Que leurs probabilités et les probabilités conditionnelles correspondantes soient connues. La probabilité que l’événement se produise est alors :

Cette formule s'appelle formules de probabilité totale. Dans les manuels, il est formulé sous la forme d'un théorème dont la preuve est élémentaire : d'après algèbre des événements, (un événement s'est produit Et ou un événement s'est produit Et après est arrivé un événement ou un événement s'est produit Et après est arrivé un événement ou …. ou un événement s'est produit Et après est arrivé un événement). Puisque les hypothèses sont incompatibles, et l'événement est dépendant, alors selon le théorème d'addition de probabilités d'événements incompatibles (premier pas) Et le théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants (deuxième étape):

Beaucoup de gens anticipent probablement le contenu du premier exemple =)

Partout où vous crachez, il y a une urne :

Problème 1

Il y a trois urnes identiques. La première urne contient 4 boules blanches et 7 boules noires, la seconde ne contient que des boules blanches et la troisième ne contient que des boules noires. Une urne est sélectionnée au hasard et une boule en est tirée au hasard. Quelle est la probabilité que cette boule soit noire ?

Solution: considérez l'événement - une boule noire sera tirée d'une urne choisie au hasard. Cet evènement peut survenir à la suite de l’une des hypothèses suivantes :
– la 1ère urne sera sélectionnée ;
– la 2ème urne sera sélectionnée ;
– la 3ème urne sera sélectionnée.

Puisque l'urne est choisie au hasard, le choix de l'une des trois urnes tout aussi possible, ainsi:

Veuillez noter que les hypothèses ci-dessus forment groupe complet d'événements, c'est-à-dire que, selon la condition, une boule noire ne peut sortir que de ces urnes et, par exemple, ne peut pas provenir d'une table de billard. Faisons une simple vérification intermédiaire :
, OK, passons à autre chose :

La première urne contient 4 blanches + 7 noires = 11 boules chacune définition classique:
– probabilité de tirer une boule noire étant donné que, que la 1ère urne sera sélectionnée.

La deuxième urne ne contient que des boules blanches, donc si choisi l'apparence de la boule noire devient impossible: .

Et enfin, la troisième urne ne contient que des boules noires, ce qui signifie les boules correspondantes. probabilite conditionnelle extraire la boule noire sera (l'événement est fiable).

– la probabilité qu’une boule noire soit tirée d’une urne choisie au hasard.

Répondre:

L’exemple analysé suggère à nouveau à quel point il est important d’approfondir la CONDITION. Prenons les mêmes problèmes avec les urnes et les boules - malgré leur similitude externe, les méthodes de solution peuvent être complètement différentes : quelque part, il suffit d'utiliser définition classique de la probabilité, quelque part des événements indépendant, quelque part dépendant, et quelque part nous parlons d'hypothèses. Dans le même temps, il n'existe pas de critère formel clair pour choisir une solution - il faut presque toujours y penser. Comment améliorer vos compétences ? On décide, on décide et on décide encore !

Problème 2

Le stand de tir dispose de 5 fusils de précision variable. Les probabilités d'atteindre la cible pour un tireur donné sont respectivement égales à 0,5 ; 0,55 ; 0,7 ; 0,75 et 0,4. Quelle est la probabilité d’atteindre la cible si le tireur tire un coup avec un fusil choisi au hasard ?

Solution rapide et la réponse à la fin de la leçon.

En majorité tâches thématiques Bien entendu, les hypothèses ne sont pas également probables :

Problème 3

Il y a 5 fusils dans la pyramide, dont trois sont équipés d'un viseur optique. La probabilité qu'un tireur atteigne la cible en tirant avec un fusil à lunette de visée est de 0,95 ; pour une carabine sans viseur optique, cette probabilité est de 0,7. Trouvez la probabilité que la cible soit touchée si le tireur tire un coup avec un fusil pris au hasard.

Solution: dans ce problème le nombre de fusils est exactement le même que dans le précédent, mais il n'y a que deux hypothèses :
– le tireur sélectionnera une carabine à viseur optique ;
– le tireur choisira une carabine sans viseur optique.
Par définition classique de la probabilité: .
Contrôle:

Considérons l'événement : – un tireur touche une cible avec un fusil pris au hasard.
Par condition : .

D'après la formule de probabilité totale :

Répondre: 0,85

En pratique, une manière abrégée de formater une tâche, que vous connaissez également, est tout à fait acceptable :

Solution: selon la définition classique : – les probabilités de choisir respectivement un fusil avec viseur optique et sans viseur optique.

Par condition, – la probabilité de toucher la cible avec les types de fusils correspondants.

D'après la formule de probabilité totale :
- la probabilité qu'un tireur touche une cible avec un fusil choisi au hasard.

Répondre: 0,85

La tâche suivante est à résoudre par vous-même :

Problème 4

Le moteur fonctionne selon trois modes : normal, forcé et ralenti. En mode veille, la probabilité de défaillance est de 0,05, en mode de fonctionnement normal – 0,1 et en mode forcé – 0,7. 70 % du temps le moteur fonctionne en mode normal, et 20 % en mode forcé. Quelle est la probabilité de panne moteur pendant le fonctionnement ?

Au cas où, je vous rappelle que pour obtenir les valeurs de probabilité, il faut diviser les pourcentages par 100. Soyez très prudent ! D'après mes observations, les gens essaient souvent de confondre les conditions des problèmes impliquant la formule de probabilité totale ; et j'ai spécifiquement choisi cet exemple. Je vais te dire un secret - j'ai failli me perdre moi-même =)

Solution à la fin de la leçon (formatée de manière courte)

Problèmes d'utilisation des formules de Bayes

Le matériel est étroitement lié au contenu du paragraphe précédent. Laissez l'événement se produire à la suite de la mise en œuvre de l'une des hypothèses . Comment déterminer la probabilité qu’une hypothèse particulière se réalise ?

Étant donné que cet événement c'est déjà arrivé, probabilités d'hypothèse surestimé selon les formules qui ont reçu le nom du prêtre anglais Thomas Bayes :

– la probabilité que l'hypothèse se soit réalisée ;
– la probabilité que l'hypothèse se soit réalisée ;
…
– la probabilité que l'hypothèse se soit réalisée.

À première vue, cela semble complètement absurde : pourquoi recalculer les probabilités des hypothèses si elles sont déjà connues ? Mais en fait il y a une différence :

- Ce a priori(estimé avant tests) probabilité.

- Ce a postériori(estimé après tests) probabilités des mêmes hypothèses, recalculées en relation avec des « circonstances nouvellement découvertes » - en tenant compte du fait que l'événement c'est définitivement arrivé.

Regardons cette différence exemple spécifique:

Problème 5

2 lots de produits sont arrivés à l'entrepôt : le premier - 4000 pièces, le second - 6000 pièces. Le pourcentage moyen de produits non standard dans le premier lot est de 20 % et dans le second de 10 %. Le produit pris au hasard dans l'entrepôt s'est avéré standard. Trouvez la probabilité que ce soit : a) du premier lot, b) du deuxième lot.

Première partie solutions consiste à utiliser la formule de probabilité totale. En d’autres termes, les calculs sont effectués en supposant que le test pas encore produit et événement "le produit s'est avéré standard" pas encore.

Considérons deux hypothèses :
– un produit tiré au sort sera issu du 1er lot ;
– un produit tiré au sort sera issu du 2ème lot.

Total : 4000 + 6000 = 10000 articles en stock. Selon la définition classique :
.

Contrôle:

Considérons l'événement dépendant : – un produit pris au hasard dans l'entrepôt volonté standard.

Dans le premier lot 100% – 20% = 80% de produits standards donc : étant donné que qu'il appartient au 1er parti.

De même, dans le deuxième lot 100 % - 10 % = 90 % de produits standards et – la probabilité qu’un produit pris au hasard dans un entrepôt soit standard étant donné que qu'il appartient au 2ème parti.

D'après la formule de probabilité totale :
– la probabilité qu'un produit pris au hasard dans un entrepôt soit standard.

Deuxième partie. Qu'un produit pris au hasard dans un entrepôt se révèle standard. Cette phrase est directement énoncée dans la condition et indique le fait que l'événement arrivé.

D'après les formules de Bayes :

a) est la probabilité que le produit standard sélectionné appartienne au 1er lot ;

b) est la probabilité que le produit standard sélectionné appartienne au 2ème lot.

Après réévaluation des hypothèses, bien sûr, se forment encore groupe complet:
(examen;-))

Répondre:

Ivan Vasilyevich, qui a de nouveau changé de métier et est devenu directeur de l'usine, nous aidera à comprendre le sens de la réévaluation des hypothèses. Il sait qu'aujourd'hui le 1er atelier a expédié 4 000 produits à l'entrepôt, et le 2ème atelier - 6 000 produits, et vient s'en assurer. Supposons que tous les produits soient du même type et se trouvent dans le même conteneur. Naturellement, Ivan Vasilyevich a calculé au préalable que le produit qu'il allait maintenant retirer pour inspection serait très probablement fabriqué par le 1er atelier et très probablement par le second. Mais une fois que le produit choisi s'est avéré standard, il s'exclame : « Quel boulon cool ! "C'était plutôt libéré dès le 2ème atelier." Ainsi, la probabilité de la deuxième hypothèse est surestimée de meilleur côté, et la probabilité de la première hypothèse est sous-estimée : . Et cette revalorisation n'est pas sans fondement - après tout, le 2ème atelier a non seulement fabriqué plus de produits, mais fonctionne aussi 2 fois mieux !

Du pur subjectivisme, dites-vous ? En partie - oui, d'ailleurs, Bayes lui-même a interprété a postériori probabilités comme Niveau de confiance. Cependant, tout n'est pas si simple : il y a aussi un grain objectif dans l'approche bayésienne. Après tout, la probabilité que le produit soit standard (0,8 et 0,9 pour le 1er et le 2ème ateliers respectivement) Ce préliminaire(a priori) et moyenneévaluations. Mais, philosophiquement parlant, tout coule, tout change, y compris les probabilités. Il est fort possible que au moment de l'étude le 2ème atelier, plus réussi, a augmenté le pourcentage de production de produits standards (et/ou le 1er atelier réduit), et si vous vérifiez un plus grand nombre ou les 10 000 produits dans l'entrepôt, les valeurs surestimées se révéleront beaucoup plus proches de la vérité.

D'ailleurs, si Ivan Vasilyevich extrait une pièce non standard, alors au contraire, il sera plus « méfiant » envers le 1er atelier et moins envers le second. Je vous suggère de vérifier ceci par vous-même :

Problème 6

2 lots de produits sont arrivés à l'entrepôt : le premier - 4000 pièces, le second - 6000 pièces. Le pourcentage moyen de produits non standard dans le premier lot est de 20 %, dans le second de 10 %. Le produit pris au hasard dans l'entrepôt s'est avéré être Pas standard. Trouvez la probabilité que ce soit : a) du premier lot, b) du deuxième lot.

La condition se distingue par deux lettres, que j'ai soulignées en gras. Le problème peut être résolu à partir de zéro ou en utilisant les résultats de calculs précédents. Dans l'exemple, j'ai réalisé une solution complète, mais afin d'éviter tout chevauchement formel avec le problème n°5, l'événement « un produit pris au hasard dans un entrepôt sera hors norme » indiqué par .

Le schéma bayésien de réestimation des probabilités est présent partout et il est également activement exploité par divers types d’escrocs. Prenons l’exemple d’une société par actions à trois lettres devenue célèbre, qui attire les dépôts du public, les investit soi-disant quelque part, verse régulièrement des dividendes, etc. Ce qui se passe? Jour après jour, mois après mois, et de plus en plus de faits nouveaux, véhiculés par la publicité et le bouche à oreille, ne font qu'augmenter le niveau de confiance dans la pyramide financière. (réestimation bayésienne a posteriori due à des événements passés !). Autrement dit, aux yeux des investisseurs, il y a une augmentation constante de la probabilité que "c'est une entreprise sérieuse"; tandis que la probabilité de l'hypothèse opposée (« ce ne sont que des escrocs supplémentaires »), bien sûr, diminue et diminue. Ce qui suit, je pense, est clair. Il est à noter que la réputation acquise donne aux organisateurs le temps de se cacher avec succès d'Ivan Vasilyevich, qui s'est retrouvé non seulement sans un lot de boulons, mais également sans pantalon.

Nous reviendrons un peu plus tard sur des exemples tout aussi intéressants, mais pour l’instant la prochaine étape est peut-être le cas le plus courant avec trois hypothèses :

Problème 7

Les lampes électriques sont fabriquées dans trois usines. La 1ère usine produit 30% du nombre total de lampes, la 2ème - 55% et la 3ème - le reste. Les produits de la 1ère usine contiennent 1% de lampes défectueuses, la 2ème - 1,5%, la 3ème - 2%. Le magasin reçoit des produits des trois usines. La lampe achetée s'est avérée défectueuse. Quelle est la probabilité qu’il ait été produit par l’usine 2 ?

Notez que dans les problèmes sur les formules de Bayes dans la condition Nécessairement il y a un certain ce qui s'est passéévénement, en l’occurrence l’achat d’une lampe.

Les événements se sont multipliés et solution Il est plus pratique de l’organiser dans un style « rapide ».

L'algorithme est exactement le même : dans un premier temps, nous trouvons la probabilité que la lampe achetée soit il s'avère défectueux.

À l'aide des données initiales, nous convertissons les pourcentages en probabilités :
– la probabilité que la lampe ait été produite respectivement par la 1ère, la 2ème et la 3ème usine.
Contrôle:

De même : – la probabilité de produire une lampe défectueuse pour les usines correspondantes.

D'après la formule de probabilité totale :

– la probabilité que la lampe achetée soit défectueuse.

Deuxième étape. Que la lampe achetée se révèle défectueuse (l'événement s'est produit)

D'après la formule de Bayes :
– la probabilité que la lampe défectueuse achetée ait été fabriquée par une deuxième usine

Répondre:

Pourquoi la probabilité initiale de la 2ème hypothèse a-t-elle augmenté après la réévaluation ? Après tout, la deuxième usine produit des lampes de qualité moyenne (la première est meilleure, la troisième est pire). Alors pourquoi a-t-il augmenté a postériori Est-il possible que la lampe défectueuse provienne de la 2ème usine ? Cela ne s’explique plus par la « réputation », mais par la taille. Puisque l'usine n°2 produisait le plus un grand nombre de lampes, alors ils lui reprochent (au moins subjectivement) : "très probablement, cette lampe défectueuse vient de là".

Il est intéressant de noter que les probabilités des 1ère et 3ème hypothèses ont été surestimées dans les directions attendues et sont devenues égales :

Contrôle: , c'est ce qui devait être vérifié.

À propos, à propos des estimations sous-estimées et surestimées :

Problème 8

Il y a 3 personnes dans le groupe étudiant haut niveau formation, 19 personnes – moyenne et 3 – faible. Les probabilités de réussite à l'examen pour ces étudiants sont respectivement égales à : 0,95 ; 0,7 et 0,4. On sait qu'un étudiant a réussi l'examen. Quelle est la probabilité que :

a) il était très bien préparé ;
b) était moyennement préparé ;
c) était mal préparé.

Effectuer des calculs et analyser les résultats de la réévaluation des hypothèses.

La tâche est proche de la réalité et est particulièrement plausible pour un groupe d'étudiants à temps partiel, où l'enseignant n'a pratiquement aucune connaissance des capacités d'un élève en particulier. Dans ce cas, le résultat peut avoir des conséquences tout à fait inattendues. (surtout pour les examens du 1er semestre). Si un élève mal préparé a la chance d'obtenir un ticket, alors l'enseignant le considérera probablement comme un bon élève ou même un élève fort, ce qui apportera de bons dividendes à l'avenir. (bien sûr, il faut « relever la barre » et entretenir son image). Si un étudiant a étudié, bachoté et répété pendant 7 jours et 7 nuits, mais n'a tout simplement pas eu de chance, alors d'autres événements peuvent se développer de la pire des manières - avec de nombreuses reprises et un équilibre au bord de l'élimination.

Il va sans dire que la réputation est le capital le plus important ; ce n'est pas un hasard si de nombreuses entreprises portent les noms de leurs pères fondateurs, qui ont dirigé l'entreprise il y a 100 à 200 ans et sont devenus célèbres pour leur réputation irréprochable.

Oui, l’approche bayésienne est dans une certaine mesure subjective, mais… c’est ainsi que fonctionne la vie !

Consolidons le matériel avec un dernier exemple industriel, dans lequel je parlerai des subtilités techniques jusqu'ici inconnues de la solution :

Problème 9

Trois ateliers de l'usine produisent le même type de pièces, qui sont envoyées dans un conteneur commun pour assemblage. On sait que le premier atelier produit 2 fois plus de pièces que le deuxième atelier, et 4 fois plus que le troisième atelier. Dans le premier atelier, le taux de défauts est de 12 %, dans le deuxième de 8 %, dans le troisième de 4 %. Pour le contrôle, une partie est prélevée du conteneur. Quelle est la probabilité qu'il soit défectueux ? Quelle est la probabilité que la pièce défectueuse extraite ait été fabriquée par le 3ème atelier ?

Ivan Vasilyevich est à nouveau à cheval =) Le film doit avoir une fin heureuse =)

Solution: contrairement aux problèmes n°5 à 8, ici une question est explicitement posée, qui est résolue à l'aide de la formule de probabilité totale. Mais d'un autre côté, la condition est un peu « cryptée », et la compétence scolaire consistant à composer des équations simples nous aidera à résoudre cette énigme. Il est pratique de prendre la plus petite valeur comme « x » :

Soit la part des pièces produites par le troisième atelier.

Selon la condition, le premier atelier produit 4 fois plus que le troisième atelier, donc la part du 1er atelier est de .

De plus, le premier atelier fabrique 2 fois plus de produits que le deuxième atelier, soit la part de ce dernier : .

Créons et résolvons l'équation :

Ainsi : – la probabilité que la pièce sortie du conteneur ait été fabriquée respectivement par les 1er, 2ème et 3ème ateliers.

Contrôle: . De plus, cela ne ferait pas de mal de revoir la phrase « On sait que le premier atelier fabrique des produits 2 fois plus que le deuxième atelier et 4 fois plus grand que le troisième atelier" et assurez-vous que les valeurs de probabilité obtenues correspondent réellement à cette condition.

Dans un premier temps, on pourrait prendre la part du 1er ou la part du 2ème atelier comme « X » – les probabilités seraient les mêmes. Mais, d’une manière ou d’une autre, le plus difficile a été franchi et la solution est en bonne voie :

De la condition on trouve :
– la probabilité de produire une pièce défectueuse pour les ateliers correspondants.

D'après la formule de probabilité totale :
– la probabilité qu’une pièce retirée aléatoirement d’un conteneur se révèle non standard.

Deuxième question : quelle est la probabilité que la pièce défectueuse extraite ait été fabriquée par le 3ème atelier ? Cette question suppose que la pièce a déjà été retirée et qu'elle s'est avérée défectueuse. Nous réévaluons l'hypothèse à l'aide de la formule de Bayes :
– la probabilité souhaitée. Tout à fait attendu - après tout, le troisième atelier produit non seulement la plus petite proportion de pièces, mais est également leader en termes de qualité !

Dans ce cas il fallait simplifier une fraction de quatre étages, ce que vous devez faire assez souvent dans les problèmes utilisant les formules de Bayes. Mais pour cette leçon, j'ai sélectionné au hasard des exemples dans lesquels de nombreux calculs peuvent être effectués sans fractions ordinaires.

Puisque la condition ne contient pas les points « a » et « be », alors il est préférable de fournir la réponse avec des commentaires textuels :

Répondre: – la probabilité qu'une pièce retirée du conteneur soit défectueuse ; – la probabilité que la pièce défectueuse extraite ait été réalisée par le 3ème atelier.

Comme vous pouvez le constater, les problèmes liés à la formule de probabilité totale et à la formule de Bayes sont assez simples et, probablement pour cette raison, ils tentent si souvent de compliquer la condition que j'ai déjà mentionnée au début de l'article.

Des exemples supplémentaires sont dans le fichier avec solutions prêtes à l'emploi pour F.P.V. et formules Bayes, en outre, il y aura probablement ceux qui voudront se familiariser plus en profondeur avec ce sujet dans d'autres sources. Et le sujet est vraiment très intéressant – qu’est-ce que ça vaut ? Le paradoxe de Bayes, ce qui justifie le conseil quotidien selon lequel si une personne reçoit un diagnostic de maladie rare, il est alors logique qu'elle procède à un nouvel examen, voire à deux examens indépendants répétés. Il semblerait qu'ils le fassent uniquement par désespoir... - mais non ! Mais ne parlons pas de choses tristes.

est la probabilité qu'un étudiant sélectionné au hasard réussisse l'examen.
Laissez l'étudiant réussir l'examen. D'après les formules de Bayes :
UN) – la probabilité que l'étudiant qui a réussi l'examen ait été très bien préparé. La probabilité objective initiale s'avère surestimée, puisque presque toujours certains étudiants « moyens » ont de la chance avec les questions et répondent très fortement, ce qui donne l'impression erronée d'une préparation impeccable.
b) – la probabilité que l'étudiant qui a réussi l'examen ait été moyennement préparé. La probabilité initiale s’avère légèrement surestimée, car les étudiants avec un niveau de préparation moyen sont généralement majoritaires, de plus, ici l'enseignant inclura des étudiants « excellents » qui ont répondu sans succès, et parfois un élève peu performant qui a eu beaucoup de chance avec un ticket.
V) – la probabilité que l'étudiant qui a passé l'examen ait été mal préparé. La probabilité initiale a été surestimée pour le pire. Pas étonnant.
Examen:
Répondre :

Lors de l’élaboration de la formule de probabilité totale, on a supposé que les probabilités des hypothèses étaient connues avant l’expérience. La formule de Bayes permet de réévaluer les hypothèses initiales à la lumière de nouvelles informations, à savoir qu'un événement arrivé. Par conséquent, la formule de Bayes est appelée formule de raffinement d’hypothèse.

Théorème (formule de Bayes). Si l'événement ne peut se produire qu’avec l’une des hypothèses
, qui forme groupe completévénements, alors la probabilité des hypothèses à condition que l'événement s'est produit, calculé par la formule

,
.

Preuve.

Formule de Bayes ou approche bayésienne des jeux d'évaluation d'hypothèses rôle important en économie, parce que permet de corriger les décisions de gestion, les estimations de paramètres de distribution inconnus des caractéristiques étudiées en analyse statistique, etc.

Exemple. Les lampes électriques sont fabriquées dans deux usines. La première usine produit 60 % du nombre total de lampes électriques, la seconde 40 %. Les produits de la première usine contiennent 70 % de lampes standards, la seconde - 80 %. Le magasin reçoit des produits des deux usines. L'ampoule achetée en magasin s'est avérée standard. Trouvez la probabilité que la lampe ait été fabriquée dans la première usine.

Écrivons l'état du problème, en introduisant la notation appropriée.

Donné: événement c'est que la lampe est standard.

Hypothèse
c'est que la lampe a été fabriquée dans la première usine

Hypothèse
c'est que la lampe a été fabriquée dans une deuxième usine

Trouver
.

Solution.

5. Tests indépendants répétés. La formule de Bernoulli

Regardons le schéma tests indépendants ou Schéma de Bernoulli, qui a une importance scientifique importante et une variété d’applications pratiques.

Qu'il soit produit tests indépendants, dans chacun desquels un événement peut se produire .

Définition. Essais sont appelésindépendant , si dans chacun d'eux il y a un événement

, que l'événement soit apparu ou non
dans d'autres épreuves.

Exemple. 20 lampes à incandescence ont été placées sur le banc d'essai, qui ont été testées en charge pendant 1 000 heures. La probabilité que la lampe réussisse le test est de 0,8 et est indépendante de ce qui est arrivé aux autres lampes.

Dans cet exemple, le test consiste à vérifier la capacité de la lampe à résister à la charge pendant 1 000 heures. Le nombre de tests est donc égal à
. Dans chaque essai individuel, seuls deux résultats sont possibles :

Définition. Une série d'essais indépendants répétés, dans chacun desquels un événement
se produit avec la même probabilité
, indépendant du numéro de test, est appeléSchéma de Bernoulli.

Probabilité de l'événement inverse dénoter
, et, comme cela a été prouvé ci-dessus,

Théorème. Dans les conditions du schéma de Bernoulli, la probabilité qu'à événement de test indépendant apparaîtra
fois, déterminés par la formule

Où
nombre de tests indépendants effectués ;

nombre d'occurrences de l'événement
;

probabilité qu'un événement se produise
dans un procès distinct ;

probabilité qu'un événement ne se produise pas
dans un procès distinct ;

Lors du calcul de la formule de probabilité totale, il a été supposé que l'événement UN, dont il fallait déterminer la probabilité, pourrait arriver à l'un des événements N 1 , N 2 , ... , Nn, formant un groupe complet d'événements incompatibles par paires. De plus, les probabilités de ces événements (hypothèses) étaient connues à l’avance. Supposons qu'une expérience ait été réalisée, à la suite de laquelle l'événement UN c'est arrivé. Ce Informations Complémentaires permet de réévaluer les probabilités des hypothèses N je, avoir calculé P(H i /A).

ou, en utilisant la formule de probabilité totale, nous obtenons

Cette formule est appelée formule de Bayes ou théorème d'hypothèse. La formule de Bayes vous permet de « réviser » les probabilités des hypothèses une fois qu'elles deviennent résultat connu expérience qui a abouti à l'événement UN.

Probabilités Р(Нi)− ce sont les probabilités a priori des hypothèses (elles sont calculées avant l'expérience). Les probabilités P(H i /A)− ce sont les probabilités a posteriori des hypothèses (elles sont calculées après l'expérience). La formule de Bayes permet de calculer des probabilités a posteriori à partir de leurs probabilités antérieures et des probabilités conditionnelles d'un événement UN.

Exemple. On sait que 5 % de tous les hommes et 0,25 % de toutes les femmes sont daltoniens. Une personne sélectionnée au hasard en fonction de son numéro de carte médicale souffre de daltonisme. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ?

Solution. Événement UN– une personne souffre de daltonisme. Espace d'événements élémentaires pour l'expérimentation – ​​une personne est sélectionnée par numéro de carte médicale – Ω = ( N 1 , N 2 ) se compose de 2 événements :

N 1 - un homme est sélectionné,

N 2 - une femme est sélectionnée.

Ces événements peuvent être sélectionnés comme hypothèses.

Selon les conditions du problème (choix aléatoire), les probabilités de ces événements sont les mêmes et égales P(N 1 ) = 0.5; P(N 2 ) = 0.5.

Dans ce cas, les probabilités conditionnelles qu'une personne souffre de daltonisme sont égales, respectivement :

COURU 1 ) = 0.05 = 1/20; COURU 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Puisqu’on sait que la personne sélectionnée est daltonienne, c’est-à-dire que l’événement s’est produit, nous utilisons la formule de Bayes pour réévaluer la première hypothèse :

Exemple. Il y a trois cases identiques. La première boîte contient 20 boules blanches, la deuxième boîte contient 10 boules blanches et 10 boules noires et la troisième boîte contient 20 boules noires. Une boule blanche est tirée d’une case choisie au hasard. Calculez la probabilité que la balle soit tirée de la première case.

Solution. Notons par UNévénement - l'apparition d'une boule blanche. Trois hypothèses (hypothèses) peuvent être formulées quant au choix de la box : N 1 ,N 2 , N 3 – sélection de la première, deuxième et troisième case respectivement.

Puisque le choix de n’importe laquelle des cases est également possible, les probabilités des hypothèses sont les mêmes :

P(N 1 )=P(N 2 )=P(N 3 )= 1/3.

D’après le problème, la probabilité de tirer une boule blanche de la première case est

Probabilité de tirer une boule blanche de la deuxième case

Probabilité de tirer une boule blanche de la troisième case

On trouve la probabilité souhaitée à l'aide de la formule de Bayes :

Répétition des tests. La formule de Bernoulli.

N essais sont effectués, dans chacun desquels l'événement A peut se produire ou non, et la probabilité de l'événement A dans chaque essai individuel est constante, c'est-à-dire ne change pas d’une expérience à l’autre. Nous savons déjà comment trouver la probabilité de l’événement A dans une expérience.

La probabilité d’apparition d’un certain nombre de fois (m fois) de l’événement A dans n expériences est particulièrement intéressante. De tels problèmes peuvent être facilement résolus si les tests sont indépendants.

Déf. Plusieurs tests sont appelés indépendant par rapport à l'événement A , si la probabilité de l'événement A dans chacune d'elles ne dépend pas des résultats d'autres expériences.

Probabilité Р n (m) d'occurrence de l'événement A exactement m fois (non-occurrence n-m fois, événement ) dans ces n essais. L'événement A apparaît dans des séquences très différentes (m fois).

- La formule de Bernoulli.

Les formules suivantes sont évidentes :

Р n (m moins k fois en n essais.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - probabilité d'occurrence de l'événement A plus k fois en n essais.