Dans cet article nous analyserons tous types de problèmes pour trouver

Souvenons-nous signification géométrique de la dérivée: si une tangente est tracée au graphique d'une fonction en un point, alors le coefficient de pente de la tangente (égal à la tangente de l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe) est égal à la dérivée de la fonction à ce point.

Prenons un point arbitraire sur la tangente de coordonnées :

Et considérez triangle rectangle :

Dans ce triangle

D'ici

C'est l'équation de la tangente tracée au graphique de la fonction au point.

Pour écrire l’équation de la tangente, il suffit de connaître l’équation de la fonction et le point où la tangente est tracée. Ensuite, nous pouvons trouver et .

Il existe trois principaux types de problèmes d’équation tangente.

1. Étant donné un point de contact

2. Le coefficient de pente tangente est donné, c'est-à-dire la valeur de la dérivée de la fonction en ce point.

3. Données sont les coordonnées du point par lequel la tangente est tracée, mais qui n'est pas le point de tangence.

Examinons chaque type de tâche.

1 . Écrire l'équation de la tangente au graphique de la fonction à ce point .

.

b) Trouvez la valeur de la dérivée au point . Tout d'abord, trouvons la dérivée de la fonction

Remplaçons les valeurs trouvées dans l'équation tangente :

Ouvrons les parenthèses sur le côté droit de l'équation. On a:

Répondre: .

2. Trouver l'abscisse des points auxquels les fonctions sont tangentes au graphique parallèle à l’axe des x.

Si la tangente est parallèle à l'axe des x, donc l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe est nul, donc la tangente de l'angle tangent est nulle. Cela signifie que la valeur de la dérivée de la fonction aux points de contact est nul.

a) Trouver la dérivée de la fonction .

b) Égalons la dérivée à zéro et trouvons les valeurs dans lesquelles la tangente est parallèle à l'axe :

En assimilant chaque facteur à zéro, on obtient :

Réponse : 0 ; 3 ; 5

3. Écrire des équations pour les tangentes au graphique d'une fonction , parallèle droit .

Une tangente est parallèle à une droite. La pente de cette droite est de -1. Puisque la tangente est parallèle à cette ligne, la pente de la tangente est également de -1. C'est on connaît la pente de la tangente, et ainsi, valeur dérivée au point de tangence.

C'est le deuxième type de problème pour trouver l'équation de la tangente.

On nous donne donc la fonction et la valeur de la dérivée au point de tangence.

a) Trouvez les points auxquels la dérivée de la fonction est égale à -1.

Tout d’abord, trouvons l’équation dérivée.

Assumons la dérivée au nombre -1.

Trouvons la valeur de la fonction au point.

(par condition)

.

b) Trouver l'équation de la tangente au graphique de la fonction au point .

Trouvons la valeur de la fonction au point.

(sous conditions).

Remplaçons ces valeurs dans l'équation tangente :

.

Répondre:

4 . Écrire l'équation de la tangente à la courbe , passant par un point

Tout d’abord, vérifions si le point est un point tangent. Si un point est un point tangent, alors il appartient au graphique de la fonction et ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de la fonction. Remplaçons les coordonnées du point dans l'équation de la fonction.

Titre="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} n'est pas un point de contact.

C'est le dernier type de problème pour trouver l'équation tangente. Première chose il faut trouver l'abscisse du point tangent.

Trouvons la valeur.

Soyons le point de contact. Le point appartient à la tangente au graphique de la fonction. Si nous substituons les coordonnées de ce point dans l'équation tangente, nous obtenons l'égalité correcte :

.

La valeur de la fonction en un point est .

Trouvons la valeur de la dérivée de la fonction au point.

Tout d’abord, trouvons la dérivée de la fonction. Ce .

La dérivée en un point est égale à .

Remplaçons les expressions pour et dans l'équation tangente. On obtient l'équation pour :

Résolvons cette équation.

Réduisez le numérateur et le dénominateur de la fraction par 2 :

Ramenons le côté droit de l’équation à un dénominateur commun. On a:

Simplifions le numérateur de la fraction et multiplions les deux côtés par - cette expression est strictement supérieure à zéro.

On obtient l'équation

Résolvons-le. Pour ce faire, mettons les deux parties au carré et passons au système.

Titre="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Résolvons la première équation.

Décidons équation quadratique, on a

La deuxième racine ne satisfait pas à la condition title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Écrivons l'équation de la tangente à la courbe au point. Pour ce faire, remplacez la valeur dans l'équation - Nous l'avons déjà enregistré.

Répondre:
.

Soit une fonction f, qui à un moment donné x 0 a une dérivée finie f (x 0). Alors la droite passant par le point (x 0 ; f (x 0)), ayant un coefficient angulaire f '(x 0), est appelée tangente.

Que se passe-t-il si la dérivée n'existe pas au point x 0 ? Il existe deux options :

1. Il n’y a pas non plus de tangente au graphique. Un exemple classique est la fonction y = |x | au point (0 ; 0).
2. La tangente devient verticale. C'est vrai par exemple pour la fonction y = arcsin x au point (1 ; π /2).

Équation tangente

Toute droite non verticale est donnée par une équation de la forme y = kx + b, où k est la pente. La tangente ne fait pas exception, et pour créer son équation en un point x 0, il suffit de connaître la valeur de la fonction et la dérivée en ce point.

Soit donc une fonction y = f (x) qui a une dérivée y = f '(x) sur le segment. Alors en tout point x 0 ∈ (a ; b) une tangente peut être tracée au graphique de cette fonction, qui est donnée par l'équation :

y = f '(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Ici f '(x 0) est la valeur de la dérivée au point x 0, et f (x 0) est la valeur de la fonction elle-même.

Tâche. Étant donné la fonction y = x 3 . Écrivez une équation pour la tangente au graphique de cette fonction au point x 0 = 2.

Équation tangente : y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Le point x 0 = 2 nous est donné, mais il faudra calculer les valeurs f (x 0) et f '(x 0).

Tout d’abord, trouvons la valeur de la fonction. Tout est simple ici : f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8 ;
Trouvons maintenant la dérivée : f '(x) = (x 3)' = 3x 2 ;
Nous substituons x 0 = 2 dans la dérivée : f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12 ;
Au total, nous obtenons : y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
C'est l'équation tangente.

Tâche. Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction f (x) = 2sin x + 5 au point x 0 = π /2.

Cette fois, nous ne décrirons pas chaque action en détail, nous indiquerons seulement les étapes clés. Nous avons:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7 ;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x ;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0 ;

Équation tangente :

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Dans ce dernier cas, la ligne droite s'est avérée horizontale, car son coefficient angulaire k = 0. Il n'y a rien de mal à cela - nous sommes juste tombés sur un point extrême.

Tangente est une droite passant par un point de la courbe et coïncidant avec lui en ce point jusqu'au premier ordre (Fig. 1).

Une autre définition: c'est la position limite de la sécante en Δ X→0.

Explication : Prenez une droite coupant la courbe en deux points : UN Et b(voir l'image). C'est une sécante. Nous allons le faire pivoter dans le sens des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il ne trouve qu'un seul point commun avec la courbe. Cela nous donnera une tangente.

Définition stricte de la tangente :

Tangente au graphique d'une fonction F, différentiable au point XÔ, est une droite passant par le point ( XÔ; F(XÔ)) et ayant une pente F′( XÔ).

La pente a une ligne droite de la forme y =kx +b. Coefficient k et est pente cette ligne droite.

Le coefficient angulaire est égal à la tangente de l'angle aigu formé par cette droite avec l'axe des abscisses :

k = bronzage α

Ici l'angle α est l'angle entre la droite y =kx +b et la direction positive (c'est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) de l'axe des x. On l'appelle angle d'inclinaison d'une ligne droite(Fig. 1 et 2).

Si l'angle d'inclinaison est droit y =kx +b aigu, alors la pente est un nombre positif. Le graphique augmente (Fig. 1).

Si l'angle d'inclinaison est droit y =kx +b est obtus, alors la pente est un nombre négatif. Le graphique est décroissant (Fig. 2).

Si la droite est parallèle à l’axe des x, alors l’angle d’inclinaison de la droite est nul. Dans ce cas, la pente de la droite est également nulle (puisque la tangente de zéro est nulle). L'équation de la droite ressemblera à y = b (Fig. 3).

Si l'angle d'inclinaison d'une droite est de 90º (π/2), c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors la droite est donnée par l'égalité X =c, Où c– un nombre réel (Fig. 4).

Équation de la tangente au graphique d'une fonctionoui = F(X) au point XÔ:

Exemple : Trouver l'équation de la tangente au graphique de la fonction F(X) = X 3 – 2X 2 + 1 au point d'abscisse 2.

Solution .

Nous suivons l'algorithme.

1) Point de contact XÔ est égal à 2. Calculer F(XÔ):

F(XÔ) = F(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Trouver F′( X). Pour ce faire, nous appliquons les formules de différenciation décrites dans la section précédente. D'après ces formules, X 2 = 2X, UN X 3 = 3X 2. Moyens:

F′( X) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Maintenant, en utilisant la valeur résultante F′( X), calculer F′( XÔ):

F′( XÔ) = F′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Nous avons donc toutes les données nécessaires : XÔ = 2, F(XÔ) = 1, F ′( XÔ) = 4. Remplacez ces nombres dans l'équation tangente et trouvez la solution finale :

y = F(XÔ) + F′( XÔ) (x – xo) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Réponse : y = 4x – 7.

Au stade actuel de développement de l'éducation, l'une de ses tâches principales est la formation d'une personnalité à la pensée créative. La capacité de créativité des étudiants ne peut être développée que s'ils sont systématiquement impliqués dans les bases des activités de recherche. La base permettant aux étudiants d'utiliser leurs pouvoirs créatifs, leurs capacités et leurs talents est constituée de connaissances et de compétences à part entière. À cet égard, le problème de la formation d'un système notions de base et compétences pour chaque sujet cours scolaire les mathématiques n’ont pas une petite importance. Dans le même temps, des compétences à part entière devraient être l'objectif didactique non pas de tâches individuelles, mais d'un système soigneusement pensé de celles-ci. Dans le très dans un sens large un système est compris comme un ensemble d’éléments en interaction interconnectés avec intégrité et une structure stable.

Considérons une technique pour enseigner aux étudiants comment écrire une équation pour une tangente au graphique d'une fonction. Essentiellement, tous les problèmes liés à la recherche de l'équation tangente se résument à la nécessité de sélectionner parmi un ensemble (faisceau, famille) de droites celles qui satisfont à une certaine exigence - elles sont tangentes au graphique d'une certaine fonction. Dans ce cas, l'ensemble des lignes à partir duquel la sélection est effectuée peut être précisé de deux manières :

a) un point situé sur le plan xOy (crayon central de lignes) ;
b) coefficient angulaire (faisceau parallèle de lignes droites).

A cet égard, en étudiant le thème « Tangente au graphe d'une fonction » afin d'isoler les éléments du système, nous avons identifié deux types de problèmes :

1) problèmes sur une tangente donnés par le point par lequel elle passe ;
2) problèmes sur une tangente donnée par sa pente.

La formation à la résolution de problèmes tangents a été réalisée à l'aide de l'algorithme proposé par A.G. Mordkovitch. Son différence fondamentale parmi ceux déjà connus, c'est que l'abscisse du point de tangence est désignée par la lettre a (au lieu de x0), et donc l'équation de la tangente prend la forme

y = f(une) + f "(une)(x – une)

(à comparer avec y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Cette technique méthodologique, à notre avis, permet aux étudiants de comprendre rapidement et facilement où sont écrites les coordonnées du point actuel l'équation générale de la tangente et où sont les points de contact.

Algorithme de composition de l'équation tangente au graphique de la fonction y = f(x)

1. Désignons l'abscisse du point tangent par la lettre a.
2. Trouvez f(a).
3. Trouvez f "(x) et f "(a).
4. Remplacez les nombres trouvés a, f(a), f "(a) dans l'équation tangente générale y = f(a) = f "(a)(x – a).

Cet algorithme peut être compilé sur la base de l’identification indépendante des opérations par les étudiants et de la séquence de leur mise en œuvre.

La pratique a montré que la solution séquentielle de chacun des problèmes clés à l'aide d'un algorithme permet de développer les compétences d'écriture de l'équation d'une tangente au graphique d'une fonction par étapes, et les étapes de l'algorithme servent de points de référence pour les actions. . Cette approche correspond à la théorie de la formation progressive des actions mentales développée par P.Ya. Galperin et N.F. Talyzina.

Dans le premier type de tâches, deux tâches clés ont été identifiées :

• la tangente passe par un point situé sur la courbe (problème 1) ;
• la tangente passe par un point ne se trouvant pas sur la courbe (problème 2).

Tâche 1. Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction au point M(3; – 2).

Solution. Le point M(3; – 2) est un point tangent, puisque

1. a = 3 – abscisse du point tangent.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – équation tangente.

Problème 2. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y = – x 2 – 4x + 2 passant par le point M(– 3 ; 6).

Solution. Le point M(– 3 ; 6) n'est pas un point tangent, puisque f(– 3) 6 (Fig. 2).

2. f(une) = – une 2 – 4une + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – équation tangente.

La tangente passe par le point M(– 3; 6), donc ses coordonnées satisfont à l'équation de la tangente.

6 = – une 2 – 4une + 2 – 2(une + 2)(– 3 – une),
un 2 + 6a + 8 = 0 ^ un 1 = – 4, un 2 = – 2.

Si a = – 4, alors l’équation tangente est y = 4x + 18.

Si a = – 2, alors l’équation tangente a la forme y = 6.

Dans le deuxième type, les tâches clés seront les suivantes :

• la tangente est parallèle à une ligne (problème 3) ;
• la tangente passe sous un certain angle par rapport à la ligne donnée (problème 4).

Problème 3. Écrivez les équations de toutes les tangentes au graphique de la fonction y = x 3 – 3x 2 + 3, parallèle à la droite y = 9x + 1.

1. a – abscisse du point tangent.
2. f(une) = une 3 – 3une 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Mais, d'un autre côté, f "(a) = 9 (condition de parallélisme). Cela signifie que nous devons résoudre l'équation 3a 2 – 6a = 9. Ses racines sont a = – 1, a = 3 (Fig. 3 ).

4. 1) une = – 1 ;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9 ;
4) y = – 1 + 9(x + 1) ;

y = 9x + 8 – équation tangente ;

1) une = 3 ;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9 ;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – équation tangente.

Problème 4. Écrivez l'équation de la tangente au graphique de la fonction y = 0,5x 2 – 3x + 1, passant sous un angle de 45° par rapport à la droite y = 0 (Fig. 4).

Solution. A partir de la condition f "(a) = tan 45° on trouve a : a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – abscisse du point tangent.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – équation tangente.

Il est facile de montrer que la résolution de tout autre problème revient à résoudre un ou plusieurs problèmes clés. Considérons les deux problèmes suivants à titre d'exemple.

1. Écrivez les équations des tangentes à la parabole y = 2x 2 – 5x – 2, si les tangentes se coupent à angle droit et que l'une d'elles touche la parabole au point d'abscisse 3 (Fig. 5).

Solution. L’abscisse du point tangent étant donnée, la première partie de la solution se réduit au problème clé 1.

1. a = 3 – abscisse du point de tangence d'un des côtés angle droit.
2.f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – équation de la première tangente.

Soit a l'angle d'inclinaison de la première tangente. Puisque les tangentes sont perpendiculaires, alors l’angle d’inclinaison de la deuxième tangente est égal à. De l’équation y = 7x – 20 de la première tangente nous avons tg a = 7. Trouvons

Cela signifie que la pente de la deuxième tangente est égale à .

La solution supplémentaire se résume à la tâche clé 3.

Soit B(c; f(c)) le point de tangence de la deuxième droite, alors

1. – abscisse du deuxième point de tangence.
2.
3.
4.
– équation de la deuxième tangente.

Note. Le coefficient angulaire de la tangente peut être trouvé plus facilement si les élèves connaissent le rapport des coefficients des droites perpendiculaires k 1 k 2 = – 1.

2. Écrivez les équations de toutes les tangentes communes aux graphiques de fonctions

Solution. Le problème revient à trouver l'abscisse des points de tangence des tangentes communes, c'est-à-dire à résoudre le problème clé 1 dans vue générale, élaborant un système d'équations et sa solution ultérieure (Fig. 6).

1. Soit a l'abscisse du point tangent situé sur le graphique de la fonction y = x 2 + x + 1.
2. f(une) = une 2 + une + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = une 2 + une + 1 + (2a + 1)(x – une) = (2a + 1)x + 1 – une 2 .

1. Soit c l'abscisse du point tangent situé sur le graphique de la fonction
2.
3. f"(c) = c.
4.

Puisque les tangentes sont générales, alors

Donc y = x + 1 et y = – 3x – 3 sont des tangentes communes.

L'objectif principal des tâches considérées est de préparer les étudiants à reconnaître de manière autonome le type de problème clé lors de la résolution de problèmes plus complexes qui nécessitent certaines compétences de recherche (capacité d'analyser, de comparer, de généraliser, d'émettre une hypothèse, etc.). Ces tâches incluent toute tâche dans laquelle la tâche clé est incluse en tant que composant. Considérons comme exemple le problème (inverse du problème 1) de trouver une fonction à partir de la famille de ses tangentes.

3. Pour quoi b et c sont les droites y = x et y = – 2x tangentes au graphique de la fonction y = x 2 + bx + c ?

Soit t l'abscisse du point de tangence de la droite y = x avec la parabole y = x 2 + bx + c ; p est l'abscisse du point de tangence de la droite y = – 2x avec la parabole y = x 2 + bx + c. Alors l'équation tangente y = x prendra la forme y = (2t + b)x + c – t 2 , et l'équation tangente y = – 2x prendra la forme y = (2p + b)x + c – p 2 .

Composons et résolvons un système d'équations

Répondre:

Premier niveau

Équation d'une tangente au graphique d'une fonction. Guide complet (2019)

Savez-vous déjà ce qu'est un dérivé ? Sinon, lis d'abord le sujet. Donc vous dites que vous connaissez la dérivée. Vérifions-le maintenant. Recherchez l'incrément de la fonction lorsque l'incrément de l'argument est égal à. Avez-vous réussi ? Cela devrait fonctionner. Trouvez maintenant la dérivée de la fonction en un point. Répondre: . Arrivé? Si vous rencontrez des difficultés avec l’un de ces exemples, je vous recommande fortement de revenir sur le sujet et de l’étudier à nouveau. Je sais que le sujet est très vaste, mais sinon cela ne sert à rien d’aller plus loin. Considérons le graphique d'une fonction :

Sélectionnons un certain point sur la ligne graphique. Soit son abscisse, alors l'ordonnée est égale. Puis on sélectionne le point dont l'abscisse est proche du point ; son ordonnée est :

Traçons une ligne droite passant par ces points. C'est ce qu'on appelle une sécante (comme en géométrie). Notons l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe comme. Comme en trigonométrie, cet angle est mesuré à partir de la direction positive de l'axe des x dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Quelles valeurs l'angle peut-il prendre ? Quelle que soit la façon dont vous inclinez cette ligne droite, une moitié restera toujours debout. Par conséquent, l’angle maximum possible est , et l’angle minimum possible est . Moyens, . L'angle n'est pas inclus, car la position de la ligne droite dans ce cas coïncide exactement avec, et il est plus logique de choisir un angle plus petit. Prenons un point de la figure tel que la droite soit parallèle à l'axe des abscisses et a soit l'axe des ordonnées :

Sur la figure, on peut voir que a. Le rapport des incréments est alors :

(puisqu'il est rectangulaire).

Réduisons-le maintenant. Ensuite, le point s'approchera du point. Lorsqu'il devient infinitésimal, le rapport devient égal à la dérivée de la fonction en ce point. Que va-t-il arriver à la sécante ? Le point sera infiniment proche du point, de sorte qu'ils pourront être considérés comme le même point. Mais une ligne droite qui n'a qu'un seul point commun avec une courbe n'est rien d'autre que tangente(dans ce cas, cette condition n'est remplie que dans une petite zone - à proximité du point, mais cela suffit). On dit que dans ce cas la sécante prend position limite.

Appelons l'angle d'inclinaison de la sécante par rapport à l'axe. Il s’avère alors que la dérivée

c'est la dérivée est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique de la fonction en un point donné.

Puisqu'une tangente est une droite, rappelons maintenant l'équation d'une droite :

De quoi est responsable le coefficient ? Pour la pente de la droite. Voilà comment ça s'appelle : pente. Qu'est-ce que ça veut dire? Et le fait qu'elle soit égale à la tangente de l'angle entre la droite et l'axe ! Autrement dit, voici ce qui se passe :

Mais nous avons obtenu cette règle en considérant une fonction croissante. Qu'est-ce qui changera si la fonction diminue ? Voyons:
Maintenant, les angles sont obtus. Et l'incrément de la fonction est négatif. Considérons à nouveau : . D'un autre côté, . Nous obtenons : , c'est-à-dire que tout est comme la dernière fois. Dirigons à nouveau le point vers le point, et la sécante prendra une position limite, c'est-à-dire qu'elle se transformera en tangente au graphique de la fonction au point. Formulons donc la règle finale :
La dérivée d'une fonction en un point donné est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique de la fonction en ce point, ou (ce qui revient au même) la pente de cette tangente :

C'est ce que c'est signification géométrique de la dérivée. D'accord, tout cela est intéressant, mais pourquoi en avons-nous besoin ? Ici exemple:
La figure montre un graphique d'une fonction et d'une tangente à celle-ci au point abscisse. Trouvez la valeur de la dérivée de la fonction en ce point.
Solution.
Comme nous l'avons découvert récemment, la valeur de la dérivée au point de tangence est égale à la pente de la tangente, qui elle-même est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de cette tangente à l'axe des abscisses : . Cela signifie que pour trouver la valeur de la dérivée, nous devons trouver la tangente de l’angle tangent. Sur la figure nous avons marqué deux points situés sur la tangente dont les coordonnées nous sont connues. Terminons donc la construction d'un triangle rectangle passant par ces points et trouvons la tangente de l'angle tangent !

L'angle d'inclinaison de la tangente à l'axe est. Trouvons la tangente de cet angle : . Ainsi, la dérivée de la fonction en un point est égale à.
Répondre:. Maintenant, essayez-le vous-même :

Réponses:

Connaissance signification géométrique de la dérivée, nous pouvons expliquer très simplement la règle selon laquelle la dérivée au point de maximum ou de minimum local est égale à zéro. En effet, la tangente au graphique en ces points est « horizontale », c'est-à-dire parallèle à l'axe des x :

Quel est l'angle entre des lignes parallèles ? Bien sûr, zéro ! Et la tangente de zéro est également nulle. La dérivée est donc égale à zéro :

En savoir plus à ce sujet dans le sujet « Monotonie des fonctions. Points extrêmes."

Concentrons-nous maintenant sur les tangentes arbitraires. Disons que nous avons une fonction, par exemple . Nous avons dessiné son graphique et souhaitons lui tracer une tangente à un moment donné. Par exemple, à un moment donné. Nous prenons une règle, l'attachons au graphique et dessinons :

Que sait-on de cette ligne ? Quelle est la chose la plus importante à savoir sur une ligne sur un plan de coordonnées ? Puisqu’une droite est l’image d’une fonction linéaire, il serait très pratique de connaître son équation. Autrement dit, les coefficients de l'équation

Mais on le sait déjà ! Il s'agit de la pente de la tangente, qui est égale à la dérivée de la fonction en ce point :

Dans notre exemple, cela ressemblera à ceci :

Il ne reste plus qu'à le trouver. C'est aussi simple que de décortiquer des poires : après tout, la valeur de. Graphiquement, c'est la coordonnée de l'intersection de la ligne avec l'axe des ordonnées (après tout, en tous points de l'axe) :

Dessinons-le (il est donc rectangulaire). Puis (au même angle entre la tangente et l'axe des x). À quoi sont et égaux ? La figure montre clairement que a. On obtient alors :

Nous combinons toutes les formules obtenues dans l'équation d'une droite :

Maintenant, décidez vous-même :

1. Trouver équation tangenteà une fonction en un point.
2. La tangente à une parabole coupe l'axe selon un angle. Trouvez l'équation de cette tangente.
3. La droite est parallèle à la tangente au graphique de la fonction. Trouvez l'abscisse du point tangent.
4. La droite est parallèle à la tangente au graphique de la fonction. Trouvez l'abscisse du point tangent.

Solutions et réponses :

EQUATION D'UNE TANGENTE AU GRAPHE D'UNE FONCTION. BRÈVE DESCRIPTION ET FORMULES DE BASE

La dérivée d'une fonction en un point particulier est égale à la tangente de la tangente au graphique de la fonction en ce point, ou à la pente de cette tangente :

Équation de la tangente au graphique d'une fonction en un point :

Algorithme pour trouver l'équation tangente :

Eh bien, le sujet est terminé. Si vous lisez ces lignes, c’est que vous êtes très cool.

Parce que seulement 5 % des gens sont capables de maîtriser quelque chose par eux-mêmes. Et si vous lisez jusqu'au bout, alors vous êtes dans ces 5% !

Maintenant, le plus important.

Vous avez compris la théorie sur ce sujet. Et je le répète, ça... c'est juste super ! Vous êtes déjà meilleur que la grande majorité de vos pairs.

Le problème est que cela ne suffit peut-être pas...

Pour quoi?

Pour réussir réussir l'examen d'État unifié, pour l'admission à l'université avec un budget limité et, SURTOUT, à vie.

Je ne vais vous convaincre de rien, je dirai juste une chose...

Les personnes qui ont reçu une bonne éducation gagnent beaucoup plus que celles qui ne l’ont pas reçue. Ce sont des statistiques.

Mais ce n’est pas l’essentiel.

L'essentiel est qu'ils soient PLUS HEUREUX (il existe de telles études). Peut-être parce que de nombreuses autres opportunités s'ouvrent devant eux et que la vie devient plus lumineuse ? Je ne sais pas...

Mais pensez par vous-même...

Que faut-il pour être sûr d'être meilleur que les autres à l'examen d'État unifié et finalement être... plus heureux ?

GAGNEZ VOTRE MAIN EN RÉSOUDANT DES PROBLÈMES SUR CE SUJET.

Aucune théorie ne vous sera demandée lors de l'examen.

Tu auras besoin de résoudre des problèmes contre le temps.

Et si vous ne les avez pas résolus (BEAUCOUP !), vous ferez certainement une erreur stupide quelque part ou vous n’aurez tout simplement pas le temps.

C'est comme dans le sport : il faut répéter plusieurs fois pour gagner avec certitude.

Retrouvez la collection où vous voulez, nécessairement avec des solutions, analyse détaillée et décidez, décidez, décidez !

Vous pouvez utiliser nos tâches (facultatif) et nous les recommandons bien sûr.

Afin de mieux utiliser nos tâches, vous devez contribuer à prolonger la durée de vie du manuel YouClever que vous lisez actuellement.

Comment? Il existe deux options :

1. Débloquez toutes les tâches cachées dans cet article - 299 roubles.
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Oui, nous avons 99 articles de ce type dans notre manuel et l'accès à toutes les tâches et à tous les textes cachés qu'elles contiennent peut être ouvert immédiatement.

Dans le deuxième cas nous vous donnerons simulateur « 6000 problèmes avec solutions et réponses, pour chaque sujet, à tous les niveaux de complexité. » Ce sera certainement suffisant pour mettre la main sur la résolution de problèmes sur n'importe quel sujet.

En fait, il s’agit bien plus qu’un simple simulateur : tout un programme de formation. Si nécessaire, vous pouvez également l'utiliser GRATUITEMENT.

L’accès à tous les textes et programmes est assuré pendant TOUTE la durée d’existence du site.

En conclusion...

Si vous n'aimez pas nos tâches, trouvez-en d'autres. Ne vous arrêtez pas à la théorie.

« Compris » et « Je peux résoudre » sont des compétences complètement différentes. Vous avez besoin des deux.

Trouvez les problèmes et résolvez-les !