Suunnittele Tulan kaupungin oppilaitoksen matematiikan opettajien työpaja aiheesta "Matematiikan yhtenäisten valtiontutkintotehtävien ratkaiseminen osioista: kombinatoriikka, todennäköisyysteoria. Opetusmetodologia"

Ajankäyttö: 12 00 ; 15 00

Sijainti: MBOU "Lyceum No. 1", toimisto. Nro 8

minä Todennäköisyysongelmien ratkaiseminen

1. Klassiseen todennäköisyysmääritykseen liittyvien ongelmien ratkaiseminen

Me opettajana tiedämme jo, että todennäköisyysteorian yhtenäisen valtiontutkinnon pääasialliset ongelmatyypit perustuvat klassiseen todennäköisyyden määritelmään. Muistetaanpa mitä kutsutaan tapahtuman todennäköisyydeksi?

Tapahtuman todennäköisyys on tietylle tapahtumalle suotuisten tulosten määrän suhde tulosten kokonaismäärään.

Matematiikan opettajien tieteellinen ja metodologinen yhdistyksemme on kehittänyt yleisen suunnitelman todennäköisyysongelmien ratkaisemiseksi. Haluan esitellä sen huomionne. Jaoimme muuten työkokemuksemme, ja materiaaleissa, jotka annoimme huomionne yhteiseen ongelmanratkaisukeskusteluun, annoimme tämän kaavion. Haluan kuitenkin ilmaista sen.

Mielestämme tämä kaavio auttaa lajittelemaan kaiken nopeasti loogisesti osiin, ja sen jälkeen ongelma voidaan ratkaista paljon helpommin sekä opettajalle että oppilaille.

Joten haluan analysoida yksityiskohtaisesti seuraavaa tehtävää.

Halusin keskustella kanssanne yhdessä selittääkseni metodologiaa, kuinka välittää pojille sellainen ratkaisu, jonka aikana lapset ymmärtäisivät tämän tyypillisen ongelman ja myöhemmin he ymmärtäisivät nämä ongelmat itse.

Mikä on satunnainen kokeilu tässä ongelmassa? Nyt meidän on eristettävä alkeistapahtuma tässä kokeessa. Mikä tämä alkeistapahtuma on? Listataan ne.

Kysyttävää tehtävästä?

Hyvät kollegat, myös te olette ilmeisesti pohtineet nopan todennäköisyysongelmia. Mielestäni meidän on analysoitava se, koska siinä on omat vivahteensa. Analysoidaan tätä ongelmaa sinulle ehdottamamme järjestelmän mukaisesti. Koska kuution kummallakin puolella on luku 1-6, niin alkeistapahtumat ovat luvut 1, 2, 3, 4, 5, 6. Havaitsimme, että alkeistapahtumien kokonaismäärä on 6. Määritetään mitkä alkeistapahtumat suosivat tapahtumaa. Vain kaksi tapahtumaa kannattaa tätä tapahtumaa - 5 ja 6 (koska se seuraa ehdosta, että 5 ja 6 pistettä putoavat).

Selitä, että kaikki alkeistapahtumat ovat yhtä mahdollisia. Mitä kysymyksiä tehtävästä tulee?

Mistä tiedät, että kolikko on symmetrinen? Tehdään tämä selväksi, joskus tietyt lauseet aiheuttavat väärinkäsityksiä. Ymmärretään tämä ongelma käsitteellisesti. Selvitetään kanssasi kuvatussa kokeessa, mitkä perustulokset voisivat olla. Onko teillä kaikilla aavistustakaan missä on päät ja missä hännät? Mitkä ovat mahdolliset keskeyttämisvaihtoehdot? Onko muita tapahtumia? Mikä on tapahtumien kokonaismäärä? Ongelman mukaan tiedetään, että päät nousivat esiin tasan kerran. Tämä tarkoittaa, että tämä tapahtumaalkeistapahtumat näistä neljästä syrjäisimmästä alueesta ja RO:sta ovat suotuisia; tätä ei voi tapahtua kahdesti. Käytämme kaavaa, joka laskee tapahtuman todennäköisyyden. Muistutuksena, että osan B vastausten tulee olla joko kokonaislukuja tai desimaalilukuja.

Näytämme sen interaktiivisella taululla. Luimme ongelman. Mikä on tämän kokemuksen perustulos? Selvitä, että pari on järjestetty - eli numero putosi ensimmäiseen noppaan ja toiseen noppaan. Kaikissa ongelmissa on hetkiä, jolloin sinun on valittava rationaaliset menetelmät, lomakkeet ja esitettävä ratkaisu taulukoiden, kaavioiden jne. muodossa. Tässä ongelmassa on kätevää käyttää tällaista taulukkoa. Annan sinulle valmiin ratkaisun, mutta ratkaisun aikana käy ilmi, että tässä tehtävässä on järkevää käyttää ratkaisua taulukon muodossa. Selitämme, mitä taulukko tarkoittaa. Ymmärrät, miksi sarakkeissa lukee 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Piirretään neliö. Viivat vastaavat ensimmäisen heiton tuloksia - niitä on kuusi, koska nopalla on kuusi sivua. Samoin sarakkeet. Jokaiseen soluun kirjoitetaan piirrettyjen pisteiden summa. Näytämme valmiin taulukon. Väritetään solut, joissa summa on kahdeksan (koska tämä edellytetään).

Uskon, että seuraava ongelma, edellisten analysoinnin jälkeen, voidaan antaa lasten ratkaistavaksi itse.

Seuraavissa tehtävissä ei tarvitse kirjoittaa kaikkia alkeellisia tuloksia. Riittää, kun lasket heidän lukumääränsä.

(Ei ratkaisua) Annoin tämän ongelman kavereille ratkaistaviksi itse. Algoritmi ongelman ratkaisemiseksi

1. Määrittele, mistä satunnainen koe koostuu ja mikä on satunnainen tapahtuma.

2. Etsi alkeistapahtumien kokonaismäärä.

3. Etsi ongelmalausekkeessa määritellylle tapahtumalle suotuisten tapahtumien määrä.

4. Laske tapahtuman todennäköisyys kaavan avulla.

Opiskelijoille voidaan esittää kysymys: jos 1000 akkua tulee myyntiin, ja niistä 6 on viallisia, niin kuinka valittu akku määräytyy? Mitä tehtävässämme on? Seuraavaksi esitän kysymyksen siitä, mitä tässä käytetään numeronaja suosittelen sinua löytämään senmäärä. Seuraavaksi kysyn, mikä tapahtuma täällä on? Kuinka monta kerääjää osallistuu tapahtumaan? Seuraavaksi laskemme tämän todennäköisyyden kaavan avulla.

Tässä pojille voidaan tarjota toinen ratkaisu. Pohditaan mikä tämä menetelmä voisi olla?

1. Mitä tapahtumaa voimme nyt harkita?

2. Kuinka löytää tietyn tapahtuman todennäköisyys?

Kavereille on kerrottava näistä kaavoista. Ne ovat seuraavat

Kahdeksas ongelma voidaan tarjota lapsille yksin, koska se on samanlainen kuin kuudes ongelma. Sitä voidaan tarjota heille itsenäisenä työnä tai kortilla laudalla.

Tämä ongelma voidaan ratkaista parhaillaan käynnissä olevan olympialaisen suhteen. Huolimatta siitä, että tehtäviin liittyy erilaisia ​​tapahtumia, tehtävät ovat tyypillisiä.

2. Yksinkertaisimmat säännöt ja kaavat todennäköisyyksien laskemiseen (vastakkaiset tapahtumat, tapahtumien summa, tapahtumien tulo)

Tämä on tehtävä Unified State Exam -kokoelmasta. Näytämme ratkaisun taululle. Mitä kysymyksiä meidän tulee kysyä opiskelijoilta ymmärtääksemme tämän ongelman?

1. Kuinka monta konetta siellä oli? Jos konetta on kaksi, tapahtumaa on jo kaksi. Esitän lapsille kysymyksen - millainen tapahtuma tulee olemaan?? Mikä on toinen tapahtuma?

2. on tapahtuman todennäköisyys. Meidän ei tarvitse laskea sitä, koska se on annettu ehdossa. Ongelman ehtojen mukaan todennäköisyys, että "kahvi loppuu molemmista koneista" on 0,12. Oli tapahtuma A, oli tapahtuma B. Ja uusi tapahtuma ilmestyy? Esitän lapsille kysymyksen - kumpi? Tämä tapahtuu, kun molemmista koneista loppuu kahvi. Tässä tapauksessa tämä on todennäköisyysteoriassa uusi tapahtuma, jota kutsutaan kahden tapahtuman A ja B leikkauspisteeksi ja joka on merkitty tällä tavalla.

Käytetään todennäköisyyksien summauskaavaa. Kaava on seuraava

Annamme sen sinulle referenssimateriaalissa ja kavereille voidaan antaa tämä kaava. Sen avulla voit löytää tapahtumien summan todennäköisyyden. Meiltä kysyttiin päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys, jonka todennäköisyys löydetään kaavan avulla.

Tehtävässä 13 käytetään tapahtumien tulon käsitettä, jonka todennäköisyyden löytämisen kaava on annettu liitteessä.

3. Ongelmat, jotka liittyvät mahdollisten vaihtoehtojen puun käyttöön

Tehtävän ehtojen perusteella on helppo laatia kaavio ja löytää ilmoitetut todennäköisyydet.

Mitä teoreettista materiaalia käytit auttamaan opiskelijoita ratkaisemaan tämäntyyppisiä ongelmia? Oletko käyttänyt mahdollista puuta tai muita menetelmiä tällaisten ongelmien ratkaisemiseen? Oletko antanut graafien käsitteen? Viidennellä tai kuudennella luokalla lapsilla on sellaisia ​​​​ongelmia, joiden analyysi antaa käsityksen graafista.

Haluaisin kysyä sinulta, oletko sinä ja opiskelijasi harkinneet mahdollisten vaihtoehtojen puun käyttöä todennäköisyysongelmien ratkaisemisessa? Tosiasia on, että yhtenäistetyssä valtionkokeessa ei ole vain tällaisia ​​tehtäviä, vaan on ilmennyt melko monimutkaisia ​​​​ongelmia, jotka nyt ratkaisemme.

Keskustellaan kanssasi menetelmästä tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi - jos se on sama kuin menetelmäni, kuten selitän kavereille, niin minun on helpompi työskennellä kanssasi, jos ei, niin autan sinua käsittelemään tätä ongelmaa.

Keskustellaan tapahtumista. Mitkä ongelman 17 tapahtumat voidaan eristää?

Kun puu rakennetaan tasolle, määrätään piste, jota kutsutaan puun juureksi. Seuraavaksi aletaan pohtimaan tapahtumiaJa. Rakennamme segmentin (todennäköisyysteoriassa sitä kutsutaan haaraksi). Ehdon mukaan sanotaan, että ensimmäinen tehdas valmistaa 30% tämän merkin matkapuhelimista (kumpi? Heidän valmistamansa), mikä tarkoittaa, että tällä hetkellä kysyn opiskelijoilta, mikä on todennäköisyys ensimmäiselle tehtaalle jotka tuottavat tämän merkin puhelimia, mitä he valmistavat? Koska tapahtuma on puhelimen julkaisu ensimmäisellä tehtaalla, tämän tapahtuman todennäköisyys on 30% tai 0,3. Loput puhelimet valmistettiin toisessa tehtaassa - rakennamme toista segmenttiä, ja tämän tapahtuman todennäköisyys on 0,7.

Opiskelijoilta kysytään: minkä tyyppisen puhelimen ensimmäinen tehdas voisi valmistaa? Vialla tai ilman. Millä todennäköisyydellä ensimmäisen tehtaan valmistamassa puhelimessa on vika? Ehto sanoo, että se on yhtä suuri kuin 0,01. Kysymys: Millä todennäköisyydellä ensimmäisen tehtaan valmistamassa puhelimessa ei ole vikaa? Koska tämä tapahtuma on päinvastainen kuin annettu, sen todennäköisyys on yhtä suuri.

Sinun on selvitettävä todennäköisyys, että puhelin on viallinen. Se voi olla ensimmäisestä tehtaasta tai ehkä toisesta. Sitten käytämme kaavaa todennäköisyyksien lisäämiseen ja toteamme, että koko todennäköisyys on todennäköisyyksien summa, että viallinen puhelin on ensimmäiseltä tehtaalta ja että viallinen puhelin on toisesta tehtaasta. Selvitetään todennäköisyys, että puhelimessa on vika ja se on valmistettu ensimmäisellä tehtaalla käyttämällä todennäköisyyskaavan tuloa, joka on annettu liitteessä.

4. Yksi vaikeimmista Unified State Exam -pankin todennäköisyysongelmista

Katsotaanpa esimerkiksi FIPI Task Bankin numeroa 320199. Tämä on yksi B6:n vaikeimmista tehtävistä.

Päästäkseen instituuttiin erikoisalalla "Kielitiede", hakijan Z. on saatava vähintään 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta kussakin kolmessa aineessa - matematiikassa, venäjän kielessä ja vieraassa kielessä. Ilmoittautuaksesi erikoisalaan "Kauppa", sinun on saatava vähintään 70 pistettä kustakin kolmesta aineesta - matematiikasta, venäjän kielestä ja yhteiskuntaopinnoista.

Todennäköisyys, että hakija Z. saa vähintään 70 pistettä matematiikasta on 0,6, venäjän kielen - 0,8, vieraalla kielellä - 0,7 ja yhteiskuntaopin 0,5.

Laske todennäköisyys, että Z. pystyy ilmoittautumaan ainakin jompaankumpaan kahdesta mainitusta erikoisalasta.

Huomaa, että ongelma ei kysy, opiskeleeko Z.-niminen hakija sekä kielitiedettä että kauppaa kerralla ja saako hän kaksi tutkintotodistusta. Tässä meidän on löydettävä todennäköisyys, että Z. pystyy ilmoittautumaan vähintään yhdelle näistä kahdesta erikoisalasta - eli hän saa tarvittavan määrän pisteitä.

Päästäkseen ainakin toiseen kahdesta erikoisalasta Z:n on saatava vähintään 70 pistettä matematiikasta. Ja venäjäksi. Ja myös - yhteiskuntaopinnot tai ulkomaalaiset.

Todennäköisyys, että hän saa 70 pistettä matematiikassa, on 0,6.

Matematiikan ja venäjän kielen pisteiden todennäköisyys on yhtä suuri.

Käsitellään ulko- ja yhteiskuntaopintoja. Meille sopivat vaihtoehdot ovat, kun hakija on saanut pisteitä yhteiskuntaopinnoista, ulkomaisista opinnoista tai molemmista. Vaihtoehto ei sovellu, kun hän ei saanut pisteitä kummassakaan kielessä tai "yhteiskunnassa". Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys läpäistä yhteiskuntaopintojen tai vieraan kielen vähintään 70 pistettä on yhtä suuri. Seurauksena on, että todennäköisyys läpäistä matematiikan, venäjän ja yhteiskuntaopin tai ulkomaalainen on yhtä suuri

Tämä on vastaus.

II . Kombinatoristen ongelmien ratkaiseminen

1. Yhdistelmien ja tekijöiden lukumäärä

Katsotaanpa lyhyesti teoreettista materiaalia.

Ilmaisun ! luetaan "en-factorial" ja tarkoittaa kaikkien luonnollisten lukujen tuloa 1:stän mukaan lukien:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Lisäksi matematiikassa määritelmän mukaan he uskovat, että 0! = 1. Tällainen lauseke on harvinainen, mutta esiintyy silti todennäköisyysteorian ongelmissa.

Määritelmä

Olkoon esineitä (kyniä, karkkeja, mitä tahansa), joista haluat valita täsmälleen erilaisia ​​esineitä. Sitten kutsutaan useita vaihtoehtoja tällaiselle valinnalleyhdistelmien määrä elementeistä tekijältä. Tämä luku määritetään ja lasketaan erityisellä kaavalla.

Nimitys

Mitä tämä kaava antaa meille? Itse asiassa melkein mitään vakavaa ongelmaa ei voida ratkaista ilman sitä.

Paremman ymmärryksen saamiseksi tarkastellaan muutamaa yksinkertaista kombinatorista ongelmaa:

Tehtävä

Baarimikkolla on 6 erilaista vihreää teetä. Teeseremonian suorittamiseksi sinun on tarjottava täsmälleen 3 erilaista vihreää teetä. Kuinka monella tavalla baarimikko voi täyttää tilauksen?

Ratkaisu

Täällä kaikki on yksinkertaista: onn = 6 lajiketta, joista valitak = 3 lajiketta. Yhdistelmien lukumäärä löytyy kaavalla:

Vastaus

Korvaa kaavaan. Emme pysty ratkaisemaan kaikkia ongelmia, mutta olemme kirjoittaneet tyypilliset ongelmat ja esittelemme ne tiedoksi.

Tehtävä

20 opiskelijan ryhmässä sinun on valittava 2 edustajaa puhumaan konferenssissa. Kuinka monella tavalla tämä voidaan tehdä?

Ratkaisu

Jälleen se on kaikki mitä meillä onn = 20 opiskelijaa, mutta sinun on valittavak = 2 opiskelijaa. Etsi yhdistelmien lukumäärä:

Huomaa: eri faktoriaaleihin sisältyvät tekijät on merkitty punaisella. Näitä kertoimia voidaan pienentää kivuttomasti ja vähentää siten merkittävästi laskelmien kokonaismäärää.

Vastaus

190

Tehtävä

Varastoon toimitettiin 17 palvelinta erilaisilla vioilla, jotka maksoivat 2 kertaa vähemmän kuin tavalliset palvelimet. Johtaja osti koululle 14 tällaista palvelinta ja käytti säästetyt 200 000 ruplan rahat muiden laitteiden hankintaan. Kuinka monella tavalla johtaja voi valita viallisia palvelimia?

Ratkaisu

Ongelma sisältää melko paljon ylimääräistä tietoa, joka voi olla hämmentävää. Tärkeimmät tosiasiat: niitä on vainn = 17 palvelinta, ja johtaja tarvitseek = 14 palvelinta. Laskemme yhdistelmien lukumäärän:

Kertoimet, joita vähennetään, on jälleen merkitty punaisella. Kaikkiaan yhdistelmiä oli 680. Yleisesti ottaen ohjaajalla on paljon valinnanvaraa.

Vastaus

680

Tämä tehtävä on hankala, koska tässä tehtävässä on ylimääräistä dataa. Ne johtavat monet opiskelijat harhaan tekemästä oikean päätöksen. Palvelimia oli yhteensä 17, ja johtajan piti valita 14. Kaavaan korvattuna saadaan 680 yhdistelmää.

2. Kertolaki

Määritelmä

Kertomisen laki kombinatoriikassa: yhdistelmien (tapojen, yhdistelmien) määrä itsenäisissä joukoissa kerrotaan.

Toisin sanoen, anna ollaA tapoja suorittaa yksi toiminto jaB tapoja suorittaa toinen toiminta. Polku on myös se, että nämä toimet ovat itsenäisiä, ts. eivät liity toisiinsa millään tavalla. Sitten voit löytää useita tapoja suorittaa ensimmäinen ja toinen toiminto käyttämällä kaavaa:C = A · B .

Tehtävä

Petyalla on 4 1 ruplan kolikkoa ja 2 10 ruplaa. Petya otti katsomatta taskustaan ​​yhden kolikon, jonka nimellisarvo oli 1 rupla, ja toisen 1 kolikon, jonka nimellisarvo oli 10 ruplaa, ostaakseen kynän 11 ​​ruplaa. Kuinka monella tavalla hän voi valita nämä kolikot?

Ratkaisu

Joten ensin Petya saak = 1 kolikko alkaenn = 4 saatavilla olevaa kolikkoa, joiden nimellisarvo on 1 rupla. Useita tapoja tehdä tämä onC 4 1 = ... = 4.

Sitten Petya kurottaa jälleen taskuunsa ja ottaa sen ulosk = 1 kolikko alkaenn = 2 saatavilla olevaa kolikkoa, joiden nimellisarvo on 10 ruplaa. Tässä yhdistelmien määrä on yhtä suuriC 2 1 = ... = 2.

Koska nämä toiminnot ovat riippumattomia, vaihtoehtojen kokonaismäärä on yhtä suuriC = 4 · 2 = 8.

Vastaus

Tehtävä

Korissa on 8 valkoista palloa ja 12 mustaa palloa. Kuinka monella tavalla voit saada 2 valkoista palloa ja 2 mustaa palloa tästä korista?

Ratkaisu

Ostoskorissa yhteensän = 8 valkoista palloa, joista valitak = 2 palloa. Se voi olla tehtyC 8 2 = ... = 28 eri tapaa.

Lisäksi kärry sisältään = 12 mustaa palloa, joista sinun on valittava uudelleenk = 2 palloa. Useita tapoja tehdä tämä onC 12 2 = ... = 66.

Koska valkoisen pallon valinta ja mustan pallon valinta ovat itsenäisiä tapahtumia, yhdistelmien kokonaismäärä lasketaan kertolaskulain mukaan:C = 28 · 66 = 1848. Kuten näette, vaihtoehtoja voi olla melko paljon.

Vastaus

1848

Kertolaki osoittaa, kuinka monella tavalla monimutkainen toiminta, joka koostuu kahdesta tai useammasta yksinkertaisesta, voidaan suorittaa - edellyttäen, että ne ovat kaikki riippumattomia.

3. Lisäyslaki

Jos kertolasku toimii "eristettyjen" tapahtumien kanssa, jotka eivät ole riippuvaisia ​​toisistaan, niin yhteenlaskulaissa on päinvastoin. Se käsittelee toisensa poissulkevia tapahtumia, jotka eivät koskaan tapahdu samaan aikaan.

Esimerkiksi "Petya otti taskustaan ​​yhden kolikon" ja "Petya ei ottanut taskustaan ​​yhtään kolikkoa" ovat toisensa poissulkevia tapahtumia, koska on mahdotonta ottaa yhtä kolikkoa pois ottamatta yhtään kolikkoa.

Samoin tapahtumat "Ball at random is white" ja "Ball at random is black" ovat myös toisensa poissulkevia.

Määritelmä

Lisäyksen laki kombinatoriikassa: jos voidaan suorittaa kaksi toisensa poissulkevaa toimintaaA JaB menetelmiä vastaavasti, niin nämä tapahtumat voidaan yhdistää. Tämä luo uuden tapahtuman, jonka voit suorittaaX = A + B tavoilla.

Toisin sanoen, kun yhdistetään toisensa poissulkevia toimintoja (tapahtumia, vaihtoehtoja), niiden yhdistelmien määrä laskee yhteen.

Voidaan sanoa, että yhteenlaskulaki on kombinatoriikassa looginen "TAI", kun olemme tyytyväisiä johonkin toisensa poissulkevista vaihtoehdoista. Toisaalta kertolaskulaki on looginen "JA", jossa olemme kiinnostuneita sekä ensimmäisen että toisen toiminnon samanaikaisesta suorittamisesta.

Tehtävä

Korissa on 9 mustaa palloa ja 7 punaista palloa. Poika ottaa 2 samanväristä palloa. Kuinka monella tavalla hän voi tehdä tämän?

Ratkaisu

Jos pallot ovat samanvärisiä, vaihtoehtoja on vähän: ne ovat molemmat joko mustia tai punaisia. On selvää, että nämä vaihtoehdot ovat toisensa poissulkevia.

Ensimmäisessä tapauksessa pojan on valittavak = 2 mustaa palloan = 9 saatavilla. Useita tapoja tehdä tämä onC 9 2 = ... = 36.

Samoin toisessa tapauksessa valitsemmek = 2 punaista palloan = 7 mahdollista. Tapausten määrä on yhtä suuriC 7 2 = ... = 21.

On vielä löydettävä tapojen kokonaismäärä. Koska vaihtoehdot mustalla ja punaisella pallolla ovat toisensa poissulkevia, meillä on summauslain mukaan:X = 36 + 21 = 57.

Vastaus57

Tehtävä

Myynnissä on 15 ruusua ja 18 tulppaania. 9. luokan oppilas haluaa ostaa luokkatoverilleen 3 kukkaa, ja kaikkien kukkien on oltava samat. Kuinka monella tavalla hän voi tehdä tällaisen kimpun?

Ratkaisu

Ehdon mukaan kaikkien kukkien on oltava samanlaisia. Tämä tarkoittaa, että ostamme joko 3 ruusua tai 3 tulppaania. Joka tapauksessa,k = 3.

Ruusujen tapauksessa sinun on valittavan = 15 vaihtoehtoa, joten yhdistelmien määrä onC 15 3 = ... = 455. Tulppaaneillen = 18, ja yhdistelmien lukumäärä onC 18 3 = ... = 816.

Koska ruusut ja tulppaanit ovat toisensa poissulkevia vaihtoehtoja, työskentelemme summauslain mukaan. Saamme vaihtoehtojen kokonaismääränX = 455 + 816 = 1271. Tämä on vastaus.

Vastaus

1271

Lisäehdot ja rajoitukset

Hyvin usein ongelman teksti sisältää lisäehtoja, jotka asettavat merkittäviä rajoituksia meitä kiinnostaville yhdistelmille. Vertaa kahta lausetta:

Sarjassa on 5 eriväristä kynää. Kuinka monella tavalla voit valita 3 kynää piirustuksen ääriviivoiksi?

Sarjassa on 5 eriväristä kynää. Kuinka monella tavalla voit valita 3 kynää piirustuksen ääriviivoihin, jos niiden joukossa on oltava punainen?

Ensimmäisessä tapauksessa meillä on oikeus ottaa kaikki värit, joista pidämme - ei ole lisärajoituksia. Toisessa tapauksessa kaikki on monimutkaisempaa, koska meidän on valittava punainen kynä (oletetaan, että se on alkuperäisessä sarjassa).

Ilmeisesti kaikki rajoitukset vähentävät jyrkästi lopullista vaihtoehtojen määrää. No, kuinka voit löytää yhdistelmien lukumäärän tässä tapauksessa? Muista vain tämä sääntö:

Olkoon joukkon elementtejä, joista valitak elementtejä. Kun otetaan käyttöön lisärajoituksia numeroonn Jak pienentää saman verran.

Toisin sanoen, jos viidestä kynästä sinun on valittava 3 ja yksi niistä on punainen, sinun on valittavan = 5 − 1 = 4 elementtiä kukink = 3 − 1 = 2 alkiota. Joten sen sijaanC 5 3 täytyy laskeaC 4 2 .

Katsotaan nyt, kuinka tämä sääntö toimii tiettyjen esimerkkien avulla:

Tehtävä

20 opiskelijan ryhmässä, mukaan lukien 2 erinomaista opiskelijaa, sinun on valittava 4 henkilöä osallistumaan konferenssiin. Kuinka monella tavalla nämä neljä voidaan valita, jos erinomaisten opiskelijoiden on päästävä konferenssiin?

Ratkaisu

On siis ryhmän = 20 opiskelijaa. Mutta sinun tarvitsee vain valitak = 4 niistä. Jos lisärajoituksia ei olisi, vaihtoehtojen määrä olisi yhtä suuri kuin yhdistelmien lukumääräC 20 4 .

Saimme kuitenkin lisäehdon: näiden neljän joukossa on oltava 2 erinomaista opiskelijaa. Joten yllä olevan säännön mukaan vähennämme lukujan Jak 2. Meillä on:

Vastaus

153

Tehtävä

Petyalla on taskussaan 8 kolikkoa, joista 6 on ruplakolikoita ja 2 on 10 ruplan kolikoita. Petya siirtää noin kolme kolikkoa toiseen taskuun. Kuinka monella tavalla Petya voi tehdä tämän, jos tiedetään, että molemmat 10 ruplan kolikot päätyivät toiseen taskuun?

Ratkaisu

Joten onn = 8 kolikkoa. Petya vaihtaak = 3 kolikkoa, joista 2 on kymmenen ruplan kolikoita. Osoittautuu, että kolmesta siirrettävästä kolikosta 2 on jo korjattu, joten numerotn Jak on vähennettävä 2:lla. Meillä on:

Vastaus

III . Yhdistettyjen ongelmien ratkaiseminen kombinatoriikan ja todennäköisyysteorian kaavoilla

Tehtävä

Petyalla oli taskussaan 4 ruplaa ja 2 ruplaa. Petya siirsi katselematta noin kolme kolikkoa toiseen taskuun. Laske todennäköisyys, että molemmat kahden ruplan kolikot ovat samassa taskussa.

Ratkaisu

Oletetaan, että molemmat kahden ruplan kolikot päätyivät todella samaan taskuun, niin kaksi vaihtoehtoa on mahdollista: joko Petya ei siirtänyt niitä ollenkaan tai hän siirsi molemmat kerralla.

Ensimmäisessä tapauksessa, kun kahden ruplan kolikoita ei siirretty, sinun on siirrettävä 3 ruplaa. Koska tällaisia ​​kolikoita on yhteensä 4, tapoja tehdä tämä on yhtä suuri kuin yhdistelmien lukumäärä 4 x 3:C 4 3 .

Toisessa tapauksessa, kun molemmat kahden ruplan kolikot on siirretty, on siirrettävä toinen ruplakolikko. Se on valittava neljästä olemassa olevasta, ja tapoja tehdä tämä on yhtä suuri kuin yhdistelmien lukumäärä 4 x 1:C 4 1 .

Nyt selvitetään kuinka monta tapaa järjestää kolikot uudelleen. Koska kolikkoja on yhteensä 4 + 2 = 6 ja sinun on valittava niistä vain 3, vaihtoehtojen kokonaismäärä on yhtä suuri kuin yhdistelmien lukumäärä 6 x 3:C 6 3 .

On vielä löydettävä todennäköisyys:

Vastaus

0,4

Näytä interaktiivisella taululla. Kiinnitä huomiota siihen, että ongelman olosuhteiden mukaan Petya laittoi katsomatta kolme kolikkoa yhteen taskuun. Vastattaessa tähän kysymykseen voimme olettaa, että kaksi kahden ruplan kolikkoa jäi itse asiassa yhteen taskuun. Katso todennäköisyyksien lisäämiskaava. Näytä kaava uudelleen.

Tehtävä

Petyalla oli taskussaan 2 5 ruplaa ja 4 10 ruplaa kolikkoa. Petya, katsomatta, siirsi noin 3 kolikkoa toiseen taskuun. Laske todennäköisyys, että viiden ruplan kolikot ovat nyt eri taskuissa.

Ratkaisu

Jos haluat säilyttää viiden ruplan kolikoita eri taskuissa, sinun on siirrettävä vain yksi niistä. Tapoja tehdä tämä on yhtä suuri kuin yhdistelmien lukumäärä 2 x 1:C 2 1 .

Koska Petya siirsi yhteensä 3 kolikkoa, hänen on siirrettävä vielä kaksi 10 ruplan kolikkoa. Petyalla on 4 tällaista kolikkoa, joten tapojen määrä on yhtä suuri kuin yhdistelmien lukumäärä 4 x 2:C 4 2 .

On vielä selvitettävä, kuinka monta vaihtoehtoa on siirtää 3 kolikkoa kuudesta saatavilla olevasta. Tämä määrä, kuten edellisessä tehtävässä, on yhtä suuri kuin yhdistelmien lukumäärä 6 x 3:C 6 3 .

Löydämme todennäköisyyden:

Viimeisessä vaiheessa kerroimme, kuinka monta tapaa valita kahden ruplan kolikot ja kuinka monta tapaa valita kymmenen ruplan kolikot, koska nämä tapahtumat ovat riippumattomia.

Vastaus

0,6

Joten kolikkoongelmilla on oma todennäköisyyskaavansa. Se on niin yksinkertainen ja tärkeä, että se voidaan muotoilla lauseeksi.

Lause

Anna kolikon heitellän kerran. Sitten todennäköisyys, että päät laskeutuvat tarkalleenk kertaa, löytyy kaavalla:

MissäC n k - yhdistelmien lukumäärän elementtejäk , joka lasketaan kaavalla:

Näin ollen kolikkoongelman ratkaisemiseksi tarvitset kaksi numeroa: heittojen lukumäärän ja päiden lukumäärän. Useimmiten nämä numerot annetaan suoraan tehtävän tekstissä. Lisäksi sillä ei ole väliä, mitä tarkalleen lasket: hännät vai päät. Vastaus on sama.

Ensi silmäyksellä lause vaikuttaa liian hankalalta. Mutta kun harjoittelet vähän, et enää halua palata yllä kuvattuun vakioalgoritmiin.

Kolikkoa heitetään neljä kertaa. Etsi todennäköisyys saada päät tasan kolme kertaa.

Ratkaisu

Ongelman mukaan heitot olivat yhteensän = 4. Vaadittu kotkien lukumäärä:k = 3. Korvaavan Jak kaavaan:

Voit yhtä helposti laskea päiden määrän:k = 4 − 3 = 1. Vastaus on sama.

Vastaus

0,25

Tehtävä [Työkirja "Matematiikan yhtenäinen valtiontentti 2012. Ongelmat B6"]

Kolikkoa heitetään kolme kertaa. Etsi todennäköisyys, että et koskaan saa päätäsi.

Ratkaisu

Numeroiden kirjoittaminen uudelleenn Jak . Koska kolikkoa heitetään 3 kertaa,n = 3. Ja koska päitä ei pitäisi olla,k = 0. On vielä korvattava numerotn Jak kaavaan:

Muistutan, että 0! = 1 määritelmän mukaan. SiksiC 3 0 = 1.

Vastaus

0,125

Ongelma [Matematiikan yhtenäinen valtionkoe 2012. Irkutsk]

Satunnaisessa kokeessa symmetrinen kolikko heitetään 4 kertaa. Selvitä todennäköisyys, että päät ilmestyvät useammin kuin hännät.

Ratkaisu

Jotta päitä olisi enemmän kuin häntää, niiden täytyy esiintyä joko 3 kertaa (silloin tulee 1 häntä) tai 4 kertaa (silloin ei ole häntää ollenkaan). Etsitään kunkin tapahtuman todennäköisyys.

Antaas 1 - todennäköisyys, että päät ilmestyvät 3 kertaa. Sittenn = 4, k = 3. Meillä on:

Nyt etsitääns 2 - todennäköisyys, että päät ilmestyvät kaikki 4 kertaa. Tässä tapauksessan = 4, k = 4. Meillä on:

Vastauksen saamiseksi ei tarvitse muuta kuin laskea todennäköisyydet yhteens 1 Jas 2 . Muista: voit lisätä todennäköisyyksiä vain toisensa poissulkeville tapahtumille. Meillä on:

s = s 1 + s 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Vastaus

0,3125

Säästäksemme aikaasi valmistautuessasi kavereiden kanssa yhtenäiseen valtionkokeeseen ja valtiokokeeseen, olemme esittäneet ratkaisuja moniin muihin ongelmiin, joita voit valita ja ratkaista kaverien kanssa.

Valtiontutkintoinstituutin materiaalit, eri vuosien yhtenäinen valtiontutkinto, oppikirjat ja verkkosivut.

IV. Viitemateriaali

Todennäköisyys. Matematiikan yhtenäisen valtiontutkinnon profiilin ongelmat.

Valmistanut matematiikan opettaja MBOU:ssa "Lyceum No. 4", Ruzaevka

Ovchinnikova T.V.

Todennäköisyyden määritelmä

Todennäköisyys tapahtumia A kutsutaan lukusuhteeksi m tälle tapahtumalle suotuisat tulokset kokonaismäärään n kaikki yhtä mahdolliset yhteensopimattomat tapahtumat, jotka voivat tapahtua yhden testin tai havainnon seurauksena:

m

n

Antaa k – kolikonheittojen määrä, sitten mahdollisten tulosten lukumäärä: n = 2 k .

Antaa k – nopanheittojen määrä, sitten mahdollisten tulosten lukumäärä: n = 6 k .

Satunnaisessa kokeessa symmetrinen kolikko heitetään kahdesti. Selvitä todennäköisyys, että päät ilmestyvät tarkalleen kerran.

Ratkaisu.

Vaihtoehtoja on vain 4: O; o o; p p; p p; O .

Edullinen 2: O; R Ja R; O .

Todennäköisyys on 2/4 = 1/2 = 0,5 .

Vastaus: 0.5.

Satunnaisessa kokeessa heitetään kaksi noppaa. Laske todennäköisyys, että yhteensä on 8 pistettä. Pyöristä tulos sadasosiksi.

Ratkaisu.

Nopat ovat kuutioita, joissa on 6 sivua. Ensimmäinen noppa voi heittää 1, 2, 3, 4, 5 tai 6 pistettä. Jokainen pisteytysvaihtoehto vastaa 6 pisteytysvaihtoehtoa toisella nollalla.

Nuo. eri vaihtoehtoja yhteensä 6×6 = 36.

Vaihtoehdot (kokeiden tulokset) ovat seuraavat:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

jne. ...........................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Lasketaan tulosten (optioiden) määrä, joissa kahden nopan pisteiden summa on 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

Vaihtoehtoja on yhteensä 5.

Etsitään todennäköisyys: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.

Vastaus: 0.14.

Biologian lippukokoelmassa on vain 55 lippua, joista 11 sisältää kasvitieteen kysymyksen. Selvitä todennäköisyys, että opiskelija saa kasvitieteen kysymyksen satunnaisesti valitusta koelipusta.

Ratkaisu:

Todennäköisyys, että opiskelija saa kasvitieteen kysymyksen satunnaisesti valitulla koelipulla, on 11/55 = 1/5 = 0,2.

Vastaus: 0.2.

Voimistelumestaruuskilpailuihin osallistuu 20 urheilijaa: 8 Venäjältä, 7 Yhdysvalloista, loput Kiinasta. Voimistelijoiden suoritusjärjestys määräytyy arvalla. Laske todennäköisyys, että ensimmäisenä kilpaileva urheilija on Kiinasta.

Ratkaisu.

Mukana on yhteensä 20 urheilijaa,

joista 20 – 8 – 7 = 5 urheilijaa Kiinasta.

Todennäköisyys, että ensimmäisenä kilpaileva urheilija on Kiinasta, on 5/20 = 1/4 = 0,25.

Vastaus: 0,25.

Tieteellinen konferenssi kestää 5 päivää. Raportteja on suunniteltu yhteensä 75 - ensimmäiset kolme päivää sisältävät 17 raporttia, loput jakautuvat tasaisesti neljännen ja viidennen päivän välillä. Raporttien järjestys määräytyy arvalla. Millä todennäköisyydellä professori M:n raportti ajoitetaan konferenssin viimeiselle päivälle?

Ratkaisu:

Se on suunniteltu konferenssin viimeisenä päivänä

(75 – 17 × 3): 2 = 12 raporttia.

Todennäköisyys, että professori M.:n raportti ajoitetaan konferenssin viimeiselle päivälle, on 12/75 = 4/25 = 0,16.

Vastaus: 0.16.

Ennen sulkapallon mestaruuden ensimmäisen kierroksen alkua osallistujat jaetaan satunnaisesti pelipareihin arpajaisten. Yhteensä mestaruuskilpailuihin osallistuu 26 sulkapalloilijaa, mukaan lukien 10 osallistujaa Venäjältä, mukaan lukien Ruslan Orlov. Mikä on todennäköisyys, että Ruslan Orlov pelaa ensimmäisellä kierroksella kenen tahansa venäläisen sulkapalloilijan kanssa?

Ratkaisu:

On otettava huomioon, että Ruslan Orlovin täytyy pelata jonkun venäläisen sulkapalloilijan kanssa. Ja Ruslan Orlov itse on myös Venäjältä.

Todennäköisyys, että Ruslan Orlov pelaa ensimmäisellä kierroksella kenen tahansa venäläisen sulkapalloilijan kanssa, on 9/25 = 36/100 = 0,36.

Vastaus: 0,36.

Dasha heittää noppaa kahdesti. Hän sai yhteensä 8 pistettä. Laske todennäköisyys, että saat ensimmäisellä heitolla 2 pistettä.

Ratkaisu.

Yhteensä 8 pistettä tulee ilmestyä kahdelle noppalle. Tämä on mahdollista, jos on olemassa seuraavat yhdistelmät:

Vaihtoehtoja on yhteensä 5. Lasketaan tulosten (optioiden) määrä, joissa ensimmäisellä heitolla saatiin 2 pistettä.

Tämä on vaihtoehto 1.

Etsitään todennäköisyys: 1/5 = 0,2.

Vastaus: 0.2.

MM-kisoissa on mukana 20 joukkuetta. Heidät on jaettava viiteen ryhmään, joissa kussakin on neljä joukkuetta. Laatikossa on kortteja, joissa on ryhmänumeroita:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Joukkueen kapteenit nostavat kukin yhden kortin. Millä todennäköisyydellä Venäjän joukkue on kolmannessa ryhmässä?

Ratkaisu:

Mukana on yhteensä 20 joukkuetta, 5 ryhmää.

Jokaisessa ryhmässä on 4 joukkuetta.

Eli lopputuloksia on yhteensä 20, joista tarvitsemme 4, mikä tarkoittaa, että halutun tuloksen saavuttamisen todennäköisyys on 4/20 = 0,2.

Vastaus: 0.2.

Kaksi tehdasta valmistaa samaa lasia autojen ajovaloihin. Ensimmäinen tehdas valmistaa 45% näistä laseista, toinen - 55%. Ensimmäinen tehdas tuottaa 3 % viallisesta lasista ja toinen 1 %. Selvitä todennäköisyys, että kaupasta vahingossa ostettu lasi on viallinen.

Ratkaisu:

Todennäköisyys, että lasi on ostettu ensimmäisestä tehtaasta ja se on viallinen:

R 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Todennäköisyys, että lasi on ostettu toisesta tehtaasta ja se on viallinen:

R 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Siksi kokonaistodennäköisyyskaavan mukaan todennäköisyys, että kaupasta vahingossa ostettu lasi on viallinen, on

p = p 1 + s 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Vastaus: 0,019

Jos isomestari A. pelaa valkoista, niin hän voittaa suurmestari B.:tä vastaan ​​todennäköisyydellä 0,52. Jos A. pelaa mustaa, niin A. voittaa B.:tä vastaan ​​todennäköisyydellä 0,3.

Suurmestarit A. ja B. pelaavat kaksi peliä, ja toisessa pelissä he vaihtavat nappuloiden väriä. Laske todennäköisyys, että A. voittaa molemmat kertaa.

Ratkaisu:

Mahdollisuus voittaa ensimmäinen ja toinen peli eivät riipu toisistaan. Riippumattomien tapahtumien tuotteen todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien tulo:

p = 0,52 · 0,3 = 0,156.

Vastaus: 0,156.

Ampumahiihtäjä ampuu maaliin viisi kertaa. Todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0,8. Laske todennäköisyys, että ampumahiihtäjä osuu maaliin ensimmäiset kolme kertaa ja ohittaa kaksi viimeistä kertaa. Pyöristä tulos sadasosiksi.

Ratkaisu:

Jokaisen seuraavan laukauksen tulos ei riipu edellisistä. Siksi tapahtumat " osuivat ensimmäiseen laukaukseen ", " osuivat toiseen laukaukseen " jne. riippumaton.

Jokaisen osuman todennäköisyys on 0,8. Tämä tarkoittaa, että ohituksen todennäköisyys on 1 – 0,8 = 0,2.

1 laukaus: 0,8

2 laukausta: 0,8

3 laukausta: 0,8

4 laukausta: 0.2

5 laukausta: 0.2

Käyttämällä kaavaa riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertomiseksi, huomaamme, että haluttu todennäköisyys on yhtä suuri kuin:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Vastaus: 0,02.

Myymälässä on kaksi maksuautomaattia. Jokainen niistä voi olla viallinen todennäköisyydellä 0,05 toisesta koneesta riippumatta. Laske todennäköisyys, että ainakin yksi kone toimii.

Ratkaisu:

Selvitetään todennäköisyys, että molemmat koneet ovat viallisia.

Nämä tapahtumat ovat riippumattomia, niiden esiintymistodennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo:

0,05 · 0,05 = 0,0025.

Tapahtuma, joka koostuu siitä, että ainakin yksi kone toimii, päinvastoin.

Siksi sen todennäköisyys on yhtä suuri kuin

1 − 0,0025 = 0,9975.

Vastaus: 0,9975.

Cowboy Johnilla on 0,9:n mahdollisuus osua kärpäseen seinään, jos hän ampuu nollatun revolverin. Jos John ampuu ampumattomasta revolverista, hän osuu kärpäseen todennäköisyydellä 0,2. Pöydällä on 10 revolveria, joista vain 4 on ammuttu. Cowboy John näkee kärpäsen seinällä, tarttuu sattumanvaraisesti ensimmäiseen törmäämäänsä revolveriin ja ampuu kärpäsen. Selvitä todennäköisyys, että John jättää huomiotta.

Ratkaisu:

Todennäköisyys, että John jättää väliin, jos hän tarttuu nollatun revolverin, on:

0,4 (1 - 0,9) = 0,04

Todennäköisyys, jonka John jättää väliin, jos hän tarttuu ampumattomaan revolveriin, on:

0,6 · (1 - 0,2) = 0,48

Nämä tapahtumat ovat yhteensopimattomia, niiden summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Vastaus: 0,52.

Tykistötulen aikana automaattijärjestelmä ampuu laukauksen maaliin. Jos kohde ei tuhoudu, järjestelmä ampuu toisen laukauksen. Laukauksia toistetaan, kunnes kohde on tuhottu. Todennäköisyys tuhota tietty kohde ensimmäisellä laukauksella on 0,4 ja jokaisella seuraavalla laukauksella se on 0,6. Kuinka monta laukausta tarvitaan varmistamaan, että kohteen tuhoamisen todennäköisyys on vähintään 0,98?

Ratkaisu:

Voit ratkaista ongelman "toimilla" laskemalla todennäköisyyden selviytyä peräkkäisten virheiden jälkeen:

P(1) = 0,6;

P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;

P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;

P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;

P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.

Jälkimmäinen todennäköisyys on pienempi kuin 0,02, joten viisi laukausta maaliin riittää.

Vastaus: 5.

Luokassa on 26 henkilöä, heidän joukossaan kaksi kaksoset - Andrey ja Sergey. Luokka jaetaan satunnaisesti kahteen 13 hengen ryhmään. Selvitä todennäköisyys, että Andrey ja Sergey ovat samassa ryhmässä.

Ratkaisu:

Anna toisen kaksosista olla jossain ryhmässä.

Yhdessä hänen kanssaan ryhmään kuuluu 12 henkilöä 25 jäljellä olevista luokkatovereista.

Todennäköisyys, että toinen kaksos on näiden 12 ihmisen joukossa

P = 12: 25 = 0,48.

Vastaus: 0,48.

Kuvassa labyrintti. Hämähäkki ryömii sokkeloon sisäänkäynnin kohdalla. Hämähäkki ei voi kääntyä ympäri ja ryömi takaisin, joten jokaisella haaralla hämähäkki valitsee yhden poluista, jota se ei ole vielä ryöminyt. Olettaen, että jatkopolun valinta on täysin satunnainen, määritä, millä todennäköisyydellä hämähäkki tulee ulos D:stä.

Ratkaisu:

Jokaisessa neljässä merkityssä haarassa hämähäkki voi valita joko polun, joka johtaa uloskäyntiin D tai toisen polun todennäköisyydellä 0,5. Nämä ovat itsenäisiä tapahtumia, niiden todennäköisyys (hämähäkki saavuttaa uloskäynnin D) on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo. Siksi todennäköisyys saapua uloskäynnille D on (0,5) 4 = 0,0625.

Huomio hakijoille! Tässä käsitellään useita USE-tehtäviä. Loput, mielenkiintoisemmat, ovat ilmaisessa videossamme. Katso ja tee!

Aloitamme yksinkertaisista ongelmista ja todennäköisyysteorian peruskäsitteistä.
Satunnainen Tapahtumaa, jota ei voida ennustaa tarkasti etukäteen, kutsutaan. Se voi joko tapahtua tai ei.
Voitit lotossa - satunnainen tapahtuma. Kutsuit ystäviä juhlimaan voittoasi, ja matkalla luoksesi he juuttivat hissiin - myös satunnainen tapahtuma. Totta, mestari osoittautui lähistölle ja vapautti koko yrityksen kymmenessä minuutissa - ja tätä voidaan myös pitää onnellisena onnettomuudena...

Elämämme on täynnä satunnaisia ​​tapahtumia. Jokaisesta niistä voimme sanoa, että se tapahtuu joidenkin kanssa todennäköisyys. Todennäköisesti tunnet tämän käsitteen intuitiivisesti. Annamme nyt todennäköisyyden matemaattisen määritelmän.

Aloitetaan yksinkertaisimmalla esimerkillä. Heität kolikon. Kruuna vai klaava?

Tällaista toimintaa, joka voi johtaa yhteen useista tuloksista, kutsutaan todennäköisyysteoriassa testata.

Päät ja hännät - kaksi mahdollista tulokset testit.

Päät putoavat yhdessä kahdesta mahdollisesta. He sanovat että todennäköisyys että kolikko laskeutuu päähän on .

Heitetään noppaa. Nopalla on kuusi puolta, joten mahdollisia lopputuloksia on myös kuusi.

Halusit esimerkiksi, että kolme pistettä näkyisi. Tämä on yksi tulos kuudesta mahdollisesta. Todennäköisyysteoriassa sitä kutsutaan suotuisa lopputulos.

Todennäköisyys saada kolme on yhtä suuri (yksi myönteinen tulos kuudesta mahdollisesta).

Neljän todennäköisyys on myös

Mutta todennäköisyys, että seitsemän ilmestyy, on nolla. Loppujen lopuksi kuutiossa ei ole reunaa, jossa on seitsemän pistettä.

Tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin myönteisten tulosten määrän suhde lopputulosten kokonaismäärään.

On selvää, että todennäköisyys ei voi olla suurempi kuin yksi.

Tässä on toinen esimerkki. Pussissa on omenoita, joista osa on punaisia, loput vihreitä. Omenat eivät eroa muodoltaan tai kooltaan. Laitat kätesi pussiin ja otat satunnaisesti omenan. Punaisen omenan piirtämisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin ja vihreän omenan piirtämisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin .

Todennäköisyys saada punainen tai vihreä omena on yhtä suuri.

Analysoidaanpa kokoelmiin sisältyviä todennäköisyysteorian ongelmia yhtenäisen valtionkokeeseen valmistautumista varten.

. Taksiyhtiöllä on tällä hetkellä ilmaisia ​​autoja: punaisia, keltaisia ​​ja vihreitä. Yksi asiakasta lähimpänä sattuneista autoista vastasi puheluun. Selvitä todennäköisyys, että keltainen taksi tulee hänen luokseen.

Autoja on yhteensä, eli yksi viidestätoista tulee asiakkaalle. Keltaisia ​​on yhdeksän, mikä tarkoittaa, että keltaisen auton saapumisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin .

. (Demoversio) Kaikkien lippujen biologiaa käsittelevässä lippukokoelmassa kahdessa niistä on kysymys sienistä. Kokeen aikana opiskelija saa yhden satunnaisesti valitun lipun. Selvitä todennäköisyys, että tämä lippu ei sisällä kysymystä sienistä.

Ilmeisesti todennäköisyys nostaa lippu kysymättä sienistä on yhtä suuri kuin , eli.

. Vanhempaintoimikunta osti kouluvuoden lopussa lapsille lahjaksi palapelit, mukaan lukien kuuluisien taiteilijoiden maalauksia ja eläinkuvia. Lahjat jaetaan satunnaisesti. Selvitä todennäköisyys, että Vovochka saa pulmapelin eläimen kanssa.

Ongelma ratkaistaan ​​samalla tavalla.

Vastaus:.

. Voimistelumestaruuskilpailuihin osallistuu urheilijoita Venäjältä, Yhdysvalloista ja loput Kiinasta. Voimistelijoiden suoritusjärjestys määräytyy arvalla. Laske todennäköisyys, että viimeinen kilpaileva urheilija on Kiinasta.

Kuvitellaan, että kaikki urheilijat lähestyivät hattua samanaikaisesti ja vetivät siitä paperia, jossa oli numeroita. Jotkut heistä saavat numeron kaksikymmentä. Todennäköisyys, että kiinalainen urheilija vetää sen ulos, on yhtä suuri (koska urheilijat ovat Kiinasta). Vastaus:.

. Opiskelijaa pyydettiin nimeämään numero alkaen -. Millä todennäköisyydellä hän nimeää luvun, joka on viiden kerrannainen?

Joka viides tämän joukon luku on jaollinen . Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys on yhtä suuri kuin .

Noppia heitetään. Laske todennäköisyys saada pariton määrä pisteitä.

Parittomat luvut; - jopa. Parittoman määrän pisteitä todennäköisyys on .

Vastaus:.

. Kolikkoa heitetään kolme kertaa. Mikä on kahden pään ja yhden hännän todennäköisyys?

Huomaa, että ongelma voidaan muotoilla eri tavalla: kolme kolikkoa heitettiin samanaikaisesti. Tämä ei vaikuta päätökseen.

Kuinka monta mahdollista lopputulosta luulet olevan?

Heitämme kolikon. Tällä toiminnolla on kaksi mahdollista lopputulosta: pää ja häntä.

Kaksi kolikkoa – jo neljä tulosta:

Kolme kolikkoa? Aivan oikein, tulokset, koska .

Kaksi päätä ja yksi häntä esiintyy kolmella kahdeksasta.

Vastaus:.

. Satunnaisessa kokeessa heitetään kaksi noppaa. Etsi todennäköisyys, että kokonaissumma on pisteitä. Pyöristä tulos sadasosiksi.

Heitämme ensimmäisen noppaa - kuusi tulosta. Ja jokaiselle heistä kuusi muuta on mahdollista - kun heitämme toisen kuopan.

Huomaamme, että tällä toiminnolla - kahden noppaa heittämällä - on kaikkia mahdollisia tuloksia, koska .

Ja nyt - myönteisiä tuloksia:

Todennäköisyys saada kahdeksan pistettä on .

>. Ampuja osuu maaliin todennäköisyydellä. Laske todennäköisyys, että hän osuu maaliin neljä kertaa peräkkäin.

Jos osuman todennäköisyys on yhtä suuri, väliin jäämisen todennäköisyys on . Perustelemme samalla tavalla kuin edellisessä ongelmassa. Kahden peräkkäisen osuman todennäköisyys on yhtä suuri. Ja neljän peräkkäisen osuman todennäköisyys on yhtä suuri.

Todennäköisyys: raa'an voiman logiikka.

Tässä on diagnosointityöstä johtuva ongelma, jota monet pitivät vaikeana.

Petyalla oli taskussaan rupla- ja ruplaarvoisia kolikoita. Petya, katsomatta, siirsi kolikoita toiseen taskuun. Laske todennäköisyys, että viiden ruplan kolikot ovat nyt eri taskuissa.

Tiedämme, että tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin myönteisten tulosten määrän suhde lopputulosten kokonaismäärään. Mutta kuinka laskea kaikki nämä tulokset?

Voit tietysti merkitä viiden ruplan kolikot numeroilla ja kymmenen ruplan kolikot numeroilla - ja sitten laskea, kuinka monella tavalla voit valita kolme elementtiä sarjasta.

On kuitenkin olemassa yksinkertaisempi ratkaisu:

Koodamme kolikot numeroilla: , (nämä ovat viiden ruplan kolikoita), (nämä ovat kymmenen ruplan kolikoita). Ongelmatilanne voidaan nyt muotoilla seuraavasti:

On kuusi pelimerkkiä numeroilla välillä - . Kuinka monella tavalla ne voidaan jakaa tasan kahteen taskuun, jotta numerolliset pelimerkit eivät päädy yhteen?

Kirjataan ylös, mitä meillä on ensimmäisessä taskussamme.

Tätä varten kokoamme kaikki mahdolliset yhdistelmät sarjasta. Kolmen pelimerkin sarja on kolminumeroinen luku. Ilmeisesti meidän olosuhteissa ja ovat samat pelimerkit. Jotta et menetä mitään tai toista itseämme, järjestämme vastaavat kolminumeroiset luvut nousevaan järjestykseen:

Kaikki! Kävimme läpi kaikki mahdolliset yhdistelmät alkaen . Jatketaan:

Mahdolliset tulokset yhteensä.

Meillä on ehto - numeroita sisältävät pelimerkit eivät saa olla yhdessä. Tämä tarkoittaa esimerkiksi sitä, että yhdistelmä ei sovi meille - se tarkoittaa, että molemmat pelimerkit eivät päätyneet ensimmäiseen, vaan toiseen taskuun. Meille suotuisia tuloksia ovat ne, joissa on joko vain tai vain. Täällä he ovat:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – suotuisia tuloksia yhteensä.

Silloin vaadittu todennäköisyys on yhtä suuri kuin .

Mitkä tehtävät odottavat sinua matematiikan yhtenäisessä valtiokokeessa?

Analysoidaan yhtä todennäköisyysteorian monimutkaisista ongelmista.

Päästäkseen instituuttiin erikoisalalla "Kielitiede", hakijan Z. on saatava vähintään 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta kussakin kolmessa aineessa - matematiikassa, venäjän kielessä ja vieraassa kielessä. Ilmoittautuaksesi erikoisalaan "Kauppa", sinun on saatava vähintään 70 pistettä kustakin kolmesta aineesta - matematiikasta, venäjän kielestä ja yhteiskuntaopinnoista.

Todennäköisyys, että hakija Z. saa vähintään 70 pistettä matematiikasta on 0,6, venäjän kielen - 0,8, vieraalla kielellä - 0,7 ja yhteiskuntaopin 0,5.
Laske todennäköisyys, että Z. pystyy ilmoittautumaan ainakin jompaankumpaan kahdesta mainitusta erikoisalasta.

Huomaa, että ongelma ei kysy, opiskeleeko Z.-niminen hakija sekä kielitiedettä että kauppaa kerralla ja saako hän kaksi tutkintotodistusta. Tässä meidän on löydettävä todennäköisyys, että Z. pystyy ilmoittautumaan vähintään yhdelle näistä kahdesta erikoisalasta - eli hän saa tarvittavan määrän pisteitä.
Päästäkseen ainakin toiseen kahdesta erikoisalasta Z:n on saatava vähintään 70 pistettä matematiikasta. Ja venäjäksi. Ja myös - yhteiskuntaopinnot tai ulkomaalaiset.
Todennäköisyys, että hän saa 70 pistettä matematiikassa, on 0,6.
Matematiikan ja venäjän kielen pisteiden todennäköisyys on 0,6 0,8.

Käsitellään ulko- ja yhteiskuntaopintoja. Meille sopivat vaihtoehdot ovat, kun hakija on saanut pisteitä yhteiskuntaopinnoista, ulkomaisista opinnoista tai molemmista. Vaihtoehto ei sovellu, kun hän ei saanut pisteitä kummassakaan kielessä tai "yhteiskunnassa". Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys läpäistä yhteiskuntaopintojen tai vieraan kielen vähintään 70 pistettä on yhtä suuri kuin
1 – 0,5 0,3.
Seurauksena on, että todennäköisyys läpäistä matematiikan, venäjän ja yhteiskuntaopin tai ulkomaalainen on yhtä suuri
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Tämä on vastaus.

Klassinen todennäköisyyden määritelmä

Satunnainen tapahtuma – mikä tahansa tapahtuma, joka saattaa tapahtua tai ei välttämättä syntyä jonkin kokemuksen seurauksena.

Tapahtuman todennäköisyys R yhtä suuri kuin myönteisten tulosten lukumäärän suhde k mahdollisten tulosten määrään n, eli

p=\frac(k)(n)

Todennäköisyysteorian yhteen- ja kertolaskukaavat

Tapahtuma \bar(A) nimeltään vastapäätä tapahtumaa A, jos tapahtumaa A ei tapahdu.

Todennäköisyyksien summa vastakkaisten tapahtumien on yhtä suuri kuin yksi, ts.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Tapahtuman todennäköisyys ei voi olla suurempi kuin 1.
• Jos tapahtuman todennäköisyys on 0, niin sitä ei tapahdu.
• Jos tapahtuman todennäköisyys on 1, niin se tapahtuu.

Todennäköisyyslisäyslause:

"Kahden yhteensopimattoman tapahtuman summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa."

P(A+B) = P(A) + P(B)

Todennäköisyys määriä kaksi yhteistä tapahtumaa yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa ottamatta huomioon niiden yhteistä esiintymistä:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Todennäköisyyksien kertolaskulause

"Kahden tapahtuman todennäköisyys on yhtä suuri kuin toisen niistä todennäköisyyksien ja toisen ehdollisen todennäköisyyden tulo, joka lasketaan sillä ehdolla, että ensimmäinen tapahtui."

P(AB)=P(A)*P(B)

Tapahtumat kutsutaan yhteensopimaton, jos yhden ulkonäkö sulkee pois muiden ulkonäön. Eli vain yksi tietty tapahtuma voi tapahtua.

Tapahtumat kutsutaan liitos, jos yhden esiintyminen ei sulje pois toisen esiintymistä.

Kaksi satunnaista tapahtumaa A ja B kutsutaan riippumaton, jos toisen esiintyminen ei muuta toisen esiintymisen todennäköisyyttä. Muuten tapahtumia A ja B kutsutaan riippuviksi.

V-6-2014 (kaikki 56 prototyyppiä Unified State Exam pankista)

Pystyy rakentamaan ja tutkimaan yksinkertaisimpia matemaattisia malleja (todennäköisyysteoria)

1. Satunnaisessa kokeessa heitetään kaksi noppaa. Laske todennäköisyys, että yhteensä on 8 pistettä. Pyöristä tulos sadasosiksi. Ratkaisu: Tuloksia, joissa noppaa heittämällä tulee 8 pistettä, on 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Jokaisella noppaa on kuusi mahdollista heittoa, joten lopputulosten kokonaismäärä on 6·6 = 36. Näin ollen todennäköisyys heittää yhteensä 8 on 5: 36=0,138…=0,14

2. Satunnaisessa kokeessa symmetrinen kolikko heitetään kahdesti. Selvitä todennäköisyys, että päät ilmestyvät tarkalleen kerran. Ratkaisu: Kokeessa on 4 yhtä mahdollista lopputulosta: päät-päät, päät-hännät, hännät-päät, hännät-hännät. Päät esiintyvät tasan kerran kahdessa tapauksessa: heads-tails ja tails-heads. Siksi todennäköisyys, että päät ilmestyvät tasan kerran, on 2: 4 = 0,5.

3. Voimistelumestaruuskilpailuihin osallistuu 20 urheilijaa: 8 Venäjältä, 7 USA:sta, loput Kiinasta. Voimistelijoiden suoritusjärjestys määräytyy arvalla. Laske todennäköisyys, että ensimmäisenä kilpaileva urheilija on Kiinasta. Ratkaisu: Osallistuu mestaruuteenurheilijoita Kiinasta. Tällöin todennäköisyys, että ensimmäisenä kilpaileva urheilija on Kiinasta, on 5: 20 = 0,25

4. Keskimäärin 1000 myydystä puutarhapumpusta vuotaa 5. Selvitä todennäköisyys, että yksi satunnaisesti ohjattavaksi valittu pumppu ei vuoda. Ratkaisu: Keskimäärin 1000 myydystä puutarhapumpusta 1000 − 5 = 995 ei vuoda. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että yksi satunnaisesti ohjattavaksi valittu pumppu ei vuoda, on 995: 1000 = 0,995

5. Tehdas valmistaa pusseja. Keskimäärin jokaista 100 laatupussia kohden on kahdeksan pussia, joissa on piilovikoja. Selvitä todennäköisyys, että ostettu laukku on korkealaatuinen. Pyöristä tulos sadasosiksi. Ratkaisu: Ehdon mukaan jokaista 100 + 8 = 108 pussia kohden on 100 laatukassia. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että ostettu laukku on korkealaatuinen, on 100: 108 =0,925925...= 0,93

6. Kuulantyöntökilpailuun osallistuu 4 urheilijaa Suomesta, 7 urheilijaa Tanskasta, 9 urheilijaa Ruotsista ja 5 urheilijaa Norjasta. Urheilijoiden kilpailujärjestys määräytyy arvalla. Laske todennäköisyys, että viimeisenä kilpaileva urheilija on Ruotsista. Ratkaisu: Kilpailuun osallistuu yhteensä 4 + 7 + 9 + 5 = 25 urheilijaa. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että viimeiseksi kilpaileva urheilija on Ruotsista, on 9: 25 = 0,36

7. Tieteellinen konferenssi kestää 5 päivää. Raportteja on suunniteltu yhteensä 75 - ensimmäiset kolme päivää sisältävät 17 raporttia, loput jakautuvat tasaisesti neljännen ja viidennen päivän välillä. Raporttien järjestys määräytyy arvalla. Millä todennäköisyydellä professori M:n raportti ajoitetaan konferenssin viimeiselle päivälle? Ratkaisu: Kolmen ensimmäisen päivän aikana luetaan 51 raporttia ja kahdelle viimeiselle päivälle on suunniteltu 24 raporttia. Siksi viimeiselle päivälle on suunniteltu 12 raporttia. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että professori M:n raportti ajoitetaan konferenssin viimeiselle päivälle, on 12: 75 = 0,16

8. Esiintyjien kilpailu kestää 5 päivää. Yhteensä 80 esitystä on ilmoitettu - yksi kustakin maasta. Ensimmäisenä päivänä on 8 esitystä, loput jaetaan tasan jäljellä olevien päivien kesken. Esitysjärjestys määräytyy arvalla. Millä todennäköisyydellä Venäjän edustaja esiintyy kilpailun kolmantena päivänä? Ratkaisu: Suunniteltu kolmantena päivänäpuheita. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että Venäjän edustajan esitys ajoitetaan kilpailun kolmantena päivänä, on 18: 80 = 0,225

9. Seminaariin saapui 3 tutkijaa Norjasta, 3 Venäjältä ja 4 Espanjasta. Raporttien järjestys määräytyy arvalla. Laske todennäköisyys, että kahdeksas raportti on venäläisen tiedemiehen raportti. Ratkaisu: Seminaariin osallistuu yhteensä 3 + 3 + 4 = 10 tiedemiestä, mikä tarkoittaa, että todennäköisyys, että kahdeksanneksi puhuva tiedemies on Venäjältä, on 3:10 = 0,3.

10. Ennen sulkapallon mestaruussarjan ensimmäisen kierroksen alkua osallistujat jaetaan satunnaisesti pelipareihin arvalla. Yhteensä mestaruuskilpailuihin osallistuu 26 sulkapalloilijaa, mukaan lukien 10 osallistujaa Venäjältä, mukaan lukien Ruslan Orlov. Mikä on todennäköisyys, että Ruslan Orlov pelaa ensimmäisellä kierroksella kenen tahansa venäläisen sulkapalloilijan kanssa? Ratkaisu: Ensimmäisellä kierroksella Ruslan Orlov voi pelata 26 − 1 = 25 sulkapalloilijan kanssa, joista 10 − 1 = 9 on Venäjältä. Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että Ruslan Orlov pelaa ensimmäisellä kierroksella kenen tahansa venäläisen sulkapalloilijan kanssa, on 9: 25 = 0,36

11. Biologian lippukokoelmassa on vain 55 lippua, joista 11 sisältää kasvitieteen kysymyksen. Selvitä todennäköisyys, että opiskelija saa kasvitieteen kysymyksen satunnaisesti valitusta koelipusta. Ratkaisu: 11: 55 = 0,2

12. Sukellusmestaruuskilpailuissa esiintyy 25 urheilijaa, joista 8 hyppääjää Venäjältä ja 9 hyppääjää Paraguaysta. Esitysjärjestys määräytyy arvalla. Selvitä todennäköisyys, että paraguaylainen hyppääjä on kuudes.

13.Kaksi tehdasta valmistaa samaa lasia auton ajovaloihin. Ensimmäinen tehdas tuottaa 30% näistä laseista, toinen - 70%. Ensimmäinen tehdas tuottaa 3% viallisesta lasista ja toinen - 4%. Selvitä todennäköisyys, että kaupasta vahingossa ostettu lasi osoittautuu vialliseksi.

Ratkaisu. Muunna %% murtoluvuiksi.

Tapahtuma A - "Ensimmäisen tehtaan lasi ostettiin." P(A) = 0,3

Tapahtuma B - "Toisen tehtaan lasi ostettiin." P(B) = 0,7

Tapahtuma X - "Viallinen lasi".

P(A ja X) = 0,3*0,03=0,009

P(B ja X) = 0,7*0,04=0,028 Kokonaistodennäköisyyskaavan mukaan: P = 0,009+0,028 = 0.037

14.Jos isomestari A. pelaa valkoista, niin hän voittaa suurmestari B.:tä vastaan ​​todennäköisyydellä 0,52. Jos A. pelaa mustaa, niin A. voittaa B.:tä vastaan ​​todennäköisyydellä 0,3. Suurmestarit A. ja B. pelaavat kaksi peliä, ja toisessa pelissä he vaihtavat nappuloiden väriä. Laske todennäköisyys, että A. voittaa molemmat kertaa. Ratkaisu: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasya, Petya, Kolya ja Lyosha heittivät arpaa siitä, kenen pitäisi aloittaa peli. Selvitä todennäköisyys, että Petyan on aloitettava peli.

Ratkaisu: Satunnainen kokeilu - arpalasku.
Tässä kokeessa alkeistapahtuma on osallistuja, joka voittaa arpan.
Listataanpa mahdolliset alkeistapahtumat:
(Vasya), (Petya), (Kolja), (Lyosha).
Niitä tulee 4 kpl, ts. N = 4. Erä viittaa siihen, että kaikki alkeistapahtumat ovat yhtä mahdollisia.
Tapahtumaa A= (Petya voitti arpa) suosii vain yksi perustapahtuma (Petya). Siksi N(A) = 1.
Sitten P(A) = 0,25 Vastaus: 0,25.

16. MM-kisoihin osallistuu 16 joukkuetta. Heidät on jaettava neljään ryhmään, joissa kussakin on neljä joukkuetta. Laatikossa on sekoitettuna kortteja ryhmänumeroilla: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Joukkueiden kapteenit vetävät kukin yhden kortin. Millä todennäköisyydellä Venäjän joukkue on toisessa ryhmässä? Ratkaisu: Tuloksia yhteensä - 16. Näistä myönteisiä, ts. numerolla 2 se on 4. Joten 4: 16=0,25

17. Geometrian kokeessa opiskelija saa yhden kysymyksen koekysymyksistä. Todennäköisyys, että tämä on piirretty ympyräkysymys, on 0,2. Todennäköisyys, että tämä on kysymys aiheesta ”Rinnakkaiskuvaus”, on 0,15. Ei ole kysymyksiä, jotka liittyvät samanaikaisesti näihin kahteen aiheeseen. Laske todennäköisyys, että opiskelija saa kysymyksen jostakin näistä kahdesta aiheesta kokeessa.

= (kysymys aiheesta "Kirjattu ympyrä"),
= (kysymys aiheesta "Rinnakkaissymboli").
Tapahtumat Ja ovat yhteensopimattomia, koska ehdon mukaan luettelo ei sisällä näihin kahteen aiheeseen liittyviä kysymyksiä samanaikaisesti.
Tapahtuma= (kysymys toisesta näistä kahdesta aiheesta) on niiden yhdistelmä:.
Käytämme kaavaa yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien lisäämiseksi:
.

18.Yhdessä kauppakeskuksessa kaksi identtistä konetta myyvät kahvia. Todennäköisyys, että koneesta loppuu kahvi päivän loppuun mennessä, on 0,3. Todennäköisyys, että molemmista koneista loppuu kahvi, on 0,12. Laske todennäköisyys, että päivän päätteeksi molemmissa koneissa on kahvia jäljellä.

Määritellään tapahtumat
= (kahvi loppuu ensimmäisestä koneesta),
= (kahvi loppuu toisesta koneesta).
Ongelman ehtojen mukaan Ja .
Todennäköisyyksien lisäämiskaavaa käyttämällä löydämme tapahtuman todennäköisyyden
Ja = (kahvi loppuu ainakin yhdestä automaatista):

.
Siksi päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys (kahvi jää molempiin koneisiin) on yhtä suuri
.

19. Ampumahiihtäjä ampuu maaliin viisi kertaa. Todennäköisyys osua maaliin yhdellä laukauksella on 0,8. Laske todennäköisyys, että ampumahiihtäjä osuu maaliin ensimmäiset kolme kertaa ja ohittaa kaksi viimeistä kertaa. Pyöristä tulos sadasosiksi.

Tässä tehtävässä oletetaan, että jokaisen seuraavan laukauksen tulos ei riipu edellisistä. Siksi tapahtumat " osuivat ensimmäiseen laukaukseen ", " osuivat toiseen laukaukseen " jne. riippumaton.
Jokaisen osuman todennäköisyys on yhtä suuri. Tämä tarkoittaa, että jokaisen ohituksen todennäköisyys on yhtä suuri. Käytetään kaavaa riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertomiseen. Huomaamme, että sekvenssi
= (osuma, osuma, osuma, ohitettu, ohitettu) on todennäköisyys
=
= . Vastaus:.

20. Myymälässä on kaksi maksuautomaattia. Jokainen niistä voi olla viallinen todennäköisyydellä 0,05 toisesta koneesta riippumatta. Laske todennäköisyys, että ainakin yksi kone toimii.

Tämä ongelma edellyttää myös, että automaatit toimivat itsenäisesti.
Selvitetään päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys
= (molemmat koneet ovat viallisia).
Tätä varten käytämme kaavaa itsenäisten tapahtumien todennäköisyyksien kertomiseksi:
.
Tämä tarkoittaa tapahtuman todennäköisyyttä= (vähintään yksi kone toimii) on yhtä suuri kuin. Vastaus:.

21. Huonetta valaisee lyhty kahdella lampulla. Todennäköisyys, että yksi lamppu palaa vuoden sisällä, on 0,3. Laske todennäköisyys, että vähintään yksi lamppu ei pala vuoden aikana. Ratkaisu: Molemmat palavat loppuun (tapahtumat ovat riippumattomia ja käytämme kaavaa todennäköisyyksien tulolle) todennäköisyydellä p1=0,3⋅0,3=0,09
Vastakkainen tapahtuma(Eivät molemmat pala loppuun = ainakin YKSI ei pala)
tapahtuu todennäköisyydellä p=1-p1=1-0,09=0,91
VASTAUS: 0,91

22. Todennäköisyys, että uusi vedenkeitin kestää yli vuoden, on 0,97. Todennäköisyys, että se kestää yli kaksi vuotta, on 0,89. Laske todennäköisyys, että se kestää alle kaksi vuotta, mutta yli vuoden

Ratkaisu.

Olkoon A = "kattila kestää yli vuoden, mutta alle kaksi vuotta", B = "kattila kestää yli kaksi vuotta", sitten A + B = "kattila kestää yli vuoden".

Tapahtumat A ja B ovat yhteisiä, niiden summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa vähennettynä niiden toteutumistodennäköisyydellä. Näiden tapahtumien todennäköisyys, joka koostuu siitä, että vedenkeitin epäonnistuu täsmälleen kahdessa vuodessa - täsmälleen samana päivänä, tunnissa ja sekunnissa - on nolla. Sitten:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

josta ehdon dataa käyttämällä saadaan 0,97 = P(A) + 0,89.

Siten halutulle todennäköisyydelle meillä on: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Maatalousyritys ostaa kananmunia kahdelta kotitaloudelta. Ensimmäisen tilan munista 40 % on korkeimman luokan munia, ja toisen tilan munista 20 % korkeimman luokan munista. Kaiken kaikkiaan 35 % munista saa korkeimman luokan. Selvitä todennäköisyys, että tältä maatalousyritykseltä ostettu muna tulee ensimmäiseltä tilalta. Ratkaisu: Anna maatalousyrityksen ostaa ensimmäiseltä tilalta munat mukaan lukien korkeimman luokan munat ja toisessa tilassa - munat mukaan lukien korkeimman luokan munat. Näin ollen kokonaismäärä, jonka agroform ostaa munat mukaan lukien korkeimman luokan munat. Ehdon mukaan 35 prosentilla munista on korkein luokka, sitten:

Siksi todennäköisyys, että ostettu muna on ensimmäiseltä tilalta, on yhtä suuri =0,75

24. Puhelimen näppäimistössä on 10 numeroa, 0 - 9. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti painettu numero on parillinen?

25. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu luonnollinen luku 10:stä 19:ään on jaollinen kolmella?

26. Cowboy John iskee kärpäsen seinään todennäköisyydellä 0,9, jos hän ampuu nollatusta revolverista. Jos John ampuu ampumattomasta revolverista, hän osuu kärpäseen todennäköisyydellä 0,2. Pöydällä on 10 revolveria, joista vain 4 on ammuttu. Cowboy John näkee kärpäsen seinällä, tarttuu sattumanvaraisesti ensimmäiseen törmäämäänsä revolveriin ja ampuu kärpäsen. Selvitä todennäköisyys, että John jättää huomiotta. Ratkaisu: John osuu kärpäseen, jos hän tarttuu nollatun revolverin ja osuu sillä, tai jos hän tarttuu laukaisemattomaan revolveriin ja osuu sillä. Ehdollisen todennäköisyyskaavan mukaan näiden tapahtumien todennäköisyydet ovat 0,4·0,9 = 0,36 ja 0,6·0,2 = 0,12. Nämä tapahtumat ovat yhteensopimattomia, niiden summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa: 0,36 + 0,12 = 0,48. Tapahtuma, jonka John kaipaa, on päinvastainen. Sen todennäköisyys on 1 − 0,48 = 0,52.

27. Turistiryhmässä on 5 henkilöä. Erien avulla he valitsevat kaksi ihmistä, joiden täytyy mennä kylään ostamaan ruokaa. Turisti A. haluaisi mennä kauppaan, mutta hän tottelee erää. Millä todennäköisyydellä A. menee kauppaan? Ratkaisu: Turisteja on yhteensä viisi, joista kaksi valitaan sattumanvaraisesti. Todennäköisyys tulla valituksi on 2: 5 = 0,4. Vastaus: 0.4.

28. Ennen jalkapallo-ottelun alkua erotuomari heittää kolikon määrittääkseen, mikä joukkue aloittaa pelin pallolla. Fizik-joukkue pelaa kolme ottelua eri joukkueiden kanssa. Selvitä todennäköisyys, että näissä peleissä "Fyysikko" voittaa arpan tasan kahdesti. Ratkaisu: Merkitään "1" kolikon puolta, joka on vastuussa "Fyysikon" voittamisesta, ja merkitään kolikon toinen puoli "0". Sitten on kolme suotuisaa yhdistelmää: 110, 101, 011 ja yhteensä 2 yhdistelmää 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Vaadittu todennäköisyys on siis yhtä suuri kuin:

29. Noppia heitetään kahdesti. Kuinka moni kokeen perustulos suosii tapahtumaa "A = pisteiden summa on 5"? Ratkaisu: Pisteiden summa voi olla yhtä suuri kuin 5 neljässä tapauksessa: "3 + 2", "2 + 3", "1 + 4", "4 + 1". Vastaus: 4.

30. Satunnaisessa kokeessa symmetrinen kolikko heitetään kahdesti. Laske todennäköisyys, että OP-tulos tapahtuu (päät ensimmäisen kerran, hännän toisella kerralla). Ratkaisu: On neljä mahdollista lopputulosta: päät-päät, päät-hännät, hännät-päät, hännät-hännät. Yksi on suotuisa: päät ja hännät. Siksi toivottu todennäköisyys on 1: 4 = 0,25. Vastaus: 0,25.

31. Bändit esiintyvät rockfestivaaleilla - yksi kustakin ilmoitetusta maasta. Suoritusjärjestys määräytyy arvalla. Mikä on todennäköisyys, että tanskalainen ryhmä esiintyy ruotsalaisen ja norjalaisen ryhmän jälkeen? Pyöristä tulos sadasosiksi. Ratkaisu: Festivaaleilla esiintyvien ryhmien kokonaismäärällä ei ole merkitystä kysymykseen vastaamisen kannalta. Riippumatta siitä, kuinka monta niitä on, näille maille on kuusi tapaa suhteelliseen asemaan puhujien joukossa (D - Tanska, W - Ruotsi, N - Norja):

D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..P...N..., ...N...P...W..., ...N...W...P...

Tanska on Ruotsin ja Norjan jälkeen kahdessa tapauksessa. Siksi todennäköisyys, että ryhmät jakautuvat satunnaisesti tällä tavalla, on yhtä suuri Vastaus: 0,33

32. Tykistön tulituksen aikana automaattijärjestelmä ampuu laukauksen maaliin. Jos kohde ei tuhoudu, järjestelmä ampuu toisen laukauksen. Laukauksia toistetaan, kunnes kohde on tuhottu. Todennäköisyys tuhota tietty kohde ensimmäisellä laukauksella on 0,4 ja jokaisella seuraavalla laukauksella se on 0,6. Kuinka monta laukausta tarvitaan varmistamaan, että kohteen tuhoamisen todennäköisyys on vähintään 0,98? Ratkaisu: Voit ratkaista ongelman ”toimilla”, laskemalla selviytymistodennäköisyyden sarjan peräkkäisten ohituskertojen jälkeen: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Jälkimmäinen todennäköisyys on pienempi kuin 0,02, joten viisi laukausta maaliin riittää.

33. Jalkapallojoukkueen on saatava vähintään 4 pistettä kahdessa pelissä, jotta se pääsee seuraavalle kierrokselle. Jos joukkue voittaa, se saa 3 pistettä, tasapelissä 1 pisteen, häviämisestä 0 pistettä. Laske todennäköisyys, että joukkue etenee kilpailun seuraavalle kierrokselle. Ajattele, että jokaisessa pelissä voiton ja tappion todennäköisyys on sama ja yhtä suuri kuin 0,4. Ratkaisu : Joukkue voi saada vähintään 4 pistettä kahdessa pelissä kolmella tavalla: 3+1, 1+3, 3+3. Nämä tapahtumat ovat yhteensopimattomia, niiden summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin niiden todennäköisyyksien summa. Jokainen näistä tapahtumista on kahden itsenäisen tapahtuman tulos - ensimmäisen ja toisen pelin tulos. Täältä saamme:

34. Tietyssä kaupungissa 5000 syntyneestä vauvasta 2512 on poikia. Selvitä tyttöjen syntymistiheys tässä kaupungissa. Pyöristä tulos lähimpään tuhanteen. Ratkaisu: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. Lentokoneessa varauloskäyntien vieressä on 12 paikkaa ja hyttejä erottavien väliseinien takana 18 paikkaa. Loput istuimet ovat epämukavia pitkille matkustajille. Matkustaja V. on pitkä. Laske todennäköisyys, että lähtöselvityksessä, jos istuin valitaan satunnaisesti, matkustaja B saa mukavan istuimen, jos koneessa on yhteensä 300 paikkaa. Ratkaisu : Koneessa on 12 + 18 = 30 matkustajalle B sopivaa istumapaikkaa ja koneessa on yhteensä 300 paikkaa. Siksi todennäköisyys, että matkustaja B saa mukavan istuimen, on 30: 300 = 0,1. Vastaus: 0,1.

36. Yliopiston olympialaisissa osallistujat istuvat kolmessa luokkahuoneessa. Kahdessa ensimmäisessä on 120 henkilöä, loput viedään toisessa rakennuksessa olevaan vara-auditorioon. Laskettaessa kävi ilmi, että osallistujia oli yhteensä 250. Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu osallistuja kirjoitti kilpailun ylimääräisessä luokkahuoneessa. Ratkaisu: Kaikkiaan varayleisölle lähetettiin 250 − 120 − 120 = 10 henkilöä. Siksi todennäköisyys, että satunnaisesti valittu osallistuja kirjoitti olympian ylimääräisessä luokkahuoneessa, on 10: 250 = 0,04. Vastaus: 0,04

37. Luokassa on 26 henkilöä, heidän joukossaan kaksi kaksoset - Andrey ja Sergey. Luokka jaetaan satunnaisesti kahteen 13 hengen ryhmään. Selvitä todennäköisyys, että Andrey ja Sergey ovat samassa ryhmässä. Ratkaisu: Anna toisen kaksosista olla jossain ryhmässä. Yhdessä hänen kanssaan ryhmään kuuluu 12 henkilöä 25 jäljellä olevista luokkatovereista. Todennäköisyys, että toinen kaksos on näiden 12 ihmisen joukossa, on 12: 25 = 0,48.

38. Taksiyrityksellä on 50 autoa; Niistä 27 on mustia, joiden sivuilla on keltaisia ​​kirjoituksia, loput ovat keltaisia ​​mustilla kirjoituksilla. Selvitä todennäköisyys, että keltainen auto, jossa on mustat kirjoitukset, vastaa satunnaiseen kutsuun. Ratkaisu: 23:50=0,46

39. Turistiryhmässä on 30 henkilöä. Heidät pudotetaan helikopterilla vaikeapääsyiselle alueelle useassa vaiheessa, 6 henkilöä per lento. Järjestys, jossa helikopteri kuljettaa turisteja, on satunnainen. Laske todennäköisyys, että turisti P. tekee ensimmäisen helikopterilennon. Ratkaisu: Ensimmäisellä lennolla on 6 paikkaa, yhteensä 30. Silloin todennäköisyys, että turisti P. lentää ensimmäisellä helikopterilennolla on: 6:30 = 0,2

40. Todennäköisyys, että uusi DVD-soitin korjataan takuun puitteissa vuoden sisällä, on 0,045. Tietyssä kaupungissa vuoden 1000 myydystä DVD-soittimesta takuupajaan saapui 51 kappaletta. Kuinka erilainen "takuukorjauksen" esiintymistiheys on sen todennäköisyydellä tässä kaupungissa? Ratkaisu: "Takuukorjauksen" esiintymistiheys (suhteellinen esiintymistiheys) on 51:1000 = 0,051. Se eroaa ennustetusta todennäköisyydestä 0,006.

41. Valmistettaessa laakereita, joiden halkaisija on 67 mm, todennäköisyys, että halkaisija poikkeaa määritellystä enintään 0,01 mm, on 0,965. Laske todennäköisyys, että satunnaisen laakerin halkaisija on alle 66,99 mm tai suurempi kuin 67,01 mm. Ratkaisu. Ehdon mukaan laakerin halkaisija on välillä 66,99-67,01 mm todennäköisyydellä 0,965. Siksi haluttu päinvastaisen tapahtuman todennäköisyys on 1 − 0,965 = 0,035.

42. Todennäköisyys, että opiskelija O. ratkaisee oikein enemmän kuin 11 tehtävää biologian kokeessa, on 0,67. Todennäköisyys, että O. ratkaisee oikein enemmän kuin 10 tehtävää, on 0,74. Laske todennäköisyys, että O. ratkaisee täsmälleen 11 tehtävää oikein. Ratkaisu: Harkitse tapahtumia A = "oppilas ratkaisee 11 tehtävää" ja B = "oppilas ratkaisee yli 11 tehtävää". Niiden summa on tapahtuma A + B = "oppilas ratkaisee yli 10 tehtävää". Tapahtumat A ja B ovat yhteensopimattomia, niiden summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa: P(A + B) = P(A) + P(B). Sitten näitä tehtäviä käyttämällä saadaan: 0,74 = P(A) + 0,67, josta P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Vastaus: 0,07.

43. Päästäkseen instituuttiin "Kielitieteen" erikoisalalle hakijan on saatava vähintään 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta kussakin kolmessa aineessa - matematiikassa, venäjän kielessä ja vieraassa kielessä. Ilmoittautuaksesi erikoisalaan "Kauppa", sinun on saatava vähintään 70 pistettä kustakin kolmesta aineesta - matematiikasta, venäjän kielestä ja yhteiskuntaopinnoista. Todennäköisyys, että hakija Z. saa vähintään 70 pistettä matematiikasta on 0,6, venäjän kielellä - 0,8, vieraalla kielellä - 0,7 ja yhteiskuntaopinnoissa - 0,5. Laske todennäköisyys, että Z. pystyy ilmoittautumaan vähintään yhteen kahdesta mainitusta erikoisuudesta. Ratkaisu: Ilmoittautuakseen minne tahansa Z.:n on läpäistävä sekä venäjä että matematiikka vähintään 70 pisteellä ja tämän lisäksi myös vieraan kielen tai yhteiskuntaopintojen vähintään 70 pisteellä. Antaa A, B, C ja D - Nämä ovat tapahtumia, joissa Z. läpäisee matematiikan, venäjän, ulkomaatieteen ja yhteiskuntaopin vähintään 70 pisteellä. Sitten siitä lähtien

Saapumisen todennäköisyydelle meillä on:

44. Keraamisten astioiden tehtaalla valmistetuista lautasista 10 % on viallisia. Tuotteiden laadunvalvonnan aikana 80 % viallisista levyistä tunnistetaan. Loput lautaset ovat myynnissä. Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valitussa lautasessa ei ole vikoja. Pyöristä vastauksesi lähimpään sadasosaan. Ratkaisu : Anna tehtaan tuottaalevyt. Kaikki laatulevyt ja 20 % havaitsemattomista viallisista levyistä tulevat myyntiin:levyt. Koska laadukkaat, korkealaatuisen levyn ostamisen todennäköisyys on 0,9p:0,92p=0,978 Vastaus: 0,978.

45.Liikkeessä on kolme myyjää. Jokainen heistä on varattu asiakkaan kanssa todennäköisyydellä 0,3. Laske todennäköisyys, että satunnaisella hetkellä kaikki kolme myyjää ovat kiireisiä samaan aikaan (oletetaan, että asiakkaat tulevat sisään toisistaan ​​riippumatta). Ratkaisu : Riippumattomien tapahtumien tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo. Siksi todennäköisyys, että kaikki kolme myyjää ovat kiireisiä, on yhtä suuri

46.Asiakkaiden arvioiden perusteella Ivan Ivanovich arvioi kahden verkkokaupan luotettavuuden. Todennäköisyys, että haluttu tuote toimitetaan myymälästä A, on 0,8. Todennäköisyys, että tämä tuote toimitetaan myymälästä B, on 0,9. Ivan Ivanovich tilasi tavarat molemmista liikkeistä kerralla. Olettaen, että verkkokaupat toimivat toisistaan ​​riippumatta, laske todennäköisyys, että mikään kauppa ei toimita tuotetta. Ratkaisu: Todennäköisyys, että ensimmäinen myymälä ei toimita tavaraa, on 1 − 0,9 = 0,1. Todennäköisyys, että toinen myymälä ei toimita tavaraa, on 1 − 0,8 = 0,2. Koska nämä tapahtumat ovat riippumattomia, niiden toteutumisen todennäköisyys (molemmat kaupat eivät toimita tavaroita) on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo: 0,1 · 0,2 = 0,02

47. Bussi kulkee päivittäin piirikeskuksesta kylään. Todennäköisyys, että bussissa on maanantaina alle 20 matkustajaa, on 0,94. Todennäköisyys, että matkustajia on alle 15, on 0,56. Laske todennäköisyys, että matkustajamäärä on välillä 15-19. Ratkaisu: Harkitse tapahtumia A = "bussissa on alle 15 matkustajaa" ja B = "bussissa on 15-19 matkustajaa". Niiden summa on tapahtuma A + B = "bussissa on alle 20 matkustajaa". Tapahtumat A ja B ovat yhteensopimattomia, niiden summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa: P(A + B) = P(A) + P(B). Sitten näitä tehtäviä käyttämällä saadaan: 0,94 = 0,56 + P(B), josta P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Vastaus: 0,38.

48.Ennen lentopallo-ottelun alkua joukkueiden kapteenit arvostavat reilun arvan määrittääkseen, mikä joukkue aloittaa pelin pallolla. "Staattori" joukkue vuorotellen pelaa "Roottori", "Moottori" ja "Starter" joukkueiden kanssa. Laske todennäköisyys, että Stator aloittaa vain ensimmäisen ja viimeisen pelin. Ratkaisu. Sinun on löydettävä kolmen tapahtuman todennäköisyys: ”Stator” aloittaa ensimmäisen pelin, ei aloita toista peliä ja aloittaa kolmannen pelin. Riippumattomien tapahtumien tulon todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo. Jokaisen todennäköisyys on 0,5, josta saadaan: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Vastaus: 0,125.

49. Taikamaassa on kahdenlaisia ​​säätyyppejä: hyvä ja erinomainen, ja aamulla saatu sää pysyy muuttumattomana koko päivän. Tiedetään, että todennäköisyydellä 0,8 sää on huomenna sama kuin tänään. Tänään on 3. heinäkuuta, sää Taikamaassa on hyvä. Selvitä todennäköisyys, että sää on loistava Satumaassa 6. heinäkuuta. Ratkaisu. Sään 4., 5. ja 6. heinäkuuta on 4 vaihtoehtoa: ХХО, ХОО, ОХО, OOO (tässä X on hyvä, O on erinomainen sää). Selvitetään tällaisen sään esiintymistodennäköisyydet: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Nämä tapahtumat ovat yhteensopimattomia, niiden summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 0,392.

50. Kaikille potilaille, joilla epäillään hepatiittia, tehdään verikoe. Jos testi paljastaa hepatiittia, testitulos kutsutaan positiivinen . Hepatiittipotilailla testi antaa positiivisen tuloksen todennäköisyydellä 0,9. Jos potilaalla ei ole hepatiittia, testi voi antaa väärän positiivisen tuloksen todennäköisyydellä 0,01. Tiedetään, että 5 prosentilla potilaista, joilla on epäilty hepatiittia, on hepatiitti. Selvitä todennäköisyys, että hepatiittiepäillyllä klinikalle saapuneen potilaan testitulos on positiivinen. Ratkaisu . Potilaan analyysi voi olla positiivinen kahdesta syystä: A) potilaalla on hepatiitti, hänen analyysinsä on oikea; B) potilaalla ei ole hepatiittia, hänen analyysinsä on väärä. Nämä ovat yhteensopimattomia tapahtumia, niiden summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa. Meillä on: p(A) = 0,9 0,05 = 0,045; p(B) = 0,01 0,95 = 0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Mishalla oli taskussaan neljä karkkia - "Grilyazh", "Orava", "Korovka" ja "Pääskynen" sekä asunnon avaimet. Kun Misha otti avaimia esiin, hän pudotti vahingossa yhden karkkipalan taskustaan. Laske todennäköisyys, että "Grillage"-karkki katosi.

52. Kahdentoista tunnin kellotaululla varustettu mekaaninen kello hajosi jossain vaiheessa ja lakkasi toimimasta. Laske todennäköisyys, että tuntiosoitin jäätyy saavuttaen kello 10-aseman, mutta ei saavuta kello 1-asemaa. Ratkaisu: 3: 12 = 0,25

53. Todennäköisyys, että akku on viallinen, on 0,06. Ostaja kaupassa valitsee satunnaisen paketin, joka sisältää kaksi näistä paristoista. Laske todennäköisyys, että molemmat akut ovat hyviä. Ratkaisu: Todennäköisyys, että akku on kunnossa, on 0,94. Riippumattomien tapahtumien todennäköisyys (molemmat akut ovat hyviä) on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo: 0,94·0,94 = 0,8836. Vastaus: 0,8836.

54. Automaattinen linja tuottaa akkuja. Todennäköisyys, että valmis akku on viallinen, on 0,02. Ennen pakkaamista jokainen akku käy ohjausjärjestelmän läpi. Todennäköisyys, että järjestelmä hylkää viallisen akun, on 0,99. Todennäköisyys, että järjestelmä vahingossa hylkää toimivan akun, on 0,01. Laske todennäköisyys, että tarkastusjärjestelmä hylkää satunnaisesti valitun valmistetun akun. Ratkaisu. Tilanne, jossa akku hylätään, voi syntyä seuraavien tapahtumien seurauksena: A = akku on todella viallinen ja hylätty oikein, tai B = akku toimii, mutta se hylättiin virheellisesti. Nämä ovat yhteensopimattomia tapahtumia, niiden summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa. Meillä on:

55. Kuvassa labyrintti. Hämähäkki ryömii sokkeloon sisäänkäynnin kohdalla. Hämähäkki ei voi kääntyä ympäri ja ryömi takaisin, joten jokaisella haaralla hämähäkki valitsee yhden poluista, jota se ei ole vielä ryöminyt. Olettaen, että jatkopolun valinta on täysin satunnainen, määritä millä todennäköisyydellä hämähäkki tulee ulos.

Ratkaisu.

Jokaisessa neljässä merkityssä haarassa hämähäkki voi valita joko polun, joka johtaa uloskäyntiin D tai toisen polun todennäköisyydellä 0,5. Nämä ovat itsenäisiä tapahtumia, niiden todennäköisyys (hämähäkki saavuttaa uloskäynnin D) on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo. Siksi todennäköisyys saapua uloskäynnille D on (0,5) 4 = 0,0625.