Planirajte radionicu za nastavnike matematike u obrazovnoj ustanovi grada Tule na temu „Rešavanje Jedinstvenog državnog ispitnog zadatka iz matematike iz sekcija: kombinatorika, teorija verovatnoće. Metodika nastave"

Trošenje vremena: 12 00 ; 15 00

Lokacija: MBOU "Licej br. 1", kancelarija. br. 8

I. Rješavanje problema vjerovatnoće

1. Rješavanje problema koji uključuje klasično određivanje vjerovatnoće

Mi, kao nastavnici, već znamo da se glavni tipovi zadataka na Jedinstvenom državnom ispitu iz teorije vjerovatnoće zasnivaju na klasičnoj definiciji vjerovatnoće. Prisjetimo se šta se zove vjerovatnoća događaja?

Vjerovatnoća događaja je omjer broja ishoda koji su povoljni za dati događaj i ukupnog broja ishoda.

Naše naučno metodičko udruženje nastavnika matematike razvilo je opštu šemu za rešavanje problema verovatnoće. Želio bih to predstaviti vašoj pažnji. Inače, podijelili smo svoje radno iskustvo, au materijalima koje smo dali vašoj pažnji za zajedničku diskusiju o rješavanju problema dali smo ovaj dijagram. Međutim, želim to da izrazim.

Po našem mišljenju, ova šema pomaže da se sve brzo logički razvrsta u komade, a nakon toga se problem može mnogo lakše riješiti i za nastavnika i za učenike.

Dakle, želim detaljno analizirati sljedeći zadatak.

Hteo sam da razgovaramo sa vama zajedno da objasnimo metodologiju, kako da momcima prenesem takvo rešenje, tokom kojeg bi deca razumela ovaj tipičan problem, a kasnije i sama razumela te probleme.

Šta je slučajni eksperiment u ovom problemu? Sada moramo izolirati elementarni događaj u ovom eksperimentu. Šta je ovo elementarni događaj? Hajde da ih navedemo.

Pitanja o zadatku?

Drage kolege, i vi ste očigledno razmišljali o problemima verovatnoće sa kockicama. Mislim da to treba da analiziramo, jer ima svoje nijanse. Hajde da analiziramo ovaj problem prema šemi koju smo vam predložili. Pošto se na svakoj strani kocke nalazi broj od 1 do 6, onda su elementarni događaji brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otkrili smo da je ukupan broj elementarnih događaja 6. Odredimo koji elementarni događaji favorizuju događaj. Samo dva događaja idu u prilog ovom događaju - 5 i 6 (pošto iz uslova proizilazi da treba da ispadnu 5 i 6 bodova).

Objasnite da su svi elementarni događaji podjednako mogući. Koja pitanja će biti u vezi sa zadatkom?

Kako znate da je novčić simetričan? Da raščistimo, ponekad određene fraze izazivaju nesporazume. Hajde da konceptualno shvatimo ovaj problem. Hajde da shvatimo s vama u eksperimentu koji je opisan koji bi elementarni ishodi mogli biti. Da li svi imate pojma gde su glave, a gde repovi? Koje su moguće opcije odustajanja? Postoje li drugi događaji? Koliki je ukupan broj događaja? Prema problemu, poznato je da su se glave pojavile tačno jednom. To znači da ovaj događajelementarni događaji iz ova četiri OR i RO su povoljni; to se ne može dogoditi dvaput. Koristimo formulu koja izračunava vjerovatnoću događaja. Podsjećamo, odgovori u dijelu B moraju biti ili cijeli broj ili decimalni.

Prikazujemo to na interaktivnoj tabli. Pročitali smo problem. Šta je osnovni ishod ovog iskustva? Pojasnite da je par naručen - to jest, broj je pao na prvu kocku i na drugu kockicu. U svakom problemu postoje trenuci kada je potrebno odabrati racionalne metode, forme i predstaviti rješenje u obliku tabela, dijagrama itd. U ovom problemu zgodno je koristiti takvu tablicu. Dajem vam gotovo rješenje, ali tokom rješavanja ispada da je u ovom zadatku racionalno koristiti rješenje u obliku tabele. Objašnjavamo šta tabela znači. Možete razumjeti zašto kolone kažu 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Nacrtajmo kvadrat. Linije odgovaraju rezultatima prvog bacanja - ima ih šest, jer kocka ima šest strana. Kao i kolone. U svaku ćeliju upisujemo zbir izvučenih tačaka. Prikazujemo popunjenu tabelu. Obojimo ćelije u kojima je zbir jednak osam (kao što je to potrebno u uslovu).

Vjerujem da se sljedeći problem, nakon analize prethodnih, može dati djeci da sama riješe.

U sljedećim zadacima nije potrebno zapisivati ​​sve elementarne ishode. Dovoljno je samo prebrojati njihov broj.

(Nema rješenja) Dao sam ovaj problem momcima da sami riješe. Algoritam za rješavanje problema

1. Definirajte od čega se sastoji slučajni eksperiment, a šta je slučajni događaj.

2. Pronađite ukupan broj elementarnih događaja.

3. Pronađite broj događaja koji pogoduju događaju navedenom u iskazu problema.

4. Nađite vjerovatnoću događaja koristeći formulu.

Učenicima se može postaviti pitanje: ako je u prodaji 1000 baterija, a među njima je 6 neispravnih, onda se odabrana baterija određuje kako? Šta je to u našem zadatku? Zatim postavljam pitanje pronalaženja šta se ovdje koristi kao broji predlažem da ga nađetebroj. Zatim pitam, koji je događaj ovdje? Koliko akumulatora doprinosi događaju? Zatim, koristeći formulu, izračunavamo ovu vjerovatnoću.

Ovdje se momcima može ponuditi drugo rješenje. Hajde da razgovaramo o tome šta bi ova metoda mogla biti?

1. Koji događaj sada možemo razmotriti?

2. Kako pronaći vjerovatnoću datog događaja?

Momcima treba reći o ovim formulama. One su sljedeće

Osmi zadatak se djeci može ponuditi samostalno, jer je sličan šestom zadatku. Može im se ponuditi kao samostalni rad, ili na kartici na tabli.

Ovaj problem se može riješiti u odnosu na Olimpijadu koja se trenutno održava. Uprkos činjenici da su u zadacima uključeni različiti događaji, zadaci su tipični.

2. Najjednostavnija pravila i formule za izračunavanje vjerovatnoća (suprotni događaji, zbir događaja, proizvod događaja)

Ovo je zadatak iz zbirke Jedinstvenog državnog ispita. Rješenje prikazujemo na tabli. Koja pitanja treba da postavimo učenicima da bi razumjeli ovaj problem?

1. Koliko je bilo mašina? Ako postoje dvije mašine, onda već postoje dva događaja. Postavljam djeci pitanje - kakav će biti događaj?? Šta će biti drugi događaj?

2. je vjerovatnoća događaja. Ne moramo ga izračunati, pošto je dat u uslovu. Prema uslovima zadatka, vjerovatnoća da će “kafa nestati u obje mašine” je 0,12. Bio je događaj A, bio je događaj B. I pojavljuje se novi događaj? Postavljam djeci pitanje - koje? Ovo je događaj kada obje mašine ostanu bez kafe. U ovom slučaju, u teoriji vjerovatnoće, radi se o novom događaju, koji se naziva presjek dva događaja A i B i tako se označava.

Koristimo formulu sabiranja vjerovatnoće. Formula je sljedeća

Dajemo vam je u referentnom materijalu i momcima se može dati ova formula. Omogućava vam da pronađete vjerovatnoću zbira događaja. Pitali smo se o vjerovatnoći suprotnog događaja, čija se vjerovatnoća nalazi pomoću formule.

Zadatak 13 koristi koncept proizvoda događaja čija je formula za pronalaženje vjerovatnoće data u dodatku.

3. Problemi koji uključuju korištenje stabla mogućih opcija

Na osnovu uslova zadatka, lako je nacrtati dijagram i pronaći naznačene vjerovatnoće.

Koji teorijski materijal ste koristili da pomognete učenicima u rješavanju problema ove vrste? Jeste li koristili moguće stablo ili druge metode za rješavanje takvih problema? Da li ste dali koncept grafova? U petom ili šestom razredu djeca imaju takve probleme, čija analiza daje pojam grafikona.

Želio bih da vas pitam, jeste li vi i vaši učenici razmišljali o korištenju stabla mogućih opcija prilikom rješavanja problema vjerovatnoće? Činjenica je da Jedinstveni državni ispit ne samo da ima takve zadatke, već su se pojavili prilično složeni problemi koje ćemo sada rješavati.

Hajde da razgovaramo s vama o metodologiji za rješavanje takvih problema - ako se poklapa s mojom metodologijom, kako sam objasnio momcima, onda će mi biti lakše raditi s vama, ako ne, onda ću vam pomoći da se nosite s ovim problemom.

Hajde da razgovaramo o događajima. Koji se događaji u zadatku 17 mogu izolovati?

Kada se konstruiše drvo na ravni, označava se tačka koja se naziva koren drveta. Zatim počinjemo da razmatramo događajeI. Konstruisaćemo segment (u teoriji verovatnoće on se zove grana). Po uslovu se kaže da prva fabrika proizvodi 30% mobilnih telefona ove marke (koje? Onog koji proizvode), što znači da trenutno pitam studente kolika je verovatnoća prve fabrike proizvode telefone ove marke, one koje proizvode? Budući da je događaj puštanje telefona u prvu tvornicu, vjerovatnoća ovog događaja je 30% ili 0,3. Preostali telefoni su proizvedeni u drugoj fabrici - gradimo drugi segment, a verovatnoća ovog događaja je 0,7.

Učenicima se postavlja pitanje: koji tip telefona bi mogla proizvesti prva fabrika? Sa ili bez kvara. Kolika je vjerovatnoća da telefon proizveden u prvoj fabrici ima kvar? Uslov kaže da je jednak 0,01. Pitanje: Kolika je vjerovatnoća da telefon proizveden u prvoj fabrici nema kvar? Pošto je ovaj događaj suprotan datom, njegova vjerovatnoća je jednaka.

Morate pronaći vjerovatnoću da je telefon neispravan. Može biti iz prve fabrike, a možda i iz druge. Zatim koristimo formulu za sabiranje vjerovatnoća i nalazimo da je cijela vjerovatnoća zbir vjerovatnoća da je telefon sa defektom iz prve fabrike, a da je telefon sa defektom iz druge fabrike. Pronaći ćemo vjerovatnoću da telefon ima kvar i da je proizveden u prvoj fabrici koristeći formulu proizvoda vjerovatnoća koja je data u dodatku.

4. Jedan od najtežih problema iz banke Jedinstvenog državnog ispita o vjerovatnoći

Pogledajmo, na primjer, broj 320199 iz FIPI Task Bank. Ovo je jedan od najtežih zadataka u B6.

Za upis u institut za specijalnost "Lingvistika", kandidat Z. mora postići najmanje 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i stranog jezika. Da biste se upisali na specijalnost "Trgovina", potrebno je da osvojite najmanje 70 bodova iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i društvenih nauka.

Verovatnoća da kandidat Z. dobije najmanje 70 bodova iz matematike je 0,6, iz ruskog - 0,8, iz stranog jezika - 0,7 i iz društvenih nauka - 0,5.

Naći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od dvije navedene specijalnosti.

Imajte na umu da problem ne postavlja pitanje da li će kandidat po imenu Z. studirati i lingvistiku i trgovinu odjednom i dobiti dvije diplome. Ovdje treba pronaći vjerovatnoću da će Z. uspjeti da upiše barem jedan od ova dva smjera – odnosno da će osvojiti potreban broj bodova.

Da bi upisao barem jednu od dvije specijalnosti, Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova iz matematike. I to na ruskom. I takođe - društvene ili strane.

Vjerovatnoća da on postigne 70 bodova iz matematike je 0,6.

Vjerovatnoća za bodovanje iz matematike i ruskog jezika je jednaka.

Bavimo se stranim i društvenim studijama. Opcije koje nam odgovaraju su kada kandidat ima bodove na društvenim studijama, stranim studijama ili oboje. Opcija nije prikladna kada nije postigao nijedan poen ni na jeziku ni na "društvu". To znači da je vjerovatnoća polaganja društvenih studija ili stranog jezika sa najmanje 70 bodova jednaka. Kao rezultat toga, vjerovatnoća polaganja matematike, ruskog i društvenih studija ili stranih je jednaka

Ovo je odgovor.

II . Rješavanje kombinatornih zadataka

1. Broj kombinacija i faktorijela

Pogledajmo ukratko teorijski materijal.

Izrazn ! čita se kao "en-faktorski" i označava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 don uključujući:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Osim toga, u matematici, po definiciji, vjeruju da je 0! = 1. Takav izraz je rijedak, ali se još uvijek javlja u problemima u teoriji vjerovatnoće.

Definicija

Neka postoje predmeti (olovke, bomboni, bilo šta) od kojih želite da odaberete potpuno različite predmete. Zatim se poziva broj opcija za takav izborbroj kombinacija od elemenata po. Ovaj broj se određuje i izračunava pomoću posebne formule.

Oznaka

Šta nam ova formula daje? Zapravo, gotovo nijedan ozbiljan problem ne može se riješiti bez toga.

Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko jednostavnih kombinatornih problema:

Zadatak

Barmen ima 6 vrsta zelenog čaja. Za održavanje čajne ceremonije potrebno je poslužiti tačno 3 različite vrste zelenog čaja. Na koliko načina barmen može ispuniti narudžbu?

Rješenje

Ovdje je sve jednostavno: postojin = 6 sorti koje možete izabratik = 3 sorte. Broj kombinacija može se pronaći pomoću formule:

Odgovori

Zamijenite u formulu. Ne možemo riješiti sve probleme, ali smo zapisali tipične probleme i oni su predstavljeni vašoj pažnji.

Zadatak

U grupi od 20 studenata potrebno je odabrati 2 predstavnika koji će govoriti na konferenciji. Na koliko načina se to može učiniti?

Rješenje

Opet, to je sve što imamon = 20 učenika, ali morate biratik = 2 učenika. Pronađite broj kombinacija:

Napomena: faktori uključeni u različite faktorijele označeni su crvenom bojom. Ovi množitelji se mogu bezbolno smanjiti i na taj način značajno smanjiti ukupnu količinu proračuna.

Odgovori

190

Zadatak

U skladište je isporučeno 17 servera sa raznim kvarovima, koji koštaju 2 puta manje od normalnih servera. Direktor je za školu kupio 14 takvih servera, a ušteđeni novac u iznosu od 200.000 rubalja iskoristio za kupovinu druge opreme. Na koliko načina direktor može odabrati neispravne servere?

Rješenje

Problem sadrži dosta dodatnih podataka koji mogu biti zbunjujući. Najvažnije činjenice: postoje samon = 17 servera, a direktor trebak = 14 servera. Brojimo broj kombinacija:

Množitelji koji se smanjuju ponovo su označeni crvenom bojom. Ukupno je bilo 680 kombinacija. Generalno, režiser ima šta da bira.

Odgovori

680

Ovaj zadatak je težak jer ima dodatnih podataka u ovom zadatku. Oni odvode mnoge studente od donošenja prave odluke. Ukupno je bilo 17 servera, a direktor je trebao izabrati 14. Zamjenom u formulu dobijamo 680 kombinacija.

2. Zakon množenja

Definicija

Zakon množenja u kombinatorici: množi se broj kombinacija (načina, kombinacija) u nezavisnim skupovima.

Drugim riječima, neka budeA načina da se izvrši jedna radnja iB načina da izvršite drugu radnju. Put je i da su ove radnje samostalne, tj. nisu međusobno povezani ni na koji način. Zatim možete pronaći broj načina za izvođenje prve i druge radnje pomoću formule:C = A · B .

Zadatak

Petya ima 4 novčića od 1 rublje i 2 kovanice od 10 rubalja. Petja je, ne gledajući, uzeo iz džepa 1 novčić nominalne vrijednosti 1 rublja i još 1 novčić nominalne vrijednosti 10 rubalja da bi kupio olovku za 11 rubalja. Na koliko načina može izabrati ove novčiće?

Rješenje

Dakle, prvo Petya dobijek = 1 novčić odn = 4 dostupna novčića nominalne vrijednosti 1 rublja. Broj načina da se to uradi jeC 4 1 = ... = 4.

Onda Petja ponovo posegne u džep i izvadik = 1 novčić odn = 2 dostupna novčića nominalne vrijednosti 10 rubalja. Ovdje je broj kombinacija jednakC 2 1 = ... = 2.

Pošto su ove akcije nezavisne, ukupan broj opcija je jednakC = 4 · 2 = 8.

Odgovori

Zadatak

U košu se nalazi 8 bijelih i 12 crnih lopti. Na koliko načina možete dobiti 2 bijele i 2 crne lopte iz ovog koša?

Rješenje

Ukupno u korpin = 8 bijelih loptica koje možete izabratik = 2 lopte. To se može uraditiC 8 2 = ... = 28 različitih načina.

Osim toga, kolica sadržen = 12 crnih loptica, od kojih morate ponovo izabratik = 2 lopte. Broj načina da se to uradi jeC 12 2 = ... = 66.

Budući da su izbor bijele i crne lopte nezavisni događaji, ukupan broj kombinacija izračunava se prema zakonu množenja:C = 28 · 66 = 1848. Kao što vidite, može biti dosta opcija.

Odgovori

1848

Zakon množenja pokazuje na koliko načina se može izvesti složena radnja koja se sastoji od dvije ili više jednostavnih - pod uslovom da su svi nezavisni.

3. Zakon sabiranja

Ako zakon množenja operiše sa „izolovanim“ događajima koji ne zavise jedan od drugog, onda je u zakonu sabiranja tačno suprotno. Bavi se međusobno isključivim događajima koji se nikada ne dešavaju u isto vrijeme.

Na primjer, “Petya je izvadio 1 novčić iz džepa” i “Petya nije izvadio niti jedan novčić iz džepa” su događaji koji se međusobno isključuju, jer je nemoguće izvaditi jedan novčić bez vađenja nijednog.

Isto tako, događaji „Slučajna lopta je bela“ i „Slučajna lopta je crna“ se takođe međusobno isključuju.

Definicija

Zakon sabiranja u kombinatorici: ako se mogu izvršiti dvije međusobno isključive radnjeA IB metode u skladu s tim, onda se ovi događaji mogu kombinirati. Ovo će kreirati novi događaj koji možete izvršitiX = A + B načine.

Drugim riječima, kada se kombiniraju međusobno isključive radnje (događaji, opcije), zbraja se broj njihovih kombinacija.

Možemo reći da je zakon sabiranja logično „ILI“ u kombinatorici, kada smo zadovoljni nekom od opcija koje se međusobno isključuju. Suprotno tome, zakon množenja je logično „I“, u kojem nas zanima istovremeno izvršenje i prve i druge akcije.

Zadatak

U košu se nalazi 9 crnih i 7 crvenih lopti. Dječak vadi 2 loptice iste boje. Na koliko načina to može učiniti?

Rješenje

Ako su kuglice iste boje, postoji nekoliko opcija: obje su crne ili crvene. Očigledno, ove opcije se međusobno isključuju.

U prvom slučaju, dječak mora izabratik = 2 crne lopte odn = 9 dostupnih. Broj načina da se to uradi jeC 9 2 = ... = 36.

Slično, u drugom slučaju biramok = 2 crvene lopte odn = 7 moguće. Broj načina je jednakC 7 2 = ... = 21.

Ostaje pronaći ukupan broj načina. Kako se opcije sa crnim i crvenim kuglicama međusobno isključuju, prema zakonu sabiranja imamo:X = 36 + 21 = 57.

Odgovori57

Zadatak

Na štandu se prodaje 15 ruža i 18 tulipana. Učenik 9. razreda želi da kupi 3 cvijeta za svog druga iz razreda, a svi cvjetovi moraju biti isti. Na koliko načina može napraviti takav buket?

Rješenje

U skladu sa uslovom, svi cvetovi moraju biti isti. To znači da ćemo kupiti ili 3 ruže ili 3 tulipana. u svakom slučaju,k = 3.

U slučaju ruža morat ćete birati izmeđun = 15 opcija, tako da je broj kombinacijaC 15 3 = ... = 455. Za tulipanen = 18, a broj kombinacija jeC 18 3 = ... = 816.

Budući da su ruže i tulipani međusobno isključive opcije, radimo po zakonu sabiranja. Dobijamo ukupan broj opcijaX = 455 + 816 = 1271. Ovo je odgovor.

Odgovori

1271

Dodatni uslovi i ograničenja

Vrlo često tekst problema sadrži dodatne uslove koji nameću značajna ograničenja kombinacijama koje nas zanimaju. Uporedite dvije rečenice:

Postoji set od 5 olovaka u različitim bojama. Na koliko načina možete odabrati 3 olovke da ocrtate crtež?

Postoji set od 5 olovaka u različitim bojama. Na koliko načina možete odabrati 3 olovke za ocrtavanje crteža ako crvena mora biti među njima?

U prvom slučaju imamo pravo uzeti bilo koju boju koja nam se sviđa - nema dodatnih ograničenja. U drugom slučaju, sve je složenije, jer se od nas traži da odaberete crvenu olovku (pretpostavlja se da je u originalnom setu).

Očigledno, bilo kakva ograničenja naglo smanjuju konačni broj opcija. Pa, kako možete pronaći broj kombinacija u ovom slučaju? Samo zapamtite ovo pravilo:

Neka postoji skupn elementi od kojih možete biratik elementi. Prilikom uvođenja dodatnih ograničenja na brojn Ik smanjiti za isti iznos.

Drugim riječima, ako od 5 olovaka trebate odabrati 3, a jedna od njih treba biti crvena, tada ćete morati birati izmeđun = 5 − 1 = 4 elementa svakik = 3 − 1 = 2 elementa. Dakle, umjestoC 5 3 mora se računatiC 4 2 .

Sada da vidimo kako ovo pravilo funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak

U grupi od 20 studenata, uključujući 2 odlična studenta, morate odabrati 4 osobe za učešće na konferenciji. Na koliko načina se ova četvorica mogu odabrati ako odlični studenti moraju doći na konferenciju?

Rješenje

Dakle, postoji grupan = 20 učenika. Ali samo treba da izaberetek = njih 4. Da nema dodatnih ograničenja, tada bi broj opcija bio jednak broju kombinacijaC 20 4 .

Međutim, dat nam je dodatni uslov: 2 odlična učenika moraju biti među ova četiri. Dakle, prema gore navedenom pravilu, smanjujemo brojeven Ik do 2. Imamo:

Odgovori

153

Zadatak

Petya u džepu ima 8 novčića, od kojih su 6 kovanica rublja i 2 kovanice od 10 rubalja. Petya prebaci tri novčića u drugi džep. Na koliko načina Petya to može učiniti ako se zna da su oba novčića od 10 rubalja završila u drugom džepu?

Rješenje

Tako da postojin = 8 novčića. Petya se smenjujek = 3 novčića, od kojih su 2 kovanice od deset rubalja. Ispostavilo se da su od 3 novčića koji će biti prebačeni, 2 već fiksirana, tako da su brojevin Ik moramo smanjiti za 2. Imamo:

Odgovori

III . Rješavanje kombiniranih zadataka korištenjem formula kombinatorike i teorije vjerojatnosti

Zadatak

Petja je u džepu imao kovanice od 4 rublje i 2 rublje. Petja je, ne gledajući, prebacila tri novčića u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se oba novčića od dvije rublje nalaze u istom džepu.

Rješenje

Pretpostavimo da su oba novčića od dvije rublje zapravo završila u istom džepu, tada su moguće 2 opcije: ili ih Petya uopće nije prenio, ili je prebacio oba odjednom.

U prvom slučaju, kada kovanice od dvije rublje nisu pomaknute, morat ćete prebaciti kovanice od 3 rublje. Budući da ima ukupno 4 takva novčića, broj načina da se to učini jednak je broju kombinacija 4 sa 3:C 4 3 .

U drugom slučaju, kada su oba novčića od dvije rublje prebačena, morat će se prenijeti još jedan novčić rublje. Mora se odabrati između 4 postojeća, a broj načina da se to učini jednak je broju kombinacija 4 sa 1:C 4 1 .

Sada pronađimo ukupan broj načina za preuređivanje novčića. Budući da ima ukupno 4 + 2 = 6 novčića, a trebate odabrati samo 3 od njih, ukupan broj opcija jednak je broju kombinacija 6 sa 3:C 6 3 .

Ostaje da se pronađe vjerovatnoća:

Odgovori

0,4

Prikaži na interaktivnoj tabli. Obratite pažnju na činjenicu da je, prema uslovima problema, Petya, ne gledajući, stavila tri novčića u jedan džep. Odgovarajući na ovo pitanje, možemo pretpostaviti da su dva novčića od dvije rublje zapravo ostala u jednom džepu. Pogledajte formulu za dodavanje vjerovatnoća. Pokažite formulu ponovo.

Zadatak

Petya je u džepu imao 2 novčića od 5 rubalja i 4 novčića od 10 rubalja. Petya je, ne gledajući, prebacila neka 3 novčića u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se novčići od pet rubalja sada nalaze u različitim džepovima.

Rješenje

Da biste držali novčiće od pet rubalja u različitim džepovima, morate pomaknuti samo jedan od njih. Broj načina da to učinite jednak je broju kombinacija 2 prema 1:C 2 1 .

Budući da je Petya prebacio ukupno 3 novčića, morat će prebaciti još 2 novčića od po 10 rubalja. Petya ima 4 takva novčića, tako da je broj načina jednak broju kombinacija 4 sa 2:C 4 2 .

Ostaje pronaći koliko opcija ima za prijenos 3 novčića od 6 dostupnih. Ova količina, kao iu prethodnom zadatku, jednaka je broju kombinacija 6 sa 3:C 6 3 .

Pronalazimo vjerovatnoću:

U posljednjem koraku pomnožili smo broj načina za odabir kovanica od dvije rublje i broj načina za odabir kovanica od deset rubalja, jer su ti događaji nezavisni.

Odgovori

0,6

Dakle, problemi s novčićima imaju svoju formulu vjerovatnoće. Toliko je jednostavan i važan da se može formulisati kao teorema.

Teorema

Neka se novčić bacin jednom. Tada je vjerovatnoća da će glave tačno sletjetik puta, može se pronaći pomoću formule:

GdjeC n k - broj kombinacijan elementi pok , koji se izračunava po formuli:

Dakle, da biste riješili problem novčića, potrebna su vam dva broja: broj bacanja i broj glava. Najčešće su ovi brojevi dati direktno u tekstu problema. Štaviše, nije važno šta tačno brojite: repove ili glave. Odgovor će biti isti.

Na prvi pogled, teorema izgleda previše glomazna. Ali kada malo vježbate, više se nećete željeti vraćati na standardni algoritam opisan gore.

Novčić se baca četiri puta. Nađite vjerovatnoću da dobijete glave tačno tri puta.

Rješenje

Prema problemu, ukupno bacanja su bilan = 4. Potreban broj orlova:k = 3. Zamjenan Ik u formulu:

Jednako lako možete izbrojati broj glava:k = 4 − 3 = 1. Odgovor će biti isti.

Odgovori

0,25

Zadatak [Radna sveska „Jedinstveni državni ispit 2012. iz matematike. Problemi B6"]

Novčić se baca tri puta. Pronađite vjerovatnoću da nikada nećete dobiti glave.

Rješenje

Ponovo ispisujem brojeven Ik . Pošto se novčić baci 3 puta,n = 3. A pošto ne bi trebalo biti glava,k = 0. Ostaje zamijeniti brojeven Ik u formulu:

Dozvolite mi da vas podsjetim da je 0! = 1 po definiciji. Zbog togaC 3 0 = 1.

Odgovori

0,125

Zadatak [Probni jedinstveni državni ispit iz matematike 2012. Irkutsk]

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca 4 puta. Pronađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti više puta nego repovi.

Rješenje

Da bi bilo više glava nego repova, moraju se pojaviti ili 3 puta (onda će biti 1 rep) ili 4 puta (tada neće biti repova uopšte). Nađimo vjerovatnoću svakog od ovih događaja.

Nekastr 1 - vjerovatnoća da će se glave pojaviti 3 puta. Ondan = 4, k = 3. Imamo:

Sad hajde da nađemostr 2 - vjerovatnoća da će se glave pojaviti sva 4 puta. U ovom slučajun = 4, k = 4. Imamo:

Da biste dobili odgovor, ostaje samo da se zbroje vjerovatnoćestr 1 Istr 2 . Zapamtite: možete dodati vjerovatnoće samo za događaje koji se međusobno isključuju. Imamo:

str = str 1 + str 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Odgovori

0,3125

Kako biste uštedjeli vaše vrijeme na pripremama sa momcima za Jedinstveni državni ispit i državni ispit, predstavili smo rješenja za još mnogo problema koje možete izabrati i riješiti sa momcima.

Materijali Zavoda za državno ispitivanje, Jedinstveni državni ispit raznih godina, udžbenici i web stranice.

IV. Referentni materijal

Vjerovatnoća. Problemi profila Jedinstveni državni ispit iz matematike.

Pripremio nastavnik matematike u MBOU „Licej br. 4“, Ruzaevka

Ovchinnikova T.V.

Definicija vjerovatnoće

Vjerovatnoća događaji A se nazivaju omjerom brojeva m ishode povoljne za ovaj događaj u ukupnom broju n svi podjednako mogući nekompatibilni događaji koji se mogu dogoditi kao rezultat jednog testa ili opažanja:

m

n

Neka k – broj bacanja novčića, zatim broj mogućih ishoda: n=2 k .

Neka k – broj bacanja kockica, zatim broj mogućih ishoda: n=6 k .

U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno jednom.

Rješenje.

Postoje samo 4 opcije: O; o o; p p; p p; O .

Povoljno 2: O; R I R; O .

Vjerovatnoća je 2/4 = 1/2 = 0,5 .

Odgovor: 0,5.

U nasumičnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 8 bodova. Zaokružite rezultat na stotinke.

Rješenje.

Kocke su kocke sa 6 strana. Prva kocka može baciti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6 poena. Svaka opcija bodovanja odgovara 6 opcija za bodovanje na drugom kocku.

One. ukupno različite opcije 6×6 = 36.

Opcije (ishodi eksperimenta) će biti sljedeće:

1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6

2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6

itd. ..............................

6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6

Izbrojimo broj ishoda (opcija) u kojima je zbir bodova dvije kocke 8.

2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.

Ukupno ima 5 opcija.

Nađimo vjerovatnoću: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.

Odgovor: 0,14.

U kolekciji karata za biologiju ima samo 55 karata, od kojih 11 sadrži pitanje o botanici. Pronađite vjerovatnoću da će student dobiti pitanje o botanici na slučajno odabranom ispitnom listiću.

Rješenje:

Vjerovatnoća da će student dobiti pitanje o botanici na slučajno odabranom ispitnom listiću je 11/55 = 1/5 = 0,2.

Odgovor: 0.2.

Na prvenstvu u gimnastici učestvuje 20 atletičarki: 8 iz Rusije, 7 iz SAD, ostale iz Kine. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom. Pronađite vjerovatnoću da je sportista koji se prvi takmiči iz Kine.

Rješenje.

Učestvuje ukupno 20 sportista,

od kojih 20 – 8 – 7 = 5 sportista iz Kine.

Verovatnoća da će sportista koji se prvi takmiči biti iz Kine je 5/20 = 1/4 = 0,25.

Odgovor: 0,25.

Naučni skup se održava u trajanju od 5 dana. Planirano je ukupno 75 izvještaja - prva tri dana sadrže 17 izvještaja, ostali su ravnomjerno raspoređeni između četvrtog i petog dana. Redoslijed izvještaja određuje se žrijebom. Kolika je vjerovatnoća da će izvještaj profesora M. biti zakazan za posljednji dan konferencije?

Rješenje:

Zadnjeg dana konferencije planirano je

(75 – 17 × 3) : 2 = 12 izvještaja.

Verovatnoća da će izveštaj profesora M. biti zakazan za poslednji dan konferencije je 12/75 = 4/25 = 0,16.

Odgovor: 0,16.

Prije početka prve runde prvenstva u badmintonu, učesnici se nasumično dijele na parove koji igraju žrijebom. Na prvenstvu učestvuje ukupno 26 badmintonista, uključujući 10 učesnika iz Rusije, među kojima je i Ruslan Orlov. Naći vjerovatnoću da će u prvom kolu Ruslan Orlov igrati sa bilo kojim badmintonistom iz Rusije?

Rješenje:

Mora se uzeti u obzir da Ruslan Orlov mora igrati sa nekim badmintonistom iz Rusije. I sam Ruslan Orlov je takođe iz Rusije.

Verovatnoća da će u prvom kolu Ruslan Orlov igrati sa bilo kojim badmintonistom iz Rusije je 9/25 = 36/100 = 0,36.

Odgovor: 0,36.

Daša baca kocku dvaput. Osvojila je ukupno 8 poena. Pronađite vjerovatnoću da pri prvom bacanju dobijete 2 boda.

Rješenje.

Na dvije kockice treba imati ukupno 8 bodova. To je moguće ako postoje sljedeće kombinacije:

Ukupno ima 5 opcija. Izbrojimo broj ishoda (opcija) u kojima su dobijena 2 boda pri prvom bacanju.

Ovo je opcija 1.

Nađimo vjerovatnoću: 1/5 = 0,2.

Odgovor: 0.2.

Na Svjetskom prvenstvu učestvuje 20 ekipa. Koristeći ždrijeb, potrebno ih je podijeliti u pet grupa od po četiri tima. U kutiji su pomiješane kartice sa brojevima grupa:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Kapiteni timova izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerovatnoća da će ruski tim biti u trećoj grupi.

Rješenje:

Ukupno ima 20 ekipa, 5 grupa.

Svaka grupa ima 4 ekipe.

Dakle, ukupno je 20 ishoda, oni koji su nam potrebni su 4, što znači da je vjerovatnoća da dobijemo željeni ishod 4/20 = 0,2.

Odgovor: 0.2.

Dvije fabrike proizvode identična stakla za farove za automobile. Prva fabrika proizvodi 45% ovih čaša, druga – 55%. Prva fabrika proizvodi 3% neispravnog stakla, a druga – 1%. Pronađite vjerovatnoću da staklo koje je slučajno kupljeno u trgovini bude neispravno.

Rješenje:

Verovatnoća da je staklo kupljeno u prvoj fabrici i da je neispravno:

R 1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.

Verovatnoća da je staklo kupljeno iz druge fabrike i da je neispravno:

R 2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.

Prema tome, prema formuli ukupne vjerovatnoće, vjerovatnoća da će staklo koje je slučajno kupljeno u trgovini biti neispravno jednaka je

p = p 1 + str 2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Odgovor: 0,019.

Ako velemajstor A. igra bijelim, tada pobjeđuje velemajstora B. sa vjerovatnoćom 0,52. Ako A. igra crno, onda A. pobjeđuje protiv B. sa vjerovatnoćom 0,3.

Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, au drugoj igri mijenjaju boju figura. Pronađite vjerovatnoću da A. pobijedi oba puta.

Rješenje:

Mogućnost pobjede u prvoj i drugoj utakmici ne zavise jedna od druge. Vjerovatnoća proizvoda nezavisnih događaja jednaka je proizvodu njihovih vjerovatnoća:

p = 0,52 · 0,3 = 0,156.

Odgovor: 0,156.

Biatlonac gađa pet puta u mete. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Nađite vjerovatnoću da biatlonac pogodi mete prva tri puta i promaši posljednja dva puta. Zaokružite rezultat na stotinke.

Rješenje:

Rezultat svakog sljedećeg udarca ne zavisi od prethodnih. Dakle, događaji „pogodili prvi metak“, „pogodio drugi hitac“ itd. nezavisni.

Vjerovatnoća svakog pogotka je 0,8. To znači da je vjerovatnoća promašaja 1 – 0,8 = 0,2.

1 šut: 0,8

2 šut: 0,8

3 šut: 0,8

4 šut: 0,2

5 šut: 0,2

Koristeći formulu za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja, nalazimo da je željena vjerovatnoća jednaka:

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Odgovor: 0,02.

U prodavnici se nalaze dva aparata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan sa vjerovatnoćom 0,05, bez obzira na drugu mašinu. Pronađite vjerovatnoću da barem jedna mašina radi.

Rješenje:

Nađimo vjerovatnoću da su obje mašine neispravne.

Ovi događaji su nezavisni, vjerovatnoća njihovog nastanka jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja:

0,05 · 0,05 = 0,0025.

Događaj koji se sastoji u činjenici da barem jedna mašina radi, suprotno.

Stoga je njegova vjerovatnoća jednaka

1 − 0,0025 = 0,9975.

Odgovor: 0,9975.

Kauboj Džon ima 0,9 šanse da pogodi muvu u zid ako ispali revolver sa nulom. Ako John ispali neispaljeni revolver, pogodi muvu s vjerovatnoćom 0,2. Na stolu je 10 revolvera, od kojih su samo 4 upucana. Kauboj Džon ugleda muvu na zidu, nasumično hvata prvi revolver na koji naiđe i puca u muvu. Pronađite vjerovatnoću da John promaši.

Rješenje:

Vjerovatnoća da će John promašiti ako zgrabi revolver na nuli je:

0,4 (1 − 0,9) = 0,04

Vjerovatnoća da će John promašiti ako zgrabi neispaljeni revolver je:

0,6 · (1 − 0,2) = 0,48

Ovi događaji su nekompatibilni, vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja:

0,04 + 0,48 = 0,52.

Odgovor: 0,52.

Tokom artiljerijske vatre, automatski sistem ispaljuje hitac na metu. Ako meta nije uništena, sistem ispaljuje drugi hitac. Pucnjevi se ponavljaju dok se meta ne uništi. Vjerovatnoća uništenja određene mete prvim hicem je 0,4, a svakim sljedećim 0,6. Koliko će hitaca biti potrebno da bi se osiguralo da je vjerovatnoća uništenja mete najmanje 0,98?

Rješenje:

Problem možete riješiti „djelom“, računajući vjerovatnoću preživljavanja nakon niza uzastopnih grešaka:

P(1) = 0,6;

P(2) = P(1) 0,4 = 0,24;

P(3) = P(2) 0,4 = 0,096;

P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384;

P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536.

Ova druga vjerovatnoća je manja od 0,02, tako da je dovoljno pet hitaca u metu.

Odgovor: 5.

U razredu je 26 ljudi, među njima i dva blizanca - Andrej i Sergej. Odeljenje je nasumično podijeljeno u dvije grupe od po 13 ljudi. Pronađite vjerovatnoću da će Andrej i Sergej biti u istoj grupi.

Rješenje:

Neka jedan od blizanaca bude u nekoj grupi.

Zajedno sa njim, u grupi će biti 12 ljudi od 25 preostalih drugova iz razreda.

Vjerovatnoća da će drugi blizanac biti među ovih 12 ljudi je

P = 12: 25 = 0,48.

Odgovor: 0,48.

Slika prikazuje lavirint. Pauk se uvlači u lavirint na ulaznoj tački. Pauk se ne može okrenuti i puzati nazad, pa na svakoj grani pauk bira jednu od staza kojom još nije puzao. Uz pretpostavku da je izbor daljeg puta čisto slučajan, odredite s kojom vjerovatnoćom će pauk doći na izlaz D.

Rješenje:

Na svakoj od četiri označene račve, pauk može izabrati ili put koji vodi do izlaza D ili drugu stazu sa vjerovatnoćom 0,5. To su nezavisni događaji, vjerovatnoća njihovog nastanka (pauk stiže do izlaza D) jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja. Stoga je vjerovatnoća dolaska na izlaz D (0,5) 4 = 0,0625.

Pažnja aplikantima! Ovdje se raspravlja o nekoliko zadataka USE. Ostalo, zanimljivije, nalazi se u našem besplatnom videu. Gledajte i radite!

Počećemo sa jednostavnim problemima i osnovnim konceptima teorije verovatnoće.
Slučajno Događaj koji se ne može tačno predvidjeti unaprijed se naziva. Može se desiti ili ne.
Dobili ste na lutriji - slučajni događaj. Pozvali ste prijatelje da proslave svoju pobedu, a na putu do vas su se zaglavili u liftu - takođe slučajni događaj. Istina, ispostavilo se da je majstor bio u blizini i za deset minuta oslobodio cijelo društvo - a to se može smatrati i sretnim slučajem...

Naš život je pun slučajnih događaja. Za svakog od njih možemo reći da će se to dogoditi s nekima vjerovatnoća. Najvjerovatnije ste intuitivno upoznati s ovim konceptom. Sada ćemo dati matematičku definiciju vjerovatnoće.

Počnimo s najjednostavnijim primjerom. Bacaš novčić. Pismo ili glava?

Takva akcija, koja može dovesti do jednog od nekoliko rezultata, naziva se u teoriji vjerovatnoće test.

Glava i rep - moguće dvije ishod testovi.

Glave će ispasti u jednom od dva moguća slučaja. Kažu to vjerovatnoća da će novčić sletjeti na glave je .

Hajde da bacimo kocku. Kocka ima šest strana, tako da postoji i šest mogućih ishoda.

Na primjer, željeli ste da se pojave tri tačke. Ovo je jedan od šest mogućih ishoda. U teoriji vjerovatnoće će se zvati povoljan ishod.

Verovatnoća da dobijete trojku je jednaka (jedan povoljan ishod od šest mogućih).

Verovatnoća četiri je takođe

Ali vjerovatnoća da će se pojaviti sedam je nula. Na kraju krajeva, ne postoji ivica sa sedam tačaka na kocki.

Vjerovatnoća događaja jednaka je omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja ishoda.

Očigledno, vjerovatnoća ne može biti veća od jedan.

Evo još jednog primjera. U vrećici su jabuke, neke su crvene, ostale zelene. Jabuke se ne razlikuju ni po obliku ni veličini. Stavite ruku u torbu i nasumce izvadite jabuku. Vjerovatnoća crtanja crvene jabuke je jednaka , a vjerovatnoća crtanja zelene jabuke jednaka je .

Vjerovatnoća da dobijete crvenu ili zelenu jabuku je jednaka.

Hajde da analiziramo probleme iz teorije vjerovatnoće uključene u zbirke za pripremu za Jedinstveni državni ispit.

. Taksi kompanija trenutno ima besplatne automobile: crvene, žute i zelene. Na poziv se odazvao jedan od automobila koji se zatekao najbliže kupcu. Pronađite vjerovatnoću da će žuti taksi doći do nje.

Automobila je ukupno, odnosno jedan od petnaest će doći do kupca. Ima devet žutih, što znači da je vjerovatnoća da žuti automobil stigne jednaka , tj.

. (Demo verzija) U kolekciji karata o biologiji svih ulaznica, u dvije se postavlja pitanje o gljivama. U toku ispita student dobija jednu nasumično odabranu kartu. Pronađite vjerovatnoću da ova karta neće sadržavati pitanje o gljivama.

Očigledno, vjerovatnoća izvlačenja karte bez pitanja o gljivama je jednaka , tj.

. Roditeljski odbor je kupio slagalice za poklone za djecu na kraju školske godine, uključujući slike poznatih umjetnika i slike životinja. Pokloni se dijele nasumično. Pronađite vjerovatnoću da će Vovočka dobiti slagalicu sa životinjom.

Problem se rješava na sličan način.

Odgovor: .

. Na prvenstvu u gimnastici učestvuju atletičarke iz Rusije, SAD, a ostale iz Kine. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom. Pronađite vjerovatnoću da je posljednji sportista koji će se takmičiti iz Kine.

Zamislimo da su svi sportisti istovremeno prišli šeširu i iz njega izvukli komadiće papira sa brojevima. Neki od njih će dobiti broj dvadeset. Verovatnoća da će ga kineski sportista izvući je jednaka (pošto su sportisti iz Kine). Odgovor: .

. Od učenika se tražilo da navede broj od do. Kolika je vjerovatnoća da će imenovati broj koji je višestruki od pet?

Svaki peti broj iz ovog skupa je djeljiv sa . To znači da je vjerovatnoća jednaka .

Kocka je bačena. Pronađite vjerovatnoću da dobijete neparan broj bodova.

Neparni brojevi; - čak. Vjerovatnoća neparnog broja bodova je .

Odgovor: .

. Novčić se baca tri puta. Kolika je vjerovatnoća dvije glave i jednog repa?

Imajte na umu da se problem može formulirati drugačije: tri novčića su bačena u isto vrijeme. Ovo neće uticati na odluku.

Šta mislite, koliko mogućih ishoda postoji?

Bacamo novčić. Ova akcija ima dva moguća ishoda: glave i repove.

Dva novčića - već četiri ishoda:

Tri novčića? Tako je, ishodi, od .

Dvije glave i jedan rep pojavljuju se tri od osam puta.

Odgovor: .

. U nasumičnom eksperimentu bacaju se dvije kockice. Nađite vjerovatnoću da će zbroj biti bodova. Zaokružite rezultat na stotinke.

Bacamo prvu kocku - šest ishoda. I za svakog od njih je moguće još šest - kada bacimo drugu kockicu.

Nalazimo da ova akcija - bacanje dvije kocke - ima ukupno moguće ishode, budući da .

A sada - povoljni ishodi:

Vjerovatnoća dobivanja osam bodova je .

>. Strijelac pogađa metu sa vjerovatnoćom. Nađite vjerovatnoću da on pogodi metu četiri puta zaredom.

Ako je vjerovatnoća pogotka jednaka, tada je vjerovatnoća promašaja . Razmišljamo na isti način kao u prethodnom problemu. Vjerovatnoća dva uzastopna pogotka je jednaka. I vjerovatnoća četiri uzastopna pogotka je jednaka.

Vjerovatnoća: logika grube sile.

Evo problema iz dijagnostičkog rada koji je mnogima bio težak.

Petya je u džepu imao novčiće u vrijednosti od rubalja i novčiće u vrijednosti od rubalja. Petya je, ne gledajući, prebacio novčiće u drugi džep. Pronađite vjerovatnoću da se novčići od pet rubalja sada nalaze u različitim džepovima.

Znamo da je vjerovatnoća događaja jednaka omjeru broja povoljnih ishoda i ukupnog broja ishoda. Ali kako izračunati sve ove rezultate?

Možete, naravno, kovanice od pet rubalja označiti brojevima, a kovanice od deset rubalja brojevima - a zatim prebrojati na koliko načina možete odabrati tri elementa iz skupa.

Međutim, postoji jednostavnije rješenje:

Kovanice kodiramo brojevima: , (ovo su kovanice od pet rubalja), (ovo su kovanice od deset rubalja). Problemski uvjet se sada može formulirati na sljedeći način:

Postoji šest čipova sa brojevima od do . Na koliko načina se mogu ravnomjerno rasporediti u dva džepa, tako da žetoni sa brojevima ne završe zajedno?

Hajde da zapišemo šta imamo u prvom džepu.

Da bismo to učinili, sastavit ćemo sve moguće kombinacije iz seta. Skup od tri čipa će biti trocifreni broj. Očigledno je da su u našim uslovima i isti set čipova. Da ništa ne bismo propustili ili se ponovili, odgovarajuće trocifrene brojeve poredamo uzlaznim redom:

Sve! Prošli smo kroz sve moguće kombinacije počevši od . nastavimo:

Ukupni mogući ishodi.

Imamo uslov - čipovi sa brojevima ne bi trebalo da budu zajedno. To znači, na primjer, da nam kombinacija ne odgovara - znači da su oba čipa završila ne u prvom, već u drugom džepu. Ishodi koji su za nas povoljni su oni kod kojih postoji ili samo , ili samo . Evo ih:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – ukupno povoljni ishodi.

Tada je tražena vjerovatnoća jednaka .

Koji zadaci vas očekuju na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike?

Hajde da analiziramo jedan od složenih problema u teoriji verovatnoće.

Za upis u institut za specijalnost "Lingvistika", kandidat Z. mora postići najmanje 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i stranog jezika. Da biste se upisali na specijalnost "Trgovina", potrebno je da osvojite najmanje 70 bodova iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i društvenih nauka.

Verovatnoća da kandidat Z. dobije najmanje 70 bodova iz matematike je 0,6, iz ruskog - 0,8, iz stranog jezika - 0,7 i iz društvenih nauka - 0,5.
Naći vjerovatnoću da će Z. moći upisati barem jednu od dvije navedene specijalnosti.

Imajte na umu da problem ne postavlja pitanje da li će kandidat po imenu Z. studirati i lingvistiku i trgovinu odjednom i dobiti dvije diplome. Ovdje treba pronaći vjerovatnoću da će Z. uspjeti da upiše barem jedan od ova dva smjera – odnosno da će osvojiti potreban broj bodova.
Da bi upisao barem jednu od dvije specijalnosti, Z. mora osvojiti najmanje 70 bodova iz matematike. I to na ruskom. I takođe - društvene ili strane.
Vjerovatnoća da on postigne 70 bodova iz matematike je 0,6.
Vjerovatnoća za bodovanje iz matematike i ruskog jezika je 0,6 0,8.

Bavimo se stranim i društvenim studijama. Opcije koje nam odgovaraju su kada kandidat ima bodove na društvenim studijama, stranim studijama ili oboje. Opcija nije prikladna kada nije postigao nijedan poen ni na jeziku ni na "društvu". To znači da je vjerovatnoća polaganja društvenih studija ili stranog jezika sa najmanje 70 bodova jednaka
1 – 0,5 0,3.
Kao rezultat toga, vjerovatnoća polaganja matematike, ruskog i društvenih studija ili stranih je jednaka
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Ovo je odgovor.

Klasična definicija vjerovatnoće

Slučajni događaj – svaki događaj koji se može ili ne mora dogoditi kao rezultat nekog iskustva.

Vjerovatnoća događaja R jednak omjeru broja povoljnih ishoda k na broj mogućih ishoda n, tj.

p=\frac(k)(n)

Formule za sabiranje i množenje teorije vjerovatnoće

Događaj \bar(A) pozvao suprotno od događaja A, ako se događaj A nije dogodio.

Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan, tj.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Vjerovatnoća događaja ne može biti veća od 1.
• Ako je vjerovatnoća događaja 0, onda se neće dogoditi.
• Ako je vjerovatnoća događaja 1, onda će se dogoditi.

Teorema o dodavanju vjerovatnoće:

“Vjerovatnoća zbira dva nekompatibilna događaja jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja.”

P(A+B) = P(A) + P(B)

Vjerovatnoća iznosi dva zajednička događaja jednak zbiru vjerovatnoća ovih događaja bez uzimanja u obzir njihovog zajedničkog nastupa:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema množenja vjerovatnoće

“Vjerovatnoća nastanka dva događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoće jednog od njih sa uslovnom vjerovatnoćom drugog, izračunatom pod uslovom da se prvi dogodio.”

P(AB)=P(A)*P(B)

Događaji su pozvani nekompatibilno, ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugih. To jest, može se dogoditi samo jedan ili drugi određeni događaj.

Događaji su pozvani joint, ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog.

Dva slučajna događaja A i B se zovu nezavisni, ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog. Inače, događaji A i B se nazivaju zavisni.

V-6-2014 (svih 56 prototipova iz banke Jedinstvenog državnog ispita)

Biti u stanju izgraditi i proučavati najjednostavnije matematičke modele (teorija vjerovatnoće)

1. U nasumičnom eksperimentu bacaju se dvije kocke. Pronađite vjerovatnoću da će ukupan iznos biti 8 bodova. Zaokružite rezultat na stotinke. Rješenje: Broj ishoda u kojima će se pojaviti 8 bodova kao rezultat bacanja kocke je 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Svaka kocka ima šest mogućih bacanja, tako da je ukupan broj ishoda 6·6 = 36. Dakle, vjerovatnoća bacanja ukupno 8 je 5: 36=0,138…=0,14

2. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da će se glave pojaviti tačno jednom. Rješenje: Postoje 4 podjednako moguća ishoda eksperimenta: glava-glava, glava-rep, rep-glava, rep-rep. Glave se pojavljuju tačno jednom u dva slučaja: glava-rep i rep-glava. Stoga je vjerovatnoća da će se glave pojaviti tačno 1 put 2: 4 = 0,5.

3. Na prvenstvu u gimnastici učestvuje 20 atletičara: 8 iz Rusije, 7 iz SAD, ostali iz Kine. Redoslijed nastupa gimnastičarki određuje se žrijebom. Pronađite vjerovatnoću da je sportista koji se prvi takmiči iz Kine. Rješenje: Učestvuje na prvenstvusportisti iz Kine. Tada je vjerovatnoća da će sportista koji se prvi takmiči biti iz Kine 5: 20 = 0,25

4. U prosjeku, od 1000 prodatih vrtnih pumpi, 5 curi. Pronađite vjerovatnoću da jedna pumpa slučajno odabrana za kontrolu ne propušta. Rješenje: U prosjeku, od 1000 prodanih vrtnih pumpi, 1000 − 5 = 995 ne curi. To znači da je vjerovatnoća da jedna pumpa slučajno odabrana za kontrolu ne propušta jednaka 995: 1000 = 0,995

5. Fabrika proizvodi torbe. U prosjeku, na svakih 100 kvalitetnih torbi dolazi osam vreća sa skrivenim nedostacima. Pronađite vjerovatnoću da će kupljena torba biti visokog kvaliteta. Zaokružite rezultat na stotinke. Rješenje: Prema uslovu, na svakih 100 + 8 = 108 vreća dolazi 100 kvalitetnih vreća. To znači da je vjerovatnoća da će kupljena torba biti visokog kvaliteta 100: 108 =0,925925...= 0,93

6. Na takmičenju u bacanju kugle učestvuju 4 atletičarke iz Finske, 7 iz Danske, 9 iz Švedske i 5 iz Norveške. Redosled po kojem se takmičari takmiče određuje se žrebom. Pronađite vjerovatnoću da je atletičar koji se posljednji takmiči iz Švedske. Rješenje: Ukupno na takmičenju učestvuje 4 + 7 + 9 + 5 = 25 sportista. To znači da je vjerovatnoća da će sportista koji se posljednji takmiči biti iz Švedske 9:25 = 0,36

7. Naučni skup se održava u trajanju od 5 dana. Planirano je ukupno 75 izvještaja - prva tri dana sadrže 17 izvještaja, ostali su ravnomjerno raspoređeni između četvrtog i petog dana. Redoslijed izvještaja određuje se žrijebom. Kolika je vjerovatnoća da će izvještaj profesora M. biti zakazan za posljednji dan konferencije? Rješenje: U prva tri dana biće pročitan 51 izvještaj, a za posljednja dva dana planirana su 24 izvještaja. Stoga je za posljednji dan planirano 12 izvještaja. To znači da je vjerovatnoća da će izvještaj profesora M. biti zakazan za posljednji dan konferencije 12: 75 = 0,16

8. Takmičenje izvođača održava se u trajanju od 5 dana. Najavljeno je ukupno 80 nastupa - po jedan iz svake zemlje. Prvog dana ima 8 predstava, ostatak se ravnomjerno raspoređuje između preostalih dana. Redoslijed nastupa određuje se žrijebom. Kolika je vjerovatnoća da će ruski predstavnik nastupiti trećeg dana takmičenja? Rješenje: Zakazano za treći dangovori. To znači da je vjerovatnoća da će nastup predstavnika Rusije biti zakazan trećeg dana takmičenja 18:80 = 0,225

9. Na seminar su došla 3 naučnika iz Norveške, 3 iz Rusije i 4 iz Španije. Redoslijed izvještaja određuje se žrijebom. Nađite vjerovatnoću da će osmi izvještaj biti izvještaj naučnika iz Rusije. Rješenje: Ukupno na seminaru učestvuje 3 + 3 + 4 = 10 naučnika, što znači da je verovatnoća da će naučnik koji govori osmi biti iz Rusije 3:10 = 0,3.

10. Prije početka prve runde prvenstva u badmintonu, učesnici se nasumično dijele na parove koji igraju žrijebom. Na prvenstvu učestvuje ukupno 26 badmintonista, uključujući 10 učesnika iz Rusije, među kojima je i Ruslan Orlov. Naći vjerovatnoću da će u prvom kolu Ruslan Orlov igrati sa bilo kojim badmintonistom iz Rusije? Rješenje: U prvom kolu Ruslan Orlov može igrati sa 26 − 1 = 25 badmintonista, od kojih je 10 − 1 = 9 iz Rusije. To znači da je vjerovatnoća da će u prvom kolu Ruslan Orlov igrati sa bilo kojim badmintonistom iz Rusije 9:25 = 0,36

11. U kolekciji karata za biologiju ima samo 55 ulaznica, od kojih 11 sadrži pitanje o botanici. Pronađite vjerovatnoću da će student dobiti pitanje o botanici na slučajno odabranom ispitnom listiću. Rješenje: 11: 55 = 0,2

12. Na prvenstvu u skokovima u vodu nastupa 25 atletičara, među kojima 8 skakača iz Rusije i 9 skakača iz Paragvaja. Redoslijed nastupa određuje se žrijebom. Nađite vjerovatnoću da će paragvajski skakač biti šesti.

13.Dve fabrike proizvode isto staklo za farove za automobile. Prva fabrika proizvodi 30% ovih naočara, druga - 70%. Prva fabrika proizvodi 3% neispravnog stakla, a druga 4%. Pronađite vjerovatnoću da se staklo slučajno kupljeno u trgovini pokaže neispravno.

Rješenje. Pretvorite %% u razlomke.

Događaj A - "Kupljeno staklo iz prve fabrike." P(A)=0,3

Događaj B - "Kupljeno staklo iz druge fabrike." P(B)=0,7

Događaj X - "Neispravno staklo".

P(A i X) = 0,3*0,03=0,009

P(B i X) = 0,7*0,04=0,028 Prema formuli ukupne vjerovatnoće: P = 0,009+0,028 = 0.037

14.Ako velemajstor A. igra bijelim, onda pobjeđuje velemajstora B. sa vjerovatnoćom 0,52. Ako A. igra crno, onda A. pobjeđuje protiv B. sa vjerovatnoćom 0,3. Velemajstori A. i B. igraju dvije partije, au drugoj igri mijenjaju boju figura. Pronađite vjerovatnoću da A. pobijedi oba puta. Rješenje: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Vasja, Petja, Kolja i Ljoša bacaju žreb ko treba da počne igru. Pronađite vjerovatnoću da će Petya morati započeti igru.

Rješenje: Nasumični eksperiment - bacanje žrijeba.
U ovom eksperimentu, elementarni događaj je učesnik koji osvoji lot.
Nabrojimo moguće elementarne događaje:
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lyosha).
Biće ih 4, tj. N=4. Žreb implicira da su svi elementarni događaji podjednako mogući.
Događaj A= (Petya je osvojio ždrijeb) favorizira samo jedan elementarni događaj (Petya). Stoga je N(A)=1.
Tada je P(A)=0,25 Odgovor: 0,25.

16. Na Svjetskom prvenstvu učestvuje 16 ekipa. Koristeći ždrijeb, potrebno ih je podijeliti u četiri grupe od po četiri tima. U kutiji su pomešane karte sa brojevima grupa: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Kapiteni timova izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerovatnoća da će ruski tim biti u drugoj grupi? Rješenje: Ukupni ishodi - 16. Od toga povoljni, tj. sa brojem 2, to će biti 4. Dakle 4: 16=0,25

17. Na ispitu iz geometrije student dobija jedno pitanje sa liste ispitnih pitanja. Vjerovatnoća da je ovo pitanje s upisanim krugom je 0,2. Vjerovatnoća da se radi o pitanju na temu “Paralelogram” je 0,15. Ne postoje pitanja koja se istovremeno odnose na ove dvije teme. Pronađite vjerovatnoću da će student na ispitu dobiti pitanje o jednoj od ove dvije teme.

= (pitanje na temu “Upisani krug”),
= (pitanje na temu “Paralelogram”).
Događaji I su nekompatibilni, jer po uslovu lista ne sadrži pitanja koja se odnose na ove dvije teme u isto vrijeme.
Događaj= (pitanje o jednoj od ove dvije teme) je njihova kombinacija:.
Primijenimo formulu za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja:
.

18. U trgovačkom centru dvije identične mašine prodaju kafu. Vjerovatnoća da će aparat ostati bez kafe do kraja dana je 0,3. Vjerovatnoća da će obje mašine ostati bez kafe je 0,12. Pronađite vjerovatnoću da će na kraju dana u obje mašine ostati kafa.

Hajde da definišemo događaje
= (kafa će nestati u prvoj mašini),
= (kafa će nestati u drugoj mašini).
Prema uslovima problema I .
Koristeći formulu za sabiranje vjerovatnoće, nalazimo vjerovatnoću događaja
I = (kafa će nestati u najmanje jednoj od mašina):

.
Stoga je vjerovatnoća suprotnog događaja (kafa će ostati u oba aparata) jednaka
.

19. Biatlonac gađa pet puta u mete. Vjerovatnoća da jednim udarcem pogodite metu je 0,8. Nađite vjerovatnoću da biatlonac prva tri puta pogodi mete, a posljednja dva promaši. Zaokružite rezultat na stotinke.

U ovom zadatku se pretpostavlja da rezultat svakog sljedećeg hica ne zavisi od prethodnih. Dakle, događaji „pogodili prvi metak“, „pogodio drugi hitac“ itd. nezavisni.
Vjerovatnoća svakog pogotka je jednaka. To znači da je vjerovatnoća svakog promašaja jednaka. Koristimo formulu za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja. Nalazimo da je niz
= (pogodan, pogodak, pogodak, promašen, promašen) ima vjerovatnoću
=
= . Odgovor: .

20. U radnji postoje dva aparata za plaćanje. Svaki od njih može biti neispravan sa vjerovatnoćom 0,05, bez obzira na drugu mašinu. Pronađite vjerovatnoću da barem jedna mašina radi.

Ovaj problem takođe pretpostavlja da automati rade nezavisno.
Nađimo vjerovatnoću suprotnog događaja
= (obe mašine su neispravne).
Da bismo to učinili, koristimo formulu za množenje vjerovatnoća nezavisnih događaja:
.
To znači vjerovatnoću događaja= (najmanje jedna mašina radi) je jednako. Odgovor: .

21. Prostorija je osvijetljena fenjerom sa dvije lampe. Verovatnoća da jedna lampa pregori u toku godine je 0,3. Pronađite vjerovatnoću da barem jedna lampa neće pregorjeti tokom godine. Rešenje: Oba će izgoreti (događaji su nezavisni i koristimo formulu za proizvod vjerovatnoća) sa vjerovatnoćom p1=0,3⋅0,3=0,09
Događaj nasuprot(NE će oba izgorjeti = barem JEDAN neće izgorjeti)
desiće se sa verovatnoćom p=1-p1=1-0.09=0.91
ODGOVOR: 0,91

22. Vjerovatnoća da će novo kuhalo za vodu trajati duže od godinu dana je 0,97. Vjerovatnoća da će trajati više od dvije godine je 0,89. Pronađite vjerovatnoću da će trajati manje od dvije godine, ali više od godinu dana

Rješenje.

Neka je A = “kotlić će trajati više od godinu dana, ali manje od dvije godine”, B = “kotlić će trajati više od dvije godine”, zatim A + B = “kotlić će trajati više od godinu dana”.

Događaji A i B su zajednički, vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja, umanjenih za vjerovatnoću njihovog nastanka. Vjerovatnoća da će se ovi događaji dogoditi, a sastoji se od činjenice da će kotlić pokvariti za točno dvije godine - tačno istog dana, sata i sekunde - jednaka je nuli. onda:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),

odakle, koristeći podatke iz uslova, dobijamo 0,97 = P(A) + 0,89.

Dakle, za željenu vjerovatnoću imamo: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Poljoprivredno preduzeće kupuje kokošja jaja od dva domaćinstva. 40% jaja sa prve farme su jaja najviše kategorije, a sa druge farme - 20% jaja najviše kategorije. Ukupno, 35% jaja dobija najvišu kategoriju. Nađite vjerovatnoću da će jaje kupljeno od ovog poljoprivrednog preduzeća doći sa prve farme. Rješenje: Neka poljoprivredna firma kupuje od prve farme jaja, uključujući jaja najviše kategorije, au drugoj farmi - jaja, uključujući jaja najviše kategorije. Dakle, ukupan iznos koji agroform kupuje jaja, uključujući jaja najviše kategorije. Prema stanju, 35% jaja ima najvišu kategoriju, zatim:

Dakle, vjerovatnoća da će kupljeno jaje biti sa prve farme jednaka je =0,75

24. Na tastaturi telefona ima 10 cifara, od 0 do 9. Kolika je vjerovatnoća da će slučajno pritisnuta cifra biti parana?

25. Kolika je vjerovatnoća da je slučajno odabrani prirodni broj od 10 do 19 djeljiv sa tri?

26. Kauboj John pogodi muvu u zid sa vjerovatnoćom od 0,9 ako puca iz revolvera sa nulom. Ako John ispali neispaljeni revolver, pogodi muvu s vjerovatnoćom 0,2. Na stolu je 10 revolvera, od kojih su samo 4 upucana. Kauboj Džon ugleda muvu na zidu, nasumično hvata prvi revolver na koji naiđe i puca u muvu. Pronađite vjerovatnoću da John promaši. Rješenje: John pogodi muhu ako zgrabi revolver na nuli i pogodi njime, ili ako zgrabi neupucani revolver i pogodi njime. Prema formuli uslovne vjerovatnoće, vjerovatnoće ovih događaja su jednake 0,4·0,9 = 0,36 i 0,6·0,2 = 0,12, respektivno. Ovi događaji su nekompatibilni, vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja: 0,36 + 0,12 = 0,48. Događaj koji John propušta je suprotan. Njegova vjerovatnoća je 1 − 0,48 = 0,52.

27. U grupi turista je 5 osoba. Koristeći parcele, biraju dvoje ljudi koji moraju otići u selo da kupe hranu. Turista A. želi da ode do prodavnice, ali se povinuje. Kolika je vjerovatnoća da će A. otići u radnju? Rješenje: Ukupno je pet turista, dva su odabrana nasumično. Vjerovatnoća da budete odabrani je 2: 5 = 0,4. Odgovor: 0.4.

28. Prije početka fudbalske utakmice, sudija baca novčić kako bi odredio koja će ekipa početi utakmicu sa loptom. Ekipa Fizika igra tri utakmice sa različitim ekipama. Nađite vjerovatnoću da će u ovim igrama “Fizičar” dobiti lot tačno dva puta. Rješenje: Označimo "1" stranu novčića koja je odgovorna za to da "fizičar" dobije na lotu, a drugu stranu novčića označimo "0". Zatim postoje tri povoljne kombinacije: 110, 101, 011, a ukupno su 2 kombinacije 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Dakle, tražena vjerovatnoća je jednaka:

29. Kocka se baca dva puta. Koliko elementarnih ishoda eksperimenta favorizuje događaj “A = zbir bodova je 5”? Rješenje: Zbir bodova može biti jednak 5 u četiri slučaja: “3 + 2”, “2 + 3”, “1 + 4”, “4 + 1”. Odgovor: 4.

30. U slučajnom eksperimentu, simetrični novčić se baca dvaput. Pronađite vjerovatnoću da će se OP ishod dogoditi (prvi put glava, drugi put rep). Rješenje: Postoje četiri moguća ishoda: glava-glava, glava-rep, rep-glava, rep-rep. Jedan je povoljan: glava i rep. Dakle, željena vjerovatnoća je 1:4 = 0,25. Odgovor: 0,25.

31. Na rock festivalu nastupaju bendovi - po jedan iz svake od proglašenih zemalja. Redosled izvođenja određuje se žrebom. Kolika je vjerovatnoća da će grupa iz Danske nastupiti nakon grupe iz Švedske i nakon grupe iz Norveške? Zaokružite rezultat na stotinke. Rješenje: Ukupan broj grupa koje nastupaju na festivalu nije važan za odgovor na pitanje. Bez obzira koliko ih ima, za ove zemlje postoji 6 načina relativne pozicije među govornicima (D - Danska, W - Švedska, N - Norveška):

D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...W...D...

Danska je rangirana iza Švedske i Norveške u dva slučaja. Stoga je vjerovatnoća da će grupe biti nasumično raspoređene na ovaj način jednaka Odgovor: 0,33.

32. Tokom artiljerijske vatre, automatski sistem ispaljuje hitac na metu. Ako meta nije uništena, sistem ispaljuje drugi hitac. Pucnjevi se ponavljaju dok se meta ne uništi. Vjerovatnoća uništenja određene mete prvim hicem je 0,4, a svakim sljedećim 0,6. Koliko će hitaca biti potrebno da bi se osiguralo da je vjerovatnoća uništenja mete najmanje 0,98? Rješenje: Problem možete riješiti „djelom“, računajući vjerovatnoću preživljavanja nakon niza uzastopnih promašaja: P(1) = 0,6. P(2) = P(1) 0,4 = 0,24. P(3) = P(2) 0,4 = 0,096. P(4) = P(3) 0,4 = 0,0384; P(5) = P(4) 0,4 = 0,01536. Ova druga vjerovatnoća je manja od 0,02, tako da je dovoljno pet hitaca u metu.

33. Za prolazak u narednu rundu takmičenja, fudbalski tim treba da postigne najmanje 4 boda u dvije utakmice. Ako ekipa pobijedi, dobiva 3 boda, u slučaju neriješenog rezultata - 1 bod, ako izgubi - 0 bodova. Pronađite vjerovatnoću da tim prođe u sljedeći krug takmičenja. Uzmite u obzir da su u svakoj igri vjerovatnoće pobjede i poraza iste i jednake 0,4. Rješenje : Tim može osvojiti najmanje 4 boda u dvije utakmice na tri načina: 3+1, 1+3, 3+3. Ovi događaji su nekompatibilni; vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru njihovih vjerovatnoća. Svaki od ovih događaja je proizvod dva nezavisna događaja - rezultat u prvoj i u drugoj utakmici. Odavde imamo:

34. U određenom gradu, od 5.000 rođenih beba, 2.512 su dječaci. Pronađite učestalost rađanja djevojčica u ovom gradu. Zaokružite rezultat na najbližu hiljadu. Rješenje: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35. U avionu se nalazi 12 sedišta pored izlaza u slučaju opasnosti i 18 sedišta iza pregrada koje razdvajaju kabine. Preostala sedišta su nezgodna za visoke putnike. Putnik V. je visok. Pronađite vjerovatnoću da će prilikom prijave, ako je sjedište odabrano nasumično, putnik B dobiti udobno sjedište ako u avionu ima ukupno 300 sjedišta. Rješenje : U avionu ima 12 + 18 = 30 sedišta koja su udobna za putnika B, a u avionu ima ukupno 300 mesta. Dakle, vjerovatnoća da će putnik B dobiti udobno sjedište je 30: 300 = 0,1 Odgovor: 0,1.

36. Na olimpijadi na univerzitetu, učesnici sjede u tri učionice. U prva dva je po 120 ljudi, a ostali su odvedeni u rezervnu salu u drugoj zgradi. Prilikom prebrojavanja ispostavilo se da je bilo ukupno 250 učesnika. Pronađite vjerovatnoću da je slučajno odabrani učesnik napisao takmičenje u slobodnoj učionici. Rješenje: Ukupno je 250 − 120 − 120 = 10 ljudi poslato u rezervnu publiku. Dakle, vjerovatnoća da je slučajno odabrani učesnik napisao olimpijadu u slobodnoj učionici je 10: 250 = 0,04. Odgovor: 0.04.

37. U razredu ima 26 ljudi, među njima i dva blizanca - Andrej i Sergej. Odeljenje je nasumično podijeljeno u dvije grupe od po 13 ljudi. Pronađite vjerovatnoću da će Andrej i Sergej biti u istoj grupi. Rješenje: Neka jedan od blizanaca bude u nekoj grupi. Zajedno sa njim, u grupi će biti 12 ljudi od 25 preostalih drugova iz razreda. Vjerovatnoća da će drugi blizanac biti među ovih 12 ljudi je 12: 25 = 0,48.

38. Taksi kompanija ima 50 automobila; Njih 27 su crne boje sa žutim natpisima na bočnim stranama, ostali su žuti sa crnim natpisima. Pronađite vjerovatnoću da će žuti automobil sa crnim natpisima odgovoriti na slučajni poziv. Rešenje: 23:50=0,46

39. U grupi turista je 30 ljudi. Helikopterom se bacaju u teško dostupno područje u nekoliko etapa, 6 ljudi po letu. Redoslijed kojim helikopter prevozi turiste je nasumičan. Nađite vjerovatnoću da će turista P. krenuti prvim letom helikopterom. Rješenje: Na prvom letu ima 6 sedišta, ukupno 30. Tada je verovatnoća da će turista P. leteti prvim letom helikoptera: 6:30 = 0,2

40. Vjerovatnoća da će novi DVD plejer biti popravljen pod garancijom u roku od godinu dana je 0,045. U određenom gradu, od 1.000 prodatih DVD plejera tokom godine, 51 jedinica je primljena u garantnu radionicu. Koliko se razlikuje učestalost događaja „garantne popravke“ od njegove vjerovatnoće u ovom gradu? Rješenje: Učestalost (relativna frekvencija) događaja „popravka garancije“ je 51: 1000 = 0,051. Razlikuje se od predviđene vjerovatnoće za 0,006.

41. Prilikom proizvodnje ležajeva prečnika 67 mm, verovatnoća da će se prečnik razlikovati od navedenog za najviše 0,01 mm je 0,965. Pronađite vjerovatnoću da će nasumični ležaj imati prečnik manji od 66,99 mm ili veći od 67,01 mm. Rješenje. Prema uslovu, promjer ležaja će biti u rasponu od 66,99 do 67,01 mm s vjerovatnoćom od 0,965. Stoga je željena vjerovatnoća suprotnog događaja 1 − 0,965 = 0,035.

42. Vjerovatnoća da će učenik O. tačno riješiti više od 11 zadataka na testu iz biologije je 0,67. Verovatnoća da će O. tačno rešiti više od 10 zadataka je 0,74. Nađite vjerovatnoću da će O. tačno riješiti tačno 11 zadataka. Rješenje: Razmotrite događaje A = „učenik će riješiti 11 zadataka“ i B = „učenik će riješiti više od 11 zadataka“. Njihov zbir je događaj A + B = "učenik će riješiti više od 10 zadataka." Događaji A i B su nekompatibilni, vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja: P(A + B) = P(A) + P(B). Zatim, koristeći ove probleme, dobijamo: 0,74 = P(A) + 0,67, odakle je P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Odgovor: 0,07.

43. Za upis u institut za specijalnost "Lingvistika", kandidat mora osvojiti najmanje 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i stranog jezika. Da biste se upisali na specijalnost "Trgovina", potrebno je da osvojite najmanje 70 bodova iz svakog od tri predmeta - matematike, ruskog jezika i društvenih nauka. Verovatnoća da kandidat Z. dobije najmanje 70 bodova iz matematike je 0,6, iz ruskog jezika - 0,8, iz stranog jezika - 0,7 i iz društvenih nauka - 0,5. Nađite verovatnoću da će Z. uspeti da upiše bar jedan od dva pomenuta specijaliteta. Rješenje: Da bi bilo gde upisao, Z. treba da položi i ruski jezik i matematiku sa najmanje 70 bodova, a pored toga i strani jezik ili društvene nauke sa najmanje 70 bodova. Neka A, B, C i D - ovo su događaji na kojima Z. položi matematiku, ruski, strane i društvene nauke sa najmanje 70 bodova. Od tada

Za vjerovatnoću dolaska imamo:

44. U fabrici keramičkog posuđa, 10% proizvedenih tanjira je neispravno. Prilikom kontrole kvaliteta proizvoda identifikuje se 80% neispravnih ploča. Preostale ploče su na rasprodaji. Pronađite vjerovatnoću da ploča slučajno odabrana prilikom kupovine nema nedostataka. Zaokružite odgovor na najbližu stotu. Rješenje : Neka fabrika proizvodiploče. Sve kvalitetne tablice i 20% neotkrivenih neispravnih tablica će biti u prodaji:ploče. Jer one kvalitetne, vjerovatnoća kupovine kvalitetne ploče je 0,9p:0,92p=0,978 Odgovor: 0,978.

45. U radnji su tri prodavca. Svaki od njih je zauzet klijentom sa vjerovatnoćom 0,3. Pronađite vjerovatnoću da su u slučajnom trenutku sva tri prodavača zauzeta u isto vrijeme (pretpostavimo da kupci dolaze nezavisno jedan od drugog). Rješenje : Vjerovatnoća proizvoda nezavisnih događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja. Stoga je vjerovatnoća da su sva tri prodavca zauzeta jednaka

46. ​​Na osnovu recenzija kupaca, Ivan Ivanovič je procijenio pouzdanost dvije online trgovine. Vjerovatnoća da će željeni proizvod biti isporučen iz trgovine A je 0,8. Vjerovatnoća da će ovaj proizvod biti isporučen iz trgovine B je 0,9. Ivan Ivanovič je naručio robu iz obje trgovine odjednom. Pod pretpostavkom da online prodavnice rade nezavisno jedna od druge, pronađite verovatnoću da nijedna prodavnica neće isporučiti proizvod. Rješenje: Vjerovatnoća da prva trgovina neće isporučiti robu je 1 − 0,9 = 0,1. Vjerovatnoća da druga trgovina neće isporučiti robu je 1 − 0,8 = 0,2. Pošto su ovi događaji nezavisni, verovatnoća njihovog nastanka (obe prodavnice neće isporučiti robu) jednaka je proizvodu verovatnoća ovih događaja: 0,1 · 0,2 = 0,02

47. Od okružnog centra do sela svakodnevno saobraća autobus. Vjerovatnoća da će u ponedjeljak u autobusu biti manje od 20 putnika je 0,94. Vjerovatnoća da će biti manje od 15 putnika je 0,56. Pronađite vjerovatnoću da će broj putnika biti između 15 i 19. Rješenje: Razmotrite događaje A = „ima manje od 15 putnika u autobusu” i B = „u autobusu je od 15 do 19 putnika”. Njihov zbir je događaj A + B = "ima manje od 20 putnika u autobusu." Događaji A i B su nekompatibilni, vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja: P(A + B) = P(A) + P(B). Zatim, koristeći ove probleme, dobijamo: 0,94 = 0,56 + P(B), odakle je P(B) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Odgovor: 0,38.

48. Prije početka odbojkaške utakmice, kapiteni timova izvlače pošteno žrijeb kako bi odredili koji će tim započeti utakmicu sa loptom. Tim “Stator” se naizmjenično igra sa timovima “Rotor”, “Motor” i “Starter”. Pronađite vjerovatnoću da će Stator pokrenuti samo prvu i posljednju igru. Rješenje. Potrebno je pronaći vjerovatnoću da se dese tri događaja: “Stator” počinje prvu igru, ne počinje drugu igru ​​i počinje treću igru. Vjerovatnoća proizvoda nezavisnih događaja jednaka je proizvodu vjerovatnoća tih događaja. Vjerovatnoća svakog od njih je 0,5, od čega nalazimo: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Odgovor: 0,125.

49. U Čarobnoj zemlji postoje dvije vrste vremena: dobro i odlično, a vrijeme, kada se jednom uspostavi ujutro, ostaje nepromijenjeno cijeli dan. Poznato je da će sutra sa vjerovatnoćom 0,8 vrijeme biti isto kao danas. Danas je 3. jul, vrijeme u Čarobnoj zemlji je dobro. Pronađite vjerovatnoću da će vrijeme biti odlično u zemlji bajki 6. jula. Rješenje. Za vremenske prilike 4, 5. i 6. jula postoje 4 opcije: HHO, HOO, OHO, OOO (ovde X je dobro, O je odlično vreme). Nađimo vjerovatnoće da se takvo vrijeme dogodi: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 0,2 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 0,2 ​​0,2 ​​= 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Ovi događaji su nekompatibilni, vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja: P(HHO) + P(HOO) + P(HHO) + P(OOO) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50. Svi pacijenti sa sumnjom na hepatitis podvrgavaju se analizi krvi. Ako test otkrije hepatitis, naziva se rezultat testa pozitivno . Kod pacijenata sa hepatitisom, test daje pozitivan rezultat sa vjerovatnoćom od 0,9. Ako pacijent nema hepatitis, test može dati lažno pozitivan rezultat sa vjerovatnoćom od 0,01. Poznato je da 5% pacijenata primljenih sa sumnjom na hepatitis zaista ima hepatitis. Pronađite vjerovatnoću da će pacijent koji je primljen u kliniku sa sumnjom na hepatitis biti pozitivan. Rješenje . Analiza pacijenta može biti pozitivna iz dva razloga: A) pacijent ima hepatitis, njegova analiza je tačna; B) pacijent nema hepatitis, njegova analiza je lažna. To su nekompatibilni događaji, vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja. Imamo: p(A)=0,9 0,05=0,045; p(B)=0,01 0,95=0,0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0,045+0,0095=0,0545.

51. Miša je u džepu imao četiri bombona - "Grilyazh", "Vjeverica", "Korovka" i "Lasta", kao i ključeve od stana. Dok je vadio ključeve, Miši je slučajno ispao jedan slatkiš iz džepa. Nađite vjerovatnoću da je „Grillage“ slatkiš izgubljen.

52. Mehanički sat sa dvanaestočasovnim brojčanikom se u nekom trenutku pokvario i prestao da radi. Nađite vjerovatnoću da se kazaljka za sat zamrzne, dostižući poziciju 10 sati, ali ne i poziciju na 1 sat. Rješenje: 3: 12=0,25

53. Vjerovatnoća da je baterija neispravna je 0,06. Kupac u radnji bira nasumično pakovanje koje sadrži dvije od ovih baterija. Pronađite vjerovatnoću da su obje baterije dobre. Rješenje: Vjerovatnoća da je baterija dobra je 0,94. Verovatnoća da će se desiti nezavisni događaji (obe baterije će biti dobre) jednaka je proizvodu verovatnoća ovih događaja: 0,94·0,94 = 0,8836. Odgovor: 0,8836.

54. Automatska linija proizvodi baterije. Vjerovatnoća da je gotova baterija neispravna je 0,02. Prije pakiranja svaka baterija prolazi kroz kontrolni sistem. Vjerovatnoća da će sistem odbiti neispravnu bateriju je 0,99. Vjerovatnoća da će sistem greškom odbiti ispravnu bateriju je 0,01. Pronađite vjerovatnoću da će slučajno odabrana proizvedena baterija biti odbijena od strane sistema inspekcije. Rješenje. Situacija u kojoj će baterija biti odbijena može nastati kao rezultat sljedećih događaja: A = baterija je stvarno neispravna i ispravno je odbijena, ili B = baterija radi, ali je greškom odbijena. To su nekompatibilni događaji, vjerovatnoća njihovog zbira jednaka je zbiru vjerovatnoća ovih događaja. Imamo:

55. Na slici je prikazan lavirint. Pauk se uvlači u lavirint na ulaznoj tački. Pauk se ne može okrenuti i puzati nazad, pa na svakoj grani pauk bira jednu od staza kojom još nije puzao. Pod pretpostavkom da je izbor daljeg puta čisto slučajan, odredite s kojom vjerovatnoćom će pauk doći do izlaza.

Rješenje.

Na svakoj od četiri označene račve, pauk može izabrati ili put koji vodi do izlaza D ili drugu stazu sa vjerovatnoćom 0,5. To su nezavisni događaji, vjerovatnoća njihovog nastanka (pauk stiže do izlaza D) jednaka je proizvodu vjerovatnoća ovih događaja. Stoga je vjerovatnoća dolaska na izlaz D (0,5) 4 = 0,0625.