Instructions

Trouvez le domaine de la fonction. Par exemple, la fonction sin(x) est définie sur tout l'intervalle de -∞ à +∞, et la fonction 1/x est définie de -∞ à +∞, sauf pour le point x = 0.

Identifiez les zones de continuité et les points de discontinuité. Généralement, une fonction est continue dans la même région où elle est définie. Pour détecter les discontinuités, il faut calculer à mesure que l'argument s'approche de points isolés dans le domaine de définition. Par exemple, la fonction 1/x tend vers l'infini lorsque x→0+, et vers moins l'infini lorsque x→0-. Cela signifie qu'au point x = 0 il présente une discontinuité du deuxième type.
Si les limites au point de discontinuité sont finies, mais non égales, alors il s'agit d'une discontinuité du premier type. S'ils sont égaux, alors la fonction est considérée comme continue, même si elle n'est pas définie en un point isolé.

Trouvez les asymptotes verticales, le cas échéant. Les calculs de l'étape précédente vous aideront ici, puisque l'asymptote verticale est presque toujours située au point de discontinuité du deuxième type. Cependant, parfois, ce ne sont pas des points individuels qui sont exclus du domaine de définition, mais des intervalles entiers de points, et les asymptotes verticales peuvent alors être situées aux bords de ces intervalles.

Vérifiez si la fonction a des propriétés spéciales : paire, impaire et périodique.
La fonction sera même si pour tout x dans le domaine f(x) = f(-x). Par exemple, cos(x) et x^2 sont des fonctions paires.

La périodicité est une propriété qui dit qu'il existe un certain nombre T, appelé période, qui pour tout x f(x) = f(x + T). Par exemple, tous les principaux fonctions trigonométriques(sinus, cosinus, tangente) - périodique.

Trouvez les points. Pour ce faire, calculez la dérivée de la fonction donnée et trouvez les valeurs de x où elle devient nulle. Par exemple, la fonction f(x) = x^3 + 9x^2 -15 a une dérivée g(x) = 3x^2 + 18x, qui disparaît à x = 0 et x = -6.

Pour déterminer quels points extremum sont des maxima et lesquels sont des minima, suivez l'évolution des signes de la dérivée aux zéros trouvés. g(x) change de signe de plus au point x = -6, et au point x = 0 de moins à plus. Par conséquent, la fonction f(x) a un minimum au premier point et un minimum au second.

Ainsi, vous avez également trouvé des régions de monotonie : f(x) augmente de manière monotone sur l'intervalle -∞;-6, diminue de manière monotone sur -6;0 et augmente à nouveau sur 0;+∞.

Trouvez la dérivée seconde. Ses racines montreront où le graphique d'une fonction donnée sera convexe et où il sera concave. Par exemple, la dérivée seconde de la fonction f(x) sera h(x) = 6x + 18. Elle passe à zéro à x = -3, changeant de signe de moins à plus. Par conséquent, le graphique de f(x) avant ce point sera convexe, après lui - concave, et ce point lui-même sera un point d'inflexion.

Une fonction peut avoir d'autres asymptotes que les verticales, mais seulement si son domaine de définition inclut . Pour les trouver, calculez la limite de f(x) lorsque x→∞ ou x→-∞. Si elle est finie, alors vous avez trouvé l’asymptote horizontale.

L'asymptote oblique est une ligne droite de la forme kx + b. Pour trouver k, calculez la limite de f(x)/x comme x→∞. Pour trouver la b - limite (f(x) – kx) pour le même x→∞.

Tracez un graphique de la fonction basé sur les données calculées. Étiquetez les asymptotes, le cas échéant. Marquez les points extremum et les valeurs de fonction sur eux. Pour une plus grande précision graphique, calculez les valeurs de la fonction en plusieurs points intermédiaires supplémentaires. L'étude est terminée.

Pour étudier pleinement la fonction et tracer son graphique, il est recommandé d'utiliser le schéma suivant :

1) trouver le domaine de définition de la fonction ;

2) trouver les points de discontinuité de la fonction et les asymptotes verticales (si elles existent) ;

3) étudier le comportement de la fonction à l'infini, trouver des asymptotes horizontales et obliques ;

4) examiner la fonction pour la parité (bizarre) et la périodicité (pour les fonctions trigonométriques) ;

5) trouver les extrema et les intervalles de monotonie de la fonction ;

6) déterminer les intervalles de convexité et les points d'inflexion ;

7) trouver les points d'intersection avec les axes de coordonnées et, si possible, quelques points supplémentaires qui clarifient le graphique.

L'étude de la fonction s'effectue simultanément à la construction de son graphe.

Exemple 9 Explorez la fonction et créez un graphique.

1. Portée de la définition : ;

2. La fonction souffre de discontinuité en certains points
,
;

Nous examinons la fonction de présence d'asymptotes verticales.

;
,
─ asymptote verticale.

;
,
─ asymptote verticale.

3. Nous examinons la fonction de présence d'asymptotes obliques et horizontales.

Droit
─ asymptote oblique, si
,
.

,
.

Droit
─ asymptote horizontale.

4. La fonction est même parce que
. La parité de la fonction indique la symétrie du graphique par rapport à l'axe des ordonnées.

5. Trouvez les intervalles de monotonie et les extrema de la fonction.

Trouvons les points critiques, c'est-à-dire points auxquels la dérivée est 0 ou n'existe pas :
;
. Nous avons trois points
;

. Ces points divisent tout l'axe réel en quatre intervalles. Définissons les signes sur chacun d'eux.

Sur les intervalles (-∞; -1) et (-1; 0) la fonction augmente, sur les intervalles (0; 1) et (1; +∞) ─ elle diminue. En passant par un point
la dérivée change de signe de plus à moins, donc à ce stade la fonction a un maximum
.

6. Trouvez les intervalles de convexité et les points d'inflexion.

Trouvons les points auxquels est 0 ou n'existe pas.

n'a pas de véritables racines.
,
,

Points
Et
divisez l'axe réel en trois intervalles. Définissons le signe à chaque intervalle.

Ainsi, la courbe sur les intervalles
Et
convexe vers le bas, sur l'intervalle (-1;1) convexe vers le haut ; il n'y a pas de points d'inflexion, puisque la fonction est en des points
Et
non déterminé.

7. Trouvez les points d'intersection avec les axes.

Avec essieu
le graphique de la fonction coupe au point (0; -1), et avec l'axe
le graphique ne se coupe pas, car le numérateur de cette fonction n'a pas de véritables racines.

Le graphique de la fonction donnée est présenté à la figure 1.

Figure 1 ─ Graphique de fonction

Application du concept de dérivée en économie. Fonction d'élasticité

Pour étudier les processus économiques et résoudre d'autres problèmes appliqués, le concept d'élasticité d'une fonction est souvent utilisé.

Définition. Fonction d'élasticité
est appelée la limite du rapport de l'incrément relatif de la fonction à l'incrément relatif de la variable à
, . (VII)

L'élasticité d'une fonction montre approximativement de combien de pour cent la fonction va changer
quand la variable indépendante change de 1%.

La fonction d'élasticité est utilisée dans l'analyse de la demande et de la consommation. Si l'élasticité de la demande (en valeur absolue)
, alors la demande est considérée comme élastique si
─ neutre si
─ inélastique par rapport au prix (ou au revenu).

Exemple 10 Calculer l'élasticité de la fonction
et trouver la valeur de l'indice d'élasticité pour = 3.

Solution : d'après la formule (VII), l'élasticité de la fonction est :

Soit x=3, alors
.Cela signifie que si la variable indépendante augmente de 1 %, alors la valeur de la variable dépendante augmentera de 1,42 %.

Exemple 11 Laisser la demande fonctionner concernant le prix ressemble à
, Où ─ coefficient constant. Trouvez la valeur de l'indicateur d'élasticité de la fonction de demande au prix x = 3 den. unités

Solution : calculer l'élasticité de la fonction de demande à l'aide de la formule (VII)

Croire
unités monétaires, on obtient
. Cela signifie qu'à un prix
unités monétaires une augmentation du prix de 1 % entraînera une diminution de la demande de 6 %, soit la demande est élastique.

Pour étudier pleinement la fonction et tracer son graphique, le schéma suivant est recommandé :
A) trouver le domaine de définition, les points d'arrêt ; explorer le comportement d'une fonction à proximité des points de discontinuité (trouver les limites de la fonction à gauche et à droite en ces points). Indiquez les asymptotes verticales.
B) déterminer si une fonction est paire ou impaire et conclure qu'il existe une symétrie. Si , alors la fonction est paire et symétrique par rapport à l'axe OY ; lorsque la fonction est impaire, symétrique par rapport à l'origine ; et si c'est une fonction vue générale.
C) trouver les points d'intersection de la fonction avec les axes de coordonnées OY et OX (si possible), déterminer les intervalles de signe constant de la fonction. Les limites des intervalles de signe constant d'une fonction sont déterminées par les points où la fonction est égale à zéro (fonction zéros) ou n'existe pas et les limites du domaine de définition de cette fonction. Dans les intervalles où le graphique de la fonction est situé au-dessus de l'axe OX, et où - en dessous de cet axe.
D) trouver la dérivée première de la fonction, déterminer ses zéros et ses intervalles de signe constant. Dans les intervalles où la fonction augmente et où elle diminue. Tirer une conclusion sur la présence d'extrema (points où une fonction et une dérivée existent et lors du passage par lesquels elle change de signe. Si le signe passe du plus au moins, alors à ce stade la fonction a un maximum, et si du moins au plus , puis un minimum). Trouvez les valeurs de la fonction aux points extrêmes.
D) trouver la dérivée seconde, ses zéros et ses intervalles de signe constant. Dans les intervalles où< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) trouver des asymptotes inclinées (horizontales), dont les équations ont la forme ; Où
.
À le graphique de la fonction aura deux asymptotes inclinées, et chaque valeur de x à et peut également correspondre à deux valeurs de b.
G) trouver des points supplémentaires pour clarifier le graphique (si nécessaire) et construire un graphique.

Exemple 1 Explorez la fonction et construisez son graphique. Solution : A) domaine de définition ; la fonction est continue dans son domaine de définition ; – point de rupture, parce que ; . Puis – asymptote verticale.
B)
ceux. y(x) est une fonction de forme générale.
C) Trouver les points d'intersection du graphique avec l'axe OY : définir x=0 ; alors y(0)=–1, c'est-à-dire le graphique de la fonction coupe l'axe au point (0;-1). Zéros de la fonction (points d'intersection du graphique avec l'axe OX) : définir y=0 ; Alors
.
Discriminant équation quadratique inférieur à zéro signifie qu’il n’y a pas de zéros. Alors la limite des intervalles de signe constant est le point x=1, où la fonction n'existe pas.
Le signe de la fonction dans chacun des intervalles est déterminé par la méthode des valeurs partielles :

Il ressort clairement du diagramme que dans l'intervalle, le graphique de la fonction est situé sous l'axe OX et dans l'intervalle – au-dessus de l'axe OX.
D) Nous découvrons la présence de points critiques.
.
Nous trouvons des points critiques (où il n'existe pas) à partir des égalités et .

On obtient : x1=1, x2=0, x3=2. Composons table auxiliaire

Tableau 1

(La première ligne contient les points critiques et les intervalles dans lesquels ces points sont divisés par l'axe OX ; la deuxième ligne indique les valeurs de la dérivée aux points critiques et les signes sur les intervalles. Les signes sont déterminés par la valeur partielle La troisième ligne indique les valeurs de la fonction y(x) aux points critiques et montre le comportement de la fonction - croissante ou décroissante aux intervalles correspondants de l'axe numérique.De plus, la présence d'un minimum ou d'un maximum est indiqué.
D) Trouver les intervalles de convexité et de concavité de la fonction.
; construire un tableau comme au point D); Seulement dans la deuxième ligne, nous notons les signes et dans la troisième, nous indiquons le type de convexité. Parce que ; Que point critique un x=1.
Tableau 2

Le point x=1 est le point d'inflexion.
E) Trouver des asymptotes obliques et horizontales

Alors y=x est une asymptote oblique.
G) Sur la base des données obtenues, nous construisons un graphique de la fonction

Exemple2 Réaliser une étude complète de la fonction et construire son graphique. Solution.

1). L'étendue de la fonction.
Il est évident que cette fonction est définie sur toute la droite numérique, à l'exception des points "" et "", car en ces points, le dénominateur est égal à zéro et, par conséquent, la fonction n'existe pas, et les lignes droites sont des asymptotes verticales.

2). Le comportement d'une fonction lorsque l'argument tend vers l'infini, l'existence de points de discontinuité et la vérification de la présence d'asymptotes obliques.
Vérifions d'abord comment la fonction se comporte lorsqu'elle se rapproche de l'infini vers la gauche et vers la droite.

Ainsi, lorsque la fonction tend vers 1, c'est à dire - asymptote horizontale.
Au voisinage des points de discontinuité, le comportement de la fonction est déterminé comme suit :


Ceux. À l’approche des points de discontinuité à gauche, la fonction diminue infiniment, et à droite, elle augmente infiniment.
On détermine la présence d'une asymptote oblique en considérant l'égalité :

Il n’y a pas d’asymptote oblique.

3). Points d'intersection avec les axes de coordonnées.
Ici il faut considérer deux situations : trouver le point d'intersection avec l'axe Ox et l'axe Oy. Le signe d'intersection avec l'axe Ox est la valeur nulle de la fonction, c'est-à-dire il faut résoudre l'équation :

Cette équation n'a pas de racines, donc le graphique de cette fonction n'a pas de points d'intersection avec l'axe Ox.
Le signe d'intersection avec l'axe Oy est la valeur x = 0. Dans ce cas
,
ceux. – le point d'intersection du graphe de fonction avec l'axe Oy.

4).Détermination des points extremum et des intervalles d'augmentation et de diminution.
Pour étudier cette problématique, nous définissons la dérivée première :
.
Égalons la valeur de la dérivée première à zéro.
.
Une fraction est égale à zéro lorsque son numérateur est égal à zéro, c'est-à-dire .
Déterminons les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction.

Ainsi, la fonction a un point extremum et n’existe pas en deux points.
Ainsi, la fonction augmente sur les intervalles et et diminue sur les intervalles et .

5). Points d'inflexion et zones de convexité et de concavité.
Cette caractéristique du comportement d'une fonction est déterminée à l'aide de la dérivée seconde. Déterminons d’abord la présence de points d’inflexion. La dérivée seconde de la fonction est égale à

Quand et la fonction est concave ;

quand et la fonction est convexe.

6). Représenter graphiquement une fonction.
A l'aide des valeurs trouvées en points, nous allons schématiquement construire un graphique de la fonction :

Exemple3 Fonction Explorer et construire son graphique.

Solution
La fonction donnée est une fonction non périodique de forme générale. Son graphique passe par l'origine des coordonnées, puisque .
Le domaine de définition d'une fonction donnée est constitué de toutes les valeurs de la variable sauf et pour lesquelles le dénominateur de la fraction devient nul.
Par conséquent, les points sont les points de discontinuité de la fonction.
Parce que ,

Parce que ,
, alors le point est un point de discontinuité du deuxième type.
Les lignes droites sont les asymptotes verticales du graphique de la fonction.
Équations d'asymptotes obliques, où, .
À ,
.
Ainsi, pour et le graphique de la fonction a une asymptote.
Trouvons les intervalles d'augmentation et de diminution de la fonction et les points extrema.
.
La dérivée première de la fonction à et, par conséquent, à et la fonction augmente.
Quand donc quand , la fonction diminue.
n'existe pas pour , .
, donc, quand Le graphique de la fonction est concave.
À , donc, quand Le graphique de la fonction est convexe.

En passant par les points , , change de signe. Lorsque , la fonction n'est pas définie, le graphique de la fonction a donc un point d'inflexion.
Construisons un graphique de la fonction.

Un des tâches les plus importantes Le calcul différentiel est le développement d'exemples généraux d'étude du comportement des fonctions.

Si la fonction y=f(x) est continue sur l'intervalle , et que sa dérivée est positive ou égale à 0 sur l'intervalle (a,b), alors y=f(x) augmente de (f"(x)0) . Si la fonction y=f (x) est continue sur le segment , et que sa dérivée est négative ou égale à 0 sur l'intervalle (a,b), alors y=f(x) diminue de (f"(x)0 )

Les intervalles dans lesquels la fonction ne diminue ni n'augmente sont appelés intervalles de monotonie de la fonction. La monotonie d'une fonction ne peut changer qu'aux points de son domaine de définition où le signe de la dérivée première change. Les points auxquels la dérivée première d'une fonction disparaît ou présente une discontinuité sont appelés critiques.

Théorème 1 (1ère condition suffisante pour l'existence d'un extremum).

Soit la fonction y=f(x) définie au point x 0 et soit un voisinage δ>0 tel que la fonction soit continue sur l'intervalle et dérivable sur l'intervalle (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , et sa dérivée conserve un signe constant sur chacun de ces intervalles. Alors si sur x 0 -δ,x 0) et (x 0 , x 0 +δ) les signes de la dérivée sont différents, alors x 0 est un point extremum, et s'ils coïncident, alors x 0 n'est pas un point extremum . De plus, si, en passant par le point x0, la dérivée change de signe de plus à moins (à gauche de x 0 f"(x)>0 est satisfait, alors x 0 est le point maximum ; si la dérivée change de signe de de moins à plus (à droite de x 0 exécuté f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Les points maximum et minimum sont appelés points extrêmes de la fonction, et les points maximum et minimum de la fonction sont appelés ses valeurs extrêmes.

Théorème 2 (un signe nécessaire d'un extremum local).

Si la fonction y=f(x) a un extremum au courant x=x 0, alors soit f'(x 0)=0, soit f'(x 0) n'existe pas.
Aux points extrêmes de la fonction différentiable, la tangente à son graphique est parallèle à l'axe Ox.

Algorithme d'étude d'une fonction pour un extremum :

1) Trouvez la dérivée de la fonction.
2) Trouver les points critiques, c'est-à-dire points auxquels la fonction est continue et la dérivée est nulle ou n'existe pas.
3) Considérez le voisinage de chaque point et examinez le signe de la dérivée à gauche et à droite de ce point.
4) Déterminer les coordonnées des points extrêmes ; pour cela substituer les valeurs des points critiques dans cette fonction. En utilisant des conditions suffisantes pour l'extremum, tirez les conclusions appropriées.

Exemple 18. Examinez la fonction y=x 3 -9x 2 +24x pour un extremum

Solution.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) En assimilant la dérivée à zéro, nous trouvons x 1 =2, x 2 =4. Dans ce cas, la dérivée est définie partout ; Cela signifie qu’à part les deux points constatés, il n’y a pas d’autres points critiques.
3) Le signe de la dérivée y"=3(x-2)(x-4) change en fonction de l'intervalle comme le montre la figure 1. En passant par le point x=2, la dérivée change de signe de plus à moins, et en passant par le point x=4 - du moins au plus.
4) Au point x=2 la fonction a un maximum y max =20, et au point x=4 - un minimum y min =16.

Théorème 3. (2ème condition suffisante pour l'existence d'un extremum).

Soit f"(x 0) et au point x 0 il existe f""(x 0). Alors si f""(x 0)>0, alors x 0 est le point minimum, et si f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Sur un segment, la fonction y=f(x) peut atteindre la valeur la plus petite (y la plus petite) ou la plus grande (y la plus élevée) soit aux points critiques de la fonction situés dans l'intervalle (a;b), soit à les extrémités du segment.

Algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction continue y=f(x) sur le segment :

1) Trouvez f"(x).
2) Trouvez les points auxquels f"(x)=0 ou f"(x) n'existe pas et sélectionnez parmi eux ceux qui se trouvent à l'intérieur du segment.
3) Calculer la valeur de la fonction y=f(x) aux points obtenus à l'étape 2), ainsi qu'aux extrémités du segment et sélectionner parmi eux le plus grand et le plus petit : ce sont respectivement les plus grands (y la plus grande) et la plus petite (y la plus petite) valeurs de la fonction sur l'intervalle.

Exemple 19. Trouvez la plus grande valeur de la fonction continue y=x 3 -3x 2 -45+225 sur le segment.

1) On a y"=3x 2 -6x-45 sur le segment
2) La dérivée y" existe pour tout x. Trouvons les points auxquels y"=0 ; on a:
3x2 -6x-45=0
x2 -2x-15=0
x1 =-3 ; x2 =5
3) Calculer la valeur de la fonction aux points x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Le segment contient uniquement le point x=5. La plus grande des valeurs trouvées de la fonction est 225 et la plus petite est le nombre 50. Donc, y max = 225, y min = 50.

Etude d'une fonction sur la convexité

La figure montre des graphiques de deux fonctions. Le premier d’entre eux est convexe vers le haut, le second est convexe vers le bas.

La fonction y=f(x) est continue sur le segment et dérivable dans l'intervalle (a;b), est dite convexe vers le haut (vers le bas) sur ce segment si, pour axb, son graphe ne se situe pas plus haut (pas plus bas) que le tangente tracée en tout point M 0 (x 0 ;f(x 0)), où axb.

Théorème 4. Soit la fonction y=f(x) avoir une dérivée seconde en tout point intérieur x du segment et être continue aux extrémités de ce segment. Alors si l'inégalité f""(x)0 est vraie sur l'intervalle (a;b), alors la fonction est convexe vers le bas sur l'intervalle ; si l'inégalité f""(x)0 est vraie sur l'intervalle (a;b), alors la fonction est convexe vers le haut sur .

Théorème 5. Si la fonction y=f(x) a une dérivée seconde sur l'intervalle (a;b) et si elle change de signe en passant par le point x 0, alors M(x 0 ;f(x 0)) est un point d'inflexion.

Règle pour trouver les points d'inflexion :

1) Trouvez les points auxquels f""(x) n'existe pas ou disparaît.
2) Examinez le signe f""(x) à gauche et à droite de chaque point trouvé lors de la première étape.
3) Sur la base du théorème 4, tirez une conclusion.

Exemple 20. Trouver les points extremum et les points d'inflexion du graphique de la fonction y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Nous avons f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Évidemment, f"(x)=0 quand x 1 =0, x 2 =1. En passant par le point x=0, la dérivée change de signe de moins à plus, mais en passant par le point x=1 elle ne change pas de signe. Cela signifie que x=0 est le point minimum (y min =12) et qu'il n'y a pas d'extremum au point x=1. Ensuite, nous trouvons . La dérivée seconde disparaît aux points x 1 =1, x 2 =1/3. Les signes de la dérivée seconde changent comme suit : Sur le rayon (-∞;) on a f""(x)>0, sur l'intervalle (;1) on a f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Par conséquent, x= est le point d'inflexion du graphe de fonction (transition de la convexité vers le haut à la convexité vers le haut) et x=1 est également le point d'inflexion (transition de la convexité vers le haut vers la convexité vers le bas). Si x=, alors y= ; si, alors x=1, y=13.

Algorithme pour trouver l'asymptote d'un graphique

I. Si y=f(x) comme x → a, alors x=a est une asymptote verticale.
II. Si y=f(x) comme x → ∞ ou x → -∞, alors y=A est une asymptote horizontale.
III. Pour trouver l’asymptote oblique, nous utilisons l’algorithme suivant :
1) Calculez. Si la limite existe et est égale à b, alors y=b est une asymptote horizontale ; si , alors passez à la deuxième étape.
2) Calculez. Si cette limite n’existe pas, alors il n’y a pas d’asymptote ; s'il existe et est égal à k, alors passez à la troisième étape.
3) Calculez. Si cette limite n’existe pas, alors il n’y a pas d’asymptote ; s'il existe et est égal à b, alors passez à la quatrième étape.
4) Écrivez l’équation de l’asymptote oblique y=kx+b.

Exemple 21 : Trouver l'asymptote d'une fonction

1)
2)
3)
4) L'équation de l'asymptote oblique a la forme

Schéma d'étude d'une fonction et de construction de son graphe

I. Trouver le domaine de définition de la fonction.
II. Trouvez les points d'intersection du graphique de la fonction avec les axes de coordonnées.
III. Trouvez des asymptotes.
IV. Trouvez les points extrêmes possibles.
V. Trouver les points critiques.
VI. À l’aide du chiffre auxiliaire, explorez le signe des dérivées première et seconde. Déterminez les zones de fonction croissante et décroissante, trouvez la direction de convexité du graphique, les points d'extrema et les points d'inflexion.
VII. Construisez un graphique en tenant compte des recherches effectuées aux paragraphes 1 à 6.

Exemple 22 : Construire un graphique de la fonction selon le schéma ci-dessus

Solution.
I. Le domaine d'une fonction est l'ensemble de tous les nombres réels sauf x=1.
II. Puisque l'équation x 2 +1=0 n'a pas de racines réelles, le graphique de la fonction n'a pas de points d'intersection avec l'axe Ox, mais coupe l'axe Oy au point (0;-1).
III. Clarifions la question de l'existence des asymptotes. Etudions le comportement de la fonction près du point de discontinuité x=1. Puisque y → ∞ comme x → -∞, y → +∞ comme x → 1+, alors la droite x=1 est l'asymptote verticale du graphique de la fonction.
Si x → +∞(x → -∞), alors y → +∞(y → -∞) ; le graphique n’a donc pas d’asymptote horizontale. De plus, de l'existence de limites

En résolvant l'équation x 2 -2x-1=0, nous obtenons deux points extremum possibles :
x 1 =1-√2 et x 2 =1+√2

V. Pour trouver les points critiques, on calcule la dérivée seconde :

Puisque f""(x) ne disparaît pas, il n’y a pas de points critiques.
VI. Examinons le signe des dérivées première et seconde. Points extremum possibles à considérer : x 1 =1-√2 et x 2 =1+√2, diviser le domaine d'existence de la fonction en intervalles (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) et (1+√2;+∞).

Dans chacun de ces intervalles, la dérivée conserve son signe : dans le premier - plus, dans le deuxième - moins, dans le troisième - plus. La séquence de signes de la dérivée première s'écrira ainsi : +,-,+.
Nous constatons que la fonction augmente à (-∞;1-√2), diminue à (1-√2;1+√2) et augmente à nouveau à (1+√2;+∞). Points extrêmes : maximum à x=1-√2, et f(1-√2)=2-2√2 minimum à x=1+√2, et f(1+√2)=2+2√2. À (-∞;1) le graphique est convexe vers le haut et à (1;+∞) il est convexe vers le bas.
VII Faisons un tableau des valeurs obtenues

VIII Sur la base des données obtenues, nous construisons un croquis du graphique de la fonction

Réaliser une étude complète et représenter graphiquement la fonction

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) L'étendue de la fonction. Puisque la fonction est une fraction, nous devons trouver les zéros du dénominateur.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

On exclut le seul point x=1x=1 du domaine de définition de la fonction et on obtient :

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Etudions le comportement de la fonction au voisinage du point de discontinuité. Trouvons les limites unilatérales :

Puisque les limites sont égales à l'infini, le point x=1x=1 est une discontinuité de seconde espèce, la droite x=1x=1 est une asymptote verticale.

3) Déterminons les points d'intersection du graphe de fonctions avec les axes de coordonnées.

Trouvons les points d'intersection avec l'axe des ordonnées OyOy, pour lesquels on assimile x=0x=0 :

Ainsi, le point d'intersection avec l'axe OyOy a pour coordonnées (0;8)(0;8).

Trouvons les points d'intersection avec l'axe des abscisses OxOx, pour lesquels on pose y=0y=0 :

L'équation n'a pas de racines, donc il n'y a pas de points d'intersection avec l'axe OxOx.

Notez que x2+8>0x2+8>0 pour tout xx. Donc, pour x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), la fonction y>0y>0 (prend des valeurs positives, le graphique est au dessus de l'axe des x), pour x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) fonction y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) La fonction n'est ni paire ni impaire car :

5) Examinons la fonction de périodicité. La fonction n’est pas périodique, puisqu’il s’agit d’une fonction rationnelle fractionnaire.

6) Examinons la fonction pour les extrema et la monotonie. Pour ce faire, on trouve la dérivée première de la fonction :

Assumons la dérivée première à zéro et trouvons des points stationnaires (auxquels y′=0y′=0):

Nous avons trois points critiques : x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Divisons tout le domaine de définition de la fonction en intervalles avec ces points et déterminons les signes de la dérivée dans chaque intervalle :

Pour x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) la dérivée y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pour x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) la dérivée y′>0y′>0, la fonction croît sur ces intervalles.

Dans ce cas, x=−2x=−2 est un point minimum local (la fonction diminue puis augmente), x=4x=4 est un point maximum local (la fonction augmente puis diminue).

Retrouvons les valeurs de la fonction en ces points :

Ainsi, le point minimum est (−2;4)(−2;4), le point maximum est (4;−8)(4;−8).

7) Examinons la fonction de courbure et de convexité. Trouvons la dérivée seconde de la fonction :

Égalons la dérivée seconde à zéro :

L’équation résultante n’a pas de racines, donc il n’y a pas de points d’inflexion. De plus, lorsque x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 est satisfait, c'est-à-dire que la fonction est concave, lorsque x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) est satisfait par y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Examinons le comportement de la fonction à l'infini, c'est-à-dire à .

Puisque les limites sont infinies, il n’y a pas d’asymptote horizontale.

Essayons de déterminer des asymptotes obliques de la forme y=kx+by=kx+b. On calcule les valeurs de k,bk,b à l'aide de formules connues :

Nous avons constaté que la fonction a une asymptote oblique y=−x−1y=−x−1.

9) Points supplémentaires. Calculons la valeur de la fonction en d'autres points afin de construire le graphique avec plus de précision.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Sur la base des données obtenues, nous allons construire un graphique, le compléter avec des asymptotes x=1x=1 (bleu), y=−x−1y=−x−1 (vert) et marquer les points caractéristiques (intersection violette avec l'ordonnée axe, extrema orange, points supplémentaires noirs) :

Tâche 4 : Problèmes géométriques et économiques (je ne sais pas quoi, voici une sélection approximative de problèmes avec des solutions et des formules)

Exemple 3.23. un

Solution. X Et oui oui
y = une - 2 × une/4 = une/2. Puisque x = a/4 est le seul point critique, vérifions si le signe de la dérivée change en passant par ce point. Pour xa/4 S " > 0, et pour x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет valeur la plus élevée les fonctions. Ainsi, le rapport hauteur/largeur le plus favorable du site dans les conditions données du problème est y = 2x.

Exemple 3.24.

Solution.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemple 3.22. Trouvez les extrema de la fonction f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Solution. Puisque f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​​​-2)(x - 3), alors les points critiques de la fonction x 1 = 2 et x 2 = 3. Les extrema ne peuvent être qu'à ces points. Ainsi, comme en passant par le point x 1 = 2 la dérivée change son signe de plus à moins, alors à ce point la fonction a un maximum. En passant par le point x 2 = 3 la dérivée change son signe de moins à plus, donc au point x 2 = 3 la fonction a un minimum.Après avoir calculé les valeurs de la fonction aux points
x 1 = 2 et x 2 = 3, on retrouve les extrema de la fonction : maximum f(2) = 14 et minimum f(3) = 13.

Exemple 3.23. Il est nécessaire de construire une zone rectangulaire près du mur de pierre de manière à ce qu'elle soit clôturée sur trois côtés avec un treillis métallique et que le quatrième côté soit adjacent au mur. Pour cela il y a un mètres linéaires de maille. À quel rapport hauteur/largeur le site aura-t-il la plus grande superficie ?

Solution. Désignons les côtés de la plate-forme par X Et oui. La superficie du site est S = xy. Laisser oui- c'est la longueur du côté adjacent au mur. Alors, par condition, l’égalité 2x + y = a doit être vérifiée. Donc y = a - 2x et S = x(a - 2x), où
0 ≤ x ≤ a/2 (la longueur et la largeur du tampon ne peuvent pas être négatives). S " = a - 4x, a - 4x = 0 à x = a/4, d'où
y = une - 2 × une/4 = une/2. Puisque x = a/4 est le seul point critique, vérifions si le signe de la dérivée change en passant par ce point. Pour xa/4 S " > 0, et pour x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemple 3.24. Il est nécessaire de réaliser un réservoir cylindrique fermé d'une capacité de V=16p ≈ 50 m 3 . Quelles doivent être les dimensions du réservoir (rayon R et hauteur H) pour que le moins de matière soit utilisé pour sa fabrication ?

Solution. Carré toute la surface cylindre est égal à S = 2pR(R+H). On connaît le volume du cylindre V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Cela signifie S(R) = 2p(R 2 +16/R). On retrouve la dérivée de cette fonction :
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 pour R 3 = 8, donc,
R = 2, H = 16/4 = 4.

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