Fournit des données de référence sur la fonction exponentielle : propriétés de base, graphiques et formules. Les sujets suivants sont abordés : domaine de définition, ensemble de valeurs, monotonie, fonction inverse, dérivée, intégrale, développement en séries entières et représentation par nombres complexes.

Définition

Fonction exponentielle est une généralisation du produit de n nombres égaux à a :
oui (n) = une n = a·a·a···a,
à l'ensemble des nombres réels x :
oui (x) = un x.
Ici a est un nombre réel fixe, appelé base de la fonction exponentielle.
Une fonction exponentielle de base a est également appelée exposant pour baser un.

La généralisation s'effectue comme suit.
Pour naturel x = 1, 2, 3,... , la fonction exponentielle est le produit de x facteurs :
.
De plus, il possède les propriétés (1,5-8) (), qui découlent des règles de multiplication des nombres. Pour les valeurs nulles et négatives d'entiers, la fonction exponentielle est déterminée à l'aide des formules (1.9-10). Pour les valeurs fractionnaires x = m/n nombres rationnels, , il est déterminé par la formule (1.11). Pour les réels, la fonction exponentielle est définie comme limite de séquence:
,
où est une séquence arbitraire de nombres rationnels convergeant vers x : .
Avec cette définition, la fonction exponentielle est définie pour tout et satisfait les propriétés (1,5-8), comme pour x naturel.

Une formulation mathématique rigoureuse de la définition d'une fonction exponentielle et de la preuve de ses propriétés est donnée sur la page « Définition et preuve des propriétés d'une fonction exponentielle ».

Propriétés de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle y = a x a les propriétés suivantes sur l'ensemble des nombres réels () :
(1.1) défini et continu, pour , pour tous ;
(1.2) pour un ≠ 1 a de nombreuses significations ;
(1.3) augmente strictement à , diminue strictement à ,
est constant à ;
(1.4) à ;
à ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Autres formules utiles.
.
Formule de conversion en fonction exponentielle avec une base d'exposant différente :

Lorsque b = e, on obtient l'expression de la fonction exponentielle par l'exponentielle :

Valeurs privées

, , , , .

La figure montre des graphiques de la fonction exponentielle
oui (x) = un x
pour quatre valeurs bases de diplômes: une = 2 , une = 8 , une = 1/2 et un = 1/8 . On peut voir que pour un > 1 la fonction exponentielle augmente de façon monotone. Plus la base du degré a est grande, plus la croissance est forte. À 0 < a < 1 la fonction exponentielle diminue de façon monotone. Plus l’exposant a est petit, plus la diminution est forte.

Ascendant descendant

La fonction exponentielle pour est strictement monotone et n'a donc pas d'extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.

	y = une x , une > 1	y = hache, 0 < a < 1
Domaine	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Plage de valeurs	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotone	augmente de façon monotone	diminue de façon monotone
Des zéros, y = 0	Non	Non
Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Fonction inverse

L'inverse d'une fonction exponentielle de base a est le logarithme de base a.

Si donc
.
Si donc
.

Différenciation d'une fonction exponentielle

Pour différencier une fonction exponentielle, il faut réduire sa base au nombre e, appliquer la table des dérivées et la règle de différenciation d'une fonction complexe.

Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété des logarithmes
et la formule du tableau des dérivées :
.

Soit une fonction exponentielle :
.
On l'amène à la base e :

Appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes. Pour ce faire, introduisez la variable

Alors

Du tableau des dérivées nous avons (remplacer la variable x par z) :
.
Puisque est une constante, la dérivée de z par rapport à x est égale à
.
D'après la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.

Dérivée d'une fonction exponentielle

.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >

Un exemple de différenciation d'une fonction exponentielle

Trouver la dérivée d'une fonction
y = 3 5 fois

Solution

Exprimons la base de la fonction exponentielle par le nombre e.
3 = e ln 3
Alors
.
Entrez une variable
.
Alors

Du tableau des dérivées on trouve :
.
Parce que le 5ln3 est une constante, alors la dérivée de z par rapport à x est égale à :
.
D’après la règle de différenciation d’une fonction complexe, on a :
.

Répondre

Intégral

Expressions utilisant des nombres complexes

Considérons la fonction nombre complexe z:
F (z) = une z
où z = x + iy ; je 2 = - 1 .
Exprimons la constante complexe a en termes de module r et d'argument φ :
une = r e je φ
Alors


.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. En général
φ = φ 0 + 2 n,
où n est un entier. Donc la fonction f (z) n'est pas clair non plus. Sa signification principale est souvent considérée
.

Extension de la série

.

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Fonctions et leurs propriétés

La fonction est l'un des concepts mathématiques les plus importants.Fonction Ils appellent une telle dépendance de la variable y sur la variable x dans laquelle chaque valeur de la variable x correspond à une seule valeur de la variable y.

Variable X appelé variable indépendante ou argument. Variable à appelé variable dépendante. Ils disent aussi quela variable y est fonction de la variable x. Les valeurs de la variable dépendante sont appeléesvaleurs de fonction.

Si la dépendance de la variableà à partir d'une variableX est une fonction, alors elle peut s'écrire brièvement comme suit :oui= F( X ). (Lire:à équivaut àF depuisX .) SymboleF( X) désigne la valeur de la fonction correspondant à la valeur de l'argument égale àX .

Toutes les valeurs de la forme variable indépendantedomaine d'une fonction . Toutes les valeurs que prend la variable dépendanteplage de fonctions .

Si une fonction est spécifiée par une formule et que son domaine de définition n'est pas spécifié, alors le domaine de définition de la fonction est considéré comme constitué de toutes les valeurs de l'argument pour lequel la formule a un sens.

Méthodes de spécification d'une fonction :

1. méthode analytique (la fonction est spécifiée à l'aide de formule mathématique;

2.méthode tabulaire (la fonction est spécifiée à l'aide d'un tableau)

3. méthode descriptive (la fonction est précisée par une description verbale)

4. méthode graphique (la fonction est spécifiée à l'aide d'un graphique).

Graphique de fonction nommer l'ensemble de tous les points du plan de coordonnées dont les abscisses sont égales aux valeurs de l'argument, et les ordonnées - valeurs de fonction correspondantes.

PROPRIÉTÉS DE BASE DES FONCTIONS

1. Zéros de fonction

Le zéro d'une fonction est la valeur de l'argument pour laquelle la valeur de la fonction est égale à zéro.

2. Intervalles de signe constant d'une fonction

Les intervalles de signe constant d'une fonction sont des ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction sont uniquement positives ou uniquement négatives.

3. Fonction croissante (décroissante).

En augmentant dans un certain intervalle, une fonction est une fonction pour laquelle une plus grande valeur de l'argument de cet intervalle correspond à une plus grande valeur de la fonction.

Fonction y = F ( X ) appelé en augmentant sur l'intervalle (UN; b ), si pour quelque chose X 1 Et X 2 de cet intervalle tel queX 1 < X 2 , l'inégalité est vraieF ( X 1 )< F ( X 2 ).

Descendant dans un certain intervalle, une fonction est une fonction pour laquelle une valeur plus grande de l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus petite de la fonction.

Fonction à = F ( X ) appelé décroissant sur l'intervalle (UN; b ) , si pour quelque X 1 Et X 2 de cet intervalle tel que X 1 < X 2 , l'inégalité est vraieF ( X 1 )> F ( X 2 ).

4. Fonction paire (impaire)

Même fonction - une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour toutX du domaine de la définition l'égalitéF (- X ) = F ( X ) . Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée.

Par exemple, y = x 2 - même fonction.

Fonction étrange- une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition, l'égalité est vraie F (- X ) = - F (X ). Le graphique d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.

Par exemple : y = x 3 - fonction étrange .

Fonction vue générale n'est ni pair ni impair (y = x 2 +x ).

Propriétés de certaines fonctions et leurs graphiques

1. Fonction linéaire appelée fonction de la forme , Où k Et b - Nombres.

Le domaine de définition d'une fonction linéaire est un ensembleR. nombres réels.

Graphique d'une fonction linéaireà = kx + b ( k ≠ 0) est une droite passant par le point (0;b ) et parallèle à la ligneà = kx .

Droit, non parallèle à l'axeOU, est le graphique d'une fonction linéaire.

Propriétés d'une fonction linéaire.

1. Quand k > 0 fonction à = kx + b

2. Quand k < 0 fonction y = kx + b décroissante dans le domaine de la définition.

oui = kx + b ( k ≠ 0 ) est la droite numérique entière, c'est-à-dire un tas deR. nombres réels.

À k = 0 ensemble de valeurs de fonctiony = kx + b se compose d'un numérob .

3. Quand b = 0 et k = 0 la fonction n'est ni paire ni impaire.

À k = 0 fonction linéaire a la formey = b et à b ≠ 0 c'est même.

À k = 0 et b = 0 fonction linéaire a la formey = 0 et est à la fois pair et impair.

Graphique d'une fonction linéairey = b est une droite passant par le point (0; b ) et parallèle à l'axeOh. Notez que lorsque b = 0 graphique de fonctiony = b coïncider avec l'axe Oh .

5. Quand k > 0 nous avons ça à> 0, si et à< 0 si. À k < 0 nous avons que y > 0 si et à< 0, если .

2. Fonction oui = X 2

R.nombres réels.

Donner une variableX plusieurs valeurs du domaine de la fonction et calcul des valeurs correspondantesà selon la formule oui = X 2 , nous représentons le graphique de la fonction.

Graphique d'une fonction oui = X 2 appelé parabole.

Propriétés de la fonction y = x 2 .

1. Si X= 0, alors y = 0, c'est-à-dire La parabole a un point commun avec les axes de coordonnées (0 ; 0) - l'origine des coordonnées.

2. Si x ≠ 0 , Que à > 0, c'est-à-dire tous les points de la parabole, à l'exception de l'origine, se trouvent au-dessus de l'axe des x.

3. Ensemble de valeurs de fonctionà = X 2 est la fonction spanà = X 2 diminue.

X

3.Fonction

Le domaine de cette fonction est la fonction spanoui = | X | diminue.

7. La fonction prend sa plus petite valeur au pointX, il est égal à 0. Plus grande valeur n'existe pas.

6. Fonction

Portée de la fonction : .

Plage de fonctions : .

Le graphique est une hyperbole.

1. Fonction zéros.

oui ≠ 0, pas de zéros.

2. Intervalles de constance des signes,

Si k > 0, alors à> 0 à X > 0; à < 0 при X < О.

Si k < 0, то à < 0 при X > 0; à> 0 à X < 0.

3. Intervalles d'augmentation et de diminution.

Si k > 0, alors la fonction décroît à mesure .

Si k < 0, то функция возрастает при .

4. Fonction paire (impaire).

La fonction est étrange.

Trinôme carré

Équation de la forme hache 2 + bx + c = 0, où un , b Et Avec - quelques chiffres, etune≠ 0, appelé carré.

Dans une équation quadratiquehache 2 + bx + c = 0 coefficient UN appelé le premier coefficient b - seconds coefficients, avec - Membre gratuit.

Formule racine équation quadratique a la forme :

.

L'expression s'appelle discriminant équation quadratique et est notéD .

Si D = 0, alors il n'y a qu'un seul nombre qui satisfait l'équation hache 2 + bx + c = 0. Cependant, nous avons convenu de dire que dans ce cas l'équation quadratique a deux racines réelles égales, et le nombre lui-même appelé double racine.

Si D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Si D > 0, alors l'équation quadratique a deux racines réelles différentes.

Soit une équation quadratiquehache 2 + bx + c = 0. Depuis une≠ 0, puis en divisant les deux côtés de cette équation parUN, on obtient l'équation . Croire Et , on arrive à l'équation , dans laquelle le premier coefficient est égal à 1. Cette équation est appeléedonné.

La formule des racines de l’équation quadratique ci-dessus est :

.

Équations de la forme

UN X 2 + bx = 0, hache 2 + s = 0, UN X 2 = 0

sont appelés équations quadratiques incomplètes. Les équations quadratiques incomplètes sont résolues en factorisant le côté gauche de l'équation.

Théorème de Vieta .

La somme des racines d'une équation quadratique est égale au rapport du deuxième coefficient au premier, pris avec le signe opposé, et le produit des racines est le rapport du terme libre au premier coefficient, c'est-à-dire

Théorème inverse.

Si la somme de deux nombresX 1 Et X 2 égal à , et leur produit est égal, alors ces nombres sont les racines de l'équation quadratiqueOh 2 + b x + c = 0.

Fonction du formulaire Oh 2 + b x + c appelé trinôme carré. Les racines de cette fonction sont les racines de l'équation quadratique correspondanteOh 2 + b x + c = 0.

Si le discriminant d'un trinôme quadratique est supérieur à zéro, alors ce trinôme peut être représenté comme suit :

Oh 2 + b x + c = une(x-x 1 )(x-x 2 )

Où X 1 Et X 2 - les racines du trinôme

Si le discriminant d'un trinôme quadratique est nul, alors ce trinôme peut être représenté comme suit :

Oh 2 + b x + c = une(x-x 1 ) 2

Où X 1 - la racine du trinôme.

Par exemple, 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Équation de la forme Oh 4 + b X 2 + s= 0 est appelé biquadratique. Utilisation du remplacement de variable à l'aide de la formuleX 2 = oui cela se réduit à une équation quadratiqueUN oui 2 + par + c = 0.

Fonction quadratique

Fonction quadratique est une fonction qui peut être écrite par une formule de la formeoui = hache 2 + bx + c , Où X - variable indépendante,un , b Et c – quelques chiffres, etun ≠ 0.

Les propriétés de la fonction et le type de son graphique sont déterminés principalement par les valeurs du coefficientun et discriminant.

Propriétés d'une fonction quadratique

Domaine:R.;

Plage de valeurs :

à UN > 0 [- D/(4 un); ∞)

à UN < 0 (-∞; - D/(4 un)];

Même bizarre:

à b = 0 fonction paire

à b ≠ La fonction 0 n'est ni paire ni impaire

à D> 0 deux zéros : ,

à D= 0 un zéro :

à D < 0 нулей нет

Intervalles de constance des signes :

si a > 0, D> 0, alors

si a > 0, D= 0, alors

e si a > 0, D < 0, то

si un< 0, D> 0, alors

si un< 0, D= 0, alors

si un< 0, D < 0, то

- Intervalles de monotonie

pour un > 0

à< 0

Le graphique d'une fonction quadratique estparabole – une courbe symétrique par rapport à une droite , passant par le sommet de la parabole (le sommet de la parabole est le point d'intersection de la parabole avec l'axe de symétrie).

Pour représenter graphiquement une fonction quadratique, vous avez besoin de :

1) trouver les coordonnées du sommet de la parabole et le marquer dans le plan de coordonnées ;

2) construire plusieurs points supplémentaires appartenant à la parabole ;

3) reliez les points marqués avec une ligne lisse.

Les coordonnées du sommet de la parabole sont déterminées par les formules :

; .

Conversion de graphiques de fonctions

1. Élongation arts graphiquesy = x 2 le long de l'axeà V|une| fois (à|une| < 1 est une compression de 1/|une| une fois).

Si, et< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (les branches de la parabole seront dirigées vers le bas).

Résultat: graphique d'une fonctiony = ah 2 .

2. Transfert parallèle graphiques de fonctionsy = ah 2 le long de l'axeX sur| m | (à droite quand

m > 0 et vers la gauche quandT< 0).

Résultat : graphique de fonctiony = une(x - t) 2 .

3. Transfert parallèle graphiques de fonctions le long de l'axeà sur| n | (jusqu'à aup> 0 et vers le bas àP.< 0).

Résultat : graphique de fonctiony = une(x - t) 2 +p.

Inégalités quadratiques

Inégalités de formeOh 2 + b x + c > 0 etOh 2 + bx + c< 0, oùX - variable,un , b EtAvec - quelques chiffres, etune≠ 0 sont appelées inégalités du deuxième degré à une variable.

La résolution d’une inégalité du deuxième degré dans une variable peut être considérée comme la recherche des intervalles dans lesquels la fonction quadratique correspondante prend des valeurs positives ou négatives.

Résoudre les inégalités de la formeOh 2 + bx + c > 0 etOh 2 + bx + c< 0 procédez comme suit :

1) trouver le discriminant du trinôme quadratique et découvrir si le trinôme a des racines ;

2) si le trinôme a des racines, alors marquez-les sur l'axeX et à travers les points marqués, une parabole est dessinée schématiquement, dont les branches sont dirigées vers le haut versUN > 0 ou vers le bas quandUN< 0 ; si le trinôme n'a pas de racines, alors représentez schématiquement une parabole située dans le demi-plan supérieur àUN > 0 ou moins àUN < 0;

3) trouvé sur l'axeX intervalles pour lesquels les points de la parabole sont situés au-dessus de l'axeX (si l'inégalité est résolueOh 2 + bx + c > 0) ou en dessous de l'axeX (si l'inégalité est résolueOh 2 + bx + c < 0).

Exemple:

Résolvons les inégalités .

Considérez la fonction

Son graphique est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas (puisque ).

Voyons comment se situe le graphique par rapport à l'axeX. Résolvons l'équation pour cela . Nous obtenons celaX = 4. L’équation a une racine unique. Cela signifie que la parabole touche l'axeX.

En représentant schématiquement une parabole, nous constatons que la fonction prend des valeurs négatives pour toutX, sauf 4.

La réponse peut s'écrire ainsi :X - tout nombre non égal à 4.

Résoudre les inégalités à l'aide de la méthode des intervalles

diagramme de solution

1. Trouver des zéros fonction du côté gauche de l’inégalité.

2. Marquez la position des zéros sur l'axe des nombres et déterminez leur multiplicité (Sik je est pair, alors zéro est de multiplicité paire sik je impair est impair).

3. Trouver les signes de la fonction dans les intervalles entre ses zéros, en commençant par l'intervalle le plus à droite : dans cet intervalle la fonction du côté gauche de l'inégalité est toujours positive pour la forme donnée des inégalités. Lorsqu'on passe de droite à gauche par le zéro d'une fonction d'un intervalle à un intervalle adjacent, il faut prendre en compte :

si zéro est impair multiplicité, le signe de la fonction change,

si zéro est pair multiplicité, le signe de la fonction est conservé.

4. Écrivez la réponse.

Exemple:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Zéros de fonction trouvés. Ils sont égaux :X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Marquons les zéros de la fonction sur la ligne de coordonnéesF ( X ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Retrouvons les signes de cette fonction dans chacun des intervalles (-∞ ; -6), (-6 ; -1), (-1 ; 4) et

Il ressort clairement de la figure que l'ensemble des solutions à l'inégalité est l'union des intervalles (-∞ ; -6) et (-1 ; 4).

Réponse : (-∞ ; -6) et (-1; 4).

La méthode considérée pour résoudre les inégalités s'appelleméthode d'intervalle.

Gymnase russe

ABSTRAIT

Complété

élève de la classe 10 « F » Burmistrov Sergey

Superviseur

professeur de mathématiques

Yulina O.A.

Nijni Novgorod

Fonction et ses propriétés

Fonction- dépendance variable àà partir d'une variable X , si chaque valeur X correspond à une seule valeur à .

Variable x- variable indépendante ou argument.

Variable y- variable dépendante

Valeur de la fonction- signification à, correspondant à la valeur spécifiée X .

Le périmètre de la fonction est toutes les valeurs que prend la variable indépendante.

Plage de fonctions (ensemble de valeurs) - toutes les valeurs que la fonction accepte.

La fonction est même- si pour quelqu'un X f(x)=f(-x)

La fonction est étrange- si pour quelqu'un X du domaine de définition de la fonction l'égalité f(-x)=-f(x)

Fonction croissante- si pour quelque chose x1 Et x2, tel que x1 < x2, l'inégalité est vraie F( x1 ) x2 )

Fonction décroissante- si pour quelque chose x1 Et x2, tel que x1 < x2, l'inégalité est vraie F( x1 )>f( x2 )

Méthodes de spécification d'une fonction

¨ Pour définir une fonction, vous devez spécifier la manière dont, pour chaque valeur d'argument, la valeur de fonction correspondante peut être trouvée. La manière la plus courante de spécifier une fonction consiste à utiliser une formule à =f(x), Où f(x)- expression avec une variable X. Dans ce cas, on dit que la fonction est donnée par une formule ou que la fonction est donnée analytiquement.

¨ En pratique, il est souvent utilisé tabulaire façon de spécifier une fonction. Avec cette méthode, un tableau est fourni indiquant les valeurs de fonction​​pour les valeurs d'argument​​disponibles dans le tableau. Des exemples de fonctions de table sont une table de carrés et une table de cubes.

Types de fonctions et leurs propriétés

1) Fonction constante - fonction donnée par la formule y= b , Où b- un certain nombre. Le graphique de la fonction constante y=b est une droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point (0;b) sur l'axe des ordonnées

2) Proportionnalité directe - fonction donnée par la formule y= kx , où k¹0. Nombre k appelé facteur de proportionnalité .

Propriétés de la fonction y = kx :

1. Le domaine d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels

2. y = kx- fonction étrange

3. Quand k>0 la fonction augmente, et quand k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Fonction linéaire- fonction, qui est donnée par la formule y=kx+b, Où k Et b - nombres réels. Si notamment k=0, alors on obtient une fonction constante y = b; Si b=0, alors on obtient une proportionnalité directe y = kx .

Propriétés de la fonction y=kx+b :

1. Domaine - l'ensemble de tous les nombres réels

2. Fonction y=kx+b forme générale, c'est-à-dire ni pair ni impair.

3. Quand k>0 la fonction augmente, et quand k<0 убывает на всей числовой прямой

Le graphique de la fonction est droit .

4)Proportionnalité inverse- fonction donnée par la formule y = k /X, où k¹0 Nombre k appelé coefficient de proportionnalité inverse.

Propriétés de la fonction y = k / X:

1. Domaine - l'ensemble de tous les nombres réels sauf zéro

2. y = k / X - fonction impaire

3. Si k>0, alors la fonction décroît sur l'intervalle (0;+¥) et sur l'intervalle (-¥;0). Si k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).

Le graphique de la fonction est hyperbole .

5)Fonction y=x2

Propriétés de la fonction y=x2 :

2. y=x2 - même fonction

3. Sur l'intervalle, la fonction diminue

Le graphique de la fonction est parabole .

6)Fonction y = x 3

Propriétés de la fonction y=x 3 :

1. Domaine de définition - toute la droite numérique

2. y = x 3 - fonction impaire

3. La fonction augmente sur toute la droite numérique

Le graphique de la fonction est parabole cubique

7)Fonction puissance avec exposant naturel - fonction donnée par la formule y = xn, Où n- entier naturel. Lorsque n=1 on obtient la fonction y=x, ses propriétés sont discutées au paragraphe 2. Pour n=2;3 on obtient les fonctions y=x 2 ; y=x 3 . Leurs propriétés sont discutées ci-dessus.

Soit n un nombre pair arbitraire supérieur à deux : 4,6,8... Dans ce cas, la fonction y = xn a les mêmes propriétés que la fonction y=x 2. Le graphique de la fonction ressemble à une parabole y=x 2, seules les branches du graphique pour |x|>1 s'élèvent d'autant plus fortement que n est grand, et pour |x|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.

Soit n un nombre impair arbitraire supérieur à trois : 5,7,9... Dans ce cas, la fonction y = xn a les mêmes propriétés que la fonction y=x 3 . Le graphique de la fonction ressemble à une parabole cubique.

8)Fonction puissance avec un exposant entier négatif - fonction donnée par la formule y=x -n , Où n- entier naturel. Pour n=1 on obtient y=1/x ; les propriétés de cette fonction sont discutées au paragraphe 4.

Soit n un nombre impair supérieur à un : 3,5,7... Dans ce cas, la fonction y=x -n a fondamentalement les mêmes propriétés que la fonction y=1/x.

Soit n un nombre pair, par exemple n=2.

Propriétés de la fonction y = x -2 :

1. La fonction est définie pour tout x¹0

2. y=x -2 - même fonction

3. La fonction diminue de (0;+¥) et augmente de (-¥;0).

Toutes les fonctions dont n même est supérieur à deux ont les mêmes propriétés.

9)Fonction y= Ö X

Propriétés de la fonction y= Ö X :

1. Domaine de définition - rayon.

La plage de valeurs de la fonction est durée [ 1 ; 3].

1. À x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, la valeur de la fonction est nulle.

La valeur de l'argument à laquelle la valeur de la fonction est nulle est appelée fonction zéro.

//ceux. pour cette fonction, les nombres sont -3 ; -1 ; 1,5 ; 4,5 sont des zéros.

2. À intervalles [ 4,5 ; 3) et (1 ; 1.5) et (4.5 ; 5.5] le graphique de la fonction f est situé au dessus de l'axe des abscisses, et dans les intervalles (-3 ; -1) et (1.5 ; 4.5) en dessous de l'axe des abscisses, ce s'explique comme suit : sur les intervalles [ 4,5 ; 3) et (1 ; 1,5) et (4,5 ; 5,5] la fonction prend des valeurs positives, et sur les intervalles (-3 ; -1) et ( 1,5 ; 4,5) négatives.

Chacun des intervalles indiqués (où la fonction prend des valeurs du même signe) est appelé l'intervalle de signe constant de la fonction f.//c'est-à-dire par exemple, si l'on prend l'intervalle (0 ; 3), alors ce n'est pas un intervalle de signe constant de cette fonction.

En mathématiques, lors de la recherche d'intervalles de signe constant d'une fonction, il est d'usage d'indiquer les intervalles de longueur maximale. //Ceux. l'intervalle (2 ; 3) est intervalle de constance du signe fonction f, mais la réponse doit inclure l'intervalle [ 4.5; 3) contenant l'intervalle (2 ; 3).

3. Si vous vous déplacez le long de l'axe des X de 4,5 à 2, vous remarquerez que le graphique de la fonction diminue, c'est-à-dire que les valeurs de la fonction diminuent. //En mathématiques, il est d'usage de dire que sur l'intervalle [ 4.5; 2] la fonction diminue.

À mesure que x augmente de 2 à 0, le graphique de la fonction augmente, c'est-à-dire les valeurs de la fonction augmentent. //En mathématiques, il est d'usage de dire que sur l'intervalle [ 2; 0] la fonction augmente.

Une fonction f est appelée si pour deux valeurs quelconques de l'argument x1 et x2 de cet intervalle telles que x2 > x1, l'inégalité f (x2) > f (x1) est vérifiée. // ou la fonction est appelée augmentant sur un certain intervalle, si pour des valeurs de l'argument de cet intervalle, une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus grande de la fonction.//c'est-à-dire plus x est grand, plus y est grand.

La fonction f s'appelle décroissant sur un certain intervalle, si pour deux valeurs quelconques de l'argument x1 et x2 de cet intervalle telles que x2 > x1, l'inégalité f(x2) diminue sur un certain intervalle, si pour n'importe quelle valeur de l'argument de cet intervalle la plus grande valeur de l’argument correspond à la plus petite valeur de la fonction. //ceux. plus x est grand, moins y est grand.

Si une fonction augmente sur tout le domaine de définition, alors elle est appelée en augmentant.

Si une fonction décroît sur tout le domaine de définition, alors elle est appelée décroissant.

Exemple 1. graphique des fonctions croissantes et décroissantes respectivement.

Exemple 2.

Définir le phénomène. La fonction linéaire f(x) = 3x + 5 est-elle croissante ou décroissante ?

Preuve. Utilisons les définitions. Soit x1 et x2 des valeurs arbitraires de l'argument, et x1< x2., например х1=1, х2=7

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