L’éducation est ce qui reste une fois que tout ce qui a été enseigné à l’école est oublié.

Igor Khmelinsky, un scientifique de Novossibirsk travaillant actuellement au Portugal, prouve que sans mémorisation directe de textes et de formules, le développement de la mémoire abstraite chez les enfants est difficile. Je donnerai des extraits de son article "Leçons des réformes éducatives en Europe et dans les pays de l'ex-URSS"

Apprentissage par cœur et mémoire à long terme

La méconnaissance des tables de multiplication a des conséquences plus graves que l'incapacité de détecter les erreurs de calcul sur une calculatrice. Notre mémoire à long terme fonctionne sur le principe d'une base de données associative, c'est-à-dire que certains éléments d'information, lorsqu'ils sont mémorisés, sont associés à d'autres sur la base d'associations établies au moment de leur connaissance. Par conséquent, afin de constituer une base de connaissances dans votre tête dans n'importe quel domaine, par exemple en arithmétique, vous devez d'abord apprendre au moins quelque chose par cœur. De plus, les informations nouvellement reçues passeront de la mémoire à court terme à la mémoire à long terme si, dans un court laps de temps (plusieurs jours), nous les rencontrons plusieurs fois et, de préférence, dans des circonstances différentes (ce qui contribue à la création d'associations utiles). ). Cependant, en l'absence de connaissances arithmétiques dans la mémoire permanente, les éléments d'information nouvellement arrivés sont associés à des éléments qui n'ont rien à voir avec l'arithmétique - par exemple, la personnalité de l'enseignant, la météo extérieure, etc. Évidemment, une telle mémorisation n'apportera aucun avantage réel à l'étudiant - puisque les associations s'éloignent d'un domaine donné, l'étudiant ne pourra se souvenir d'aucune connaissance liée à l'arithmétique, à l'exception d'idées vagues selon lesquelles il en savait autrefois quelque chose. a entendu. Pour ces étudiants, le rôle des associations manquantes est généralement joué par divers types d'indices - copie d'un collègue, utilisation de questions suggestives dans le test lui-même, formules de la liste des formules autorisées à être utilisées, etc. DANS vrai vie, sans incitation, une telle personne s'avère complètement impuissante et incapable d'appliquer les connaissances qu'elle a en tête.

La formation d'un appareil mathématique dans lequel les formules ne sont pas mémorisées se produit plus lentement qu'autrement. Pourquoi? Premièrement, les nouvelles propriétés, théorèmes et relations entre objets mathématiques utilisent presque toujours certaines caractéristiques de formules et de concepts précédemment étudiés. Il sera plus difficile de concentrer l'attention de l'élève sur du nouveau matériel si ces caractéristiques ne peuvent pas être récupérées de la mémoire dans un court laps de temps. Deuxièmement, ne pas connaître les formules par cœur empêche la recherche de solutions à des problèmes significatifs avec un grand nombre de petites opérations, dans lesquelles il faut non seulement effectuer certaines transformations, mais aussi identifier la séquence de ces mouvements, en analysant l'utilisation de plusieurs formules avec deux ou trois longueurs d'avance.

La pratique montre que le développement intellectuel et mathématique d'un enfant, la formation de sa base de connaissances et de compétences, se produit beaucoup plus rapidement si la plupart des informations utilisées (propriétés et formules) se trouvent dans la tête. Et plus il y reste fort et longtemps, mieux c'est.

Le mathématicien Henri Poincaré écrivait dans son livre Science et méthode : « Si la nature n'était pas belle, elle ne vaudrait pas la peine d'être connue, la vie ne vaudrait pas la peine d'être vécue. Je ne parle bien sûr pas ici de la beauté qui attire le regard… Je veux dire de cette beauté plus profonde qui se révèle dans l’harmonie des parties, qui n’est comprise que par l’esprit. C'est elle qui crée le sol, crée le cadre du jeu des couleurs visibles qui caressent nos sens, et sans ce support la beauté des impressions fugaces serait imparfaite, comme tout ce qui est indistinct et passager. Au contraire, la beauté intellectuelle donne satisfaction en elle-même.

P.A.M. Dirac a écrit : "La physique théorique a une autre voie de développement correcte. La nature a cette caractéristique fondamentale que les lois physiques les plus fondamentales sont décrites par une théorie mathématique, dont l'appareil a une puissance et une beauté extraordinaires. Pour comprendre cette théorie, vous devez avoir des qualifications mathématiques inhabituellement élevées.Vous "Vous vous demandez peut-être : pourquoi la nature est-elle structurée de cette façon ? Il n'y a qu'une seule réponse à cette question : selon nos connaissances modernes, la nature est structurée de cette façon et pas autrement."

Il y a sept ans, la physicienne (et artiste) ukrainienne Natalia Kondratieva s'adressait à un certain nombre des plus grands mathématiciens du monde avec la question : « Quels sont les trois formules mathématiques, à votre avis, la plus belle ?
La conversation sur la beauté des formules mathématiques a réuni Sir Michael Atiyah et David Elvarsi de Grande-Bretagne, Yakov Sinai et Alexander Kirillov des États-Unis, Friedrich Herzebruch et Yuri Manin d'Allemagne, David Ruel de France, Anatoly Vershik et Robert Minlos de Russie et d'autres mathématiciens de différents pays. Parmi les Ukrainiens, les académiciens de la NASU Vladimir Korolyuk et Anatoly Skorokhod ont pris part à la discussion. Certains des matériaux ainsi obtenus ont servi de base au livre publié par Natalya Kondratyeva. travail scientifique"Les trois plus belles formules mathématiques."
— Quel était votre objectif lorsque vous interrogeiez des mathématiciens sur les belles formules ?
— Chaque nouveau siècle apporte un renouvellement du paradigme scientifique. Au tout début du siècle avec le sentiment que nous sommes au seuil nouvelle science, son nouveau rôle dans la vie de la société humaine, je me suis tourné vers les mathématiciens avec une question sur la beauté des idées derrière les symboles mathématiques, c'est-à-dire sur la beauté des formules mathématiques.
Nous pouvons déjà noter certaines caractéristiques de la nouvelle science. Si dans la science du XXe siècle il y a très rôle important jouée par « l'amitié » des mathématiques avec la physique, désormais les mathématiques coopèrent effectivement avec la biologie, la génétique, la sociologie, l'économie... Dès lors, la science va explorer les correspondances. Les structures mathématiques exploreront les correspondances entre les interactions d'éléments de différentes zones et plans. Et une grande partie de ce que nous prenions auparavant comme affirmations philosophiques sera confirmée par la science comme connaissance concrète.
Ce processus a déjà commencé au XXe siècle. Ainsi, Kolmogorov a montré mathématiquement qu'il n'y a pas de hasard, mais qu'il existe une très grande complexité. La géométrie fractale a confirmé le principe de l'unité dans la diversité, etc.
— Quelles formules étaient qualifiées de plus belles ?
— Je dirai tout de suite qu'il n'y avait aucun objectif d'organiser un concours de formules. Dans ma lettre aux mathématiciens, j'ai écrit : « Les gens qui veulent comprendre quelles lois gouvernent le monde s'engagent sur le chemin de la recherche de l'harmonie du monde. Ce chemin va vers l'infini (car le mouvement est éternel), mais les gens le suivent toujours, parce que... il y a une joie particulière à rencontrer une autre idée ou idée. A partir des réponses à la question sur les belles formules, il sera peut-être possible de synthétiser une nouvelle facette de la beauté du monde. De plus, ce travail pourrait être utile aux futurs scientifiques en tant qu’idée sur la grande harmonie du monde et les mathématiques comme moyen de découvrir cette beauté.
Néanmoins, parmi les formules, il y avait des favoris évidents : la formule de Pythagore et la formule d'Euler.
À leur suite furent les formules physiques plutôt que mathématiques qui, au XXe siècle, ont changé notre compréhension du monde – Maxwell, Schrödinger, Einstein.
Parmi les plus belles figuraient également des formules encore au stade de discussion, comme par exemple les équations du vide physique. D’autres belles formules mathématiques ont également été évoquées.
— Pourquoi, à votre avis, au tournant des deuxième et troisième millénaires, la formule de Pythagore a-t-elle été désignée comme l'une des plus belles ?
— Au temps de Pythagore, cette formule était perçue comme une expression du principe d'évolution cosmique : deux principes opposés (deux carrés se touchant orthogonalement) en génèrent un troisième, égal à leur somme. De très belles interprétations géométriques peuvent être données.
Il existe peut-être une sorte de mémoire génétique subconsciente de l’époque où le concept de « mathématiques » signifiait « science » et où l’arithmétique, la peinture, la musique et la philosophie étaient étudiées en synthèse.
Rafail Khasminsky a écrit dans sa lettre qu'à l'école, il était émerveillé par la beauté de la formule de Pythagore et que cela déterminait en grande partie son destin de mathématicien.
— Que pouvez-vous dire de la formule d'Euler ?
— Certains mathématiciens ont attiré l'attention sur le fait que « tout le monde s'y rassemblait », c'est-à-dire tout le monde est le plus merveilleux nombres mathématiques, et on est chargé d'infini ! - cela a une profonde signification philosophique.
Pas étonnant qu'Euler ait découvert cette formule. Le grand mathématicien a fait beaucoup pour introduire la beauté dans la science ; il a même introduit le concept de « degré de beauté » dans les mathématiques. Plus précisément, il a introduit ce concept dans le solfège, qu’il considérait comme faisant partie des mathématiques.
Euler croyait que le sens esthétique pouvait être développé et que ce sentiment était nécessaire à un scientifique.
Je me référerai aux autorités... Grothendieck : « Comprendre une chose particulière en mathématiques est aussi parfait qu'il est possible d'en ressentir la beauté. »
Poincaré : « En mathématiques, il y a du sentiment. » Il a comparé le sentiment esthétique en mathématiques avec un filtre qui, parmi de nombreuses solutions possibles, sélectionne la plus harmonieuse, qui, en règle générale, est la bonne. La beauté et l’harmonie sont synonymes, et la plus haute manifestation de l’harmonie est la loi mondiale de l’équilibre. Les mathématiques étudient cette loi sur différents plans d'existence et dans différents aspects. Ce n’est pas pour rien que chaque formule mathématique contient un signe égal.
Je pense que la plus haute harmonie humaine est l’harmonie de la pensée et du sentiment. C'est peut-être pour cela qu'Einstein a dit que l'écrivain Dostoïevski lui avait donné plus que le mathématicien Gauss.
J’ai pris la formule de Dostoïevski « La beauté sauvera le monde » comme épigraphe de mon travail sur la beauté en mathématiques. Et cela a également été discuté par les mathématiciens.
- Et ils étaient d'accord avec cette affirmation ?
— Les mathématiciens n'ont ni confirmé ni infirmé cette affirmation. Ils l’ont clarifié : « La conscience de la beauté sauvera le monde. » Ici, je me suis immédiatement souvenu du travail d'Eugène Wigner sur le rôle de la conscience dans les mesures quantiques, écrit par lui il y a près de cinquante ans. Dans ce travail, Wigner a montré que conscience humaine affecte environnement, c'est-à-dire que nous recevons non seulement des informations de l'extérieur, mais que nous envoyons également nos pensées et nos sentiments en réponse. Ce travail est toujours d’actualité et a à la fois ses partisans et ses opposants. J'espère vraiment qu'au 21e siècle, la science prouvera que la conscience de la beauté contribue à l'harmonisation de notre monde.

1. La formule d'Euler. Beaucoup ont vu dans cette formule un symbole de l'unité de toutes les mathématiques, car "-1 représente l'arithmétique, i - l'algèbre, π - la géométrie et e - l'analyse".

2. Cette simple égalité montre que la valeur 0,999 (et ainsi de suite à l’infini) équivaut à un. Beaucoup de gens ne croient pas que cela puisse être vrai, bien qu'il existe des preuves basées sur la théorie des limites. Cependant, l'égalité montre le principe de l'infini.


3. Cette équation a été formulée par Einstein dans le cadre d'une approche innovante théorie générale relativité en 1915. Le côté droit de cette équation décrit l'énergie contenue dans notre Univers (y compris « l'énergie noire »). Le côté gauche décrit la géométrie de l'espace-temps. L'égalité reflète le fait que dans la théorie de la relativité générale d'Einstein, la masse et l'énergie déterminent la géométrie et en même temps la courbure, qui est une manifestation de la gravité. Einstein a dit que le côté gauche des équations de gravité dans la théorie de la relativité générale, contenant le champ gravitationnel, est beau et comme sculpté dans le marbre, tandis que le côté droit des équations, qui décrit la matière, est toujours laid, comme si en bois ordinaire.


4. Une autre théorie dominante de la physique, le modèle standard, décrit les interactions électromagnétiques, faibles et fortes de tous particules élémentaires. Certains physiciens pensent qu'il reflète tous les processus se produisant dans l'Univers, à l'exception de la matière noire et de l'énergie noire, et qu'il n'inclut pas la gravité. DANS Modèle standard Le boson de Higgs, insaisissable jusqu’à l’année dernière, entre également en ligne de compte, même si tous les experts ne sont pas sûrs de son existence.


5. Le théorème de Pythagore est l'un des théorèmes fondamentaux de la géométrie euclidienne, établissant la relation entre les côtés triangle rectangle. Nous nous en souvenons de l'école et pensons que l'auteur du théorème est Pythagore. En fait, cette formule a été utilisée dans L'Egypte ancienne lors de la construction des pyramides.


6. Théorème d'Euler. Ce théorème a jeté les bases d'une nouvelle branche des mathématiques : la topologie. L'équation établit la relation entre le nombre de sommets, d'arêtes et de faces des polyèdres topologiquement équivalents à une sphère.


7. La théorie de la relativité restreinte décrit le mouvement, les lois de la mécanique et les relations espace-temps à des vitesses de mouvement arbitraires inférieures à la vitesse de la lumière dans le vide, y compris celles proches de la vitesse de la lumière. Einstein a composé une formule qui décrit comment le temps et l'espace ne sont pas des concepts absolus, mais plutôt relatifs en fonction de la vitesse de l'observateur. L'équation montre comment le temps augmente ou ralentit en fonction de la manière et de l'endroit où une personne se déplace.


8. L'équation a été dérivée dans les années 1750 par Euler et Lagrange en résolvant le problème de l'isochrone. C’est le problème de déterminer la courbe qui amène une particule lourde jusqu’à un point fixe dans temps fixe, quel que soit le point de départ. En termes généraux, si votre système a une symétrie, il existe une loi correspondante de conservation de la symétrie.


9. Équation de Callan-Symanzik. Il s'agit d'une équation différentielle qui décrit l'évolution de la fonction de corrélation n à mesure que l'échelle d'énergie à laquelle la théorie est définie change et inclut les fonctions bêta et les dimensions anormales de la théorie. Cette équation a permis de mieux comprendre la physique quantique.


10. Équation de surface minimale. Cette égalité explique la formation des bulles de savon.


11. La droite d'Euler. Le théorème d'Euler a été prouvé en 1765. Il a découvert que les milieux des côtés d'un triangle et les bases de ses altitudes se trouvent sur le même cercle.


12. En 1928, P.A.M. Dirac a proposé sa propre version de l'équation de Schrödinger, qui correspondait à la théorie d'A. Einstein. Le monde scientifique a été choqué : Dirac a découvert son équation pour l'électron grâce à des manipulations purement mathématiques d'objets mathématiques supérieurs appelés spineurs. Et ce fut une sensation : jusqu'à présent, toutes les grandes découvertes en physique devaient reposer sur une base solide de données expérimentales. Mais Dirac pensait que les mathématiques pures, si elles sont suffisamment belles, constituent un critère fiable pour l'exactitude des conclusions. « La beauté des équations est plus importante que leur accord avec les données expérimentales. … Il semble que si vous vous efforcez d’atteindre la beauté dans les équations et que vous avez une intuition saine, alors vous êtes sur la bonne voie. C'est grâce à ses calculs que le positron, un antiélectron, fut découvert et qu'il prédit la présence d'un « spin » dans un électron, la rotation d'une particule élémentaire.


13. J. Maxwell a obtenu des équations étonnantes qui unissaient tous les phénomènes de l'électricité, du magnétisme et de l'optique. Le remarquable physicien allemand, l’un des créateurs de la physique statistique, Ludwig Boltzmann, a dit à propos des équations de Maxwell : « Dieu n’a-t-il pas écrit ces lettres ?


14. Équation de Schrödinger. Une équation qui décrit le changement dans l'espace et le temps de l'état pur spécifié par la fonction d'onde dans les systèmes quantiques hamiltoniens. Joue le même rôle important en mécanique quantique que l'équation de la deuxième loi de Newton en mécanique classique.

J'ai la tête qui tourne avec tant de formules mathématiques que j'ai besoin de connaître. Le bachotage et les aide-mémoire sont pour les faibles. Mais pour ceux qui veulent devenir plus forts en mathématiques, nous allons vous donner quelques conseils pour mémoriser des formules en mathématiques afin qu'elles ne disparaissent pas de votre tête avant une épreuve, un examen ou un CT.

Comprendre la formule

Si vous n’apprenez qu’une séquence de variables, vous risquez de « perdre » toute la formule lorsque vous oubliez un symbole ou un signe.

Utiliser tous les types de mémoire

Lisez les formules à voix haute, écrivez-les plusieurs fois sur une feuille de papier jusqu'à ce que vous vous en souveniez. Utilisez tous les types de mémoire, en vous concentrant sur la principale. La mémoire visuelle et motrice donne ensemble un plus grand effet. Bien entendu, le potentiel de mémorisation de chacun est différent. Il existe des techniques spéciales qui aident .

Voici quelques conseils supplémentaires sur la façon de mémoriser les formules

Assurez-vous de rendre les formules visuelles : entourez la formule dans un cadre, écrivez-la dans une couleur différente. Cela facilitera la recherche et la mémorisation dans vos notes. Il est préférable d’écrire les formules dans un cahier séparé, en les structurant par thème. Notez dans quel type de problèmes telle ou telle formule sera utile, quelle est sa particularité. Prenez l’habitude d’en ajouter à votre liste de formules. Un tel « journal d'observations de formules » permettra de rafraîchir votre mémoire des informations importantes avant un test, un examen ou un CT de mathématiques.

De nombreux écoliers font également cela : lorsqu'ils distribuent des brouillons tamponnés, vous prenez et écrivez immédiatement dessus des formules importantes qui sont difficiles pour vous. Une demi-heure avant le CT, vous avez mémorisé visuellement ces formules, puis vous les avez rapidement notées. Cela fait gagner du temps. Ce hack de vie est particulièrement utile pour la trigonométrie. Plus vous connaissez de formules, mieux c'est.

Vérifie toi-même

Il faut constamment revenir à la matière apprise pour ne pas l'oublier. Essayez la méthode « Deux Cartes », elle convient pour mémoriser des formules de réduction, de multiplication abrégée, formules trigonométriques. Prenez deux piles de cartes couleur différente, écrivez le côté gauche de la formule sur l’un et le côté droit sur l’autre. Séparez ainsi toutes les formules dont vous devez vous souvenir, puis mélangez les deux piles. Tirez la carte avec le côté gauche de la formule dans l'ordre et sélectionnez sa suite parmi celles « à droite » et vice versa.

Les cartes sont également bonnes en géométrie

Pour mémoriser des formules géométriques, procurez-vous des fiches sur des sujets (« Formules d'aire », « Formules pour un triangle », « Formule pour un carré », etc.) et notez les informations à leur sujet comme suit.

Vous pouvez enregistrer des formules dans un cahier séparé et les avoir toujours à portée de main - à votre convenance

Sois positif

Si vous apprenez quelque chose sous pression, le cerveau lui-même veut se débarrasser du fardeau de la connaissance. Pensez à mémoriser des formules comme bon exercice pour l'entraînement de la mémoire. Et votre humeur s'améliore lorsque vous vous souvenez de la formule nécessaire à la solution.Et bien sûr, décidez autant que possible plus de tests et des tâches pour préparer un test, un examen ou un CT !

Les CT en mathématiques sont des problèmes typiques : plus vous résolvez de tests, plus vous avez de chances de rencontrer quelque chose de similaire aux CT. Il est impossible de préparer le DT à partir d’une seule tâche. Mais lorsque vous avez résolu 100 problèmes, alors 101 problèmes ne poseront aucune difficulté.

Dmitry Sudnik, professeur de mathématiques à

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