Leçon et présentation sur le thème : "Fonctions puissance. Propriétés. Graphiques"

Matériaux additionnels
Chers utilisateurs, n'oubliez pas de laisser vos commentaires, avis, souhaits ! Tous les documents ont été vérifiés par un programme antivirus.

Supports pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne Integral pour la 11e année
Manuel interactif pour les classes 9 à 11 "Trigonométrie"
Manuel interactif pour les classes 10-11 « Logarithmes »

Fonctions de puissance, domaine de définition.

Les gars, dans la dernière leçon, nous avons appris à travailler avec des nombres avec des exposants rationnels. Dans cette leçon, nous examinerons les fonctions puissance et nous limiterons au cas où l'exposant est rationnel.
Nous considérerons des fonctions de la forme : $y=x^(\frac(m)(n))$.
Considérons d'abord les fonctions dont l'exposant $\frac(m)(n)>1$.
Donnons-nous une fonction spécifique $y=x^2*5$.
D'après la définition que nous avons donnée dans la leçon précédente : si $x≥0$, alors le domaine de définition de notre fonction est le rayon $(x)$. Décrivons schématiquement notre graphique de la fonction.

Propriétés de la fonction $y=x^(\frac(m)(n))$, $0 2. Elle n'est ni paire ni impaire.
3. Augmente de $$,
b) $(2,10)$,
c) sur le rayon $$.
Solution.
Les gars, vous souvenez-vous de la façon dont nous avons trouvé la valeur la plus grande et la plus petite d'une fonction sur un segment en 10e année ?
C'est vrai, nous avons utilisé la dérivée. Résolvons notre exemple et répétons l'algorithme pour trouver la valeur la plus petite et la plus grande.
1. Trouvez la dérivée de la fonction donnée :
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. La dérivée existe dans tout le domaine de définition de la fonction originale, alors points critiques Non. Trouvons des points stationnaires :
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
64 $x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ et $x_2=\sqrt(64)=4$.
Un segment donné ne contient qu'une seule solution $x_2=4$.
Construisons un tableau des valeurs de notre fonction aux extrémités du segment et au point extremum :
Réponse : $y_(name)=-862,65$ à $x=9$ ; $y_(max.)=38,4$ à $x=4$.

Exemple. Résolvez l'équation : $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Solution. Le graphique de la fonction $y=x^(\frac(4)(3))$ augmente et le graphique de la fonction $y=24-x$ diminue. Les gars, vous et moi le savons : si une fonction augmente et l'autre diminue, alors elles ne se coupent qu'en un seul point, c'est-à-dire que nous n'avons qu'une seule solution.
Note:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Autrement dit, avec $x=8$, nous avons obtenu l'égalité correcte $16=16$, c'est la solution de notre équation.
Réponse : $x=8$.

Exemple.
Représentez graphiquement la fonction : $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Solution.
Le graphique de notre fonction est obtenu à partir du graphique de la fonction $y=x^(\frac(3)(4))$ en le décalant de 3 unités vers la droite et de 2 unités vers le haut.

Exemple. Écrivez une équation pour la tangente à la droite $y=x^(-\frac(4)(5))$ au point $x=1$.
Solution. L'équation de la tangente est déterminée par la formule que nous connaissons :
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Dans notre cas $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Trouvons la dérivée :
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Calculons :
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Trouvons l'équation tangente :
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Réponse : $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Problèmes à résoudre de manière autonome

1. Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction : $y=x^\frac(4)(3)$ sur le segment :
a)$$.
b) $(4,50)$.
c) sur le rayon $$.
3. Résolvez l'équation : $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Construisez un graphique de la fonction : $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. Créez une équation pour la tangente à la droite $y=x^(-\frac(3)(7))$ au point $x=1$.

Pour faciliter la prise en compte d'une fonction puissance, nous considérerons 4 cas distincts : une fonction puissance avec un exposant naturel, une fonction puissance avec un exposant entier, une fonction puissance avec un exposant rationnel et une fonction puissance avec un exposant irrationnel.

Fonction puissance avec exposant naturel

Tout d’abord, introduisons le concept de degré avec un exposant naturel.

Définition 1

La puissance d'un nombre réel $a$ d'exposant naturel $n$ est un nombre égal au produit de $n$ facteurs, dont chacun est égal au nombre $a$.

Image 1.

$a$ est la base du diplôme.

$n$ est l'exposant.

Considérons maintenant une fonction puissance avec un exposant naturel, ses propriétés et son graphique.

Définition 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ est appelée une fonction puissance avec un exposant naturel.

Pour plus de commodité, nous considérons séparément une fonction puissance avec un exposant pair $f\left(x\right)=x^(2n)$ et une fonction puissance avec un exposant impair $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\in N)$.

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant naturel pair

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- la fonction est paire.

Zone de valeur -- $\

La fonction diminue à mesure de $x\in (-\infty ,0)$ et augmente à mesure de $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1 ))\ge 0$

La fonction est convexe sur tout le domaine de définition.

Comportement aux extrémités du domaine :

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Graphique (Fig.2).

Figure 2. Graphique de la fonction $f\left(x\right)=x^(2n)$

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant impair naturel

Le domaine de définition est constitué de tous les nombres réels.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- la fonction est impaire.

$f(x)$ est continu sur tout le domaine de définition.

La plage est constituée de nombres réels.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

La fonction augmente sur tout le domaine de définition.

$f\left(x\right)0$, pour $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \gauche(2n-1\droite)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

La fonction est concave pour $x\in (-\infty ,0)$ et convexe pour $x\in (0,+\infty)$.

Graphique (Fig. 3).

Figure 3. Graphique de la fonction $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Fonction puissance avec exposant entier

Tout d’abord, introduisons le concept de degré avec un exposant entier.

Définition 3

La puissance d'un nombre réel $a$ d'exposant entier $n$ est déterminée par la formule :

Graphique 4.

Considérons maintenant une fonction puissance avec un exposant entier, ses propriétés et son graphique.

Définition 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ est appelé une fonction puissance avec un exposant entier.

Si le degré est supérieur à zéro, on arrive alors au cas d’une fonction puissance avec un exposant naturel. Nous en avons déjà parlé ci-dessus. Pour $n=0$ nous obtenons une fonction linéaire $y=1$. Nous laisserons sa réflexion au lecteur. Il reste à considérer les propriétés d'une fonction puissance avec un exposant entier négatif

Propriétés d'une fonction puissance avec un exposant entier négatif

Le domaine de définition est $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Si l'exposant est pair, alors la fonction est paire ; s'il est impair, alors la fonction est impaire.

$f(x)$ est continu sur tout le domaine de définition.

Portée:

Si l'exposant est pair, alors $(0,+\infty)$ ; s'il est impair, alors $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Pour un exposant impair, la fonction décroît comme $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Pour un exposant pair, la fonction décroît comme $x\in (0,+\infty)$. et augmente comme $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ sur tout le domaine de définition

Le matériel méthodologique porte caractère de référence et concerne un large éventail de sujets. L'article donne un aperçu des graphiques des fonctions élémentaires de base et considère la question la plus importante : comment construire un graphique correctement et RAPIDEMENT. Au cours de l'étude des mathématiques supérieures, sans connaissance des graphiques des fonctions élémentaires de base, cela sera difficile, il est donc très important de se rappeler à quoi ressemblent les graphiques d'une parabole, d'une hyperbole, d'un sinus, d'un cosinus, etc., et de se souvenir de certains des significations des fonctions. Nous parlerons également de certaines propriétés des fonctions principales.

Je ne prétends pas à l'exhaustivité et à la rigueur scientifique des matériaux ; l'accent sera mis avant tout sur la pratique - ces choses avec lesquelles on rencontre littéralement à chaque étape, dans n'importe quel sujet de mathématiques supérieures. Des graphiques pour les nuls ? On pourrait le dire.

En raison de nombreuses demandes de lecteurs table des matières cliquable:

De plus, il y a un résumé ultra-court sur le sujet
– maîtrisez 16 types de graphiques en étudiant SIX pages !

Sérieusement, six, même moi j'ai été surpris. Ce résumé contient des graphiques améliorés et est disponible moyennant des frais minimes ; une version de démonstration peut être consultée. Il est pratique d'imprimer le fichier pour que les graphiques soient toujours à portée de main. Merci de soutenir le projet !

Et commençons tout de suite :

Comment construire correctement les axes de coordonnées ?

En pratique, les tests sont presque toujours complétés par les étudiants dans des cahiers séparés, alignés en carré. Pourquoi avez-vous besoin de marquages ​​à carreaux ? Après tout, le travail peut en principe être effectué sur des feuilles A4. Et la cage est nécessaire uniquement pour une conception précise et de haute qualité des dessins.

Tout dessin d'un graphe de fonctions commence par des axes de coordonnées.

Les dessins peuvent être en deux ou trois dimensions.

Considérons d'abord le cas bidimensionnel Système de coordonnées rectangulaires cartésiennes:

1) Dessinez des axes de coordonnées. L'axe s'appelle axe x , et l'axe est axe y . Nous essayons toujours de les dessiner soigné et pas tordu. Les flèches ne doivent pas non plus ressembler à la barbe de Papa Carlo.

2) On signe les axes avec les grosses lettres « X » et « Y ». N'oubliez pas d'étiqueter les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes : dessine un zéro et deux un. Lors de la réalisation d'un dessin, l'échelle la plus pratique et la plus fréquemment utilisée est : 1 unité = 2 cellules (dessin à gauche) - si possible, respectez-la. Cependant, il arrive de temps en temps que le dessin ne rentre pas sur la feuille du cahier - alors on réduit l'échelle : 1 unité = 1 cellule (dessin à droite). C'est rare, mais il arrive que l'échelle du dessin doive être réduite (ou augmentée) encore plus

Il n'y a PAS BESOIN de « mitrailleuse »…-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…. Car le plan coordonné n’est pas un monument à Descartes, et l’étudiant n’est pas une colombe. nous mettons zéro Et deux unités le long des axes. Parfois au lieu de unités, il est pratique de « marquer » d'autres valeurs, par exemple « deux » sur l'axe des abscisses et « trois » sur l'axe des ordonnées - et ce système (0, 2 et 3) définira également de manière unique la grille de coordonnées.

Il est préférable d'estimer les dimensions estimées du dessin AVANT de construire le dessin. Ainsi, par exemple, si la tâche nécessite de dessiner un triangle avec des sommets , , , alors il est tout à fait clair que l'échelle populaire de 1 unité = 2 cellules ne fonctionnera pas. Pourquoi? Regardons le point - ici, vous devrez mesurer quinze centimètres vers le bas et, évidemment, le dessin ne tiendra pas (ou à peine) sur une feuille de cahier. Par conséquent, nous sélectionnons immédiatement une échelle plus petite : 1 unité = 1 cellule.

À propos, à propos des centimètres et des cellules du cahier. Est-il vrai que 30 cellules de cahier contiennent 15 centimètres ? Pour vous amuser, mesurez 15 centimètres dans votre cahier avec une règle. En URSS, cela aurait pu être vrai... Il est intéressant de noter que si l'on mesure ces mêmes centimètres horizontalement et verticalement, les résultats (dans les cellules) seront différents ! À proprement parler, les cahiers modernes ne sont pas à carreaux, mais rectangulaires. Cela peut sembler absurde, mais dessiner, par exemple, un cercle avec une boussole dans de telles situations est très gênant. Pour être honnête, dans de tels moments, vous commencez à penser à la justesse du camarade Staline, qui a été envoyé dans des camps pour travailler dans la production, sans parler de l'industrie automobile nationale, des chutes d'avions ou de l'explosion de centrales électriques.

En parlant de qualité, ou une brève recommandation sur la papeterie. Aujourd'hui, la plupart des cahiers sont en vente, gros mots sans parler de la foutaise totale. Pour la raison qu'ils sont mouillés, et pas seulement à cause des stylos gel, mais aussi des stylos à bille ! Ils économisent de l'argent sur le papier. Pour l'inscription essais Je recommande d'utiliser des cahiers de l'usine de pâte et papier d'Arkhangelsk (18 feuilles, grille) ou « Pyaterochka », bien que ce soit plus cher. Il est conseillé de choisir un stylo gel ; même la recharge gel chinoise la moins chère est bien meilleure qu'un stylo à bille, qui tache ou déchire le papier. Le seul stylo à bille « compétitif » dont je me souvienne est l’Erich Krause. Elle écrit clairement, magnifiquement et de manière cohérente – que ce soit avec un noyau plein ou presque vide.

En plus: La vision d'un système de coordonnées rectangulaires à travers les yeux de la géométrie analytique est abordée dans l'article Dépendance linéaire (non) des vecteurs. Base des vecteurs, des informations détaillées sur les quartiers de coordonnées peuvent être trouvés dans le deuxième paragraphe de la leçon Inégalités linéaires.

Cas 3D

C'est presque pareil ici.

1) Dessinez des axes de coordonnées. Standard: application de l'axe – dirigé vers le haut, axe – dirigé vers la droite, axe – dirigé vers le bas vers la gauche strictementà un angle de 45 degrés.

2) Étiquetez les axes.

3) Réglez l'échelle le long des axes. L'échelle le long de l'axe est deux fois plus petite que l'échelle le long des autres axes. Notez également que dans le dessin de droite j'ai utilisé une "encoche" non standard le long de l'axe (cette possibilité a déjà été évoquée plus haut). De mon point de vue, c'est plus précis, plus rapide et plus esthétique - il n'est pas nécessaire de chercher le milieu de la cellule au microscope et de « sculpter » une unité proche de l'origine des coordonnées.

Lorsque vous réalisez un dessin 3D, encore une fois, donnez la priorité à l'échelle
1 unité = 2 cellules (dessin à gauche).

A quoi servent toutes ces règles ? Les règles sont faites pour être enfreintes. C'est ce que je vais faire maintenant. Le fait est que les dessins ultérieurs de l'article seront réalisés par moi dans Excel et que les axes de coordonnées sembleront incorrects du point de vue d'une conception correcte. Je pourrais dessiner tous les graphiques à la main, mais c’est vraiment effrayant de les dessiner car Excel hésite à les dessiner avec beaucoup plus de précision.

Graphiques et propriétés de base des fonctions élémentaires

Une fonction linéaire est donnée par l'équation. Le graphique des fonctions linéaires est direct. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points.

Exemple 1

Construisez un graphique de la fonction. Trouvons deux points. Il est avantageux de choisir zéro comme l'un des points.

Si donc

Prenons un autre point, par exemple le 1.

Si donc

Lors de l'exécution des tâches, les coordonnées des points sont généralement résumées dans un tableau :

Et les valeurs elles-mêmes sont calculées oralement ou sur un brouillon, une calculatrice.

Deux points ont été trouvés, faisons le dessin :

Lors de la préparation d'un dessin, nous signons toujours les graphiques.

Il serait utile de rappeler des cas particuliers de fonction linéaire :

Remarquez comment j'ai placé les signatures, les signatures ne doivent pas permettre de divergences lors de l'étude du dessin. Dans ce cas, il était extrêmement indésirable de mettre une signature à côté du point d'intersection des lignes, ou en bas à droite entre les graphiques.

1) Une fonction linéaire de la forme () est appelée proportionnalité directe. Par exemple, . Un graphe de proportionnalité directe passe toujours par l'origine. Ainsi, la construction d'une ligne droite est simplifiée : il suffit de trouver un seul point.

2) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est tracé immédiatement, sans trouver de points. C'est-à-dire que l'entrée doit être comprise comme suit : « le y est toujours égal à –4, pour toute valeur de x ».

3) Une équation de la forme spécifie une droite parallèle à l'axe, en particulier, l'axe lui-même est donné par l'équation. Le graphique de la fonction est également tracé immédiatement. L'entrée doit être comprise comme suit : « x est toujours, pour toute valeur de y, égal à 1. »

Certains se demanderont pourquoi se souvenir de la 6e année ?! C'est comme ça, c'est peut-être le cas, mais au fil des années de pratique, j'ai rencontré une bonne douzaine d'étudiants qui étaient déconcertés par la tâche de construire un graphique comme ou.

Construire une ligne droite est l’action la plus courante lors de la réalisation de dessins.

La droite est discutée en détail au cours de la géométrie analytique, et ceux que cela intéresse peuvent se référer à l'article Équation d'une droite sur un plan.

Graphique d'une fonction quadratique et cubique, graphique d'un polynôme

Parabole. Graphique d'une fonction quadratique () représente une parabole. Considérons le cas célèbre :

Rappelons quelques propriétés de la fonction.

Donc, la solution de notre équation : – c'est en ce point que se situe le sommet de la parabole. La raison pour laquelle il en est ainsi peut être trouvée dans l'article théorique sur la dérivée et la leçon sur les extrema de la fonction. En attendant, calculons la valeur « Y » correspondante :

Ainsi, le sommet est au point

On retrouve maintenant d'autres points, tout en utilisant effrontément la symétrie de la parabole. Il convient de noter que la fonction – n'est même pas, mais néanmoins personne n'a annulé la symétrie de la parabole.

Dans quel ordre trouver les points restants, je pense que cela ressortira clairement du tableau final :

Cet algorithme de construction peut, au sens figuré, être appelé une « navette » ou le principe du « va-et-vient » avec Anfisa Chekhova.

Faisons le dessin :

Des graphiques examinés, une autre fonctionnalité utile me vient à l’esprit :

Pour une fonction quadratique () ce qui suit est vrai :

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

Si , alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

Des connaissances approfondies sur la courbe peuvent être obtenues dans la leçon Hyperbole et parabole.

Une parabole cubique est donnée par la fonction. Voici un dessin familier de l'école :

Listons les principales propriétés de la fonction

Graphique d'une fonction

Elle représente l'une des branches d'une parabole. Faisons le dessin :

Principales propriétés de la fonction :

Dans ce cas, l'axe est asymptote verticale pour le graphique d'une hyperbole en .

Ce serait une grossière erreur si, lors de l'élaboration d'un dessin, vous permettiez négligemment au graphique de croiser une asymptote.

De plus, les limites unilatérales nous indiquent que l'hyperbole pas limité d'en haut Et non limité par le bas.

Examinons la fonction à l'infini : , c'est-à-dire que si nous commençons à nous déplacer le long de l'axe vers la gauche (ou la droite) jusqu'à l'infini, alors les « jeux » se dérouleront de manière ordonnée. infiniment proche approchez de zéro et, par conséquent, les branches de l'hyperbole infiniment proche se rapprocher de l'axe.

L'axe est donc asymptote horizontale pour le graphique d’une fonction, si « x » tend vers plus ou moins l’infini.

La fonction est impair, et, par conséquent, l’hyperbole est symétrique par rapport à l’origine. Ce fait ressort clairement du dessin, de plus, il est facilement vérifié analytiquement : .

Le graphique d'une fonction de la forme () représente deux branches d'une hyperbole.

Si , alors l'hyperbole est située dans les premier et troisième quartiers de coordonnées(voir photo ci-dessus).

Si , alors l'hyperbole est située dans les deuxième et quatrième quartiers de coordonnées.

Le modèle indiqué de résidence des hyperboles est facile à analyser du point de vue des transformations géométriques des graphiques.

Exemple 3

Construire la branche droite de l'hyperbole

Nous utilisons la méthode de construction par points, et il est avantageux de sélectionner les valeurs pour qu'elles soient divisibles par un tout :

Faisons le dessin :

Il ne sera pas difficile de construire la branche gauche de l'hyperbole ; l'étrangeté de la fonction sera utile ici. En gros, dans le tableau de construction ponctuelle, nous ajoutons mentalement un moins à chaque nombre, mettons les points correspondants et dessinons la deuxième branche.

Des informations géométriques détaillées sur la droite considérée peuvent être trouvées dans l'article Hyperbole et parabole.

Graphique d'une fonction exponentielle

Dans cette section, je considérerai immédiatement la fonction exponentielle, puisque dans les problèmes de mathématiques supérieures dans 95 % des cas c'est l'exponentielle qui apparaît.

Permettez-moi de vous rappeler qu'il s'agit d'un nombre irrationnel : , cela sera nécessaire lors de la construction d'un graphe, que, en fait, je construirai sans cérémonie. Trois points suffisent probablement :

Laissons le graphique de la fonction seul pour l'instant, nous y reviendrons plus tard.

Principales propriétés de la fonction :

Les graphiques de fonctions, etc., se ressemblent fondamentalement.

Je dois dire que le deuxième cas est moins fréquent dans la pratique, mais il se produit, j'ai donc jugé nécessaire de l'inclure dans cet article.

Graphique d'une fonction logarithmique

Considérons une fonction avec un logarithme népérien.
Faisons un dessin point par point :

Si vous avez oublié ce qu'est un logarithme, référez-vous à vos manuels scolaires.

Principales propriétés de la fonction :

Domaine:

Plage de valeurs : .

La fonction n'est pas limitée par le haut : , quoique lentement, mais la branche du logarithme monte vers l'infini.
Examinons le comportement de la fonction proche de zéro à droite : . L'axe est donc asymptote verticale pour le graphique d’une fonction lorsque « x » tend vers zéro à partir de la droite.

Il est impératif de connaître et de mémoriser la valeur typique du logarithme: .

En principe, le graphique du logarithme en base est le même : , , (logarithme décimal en base 10), etc. De plus, plus la base est grande, plus le graphique sera plat.

Nous n'examinerons pas l'affaire, je ne me souviens plus quand dernière fois J'ai construit un graphique sur cette base. Et le logarithme semble être un invité très rare dans les problèmes de mathématiques supérieures.

À la fin de ce paragraphe, je dirai encore un fait : Fonction exponentielle et fonction logarithmique– ce sont deux fonctions mutuellement inverses. Si vous regardez attentivement le graphique du logarithme, vous pouvez voir qu’il s’agit du même exposant, il est juste situé un peu différemment.

Graphiques de fonctions trigonométriques

Où commencent les tourments trigonométriques à l’école ? Droite. Du sinus

Traçons la fonction

Cette ligne s'appelle sinusoïde.

Je vous rappelle que « pi » est un nombre irrationnel : , et en trigonométrie il éblouit les yeux.

Principales propriétés de la fonction :

Cette fonction est périodique avec point. Qu'est-ce que ça veut dire? Regardons le segment. À gauche et à droite, exactement la même partie du graphique est répétée à l’infini.

Domaine: , c'est-à-dire que pour toute valeur de « x », il existe une valeur sinusoïdale.

Plage de valeurs : . La fonction est limité: , c'est-à-dire que tous les « jeux » se situent strictement dans le segment .
Cela n’arrive pas : ou, plus précisément, cela arrive, mais ces équations n’ont pas de solution.

1. Fonction de puissance, ses propriétés et son graphique ;

2. Transformations :

Transfert parallèle ;

Symétrie autour des axes de coordonnées ;

Symétrie par rapport à l'origine ;

Symétrie par rapport à la droite y = x ;

Étirement et compression le long des axes de coordonnées.

3. Fonction exponentielle, ses propriétés et son graphique, transformations similaires ;

4. Fonction logarithmique, ses propriétés et son graphique ;

5. Fonction trigonométrique, ses propriétés et son graphique, transformations similaires (y = sin x ; y = cos x ; y = tan x) ;

Fonction : y = x\n - ses propriétés et son graphique.

Fonction puissance, ses propriétés et son graphique

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/x etc. Toutes ces fonctions sont des cas particuliers de la fonction puissance, c'est à dire la fonction y = xp, où p est un nombre réel donné.
Les propriétés et le graphique d'une fonction puissance dépendent significativement des propriétés d'une puissance à exposant réel, et notamment des valeurs pour lesquelles X Et p le diplôme a du sens XP. Passons à une considération similaire divers cas en fonction de la
exposant p.

1. Indice p = 2n- même entier naturel.

y = x2n, Où n- un nombre naturel, possède les propriétés suivantes :

• domaine de définition - tous les nombres réels, c'est-à-dire l'ensemble R ;
• ensemble de valeurs - nombres non négatifs, c'est-à-dire y est supérieur ou égal à 0 ;
• fonction y = x2n même, parce que x2n = (-x)2n
• la fonction est décroissante sur l'intervalle X< 0 et augmentant sur l'intervalle x > 0.

Graphique d'une fonction y = x2n a la même forme que, par exemple, le graphique d'une fonction y = x4.

2. Indicateur p = 2n-1- nombre naturel impair

Dans ce cas, la fonction puissance y = x2n-1, où est un nombre naturel, a les propriétés suivantes :

• domaine de définition - ensemble R ;
• ensemble de valeurs - définir R ;
• fonction y = x2n-1étrange parce que (- x) 2n-1= x2n-1 ;
• la fonction est croissante sur tout l'axe réel.

Graphique d'une fonction y = x2n-1 y = x 3.

3. Indicateur p = -2n, Où n- entier naturel.

Dans ce cas, la fonction puissance y = x -2n = 1/x 2n a les propriétés suivantes :

• ensemble de valeurs - nombres positifs y>0 ;
• fonction y = 1/x2n même, parce que 1/(-x)2n= 1/x2n;
• la fonction est croissante sur l'intervalle x0.

Graphique de la fonction y = 1/x2n a la même forme que, par exemple, le graphique de la fonction y = 1/x2.

4. Indicateur p = -(2n-1), Où n- entier naturel.
Dans ce cas, la fonction puissance y = x -(2n-1) a les propriétés suivantes :

• domaine de définition - ensemble R, sauf x = 0 ;
• ensemble de valeurs - définir R, sauf y = 0 ;
• fonction y = x -(2n-1)étrange parce que (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• la fonction est décroissante à intervalles réguliers X< 0 Et x > 0.

Graphique d'une fonction y = x -(2n-1) a la même forme que, par exemple, le graphique d'une fonction y = 1/x 3.

1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions.

Le domaine d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs d'arguments valides et valides X(variable X), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.

En mathématiques élémentaires, les fonctions sont étudiées uniquement sur l’ensemble des nombres réels.

2) Zéros de fonction.

La fonction zéro est la valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est égale à zéro.

3) Intervalles de signe constant d'une fonction.

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont des ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction sont uniquement positives ou uniquement négatives.

4) Monotonie de la fonction.

Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Une fonction décroissante (dans un certain intervalle) est une fonction dans laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

5) Fonction paire (impaire).

Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(-x) = f(x). Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie f(-x) = - f(x). Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

6) Fonctions limitées et illimitées.

Une fonction est dite bornée s'il existe un nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimitée.

7) Périodicité de la fonction.

Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre T non nul tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est valable : f(x+T) = f(x). Ce plus petit nombre est appelé la période de la fonction. Tous fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).

19. De base fonctions élémentaires, leurs propriétés et graphiques. Application des fonctions en économie.

Fonctions élémentaires de base. Leurs propriétés et graphiques

1. Fonction linéaire.

Fonction linéaire est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels.

Nombre UN appelée pente de la droite, elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de cette droite à la direction positive de l'axe des x. Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite. Il est défini par deux points.

Propriétés d'une fonction linéaire

1. Domaine de définition - l'ensemble de tous les nombres réels : D(y)=R

2. L'ensemble des valeurs est l'ensemble de tous les nombres réels : E(y)=R

3. La fonction prend une valeur nulle lorsque ou.

4. La fonction augmente (diminue) sur tout le domaine de définition.

5. Une fonction linéaire est continue sur tout le domaine de définition, différentiable et .

2. Fonction quadratique.

Une fonction de la forme où x est une variable, les coefficients a, b, c sont des nombres réels, est appelée quadratique