Les dés sont utilisés par les humains depuis des milliers d’années.

Au 21e siècle, les nouvelles technologies permettent de lancer les dés à tout moment et, si vous avez accès à Internet, dans un endroit pratique. Un dé est toujours avec vous à la maison ou sur la route.

Le générateur de dés permet de lancer en ligne de 1 à 4 dés.

Lancez les dés en ligne honnêtement

Lorsque vous utilisez de vrais dés, un tour de passe-passe ou des dés spécialement conçus avec un avantage sur une face peuvent être utilisés. Par exemple, vous pouvez faire tourner le cube le long de l'un des axes, puis la distribution de probabilité changera. Une particularité de nos cubes virtuels est l'utilisation d'un pseudo générateur de logiciel. nombres aléatoires. Cela nous permet d'assurer une occurrence véritablement aléatoire de tel ou tel résultat.

Et si vous ajoutez cette page à vos favoris, vos dés en ligne ne se perdront nulle part et seront toujours à portée de main au bon moment !

Certaines personnes se sont adaptées à l’utilisation de dés en ligne pour deviner la bonne aventure ou pour faire des prévisions et des horoscopes.

Ayez une bonne humeur, Passe une bonne journée et bonne chance!

L'avantage d'un générateur de dés en ligne par rapport aux dés classiques est évident : il ne sera jamais perdu ! Le cube virtuel remplira bien mieux ses fonctions que le cube réel - la manipulation des résultats est totalement exclue et vous ne pouvez compter que sur la chance de Sa Majesté. Les dés en ligne sont, entre autres, un excellent divertissement pendant votre temps libre. Générer un résultat prend trois secondes, alimentant l’enthousiasme et l’intérêt des joueurs. Pour simuler des lancers de dés, il vous suffit d'appuyer sur le bouton « 1 » du clavier, ce qui vous permet de ne pas vous laisser distraire, par exemple, d'un jeu de société passionnant.

Nombre de cubes :

Merci d'aider le service en un seul clic : Parlez du générateur à vos amis !

Lorsque nous entendons une expression telle que « Dés », nous arrivons immédiatement à l'association des casinos où ils ne peuvent tout simplement pas s'en passer. Pour commencer, rappelons-nous un peu ce qu’est cet article.

Les dés sont des cubes, de chaque côté desquels sont représentés par des points les nombres de 1 à 6. Lorsque nous les lançons, nous avons toujours l'espoir que le nombre que nous avons imaginé et désiré apparaîtra. Mais il y a des cas où le cube, tombant sur son bord, n'affiche pas le numéro. Cela signifie que celui qui abandonne ainsi peut choisir n'importe qui.

Il arrive également que le cube roule sous le lit ou le placard, et lorsqu'il en est retiré, le nombre change en conséquence. Dans ce cas, le dé est relancé afin que chacun puisse voir clairement le chiffre.

Lancez les dés en ligne en 1 clic

Dans un jeu impliquant des dés ordinaires, il est très facile de tricher. Pour obtenir le numéro souhaité, vous devez placer ce côté du cube sur le dessus et le tordre pour qu'il reste le même (seule la partie latérale tourne). Ce n'est pas une garantie totale, mais le pourcentage de gains sera de soixante-quinze pour cent.

Si vous utilisez deux dés, alors les chances sont réduites à trente, mais cela reste un pourcentage considérable. En raison de la triche, de nombreuses campagnes de joueurs n'aiment pas utiliser de dés.

Notre merveilleux service travaille précisément pour éviter de telles situations. Il sera impossible de tricher avec nous, puisque le lancer de dés en ligne ne peut pas être truqué. Un chiffre de 1 à 6 apparaîtra sur la page de manière totalement aléatoire et incontrôlable.

Générateur de dés pratique

Un très gros avantage est que le générateur de dés en ligne ne peut pas se perdre (d'autant plus qu'il peut être ajouté à vos favoris), et un petit dé ordinaire peut facilement se perdre quelque part. Un autre avantage considérable sera le fait que la manipulation des résultats est totalement exclue. Le générateur dispose d'une fonction qui vous permet de sélectionner entre un et trois dés à lancer en même temps.

Le générateur de dés en ligne est un divertissement très intéressant, un des moyens de développer l'intuition. Utilisez notre service et obtenez des résultats instantanés et fiables.

4,8 sur 5 (notes : 116)

Méthode composition musicale avec du texte audio libre ; car une manière indépendante de composer de la musique a pris forme au 20e siècle. A. signifie le refus total ou partiel du compositeur d’un contrôle strict sur le texte musical, voire l’élimination de la catégorie même de compositeur-auteur au sens traditionnel. L'innovation de A. réside dans la corrélation de composants stablement établis d'un texte musical avec le hasard délibérément introduit et la mobilité arbitraire de la matière musicale. Le concept de A. peut faire référence à la fois à la disposition générale des parties d'un essai (forme) et à la structure de son tissu. D'après E. Denissov, l'interaction entre stabilité et mobilité du tissu et de la forme donne 4 grands types de combinaisons, dont trois - 2ème, 3ème et 4ème - sont aléatoires : 1. Tissu stable - forme stable (composition traditionnelle habituelle, opus perfectum et absolutum ; comme, par exemple exemple, la 6e symphonie de Tchaïkovski) ; 2. Tissu stable – forme mobile ; selon V. Lutoslavsky, « A. formes" (P. Boulez, 3e sonate pour piano, 1957) ; 3. Tissu mobile – forme stable ; ou, selon Lutoslawski, « A. textures" (Lyutoslawski, Quatuor à cordes, 1964, Mouvement principal) ; 4. Tissu mobile - forme mobile ; ou "A. Cage"(lors de l'improvisation collective de plusieurs interprètes). Ce sont les points nodaux de la méthode A., autour desquels se trouvent de nombreux types et cas spécifiques de structures, différents degrés d'immersion dans A. ; De plus, les métabolismes (« modulations ») sont également naturels - une transition d'un type ou d'un type à un autre, également vers ou depuis un texte stable.

A. s'est répandu depuis les années 1950, apparaissant (avec sonore), en particulier, une réaction à l'asservissement extrême de la structure musicale dans le sérialisme multiparamétrique (voir : Dodécaphonie). Pendant ce temps, le principe de liberté de structure, d’une manière ou d’une autre, a des racines anciennes. Essentiellement, la musique folk est un flux sonore et non un opus structuré de manière unique. D’où l’instabilité, le « non-vide » musique folklorique, variation, variation et improvisation. L'imprécision et l'improvisation des formes sont caractéristiques de la musique traditionnelle de l'Inde, des peuples d'Extrême-Orient et d'Afrique. Par conséquent, les représentants de A. s'appuient activement et consciemment sur les principes essentiels de la musique orientale et folklorique. Des éléments de A. existaient également dans la musique classique européenne. Par exemple, parmi les classiques viennois, qui éliminaient le principe de la basse générale et rendaient le texte musical complètement stable (symphonies et quatuors de I. Haydn), un contraste frappant était la « cadence » sous la forme d'un concerto instrumental - un solo virtuose dont la partie n'a pas été composée par le compositeur, mais a été laissée à la discrétion de l'interprète (élément A. forme). Il existe des méthodes humoristiques « aléatoires » de composition de pièces simples (menuets) en combinant des morceaux de musique sur des dés (Würfelspiel) à l'époque de Haydn et de Mozart (traité de I.F. Kirnberger « A tout moment un compositeur tout fait de polonaises et menuets. » Berlin, 1757).

Au 20ème siècle le principe du « projet individuel » dans la forme commençait à suggérer l'admissibilité des versions textuelles de l'œuvre (c'est-à-dire A.). En 1907 Le compositeur américain Charles Ives a composé le quintette avec piano « Hallwe"en (= « All Hallows' Eve »), dont le texte, lorsqu'il est interprété en concert, doit être joué différemment quatre fois de suite. D. Cage composé en 1951 « Musique des Changements » pour piano, dont il a composé le texte en « manipulant des accidents » (les mots du compositeur), en utilisant pour cela le « Livre des Changements » chinois. Classique

L’exemple classique de A. est « Piano Piece XI » de K. Stockhausen, 1957. Sur une feuille de papier env. 0,5 m² 19 fragments musicaux sont disposés dans un ordre aléatoire. Le pianiste commence par n'importe lequel d'entre eux et les joue dans n'importe quel ordre, au hasard d'un coup d'œil ; à la fin du passage précédent il est écrit à quel tempo et à quel volume jouer le suivant. Lorsque le pianiste pense avoir déjà joué tous les fragments de cette façon, il devra les rejouer une seconde fois dans le même ordre aléatoire, mais avec une sonorité plus brillante. Après le deuxième tour, le jeu se termine. Pour plus d'effet, il est recommandé de répéter l'œuvre aléatoire lors d'un concert - l'auditeur se verra présenter une autre composition du même matériau. La méthode A. est largement utilisée par les compositeurs modernes (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke et etc.).

Le préalable à A. au 20e siècle. de nouvelles lois sont apparues harmonie et les tendances qui en résultent à rechercher de nouvelles formes correspondant au nouvel état du matériel musical et caractéristiques de avant-garde. La texture aléatoire était totalement impensable avant l’émancipation dissonance, développement de la musique atonale (voir : Dodécaphonie). Partisan du « limité et contrôlé » A. Lutoslavsky y voit une valeur incontestable : « A. m’a ouvert des perspectives nouvelles et inattendues. Tout d’abord, il existe une immense richesse rythmique, inaccessible avec l’aide d’autres techniques. Denisov, justifiant « l'introduction d'éléments aléatoires dans la musique », affirme qu'elle « nous donne une plus grande liberté dans le fonctionnement de la matière musicale et nous permet d'obtenir de nouveaux effets sonores ».<...>, mais les idées de mobilité ne peuvent donner de bons résultats que si<... >, si les tendances destructrices cachées dans la mobilité ne détruisent pas le caractère constructif nécessaire à l’existence de toute forme d’art.

Certaines autres méthodes et formes de musique se chevauchent avec A. Tout d'abord ceci : 1. improvisation - exécution d'une œuvre composée pendant le jeu ; 2. musique graphique, que l'interprète improvise selon les images visuelles du dessin placé devant lui (par exemple, I. Brown, Folio", 1952), les traduisant en images sonores, ou selon des graphismes musicaux aléatoires créés par le compositeur à partir de morceaux de texte musical sur feuille de papier (S. Bussotti, "Passion pour le jardin", 1966) ; 3. événement- action improvisée (en ce sens aléatoire) (Promotion) avec la participation de musique avec une intrigue (quasi-) arbitraire (par exemple, la réalisation de A. Volkonsky « Replica » par l'ensemble « Madrigal » lors de la saison 1970/71) ; 4. formes de musique ouvertes - c'est-à-dire celles dont le texte n'est pas stablement fixé, mais est toujours obtenu au cours du processus d'exécution. Ce sont des types de compositions qui ne sont pas fondamentalement fermées et permettent une continuation sans fin (par exemple, à chaque nouvelle représentation), l'anglais. Travaux en cours. Pour P. Boulez, l’une des motivations qui l’ont orienté vers une forme ouverte a été le travail de J. Joyce(« Ulysse ») et S. Mallarmé (« Le Livre »). Un exemple de composition ouverte est "Available Forms II" d'Earl Brown pour 98 instruments et deux chefs d'orchestre (1962). Brown lui-même souligne le lien entre sa forme ouverte et les « mobiles » dans les arts visuels (voir : Art cinétique), notamment par A. Calder (« Calder Piece » pour 4 batteurs et Calder mobile, 1965). Enfin, l’action du « Gesamtkunst » est imprégnée de principes aléatoires (voir : Gesamtkunstwerk). 5. Multimédia dont la spécificité est la synchronisation installation plusieurs arts (par exemple : concert + exposition de peinture et de sculpture + soirée poésie dans n'importe quelle combinaison d'arts, etc.). Ainsi, l'essence de l'art est la réconciliation de l'ordre artistique traditionnellement établi et de l'enzyme rafraîchissante de l'imprévisibilité, du hasard - une tendance caractéristique de culture artistique XXe siècle en général et esthétique non classique.

Lit. : Denisov E.V.Éléments stables et mobiles de la forme musicale et leur interaction // Problèmes théoriques des formes et genres musicaux. M., 1971 ; Kohoutek C. Technique de composition en musique du XXe siècle. M., 1976 ; Lutoslawski V. Articles, être-

cheveux gris, souvenirs. M., 1995 ; Boulez P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mayence, 1958 ; Boulez R. Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960 ; Schaffer B. Maintenant muzyka (1958). Cracovie, 1969 ; Schaffer B. Mon informateur muzyki XX wieku (1958). Cracovie, 1975 ; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Cologne, 1963 ; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

L'affirmation d'Einstein selon laquelle Dieu ne joue pas aux dés avec l'univers a été mal interprétée

Peu d'entre eux slogans Einstein a été largement cité pour sa remarque selon laquelle Dieu ne joue pas aux dés avec l’univers. Les gens prennent naturellement ce commentaire plein d’esprit comme la preuve qu’il était dogmatiquement opposé à la mécanique quantique, qui considère le hasard comme caractéristique monde physique. Lorsque le noyau d’un élément radioactif se désintègre, cela se produit spontanément ; aucune règle ne vous dira exactement quand ni pourquoi cela se produira. Lorsqu’une particule de lumière frappe un miroir translucide, elle se réfléchit ou le traverse. Le résultat pourrait être n'importe quoi jusqu'au moment où cet événement se produit. Et il n'est pas nécessaire d'aller dans un laboratoire pour observer ce genre de processus : de nombreux sites Internet affichent des flux de nombres aléatoires générés par des compteurs Geiger ou des appareils d'optique quantique. Étant imprévisibles même en principe, ces chiffres sont idéaux pour les problèmes de cryptographie, de statistiques et de tournois de poker en ligne.

Einstein, comme le dit la légende standard. a refusé d'accepter le fait que certains événements sont par nature indéterministes. - ils surviennent tout simplement, et rien ne peut être fait pour découvrir pourquoi. Restant presque dans un splendide isolement, entouré de ses égaux, il s'accrochait des deux mains à l'univers mécanique de la physique classique, mesurant mécaniquement les secondes, dans lesquelles chaque instant prédétermine ce qui se passera dans le suivant. La ligne du jeu de dés est devenue révélatrice de l'autre côté de sa vie : la tragédie du révolutionnaire devenu réactionnaire qui a révolutionné la physique avec sa théorie de la relativité, mais - comme l'a dit diplomatiquement Niels Bohr - face à la théorie quantique, il "est allé je vais déjeuner. »

Cependant, au fil des années, de nombreux historiens, philosophes et physiciens ont remis en question cette interprétation de cette histoire. En plongeant dans la mer de tout ce qu'Einstein disait réellement, ils ont découvert que ses jugements sur l'imprévisibilité étaient plus radicaux et comportaient un plus large éventail de nuances que ce qui est habituellement décrit. "Les tentatives de creuser histoire vraie devenez en quelque sorte un missionnaire, dit Don A. Howard. historien de l'Université de Notre Dame. "C'est étonnant quand on fouille profondément dans les archives et qu'on constate l'écart avec l'opinion généralement acceptée." Comme lui et d'autres historiens des sciences l'ont montré, Einstein a reconnu la nature indéterministe de la mécanique quantique - ce qui n'est pas surprenant, puisque c'est lui qui qui a découvert son indéterminisme. Ce qu'il n'a jamais reconnu, c'est que l'indéterminisme est de nature fondamentale. Tout cela indique que le problème se pose à un niveau plus profond de la réalité, que la théorie ne reflète pas. Sa critique n'était pas mystique, mais axée sur des problèmes spécifiques. problèmes scientifiques qui restent à ce jour non résolus.

La question de savoir si l’Univers est une machine d’horlogerie ou une table de dés détruit les fondements de ce que nous pensons être la physique : la recherche règles simples, qui sous-tendent l’étonnante diversité de la nature. Si quelque chose se produit sans aucune raison, cela met fin à la recherche rationnelle. "L'indéterminisme fondamental signifierait la fin de la science", déclare Andrew S. Friedman, cosmologue au Massachusetts Institute of Technology. Pourtant, tout au long de l’histoire, les philosophes ont cru que l’indéterminisme était une condition nécessaire au libre arbitre humain. Soit nous sommes tous les rouages ​​d’un mécanisme d’horlogerie, et donc tout ce que nous faisons est prédéterminé, soit nous sommes l’agent de notre propre destin, auquel cas l’Univers ne doit finalement pas être déterministe.

Cette dichotomie a eu des conséquences très concrètes sur la manière dont la société tient les gens responsables de leurs actes. Notre système juridique est basé sur l'hypothèse du libre arbitre ; Pour que l'accusé soit reconnu coupable, il doit avoir agi avec intention. Les tribunaux se demandent constamment : que se passe-t-il si une personne est innocente à cause de la folie, de l'impulsivité de la jeunesse ou d'un environnement social pourri ?

Cependant, chaque fois que les gens parlent de dichotomie, ils ont tendance à essayer de la dénoncer comme une idée fausse. En effet, de nombreux philosophes estiment qu’il est inutile de se demander si l’univers est déterministe ou non déterministe. Cela peut être les deux, selon la taille ou la complexité du sujet d’étude : particules, atomes, molécules, cellules, organismes, psychisme, communautés. "La différence entre déterminisme et indéterminisme dépend du niveau d'étude du problème", explique Christian List, philosophe à la London School of Economics and Political Science. "Même si vous observez le déterminisme à un niveau particulier, il est tout à fait cohérent avec l'indéterminisme aux niveaux supérieurs et inférieurs. Les atomes de notre cerveau peuvent se comporter de manière totalement déterministe, tout en nous laissant une liberté d'action, puisque les atomes et les organes fonctionnent selon différents niveaux.

De la même manière, Einstein recherchait un niveau sous-quantique déterministe, tout en ne niant pas que le niveau quantique soit probabiliste.

À quoi Einstein s’est-il opposé ?

Comment Einstein a gagné l’étiquette d’opposant à la théorie quantique est un mystère presque aussi grand que la mécanique quantique elle-même. Le concept même de quantum – une unité discrète d’énergie – était le fruit de ses réflexions en 1905, et pendant une décennie et demie il se tint presque seul à sa défense. C'est Einstein qui l'a suggéré. ce que les physiciens considèrent aujourd'hui comme les principales caractéristiques la physique quantique, comme l’étrange capacité de la lumière à agir à la fois comme particule et comme onde, et c’est à partir de sa réflexion sur la physique des vagues qu’Erwin Schrödinger a développé la formulation la plus largement acceptée de la théorie quantique dans les années 1920. Einstein n’était pas non plus un adversaire du hasard. En 1916, il montra que lorsque les atomes émettent des photons, le moment et la direction de l’émission sont des variables aléatoires.

"Cela va à l'encontre de l'image populaire d'Einstein comme un opposant à l'approche probabiliste", affirme Jan von Platon, de l'Université d'Helsinki. Mais Einstein et ses contemporains étaient confrontés à un sérieux problème. Les phénomènes quantiques sont de nature aléatoire, mais théorie des quanta- Non. L'équation de Schrödinger est 100 % déterministe. Il décrit une particule ou un système de particules à l'aide de ce qu'on appelle une fonction d'onde, qui tire parti de la nature ondulatoire des particules et explique le motif ondulatoire produit par un ensemble de particules. L’équation prédit avec une certitude absolue ce qui arrivera à la fonction d’onde à un moment donné. À bien des égards, cette équation est plus déterministe que les lois du mouvement de Newton : elle ne conduit pas à des confusions telles que la singularité (où les quantités deviennent infinies et donc indescriptibles) ou le chaos (où le mouvement devient imprévisible).

Le problème est que le déterminisme de l’équation de Schrödinger est le déterminisme de la fonction d’onde, et la fonction d’onde ne peut pas être observée directement, contrairement aux positions et vitesses des particules. Au lieu de cela, la fonction d’onde détermine les quantités qui peuvent être observées et la probabilité de chacun des résultats possibles. La théorie laisse ouverte la question de savoir ce qu’est la fonction d’onde elle-même et si elle doit être considérée littéralement comme une véritable onde dans notre monde matériel. En conséquence, la question suivante reste ouverte : le caractère aléatoire observé est-il une propriété interne intégrante de la nature ou simplement sa façade ? «On prétend que la mécanique quantique n'est pas déterministe, mais c'est une conclusion trop hâtive», déclare le philosophe Christian Wuthrich de l'Université de Genève en Suisse.

Werner Heisenberg, un autre pionnier de la théorie quantique, considérait la fonction d'onde comme une brume indiquant une existence potentielle. Si vous ne pouvez pas dire clairement et sans ambiguïté où se trouve une particule, c'est parce que la particule n'est pas vraiment située dans un endroit en particulier. Ce n’est que lorsque vous observez une particule qu’elle se matérialise quelque part dans l’espace. La fonction d'onde pourrait s'étendre sur une immense région de l'espace, mais au moment où l'observation est faite, elle s'effondre instantanément, se rétrécit en un point étroit situé dans un seul endroit spécifique, et soudain une particule y apparaît. Mais même quand vous regardez la particule, bang ! - il cesse brusquement de se comporter de manière déterministe et saute dans l'état final, comme un enfant saisissant une chaise dans un jeu de chaises musicales. (Le jeu consiste dans le fait que les enfants dansent en cercle au son de la musique autour de chaises dont le nombre est inférieur d'une à celui des joueurs, et tentent de s'asseoir sur une place libre dès que la musique s'arrête).

Aucune loi ne régit cet effondrement. Il n’y a pas d’équation pour cela. Cela arrive tout simplement - c'est tout ! L'effondrement est devenu un élément clé de l'interprétation de Copenhague : une vision de la mécanique quantique nommée d'après la ville où Bohr et son institut, avec Heisenberg, ont réalisé une grande partie du travail fondateur. (Paradoxalement, Bohr lui-même n'a jamais reconnu l'effondrement de la fonction d'onde). L'École de Copenhague considère le caractère aléatoire observé de la physique quantique comme sa caractéristique nominale, ne se prêtant pas à une explication plus approfondie. La plupart des physiciens sont d'accord avec cela, l'une des raisons en est ce qu'on appelle l'effet d'ancrage, connu de la psychologie, ou l'effet d'ancrage : c'est une explication tout à fait satisfaisante, et elle est apparue en premier. Même si Einstein n’était pas un adversaire de la mécanique quantique, il était certainement un adversaire de son interprétation de Copenhague. Il part de l'idée que l'acte de mesurer provoque une rupture dans l'évolution continue du système physique, et c'est dans ce contexte qu'il commence à exprimer son opposition au coup de dés divin. « C’est précisément ce que déplorait Einstein en 1926, et non pas à cause de la prétention métaphysique globale du déterminisme comme principe absolu. condition nécessaire, dit Howard. "Il est particulièrement actif dans le débat houleux sur la question de savoir si l'effondrement de la fonction d'onde entraîne une rupture de continuité."

Pluralité de la réalité.Et pourtant, le monde est-il déterministe ou non ? La réponse à cette question dépend non seulement des lois fondamentales du mouvement, mais aussi du niveau auquel nous décrivons le système. Considérons cinq atomes dans un gaz se déplaçant de manière déterministe (schéma du haut). Ils commencent leur voyage presque au même endroit et s’écartent progressivement. Cependant, au niveau macroscopique (diagramme du bas), ce ne sont pas des atomes individuels qui sont visibles, mais un flux amorphe dans le gaz. Après un certain temps, le gaz sera probablement réparti de manière aléatoire en plusieurs flux. Ce caractère aléatoire au niveau macro est un sous-produit de l'ignorance de l'observateur des lois au niveau micro ; c'est une propriété objective de la nature, reflétant la manière dont les atomes s'assemblent. De même, Einstein a proposé que la structure interne déterministe de l’univers conduise à la nature probabiliste du domaine quantique.

L’effondrement peut difficilement être un processus réel, a soutenu Einstein. Cela nécessiterait une action instantanée à distance – un mécanisme mystérieux par lequel, par exemple, les côtés gauche et droit de la fonction d’onde s’effondrent en un même point minuscule, même lorsqu’aucune force ne coordonne leur comportement. Non seulement Einstein, mais tous les physiciens de son époque croyaient qu’un tel processus était impossible ; il devrait se produire à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière, ce qui est en contradiction évidente avec la théorie de la relativité. En fait, la mécanique quantique ne vous donne pas seulement des dés : elle vous donne des paires de dés qui apparaissent toujours du même côté, même si vous lancez l'un sur Vegas et l'autre sur Vega. Il semblait évident à Einstein que les dés devaient être des tricheurs, leur permettant d'influencer secrètement à l'avance le résultat des lancers. Mais l’école de Copenhague nie une telle possibilité, suggérant ainsi que les dominos s’influencent effectivement instantanément à travers les vastes étendues de l’espace. De plus, Einstein s’inquiétait du pouvoir que les Copenhaguens attribuaient à l’acte de mesurer. Au fait, qu’est-ce que la mesure ? Serait-ce quelque chose que seuls des êtres intelligents, ou même des professeurs titulaires, peuvent mener ? Heisenberg et d'autres représentants de l'école de Copenhague n'ont jamais précisé ce concept. Certains ont suggéré que nous créons la réalité qui nous entoure dans notre esprit en l’observant, une idée qui semble poétique, peut-être trop poétique. Einstein considérait également comme le comble de l'impudence des Copenhagueiens de déclarer que la mécanique quantique était complètement achevée, qu'elle était la théorie finale qui ne serait jamais remplacée par une autre. Il considérait toutes les théories, y compris la sienne, comme des ponts vers quelque chose d’encore plus grand.

En fait. Howard soutient qu'Einstein serait heureux d'accepter l'indéterminisme s'il avait des réponses à tous ses problèmes à résoudre - si, par exemple, quelqu'un pouvait expliquer clairement ce qu'est une dimension et comment les particules peuvent rester synchronisées sans action à longue portée. Un signe qu’Einstein considérait l’indéterminisme comme un problème secondaire est qu’il a formulé les mêmes exigences concernant les alternatives déterministes à l’école de Copenhague et qu’il les a également rejetées. Un autre historien est Arthur Fine de l'Université de Washington. croit. Que Howard exagère la susceptibilité d'Einstein à l'indéterminisme, mais convient que son jugement repose sur une base plus solide que ce que plusieurs générations de physiciens ont été amenées à croire, sur la base d'extraits de ses remarques sur le jeu de dés.

Pensées aléatoires

Si vous jouez à la corde aux côtés de l’École de Copenhague, pensait Einstein, vous découvrirez que le désordre quantique est comme tous les autres types de désordre en physique : il est le produit d’une compréhension plus profonde. La danse de minuscules grains de poussière dans un faisceau de lumière révèle le mouvement complexe des molécules, et l'émission de photons ou la désintégration radioactive des noyaux est un processus similaire, pensait Einstein. Selon lui, la mécanique quantique est une théorie évaluative qui exprime le comportement général des éléments constitutifs de la nature, mais qui n’a pas une résolution suffisante pour capturer des détails individuels.

Une théorie plus profonde et plus complète expliquerait complètement le mouvement – ​​sans aucun saut mystérieux. De ce point de vue, la fonction d’onde est une description collective, comme l’affirmation selon laquelle un dé juste, s’il est lancé à plusieurs reprises, atterrira approximativement le même nombre de fois sur chacune de ses faces. L’effondrement de la fonction d’onde n’est pas un processus physique, mais une acquisition de connaissances. Si vous lancez un dé à six faces et que vous obtenez, disons, un quatre, la gamme d'options de un à six se réduit, ou pourrait-on dire, s'effondre, à la valeur réelle de « quatre ». Un démon divin qui peut suivre les détails de la structure atomique qui influencent le résultat d'un dé (c'est-à-dire mesurer exactement comment votre main pousse et tord un dé avant qu'il ne touche la table) ne parlera jamais d'effondrement.

L'intuition d'Einstein a été renforcée par son premiers travaux sur l'effet collectif du mouvement moléculaire, étudié par une branche de la physique appelée mécanique statistique, dans laquelle il a montré que la physique peut être probabiliste même lorsque le phénomène repose sur une réalité déterministe. En 1935, Einstein écrivait au philosophe Karl Popper : "Je ne pense pas que vous ayez raison en affirmant qu'il est impossible de tirer des conclusions statistiques basées sur une théorie déterministe. Prenez la mécanique statistique classique (la théorie des gaz ou la théorie du brownien). mouvement)." Les probabilités dans la compréhension d'Einstein étaient aussi réelles que celles de l'interprétation de l'École de Copenhague. Se manifestant dans les lois fondamentales du mouvement, ils reflètent également d’autres propriétés du monde environnant ; ils ne sont pas de simples artefacts de l’ignorance humaine. Einstein a suggéré à Popper de considérer, comme exemple, une particule qui se déplace en cercle à une vitesse constante ; la probabilité de trouver une particule dans une section donnée d'un arc de cercle reflète la symétrie de sa trajectoire. De même, la probabilité qu’un dé atterrisse sur une face donnée est d’une sur six, puisqu’il comporte six faces égales. "Il comprenait mieux que quiconque à l'époque que la physique importante était contenue dans les détails des probabilités statistiques et mécaniques", explique Howard.

Une autre leçon de la mécanique statistique est que les quantités que nous observons n’existent pas nécessairement à un niveau plus profond. Par exemple, un gaz a une température, mais cela n’a aucun sens de parler de la température d’une seule molécule de gaz. Par analogie, Einstein était convaincu qu’une théorie subquantique était nécessaire pour marquer une rupture radicale avec la mécanique quantique. En 1936, il écrivait : « Il ne fait aucun doute que la mécanique quantique a capturé un bel élément de vérité.<...>Cependant, je ne crois pas que la mécanique quantique soit le point de départ de la recherche de cette base, tout comme, à l'inverse, on ne peut pas passer de la thermodynamique (et donc de la mécanique statistique) aux fondements de la mécanique. » Pour combler ce niveau plus profond, Einstein recherchait un champ théorique unifié, dans lequel les particules sont des dérivés de structures qui ne sont pas du tout similaires aux particules. En bref, la sagesse conventionnelle selon laquelle Einstein refusait de reconnaître la nature probabiliste de la physique quantique est fausse. Il essayait d'expliquer le hasard. , et ne pas prétendre qu’il n’existe pas du tout.

Faites de votre niveau le meilleur

Bien que le projet d’Einstein visant à créer une théorie unifiée ait échoué, les principes fondamentaux de son approche intuitive du hasard demeurent valables : l’indéterminisme peut naître du déterminisme. Les niveaux quantiques et subquantiques - ou toute autre paire de niveaux dans la hiérarchie de la nature - sont composés de différents types de structures, ils obéissent donc à divers types lois. La loi régissant un niveau peut naturellement admettre une part de hasard, même si les lois du niveau inférieur sont complètement réglementées. « La microphysique déterministe ne donne pas naissance à la macrophysique déterministe », déclare le philosophe Jeremy Butterfield de l'Université de Cambridge.

Imaginez un dé au niveau atomique. Le cube peut être constitué d’un nombre inimaginable de configurations atomiques totalement impossibles à distinguer les unes des autres à l’œil nu. Si vous suivez l’une de ces configurations pendant que vous faites tourner le cube, cela conduira à un résultat spécifique – de manière strictement déterministe. Dans certaines configurations, le dé se retrouvera avec un point sur sa face supérieure, dans d'autres, il en aura deux. etc. Par conséquent, un seul état macroscopique (si l’on fait tourner le cube) peut conduire à plusieurs résultats macroscopiques possibles (l’une des six faces étant visible). "Si nous décrivons le dé au niveau macro, nous pouvons le considérer comme un système stochastique qui permet un caractère aléatoire objectif", explique List, qui étudie la conjugaison de niveaux avec Marcus Pivato, mathématicien à l'Université de Cergy-Pontoise en France.

Bien que le niveau supérieur s’appuie sur le niveau inférieur, il est autonome. Pour décrire des dés, il faut travailler au niveau auquel les dés existent en tant que tels, et ce faisant, on ne peut s'empêcher de négliger les atomes et leur dynamique. Si vous passez d'un niveau à un autre, vous commettez une substitution de catégorie : c'est comme demander l'affiliation politique d'un sandwich au saumon (pour reprendre l'exemple du philosophe David Albert de l'Université de Columbia). "Lorsque nous avons un phénomène qui peut être décrit à différents niveaux, nous devons être très prudents sur le plan conceptuel pour ne pas mélanger les niveaux", explique List. Pour cette raison, le résultat du lancer d’un dé ne semble pas seulement aléatoire. C'est vraiment aléatoire. Le démon divin pourrait se vanter de savoir exactement ce qui va se passer, mais il ne sait que ce qui va arriver aux atomes. Il ne sait même pas ce qu'est un dé, puisque c'est une information plutôt haut niveau. Le démon ne voit jamais la forêt, seulement les arbres. Il ressemble au personnage principal de l'histoire de l'écrivain argentin Jorge Luis Borges "Funes the Memory" - un homme qui se souvient de tout, mais ne saisit rien. « Penser, c'est oublier la différence, c'est généraliser, faire abstraction », écrit Borges. Pour que le démon sache de quel côté tombera le dé, il est nécessaire d'expliquer ce qu'il faut rechercher. "Le démon ne pourra comprendre ce qui se passe au niveau supérieur que si on lui donne Description détaillée"Comment définir les limites entre les niveaux", dit Leaf. En vérité, après cela, le démon deviendra probablement jaloux du fait que nous sommes des mortels.

La logique de niveau fonctionne également exactement dans verso. La microphysique non déterministe peut conduire à la macrophysique déterministe. Une balle de baseball peut être fabriquée à partir de particules qui présentent un comportement chaotique, mais son vol est tout à fait prévisible ; chaos quantique, moyenne. disparaît. De même, les gaz sont constitués de molécules qui subissent des mouvements extrêmement complexes, voire indéterministes, mais leur température et leurs autres propriétés suivent des lois aussi simples que deux fois deux. De manière plus spéculative, certains physiciens, comme Robert Laughlin de l’Université de Stanford, suggèrent qu’un niveau inférieur ne fait absolument aucune différence. Les éléments constitutifs peuvent être n’importe quoi, et leur comportement collectif sera toujours le même. Après tout, des systèmes aussi divers que les molécules d’eau, les étoiles dans une galaxie et les voitures sur une autoroute obéissent aux mêmes lois d’écoulement des fluides.

Enfin libre

Lorsque l’on pense en termes de niveaux, la crainte que l’indéterminisme marque probablement la fin de la science disparaît. Il n’y a pas de haut mur autour de nous qui protège notre fragment respectueux des lois de l’Univers du reste anarchique et incompréhensible de celui-ci. En fait, le monde est un gâteau de déterminisme et d’indéterminisme. Le climat de la Terre, par exemple, est régi par les lois déterministes du mouvement de Newton, mais les prévisions météorologiques sont probabilistes et, en même temps, les tendances climatiques saisonnières et à long terme sont à nouveau prévisibles. La biologie découle également de la physique déterministe, mais les organismes et les écosystèmes nécessitent d'autres méthodes de description, comme l'évolution darwinienne. "Le déterminisme n'explique pas absolument tout", note Daniel Dennett, philosophe de l'université Tufts. "Pourquoi les girafes sont-elles apparues ? Parce que qui a déterminé : qu'il en soit ainsi ?"

Les gens sont intercalés dans ce gâteau en couches. Nous avons un puissant sentiment de libre arbitre. Nous prenons souvent des décisions imprévisibles et pour la plupart vitales ; nous réalisons que nous aurions pu agir différemment (et nous regrettons souvent de ne pas l’avoir fait). Depuis des milliers d’années, les soi-disant libertaires, partisans de la doctrine philosophique du libre arbitre (à ne pas confondre avec le mouvement politique !), soutiennent que la liberté humaine requiert la liberté d’une particule. Quelque chose doit perturber le cours déterministe des événements, comme le hasard quantique ou les « déviations » que certains philosophes anciens croyaient que les atomes pouvaient subir lorsqu'ils se déplaçaient (le concept de la déviation aléatoire et imprévisible d'un atome par rapport à sa trajectoire originale dans philosophie ancienne introduit par Lucrèce pour défendre la doctrine atomistique d'Épicure).

Le principal problème de ce raisonnement est qu’il libère les particules mais nous laisse comme esclaves. Peu importe que votre décision ait été prédéterminée lors du Big Bang ou par une infime particule, ce n'est toujours pas votre décision. Pour être libres, nous avons besoin d’un indéterminisme non pas au niveau des particules, mais au niveau humain. Et cela est possible parce que le niveau humain et le niveau particulaire sont indépendants l’un de l’autre. Même si tout ce que vous faites remonte aux toutes premières étapes, vous êtes le maître de vos actions, car ni vous ni vos actions n'existent au niveau de la matière, mais seulement au niveau macro de la conscience. « Ce macro-indéterminisme, basé sur le micro-déterminisme, garantit peut-être le libre arbitre », estime Butterfield. Le macroindéterminisme n’est pas la raison de vos décisions. C'est votre décision.

Certaines personnes vous objecteront probablement et vous diront que vous êtes toujours une marionnette, que les lois de la nature agissent comme des marionnettistes et que votre liberté n’est rien d’autre qu’une illusion. Mais le mot « illusion » lui-même évoque les mirages dans le désert et les femmes sciées en deux : tout cela n’existe pas dans la réalité. Le macroindéterminisme n’est pas du tout cela. C’est très réel, mais ce n’est pas fondamental. Cela peut être comparé à la vie. Les atomes individuels sont une matière absolument inanimée, mais leur énorme masse peut vivre et respirer. "Tout ce qui concerne les agents, leurs états d'intention, leurs décisions et leurs choix - aucune de ces entités n'a rien à voir avec les outils conceptuels de la physique fondamentale, mais cela ne veut pas dire que ces phénomènes ne sont pas réels", note List. ... signifie seulement qu'il s'agit tous de phénomènes d'un niveau beaucoup plus élevé.

Ce serait une erreur de catégorie, voire une ignorance totale, de décrire les décisions humaines comme une mécanique du mouvement des atomes dans votre tête. Il faut plutôt utiliser tous les concepts de la psychologie : désir, opportunité, intentions. Pourquoi ai-je bu de l’eau et pas du vin ? Parce que je le voulais ainsi. Mes désirs expliquent mes actions. La plupart du temps, lorsque l’on pose la question « Pourquoi ? », on recherche la motivation de l’individu, et non son bagage physique. Les explications psychologiques autorisent le type d’indéterminisme dont parle List. Par exemple, les théoriciens des jeux modélisent la prise de décision humaine en présentant une gamme d’options et en expliquant laquelle vous choisiriez si vous agissiez de manière rationnelle. Votre liberté de choisir une option particulière détermine vos choix, même si vous ne vous contentez jamais de cette option.

Bien entendu, les arguments de List n’expliquent pas entièrement le libre arbitre. La hiérarchie des niveaux ouvre un espace au libre arbitre, séparant la psychologie de la physique et nous donnant la possibilité de faire des choses inattendues. Mais nous devons profiter de cette opportunité. Si, par exemple, nous prenions toutes nos décisions en tirant à pile ou face, cela serait toujours considéré comme du macroindéterminisme, mais cela ne serait guère qualifié de libre arbitre au sens strict du terme. D’un autre côté, la prise de décision de certaines personnes peut être si épuisante qu’on ne peut pas dire qu’elles agissent librement.

Cette approche du problème du déterminisme donne un sens à l'interprétation de la théorie quantique, proposée quelques années après la mort d'Einstein en 1955. Elle fut appelée l'interprétation des mondes multiples, ou interprétation d'Everett. Ses partisans soutiennent que la mécanique quantique décrit une collection d’univers parallèles – un multivers – qui se comporte généralement de manière déterministe, mais qui nous semble indéterministe car nous ne pouvons voir qu’un seul univers. Par exemple, un atome peut émettre un photon vers la droite ou vers la gauche ; la théorie quantique laisse ouverte l’issue de cet événement. Selon l'interprétation des mondes multiples, une telle image est observée parce que exactement la même situation se produit dans d'innombrables univers parallèles : dans certains d'entre eux, le photon vole de manière déterministe vers la gauche, et dans le reste, vers la droite. Sans pouvoir dire exactement dans quel univers nous nous trouvons, nous ne pouvons pas prédire ce qui va se passer, cette situation semble donc inexplicable de l’intérieur. "Il n'y a pas de véritable hasard dans l'espace, mais les événements peuvent paraître aléatoires aux yeux de l'observateur", explique le cosmologue Max Tegmark du Massachusetts Institute of Technology, un partisan bien connu de ce point de vue. "Le hasard reflète votre incapacité à déterminer où tu es."

Cela revient à dire qu’un dé ou un cerveau peut être construit à partir d’un nombre infini de configurations atomiques. Cette configuration elle-même est peut-être déterministe, mais comme nous ne pouvons pas savoir laquelle correspond à nos dés ou à notre cerveau, nous sommes obligés de supposer que le résultat est indéterministe. Ainsi, les univers parallèles ne sont pas une idée exotique flottant dans un imaginaire malade. Notre corps et notre cerveau sont de minuscules multivers ; c’est la diversité des possibilités qui nous offre la liberté.

Écrit par le designer Tyler Sigman, sur Gamasutra. Je l'appelle affectueusement l'article « des poils dans les narines de l'orc », mais il expose assez bien les bases des probabilités dans les jeux.

Le sujet de cette semaine

Avant aujourd'hui presque tout ce dont nous avons parlé était déterministe et la semaine dernière, nous avons examiné de près la mécanique transitive et sommes entrés dans autant de détails que possible. Mais jusqu'à présent, nous n'avons pas prêté attention à un aspect important de nombreux jeux, à savoir les aspects non déterministes, en d'autres termes : le hasard. Comprendre la nature du hasard est très important pour les concepteurs de jeux, car nous créons des systèmes qui affectent l'expérience du joueur dans un jeu donné. Nous devons donc savoir comment fonctionnent ces systèmes. S'il y a du hasard dans le système, vous devez comprendre nature ce caractère aléatoire et comment le modifier pour obtenir les résultats dont nous avons besoin.

Dé

Commençons par quelque chose de simple : lancer des dés. Lorsque la plupart des gens pensent aux dés, ils pensent à un dé à six faces appelé d6. Mais la plupart des joueurs ont vu bien d'autres dés : à quatre faces (d4), octogonaux (d8), à douze faces (d12), à vingt faces (d20)... et si vous réel geek, vous pourriez avoir des dés à 30 ou 100 faces quelque part. Si vous n'êtes pas familier avec cette terminologie, le « d » signifie dé, et le chiffre qui le suit indique le nombre de côtés qu'il possède. Si avant« d » est un nombre, cela signifie quantité dés en lançant. Par exemple, dans le jeu de Monopoly, vous lancez 2d6.

Donc, dans ce cas, l’expression « dé » est symbole. Il existe un grand nombre d’autres générateurs de nombres aléatoires qui n’ont pas la forme d’un morceau de plastique mais remplissent la même fonction : générer un nombre aléatoire de 1 à n. Une pièce de monnaie ordinaire peut également être considérée comme un dé dièdre d2. J'ai vu deux modèles de dés à sept faces : l'un d'eux ressemblait à dé, et le second ressemblait davantage à un crayon en bois à sept faces. Le dreidel tétraédrique (également connu sous le nom de titotum) est similaire à l'os tétraédrique. Le terrain de jeu avec flèches tournantes dans le jeu « Chutes & Ladders », où le résultat peut être de 1 à 6, correspond à un dé à six faces. Un générateur de nombres aléatoires dans un ordinateur peut créer n'importe quel nombre de 1 à 19 si le concepteur spécifie une telle commande, bien que l'ordinateur ne dispose pas de dé à 19 faces (en général, je parlerai davantage de la probabilité que des nombres apparaissent sur un ordinateur dans suivant semaine). Bien que ces éléments semblent tous différents, ils sont en réalité les mêmes : vous avez une chance égale d’obtenir l’un des nombreux résultats.

Les dés ont des propriétés intéressantes que nous devons connaître. Premièrement, la probabilité de lancer l'une ou l'autre face est la même (je suppose que vous lancez un dé ordinaire, pas un dé avec une forme géométrique irrégulière). Alors si tu veux savoir valeur moyenne lancer (également connu parmi ceux qui s'intéressent au thème des probabilités sous le nom de « valeur attendue mathématique »), additionnez les valeurs​​de tous les côtés et divisez cette somme par quantité visages. Le lancer moyen pour un dé standard à six faces est de 1+2+3+4+5+6 = 21, divisé par le nombre de faces (6) et la moyenne est de 21/6 = 3,5. Il s’agit d’un cas particulier car nous supposons que tous les résultats sont également probables.

Et si vous aviez des dés spéciaux ? Par exemple, j'ai vu un jeu avec hexagone dé avec des autocollants spéciaux sur les côtés : 1, 1, 1, 2, 2, 3, il se comporte donc comme un étrange dé à trois faces qui a plus de chance de lancer 1 que 2, et 2 que 3. Quel est le lancer moyen pour cet os ? Ainsi, 1+1+1+2+2+3 = 10, divisé par 6, équivaut à 5/3 ou environ 1,66. Donc, si vous avez ce dé spécial et que les joueurs lancent trois dés puis additionnent les résultats, vous savez que le total approximatif de leur lancer sera d'environ 5, et vous pouvez équilibrer le jeu en fonction de cette hypothèse.

Dés et indépendance

Comme je l’ai déjà dit, nous partons de l’hypothèse que chaque camp est également susceptible de se disputer. Cela ne dépend pas du nombre de dés que vous lancez. Chaque lancer de dés indépendamment de, cela signifie que les lancers précédents n'affectent pas les résultats des lancers suivants. Avec suffisamment de tests, vous le ferez certainement avis une « série » de nombres, comme le fait de lancer principalement des nombres supérieurs ou inférieurs, ou d'autres caractéristiques, et nous en reparlerons plus tard, mais cela ne signifie pas que les dés sont « chauds » ou « froids ». Si vous lancez un dé standard à six faces et obtenez le chiffre 6 deux fois de suite, la probabilité que le prochain lancer aboutisse à un 6 est également de 1/6. La probabilité n’augmente pas parce que le cube est « chauffé ». La probabilité ne diminue pas car le chiffre 6 est déjà apparu deux fois de suite, ce qui signifie qu'un autre côté va maintenant apparaître. (Bien sûr, si vous lancez un dé vingt fois et obtenez un 6 à chaque fois, la chance que la vingt et unième fois vous lancez un 6 est assez élevée... car cela signifie probablement que vous avez les mauvais dés !) Mais si vous Si vous avez les bons dés, chaque camp a la même probabilité de tomber, quels que soient les résultats des autres lancers. Vous pouvez aussi imaginer qu'à chaque fois qu'on change de dé, donc si le chiffre 6 est lancé deux fois de suite, on retire le dé « chaud » du jeu et on le remplace par un nouveau dé à six faces. Je m'excuse si l'un d'entre vous était déjà au courant, mais je devais clarifier cela avant d'aller de l'avant.

Comment rendre les dés lancés plus ou moins aléatoirement

Parlons de comment obtenir résultats différents sur différents dés. Que vous lanciez un dé une seule ou plusieurs fois, le jeu semblera plus aléatoire si le dé a plus de faces. Plus vous lancez un dé, ou plus vous lancez de dés, plus les résultats se rapprochent de la moyenne. Par exemple, si vous lancez 1d6+4 (c'est-à-dire un dé standard à six faces une fois et que vous ajoutez 4 au résultat), la moyenne sera un nombre compris entre 5 et 10. Si vous lancez 5d2, la moyenne sera également un nombre compris entre 5 et 10. Mais lorsqu’on lance un dé à six faces, la probabilité d’obtenir les nombres 5, 8 ou 10 est la même. Le résultat du lancer 5d2 sera principalement les nombres 7 et 8, moins souvent d’autres valeurs. Même série, voire même valeur moyenne (7,5 dans les deux cas), mais la nature du hasard est différente.

Attends une minute. Ne viens-je pas de dire que les dés ne chauffent ni ne refroidissent ? Maintenant, je dis que si vous lancez beaucoup de dés, les résultats des lancers ont tendance à être plus proches de la moyenne ? Pourquoi?

Laisse-moi expliquer. Si tu quittes un dés, la probabilité que chaque camp tombe est la même. Cela signifie que si vous lancez beaucoup de dés, sur une période de temps, chaque face apparaîtra à peu près le même nombre de fois. Plus vous lancez de dés, plus le résultat total se rapprochera de la moyenne. Ce n’est pas parce que le numéro tiré « force » à tirer un autre numéro qui n’a pas encore été tiré. Mais parce qu'une petite série de déploiement du chiffre 6 (ou 20, ou un autre chiffre) n'aura finalement pas d'une grande importance, si vous lancez les dés dix mille fois de plus et que vous obtenez principalement la valeur moyenne... vous pourriez obtenir quelques nombres de valeur élevée maintenant, mais peut-être plus tard quelques nombres de faible valeur et, avec le temps, ils se rapprocheront de la valeur moyenne. . Non pas parce que les lancers précédents affectent les dés (sérieusement, les dés sont faits de Plastique, elle n’a pas l’intelligence de penser : « Oh, ça fait un moment que je n’ai pas lancé un 2 »), mais parce que c’est ce qui arrive habituellement quand on lance beaucoup de dés. Une petite série de nombres répétitifs sera presque invisible dans un grand nombre de résultats.

Ainsi, faire des calculs pour un lancer de dé aléatoire est assez simple, mais au moins, comme pour le calcul de la valeur moyenne du lancer. Il existe également des moyens de calculer « à quel point quelque chose est aléatoire », une façon de dire que les résultats du lancer 1d6+4 seront « plus aléatoires » que 5d2, pour 5d2 la répartition des lancers sera plus uniforme, généralement pour cela vous calculez l'écart type, et plus la valeur est grande, plus les résultats seront aléatoires, mais cela nécessite plus de calculs que je voudrais en donner aujourd'hui (j'expliquerai ce sujet plus tard). La seule chose que je vous demande de savoir, c'est qu'en règle générale, moins on lance de dés, plus le caractère aléatoire est grand. Encore un ajout sur ce sujet : plus un dé a de faces, plus le caractère aléatoire est grand, puisque vous avez plus d'options.

Comment calculer la probabilité en utilisant le comptage

Vous vous demandez peut-être : comment pouvons-nous calculer la probabilité exacte d’obtenir un certain résultat ? C'est en fait très important pour de nombreux jeux, car si vous lancez un dé, il est probable qu'il y ait une sorte de résultat optimal au départ. La réponse est que nous devons compter deux valeurs. Tout d’abord, comptez le nombre maximum de résultats lorsque vous lancez un dé (quel que soit le résultat). Comptez ensuite le nombre d’issues favorables. En divisant la deuxième valeur par la première, vous obtiendrez la probabilité souhaitée. Pour obtenir le pourcentage, multipliez le résultat par 100.

Exemples:

Voici un exemple très simple. Vous voulez que le chiffre 4 ou plus lance et lance le dé à six faces une fois. Le nombre maximum de résultats est de 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Parmi ceux-ci, 3 résultats (4, 5, 6) sont favorables. Cela signifie que pour calculer la probabilité, on divise 3 par 6 et on obtient 0,5 ou 50 %.

Voici un exemple un peu plus compliqué. Vous voulez un nombre pair lorsque vous lancez 2d6. Le nombre maximum de résultats est de 36 (6 pour chaque dé, et comme un dé n'affecte pas l'autre, on multiplie 6 résultats par 6 et on obtient 36). La difficulté de ce type de question est qu’il est facile de compter deux fois. Par exemple, il existe en fait deux options pour un 3 sur un jet de 2d6 : 1+2 et 2+1. Ils se ressemblent, mais la différence réside dans le nombre affiché sur le premier dé et sur le deuxième. Vous pouvez aussi imaginer que les dés Couleurs différentes, donc, par exemple, dans ce cas, un dé est rouge, l'autre est bleu. Comptez ensuite le nombre d'options pour obtenir un nombre pair : 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Il s'avère qu'il existe 18 options pour une issue favorable sur 36, comme dans le cas précédent, la probabilité sera de 0,5 ou 50 %. Peut-être inattendu, mais tout à fait exact.

Simulation de Monte-Carlo

Et si vous avez trop de dés pour ce calcul ? Par exemple, vous voulez savoir quelle est la probabilité d’obtenir un total de 15 ou plus en lançant 8d6. Il y a BEAUCOUP de résultats individuels différents pour huit dés et les compter à la main prendrait très longtemps. Même si nous trouvons une bonne solution pour regrouper différentes séries de lancers de dés, le comptage prendra encore beaucoup de temps. Dans ce cas, le plus d'une manière simple Le calcul de la probabilité ne se fera pas à la main, mais à l’aide d’un ordinateur. Il existe deux façons de calculer la probabilité sur un ordinateur.

La première méthode peut vous donner une réponse précise, mais elle implique un peu de programmation ou de script. Essentiellement, l’ordinateur examinera chaque possibilité, évaluera et comptera le nombre total d’itérations et le nombre d’itérations correspondant au résultat souhaité, puis fournira les réponses. Votre code pourrait ressembler à ceci :

int wincount=0, totalcount=0 ;

pour (int je=1; je<=6; i++) {

pour (int j=1; j<=6; j++) {

pour (int k=1; k<=6; k++) {

... // insère plus de boucles ici

si (i+j+k+… >= 15) (

probabilité flottante = wincount/totalcount ;

Si vous ne savez pas grand chose en programmation et que vous souhaitez simplement une réponse approximative plutôt qu'exacte, vous pouvez simuler cette situation dans Excel, où vous lancez 8d6 plusieurs milliers de fois et obtenez la réponse. Pour lancer 1d6 dans Excel, utilisez la formule suivante :

ÉTAGE(RAND()*6)+1

Il y a un nom pour la situation dans laquelle vous ne connaissez pas la réponse et essayez plusieurs fois - Simulation de Monte-Carlo, et c'est une excellente solution sur laquelle s'appuyer lorsque vous essayez de calculer la probabilité et que c'est trop compliqué. Ce qui est bien, c'est que dans ce cas, nous n'avons pas besoin de comprendre comment fonctionnent les mathématiques, et nous savons que la réponse sera « plutôt bonne » car, comme nous le savons déjà, plus le nombre de lancers est élevé, plus le résultat est proche. arrive à la moyenne.

Comment combiner des essais indépendants

Si vous posez des questions sur plusieurs essais répétés mais indépendants, le résultat d'un jet n'affecte pas les résultats des autres lancers. Il existe une autre explication plus simple à cette situation.

Comment faire la distinction entre quelque chose de dépendant et d’indépendant ? Fondamentalement, si vous pouvez isoler chaque lancer de dé (ou série de lancers) comme un événement distinct, alors il est indépendant. Par exemple, si nous voulons un total de 15 en lançant 8d6, ce cas ne peut pas être divisé en plusieurs lancers de dés indépendants. Puisque vous comptez la somme des valeurs de tous les dés pour le résultat, le résultat qui apparaît sur un dé affecte les résultats qui devraient apparaître sur les autres dés, car ce n'est qu'en additionnant toutes les valeurs que vous pourrez obtenir le résultat souhaité.

Voici un exemple de lancers indépendants : vous jouez à un jeu de dés et vous lancez plusieurs fois des dés à six faces. Pour rester dans le jeu, vous devez obtenir un chiffre 2 ou plus lors de votre premier lancer. Pour le deuxième lancer - 3 ou plus. Le troisième nécessite un 4 ou plus, le quatrième nécessite un 5 ou plus, le cinquième nécessite un 6. Si les cinq lancers réussissent, vous gagnez. Dans ce cas, tous les lancers sont indépendants. Oui, si un lancer échoue, cela affectera le résultat de tout le jeu, mais un lancer n'affecte pas un autre lancer. Par exemple, si votre deuxième lancer de dés est très réussi, cela n’affecte pas la probabilité que les prochains lancers soient également réussis. Par conséquent, nous pouvons considérer la probabilité de chaque lancer de dés séparément.

Si vous avez des probabilités distinctes et indépendantes et que vous souhaitez connaître la probabilité que Tous des événements se produiront, vous déterminez chaque probabilité individuelle et les multipliez. Une autre façon : si vous utilisez la conjonction « et » pour décrire plusieurs conditions (par exemple, quelle est la probabilité qu'un événement aléatoire se produise Et un autre événement aléatoire indépendant ?), calculer les probabilités individuelles et les multiplier.

Peu importe ce que tu penses jamais N'additionnez pas de probabilités indépendantes. C'est une erreur courante. Pour comprendre pourquoi cela est faux, imaginez une situation dans laquelle vous lancez une pièce 50/50 et souhaitez savoir quelle est la probabilité d'obtenir face deux fois de suite. Chaque camp a 50 % de chances d'atterrir, donc si vous additionnez ces deux probabilités, vous obtenez 100 % de chances d'obtenir face, mais nous savons que ce n'est pas vrai car cela aurait pu se retrouver face deux fois de suite. Si vous multipliez les deux probabilités, vous obtenez 50 %*50 % = 25 %, ce qui est la bonne réponse pour calculer la probabilité d'obtenir face deux fois de suite.

Exemple

Revenons au jeu de dés à six faces, où il faut d'abord lancer un nombre supérieur à 2, puis supérieur à 3, et ainsi de suite. à 6. Quelles sont les chances que dans une série donnée de 5 lancers, tous les résultats soient favorables ?

Comme indiqué ci-dessus, il s'agit d'essais indépendants et nous calculons donc la probabilité pour chaque lancer individuel, puis nous les multiplions. La probabilité que le résultat du premier lancer soit favorable est de 5/6. Deuxième - 4/6. Troisième - 3/6. Le quatrième - 2/6, le cinquième - 1/6. Multipliez tous ces résultats et vous obtenez environ 1,5%... Ainsi, gagner à ce jeu est assez rare, donc si vous ajoutez cet élément à votre jeu, vous aurez besoin d'un jackpot assez important.

Négation

Voici un autre conseil utile : il est parfois difficile de calculer la probabilité qu'un événement se produise, mais il est plus facile de déterminer quelles sont les chances qu'un événement se produise. ne viendra pas.

Par exemple, disons que nous avons une autre partie et que vous lancez 6d6, et si au moins une fois Si vous obtenez un 6, vous gagnez. Quelle est la probabilité de gagner ?

Dans ce cas, vous devez envisager de nombreuses options. Peut-être qu'un chiffre apparaîtra, 6, c'est-à-dire l'un des dés montrera le chiffre 6, et les autres auront des chiffres de 1 à 5, et il y a 6 possibilités pour lesquels les dés montreront le chiffre 6. Ensuite, vous pouvez obtenir le chiffre 6 sur deux dés, ou sur trois, ou encore plus, et à chaque fois nous devons faire un calcul séparé, il est donc facile de se tromper.

Mais il existe une autre façon de résoudre ce problème, regardons-le de l'autre côté. Toi tu vas perdre Si pas sur aucun les dés ne lanceront pas le chiffre 6. Dans ce cas, nous avons six essais indépendants, la probabilité de chacun d'eux est de 5/6 (tout autre chiffre sauf 6 peut tomber sur le dé). Multipliez-les et vous obtenez environ 33 %. Ainsi, la probabilité de perdre est de 1 sur 3.

La probabilité de gagner est donc de 67 % (soit 2 à 3).

De cet exemple, il est évident que si vous calculez la probabilité qu'un événement ne se produise pas, vous devez soustraire le résultat de 100 %. Si la probabilité de gagner est de 67 %, alors la probabilité perdre — 100% moins 67%, soit 33%. Et vice versa. S'il est difficile de calculer une probabilité, mais facile de calculer l'opposé, calculez l'opposé puis soustrayez de 100 %.

Nous combinons les conditions pour un test indépendant

J'ai dit juste au-dessus qu'il ne faut jamais ajouter de probabilités à travers des essais indépendants. Y a-t-il des cas où Peut résumer les probabilités ? - Oui, dans une situation particulière.

Si vous souhaitez calculer la probabilité de plusieurs résultats favorables non liés au cours d'un seul essai, additionnez les probabilités de chaque résultat favorable. Par exemple, la probabilité d’obtenir les nombres 4, 5 ou 6 sur 1d6 est montant la probabilité d'obtenir le nombre 4, la probabilité d'obtenir le nombre 5 et la probabilité d'obtenir le nombre 6. Vous pouvez également imaginer cette situation comme suit : si vous utilisez la conjonction « ou » dans une question sur la probabilité (par exemple , quelle est la probabilité que ou résultat différent d'un événement aléatoire ?), calculer les probabilités individuelles et les résumer.

Veuillez noter que lorsque vous additionnez tous les résultats possibles jeu, la somme de toutes les probabilités doit être égale à 100 %. Si la somme n'est pas égale à 100%, votre calcul a été mal effectué. C’est un bon moyen de revérifier vos calculs. Par exemple, vous avez analysé la probabilité d'obtenir toutes les combinaisons au poker, si vous additionnez tous les résultats obtenus, vous devriez obtenir exactement 100% (ou au moins une valeur assez proche de 100%, si vous utilisez une calculatrice, vous pourriez avoir une petite erreur d'arrondi, mais si vous additionnez les chiffres exacts manuellement, tout devrait s'additionner). Si la somme ne correspond pas, cela signifie que vous n'avez probablement pas pris en compte certaines combinaisons ou que vous avez mal calculé les probabilités de certaines combinaisons et que vous devez ensuite revérifier vos calculs.

Probabilités inégales

Jusqu’à présent, nous avons supposé que chaque côté du dé était lancé à la même fréquence, car c’est ainsi que fonctionne le dé. Mais parfois, vous êtes confronté à une situation dans laquelle différents résultats sont possibles et ils différent laisser tomber les chances. Par exemple, dans l'une des extensions du jeu de cartes « Guerre Nucléaire », il y a un terrain de jeu avec une flèche dont dépend le résultat d'un lancement de fusée : en gros, elle inflige des dégâts normaux, plus forts ou plus faibles, mais parfois les dégâts sont doublé ou triplé, ou une fusée explose sur la rampe de lancement et vous blesse, ou un autre événement se produit. Contrairement au plateau fléché de « Chutes & Ladders » ou « A Game of Life », le plateau de jeu de « Nuclear War » a des résultats inégaux. Certaines sections du terrain de jeu sont plus grandes et la flèche s'y arrête beaucoup plus souvent, tandis que d'autres sections sont très petites et la flèche s'y arrête rarement.

Ainsi, à première vue, l'os ressemble à ceci : 1, 1, 1, 2, 2, 3 ; nous en avons déjà parlé, c'est quelque chose comme un 1d3 pondéré, nous devons donc diviser toutes ces sections en parties égales, trouver la plus petite unité de mesure dont tout est un multiple et ensuite représenter la situation comme d522 (ou une autre), où de nombreuses faces de dés représenteront la même situation, mais avec plus de résultats. Et c’est une façon de résoudre le problème, et c’est techniquement réalisable, mais il existe un moyen plus simple.

Revenons à nos dés standards à six faces. Nous avons dit que pour calculer la valeur moyenne d'un jet pour un dé normal, il faut additionner les valeurs de toutes les faces et les diviser par le nombre de faces, mais comment exactement y a-t-il un calcul en cours ? Il existe une autre façon d’exprimer cela. Pour un dé à six faces, la probabilité que chaque face soit lancée est exactement de 1/6. Maintenant nous multiplions Exode chaque visage sur probabilité de ce résultat (dans ce cas 1/6 pour chaque côté), puis nous résumons les valeurs résultantes. Ainsi, en sommant (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ) , on obtient le même résultat (3.5) que dans le calcul ci-dessus. En fait, nous comptons de cette façon à chaque fois : nous multiplions chaque résultat par la probabilité de ce résultat.

Pouvons-nous faire le même calcul pour la flèche sur le terrain de jeu dans le jeu « Nuclear War » ? Bien sûr on peut. Et si nous additionnons tous les résultats trouvés, nous obtiendrons la valeur moyenne. Tout ce que nous avons à faire est de calculer la probabilité de chaque résultat pour la flèche sur le plateau de jeu et de la multiplier par le résultat.

Un autre exemple

Cette méthode de calcul de la moyenne en multipliant chaque résultat par sa probabilité individuelle convient également si les résultats sont également probables mais présentent des avantages différents, par exemple si vous lancez un dé et gagnez plus dans certains côtés que dans d'autres. Par exemple, prenons un jeu de casino : vous placez une mise et lancez 2d6. Si vous obtenez trois numéros de faible valeur (2, 3, 4) ou quatre numéros de valeur élevée (9, 10, 11, 12), vous gagnerez un montant égal à votre mise. Les nombres avec la valeur la plus basse et la plus élevée sont spéciaux : si vous obtenez 2 ou 12, vous gagnez deux fois plus que votre offre. Si un autre numéro sort (5, 6, 7, 8), vous perdrez votre pari. C'est un jeu assez simple. Mais quelle est la probabilité de gagner ?

Commençons par compter combien de fois vous pouvez gagner :

• Le nombre maximum de résultats lorsque l’on lance 2d6 est de 36. Quel est le nombre de résultats favorables ?
• Il existe 1 option pour obtenir un deux et 1 option pour obtenir un douze.
• Il existe 2 options pour lancer trois et onze.
• Il existe 3 options pour lancer un quatre et 3 options pour lancer un dix.
• Il existe 4 options pour obtenir un neuf.
• Après avoir résumé toutes les options, nous obtenons le nombre de résultats favorables 16 sur 36.

Ainsi, dans des conditions normales, vous gagnerez 16 fois sur 36 possibles... la probabilité de gagner est légèrement inférieure à 50 %.

Mais dans deux cas sur ces 16, vous gagnerez deux fois plus, c'est-à-dire C'est comme gagner deux fois ! Si vous jouez à ce jeu 36 fois, en pariant 1 $ à chaque fois, et que chacun des résultats possibles apparaît une fois, vous gagnerez un total de 18 $ (vous gagnerez en réalité 16 fois, mais deux de ces fois compteront comme deux gains). Si vous jouez 36 fois et gagnez 18 $, cela ne signifie-t-il pas que les chances sont égales ?

Prenez votre temps. Si vous comptez le nombre de fois que vous pouvez perdre, vous en obtiendrez 20 et non 18. Si vous jouez 36 fois en pariant 1$ à chaque fois, vous gagnerez un total de 18$ si vous faites tous les choix gagnants... mais vous perdrez un montant total de 20 $ si les 20 résultats défavorables se produisent ! Du coup, vous prendrez un peu de retard : vous perdez en moyenne 2$ net tous les 36 matchs (on peut aussi dire que vous perdez en moyenne 1/18 de dollar par jour). Vous voyez maintenant à quel point il est facile de se tromper dans ce cas et de mal calculer la probabilité !

Réarrangement

Jusqu’à présent, nous avons supposé que l’ordre des nombres lors du lancement des dés n’avait pas d’importance. Lancer 2+4 équivaut à lancer 4+2. Dans la plupart des cas, nous comptons manuellement le nombre de résultats favorables, mais parfois cette méthode n'est pas pratique et il est préférable d'utiliser une formule mathématique.

Un exemple de cette situation est tiré du jeu de dés « Farkle ». Pour chaque nouveau tour, vous lancez 6d6. Si vous avez de la chance et obtenez tous les résultats possibles 1-2-3-4-5-6 (« droit »), vous recevrez un gros bonus. Quelle est la probabilité que cela se produise ? Dans ce cas, il existe de nombreuses options pour obtenir cette combinaison !

La solution est la suivante : un des dés (et un seul) doit porter le chiffre 1 ! De combien de façons peut-on lancer le chiffre 1 sur un seul dé ? Six, puisqu'il y a 6 dés et que n'importe lequel d'entre eux peut obtenir le chiffre 1. En conséquence, prenez un dé et mettez-le de côté. Maintenant, l’un des dés restants devrait lancer le chiffre 2. Il existe cinq options pour cela. Prenez un autre dé et mettez-le de côté. Ensuite, quatre des dés restants peuvent donner un 3, trois des dés restants peuvent donner un 4, deux peuvent donner un 5 et vous vous retrouvez avec un dé qui devrait donner un 6 (dans ce dernier cas, il n'y a qu'un seul dé et il n'y a pas de choix). Pour calculer le nombre de résultats favorables pour obtenir une quinte, nous multiplions toutes les différentes options indépendantes : 6x5x4x3x2x1 = 720 - il semble y avoir un assez grand nombre de possibilités pour que cette combinaison se produise.

Pour calculer la probabilité d’obtenir une quinte, nous devons diviser 720 par le nombre de tous les résultats possibles pour lancer 6d6. Quel est le nombre de tous les résultats possibles ? Chaque dé peut avoir 6 faces, on multiplie donc 6x6x6x6x6x6 = 46656 (le nombre est bien plus élevé !). Divisez 720/46656 et obtenez une probabilité d'environ 1,5 %. Si vous conceviez ce jeu, cela vous serait utile de le savoir afin que vous puissiez créer un système de notation en conséquence. Nous comprenons maintenant pourquoi à Farkle vous obtiendrez un si gros bonus si vous obtenez une quinte, car cette situation est assez rare !

Le résultat est également intéressant pour une autre raison. L’exemple montre combien il est rare, en effet, qu’un résultat correspondant à une probabilité se produise dans un court laps de temps. Bien sûr, si nous lancions plusieurs milliers de dés, différentes faces des dés apparaîtraient assez souvent. Mais quand on ne lance que six dés, presque jamais Il n'arrive pas que chacun des visages tombe ! Sur cette base, il devient clair qu'il est stupide de s'attendre à ce qu'un autre visage apparaisse maintenant, qui n'est pas encore tombé « parce que nous n'avons pas lancé le chiffre 6 depuis longtemps, ce qui signifie qu'il va tomber maintenant ».

Écoutez, votre générateur de nombres aléatoires est en panne...

Cela nous amène à une idée fausse courante sur la probabilité : l’hypothèse selon laquelle tous les résultats se produisent à la même fréquence. sur une courte période, ce qui n'est en réalité pas le cas. Si nous lançons les dés plusieurs fois, la fréquence des chutes de chaque côté ne sera pas la même.

Si vous avez déjà travaillé sur un jeu en ligne avec n'importe quel type de générateur de nombres aléatoires, vous avez probablement rencontré une situation dans laquelle un joueur écrit au support technique pour dire que votre générateur de nombres aléatoires est en panne et n'affiche pas de nombres aléatoires. et il est arrivé à cette conclusion parce qu'il vient de tuer 4 monstres d'affilée et a reçu 4 exactement les mêmes récompenses, et ces récompenses ne devraient apparaître que 10 % du temps, donc ceci Presque jamais je ne devrais pas prend place, ce qui veut dire ceci évidemment que votre générateur de nombres aléatoires est en panne.

Vous faites un calcul mathématique. 1/10*1/10*1/10*1/10 est égal à 1 sur 10 000, ce qui signifie que c'est assez rare. Et c'est exactement ce que le joueur essaie de vous dire. Y a-t-il un problème dans ce cas ?

Tout dépend des circonstances. Combien de joueurs sont actuellement sur votre serveur ? Disons que vous avez un jeu assez populaire et que 100 000 personnes y jouent chaque jour. Combien de joueurs peuvent tuer quatre monstres d’affilée ? Tout est possible, plusieurs fois par jour, mais supposons que la moitié d'entre eux échangent simplement divers objets dans des enchères, discutent sur des serveurs RP, ou effectuent d'autres activités dans le jeu, donc seulement la moitié d'entre eux chassent réellement des monstres. Quelle est la probabilité que à quelqu'un la même récompense apparaîtra-t-elle ? Dans cette situation, vous pouvez vous attendre à ce que la même récompense apparaisse au moins plusieurs fois par jour !

Au fait, c'est pour ça qu'il semble que toutes les quelques semaines au moins quelqu'un gagne à la loterie, même si c'est quelqu'un jamais Ce n'est pas vous ou vos amis. Si suffisamment de personnes jouent chaque semaine, il y a de fortes chances qu'il y en ait au moins un chanceux... mais si Toi Si vous jouez à la loterie, la probabilité que vous gagniez est inférieure à la probabilité que vous soyez invité à travailler chez Infinity Ward.

Cartes et addiction

Nous avons discuté d'événements indépendants, tels que lancer un dé, et connaissons désormais de nombreux outils puissants pour analyser le caractère aléatoire dans de nombreux jeux. Le calcul des probabilités est un peu plus compliqué lorsqu'il s'agit de piocher des cartes d'un jeu, car chaque carte que nous piochons affecte les cartes restantes du jeu. Si vous disposez d'un jeu standard de 52 cartes et que vous retirez, par exemple, 10 cœurs et que vous souhaitez connaître la probabilité que la prochaine carte soit de la même couleur, la probabilité a changé car vous avez déjà retiré une carte de la même couleur. de cœurs du jeu. Chaque carte que vous supprimez modifie la probabilité de la carte suivante dans le jeu. Puisque dans ce cas l’événement précédent influence le suivant, on appelle cette probabilité dépendant.

Veuillez noter que lorsque je dis « cartes », je veux dire n'importe lequel une mécanique de jeu dans laquelle il y a un ensemble d'objets et vous retirez l'un des objets sans le remplacer, un « jeu de cartes » dans ce cas est analogue à un sac de jetons dont vous retirez un jeton et ne le remplacez pas, ou une urne dans laquelle vous tirez des billes colorées (je n'ai en fait jamais vu de jeu dans lequel on tirait une urne avec des billes colorées, mais il semble que les professeurs de probabilité préfèrent cet exemple pour une raison quelconque).

Propriétés de dépendance

Je voudrais préciser qu'en ce qui concerne les cartes, je suppose que vous piochez des cartes, les regardez et les retirez du jeu. Chacune de ces actions est une propriété importante.

Si j'avais un jeu de, disons, six cartes avec les numéros 1 à 6, et que je les mélangeais et retirais une carte, puis mélangeais à nouveau les six cartes, cela reviendrait à lancer un dé à six faces ; un résultat n’affecte pas les suivants. Ce n'est que si je pioche des cartes et ne les remplace pas que le résultat de ma pioche avec le numéro 1 augmentera la probabilité que la prochaine fois que je pioche une carte avec le numéro 6 (la probabilité augmentera jusqu'à ce que je finisse par piocher cette carte ou jusqu'à ce que je mélange les cartes).

Le fait que nous regarder sur les cartes est également important. Si je retire une carte du jeu et ne la regarde pas, je n'ai aucune information supplémentaire et la probabilité ne change pas réellement. Cela peut sembler contre-intuitif. Comment le simple fait de retourner une carte peut-il changer les chances comme par magie ? Mais c'est possible car vous pouvez calculer la probabilité d'éléments inconnus uniquement en fonction de ce que vous Vous savez. Par exemple, si vous mélangez un jeu de cartes standard et révélez 51 cartes et qu'aucune d'entre elles n'est une reine de trèfle, vous saurez avec 100 % de certitude que la carte restante est une reine de trèfle. Si vous mélangez un jeu de cartes standard et piochez 51 cartes, malgré sur eux, alors la probabilité que la carte restante soit une reine de trèfle sera toujours de 1/52. Au fur et à mesure que vous ouvrez chaque carte, vous obtenez plus d’informations.

Le calcul de la probabilité des événements dépendants suit les mêmes principes que pour les événements indépendants, sauf que c'est un peu plus compliqué car les probabilités changent au fur et à mesure que vous révélez des cartes. Vous devez donc multiplier plusieurs valeurs différentes au lieu de multiplier la même valeur. Cela signifie réellement que nous devons combiner tous les calculs que nous avons effectués en une seule combinaison.

Exemple

Vous mélangez un jeu standard de 52 cartes et piochez deux cartes. Quelle est la probabilité que vous tiriez une paire ? Il existe plusieurs façons de calculer cette probabilité, mais la plus simple est peut-être la suivante : quelle est la probabilité que si vous retirez une carte, vous ne puissiez pas en retirer une paire ? Cette probabilité est nulle, donc peu importe la première carte que vous piochez, tant qu'elle correspond à la seconde. Quelle que soit la carte que nous piochons en premier, nous avons toujours une chance de tirer une paire, donc la probabilité que nous puissions tirer une paire après avoir tiré la première carte est de 100 %.

Quelle est la probabilité que la deuxième carte corresponde à la première ? Il reste 51 cartes dans le jeu et 3 d'entre elles correspondent à la première carte (en fait, il y en aurait 4 sur 52, mais vous avez déjà retiré l'une des cartes correspondantes lorsque vous avez retiré la première carte !), donc la probabilité est de 1. /17. (Donc, la prochaine fois que le gars assis en face de vous qui joue au Texas Hold'em dira : « Cool, une autre paire ? Je me sens chanceux aujourd'hui », vous saurez qu'il y a de fortes chances qu'il bluffe.)

Et si nous ajoutons deux jokers et que nous avons maintenant 54 cartes dans le jeu et que nous voulons savoir quelle est la probabilité de tirer une paire ? La première carte peut être un joker et le jeu ne contiendra alors que un carte, pas trois, qui correspondront. Comment trouver la probabilité dans ce cas ? Nous diviserons les probabilités et multiplierons chaque possibilité.

Notre première carte pourrait être un joker ou une autre carte. La probabilité de tirer un joker est de 2/54, la probabilité de tirer une autre carte est de 52/54.

Si la première carte est un joker (2/54), alors la probabilité que la deuxième carte corresponde à la première est de 1/53. Multiplier les valeurs (on peut les multiplier car ce sont des événements distincts et on veut les deux des événements se sont produits) et nous obtenons 1/1431 - moins d'un dixième de pour cent.

Si vous piochez d’abord une autre carte (52/54), la probabilité de faire correspondre la deuxième carte est de 3/53. On multiplie les valeurs et on obtient 78/1431 (un peu plus de 5,5%).

Que fait-on de ces deux résultats ? Ils ne se croisent pas et nous voulons connaître la probabilité tout le monde d'entre eux, donc nous additionnons les valeurs ! On obtient un résultat final de 79/1431 (toujours environ 5,5%).

Si nous voulions être sûrs de l'exactitude de la réponse, nous pourrions calculer la probabilité de tous les autres résultats possibles : tirer un joker et ne pas correspondre à la deuxième carte, ou tirer une autre carte et ne pas correspondre à la deuxième carte, et les additionner. avec la probabilité de gagner, nous obtiendrions exactement 100 %. Je ne donnerai pas les calculs ici, mais vous pouvez essayer les calculs pour vérifier.

Le paradoxe de Monty Hall

Cela nous amène à un paradoxe assez célèbre qui déroute souvent beaucoup de gens : le paradoxe de Monty Hall. Le paradoxe doit son nom à l’animateur de l’émission télévisée « Let’s Make a Deal », Monty Hall. Si vous n'avez jamais vu cette émission, c'était le contraire de l'émission télévisée "The Price Is Right". Dans « Le prix est correct », l'hôte (l'hôte était Bob Barker, maintenant c'est... Drew Carey ? Quoi qu'il en soit...) est votre ami. Il veut afin que vous puissiez gagner de l'argent ou des prix sympas. Il essaie de vous donner toutes les chances de gagner, à condition que vous puissiez deviner combien valent réellement les articles achetés par les sponsors.

Monty Hall s'est comporté différemment. Il était comme le jumeau maléfique de Bob Barker. Son objectif était de vous faire passer pour un idiot à la télévision nationale. Si vous étiez dans l'émission, il était votre adversaire, vous jouiez contre lui et les chances étaient en sa faveur. Peut-être que je suis trop dur, mais lorsque les chances d'être choisi comme candidat semblent directement proportionnelles au fait que vous portiez ou non un costume ridicule, j'arrive à ce genre de conclusions.

Mais l'un des mèmes les plus célèbres de la série était celui-ci : il y avait trois portes devant vous, et elles s'appelaient la porte numéro 1, la porte numéro 2 et la porte numéro 3. Vous pouviez choisir une porte... gratuitement ! Derrière l'une de ces portes se trouvait un magnifique prix, par exemple une nouvelle voiture. Il n’y avait pas de prix derrière les autres portes ; ces deux portes n’avaient aucune valeur. Leur but était de vous humilier et donc ce n'est pas qu'il n'y avait rien du tout derrière eux, il y avait quelque chose derrière eux qui avait l'air stupide, comme s'il y avait une chèvre derrière eux ou un énorme tube de dentifrice ou quelque chose comme ça... quelque chose, quoi exactement arrivé Pas une nouvelle voiture de tourisme.

Vous choisissiez une des portes et Monty était sur le point de l'ouvrir pour vous faire savoir si vous aviez gagné ou non... mais attendez, avant de savoir, regardons l'un des ceux la porte tu pas choisi. Puisque Monty sait quelle porte se trouve derrière le prix, et qu'il n'y a qu'un seul prix et deux des portes que vous n'avez pas choisies, quoi qu'il arrive, il peut toujours ouvrir une porte qui n'a pas de prix derrière elle. « Choisissez-vous la porte numéro 3 ? Alors, ouvrons la porte n°1 pour montrer qu’il n’y avait aucun prix derrière. » Et maintenant, par générosité, il vous offre la possibilité d'échanger la Porte numéro 3 que vous avez choisie contre ce qui se trouve derrière la Porte numéro 2. C'est à ce moment-là que se pose la question de la probabilité : est-ce que le fait de pouvoir choisir une autre porte augmente votre probabilité de gagner, ou le diminuer, ou est-ce que ça reste le même ? Comment penses-tu?

Bonne réponse : possibilité de choisir une autre porte augmente probabilité de gagner de 1/3 à 2/3. C'est illogique. Si vous n'avez jamais rencontré ce paradoxe auparavant, vous vous demandez probablement : attendez, avons-nous changé la probabilité comme par magie en ouvrant une porte ? Mais comme nous l'avons déjà vu dans l'exemple avec les cartes ci-dessus, cela exactement que se passe-t-il lorsque nous obtenons plus d'informations. Il est évident que la probabilité de gagner lors de votre premier choix est de 1/3, et je pense que tout le monde sera d'accord avec cela. Lorsqu'une porte se détache, cela ne change pas du tout la probabilité de gagner pour le premier choix, la probabilité est toujours de 1/3, mais cela signifie que la probabilité que autre la porte est maintenant correcte aux 2/3.

Regardons cet exemple sous un angle différent. Vous choisissez une porte. La probabilité de gagner est de 1/3. je te propose de changer deux d'autres portes, ce que Monty Hall propose effectivement de faire. Bien sûr, il ouvre une des portes pour montrer qu’il n’y a aucun prix derrière, mais il Toujours je peux le faire, donc ça ne change vraiment rien. Bien sûr, vous voudrez choisir une porte différente !

Si vous n'êtes pas tout à fait clair sur cette question et avez besoin d'une explication plus convaincante, cliquez sur ce lien pour accéder à une superbe petite application Flash qui vous permettra d'explorer ce paradoxe plus en détail. Vous pouvez jouer en commençant avec environ 10 portes, puis passer progressivement à un jeu à trois portes ; Il existe également un simulateur dans lequel vous pouvez sélectionner n'importe quel nombre de portes de 3 à 50 et jouer ou exécuter plusieurs milliers de simulations et voir combien de fois vous gagneriez si vous jouiez.

Une remarque du professeur supérieur de mathématiques et spécialiste de l'équilibre du jeu Maxim Soldatov, que Schreiber n'avait bien sûr pas, mais sans laquelle il est assez difficile de comprendre cette transformation magique :

Vous choisissez une porte, une parmi trois, la probabilité de « gagner » est de 1/3. Vous avez désormais 2 stratégies : changer après avoir ouvert la mauvaise porte, choix ou non. Si vous ne modifiez pas votre choix, la probabilité restera de 1/3, puisque le choix ne se produit qu'à la première étape et que vous devez deviner tout de suite, mais si vous changez, vous pouvez gagner si vous choisissez le mauvais d'abord. porte (puis ils en ouvrent une autre par la mauvaise, ils resteront fidèles, tu changes d'avis et tu la prends)
La probabilité de choisir la mauvaise porte au début est de 2/3, il s'avère donc qu'en changeant votre décision, vous augmentez la probabilité de gagner 2 fois.

Et encore une fois sur le paradoxe de Monty Hall

Quant au spectacle lui-même, Monty Hall le savait car même si ses concurrents n'étaient pas bons en mathématiques, Il le comprend bien. Voici ce qu'il a fait pour changer un peu la donne. Si vous avez choisi une porte derrière laquelle se trouvait un prix, dont la probabilité est de 1/3, alors Toujours vous a offert la possibilité de choisir une autre porte. Après tout, vous choisissez une voiture de tourisme, puis vous l'échangerez contre une chèvre et vous aurez l'air assez stupide, ce qui est exactement ce dont il a besoin parce que c'est un type plutôt méchant. Mais si tu choisis la porte derrière laquelle il n'y aura pas de prix, seulement à moitié Dans de tels cas, il vous demandera de choisir une autre porte, et dans d’autres cas, il vous montrera simplement votre nouvelle chèvre et vous quitterez les lieux. Analysons ce nouveau jeu dans lequel Monty Hall peut choisir vous offrent la possibilité de choisir ou non une autre porte.

Disons qu'il suit cet algorithme : si vous choisissez une porte avec un prix, il vous propose toujours la possibilité de choisir une autre porte, sinon il y a 50/50 de chances qu'il vous propose de choisir une autre porte ou vous offre une chèvre. Quelle est votre probabilité de gagner ?

Dans l'une des trois options, vous choisissez immédiatement la porte derrière laquelle se trouve le prix, et le présentateur vous invite à choisir une autre porte.

Sur les deux options restantes sur trois (vous choisissez initialement une porte sans prix), dans la moitié des cas le présentateur vous proposera de choisir une autre porte, et dans l'autre moitié des cas - non. La moitié de 2/3 est 1/3, c'est-à-dire dans un cas sur trois vous obtiendrez une chèvre, dans un cas sur trois vous choisissez la mauvaise porte et l'hôte vous demandera d'en choisir une autre et dans un cas sur trois vous choisissez la bonne porte et il vous demandera de choisir une autre porte.

Si le présentateur propose de choisir une autre porte, on sait déjà que ce cas sur trois où il nous donne une chèvre et que nous partons n'a pas eu lieu. Il s’agit d’informations utiles car cela signifie que nos chances de gagner ont changé. Dans deux cas sur trois, lorsque nous avons la possibilité de choisir, dans un cas cela signifie que nous avons bien deviné, et dans l'autre que nous avons mal deviné, donc si on nous offrait la possibilité de choisir, cela signifie que le la probabilité de notre gain est de 50/50, et il n'y a pas mathématique avantages, restez avec votre choix ou choisissez une autre porte.

Comme le poker, il s’agit désormais d’un jeu psychologique et non plus mathématique. Monty vous a donné le choix parce qu'il pense que vous êtes un idiot qui ne sait pas que choisir l'autre porte est la "bonne" décision, et que vous vous accrocherez obstinément à votre choix parce que psychologiquement, la situation est celle où vous avez choisi la voiture, puis je l'ai perdue, c'est plus dur ? Ou pense-t-il que vous êtes intelligent et que vous choisissez une autre porte, et il vous offre cette chance parce qu'il sait que vous avez bien deviné en premier lieu et que vous serez accroché et piégé ? Ou peut-être qu'il est inhabituellement gentil avec lui-même et vous pousse à faire quelque chose dans votre intérêt personnel parce qu'il n'a pas donné de voiture depuis un moment et que ses producteurs lui disent que le public s'ennuie et qu'il ferait mieux d'offrir une voiture. bientôt un gros prix pour que les audiences ne baissent pas ?

De cette façon, Monty parvient à proposer des choix (parfois) tout en gardant la probabilité globale de gagner à 1/3. N'oubliez pas que la probabilité que vous perdiez carrément est de 1/3. La probabilité que vous deviniez correctement tout de suite est de 1/3, et dans 50 % de ces cas, vous gagnerez (1/3 x 1/2 = 1/6). La probabilité que vous vous trompiez au début, puis que vous ayez ensuite la possibilité de choisir une autre porte est de 1/3, et 50 % de ces fois vous gagnerez (également 1/6). Additionnez deux possibilités indépendantes de gagner et vous obtenez une probabilité de 1/3, donc que vous vous en teniez à votre choix ou que vous choisissiez une autre porte, votre probabilité globale de gagner tout au long du jeu est de 1/3... la probabilité ne devient pas plus grande. que dans une situation où vous devineriez la porte et où le présentateur vous montrerait ce qu'il y a derrière cette porte, sans possibilité de choisir une autre porte ! L’intérêt d’offrir la possibilité de choisir une porte différente n’est donc pas de modifier la probabilité, mais de rendre le processus de prise de décision plus amusant à regarder à la télévision.

C'est d'ailleurs l'une des raisons pour lesquelles le poker peut être si intéressant : dans la plupart des formats, entre les tours où les mises sont effectuées (par exemple, le flop, le tournant et la rivière au Texas Hold'em), les cartes sont progressivement révélées, et si au début du jeu vous avez une probabilité de gagner, alors après chaque tour d'enchères, lorsque plus de cartes sont révélées, cette probabilité change.

Paradoxe garçon et fille

Cela nous amène à un autre paradoxe célèbre qui laisse généralement perplexe tout le monde : le paradoxe garçon-fille. La seule chose sur laquelle j'écris aujourd'hui n'est pas directement liée aux jeux (même si je suppose que cela signifie simplement que je devrais vous encourager à créer des mécanismes de jeu pertinents). Il s'agit plutôt d'un casse-tête, mais intéressant, et pour le résoudre, vous devez comprendre la probabilité conditionnelle, dont nous avons parlé ci-dessus.

Problème : j'ai un ami qui a deux enfants, au moins un l'enfant est une fille. Quelle est la probabilité que le deuxième enfant Même fille? Supposons que dans n'importe quelle famille, il y a 50/50 de chances d'avoir une fille ou un garçon, et cela est vrai pour chaque enfant (en fait, certains hommes ont plus de spermatozoïdes avec un chromosome X ou un chromosome Y, donc la probabilité change un peu si vous savez qu'un enfant est une fille, la probabilité d'avoir une fille est légèrement plus élevée, en plus il existe d'autres conditions, par exemple l'hermaphrodisme, mais pour résoudre ce problème, nous n'en tiendrons pas compte et supposerons que la naissance d'un enfant est un événement indépendant et les probabilités d'avoir un garçon ou une fille sont les mêmes).

Puisque nous parlons d'une 1/2 chance, intuitivement, nous nous attendrions à ce que la réponse soit probablement 1/2 ou 1/4, ou un autre nombre rond qui est un multiple de deux. Mais la réponse est : 1/3 . Attends, pourquoi ?

La difficulté ici est que les informations dont nous disposons réduisent le nombre de possibilités. Supposons que les parents soient fans de Sesame Street et que, que l'enfant soit né garçon ou fille, ils nomment leurs enfants A et B. Dans des conditions normales, il existe quatre possibilités également probables : A et B sont deux garçons, A et B sont deux filles, A est un garçon et B est une fille, A est une fille et B est un garçon. Puisque nous savons que au moins un l'enfant est une fille, nous pouvons éliminer la possibilité que A et B soient deux garçons, nous nous retrouvons donc avec trois possibilités (toujours également probables). Si toutes les possibilités sont équiprobables et qu’il y en a trois, nous savons que la probabilité de chacune d’elles est de 1/3. Dans une seule de ces trois options, les deux enfants sont des filles, la réponse est donc 1/3.

Et encore sur le paradoxe d'un garçon et d'une fille

La solution au problème devient encore plus illogique. Imaginez que je vous dise que mon ami a deux enfants et un enfant - fille née mardi. Supposons que, dans des conditions normales, la probabilité qu'un enfant naisse un des sept jours de la semaine est la même. Quelle est la probabilité que le deuxième enfant soit aussi une fille ? Vous pourriez penser que la réponse serait toujours 1/3 ; Quelle est la signification du mardi ? Mais même dans ce cas, l’intuition nous fait défaut. Répondre: 13/27 , ce qui n'est pas seulement peu intuitif, mais aussi très étrange. Quel est le problème dans ce cas?

En fait, mardi change la probabilité parce qu'on ne sait pas Lequel bébé est né mardi ou peut-être deux enfants né mardi. Dans ce cas, on utilise la même logique que ci-dessus, on compte toutes les combinaisons possibles lorsqu'au moins un enfant est une fille née un mardi. Comme dans l'exemple précédent, supposons que les noms des enfants soient A et B, les combinaisons ressemblent à ceci :

• A est une fille née un mardi, B est un garçon (dans cette situation il y a 7 possibilités, une pour chaque jour de la semaine où un garçon pourrait naître).
• B est une fille née un mardi, A est un garçon (7 possibilités également).
• A est une fille née un mardi, B est une fille née un un autre jour de la semaine (6 possibilités).
• B est une fille née un mardi, A est une fille qui n'est pas née mardi (également 6 probabilités).
• A et B sont deux filles nées un mardi (1 possibilité, il faut y faire attention pour ne pas compter deux fois).

Nous additionnons et obtenons 27 combinaisons différentes également possibles de naissances d'enfants et de jours avec au moins une possibilité qu'une fille naisse un mardi. Parmi celles-ci, il existe 13 possibilités à la naissance de deux filles. Cela semble également complètement illogique, et il semble que cette tâche ait été créée juste pour causer des maux de tête. Si cet exemple vous laisse toujours perplexe, le théoricien des jeux Jesper Juhl a une bonne explication de ce problème sur son site Web.

Si vous travaillez actuellement sur un jeu...

S’il y a du hasard dans le jeu que vous concevez, c’est le moment idéal pour l’analyser. Sélectionnez un élément que vous souhaitez analyser. Demandez-vous d’abord quelle est la probabilité pour un élément donné en fonction de vos attentes, ce que vous pensez qu’il devrait être dans le contexte du jeu. Par exemple, si vous créez un RPG et que vous vous demandez quelle devrait être la probabilité que le joueur parvienne à vaincre un monstre au combat, demandez-vous quel pourcentage de victoire vous convient. Généralement, lorsqu'ils jouent à des RPG sur console, les joueurs sont très contrariés lorsqu'ils perdent, il est donc préférable qu'ils ne perdent pas souvent... peut-être 10 % du temps ou moins ? Si vous êtes un concepteur de RPG, vous le savez probablement mieux que moi, mais vous devez avoir une idée de base de ce que devrait être la probabilité.

Alors demandez-vous si c'est quelque chose dépendant(comme des cartes) ou indépendant(comme des dés). Analysez tous les résultats possibles et leurs probabilités. Assurez-vous que la somme de toutes les probabilités est de 100 %. Et enfin, bien sûr, comparez vos résultats avec les résultats de vos attentes. Le lancer des dés ou le tirage des cartes se déroule-t-il comme vous le souhaitiez ou voyez-vous que vous devez ajuster les valeurs. Et bien sûr, si vous tu trouveras ce qui doit être ajusté, vous pouvez utiliser les mêmes calculs pour déterminer dans quelle mesure quelque chose doit être ajusté !

Devoir

Vos « devoirs » cette semaine vous aideront à perfectionner vos compétences en probabilités. Voici deux jeux de dés et un jeu de cartes que vous analyserez en utilisant les probabilités, ainsi qu'un étrange mécanisme de jeu que j'ai développé un jour et qui testera la méthode de Monte Carlo.

Jeu n°1 – Os de dragon

Il s'agit d'un jeu de dés que mes collègues et moi avons inventé un jour (merci à Jeb Havens et Jesse King !), et qui époustoufle particulièrement les gens avec ses probabilités. Il s'agit d'un jeu de casino simple appelé « Dragon Dice » et il s'agit d'une compétition de dés entre le joueur et la maison. Vous recevez un dé normal de 1d6. Le but du jeu est d'obtenir un chiffre supérieur à celui de la maison. Tom reçoit un 1d6 non standard - le même que le vôtre, mais au lieu d'un 1 sur un côté, il y a une image d'un dragon (ainsi, le casino a un dé Dragon - 2-3-4-5-6). Si la maison obtient le Dragon, elle gagne automatiquement et vous perdez. Si vous obtenez tous les deux le même numéro, c'est une égalité et vous relancez les dés. Celui qui obtient le chiffre le plus élevé gagne.

Bien sûr, tout ne fonctionne pas entièrement en faveur du joueur, car le casino bénéficie d’un avantage sous la forme de Dragon’s Edge. Mais est-ce réellement vrai? Vous devez calculer cela. Mais avant cela, vérifiez votre intuition. Disons que les gains sont de 2 contre 1. Donc si vous gagnez, vous conservez votre mise et obtenez le double de votre mise. Par exemple, si vous pariez 1 $ et gagnez, vous conservez ce dollar et en obtenez 2 de plus pour un total de 3 $. Si vous perdez, vous perdez seulement votre pari. Veux-tu jouer ? Alors, sentez-vous intuitivement que la probabilité est supérieure à 2 pour 1, ou pensez-vous toujours qu'elle est inférieure ? Autrement dit, en moyenne sur 3 matchs, espérez-vous gagner plus d’une fois, ou moins, ou une fois ?

Une fois que vous avez compris votre intuition, utilisez les mathématiques. Il n'y a que 36 positions possibles pour les deux dés, vous pouvez donc toutes les compter sans problème. Si vous n'êtes pas sûr de cette offre 2 pour 1, considérez ceci : disons que vous avez joué au jeu 36 fois (en pariant 1 $ à chaque fois). Pour chaque victoire, vous recevez 2 dollars, pour chaque perte, vous en perdez 1, et un match nul ne change rien. Calculez tous vos gains et pertes probables et décidez si vous perdrez ou gagnerez quelques dollars. Demandez-vous ensuite si votre intuition était juste. Et puis réalisez à quel point je suis un méchant.

Et oui, si vous avez déjà réfléchi à cette question, je vous embrouille délibérément en déformant les mécanismes réels des jeux de dés, mais je suis sûr que vous pouvez surmonter cet obstacle avec juste un peu de réflexion. Essayez de résoudre ce problème vous-même. Je publierai toutes les réponses ici la semaine prochaine.

Jeu n°2 - Lancez la chance

Il s'agit d'un jeu de dés appelé "Roll for Luck" (également "Birdcage" car parfois les dés ne sont pas lancés, mais placés dans une grande cage métallique, qui rappelle la cage du "Bingo"). C'est un jeu simple qui se résume essentiellement à ceci : pariez, disons, 1 $ sur un nombre de 1 à 6. Ensuite, vous lancez 3d6. Pour chaque dé qui obtient votre numéro, vous recevez 1 $ (et conservez votre mise initiale). Si votre numéro n’apparaît sur aucun dé, le casino récupère votre dollar et vous ne recevez rien. Donc, si vous pariez sur un 1 et que vous obtenez trois fois un 1 sur les côtés, vous obtenez 3 $.

Intuitivement, il semble que ce jeu ait des chances égales. Chaque dé représente une chance individuelle de gagner de 1 sur 6, donc lorsque vous additionnez les trois, votre chance de gagner est de 3 sur 6. Cependant, bien sûr, n'oubliez pas que vous ajoutez trois dés distincts et que vous n'êtes autorisé qu'à ajouter eux si nous parlons de combinaisons gagnantes distinctes du même dé. Quelque chose que vous devrez multiplier.

Une fois que vous avez calculé tous les résultats possibles (probablement plus facile à faire dans Excel qu'à la main, puisqu'il y en a 216), le jeu semble toujours impair-pair à première vue. Mais en réalité, le casino a encore plus de chances de gagner – combien de plus ? Plus précisément, combien d’argent en moyenne pensez-vous perdre à chaque tour de jeu ? Tout ce que vous avez à faire est d'additionner les victoires et les défaites des 216 résultats, puis de diviser par 216, ce qui devrait être assez simple... Mais comme vous pouvez le constater, il y a quelques pièges dans lesquels vous pouvez tomber, et c'est pourquoi je Je vous le dis : si vous pensez que ce jeu a une chance égale de gagner, vous vous trompez complètement.

Jeu n°3 – Stud Poker à 5 cartes

Si vous vous êtes déjà familiarisé avec les jeux précédents, vérifions ce que nous savons sur la probabilité conditionnelle en utilisant ce jeu de cartes comme exemple. Plus précisément, imaginons une partie de poker avec un jeu de 52 cartes. Imaginons également le 5 card stud, où chaque joueur ne reçoit que 5 cartes. Vous ne pouvez pas défausser une carte, vous ne pouvez pas en piocher une nouvelle, il n’y a pas de deck partagé – vous n’obtenez que 5 cartes.

Une quinte flush royale vaut 10-J-Q-K-A dans une main, il y en a quatre au total, il y a donc quatre façons possibles d'obtenir une quinte flush royale. Calculez la probabilité que vous obteniez une telle combinaison.

Je dois vous prévenir d'une chose : n'oubliez pas que vous pouvez piocher ces cinq cartes dans n'importe quel ordre. Autrement dit, vous pouvez d’abord tirer un as ou un dix, cela n’a pas d’importance. Ainsi, lorsque vous calculez cela, gardez à l’esprit qu’il existe en réalité plus de quatre façons d’obtenir une quinte flush royale, en supposant que les cartes ont été distribuées dans l’ordre !

Jeu n°4 - Loterie du FMI

Le quatrième problème ne peut pas être résolu aussi facilement en utilisant les méthodes dont nous avons parlé aujourd'hui, mais vous pouvez facilement simuler la situation en utilisant la programmation ou Excel. C'est sur l'exemple de ce problème que l'on peut élaborer la méthode de Monte Carlo.

J'ai mentionné plus tôt le jeu "Chron X", sur lequel j'ai travaillé une fois, et il y avait une carte très intéressante là-bas - la loterie du FMI. Voici comment cela a fonctionné : vous l'avez utilisé dans un jeu. Une fois le tour terminé, les cartes étaient redistribuées et il y avait 10 % de chances que la carte soit hors du jeu et qu'un joueur aléatoire reçoive 5 unités de chaque type de ressource dont le jeton était présent sur cette carte. La carte était entrée en jeu sans un seul jeton, mais chaque fois qu'elle restait en jeu au début du tour suivant, elle recevait un jeton. Il y avait donc 10 % de chances que si vous la mettiez en jeu, le tour se terminerait, la carte quitterait le jeu et personne n'obtiendrait rien. Si cela ne se produit pas (90 % de chances), il y a 10 % de chances (en fait 9 %, puisque c'est 10 % de 90 %) qu'au prochain tour elle quitte le jeu et que quelqu'un reçoive 5 unités de ressources. Si la carte quitte le jeu après un tour (10 % des 81 % disponibles, donc la probabilité est de 8,1 %), quelqu'un recevra 10 unités, un autre tour - 15, un autre - 20, et ainsi de suite. Question : Quelle est la valeur générale attendue du nombre de ressources que vous obtiendrez de cette carte lorsqu'elle quittera finalement le jeu ?

Normalement, nous essayons de résoudre ce problème en trouvant la possibilité de chaque résultat et en multipliant par le nombre de tous les résultats. Il y a donc 10 % de chances que vous obteniez 0 (0,1*0 = 0). 9% que vous recevrez 5 unités de ressources (9%*5 = 0,45 ressources). 8,1 % de ce que vous obtenez équivaut à 10 (8,1 %*10 = 0,81 ressources au total, valeur attendue). Et ainsi de suite. Et puis nous résumerions tout cela.

Et maintenant, le problème est évident pour vous : il y a toujours une chance que la carte Pas va quitter le jeu pour pouvoir rester dans le jeu pour toujours, pour un nombre infini de tours, il est donc possible de calculer toutes les possibilités n'existe pas. Les méthodes que nous avons apprises aujourd'hui ne nous permettent pas de calculer une récursivité infinie, nous devrons donc la créer artificiellement.

Si vous êtes assez bon en programmation, écrivez un programme qui simulera cette carte. Vous devriez avoir une boucle temporelle qui amène la variable à une position de départ de zéro, affiche un nombre aléatoire et avec 10 % de chances que la variable quitte la boucle. Sinon, il ajoute 5 à la variable et la boucle se répète. Lorsqu'elle sort enfin de la boucle, augmentez le nombre total d'essais de 1 et le nombre total de ressources (le montant dépend de l'endroit où se termine la variable). Ensuite, réinitialisez la variable et recommencez. Exécutez le programme plusieurs milliers de fois. Enfin, divisez le nombre total de ressources par le nombre total d'exécutions - ce sera votre valeur Monte Carlo attendue. Exécutez le programme plusieurs fois pour vous assurer que les nombres que vous obtenez sont à peu près les mêmes ; si la dispersion est toujours importante, augmentez le nombre de répétitions dans la boucle externe jusqu'à ce que vous commenciez à obtenir des correspondances. Vous pouvez être sûr que les chiffres que vous obtiendrez seront à peu près corrects.

Si vous n'êtes pas familier avec la programmation (et même si vous l'êtes), voici un petit exercice pour réchauffer vos compétences sur Excel. Si vous êtes un concepteur de jeux, les compétences Excel ne sont jamais une mauvaise chose.

Vous trouverez désormais les fonctions IF et RAND très utiles. RAND ne nécessite pas de valeurs, il crache simplement un nombre décimal aléatoire entre 0 et 1. Nous le combinons généralement avec FLOOR et des plus et des moins pour simuler le lancement d'un dé, ce que j'ai mentionné plus tôt. Cependant, dans ce cas, nous ne laissons qu'une chance de 10 % que la carte quitte le jeu, nous pouvons donc simplement vérifier si la valeur RAND est inférieure à 0,1 et ne plus nous en préoccuper.

SI a trois significations. Dans l'ordre : une condition qui est vraie ou fausse, puis une valeur renvoyée si la condition est vraie et une valeur renvoyée si la condition est fausse. Ainsi, la fonction suivante renverra 5 % du temps, et 0 les 90 % restants :
=SI(RAND()<0.1,5,0)

Il existe de nombreuses façons de définir cette commande, mais j'utiliserais cette formule pour la cellule qui représente le premier tour, disons que c'est la cellule A1 :

SI(RAND()<0.1,0,-1)

Ici, j'utilise une variable négative pour signifier "cette carte n'a pas quitté le jeu et n'a pas encore abandonné aucune ressource". Ainsi, si le premier tour est terminé et que la carte quitte le jeu, A1 vaut 0 ; sinon c'est -1.

Pour la cellule suivante représentant le deuxième tour :

SI(A1>-1, A1, SI(RAND()<0.1,5,-1))

Ainsi, si le premier tour se termine et que la carte quitte immédiatement le jeu, A1 vaut 0 (le nombre de ressources) et cette cellule copiera simplement cette valeur. Sinon, A1 vaut -1 (la carte n'est pas encore sortie du jeu), et cette cellule continue de se déplacer aléatoirement : 10% du temps elle rendra 5 unités de ressources, le reste du temps sa valeur sera toujours égale à -1. Si nous appliquons cette formule à des cellules supplémentaires, nous obtenons des tours supplémentaires, et quelle que soit la cellule avec laquelle vous vous retrouverez, vous obtiendrez le résultat final (ou -1 si la carte n'a jamais quitté le jeu après tous les tours auxquels vous avez joué).

Prenez cette rangée de cellules, qui représente le seul tour avec cette carte, et copiez et collez plusieurs centaines (ou milliers) de rangées. Nous ne pourrons peut-être pas le faire sans fin test pour Excel (il y a un nombre limité de cellules dans un tableau), mais au moins nous pouvons couvrir la plupart des cas. Sélectionnez ensuite une cellule dans laquelle vous placerez la moyenne des résultats de tous les tours (Excel fournit gentiment une fonction MOYENNE() pour cela).

Sous Windows, vous pouvez au moins appuyer sur F9 pour recalculer tous les nombres aléatoires. Comme auparavant, faites cela plusieurs fois et voyez si les valeurs que vous obtenez sont les mêmes. Si l’écart est trop important, doublez le nombre d’exécutions et réessayez.

Problèmes non résolus

Si vous avez un diplôme en probabilités et que les problèmes ci-dessus semblent trop faciles, voici deux problèmes sur lesquels je me gratte la tête depuis des années, mais hélas, je ne suis pas assez bon en mathématiques pour les résoudre. Si vous connaissez une solution, postez-la ici dans les commentaires, je serai ravi de la lire.

Problème n°1 non résolu : la loterieFMI

Le premier problème non résolu est le devoir précédent. Je peux facilement appliquer la méthode de Monte Carlo (en utilisant C++ ou Excel) et avoir confiance dans la réponse à la question « combien de ressources le joueur recevra-t-il », mais je ne sais pas exactement comment fournir mathématiquement une réponse exacte et prouvable (c'est une série infinie). Si vous connaissez la réponse, postez-la ici... après l'avoir testée avec Monte Carlo, bien sûr.

Problème non résolu n°2 : séquences de figures

Ce problème (et encore une fois il dépasse largement le cadre des problèmes résolus dans ce blog) m'a été signalé par un ami joueur il y a plus de 10 ans. Il a remarqué une chose intéressante alors qu'il jouait au blackjack à Las Vegas : lorsqu'il sortait les cartes d'un sabot à 8 jeux, il vit dix figures d'affilée (une pièce ou une figure - 10, Joker, Roi ou Reine, donc il y en a 16 au total dans un jeu standard de 52 cartes, donc il y en a 128 dans un sabot de 416 cartes). Quelle est la probabilité que dans cette chaussure au moins une séquence de dix ou plus Les figures? Supposons qu'ils aient été mélangés équitablement, dans un ordre aléatoire. (Ou, si vous préférez, quelle est la probabilité que introuvable nulle part une séquence de dix chiffres ou plus ?)

Nous pouvons simplifier la tâche. Voici une séquence de 416 parties. Chaque partie est un 0 ou un 1. Il y a 128 uns et 288 zéros dispersés de manière aléatoire tout au long de la séquence. De combien de façons existe-t-il d'intercaler aléatoirement 128 uns avec 288 zéros, et combien de fois de cette manière y aura-t-il au moins un groupe de dix uns ou plus ?

Chaque fois que je commençais à résoudre ce problème, cela me paraissait facile et évident, mais dès que j'entrais dans les détails, il s'effondrait soudainement et me paraissait tout simplement impossible. Alors ne vous précipitez pas pour donner la réponse : asseyez-vous, réfléchissez bien, étudiez les conditions du problème, essayez de brancher des chiffres réels, car toutes les personnes à qui j'ai parlé de ce problème (y compris plusieurs étudiants diplômés travaillant dans ce domaine ) a réagi à peu près de la même manière : "C'est complètement évident... ah non, attends, ce n'est pas évident du tout." C’est précisément le cas pour lequel je n’ai pas de méthode permettant de calculer toutes les options. Je pourrais certainement forcer brutalement le problème grâce à un algorithme informatique, mais je serais beaucoup plus curieux de connaître la manière mathématique de résoudre ce problème.

Traduction - Y. Tkachenko, I. Mikheeva