiv sa 9 ako i samo ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9. Ovo razmišljanje vrijedi i kada se 9 zamijeni sa 3.

Dobijamo test djeljivosti sa 11. Poređenja se vrše:

10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11) i tako dalje. Zbog toga n ≡ c - b + a - ….(mod11).

dakle, n je djeljiv sa 11 ako i samo ako je naizmjenični zbir njegovih cifara a - b + c -... djeljiv sa 11.

Na primjer, naizmjenični zbir cifara broja 9581 je 1 - 8 + 5 - 9 = -11, djeljiv je sa 11, što znači da je broj 9581 djeljiv sa 11.

Ako postoje poređenja: , onda se mogu dodavati, oduzimati i množiti član po član na isti način kao i jednakosti:

Poređenje se uvijek može pomnožiti cijelim brojem:

ako onda

Međutim, smanjenje poređenja bilo kojim faktorom nije uvijek moguće, na primjer, ali ga je nemoguće smanjiti zajedničkim faktorom 6 za brojeve 42 i 12; takvo smanjenje dovodi do netočnog rezultata, budući da .

Iz definicije uporedivosti po modulu slijedi da je redukcija za faktor dozvoljena ako je ovaj faktor kopriman sa modulom.

Već je gore navedeno da je svaki cijeli broj uporediv mod m sa jednim od sljedećih brojeva: 0, 1, 2,... , m-1.

Pored ove serije, postoje i drugi nizovi brojeva koji imaju isto svojstvo; tako, na primjer, bilo koji broj je uporediv mod 5 sa jednim od sljedećih brojeva: 0, 1, 2, 3, 4, ali i uporediv s jednim od sljedećih brojeva: 0, -4, -3, -2, - 1, ili 0, 1, -1, 2, -2. Svaki takav niz brojeva naziva se kompletan sistem ostataka po modulu 5.

Dakle, kompletan sistem ostataka mod m bilo koju seriju m brojevi, od kojih nema dva međusobno uporediva. Obično se koristi kompletan sistem odbitaka koji se sastoji od brojeva: 0, 1, 2, ..., m-1. Oduzimanje broja n modulo m je ostatak podjele n on m, što proizlazi iz prikaza n = km + r, 0<r<m- 1.

Poređenje brojeva po modulu

Pripremila: Irina Zutikova

MAOU "Licej br. 6"

Klasa: 10 "a"

Naučni rukovodilac: Zheltova Olga Nikolaevna

Tambov

2016

• Problem
• Cilj projekta
• Hipoteza
• Ciljevi projekta i plan za njihovo postizanje
• Poređenja i njihova svojstva
• Primjeri problema i njihova rješenja
• Korišćene stranice i literatura

problem:

Većina učenika rijetko koristi modulo poređenje brojeva za rješavanje nestandardnih i olimpijskih zadataka.

Cilj projekta:

Pokažite kako možete riješiti nestandardne i olimpijske zadatke upoređujući brojeve po modulu.

hipoteza:

Dublje proučavanje teme „Upoređivanje brojeva po modulu“ pomoći će učenicima da riješe neke nestandardne i olimpijske zadatke.

Ciljevi projekta i plan za njihovo postizanje:

1. Detaljno proučite temu “Poređenje brojeva po modulu”.

2. Riješite nekoliko nestandardnih i olimpijskih zadataka koristeći modulo poređenje brojeva.

3. Kreirajte dopis za učenike na temu “Upoređivanje brojeva po modulu.”

4. Održati čas na temu “Upoređivanje brojeva po modulu” u 10.a razredu.

5. Zadati razredu domaći zadatak na temu „Poređenje po modulu“.

6.Uporedite vrijeme za završetak zadatka prije i nakon proučavanja teme “Poređenje po modulu”.

7. Izvucite zaključke.

Prije nego što sam počeo detaljno proučavati temu “Upoređivanje brojeva po modulu”, odlučio sam uporediti kako je to predstavljeno u raznim udžbenicima.

• Algebra i početak matematičke analize. Napredni nivo. 10. razred (Yu.M. Koljagin i drugi)
• Matematika: algebra, funkcije, analiza podataka. 7. razred (L.G. Peterson i drugi)
• Algebra i početak matematičke analize. Nivo profila. 10. razred (E.P. Nelin i dr.)
• Algebra i početak matematičke analize. Nivo profila. 10. razred (G.K. Muravin i dr.)

Kako sam saznao, neki udžbenici se i ne dotiču ove teme, uprkos naprednom nivou. A tema je na najjasniji i najpristupačniji način predstavljena u udžbeniku L.G. Petersona (Poglavlje: Uvod u teoriju djeljivosti), pa pokušajmo razumjeti „Poređenje brojeva po modulu“, oslanjajući se na teoriju iz ovog udžbenika.

Poređenja i njihova svojstva.

definicija: Ako dva cijela broja a i b imaju iste ostatke kada se podijele s nekim cijelim brojem m (m>0), onda kažu daa i b su uporedivi po modulu m, i napiši:

Teorema: ako i samo ako je razlika a i b djeljiva sa m.

Svojstva:

1. Refleksivnost poređenja.Bilo koji broj a je uporediv sam sa sobom po modulu m (m>0; a,m su cijeli brojevi).
2. Simetrična poređenja.Ako je broj a uporediv sa brojem b po modulu m, onda je broj b uporediv sa brojem a po istom modulu (m>0; a,b,m su cijeli brojevi).
3. Tranzitivnost poređenja.Ako je broj a uporediv sa brojem b po modulu m, a broj b uporediv sa brojem c po istom modulu, tada je broj a uporediv sa brojem c po modulu m (m>0; a,b,c ,m su cijeli brojevi).
4. Ako je broj a uporediv sa brojem b po modulu m, onda je broj a n uporedivo po broju b n po modulu m(m>0; a,b,m-cijeli brojevi; n-prirodni broj).

Primjeri problema i njihova rješenja.

1. Pronađite zadnju cifru broja 3 999 .

Rješenje:

Jer Posljednja znamenka broja je onda ostatak kada se podijeli sa 10

3 999 =3 3 *3 996 =3 3 *(3 4 ) 249 =7*81 249 7 (mod 10)

(Jer 34=81 1(mod 10);81 n 1(mod10) (po svojstvu))

Odgovor: 7.

2.Dokazati da je 2 4n -1 je djeljivo sa 15 bez ostatka. (Phystech2012)

Rješenje:

Jer 16 1 (mod 15), onda

16n-1 0(mod 15) (po svojstvu); 16n= (2 4) n

2 4n -1 0 (mod 15)

3. Dokaži da 12 2n+1 +11 n+2 Deljivo sa 133 bez ostatka.

Rješenje:

12 2n+1 =12*144 n 12*11 n (mod 133) (po svojstvu)

12 2n+1 +11 n+2 =12*11 n +11 n *121=11 n *(12+121) =11 n *133

Broj (11 n *133) dijeli sa 133 bez ostatka, dakle (12 2n+1 +11 n+2 ) je djeljiv sa 133 bez ostatka.

4. Pronađite ostatak broja 2 podijeljen sa 15 2015 .

Rješenje:

Od 16 1 (mod 15), onda

2 2015 8 (mod 15)

Odgovor:8.

5.Pronađi ostatak dijeljenja 17. brojem 2 2015. (Phystech2015)

Rješenje:

2 2015 =2 3 *2 2012 =8*16 503

Od 16 -1 (mod 17), onda

2 2015 -8 (mod 15)

8 9 (mod 17)

Odgovor:9.

6. Dokažite da je broj 11 100 -1 je djeljivo sa 100 bez ostatka. (Phystech2015)

Rješenje:

11 100 =121 50

121 50 21 50 (mod 100) (po svojstvu)

21 50 =441 25

441 25 41 25 (mod 100) (po svojstvu)

41 25 =41*1681 12

1681 12 (-19) 12 (mod 100) (po svojstvu)

41*(-19) 12 =41*361 6

361 6 (-39) 6 (mod 100)(po svojstvu)

41*(-39) 6 =41*1521 3

1521 3 21 3 (mod100) (po svojstvu)

41*21 3 =41*21*441

441 41 (mod 100) (po svojstvu)

21*41 2 =21*1681

1681 -19 (mod 100) (po svojstvu)

21*(-19)=-399

399 1 (mod 100) (po svojstvu)

Dakle 11 100 1 (mod 100)

11 100 -1 0 (mod 100) (po svojstvu)

7. Dana su tri broja: 1771,1935,2222. Nađi broj takav da će, kada se podijeli s njim, ostaci tri data broja biti jednaki. (HSE2016)

Rješenje:

Neka je tada nepoznati broj jednak a

2222 1935 (mod a); 1935. 1771 (mod a); 2222 1771 (mod a)

2222-1935 0(moda) (po svojstvu); 1935-17710(moda) (po svojstvu); 2222-17710(moda) (po svojstvu)

287 0(mod a); 164 0 (mod a); 451 0 (mod a)

287-164 0(moda) (po svojstvu); 451-2870(moda)(po svojstvu)

123 0(mod a); 164 0 (mod a)

164-123 0(mod a) (po svojstvu)

41

HSE olimpijada 2016

Nastavljamo da proučavamo racionalne brojeve. U ovoj lekciji ćemo naučiti kako da ih uporedimo.

Iz prethodnih lekcija naučili smo da što se broj nalazi udesno na koordinatnoj liniji, to je veći. I shodno tome, što se broj nalazi dalje lijevo na koordinatnoj liniji, to je manji.

Na primjer, ako uporedite brojeve 4 i 1, odmah možete odgovoriti da je 4 više od 1. Ovo je potpuno logična tvrdnja i svi će se složiti s njom.

Kao dokaz možemo navesti koordinatnu liniju. To pokazuje da četiri leže desno od jednog

Za ovaj slučaj postoji i pravilo koje se po želji može koristiti. izgleda ovako:

Od dva pozitivna broja veći je broj čiji je modul veći.

Da biste odgovorili na pitanje koji je broj veći, a koji manji, prvo morate pronaći module ovih brojeva, uporediti te module, a zatim odgovoriti na pitanje.

Na primjer, uporedite iste brojeve 4 i 1, primjenjujući gornje pravilo

Pronalaženje modula brojeva:

|4| = 4

|1| = 1

Uporedimo pronađene module:

4 > 1

Odgovaramo na pitanje:

4 > 1

Za negativne brojeve postoji još jedno pravilo, koje izgleda ovako:

Od dva negativna broja veći je broj čiji je modul manji.

Na primjer, uporedite brojeve −3 i −1

Pronalaženje modula brojeva

|−3| = 3

|−1| = 1

Uporedimo pronađene module:

3 > 1

Odgovaramo na pitanje:

−3 < −1

Modul broja ne treba brkati sa samim brojem. Uobičajena greška koju čine mnogi novajli. Na primjer, ako je modul −3 veći od modula −1, to ne znači da je −3 veći od −1.

Broj −3 je manji od broja −1. To se može razumjeti ako koristimo koordinatnu liniju

Može se vidjeti da broj −3 leži dalje lijevo od −1. A znamo da što dalje ulijevo, to manje.

Ako uporedite negativan broj sa pozitivnim, odgovor će se naslutiti sam od sebe. Svaki negativan broj bit će manji od bilo kojeg pozitivnog broja. Na primjer, −4 je manje od 2

Može se vidjeti da −4 leži dalje ulijevo od 2. A znamo da “što dalje ulijevo, to manje.”

Ovdje, prije svega, trebate pogledati znakove brojeva. Znak minus ispred broja označava da je broj negativan. Ako znak broja nedostaje, onda je broj pozitivan, ali ga možete zapisati radi jasnoće. Podsjetimo da je ovo znak plus

Kao primjer, pogledali smo cijele brojeve oblika −4, −3 −1, 2. Poređenje takvih brojeva, kao i njihovo prikazivanje na koordinatnoj liniji, nije teško.

Mnogo je teže upoređivati ​​druge vrste brojeva, kao što su razlomci, mješoviti brojevi i decimale, od kojih su neki negativni. Ovdje ćete u osnovi morati primijeniti pravila, jer nije uvijek moguće precizno prikazati takve brojeve na koordinatnoj liniji. U nekim slučajevima će biti potreban broj da bi se lakše uporedilo i razumjelo.

Primjer 1. Uporedite racionalne brojeve

Dakle, trebate uporediti negativan broj s pozitivnim. Svaki negativan broj manji je od bilo kojeg pozitivnog broja. Stoga, bez gubljenja vremena, odgovaramo da je manje od

Primjer 2.

Morate uporediti dva negativna broja. Od dva negativna broja, veći je onaj čija je veličina manja.

Pronalaženje modula brojeva:

Uporedimo pronađene module:

Primjer 3. Uporedite brojeve 2,34 i

Morate uporediti pozitivan broj sa negativnim. Svaki pozitivan broj je veći od bilo kojeg negativnog broja. Stoga, bez gubljenja vremena, odgovaramo da je 2,34 više od

Primjer 4. Uporedite racionalne brojeve i

Pronalaženje modula brojeva:

Upoređujemo pronađene module. Ali prvo, dovedimo ih u jasan oblik radi lakšeg upoređivanja, naime, pretvorit ćemo ih u nepravilne razlomke i dovesti ih do zajedničkog nazivnika

Prema pravilu, od dva negativna broja veći je broj čiji je modul manji. To znači da je racionalno veće od , jer je modul broja manji od modula broja

Primjer 5.

Morate uporediti nulu sa negativnim brojem. Nula je veća od bilo kojeg negativnog broja, pa bez gubljenja vremena odgovaramo da je 0 veće od

Primjer 6. Uporedite racionalne brojeve 0 i

Morate uporediti nulu sa pozitivnim brojem. Nula je manja od bilo kojeg pozitivnog broja, tako da bez gubljenja vremena odgovaramo da je 0 manje od

Primjer 7. Uporedite racionalne brojeve 4,53 i 4,403

Morate uporediti dva pozitivna broja. Od dva pozitivna broja veći je broj čiji je modul veći.

Učinimo da broj cifara iza decimalnog zareza bude isti u oba razlomka. Da bismo to učinili, u razlomku 4,53 dodajemo jednu nulu na kraju

Pronalaženje modula brojeva

Uporedimo pronađene module:

Prema pravilu, od dva pozitivna broja veći je broj čija je apsolutna vrijednost veća. To znači da je racionalni broj 4,53 veći od 4,403 jer je modul od 4,53 veći od modula od 4,403

Primjer 8. Uporedite racionalne brojeve i

Morate uporediti dva negativna broja. Od dva negativna broja veći je broj čiji je modul manji.

Pronalaženje modula brojeva:

Upoređujemo pronađene module. Ali prvo, dovedimo ih u jasan oblik kako bismo ih lakše uporedili, naime, pretvorit ćemo mješoviti broj u nepravilan razlomak, a zatim ćemo oba razlomka dovesti u zajednički nazivnik:

Prema pravilu, od dva negativna broja veći je broj čiji je modul manji. To znači da je racionalno veće od , jer je modul broja manji od modula broja

Upoređivanje decimala je mnogo lakše od poređenja razlomaka i mješovitih brojeva. U nekim slučajevima, gledajući cijeli dio takvog razlomka, možete odmah odgovoriti na pitanje koji je razlomak veći, a koji manji.

Da biste to učinili, morate uporediti module cijelih dijelova. To će vam omogućiti da brzo odgovorite na pitanje u zadatku. Uostalom, kao što znate, cijeli dijelovi u decimalnim razlomcima imaju veću težinu od razlomaka.

Primjer 9. Uporedite racionalne brojeve 15,4 i 2,1256

Modul cijelog dijela razlomka je 15,4 veći od modula cijelog dijela razlomka 2,1256

stoga je razlomak 15,4 veći od razlomka 2,1256

15,4 > 2,1256

Drugim riječima, nismo morali gubiti vrijeme dodajući nule razlomku 15.4 i upoređujući rezultujuće razlomke poput običnih brojeva

154000 > 21256

Pravila poređenja ostaju ista. U našem slučaju uporedili smo pozitivne brojeve.

Primjer 10. Uporedite racionalne brojeve −15,2 i −0,152

Morate uporediti dva negativna broja. Od dva negativna broja veći je broj čiji je modul manji. Ali uporedićemo samo module celobrojnih delova

Vidimo da je modul cijelog dijela razlomka -15,2 veći od modula cijelog dijela razlomka -0,152.

To znači da je racionalno −0,152 veće od −15,2 jer je modul celog dela broja −0,152 manji od modula celobrojnog dela broja −15,2

−0,152 > −15,2

Primjer 11. Uporedite racionalne brojeve −3,4 i −3,7

Morate uporediti dva negativna broja. Od dva negativna broja veći je broj čiji je modul manji. Ali uporedićemo samo module celobrojnih delova. Ali problem je u tome što su moduli cijelih brojeva jednaki:

U ovom slučaju, morat ćete koristiti staru metodu: pronaći module racionalnih brojeva i usporediti te module

Uporedimo pronađene module:

Prema pravilu, od dva negativna broja veći je broj čiji je modul manji. To znači da je racionalno −3,4 veće od −3,7 jer je modul broja −3,4 manji od modula broja −3,7

−3,4 > −3,7

Primjer 12. Uporedite racionalne brojeve 0,(3) i

Morate uporediti dva pozitivna broja. Štaviše, uporedite periodični razlomak sa jednostavnim razlomkom.

Pretvorimo periodični razlomak 0,(3) u običan razlomak i uporedimo ga sa razlomkom . Nakon pretvaranja periodičnog razlomaka 0,(3) u običan razlomak, on postaje razlomak

Pronalaženje modula brojeva:

Upoređujemo pronađene module. Ali prvo, dovedimo ih u razumljivi oblik kako bismo ih lakše uporedili, naime, dovedimo ih do zajedničkog nazivnika:

Prema pravilu, od dva pozitivna broja veći je broj čija je apsolutna vrijednost veća. To znači da je racionalni broj veći od 0,(3) jer je modul broja veći od modula broja 0,(3)

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama