Les propriétés de base du logarithme naturel, du graphique, du domaine de définition, de l'ensemble de valeurs, des formules de base, de la dérivée, de l'intégrale, du développement en séries entières et de la représentation de la fonction ln x à l'aide de nombres complexes sont données.

Définition

Un algorithme naturel est la fonction y = dans x, l'inverse de l'exponentielle, x = e y, et est le logarithme à la base du nombre e : ln x = log e x.

Le logarithme népérien est largement utilisé en mathématiques car sa dérivée a la forme la plus simple : (lnx)′ = 1/x.

Basé définitions, la base du logarithme népérien est le nombre e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graphique de la fonction y = dans x.

Graphique du logarithme népérien (fonctions y = dans x) est obtenu à partir du graphique exponentiel par réflexion miroir par rapport à la droite y = x.

Le logarithme népérien est défini pour les valeurs positives de la variable x. Il augmente de façon monotone dans son domaine de définition.

À x → 0 la limite du logarithme népérien est moins l'infini (-∞).

Comme x → + ∞, la limite du logarithme népérien est plus l'infini (+ ∞). Pour x grand, le logarithme augmente assez lentement. N'importe lequel fonction de puissance x a avec un exposant positif a croît plus vite que le logarithme.

Propriétés du logarithme népérien

Domaine de définition, ensemble de valeurs, extrema, augmentation, diminution

Le logarithme népérien est une fonction croissante de façon monotone, il n’a donc pas d’extrema. Les principales propriétés du logarithme népérien sont présentées dans le tableau.

valeurs ln x

ln 1 = 0

Formules de base pour les logarithmes naturels

Formules issues de la définition de la fonction inverse :

La propriété principale des logarithmes et ses conséquences

Formule de remplacement de base

Tout logarithme peut être exprimé en termes de logarithmes naturels en utilisant la formule de substitution de base :

Des preuves de ces formules sont présentées dans la section "Logarithme".

Fonction inverse

L'inverse du logarithme népérien est l'exposant.

Si donc

Si donc.

Dérivée ln x

Dérivée du logarithme népérien :
.
Dérivée du logarithme népérien du module x :
.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >

Intégral

L'intégrale est calculée par intégration par parties :
.
Donc,

Expressions utilisant des nombres complexes

Considérons la fonction de la variable complexe z :
.
Exprimons la variable complexe z par module r et argumentation φ :
.
En utilisant les propriétés du logarithme, on a :
.
Ou
.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. Si tu mets
, où n est un nombre entier,
ce sera le même numéro pour différents n.

Par conséquent, le logarithme népérien, en fonction d’une variable complexe, n’est pas une fonction à valeur unique.

Extension de la série de puissance

Lorsque l’agrandissement a lieu :

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Qu'est-ce qu'un logarithme ? Comment résoudre des logarithmes ? Ces questions déroutent de nombreux diplômés. Traditionnellement, le sujet des logarithmes est considéré comme complexe, incompréhensible et effrayant. Surtout les équations avec des logarithmes.

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Lors de la conversion d'expressions avec des logarithmes, les égalités répertoriées sont utilisées à la fois de droite à gauche et de gauche à droite.

Il est à noter qu'il n'est pas nécessaire de mémoriser les conséquences des propriétés : lors de la réalisation de transformations, on peut se débrouiller avec les propriétés de base des logarithmes et d'autres faits (par exemple, le fait que pour b≥0), d'où les conséquences correspondantes s’ensuivent. Le seul « effet secondaire » de cette approche est que la solution sera un peu plus longue. Par exemple, pour se passer de la conséquence, qui s'exprime par la formule , et en partant uniquement des propriétés de base des logarithmes, vous devrez effectuer une chaîne de transformations de la forme suivante : .

La même chose peut être dite à propos de la dernière propriété de la liste ci-dessus, à laquelle répond la formule , puisqu'il découle également des propriétés fondamentales des logarithmes. La principale chose à comprendre est qu'il est toujours possible pour la puissance d'un nombre positif avec un logarithme dans l'exposant d'intervertir la base de la puissance et le nombre sous le signe du logarithme. Pour être juste, notons que les exemples impliquant la mise en œuvre de transformations de ce type sont rares dans la pratique. Nous donnerons quelques exemples ci-dessous dans le texte.

Conversion d'expressions numériques avec des logarithmes

Nous avons rappelé les propriétés des logarithmes, il est maintenant temps d’apprendre à les appliquer concrètement pour transformer des expressions. Il est naturel de commencer par convertir des expressions numériques plutôt que des expressions avec des variables, car elles sont plus pratiques et plus faciles à apprendre les bases. C'est ce que nous ferons, et nous commencerons par un très exemples simples, pour apprendre à choisir la propriété souhaitée du logarithme, mais nous complexifierons progressivement les exemples, jusqu'au point où pour obtenir le résultat final il faudra appliquer plusieurs propriétés à la suite.

Sélection de la propriété souhaitée des logarithmes

Il existe de nombreuses propriétés des logarithmes, et il est clair que vous devez être capable de choisir celle qui convient, ce qui dans ce cas particulier conduira au résultat souhaité. Habituellement, cela n'est pas difficile à faire en comparant le type de logarithme ou d'expression converti avec les types de parties gauche et droite des formules exprimant les propriétés des logarithmes. Si le côté gauche ou droit de l'une des formules coïncide avec un logarithme ou une expression donné, alors, très probablement, c'est cette propriété qui doit être utilisée lors de la transformation. Les exemples suivants le démontrent clairement.

Commençons par des exemples de transformation d'expressions utilisant la définition d'un logarithme, qui correspond à la formule a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.

Exemple.

Calculez, si possible : a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Solution.

Dans l'exemple sous la lettre a), la structure a log a b est clairement visible, où a=5, b=4. Ces nombres satisfont aux conditions a>0, a≠1, b>0, vous pouvez donc utiliser en toute sécurité l'égalité a log a b =b. Nous avons 5 log 5 4=4 .

b) Ici a=10, b=1+2·π, les conditions a>0, a≠1, b>0 sont remplies. Dans ce cas, l'égalité 10 log(1+2·π) =1+2·π a lieu.

c) Et dans cet exemple nous avons affaire à un degré de la forme a log a b, où et b=ln15. Donc .

Bien qu'appartenant au même type a log a b (ici a=2, b=−7), l'expression sous la lettre g) ne peut pas être convertie à l'aide de la formule a log a b =b. La raison en est qu’il n’a aucun sens car il contient un nombre négatif sous le signe du logarithme. De plus, le nombre b=−7 ne vérifie pas la condition b>0, ce qui rend impossible le recours à la formule a log a b =b, puisqu'elle nécessite la réalisation des conditions a>0, a≠1, b> 0. On ne peut donc pas parler de calculer la valeur de 2 log 2 (−7) . Dans ce cas, écrire 2 log 2 (−7) =−7 serait une erreur.

De même, dans l'exemple sous la lettre e), il est impossible de donner une solution de la forme , puisque l'expression originale n'a pas de sens.

Répondre:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) les expressions n’ont pas de sens.

Souvent, une transformation utile consiste à représenter un nombre positif sous la forme d’une puissance d’un nombre positif non unité avec le logarithme dans l’exposant. Il est basé sur la même définition du logarithme a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, mais la formule s'applique de droite à gauche, c'est-à-dire sous la forme b=a log a b . Par exemple, 3=e ln3 ou 5=5 log 5 5 .

Passons à l'utilisation des propriétés des logarithmes pour transformer des expressions.

Exemple.

Trouvez la valeur de l'expression : a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Solution.

Dans les exemples sous les lettres a), b) et c) sont données les expressions log −2 1, log 1 1, log 0 1, qui n'ont pas de sens, puisque la base du logarithme ne doit pas contenir de nombre négatif, zéro ou un, car nous avons défini le logarithme uniquement pour une base positive et différente de l'unité. Par conséquent, dans les exemples a) à c), il ne peut être question de trouver le sens de l'expression.

Dans toutes les autres tâches, évidemment, les bases des logarithmes contiennent respectivement des nombres positifs et non unitaires 7, e, 10, 3,75 et 5·π 7, et sous les signes des logarithmes il y a des unités partout. Et nous connaissons la propriété du logarithme de l'unité : log a 1=0 pour tout a>0, a≠1. Ainsi, les valeurs des expressions b) – e) sont égales à zéro.

Répondre:

a), b), c) les expressions n'ont pas de sens, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .

Exemple.

Calculer : a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Solution.

Il est clair qu'il faut utiliser la propriété du logarithme de la base, qui correspond à la formule log a a=1 pour a>0, a≠1. En effet, dans les tâches sous toutes les lettres, le nombre sous le signe du logarithme coïncide avec sa base. Ainsi, je voudrais immédiatement dire que la valeur de chacune des expressions données est 1. Cependant, il ne faut pas se précipiter pour tirer des conclusions : dans les tâches sous les lettres a) - d) les valeurs des expressions sont vraiment égales à un, et dans les tâches e) et f) les expressions originales n'ont pas de sens, donc il On ne peut pas dire que les valeurs de ces expressions soient égales à 1.

Répondre:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) les expressions n’ont pas de sens.

Exemple.

Trouvez la valeur : a) log 3 3 11, b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Solution.

Évidemment, sous les signes des logarithmes se trouvent certaines puissances de la base. Sur cette base, nous comprenons que la propriété du degré de la base est utile ici : log a a p =p, où a>0, a≠1 et p est n'importe quel nombre réel. En tenant compte de cela, nous avons les résultats suivants : a) log 3 3 11 =11, b) , V) . Est-il possible d'écrire une égalité similaire pour l'exemple sous la lettre d) de la forme log −10 (−10) 6 =6 ? Non, vous ne pouvez pas, car l'expression log −10 (−10) 6 n'a pas de sens.

Répondre:

a) journal 3 3 11 =11, b) , V) , d) l'expression n'a pas de sens.

Exemple.

Présentez l'expression comme une somme ou une différence de logarithmes en utilisant la même base : a) , b) , c) log((−5)·(−12)) .

Solution.

a) Sous le signe du logarithme il y a un produit, et on connaît la propriété du logarithme du produit log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Dans notre cas, le nombre dans la base du logarithme et les nombres dans le produit sont positifs, c'est-à-dire qu'ils satisfont aux conditions de la propriété sélectionnée, nous pouvons donc l'appliquer en toute sécurité : .

b) Nous utilisons ici la propriété du logarithme quotient, où a>0, a≠1, x>0, y>0. Dans notre cas, la base du logarithme est un nombre positif e, le numérateur et le dénominateur π sont positifs, ce qui signifie qu'ils satisfont aux conditions de la propriété, nous avons donc le droit d'utiliser la formule choisie : .

c) Tout d'abord, notons que l'expression log((−5)·(−12)) a du sens. Mais en même temps, pour cela nous n'avons pas le droit d'appliquer la formule du logarithme du produit log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, puisque les nombres sont −5 et −12 – négatifs et ne satisfont pas aux conditions x>0, y>0. Autrement dit, vous ne pouvez pas effectuer une telle transformation : log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Alors, que devrions-nous faire? Dans de tels cas, l’expression originale nécessite une transformation préalable pour éviter les nombres négatifs. Nous parlerons en détail de cas similaires de transformation d'expressions avec des nombres négatifs sous le signe du logarithme dans l'un des articles, mais pour l'instant nous donnerons une solution à cet exemple, qui est clair d'avance et sans explication : log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

Répondre:

UN) , b) , c) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

Exemple.

Simplifiez l'expression : a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .

Solution.

Ici, nous serons aidés par toutes les mêmes propriétés du logarithme du produit et du logarithme du quotient que nous avons utilisées dans les exemples précédents, seulement maintenant nous les appliquerons de droite à gauche. Autrement dit, nous transformons la somme des logarithmes en logarithme du produit et la différence des logarithmes en logarithme du quotient. Nous avons
UN) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25 16 0,5)=log 3 2.
b) .

Répondre:

UN) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Exemple.

Débarrassez-vous du degré sous le signe du logarithme : a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Solution.

Il est facile de voir que nous avons affaire à des expressions de la forme log a b p . La propriété correspondante du logarithme a la forme log a b p =p·log a b, où a>0, a≠1, b>0, p - n'importe quel nombre réel. Autrement dit, si les conditions a>0, a≠1, b>0 sont remplies, à partir du logarithme de la puissance log a b p nous pouvons passer au produit p·log a b. Réalisons cette transformation avec les expressions données.

a) Dans ce cas a=0,7, b=5 et p=11. Donc log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5.

b) Ici, les conditions a>0, a≠1, b>0 sont satisfaites. C'est pourquoi

c) L'expression log 3 (−5) 6 a la même structure log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Mais pour b la condition b>0 n'est pas satisfaite, ce qui rend impossible l'utilisation de la formule log a b p =p·log a b . Et alors, vous n’arrivez pas à faire face à la tâche ? C'est possible, mais une transformation préalable de l'expression est nécessaire, dont nous parlerons en détail ci-dessous dans le paragraphe sous le titre. La solution sera la suivante : log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

Répondre:

une) journal 0,7 5 11 =11 journal 0,7 5 ,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5.

Bien souvent, lors de transformations, il faut appliquer la formule du logarithme d'une puissance de droite à gauche sous la forme p·log a b=log a b p (les mêmes conditions doivent être remplies pour a, b et p). Par exemple, 3·ln5=ln5 3 et log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

Exemple.

a) Calculez la valeur de log 2 5 si l'on sait que log2≈0,3010 et log5≈0,6990. b) Exprime la fraction sous forme de logarithme en base 3.

Solution.

a) La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet de présenter ce logarithme comme un rapport de logarithmes décimaux dont les valeurs nous sont connues : . Il ne reste plus qu'à effectuer les calculs, il nous reste .

b) Ici, il suffit d'utiliser la formule de déplacement vers une nouvelle base et de l'appliquer de droite à gauche, c'est-à-dire sous la forme . On a .

Répondre:

une) journal 2 5≈2,3223, b) .

A ce stade, nous avons examiné de manière assez approfondie la transformation des expressions les plus simples en utilisant les propriétés de base des logarithmes et la définition d'un logarithme. Dans ces exemples, nous devions appliquer une propriété et rien de plus. Désormais, en toute conscience, vous pouvez passer à des exemples dont la transformation nécessite l'utilisation de plusieurs propriétés de logarithmes et d'autres transformations supplémentaires. Nous les traiterons dans le paragraphe suivant. Mais avant cela, examinons brièvement des exemples d’application des conséquences des propriétés fondamentales des logarithmes.

Exemple.

a) Débarrassez-vous de la racine sous le signe du logarithme. b) Convertissez la fraction en logarithme base 5. c) Libérez-vous des puissances sous le signe du logarithme et dans sa base. d) Calculer la valeur de l'expression . e) Remplacez l’expression par une puissance de base 3.

Solution.

a) Si l'on rappelle le corollaire de la propriété du logarithme du degré , alors vous pouvez immédiatement donner la réponse : .

b) Ici, nous utilisons la formule de droite à gauche, nous avons .

c) Dans ce cas, la formule conduit au résultat . On a .

d) Et ici il suffit d'appliquer le corollaire auquel correspond la formule . Donc .

e) Propriété du logarithme nous permet d’atteindre le résultat souhaité : .

Répondre:

UN) . b) . V) . G) . d) .

Application consécutive de plusieurs propriétés

Les tâches réelles de transformation d'expressions utilisant les propriétés des logarithmes sont généralement plus compliquées que celles que nous avons traitées dans le paragraphe précédent. En règle générale, le résultat n'est pas obtenu en une seule étape, mais la solution consiste déjà en l'application séquentielle d'une propriété après l'autre, ainsi que des transformations identiques supplémentaires, telles que l'ouverture de parenthèses, l'apport de termes similaires, la réduction de fractions, etc. . Rapprochons-nous donc de tels exemples. Il n'y a rien de compliqué à cela, l'essentiel est d'agir avec prudence et cohérence, en respectant l'ordre des actions.

Exemple.

Calculer la valeur d'une expression (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

Solution.

La différence entre les logarithmes entre parenthèses, selon la propriété du logarithme quotient, peut être remplacée par le logarithme log 3 (15:5), puis calculer sa valeur log 3 (15:5)=log 3 3=1. Et la valeur de l'expression 7 log 7 5 par définition d'un logarithme est égale à 5. En substituant ces résultats dans l'expression originale, nous obtenons (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Voici une solution sans explication :
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

Répondre:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Exemple.

Quelle est la valeur de l’expression numérique log 3 log 2 2 3 −1 ?

Solution.

On transforme d'abord le logarithme sous le signe du logarithme en utilisant la formule du logarithme de la puissance : log 2 2 3 =3. Ainsi, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 puis log 3 3=1. Donc log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Répondre:

journal 3 journal 2 2 3 −1=0 .

Exemple.

Simplifiez l'expression.

Solution.

La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet de représenter le rapport des logarithmes à une base sous la forme log 3 5. Dans ce cas, l'expression originale prendra la forme . Par définition du logarithme 3 log 3 5 =5, soit , et la valeur de l'expression résultante, en vertu de la même définition du logarithme, est égale à deux.

Ici version courte solutions, qui sont généralement données : .

Répondre:

.

Pour passer en douceur aux informations du paragraphe suivant, examinons les expressions 5 2+log 5 3 et log0.01. Leur structure ne correspond à aucune des propriétés des logarithmes. Alors que se passe-t-il, ils ne peuvent pas être convertis en utilisant les propriétés des logarithmes ? C'est possible si vous effectuez des transformations préliminaires qui préparent ces expressions à l'application des propriétés des logarithmes. Donc 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, et log0,01=log10 −2 =−2. Nous verrons ensuite en détail comment cette préparation d’expression est effectuée.

Préparation d'expressions pour utiliser les propriétés des logarithmes

Les logarithmes dans l'expression convertie diffèrent très souvent par la structure de la notation des parties gauche et droite des formules correspondant aux propriétés des logarithmes. Mais non moins souvent, la transformation de ces expressions implique l'utilisation des propriétés des logarithmes : leur utilisation ne nécessite qu'une préparation préalable. Et cette préparation consiste à effectuer certaines transformations identiques qui amènent les logarithmes à une forme commode pour appliquer les propriétés.

Pour être juste, notons que presque toutes les transformations d'expressions peuvent agir comme des transformations préliminaires, depuis la réduction banale de termes similaires jusqu'à l'application formules trigonométriques. Cela est compréhensible, puisque les expressions converties peuvent contenir n'importe quel objet mathématique : parenthèses, modules, fractions, racines, puissances, etc. Ainsi, il faut être prêt à effectuer toute transformation nécessaire afin de pouvoir profiter davantage des propriétés des logarithmes.

Disons d'emblée qu'à ce stade nous ne nous donnons pas pour tâche de classer et d'analyser toutes les transformations préliminaires imaginables qui permettraient d'appliquer ultérieurement les propriétés des logarithmes ou la définition d'un logarithme. Nous nous concentrerons ici sur quatre d’entre eux, qui sont les plus typiques et les plus souvent rencontrés dans la pratique.

Et maintenant sur chacun d'eux en détail, après quoi, dans le cadre de notre sujet, il ne reste plus qu'à comprendre la transformation des expressions à variables sous les signes des logarithmes.

Identification des puissances sous le signe du logarithme et à sa base

Commençons tout de suite par un exemple. Ayons un logarithme. Évidemment, sous cette forme, sa structure n’est pas propice à l’utilisation des propriétés des logarithmes. Est-il possible de transformer d'une manière ou d'une autre cette expression pour la simplifier, et encore mieux pour calculer sa valeur ? Pour répondre à cette question, regardons de plus près les nombres 81 et 1/9 dans le contexte de notre exemple. Ici, il est facile de remarquer que ces nombres peuvent être représentés comme une puissance de 3, en effet 81 = 3 4 et 1/9 = 3 −2. Dans ce cas, le logarithme original est présenté sous la forme et il devient possible d'appliquer la formule . Donc, .

L'analyse de l'exemple analysé donne lieu à la réflexion suivante : si possible, on peut essayer d'isoler le degré sous le signe du logarithme et dans sa base afin d'appliquer la propriété du logarithme du degré ou ses conséquences. Il ne reste plus qu'à comprendre comment distinguer ces diplômes. Donnons quelques recommandations sur cette question.

Parfois, il est tout à fait évident que le nombre sous le signe du logarithme et/ou dans sa base représente une puissance entière, comme dans l’exemple évoqué ci-dessus. Nous sommes presque constamment confrontés à des puissances de deux, qui nous sont bien familières : 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512=2 9, 1024=2 10. On peut en dire autant des puissances de trois : 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... En général, ça ne fera pas de mal si vous avez sous les yeux table des degrés nombres naturels dans une douzaine. Il n’est pas non plus difficile de travailler avec des puissances entières de dix, cent, mille, etc.

Exemple.

Calculez la valeur ou simplifiez l'expression : a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.

Solution.

a) Évidemment, 216=6 3, donc log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Le tableau des puissances des nombres naturels permet de représenter les nombres 343 et 1/243 comme des puissances 7 3 et 3 −4, respectivement. La transformation suivante d’un logarithme donné est donc possible :

c) Puisque 0,000001=10 −6 et 0,001=10 −3, alors log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

Répondre:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2.

Dans des cas plus complexes, pour isoler les puissances des nombres, il faut recourir à.

Exemple.

Convertir l'expression en plus vue simple journal 3 648 journal 2 3 .

Solution.

Voyons ce qu'est la factorisation de 648 :

Autrement dit, 648=2 3 ·3 4. Ainsi, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Maintenant, nous convertissons le logarithme du produit en la somme des logarithmes, après quoi nous appliquons les propriétés du logarithme de la puissance :
journal 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

En vertu d'un corollaire de la propriété du logarithme de la puissance, qui correspond à la formule , le produit log32·log23 est le produit de , et, comme on le sait, il est égal à un. En tenant compte de cela, on obtient 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Répondre:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Très souvent, les expressions sous le signe du logarithme et dans sa base représentent des produits ou des rapports des racines et/ou des puissances de certains nombres, par exemple , . De telles expressions peuvent être exprimées sous forme de puissances. Pour ce faire, une transition est effectuée des racines vers les puissances, et et sont utilisées. Ces transformations permettent d'isoler les puissances sous le signe du logarithme et dans sa base, puis d'appliquer les propriétés des logarithmes.

Exemple.

Calculer : a) , b) .

Solution.

a) L'expression en base du logarithme est le produit de puissances de mêmes bases ; par la propriété correspondante des puissances on a 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Transformons maintenant la fraction sous le signe du logarithme : on passera de la racine à la puissance, après quoi on utilisera la propriété du rapport des puissances de mêmes bases : .

Il reste à substituer les résultats obtenus dans l'expression originale, utiliser la formule et terminez la transformation :

b) Puisque 729 = 3 6 et 1/9 = 3 −2, l'expression originale peut être réécrite comme .

Ensuite, nous appliquons la propriété de la racine d'une puissance, passons de la racine à la puissance et utilisons la propriété du rapport des puissances pour convertir la base du logarithme en puissance : .

Considérant dernier résultat, nous avons .

Répondre:

UN) , b) .

Il est clair que dans le cas général, pour obtenir des puissances sous le signe du logarithme et dans sa base, diverses transformations de diverses expressions peuvent être nécessaires. Donnons quelques exemples.

Exemple.

Quel est le sens de l'expression : a) , b) .

Solution.

Nous notons en outre que l'expression donnée a la forme log A B p , où A=2, B=x+1 et p=4. Nous avons transformé des expressions numériques de ce type selon la propriété du logarithme de la puissance log a b p =p·log a b , donc avec une expression donnée je veux faire de même, et passer de log 2 (x+1) 4 à 4·log 2 (x+1) . Calculons maintenant la valeur de l'expression d'origine et de l'expression obtenue après la transformation, par exemple lorsque x=−2. On a log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , et 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- une expression dénuée de sens. Cela soulève une question logique : « Qu’avons-nous fait de mal ?

Et la raison est la suivante : nous avons effectué la transformation log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , basée sur la formule log a b p =p·log a b , mais cette formule nous n'avons le droit de postuler que si les conditions sont remplies : a>0, a≠1, b>0, p - n'importe quel nombre réel. Autrement dit, la transformation que nous avons effectuée a lieu si x+1>0, ce qui équivaut à x>−1 (pour A et p, les conditions sont remplies). Cependant, dans notre cas, l'ODZ de la variable x pour l'expression originale est constitué non seulement de l'intervalle x>−1, mais aussi de l'intervalle x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

La nécessité de prendre en compte DL

Continuons à analyser la transformation de l'expression que nous avons choisie log 2 (x+1) 4 , et voyons maintenant ce qui arrive à l'ODZ en passant à l'expression 4 · log 2 (x+1) . Dans le paragraphe précédent, nous avons trouvé l'ODZ de l'expression originale - c'est l'ensemble (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Trouvons maintenant la plage de valeurs acceptables de la variable x pour l'expression 4·log 2 (x+1) . Il est déterminé par la condition x+1>0, qui correspond à l'ensemble (−1, +∞). Il est évident qu'en passant de log 2 (x+1) 4 à 4·log 2 (x+1), la plage des valeurs admissibles se rétrécit. Et nous avons convenu d'éviter les transformations qui conduisent à un rétrécissement du DL, car cela peut entraîner diverses conséquences négatives.

Ici, il convient de noter qu'il est utile de contrôler l'OA à chaque étape de la transformation et d'éviter son rétrécissement. Et si soudainement, à un moment donné de la transformation, il y avait un rétrécissement du DL, alors il vaut la peine d'examiner très attentivement si cette transformation est autorisée et si nous avions le droit de la réaliser.

Pour être juste, disons qu'en pratique, nous devons généralement travailler avec des expressions dans lesquelles la valeur variable des variables est telle que, lors de la réalisation de transformations, nous pouvons utiliser les propriétés des logarithmes sans restrictions sous la forme déjà connue de nous, à la fois de gauche à droite et de droite à gauche. On s'y habitue vite, et on commence à effectuer des transformations mécaniquement, sans se demander s'il était possible de les réaliser. Et à de tels moments, comme par hasard, des exemples plus complexes apparaissent dans lesquels une application imprudente des propriétés des logarithmes conduit à des erreurs. Il faut donc toujours être vigilant et s'assurer qu'il n'y a pas de rétrécissement de l'ODZ.

Il ne ferait pas de mal de mettre en évidence séparément les principales transformations basées sur les propriétés des logarithmes, qui doivent être effectuées avec beaucoup de soin, ce qui peut conduire à un rétrécissement de la DO, et par conséquent – ​​à des erreurs :

Certaines transformations d'expressions basées sur les propriétés des logarithmes peuvent également conduire à l'inverse : l'expansion de l'ODZ. Par exemple, la transition de 4·log 2 (x+1) à log 2 (x+1) 4 étend l'ODZ de l'ensemble (−1, +∞) à (−∞, −1)∪(−1, +∞) . De telles transformations ont lieu si l'on reste dans le cadre de l'ODZ pour l'expression originelle. Ainsi, la transformation que nous venons de mentionner 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 a lieu sur l'ODZ de la variable x pour l'expression originale 4·log 2 (x+1), c'est-à-dire pour x+1> 0, ce qui équivaut à (−1, +∞).

Maintenant que nous avons discuté des nuances auxquelles vous devez faire attention lors de la transformation d'expressions avec des variables en utilisant les propriétés des logarithmes, il reste à comprendre comment effectuer correctement ces transformations.

X+2>0 . Est-ce que ça marche dans notre cas ? Pour répondre à cette question, regardons l'ODZ de la variable x. Il est déterminé par le système d'inégalités , ce qui équivaut à la condition x+2>0 (si nécessaire, voir l'article résoudre des systèmes d’inégalités). Ainsi, nous pouvons appliquer en toute sécurité la propriété du logarithme de la puissance.

Nous avons
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

Vous pouvez agir différemment, puisque l'ODZ vous permet de faire cela, par exemple comme ceci :

Répondre:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

Mais que faire lorsque les conditions accompagnant les propriétés des logarithmes ne sont pas remplies dans l'ODZ ? Nous comprendrons cela avec des exemples.

Soyons obligés de simplifier l'expression log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . La transformation de cette expression, contrairement à l'expression de l'exemple précédent, ne permet pas d'utiliser librement la propriété du logarithme de la puissance. Pourquoi? L'ODZ de la variable x dans ce cas est l'union de deux intervalles x>−2 et x<−2 . При x>−2 on peut facilement appliquer la propriété du logarithme d'une puissance et agir comme dans l'exemple ci-dessus : log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Mais l'ODZ contient un intervalle supplémentaire x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 et en outre en raison des propriétés du degré k lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. L'expression résultante peut être transformée en utilisant la propriété du logarithme d'une puissance, puisque |x+2|>0 pour toute valeur de la variable. Nous avons journal|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Vous pouvez désormais vous libérer du module, puisqu'il a fait son travail. Puisque l'on effectue la transformation en x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Regardons un autre exemple pour que travailler avec des modules devienne familier. Concevons à partir de l'expression passez à la somme et à la différence des logarithmes des binômes linéaires x−1, x−2 et x−3. On trouve d’abord l’ODZ :

Sur l'intervalle (3, +∞) les valeurs des expressions x−1, x−2 et x−3 sont positives, on peut donc facilement appliquer les propriétés du logarithme de la somme et de la différence :

Et sur l'intervalle (1, 2) les valeurs de l'expression x−1 sont positives, et les valeurs des expressions x−2 et x−3 sont négatives. Par conséquent, sur l'intervalle considéré, nous représentons x−2 et x−3 en utilisant le module comme −|x−2| et −|x−3| respectivement. Où

On peut maintenant appliquer les propriétés du logarithme du produit et du quotient, puisque sur l'intervalle considéré (1, 2) les valeurs des expressions x−1 , |x−2| et |x−3| - positif.

Nous avons

Les résultats obtenus peuvent être combinés :

En général, un raisonnement similaire permet, à partir des formules du logarithme du produit, du rapport et du degré, d'obtenir trois résultats pratiquement utiles, assez pratiques à utiliser :

• Le logarithme du produit de deux expressions arbitraires X et Y de la forme log a (X·Y) peut être remplacé par la somme des logarithmes log a |X|+log a |Y| , une>0 , une≠1 .
• Le logarithme de la forme particulière log a (X:Y) peut être remplacé par la différence des logarithmes log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X et Y sont des expressions arbitraires.
• Du logarithme d'une expression B à une puissance paire p de la forme log a B p on peut passer à l'expression p·log a |B| , où a>0, a≠1, p est un nombre pair et B est une expression arbitraire.

Des résultats similaires sont donnés, par exemple, dans les instructions pour résoudre les exponentielles et équations logarithmiques dans un recueil de problèmes de mathématiques destinés à ceux qui entrent à l'université, édité par M. I. Skanavi.

Exemple.

Simplifier l'expression .

Solution.

Il serait bon d'appliquer les propriétés du logarithme de la puissance, de la somme et de la différence. Mais pouvons-nous faire cela ici ? Pour répondre à cette question, nous devons connaître la DZ.

Définissons-le :

Il est bien évident que les expressions x+4, x−2 et (x+4) 13 dans la plage des valeurs admissibles de la variable x peuvent prendre à la fois des valeurs positives et négatives. Nous devrons donc agir à travers des modules.

Les propriétés du module vous permettent de le réécrire sous la forme , donc

Aussi, rien ne vous empêche d'utiliser la propriété du logarithme d'une puissance, et d'ensuite amener des termes similaires :

Une autre séquence de transformations conduit au même résultat :

et puisque sur l'ODZ l'expression x−2 peut prendre à la fois des valeurs positives et négatives, alors en prenant un exposant pair 14

Nous continuons à étudier les logarithmes. Dans cet article, nous parlerons de calculer des logarithmes, ce processus est appelé logarithme. Nous comprendrons d’abord le calcul des logarithmes par définition. Voyons ensuite comment les valeurs des logarithmes sont trouvées à l'aide de leurs propriétés. Après cela, nous nous concentrerons sur le calcul des logarithmes à travers les valeurs initialement spécifiées d'autres logarithmes. Enfin, apprenons à utiliser les tables de logarithmes. La théorie entière est fournie avec des exemples avec des solutions détaillées.

Navigation dans les pages.

Calculer des logarithmes par définition

Dans les cas les plus simples, il est possible d'effectuer assez rapidement et facilement trouver le logarithme par définition. Examinons de plus près comment ce processus se déroule.

Son essence est de représenter le nombre b sous la forme a c, à partir duquel, par définition d'un logarithme, le nombre c est la valeur du logarithme. Autrement dit, par définition, la chaîne d'égalités suivante correspond à la recherche du logarithme : log a b=log a a c =c.

Ainsi, calculer un logarithme revient par définition à trouver un nombre c tel que a c = b, et le nombre c lui-même est la valeur souhaitée du logarithme.

Compte tenu des informations contenues dans les paragraphes précédents, lorsque le nombre sous le signe du logarithme est donné par une certaine puissance de la base du logarithme, vous pouvez immédiatement indiquer à quoi est égal le logarithme - il est égal à l'exposant. Montrons les solutions à l'aide d'exemples.

Exemple.

Trouvez log 2 2 −3 et calculez également le logarithme népérien du nombre e 5,3.

Solution.

La définition du logarithme permet de dire immédiatement que log 2 2 −3 =−3. En effet, le nombre sous le signe du logarithme est égal à la base 2 à la puissance −3.

De même, on retrouve le deuxième logarithme : lne 5,3 =5,3.

Répondre:

log 2 2 −3 =−3 et lne 5,3 =5,3.

Si le nombre b sous le signe du logarithme n'est pas spécifié comme puissance de la base du logarithme, vous devez alors examiner attentivement s'il est possible de proposer une représentation du nombre b sous la forme a c . Souvent cette représentation est assez évidente, surtout lorsque le nombre sous le signe du logarithme est égal à la base à la puissance 1, ou 2, ou 3,...

Exemple.

Calculez les logarithmes log 5 25 , et .

Solution.

Il est facile de voir que 25=5 2, cela permet de calculer le premier logarithme : log 5 25=log 5 5 2 =2.

Passons au calcul du deuxième logarithme. Le nombre peut être représenté par une puissance de 7 : (à voir si nécessaire). Ainsi, .

Réécrivons le troisième logarithme sous la forme suivante. Maintenant tu peux voir ça , d'où nous concluons que . Par conséquent, par la définition du logarithme .

Brièvement, la solution pourrait s'écrire comme suit : .

Répondre:

journal 5 25=2 , Et .

Lorsqu'il existe un nombre naturel suffisamment grand sous le signe du logarithme, cela ne fait pas de mal de le prendre en compte en facteurs premiers. Il est souvent utile de représenter un nombre tel qu'une certaine puissance de la base du logarithme, et donc de calculer ce logarithme par définition.

Exemple.

Trouvez la valeur du logarithme.

Solution.

Certaines propriétés des logarithmes permettent de spécifier immédiatement la valeur des logarithmes. Ces propriétés incluent la propriété du logarithme de un et la propriété du logarithme d'un nombre égal à la base : log 1 1=log a a 0 =0 et log a a=log a a 1 =1. Autrement dit, lorsque sous le signe du logarithme se trouve un nombre 1 ou un nombre a égal à la base du logarithme, alors dans ces cas les logarithmes sont respectivement égaux à 0 et 1.

Exemple.

À quoi sont égaux les logarithmes et log10 ?

Solution.

Puisque , alors de la définition du logarithme il résulte .

Dans le deuxième exemple, le nombre 10 sous le signe du logarithme coïncide avec sa base, donc le logarithme décimal de dix est égal à un, c'est-à-dire lg10=lg10 1 =1.

Répondre:

ET lg10=1 .

Notez que le calcul des logarithmes par définition (dont nous avons parlé dans le paragraphe précédent) implique l'utilisation de l'égalité log a a p =p, qui est l'une des propriétés des logarithmes.

En pratique, lorsqu'un nombre sous le signe du logarithme et la base du logarithme sont facilement représentés comme une puissance d'un certain nombre, il est très pratique d'utiliser la formule , qui correspond à l'une des propriétés des logarithmes. Regardons un exemple de recherche d'un logarithme qui illustre l'utilisation de cette formule.

Exemple.

Calculez le logarithme.

Solution.

Répondre:

.

Les propriétés des logarithmes non mentionnées ci-dessus sont également utilisées dans les calculs, mais nous en parlerons dans les paragraphes suivants.

Trouver des logarithmes à l'aide d'autres logarithmes connus

Les informations contenues dans ce paragraphe poursuivent le sujet de l'utilisation des propriétés des logarithmes lors de leur calcul. Mais ici, la principale différence est que les propriétés des logarithmes sont utilisées pour exprimer le logarithme original en fonction d'un autre logarithme dont la valeur est connue. Donnons un exemple pour clarifier. Disons que nous savons que log 2 3≈1,584963, alors nous pouvons trouver, par exemple, log 2 6 en effectuant une petite transformation en utilisant les propriétés du logarithme : log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Dans l’exemple ci-dessus, il nous suffisait d’utiliser la propriété du logarithme d’un produit. Cependant, il est beaucoup plus souvent nécessaire d'utiliser un arsenal plus large de propriétés de logarithmes afin de calculer le logarithme d'origine à travers ceux donnés.

Exemple.

Calculez le logarithme de 27 en base 60 si vous savez que log 60 2=a et log 60 5=b.

Solution.

Nous devons donc trouver le journal 60 27 . Il est facile de voir que 27 = 3 3 , et le logarithme original, en raison de la propriété du logarithme de la puissance, peut être réécrit sous la forme 3·log 60 3 .

Voyons maintenant comment exprimer log 60 3 en termes de logarithmes connus. La propriété du logarithme d'un nombre égal à la base permet d'écrire le log d'égalité 60 60=1. Par contre, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Ainsi, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Ainsi, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Enfin, nous calculons le logarithme original : log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Répondre:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Séparément, il convient de mentionner la signification de la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme de la forme . Il permet de passer de logarithmes à base quelconque à des logarithmes à base spécifique dont les valeurs sont connues ou il est possible de les retrouver. Habituellement, à partir du logarithme original, en utilisant la formule de transition, ils passent aux logarithmes dans l'une des bases 2, e ou 10, car pour ces bases il existe des tableaux de logarithmes qui permettent de calculer leurs valeurs avec un certain degré de précision. Dans le paragraphe suivant, nous montrerons comment cela se fait.

Tables de logarithme et leurs utilisations

Pour le calcul approximatif des valeurs du logarithme, vous pouvez utiliser tables de logarithme. La table de logarithme de base 2, la table de logarithme népérien et la table de logarithme décimal les plus couramment utilisées. Lorsque vous travaillez dans le système de nombres décimaux, il est pratique d'utiliser un tableau de logarithmes basé sur la base dix. Avec son aide, nous apprendrons à trouver les valeurs des logarithmes.

Le tableau présenté permet de retrouver les valeurs des logarithmes décimaux des nombres de 1 000 à 9 999 (avec trois décimales) avec une précision d'un dix millième. Nous analyserons le principe de trouver la valeur d'un logarithme à l'aide d'un tableau de logarithmes décimaux à l'aide d'un exemple précis - c'est plus clair ainsi. Trouvons log1.256.

Dans la colonne de gauche du tableau des logarithmes décimaux on retrouve les deux premiers chiffres du nombre 1,256, c'est-à-dire qu'on trouve 1,2 (ce nombre est entouré en bleu pour plus de clarté). Le troisième chiffre du nombre 1.256 (chiffre 5) se trouve dans la première ou la dernière ligne à gauche de la double ligne (ce nombre est entouré de rouge). Le quatrième chiffre du nombre initial 1.256 (chiffre 6) se trouve dans la première ou la dernière ligne à droite de la double ligne (ce nombre est entouré d'un trait vert). Nous trouvons maintenant les nombres dans les cellules du tableau logarithmique à l'intersection de la ligne marquée et des colonnes marquées (ces nombres sont surlignés en orange). La somme des nombres marqués donne la valeur souhaitée du logarithme décimal précis à la quatrième décimale, c'est-à-dire log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Est-il possible, à l'aide du tableau ci-dessus, de trouver les valeurs des logarithmes décimaux des nombres qui ont plus de trois chiffres après la virgule décimale, ainsi que ceux qui dépassent la plage de 1 à 9,999 ? Oui, vous pouvez. Montrons comment cela se fait avec un exemple.

Calculons lg102.76332. Vous devez d'abord écrire numéro sous forme standard: 102,76332=1,0276332·10 2. Après cela, la mantisse doit être arrondie à la troisième décimale, nous avons 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, tandis que le logarithme décimal d'origine est approximativement égal au logarithme du nombre résultant, c'est-à-dire que nous prenons log102,76332≈lg1,028·10 2. Nous appliquons maintenant les propriétés du logarithme : lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Enfin, on retrouve la valeur du logarithme lg1.028 à partir du tableau des logarithmes décimaux lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. En conséquence, l'ensemble du processus de calcul du logarithme ressemble à ceci : log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

En conclusion, il convient de noter qu'en utilisant un tableau de logarithmes décimaux, vous pouvez calculer la valeur approximative de n'importe quel logarithme. Pour ce faire, il suffit d'utiliser la formule de transition pour accéder aux logarithmes décimaux, retrouver leurs valeurs dans le tableau et effectuer les calculs restants.

Par exemple, calculons log 2 3 . D'après la formule de transition vers une nouvelle base du logarithme, nous avons . À partir du tableau des logarithmes décimaux, nous trouvons log3≈0,4771 et log2≈0,3010. Ainsi, .

Bibliographie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les classes 10 - 11 des établissements d'enseignement général.
• Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).

Aujourd'hui, nous parlerons de formules logarithmiques et nous donnerons à titre indicatif exemples de solutions.

Ils impliquent eux-mêmes des modèles de solutions selon les propriétés fondamentales des logarithmes. Avant d'appliquer des formules de logarithme à résoudre, rappelons toutes les propriétés :

Maintenant, sur la base de ces formules (propriétés), nous allons montrer exemples de résolution de logarithmes.

Exemples de résolution de logarithmes basés sur des formules.

Logarithme un nombre positif b en base a (noté log a b) est un exposant auquel a doit être élevé pour obtenir b, avec b > 0, a > 0 et 1.

D'après la définition, log a b = x, ce qui équivaut à a x = b, donc log a a x = x.

Logarithmes, exemples:

log 2 8 = 3, car 2 3 = 8

log 7 49 = 2, car 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, car 5 -1 = 1/5

Logarithme décimal- il s'agit d'un logarithme ordinaire dont la base est 10. Il est noté lg.

log 10 100 = 2, car 10 2 = 100

Un algorithme naturel- aussi un logarithme ordinaire, un logarithme, mais de base e (e = 2,71828... - un nombre irrationnel). Noté ln.

Il est conseillé de mémoriser les formules ou propriétés des logarithmes, car nous en aurons besoin plus tard lors de la résolution de logarithmes, d'équations logarithmiques et d'inégalités. Reprenons chaque formule avec des exemples.

• Identité logarithmique de base
  un journal a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Propriétés de la puissance d'un nombre logarithmique et de la base du logarithme

  Exposant du nombre logarithmique log a b m = mlog a b

  Exposant de la base du logarithme log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  si m = n, on obtient log a n b n = log a b

  journal 4 9 = journal 2 2 3 2 = journal 2 3

• Transition vers une nouvelle fondation
  log a b = log c b/log c a,

  si c = b, on obtient log b b = 1

  alors log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Comme vous pouvez le constater, les formules des logarithmes ne sont pas aussi compliquées qu’il y paraît. Maintenant, après avoir examiné des exemples de résolution de logarithmes, nous pouvons passer aux équations logarithmiques. Nous examinerons plus en détail des exemples de résolution d'équations logarithmiques dans l'article : "". Ne manquez pas!

Si vous avez encore des questions sur la solution, écrivez-les dans les commentaires de l'article.

Remarque : nous avons décidé de suivre une formation différente et d'étudier à l'étranger en option.