Dans cet article, vous apprendrez comment trouver l'aire d'une figure délimitée par des lignes à l'aide de calculs intégraux. Pour la première fois, nous rencontrons la formulation d'un tel problème au lycée, alors que nous venons de terminer l'étude des intégrales définies et qu'il est temps de commencer l'interprétation géométrique des connaissances acquises dans la pratique.

Alors, que faut-il pour résoudre avec succès le problème de la recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales :

Capacité à réaliser des dessins compétents ;
Capacité à résoudre une intégrale définie en utilisant la formule bien connue de Newton-Leibniz ;
La capacité de « voir » une option de solution plus rentable - c'est-à-dire comprendre en quoi il sera plus pratique de réaliser l'intégration dans un cas ou un autre ? Le long de l'axe des x (OX) ou de l'axe des y (OY) ?
Eh bien, où serions-nous sans des calculs corrects ?) Cela implique de comprendre comment résoudre cet autre type d’intégrales et de corriger les calculs numériques.

Algorithme pour résoudre le problème du calcul de l'aire d'une figure délimitée par des lignes :

1. Nous construisons un dessin. Il est conseillé de le faire sur une feuille de papier à carreaux, à grande échelle. On signe le nom de cette fonction avec un crayon au dessus de chaque graphique. La signature des graphiques est effectuée uniquement pour faciliter les calculs ultérieurs. Après avoir reçu un graphique du chiffre souhaité, dans la plupart des cas, il sera immédiatement clair quelles limites d'intégration seront utilisées. Ainsi, nous résolvons le problème graphiquement. Cependant, il arrive que les valeurs des limites soient fractionnaires ou irrationnelles. Par conséquent, vous pouvez effectuer des calculs supplémentaires, passez à la deuxième étape.

2. Si les limites d'intégration ne sont pas explicitement spécifiées, alors nous trouvons les points d'intersection des graphiques entre eux et voyons si notre solution graphique avec analytique.

3. Ensuite, vous devez analyser le dessin. Selon la façon dont les graphiques de fonctions sont disposés, il existe différentes approches pour trouver l'aire d'une figure. Considérons différents exemples sur la recherche de l'aire d'une figure à l'aide d'intégrales.

3.1. La version la plus classique et la plus simple du problème consiste à trouver l'aire d'un trapèze courbe. Qu'est-ce qu'un trapèze courbe ? Il s'agit d'une figure plate limitée par l'axe des x (y = 0), droit x = une, x = b et toute courbe continue sur l'intervalle de un avant b. De plus, ce chiffre est non négatif et ne se situe pas en dessous de l'axe des x. Dans ce cas, l'aire du trapèze curviligne est numériquement égale à une certaine intégrale, calculée à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Exemple 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Par quelles lignes la figure est-elle délimitée ? Nous avons une parabole y = x2 – 3x + 3, qui est situé au dessus de l'axe OH, c'est non négatif, car tous les points de cette parabole ont des valeurs positives. Ensuite, étant donné les lignes droites x = 1 Et x = 3, qui sont parallèles à l'axe UO, sont les lignes de démarcation de la figure à gauche et à droite. Bien y = 0, c'est aussi l'axe des x, qui limite la figure par le bas. La figure résultante est ombrée, comme le montre la figure de gauche. Dans ce cas, vous pouvez immédiatement commencer à résoudre le problème. Nous avons devant nous un exemple simple de trapèze courbe, que nous résolvons ensuite à l'aide de la formule de Newton-Leibniz.

3.2. Dans le paragraphe 3.1 précédent, nous avons examiné le cas où un trapèze courbe est situé au-dessus de l'axe des x. Considérons maintenant le cas où les conditions du problème sont les mêmes, sauf que la fonction se situe sous l'axe des x. Un moins est ajouté à la formule standard de Newton-Leibniz. Nous examinerons ci-dessous comment résoudre un tel problème.

Exemple 2 . Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

DANS dans cet exemple nous avons une parabole y = x2 + 6x + 2, qui provient de l'axe OH, droit x = -4, x = -1, y = 0. Ici y = 0 limite le chiffre souhaité par le haut. Direct x = -4 Et x = -1 ce sont les limites à l'intérieur desquelles l'intégrale définie sera calculée. Le principe de résolution du problème de recherche de l'aire d'une figure coïncide presque complètement avec l'exemple numéro 1. La seule différence est que la fonction donnée n'est pas positive, et est également continue sur l'intervalle [-4; -1] . Comment ça, pas positif ? Comme le montre la figure, la figure qui se situe dans les x donnés a des coordonnées exclusivement « négatives », ce que nous devons voir et retenir lors de la résolution du problème. Nous recherchons l'aire de la figure à l'aide de la formule de Newton-Leibniz, uniquement avec un signe moins au début.

L'article n'est pas terminé.

Tâche n°3. Faire un dessin et calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes

Application de l'intégrale à la solution de problèmes appliqués

Calcul de superficie

L'intégrale définie d'une fonction continue non négative f(x) est numériquement égale à l'aire d'un trapèze curviligne délimité par la courbe y = f(x), l'axe O x et les droites x = a et x = b. Conformément à cela, la formule d'aire s'écrit comme suit :

Examinons quelques exemples de calcul des aires de figures planes.

Tâche n°1. Calculer l'aire délimitée par les lignes y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Solution. Construisons une figure dont nous devrons calculer l'aire.

y = x 2 + 1 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut et la parabole est décalée vers le haut d'une unité par rapport à l'axe O y (Figure 1).

Figure 1. Graphique de la fonction y = x 2 + 1

Tâche n° 2. Calculer l'aire délimitée par les lignes y = x 2 – 1, y = 0 dans la plage de 0 à 1.

Solution. Le graphique de cette fonction est une parabole de branches dirigées vers le haut, et la parabole est décalée d'une unité par rapport à l'axe O y vers le bas (Figure 2).

Figure 2. Graphique de la fonction y = x 2 – 1

Tâche n°3. Faire un dessin et calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes

y = 8 + 2x – x 2 et y = 2x – 4.

Solution. La première de ces deux droites est une parabole dont les branches sont dirigées vers le bas, puisque le coefficient de x 2 est négatif, et la deuxième droite est une droite coupant les deux axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, on trouve les coordonnées de son sommet : y’=2 – 2x ; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisse du sommet ; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 est son ordonnée, N(1;9) est son sommet.

Trouvons maintenant les points d’intersection de la parabole et de la droite en résolvant le système d’équations :

Égaliser les côtés droits d'une équation dont les côtés gauches sont égaux.

On obtient 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ou x 2 – 12 = 0, d'où .

Ainsi, les points sont les points d'intersection d'une parabole et d'une droite (Figure 1).

Figure 3 Graphiques des fonctions y = 8 + 2x – x 2 et y = 2x – 4

Construisons une droite y = 2x – 4. Elle passe par les points (0;-4), (2;0) sur les axes de coordonnées.

Pour construire une parabole, vous pouvez également utiliser ses points d'intersection avec l'axe 0x, c'est-à-dire les racines de l'équation 8 + 2x – x 2 = 0 ou x 2 – 2x – 8 = 0. En utilisant le théorème de Vieta, c'est facile pour trouver ses racines : x 1 = 2, x 2 = 4.

La figure 3 montre une figure (segment parabolique M 1 N M 2) délimitée par ces lignes.

La deuxième partie du problème est de trouver l'aire de cette figure. Son aire peut être trouvée à l'aide d'une intégrale définie selon la formule .

Appliqué à cette condition, on obtient l'intégrale :

2 Calcul du volume d'un corps de rotation

Le volume du corps obtenu à partir de la rotation de la courbe y = f(x) autour de l'axe O x est calculé par la formule :

Lors d'une rotation autour de l'axe O y, la formule ressemble à :

Tâche n°4. Déterminer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par des lignes droites x = 0 x = 3 et une courbe y = autour de l'axe O x.

Solution. Faisons un dessin (Figure 4).

Figure 4. Graphique de la fonction y =

Le volume requis est

Tâche n°5. Calculer le volume du corps obtenu à partir de la rotation d'un trapèze courbe délimité par la courbe y = x 2 et les droites y = 0 et y = 4 autour de l'axe O y.

Solution. Nous avons:

Questions de révision

Problème 1(à propos du calcul de l'aire d'un trapèze courbe).

Dans le système de coordonnées rectangulaires cartésiennes xOy, on donne une figure (voir figure) délimitée par l'axe des x, des droites x = a, x = b (a par un trapèze curviligne. Il faut calculer l'aire d'un curviligne trapèze.
Solution. La géométrie nous donne des recettes pour calculer les aires de polygones et de certaines parties d'un cercle (secteur, segment). En utilisant des considérations géométriques, nous ne pouvons trouver qu'une valeur approximative de la surface recherchée, en raisonnant comme suit.

Divisons le segment [a; b] (base d'un trapèze courbe) sur n parts égales; cette partition est réalisée à l'aide des points x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Traçons des lignes droites passant par ces points parallèlement à l’axe y. Ensuite, le trapèze curviligne donné sera divisé en n parties, en n colonnes étroites. L'aire de l'ensemble du trapèze est égale à la somme des aires des colonnes.

Considérons la k-ème colonne séparément, c'est-à-dire un trapèze courbe dont la base est un segment. Remplaçons-le par un rectangle de même base et de hauteur égale à f(x k) (voir figure). L'aire du rectangle est égale à $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, où $\Delta x_k $ est la longueur du segment ; Il est naturel de considérer le produit résultant comme une valeur approximative de l'aire de la kème colonne.

Si l'on fait maintenant de même avec toutes les autres colonnes, on arrivera au résultat suivant : l'aire S d'un trapèze curviligne donné est approximativement égale à l'aire S n d'une figure en escalier composée de n rectangles (voir figure) :
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Ici, par souci d'uniformité de notation, nous supposons que a = x 0, b = x n ; $\Delta x_0 $ - longueur du segment, $\Delta x_1 $ - longueur du segment, etc.; dans ce cas, comme nous l'avons convenu ci-dessus, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Donc, $S \approx S_n $, et cette égalité approximative est d’autant plus précise que plus n est grand.
Par définition, on pense que l'aire requise d'un trapèze curviligne est égale à la limite de la séquence (S n) :
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problème 2(à propos de déplacer un point)
Un point matériel se déplace en ligne droite. La dépendance de la vitesse au temps est exprimée par la formule v = v(t). Trouver le mouvement d'un point sur une période de temps [a; b].
Solution. Si le mouvement était uniforme, alors le problème serait résolu très simplement : s = vt, c'est-à-dire s = v(ba). Pour les mouvements inégaux, vous devez utiliser les mêmes idées sur lesquelles était basée la solution du problème précédent.
1) Divisez l'intervalle de temps [a; b] en n parties égales.
2) Considérons une période de temps et supposons que pendant cette période la vitesse était constante, la même qu'au temps t k. Nous supposons donc que v = v(t k).
3) Trouvons la valeur approximative du mouvement du point sur une période de temps, nous noterons cette valeur approximative par sk ;
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Trouver la valeur approximative du déplacement s :
$s \approx S_n $ où
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Le déplacement recherché est égal à la limite de la séquence (S n) :
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Résumons. Les solutions à divers problèmes ont été réduites au même modèle mathématique. De nombreux problèmes issus de divers domaines scientifiques et technologiques conduisent au même modèle en cours de résolution. Donc ça modèle mathématique doivent être spécialement étudiés.

Le concept d'intégrale définie

Donnons une description mathématique du modèle qui a été construit dans les trois problèmes considérés pour la fonction y = f(x), continue (mais pas nécessairement non négative, comme cela était supposé dans les problèmes considérés) sur l'intervalle [a; b] :
1) diviser le segment [a; b] en n parties égales ;
2) faites la somme $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculer $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Je sais analyse mathematique il a été prouvé que cette limite existe dans le cas d'une fonction continue (ou continue par morceaux). Il est appelé une certaine intégrale de la fonction y = f(x) sur le segment [a; b] et noté comme suit :
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Les nombres a et b sont appelés limites d'intégration (respectivement inférieure et supérieure).

Revenons aux tâches évoquées ci-dessus. La définition de la zone donnée dans le problème 1 peut maintenant être réécrite comme suit :
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ici S est l'aire du trapèze curviligne représenté dans la figure ci-dessus. C'est signification géométrique d’une intégrale définie.

La définition du déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b, donnée dans le problème 2, peut être réécrite comme suit :

Formule de Newton-Leibniz

Tout d'abord, répondons à la question : quel est le lien entre l'intégrale définie et la primitive ?

La réponse peut être trouvée dans le problème 2. D'une part, le déplacement s d'un point se déplaçant en ligne droite avec une vitesse v = v(t) sur la période de temps de t = a à t = b est calculé par la formule
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

D'un autre côté, la coordonnée d'un point en mouvement est une primitive de la vitesse - notons-la s(t) ; cela signifie que le déplacement s est exprimé par la formule s = s(b) - s(a). En conséquence nous obtenons :
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
où s(t) est la primitive de v(t).

Le théorème suivant a été prouvé au cours d’une analyse mathématique.
Théorème. Si la fonction y = f(x) est continue sur l'intervalle [a; b], alors la formule est valide
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
où F(x) est la primitive de f(x).

La formule donnée est généralement appelée Formule de Newton-Leibniz en l'honneur du physicien anglais Isaac Newton (1643-1727) et du philosophe allemand Gottfried Leibniz (1646-1716), qui l'ont reçu indépendamment l'un de l'autre et presque simultanément.

En pratique, au lieu d'écrire F(b) - F(a), ils utilisent la notation $\left. F(x)\right|_a^b $ (on l'appelle parfois double remplacement) et, en conséquence, réécrivez la formule de Newton-Leibniz sous cette forme :
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Lors du calcul d'une intégrale définie, recherchez d'abord la primitive, puis effectuez une double substitution.

Sur la base de la formule de Newton-Leibniz, nous pouvons obtenir deux propriétés de l'intégrale définie.

Propriété 1. L'intégrale de la somme des fonctions est égale à la somme des intégrales :
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Propriété 2. Le facteur constant peut être soustrait du signe intégral :
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Calculer les aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

En utilisant l'intégrale, vous pouvez calculer les aires non seulement de trapèzes courbes, mais également de figures planes d'un type plus complexe, par exemple celle illustrée sur la figure. La figure P est limitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions continues y = f(x), y = g(x), et sur le segment [a; b] l'inégalité $g(x) \leq f(x) $ est vraie. Pour calculer l’aire S d’une telle figure, nous procéderons de la manière suivante :
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Ainsi, l'aire S d'une figure délimitée par des droites x = a, x = b et des graphiques de fonctions y = f(x), y = g(x), continues sur le segment et telles que pour tout x du segment [un; b] l'inégalité $g(x) \leq f(x) $ est satisfaite, calculée par la formule
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

Passons maintenant aux applications du calcul intégral. Dans cette leçon, nous analyserons la tâche typique et la plus courante – comment utiliser une intégrale définie pour calculer l'aire d'une figure plane. Enfin, ceux qui recherchent un sens aux mathématiques supérieures puissent-ils le trouver. On ne sait jamais. Dans la vraie vie, vous devrez approximer un terrain de datcha à l'aide de fonctions élémentaires et trouver son aire à l'aide d'une intégrale définie.

Pour réussir à maîtriser la matière, vous devez :

1) Comprendre l'intégrale indéfinie au moins à un niveau intermédiaire. Ainsi, les nuls devraient d'abord lire la leçon Pas.

2) Être capable d'appliquer la formule de Newton-Leibniz et de calculer l'intégrale définie. Vous pouvez établir des relations amicales et chaleureuses avec certaines intégrales de la page Intégrale définie. Exemples de solutions.

En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc un problème beaucoup plus urgent. A cet égard, il est utile de rafraîchir votre mémoire des graphiques des principaux fonctions élémentaires, et, au minimum, être capable de construire une ligne droite, une parabole et une hyperbole. Cela peut être fait (pour beaucoup, c'est nécessaire) en utilisant matériel méthodologique et des articles sur les transformations géométriques des graphiques.

En fait, tout le monde est familier avec la tâche consistant à trouver l'aire à l'aide d'une intégrale définie depuis l'école, et nous n'irons pas beaucoup plus loin de programme scolaire. Cet article n'existait peut-être pas du tout, mais le fait est que le problème se produit dans 99 cas sur 100, lorsqu'un étudiant souffre d'une école détestée et maîtrise avec enthousiasme un cours de mathématiques supérieures.

Les supports de cet atelier sont présentés simplement, en détail et avec un minimum de théorie.

Commençons par un trapèze courbe.

Trapèze curviligne est une figure plate délimitée par un axe, des droites, et le graphique d'une fonction continue sur un intervalle qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que ce chiffre soit situé pas moins Axe des x :

Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique. À la leçon Intégrale définie. Exemples de solutions J'ai dit qu'une intégrale définie est un nombre. Et maintenant il est temps d’énoncer un autre fait utile. Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA.

C'est, l'intégrale définie (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. D'abord et le moment le plus important solutions - dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il vaut mieux construire toutes les lignes droites (si elles existent) et seulement Alors– paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions point par point, la technique de construction point par point se retrouve dans matériel de référence Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Vous y trouverez également du matériel très utile pour notre leçon - comment construire rapidement une parabole.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Complétons le dessin (notons que l'équation définit l'axe) :

Je n’ombragerai pas le trapèze incurvé ; il est évident ici de quelle zone nous parlons. La solution continue ainsi :

Sur le segment se trouve le graphique de la fonction au dessus de l'axe, C'est pourquoi:

Répondre:

Qui a des difficultés à calculer l'intégrale définie et à appliquer la formule de Newton-Leibniz , reportez-vous à la conférence Intégrale définie. Exemples de solutions.

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, nous comptons le nombre de cellules dans le dessin "à l'œil nu" - eh bien, il y en aura environ 9, ce qui semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 2

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes , et des axes

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

Que faire si le trapèze incurvé est localisé sous l'essieu ?

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution: Faisons un dessin :

Si un trapèze courbé est localisé sous l'essieu(ou, par au moins, pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :
Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucun signification géométrique, alors cela peut être négatif.

2) Si on vous demande de trouver l'aire d'une figure à l'aide d'une intégrale définie, alors l'aire est toujours positive ! C'est pourquoi le moins apparaît dans la formule qui vient d'être évoquée.

Dans la pratique, le plus souvent la figure est située à la fois dans le demi-plan supérieur et inférieur, et donc, des problèmes scolaires les plus simples, nous passons à des exemples plus significatifs.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par les lignes , .

Solution: Vous devez d’abord terminer le dessin. D'une manière générale, lors de la construction d'un dessin dans des problèmes de surface, nous nous intéressons surtout aux points d'intersection des lignes. Trouvons les points d'intersection de la parabole et de la droite. Ceci peut être fait de deux façons. La première méthode est analytique. On résout l'équation :

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .
Si possible, il vaut mieux ne pas utiliser cette méthode..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». La technique de construction point par point des différents graphiques est abordée en détail dans l'aide Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires. Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Je répète que lors de la construction ponctuelle, les limites de l'intégration sont le plus souvent découvertes « automatiquement ».

Et maintenant la formule de travail: S'il y a une fonction continue sur le segment Plus grand ou égal à une fonction continue , alors l'aire de la figure délimitée par les graphiques de ces fonctions et les droites , , peut être trouvée à l'aide de la formule :

Ici, vous n'avez plus besoin de penser à l'endroit où se trouve la figure - au-dessus de l'axe ou en dessous de l'axe et, en gros, il est important de savoir quel graphique est le PLUS ÉLEVÉ(par rapport à un autre graphique), et lequel est CI-DESSOUS.

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :

Répondre:

En fait, la formule scolaire de l'aire d'un trapèze curviligne dans le demi-plan inférieur (voir exemple simple n°3) est un cas particulier de la formule . Puisque l'axe est spécifié par l'équation et que le graphique de la fonction est situé pas plus haut axes, alors

Et maintenant quelques exemples pour votre propre solution

Exemple 5

Exemple 6

Trouvez l'aire de la figure délimitée par les lignes , .

Lors de la résolution de problèmes impliquant le calcul d’une aire à l’aide d’une intégrale définie, un incident amusant se produit parfois. Le dessin a été fait correctement, les calculs étaient corrects, mais par négligence... la zone du mauvais chiffre a été trouvée, c'est exactement comme ça que votre humble serviteur a fait des erreurs à plusieurs reprises. Ici cas réel de la vie:

Exemple 7

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Solution: Commençons par faire un dessin :

...Eh, le dessin est nul, mais tout semble lisible.

La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, en raison de l'inattention, un « problème » survient souvent : il faut trouver l'aire d'une figure qui est ombrée vert!

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies. Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'hyperbole.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Répondre:

Passons à une autre tâche significative.

Exemple 8

Calculer l'aire d'une figure délimitée par des lignes,
Présentons les équations sous forme « scolaire » et faisons un dessin point par point :

D'après le dessin, il est clair que notre limite supérieure est « bonne » : .
Mais quelle est la limite inférieure ?! Il est clair que ce n’est pas un entier, mais qu’est-ce que c’est ? Peut être ? Mais où est la garantie que le dessin est réalisé avec une parfaite précision, il se pourrait bien que... Ou la racine. Et si nous avions mal construit le graphique ?

Dans de tels cas, vous devez consacrer plus de temps et clarifier analytiquement les limites de l'intégration.

Trouvons les points d'intersection d'une droite et d'une parabole.
Pour ce faire, nous résolvons l'équation :

,

Vraiment, .

La solution supplémentaire est triviale, l'essentiel est de ne pas se confondre dans les substitutions et les signes ; les calculs ici ne sont pas des plus simples ;

Sur le segment , selon la formule correspondante :

Répondre:

Eh bien, à la fin de la leçon, examinons deux tâches plus difficiles.

Exemple 9

Calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes , ,

Solution: Représentons cette figure dans le dessin.

Bon sang, j'ai oublié de signer le planning et, désolé, je ne voulais pas refaire la photo. Pas un jour de dessin, bref, aujourd'hui c'est le jour =)

Pour une construction point par point il faut savoir apparence sinusoïdes (et généralement utile de connaître graphiques de toutes les fonctions élémentaires), ainsi que certaines valeurs sinusoïdales, on les trouve dans table trigonométrique. Dans certains cas (comme dans ce cas), il est possible de construire un dessin schématique sur lequel les graphiques et les limites d'intégration doivent être fondamentalement correctement affichés.

Il n'y a ici aucun problème avec les limites d'intégration ; elles découlent directement de la condition : « x » passe de zéro à « pi ». Prenons une autre décision :

Sur le segment, le graphique de la fonction est situé au dessus de l'axe, donc :

En fait, pour trouver l’aire d’une figure, vous n’avez pas besoin de beaucoup de connaissances sur l’intégrale indéfinie et définie. La tâche « calculer l’aire à l’aide d’une intégrale définie » implique toujours la construction d’un dessin, vos connaissances et vos compétences en dessin seront donc un problème beaucoup plus urgent. À cet égard, il est utile de se rafraîchir la mémoire des graphiques des fonctions élémentaires de base, et, au minimum, d'être capable de construire une droite et une hyperbole.

Un trapèze courbe est une figure plate délimitée par un axe, des droites et le graphique d'une fonction continue sur un segment qui ne change pas de signe sur cet intervalle. Que ce chiffre soit situé pas moins Axe des x :

Alors l'aire d'un trapèze curviligne est numériquement égale à une intégrale définie. Toute intégrale définie (qui existe) a une très bonne signification géométrique.

Du point de vue de la géométrie, l'intégrale définie est AREA.

C'est, une certaine intégrale (si elle existe) correspond géométriquement à l'aire d'une certaine figure. Par exemple, considérons l'intégrale définie. L'intégrande définit une courbe sur le plan situé au dessus de l'axe (ceux qui le souhaitent peuvent faire un dessin), et l'intégrale définie elle-même est numériquement égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant.

Exemple 1

Il s’agit d’une déclaration d’affectation typique. Le premier et le plus important point de la décision est la construction du dessin. De plus, le dessin doit être construit DROITE.

Lors de la construction d'un dessin, je recommande l'ordre suivant : d'abord il vaut mieux construire toutes les lignes droites (si elles existent) et seulement Alors- paraboles, hyperboles, graphiques d'autres fonctions. Il est plus rentable de construire des graphiques de fonctions point par point.

Dans ce problème, la solution pourrait ressembler à ceci.
Complétons le dessin (notons que l'équation définit l'axe) :

Sur le segment se trouve le graphique de la fonction au dessus de l'axe, C'est pourquoi:

Répondre:

Une fois la tâche terminée, il est toujours utile de regarder le dessin et de déterminer si la réponse est réelle. Dans ce cas, "à l'œil nu", nous comptons le nombre de cellules dans le dessin - eh bien, il y en aura environ 9, cela semble être vrai. Il est tout à fait clair que si nous obtenons, disons, la réponse : 20 unités carrées, alors il est évident qu'une erreur a été commise quelque part - 20 cellules ne rentrent évidemment pas dans le chiffre en question, au maximum une douzaine. Si la réponse est négative, cela signifie que la tâche a également été mal résolue.

Exemple 3

Calculez l'aire de la figure délimitée par des lignes et des axes de coordonnées.

Solution: Faisons un dessin :

Si un trapèze courbé est localisé sous l'essieu(ou au moins pas plus haut axe donné), alors son aire peut être trouvée à l'aide de la formule :

Dans ce cas:

Attention! Il ne faut pas confondre les deux types de tâches:

1) Si on vous demande de résoudre simplement une intégrale définie sans aucune signification géométrique, alors elle peut être négative.

Exemple 4

Trouver l'aire d'une figure plane délimitée par les lignes , .

Cela signifie que la limite inférieure d'intégration est , la limite supérieure d'intégration est .

Si possible, il vaut mieux ne pas utiliser cette méthode..

Il est beaucoup plus rentable et plus rapide de construire des lignes point par point, et les limites de l'intégration apparaissent « d'elles-mêmes ». Néanmoins, la méthode analytique de recherche des limites doit encore parfois être utilisée si, par exemple, le graphique est suffisamment grand ou si la construction détaillée n'a pas révélé les limites de l'intégration (elles peuvent être fractionnaires ou irrationnelles). Et nous considérerons également un tel exemple.

Revenons à notre tâche : il est plus rationnel de construire d'abord une ligne droite et ensuite seulement une parabole. Faisons le dessin :

Dans l'exemple considéré, il est évident que sur le segment la parabole est située au dessus de la droite, et il faut donc soustraire de

La solution terminée pourrait ressembler à ceci :

La figure souhaitée est limitée par une parabole au-dessus et une droite en dessous.
Sur le segment, selon la formule correspondante :

Répondre:

Exemple 4

Calculez l'aire de la figure délimitée par les lignes , , , .

Solution: Commençons par faire un dessin :

La figure dont nous devons trouver l’aire est ombrée en bleu(regardez attentivement l'état - comme le chiffre est limité !). Mais dans la pratique, par inattention, un « problème » se produit souvent : il faut trouver l'aire d'une figure ombrée en vert !

Cet exemple est également utile dans la mesure où il calcule l'aire d'une figure en utilisant deux intégrales définies.

Vraiment:

1) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'une ligne droite ;

2) Sur le segment au-dessus de l'axe se trouve un graphique d'hyperbole.

Il est bien évident que les zones peuvent (et doivent) être ajoutées, donc :

Peintures, visage, manucure, shampoings. Soins de la peau

Comment calculer la surface délimitée par des lignes. Intégrale définie

Tâche n°3. Faire un dessin et calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes

Le concept d'intégrale définie

Formule de Newton-Leibniz

Calculer les aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

Tâche n°3. Faire un dessin et calculer l'aire de la figure délimitée par les lignes

Le concept d'intégrale définie

Formule de Newton-Leibniz

Calculer les aires de figures planes à l'aide d'une intégrale définie

Tableau des intégrales indéfinies (primitives) de certaines fonctions

Intégrale définie. Comment calculer l'aire d'une figure

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