Définition.

Rectangle est un quadrilatère dans lequel deux côtés opposés sont égaux et les quatre angles sont égaux.

Les rectangles ne diffèrent les uns des autres que par le rapport entre le côté long et le côté court, mais les quatre coins sont droits, c'est-à-dire à 90 degrés.

Le côté long d'un rectangle s'appelle longueur du rectangle, et le court - largeur du rectangle.

Les côtés d'un rectangle sont aussi ses hauteurs.

Propriétés de base d'un rectangle

Un rectangle peut être un parallélogramme, un carré ou un losange.

1. Les côtés opposés du rectangle ont la même longueur, c'est-à-dire qu'ils sont égaux :

AB = CD, BC = AD

2. Les côtés opposés du rectangle sont parallèles :

3. Les côtés adjacents d'un rectangle sont toujours perpendiculaires :

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Les quatre coins du rectangle sont droits :

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. La somme des angles d'un rectangle est de 360 ​​​​degrés :

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Les diagonales d'un rectangle ont la même longueur :

7. La somme des carrés de la diagonale d'un rectangle est égale à la somme des carrés des côtés :

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Chaque diagonale d'un rectangle divise le rectangle en deux figures identiques, soit des triangles rectangles.

9. Les diagonales du rectangle se coupent et sont divisées en deux au point d'intersection :

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Le point d'intersection des diagonales est appelé centre du rectangle et est également le centre du cercle circonscrit

11. La diagonale d'un rectangle est le diamètre du cercle circonscrit

12. Vous pouvez toujours décrire un cercle autour d'un rectangle, puisque la somme des angles opposés est de 180 degrés :

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Un cercle ne peut pas être inscrit dans un rectangle dont la longueur n'est pas égale à sa largeur, puisque les sommes des côtés opposés ne sont pas égales entre elles (un cercle ne peut être inscrit que dans un cas particulier de rectangle - un carré) .

Côtés d'un rectangle

Définition.

Longueur du rectangle est la longueur de la paire de côtés la plus longue. Largeur du rectangle est la longueur de la paire de côtés la plus courte.

Formules pour déterminer les longueurs des côtés d'un rectangle

1. Formule pour le côté d'un rectangle (longueur et largeur du rectangle) passant par la diagonale et l'autre côté :

une = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - une 2

2. Formule pour le côté d'un rectangle (longueur et largeur du rectangle) passant par l'aire et l'autre côté :

b = décos	β
	2

Diagonale d'un rectangle

Définition.

Rectangle diagonal Tout segment reliant deux sommets de coins opposés d'un rectangle est appelé.

Formules pour déterminer la longueur de la diagonale d'un rectangle

1. Formule pour la diagonale d'un rectangle utilisant deux côtés du rectangle (via le théorème de Pythagore) :

d = √ une 2 + b 2

2. Formule pour la diagonale d'un rectangle en utilisant l'aire et n'importe quel côté :

4. Formule de la diagonale d'un rectangle en fonction du rayon du cercle circonscrit :

d = 2R

5. Formule de la diagonale d'un rectangle en fonction du diamètre du cercle circonscrit :

d = D o

6. Formule de la diagonale d'un rectangle en utilisant le sinus de l'angle adjacent à la diagonale et la longueur du côté opposé à cet angle :

8. Formule pour la diagonale d'un rectangle passant par le sinus de l'angle aigu entre les diagonales et l'aire du rectangle

d = √2S : péché β

Périmètre d'un rectangle

Définition.

Périmètre d'un rectangle est la somme des longueurs de tous les côtés d’un rectangle.

Formules pour déterminer la longueur du périmètre d'un rectangle

1. Formule pour le périmètre d'un rectangle utilisant deux côtés du rectangle :

P = 2a + 2b

P = 2(une + b)

2. Formule pour le périmètre d'un rectangle en utilisant l'aire et n'importe quel côté :

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b2
	un		b

3. Formule pour le périmètre d'un rectangle en utilisant la diagonale et n'importe quel côté :

P = 2(une + √ d 2 - une 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. Formule pour le périmètre d'un rectangle en utilisant le rayon du cercle circonscrit et n'importe quel côté :

P = 2(une + √4R 2 - un 2) = 2(b + √4R 2 - b2)

5. Formule pour le périmètre d'un rectangle en utilisant le diamètre du cercle circonscrit et n'importe quel côté :

P = 2(une + √D o 2 - un 2) = 2(b + √D o 2 - b2)

Aire d'un rectangle

Définition.

Aire d'un rectangle appelé l'espace limité par les côtés du rectangle, c'est-à-dire à l'intérieur du périmètre du rectangle.

Formules pour déterminer l'aire d'un rectangle

1. Formule pour l'aire d'un rectangle utilisant deux côtés :

S = un b

2. Formule pour l'aire d'un rectangle en utilisant le périmètre et n'importe quel côté :

5. Formule pour l'aire d'un rectangle en utilisant le rayon du cercle circonscrit et n'importe quel côté :

S = une √4R 2 - un 2= b √4R 2 - b2

6. Formule pour l'aire d'un rectangle en utilisant le diamètre du cercle circonscrit et n'importe quel côté :

S = une √D o 2 - un 2= b √D o 2 - b2

Cercle circonscrit à un rectangle

Définition.

Un cercle circonscrit à un rectangle est un cercle passant par les quatre sommets d'un rectangle dont le centre se situe à l'intersection des diagonales du rectangle.

Formules pour déterminer le rayon d'un cercle circonscrit à un rectangle

1. Formule du rayon d'un cercle circonscrit à un rectangle passant par deux côtés :

Lors de la résolution, il est nécessaire de prendre en compte que résoudre le problème de trouver l'aire d'un rectangle uniquement à partir de la longueur de ses côtés c'est interdit.

C’est facile à vérifier. Soit le périmètre du rectangle égal à 20 cm. Cela sera vrai si ses côtés sont 1 et 9, 2 et 8, 3 et 7 cm. Tous ces trois rectangles auront le même périmètre, égal à vingt centimètres. (1 + 9) * 2 = 20 est exactement la même chose que (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Comme vous pouvez le voir, nous pouvons sélectionner un nombre infini d'options les dimensions des côtés du rectangle dont le périmètre sera égal à la valeur spécifiée.

L'aire des rectangles d'un périmètre donné de 20 cm, mais de côtés différents, sera différente. Pour l'exemple donné - respectivement 9, 16 et 21 centimètres carrés.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Comme vous pouvez le constater, il existe un nombre infini d'options pour l'aire d'une figure pour un périmètre donné.

Avis aux curieux. Dans le cas d’un rectangle de périmètre donné, l’aire maximale sera un carré.

Ainsi, pour calculer l'aire d'un rectangle à partir de son périmètre, il faut connaître soit le rapport de ses côtés, soit la longueur de l'un d'eux. La seule figure dont la superficie dépend sans ambiguïté de son périmètre est un cercle. Uniquement pour le cercle et une solution possible.

Dans cette leçon :

• Problème 4. Changer la longueur des côtés tout en conservant l'aire du rectangle

Problème 1. Trouver les côtés d'un rectangle à partir de la zone

Le périmètre du rectangle est de 32 centimètres et la somme des aires des carrés construits sur chacun de ses côtés est de 260 centimètres carrés. Trouvez les côtés du rectangle.
Solution.

2(x+y)=32
Selon les conditions du problème, la somme des aires des carrés construits sur chacun de ses côtés (respectivement quatre carrés) sera égale à
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-ans
2(16-ans) 2 +2ans 2 =260
2(256-32a+y2)+2a2 =260
512-64 ans+4 ans 2 -260=0
4 ans 2 -64 ans + 252 = 0
D=4096-16x252=64
x1 =9
x2 =7
Prenons maintenant en compte cela en partant du fait que x+y=16 (voir ci-dessus) à x=9, alors y=7 et vice versa, si x=7, alors y=9
Répondre: Les côtés du rectangle mesurent 7 et 9 centimètres

Problème 2. Trouver les côtés d'un rectangle à partir du périmètre

Le périmètre du rectangle est de 26 cm et la somme des aires des carrés construits sur ses deux côtés adjacents est de 89 mètres carrés. cm Trouvez les côtés du rectangle.
Solution.
Notons les côtés du rectangle par x et y.
Alors le périmètre du rectangle vaut :
2(x+y)=26
La somme des aires des carrés construits sur chacun de ses côtés (il y a respectivement deux carrés, et ce sont des carrés de largeur et de hauteur, puisque les côtés sont adjacents) sera égale à
x2 +y2 =89
Nous résolvons le système d'équations résultant. De la première équation on déduit que
x+y=13
y=13-y
Nous effectuons maintenant une substitution dans la deuxième équation, en remplaçant x par son équivalent.
(13-ans) 2 +oui 2 =89
169-26a+a2 +a2 -89=0
2 ans 2 -26 ans + 80 = 0
Résoudre ce que nous avons équation quadratique.
D=676-640=36
x1 =5
x2 =8
Prenons maintenant en compte cela en partant du fait que x+y=13 (voir ci-dessus) à x=5, alors y=8 et vice versa, si x=8, alors y=5
Réponse : 5 et 8 cm

Problème 3. Trouver l'aire d'un rectangle à partir de la proportion de ses côtés

Trouvez l'aire d'un rectangle si son périmètre est de 26 cm et que ses côtés sont proportionnels à 2 à 3.

Solution.
Notons les côtés du rectangle par le coefficient de proportionnalité x.
Par conséquent, la longueur d’un côté sera égale à 2x, l’autre à 3x.

Alors:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Maintenant, sur la base des données obtenues, nous déterminons l'aire du rectangle :
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2

Problème 4. Changer la longueur des côtés tout en conservant l'aire du rectangle

La longueur du rectangle est augmentée de 25 %. De quel pourcentage faut-il réduire la largeur pour que sa superficie ne change pas ?

Solution.
L'aire du rectangle est
S = ab

Dans notre cas, l'un des facteurs a augmenté de 25 %, ce qui signifie a 2 = 1,25a. La nouvelle aire du rectangle doit donc être égale à
S2 = 1,25ab

Ainsi, afin de ramener l'aire du rectangle à la valeur initiale, alors
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25

Puisque la nouvelle taille a ne peut pas être modifiée, alors
S 2 = (1,25a) b / 1,25

1 / 1,25 = 0,8
Ainsi, la valeur du deuxième côté doit être réduite de (1 - 0,8) * 100 % = 20 %

Répondre: la largeur doit être réduite de 20%.

4. Formule pour le rayon d'un cercle, qui est décrit autour d'un rectangle passant par la diagonale d'un carré :

5. Formule pour le rayon d'un cercle, qui est décrit autour d'un rectangle passant par le diamètre du cercle (décrit) :

6. Formule du rayon d'un cercle, qui est décrit autour d'un rectangle passant par le sinus de l'angle adjacent à la diagonale, et la longueur du côté opposé à cet angle :

7. Formule du rayon d'un cercle, qui est décrit autour d'un rectangle passant par le cosinus de l'angle adjacent à la diagonale, et la longueur du côté de cet angle :

8. Formule du rayon d'un cercle, qui est décrit autour d'un rectangle passant par le sinus de l'angle aigu entre les diagonales et l'aire du rectangle :

L'angle entre le côté et la diagonale d'un rectangle.

Formules pour déterminer l'angle entre le côté et la diagonale d'un rectangle :

1. Formule pour déterminer l'angle entre le côté et la diagonale d'un rectangle passant par la diagonale et le côté :

2. Formule pour déterminer l'angle entre le côté et la diagonale d'un rectangle par l'angle entre les diagonales :

L'angle entre les diagonales d'un rectangle.

Formules pour déterminer l'angle entre les diagonales d'un rectangle :

1. Formule pour déterminer l'angle entre les diagonales d'un rectangle par l'angle entre le côté et la diagonale :

β = 2α

2. Formule pour déterminer l'angle entre les diagonales d'un rectangle passant par l'aire et la diagonale.

Alors, regardons d’abord les formules pour trouver l’aire et le périmètre :

1) S = a * b = 56 cm2 ;

2) P = 2a + 2b = 30 cm.

Après tout, nous savons qu’un rectangle a deux côtés identiques.

Nous devons donc résoudre un système de deux équations :

De là, nous voyons qu’un côté vaut 7 et l’autre vaut 8.

Connaissant les formules du périmètre d'un rectangle et de son aire, les côtés sont recherchés sous la forme de la résolution d'un système de deux équations. Tout d'abord, nous exprimons la valeur d'un côté à travers l'autre et, par exemple, l'aire. Cela ressemble à ceci : A = S / B = 56 / B

Ensuite, nous substituons cette expression à la lettre A dans l'équation du périmètre :

P=2(56/V + V)=30

On obtient que 56/B+B=15

Dans cette équation, vous n'avez même pas besoin de la résoudre - toute personne familiarisée avec la table de multiplication peut immédiatement voir que 56 est le produit de 7 et 8, et puisque la somme de ces nombres n'est que 15, alors ce sont les valeurs ​​​des côtés du rectangle dont nous avons besoin.

Vous pouvez essayer de résoudre ce problème en créant un système d'équations.

Le périmètre du rectangle est : p=2a+2b ;

L'aire du rectangle est : s=a*b ;

Puisque nous connaissons le périmètre et la superficie, nous substituons immédiatement les chiffres :

Exprimez b en fonction de a dans la deuxième équation :

Et remplacez 56/a au lieu de b dans la première équation :

Multipliez les deux côtés par a :

On obtient une équation quadratique :

Trouver les racines de cette équation quadratique :

(15(15-4*1*56))/2*1 = (15(225-224))/2 = (151)/2 = (151)/2

Il s’avère que les racines de cette équation sont :

a1=(15+1)/2=16/2=8 ;

a2=(15-1)/2=14/2=7;

Il s'avère que nous avons 2 options possibles pour les rectangles.

Rappelons ce que nous avons exprimé : b=56/a ;

De là, nous trouvons possible b :

b1=56/a1=56/8=7 ;

b2=56/a2=56/7=8 ;

Il s'est avéré que ces deux rectangles différents ne font qu'un ; vous pouvez simplement obtenir un périmètre de 30 avec une aire de 56 :

Si a=7 et b=8.

Ou vice versa : a=8 et b=7.

Autrement dit, nous avons essentiellement le même rectangle, juste dans une version, le côté vertical est plus grand que l'horizontal, et dans l'autre, au contraire, le côté horizontal est plus grand que le vertical.

Réponse : un côté mesure 7 centimètres et l'autre 8 centimètres.

• Rappelons la géométrie scolaire :

  Le périmètre d'un rectangle est la somme des longueurs de tous les côtés, et l'aire d'un rectangle est le produit de ses deux côtés adjacents (longueur par largeur).

  Dans ce cas, nous connaissons à la fois l’aire et le périmètre du rectangle. Ils mesurent respectivement 56 cm^2 et 30 cm.

  Donc la solution :

  S - superficie = a x b ;

  P - périmètre = a + b + a + b = 2a + 2b ;

  30 = 2 (une + b);

  Faisons une substitution :

  56 = (15 - b) x b ;

  56 = 15 b - b ^ 2 ;

  b ^ 2 - 15b + 56 = 0.

  Nous avons une équation quadratique, en résolvant laquelle nous obtenons : b1 = 8, b2 = 7.

  On retrouve l'autre côté du rectangle :

  a1 = 15 - 8 = 7 ;

  a2 = 15 - 7 = 8.

  Réponse : Les côtés du rectangle mesurent 8 et 7 cm ou 7 et 8 cm.

  Si le périmètre d'un rectangle est P = 30 cm et son aire est S = 56 cm, alors ses côtés seront égaux :

  a - un côté, b - l'autre côté du rectangle.

  Après avoir résolu ce système, nous arrivons à la conclusion que le côté a sera égal à 7 cm et le côté b sera égal à 8 cm.

  a = 7 cm b = 8 cm.

• Étant donné : S = 56 cm

  P = 30 cm

  Côtés =?

  Solution:

  Soit les côtés du rectangle a et b.

  Alors : aire S = a * b, périmètre P=2*(a + b),

  On obtient un système d'équations :

  (a*b=56 ? (ab=56

  (2(a+b)=30, (a+b=15, en exprimant b par a on obtient une équation quadratique :

  b=15-a, a^2 -15a +56 =0 , en résolvant ce que nous obtenons :

  b1=8, b2=7. C'est-à-dire les côtés du rectangle : a=7,b=8, ou vice versa : a=8,b=7.

Pour résoudre le problème, vous devez créer un système d'équations et le résoudre

nous obtenons une équation quadratique qui peut être facilement résolue si nous y substituons les valeurs de périmètre et de surface

Le discriminant est 1 et l'équation a deux racines 7 et 8, donc un des côtés égale à 7 cm, l'autre 8 cm ou vice versa.

J'ai spécifiquement écrit le discriminant ici, car il est très facile de s'y retrouver

si dans la condition du problème de trouver les côtés d'un rectangle, la valeur du périmètre et de l'aire sont précisées pour que ce discriminant plus que zéro, ensuite nous avons rectangle;

si discriminant égal à zéro- ensuite nous avons carré(P=30, S=56,25, carré de côté 7,5) ;

si discriminant moins que zéro, alors comme ça le rectangle n'existe pas(P=20, S=56 - pas de solution)

Périmètre 30, zone 56. Appelons les côtés du rectangle a et c. On peut alors créer les équations suivantes :

Désignons un côté par la lettre X, l'autre par la lettre Y.

L'aire d'un rectangle se calcule en multipliant les longueurs des côtés, on peut donc formuler la première équation :

Le périmètre est la somme des longueurs des côtés, donc la deuxième équation est :

On obtient un système de deux équations.

À l'aide de la première équation, sélectionnez X : X=56:Y, remplacez-la dans la deuxième équation :

2*56:Y+2Y=30 A partir de là, il est facile de trouver la valeur de Y : Y=7, puis X=8.

J'ai trouvé une autre solution :

On sait que le périmètre d'un rectangle est 30 et l'aire est 56, alors :

périmètre = 2*(longueur + largeur) ou 2L + 2W

zone = longueur * largeur ou L * W

2L + 2W = 30 (divisez les deux parties par 2)

L * (15 - L) = 56

Pour être honnête, je n’ai pas bien compris la solution, mais je pense que quiconque n’a pas complètement oublié les mathématiques la trouvera.

Côté A=7, côté B=8

L’aire d’un rectangle ne semble peut-être pas arrogante, mais c’est un concept important. DANS Vie courante nous y sommes constamment confrontés. Découvrez la taille des champs, des potagers, calculez la quantité de peinture nécessaire pour blanchir le plafond, quelle quantité de papier peint sera nécessaire pour le collage

de l'argent et plus encore.

Figure géométrique

Parlons d’abord du rectangle. Il s’agit d’une figure sur un plan qui a quatre angles droits et dont les côtés opposés sont égaux. Ses côtés sont généralement appelés longueur et largeur. Ils se mesurent en millimètres, centimètres, décimètres, mètres, etc. Nous allons maintenant répondre à la question : « Comment trouver l'aire d'un rectangle ? Pour ce faire, multipliez la longueur par la largeur.

Surface=longueur*largeur

Mais encore une mise en garde : la longueur et la largeur doivent être exprimées dans les mêmes unités de mesure, c'est-à-dire mètre et mètre, et non mètre et centimètre. La zone est écrite avec la lettre latine S. Pour plus de commodité, désignons la longueur par la lettre latine b et la largeur par la lettre latine a, comme indiqué sur la figure. De là, nous concluons que l'unité de surface est mm 2, cm 2, m 2, etc.

Regardons exemple spécifique Comment trouver l'aire d'un rectangle. Longueur b=10 unités. Largeur a=6 unités. Solution : S=a*b, S=10 unités*6 unités, S=60 unités 2. Tâche. Comment connaître l'aire d'un rectangle si la longueur est 2 fois la largeur et est de 18 m ? Solution : si b=18 m, alors a=b/2, a=9 m. Comment trouver l'aire d'un rectangle si les deux côtés sont connus ? C'est vrai, remplacez-le dans la formule. S=a*b, S=18*9, S=162 m2. Réponse : 162 m2. Tâche. Combien de rouleaux de papier peint faut-il acheter pour une pièce si ses dimensions sont : longueur 5,5 m, largeur 3,5 et hauteur 3 m ? Dimensions d'un rouleau de papier peint : longueur 10 m, largeur 50 cm Solution : réaliser un dessin de la pièce.

Les aires des côtés opposés sont égales. Calculons l'aire d'un mur de dimensions 5,5 m et 3 m. S mur 1 = 5,5 * 3,

Mur S 1 = 16,5 m 2. Le mur opposé a donc une superficie de 16,5 m2. Trouvons l'aire des deux murs suivants. Leurs côtés mesurent respectivement 3,5 m et 3 m. Mur S 2 = 3,5 * 3, Mur S 2 = 10,5 m 2. Cela signifie que le côté opposé est également égal à 10,5 m2. Additionnons tous les résultats. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 m2. Comment calculer l'aire d'un rectangle si les côtés sont exprimés dans différentes unités de mesure. Auparavant, nous calculions les surfaces en m2, et dans ce cas nous utiliserons des mètres. La largeur du rouleau de papier peint sera alors égale à 0,5 m. Rouleau S = 10 * 0,5, rouleau S = 5 m 2. Voyons maintenant combien de rouleaux sont nécessaires pour couvrir une pièce. 54:5=10,8 (rouleaux). Comme ils sont mesurés en nombres entiers, vous devez acheter 11 rouleaux de papier peint. Réponse : 11 rouleaux de papier peint. Tâche. Comment calculer l'aire d'un rectangle si l'on sait que la largeur est 3 cm plus courte que la longueur et que la somme des côtés du rectangle est de 14 cm ? Solution : soit la longueur soit de x cm, alors la largeur est de (x-3) cm. x+(x-3)+x+(x-3)=14, 4x-6=14, 4x=20, x=5 cm - longueur du rectangle, 5-3=2 cm - largeur du rectangle, S=5*2, S=10 cm 2 Réponse : 10 cm 2.

Résumé

Après avoir examiné les exemples, j'espère qu'il est devenu clair comment trouver l'aire d'un rectangle. Permettez-moi de vous rappeler que les unités de mesure de longueur et de largeur doivent correspondre, sinon vous obtiendrez résultat incorrect... Pour éviter les erreurs, lisez attentivement la tâche. Parfois, un côté peut s’exprimer à travers l’autre, n’ayez pas peur. Merci de vous référer à nos problèmes résolus, il est fort possible qu'ils puissent vous aider. Mais au moins une fois dans notre vie, nous sommes confrontés à la recherche de l'aire d'un rectangle.