L’un des sujets qui nécessite un maximum d’attention et de persévérance de la part des étudiants est la résolution des inégalités. Tellement semblable aux équations et en même temps très différente d'elles. Parce que les résoudre nécessite une approche particulière.

Propriétés qui seront nécessaires pour trouver la réponse

Tous sont utilisés pour remplacer une entrée existante par une entrée équivalente. La plupart d’entre eux sont similaires à ce qui figurait dans les équations. Mais il existe aussi des différences.

• Une fonction définie dans l'ODZ, ou n'importe quel nombre, peut être ajoutée aux deux côtés de l'inégalité d'origine.
• De même, la multiplication est possible, mais uniquement par une fonction ou un nombre positif.
• Si cette action est effectuée avec une fonction ou un nombre négatif, alors le signe d'inégalité doit être remplacé par le signe opposé.
• Les fonctions non négatives peuvent être élevées à une puissance positive.

Parfois, la résolution des inégalités s’accompagne d’actions qui apportent des réponses superflues. Ils doivent être éliminés en comparant le domaine DL et l'ensemble des solutions.

Utiliser la méthode des intervalles

Son essence est de réduire l’inégalité à une équation dans laquelle il y a un zéro du côté droit.

1. Déterminez la zone où se trouvent les valeurs admissibles des variables, c'est-à-dire l'ODZ.
2. Transformez l'inégalité à l'aide d'opérations mathématiques pour que le côté droit ait un zéro.
3. Remplacez le signe d'inégalité par « = » et résolvez l'équation correspondante.
4. Sur l'axe numérique, marquez toutes les réponses obtenues lors de la solution, ainsi que les intervalles OD. En cas d'inégalité stricte, les points doivent être tirés en pointillés. S'il y a un signe égal, ils doivent être repeints.
5. Déterminez le signe de la fonction d'origine sur chaque intervalle obtenu à partir des points de l'ODZ et les réponses qui le divisent. Si le signe de la fonction ne change pas lors du passage par un point, alors il est inclus dans la réponse. Sinon, il est exclu.
6. Les points limites de l'ODZ doivent être vérifiés davantage et ensuite seulement inclus ou non dans la réponse.
7. La réponse obtenue doit être écrite sous forme d’ensembles combinés.

Un peu sur les doubles inégalités

Ils utilisent deux signes d'inégalité à la fois. Autrement dit, certaines fonctions sont limitées par des conditions deux fois à la fois. De telles inégalités sont résolues comme un système de deux, lorsque l'original est divisé en parties. Et dans la méthode des intervalles, les réponses issues de la résolution des deux équations sont indiquées.

Pour les résoudre, il est également permis d'utiliser les propriétés indiquées ci-dessus. Avec leur aide, il convient de réduire les inégalités à zéro.

Qu’en est-il des inégalités qui ont un module ?

Dans ce cas, la solution des inégalités utilise les propriétés suivantes, et elles sont valables pour une valeur positive de « a ».

Si « x » prend une expression algébrique, alors les remplacements suivants sont valides :

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a à x< -a или х >un.

Si les inégalités ne sont pas strictes, alors les formules sont également correctes, seulement en elles, en plus du signe plus ou moins, « = » apparaît.

Comment résoudre un système d’inégalités ?

Cette connaissance sera requise dans les cas où une telle tâche est confiée ou s'il existe un enregistrement de double inégalité ou si un module apparaît dans l'enregistrement. Dans une telle situation, la solution sera les valeurs des variables qui satisferaient toutes les inégalités de l'enregistrement. S’il n’existe pas de tels chiffres, le système n’a pas de solutions.

Le plan selon lequel s'effectue la solution du système d'inégalités :

• résolvez chacun d’eux séparément ;
• représenter tous les intervalles sur l'axe des nombres et déterminer leurs intersections ;
• notez la réponse du système, qui sera une combinaison de ce qui s’est passé dans le deuxième paragraphe.

Que faire des inégalités fractionnaires ?

Étant donné que les résoudre peut nécessiter un changement du signe de l'inégalité, vous devez suivre très attentivement et attentivement tous les points du plan. Sinon, vous pourriez obtenir la réponse inverse.

Solution inégalités fractionnaires utilise également la méthode des intervalles. Et le plan d'action sera le suivant :

• En utilisant les propriétés décrites, donnez à la fraction une forme telle qu'il ne reste que zéro à droite du signe.
• Remplacez l'inégalité par « = » et déterminez les points auxquels la fonction sera égale à zéro.
• Marquez-les sur l’axe des coordonnées. Dans ce cas, les nombres obtenus à la suite de calculs au dénominateur seront toujours pointés. Tous les autres sont basés sur la condition d’inégalité.
• Déterminez les intervalles de constance du signe.
• En réponse, notez l'union des intervalles dont le signe correspond à celui de l'inégalité d'origine.

Situations où l'irrationalité apparaît dans les inégalités

En d’autres termes, il existe une racine mathématique dans la notation. Depuis dans cours scolaire En algèbre, la plupart des devoirs concernent la racine carrée, c'est donc ce qui sera pris en compte.

La solution aux inégalités irrationnelles revient à obtenir un système à deux ou trois qui sera équivalent à celui d’origine.

Inégalité originelle	condition	système équivalent
√n(x)< m(х)	m(x) inférieur ou égal à 0	aucune solution
	m(x) supérieur à 0	n(x) est supérieur ou égal à 0 n(x)< (m(х)) 2
√n(x) > m(x)		m(x) est supérieur ou égal à 0 n(x) > (m(x))2
		n(x) est supérieur ou égal à 0 m(x) inférieur à 0
√n(x) ≤m(x)	m(x) inférieur à 0	aucune solution
	m(x) est supérieur ou égal à 0	n(x) est supérieur ou égal à 0 n(x) ≤ (m(x)) 2
√n(x) ≥m(x)		m(x) est supérieur ou égal à 0 n(x) ≥ (m(x))2
		n(x) est supérieur ou égal à 0 m(x) inférieur à 0
√n(x)< √ m(х)		n(x) est supérieur ou égal à 0 n(x) inférieur à m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) supérieur à 0 m(x) inférieur à 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) supérieur à 0 m(x) supérieur à 0
√n(x) * m(x) ≤ 0		n(x) supérieur à 0
		n(x) est égal à 0 m(x) - n'importe lequel
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) supérieur à 0
		n(x) est égal à 0 m(x) - n'importe lequel

Exemples de résolution de différents types d’inégalités

Afin de clarifier la théorie sur la résolution des inégalités, des exemples sont donnés ci-dessous.

Premier exemple. 2x - 4 > 1 + x

Solution : Pour déterminer la DJA, il suffit de regarder de près les inégalités. Il est formé de fonctions linéaires, il est donc défini pour toutes les valeurs de la variable.

Vous devez maintenant soustraire (1 + x) des deux côtés de l’inégalité. Il s'avère : 2x - 4 - (1 + x) > 0. Une fois les parenthèses ouvertes et des termes similaires donnés, l'inégalité prendra la forme suivante : x - 5 > 0.

En l'assimilant à zéro, il est facile de trouver sa solution : x = 5.

Maintenant, ce point avec le chiffre 5 doit être marqué sur le rayon de coordonnées. Vérifiez ensuite les signes de la fonction d'origine. Sur le premier intervalle de moins l'infini à 5, vous pouvez prendre le nombre 0 et le substituer à l'inégalité obtenue après les transformations. Après calculs, il s'avère -7 >0. sous l'arc de l'intervalle, vous devez signer un signe moins.

Sur l'intervalle suivant de 5 à l'infini, vous pouvez choisir le chiffre 6. Il s'avère alors que 1 > 0. Il y a un signe « + » sous l'arc. Ce deuxième intervalle sera la réponse à l'inégalité.

Réponse : x se situe dans l’intervalle (5 ; ∞).

Deuxième exemple. Il faut résoudre un système de deux équations : 3x + 3 ≤ 2x + 1 et 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Solution. La VA de ces inégalités se situe également dans la région de n'importe quel nombre, puisque des fonctions linéaires sont données.

La deuxième inégalité prendra la forme de l'équation suivante : 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Après transformation : -x - 4 =0. Cela produit une valeur pour la variable égale à -4.

Ces deux nombres doivent être marqués sur l'axe, représentant les intervalles. Puisque l’inégalité n’est pas stricte, tous les points doivent être ombrés. Le premier intervalle va de moins l’infini à -4. Laissez le nombre -5 être choisi. La première inégalité donnera la valeur -3, et la seconde 1. Cela signifie que cet intervalle n'est pas inclus dans la réponse.

Le deuxième intervalle est de -4 à -2. Vous pouvez choisir le nombre -3 et le remplacer dans les deux inégalités. Dans le premier et le second, la valeur est -1. Cela signifie que sous l'arc "-".

Dans le dernier intervalle de -2 à l’infini, le meilleur nombre est zéro. Vous devez le remplacer et trouver les valeurs des inégalités. Le premier d’entre eux produit un nombre positif et le second un zéro. Cette lacune doit également être exclue de la réponse.

Sur les trois intervalles, un seul est une solution à l’inégalité.

Réponse : x appartient à [-4 ; -2].

Troisième exemple. |1 -x| > 2 |x - 1|.

Solution. La première étape consiste à déterminer les points auxquels les fonctions disparaissent. Pour celui de gauche, ce nombre sera 2, pour celui de droite - 1. Ils doivent être marqués sur la poutre et les intervalles de constance du signe doivent être déterminés.

Sur le premier intervalle, de moins l'infini à 1, la fonction du côté gauche de l'inégalité prend des valeurs positives et la fonction du côté droit prend des valeurs négatives. Sous l'arc, vous devez écrire deux signes « + » et « - » côte à côte.

L'intervalle suivant est de 1 à 2. Sur celui-ci, les deux fonctions prennent des valeurs positives. Cela signifie qu'il y a deux avantages sous l'arc.

Le troisième intervalle de 2 à l'infini donnera le résultat suivant : la fonction de gauche est négative, la fonction de droite est positive.

En tenant compte des signes résultants, vous devez calculer les valeurs d'inégalité pour tous les intervalles.

La première produit l'inégalité suivante : 2 - x > - 2 (x - 1). Le moins avant les deux dans la deuxième inégalité est dû au fait que cette fonction est négative.

Après transformation, l'inégalité ressemble à ceci : x > 0. Elle donne immédiatement les valeurs de la variable. Autrement dit, à partir de cet intervalle, seul l'intervalle de 0 à 1 recevra une réponse.

Sur le second : 2 - x > 2 (x - 1). Les transformations donneront l'inégalité suivante : -3x + 4 est supérieur à zéro. Son zéro sera x = 4/3. Compte tenu du signe d'inégalité, il s'avère que x doit être inférieur à ce nombre. Cela signifie que cet intervalle est réduit à un intervalle de 1 à 4/3.

Cette dernière donne l'inégalité suivante : - (2 - x) > 2 (x - 1). Sa transformation conduit à ce qui suit : -x > 0. Autrement dit, l'équation est vraie lorsque x est inférieur à zéro. Cela signifie que sur l’intervalle requis, l’inégalité ne fournit pas de solutions.

Dans les deux premiers intervalles, le nombre limite s'est avéré être 1. Il doit être vérifié séparément. Autrement dit, remplacez-le par l'inégalité d'origine. Il s'avère : |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Le calcul montre que 1 est supérieur à 0. C'est déclaration vraie, donc un est inclus dans la réponse.

Réponse : x se situe dans l'intervalle (0 ; 4/3).

En termes plus simples, on peut dire qu'il s'agit d'inégalités dans lesquelles il n'y a une variable qu'au premier degré, et elle n'est pas au dénominateur de la fraction.

Exemples:

\(\frac(3y-4)(5)\) \(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Les exemples ne sont pas inégalités linéaires:

\(3>-2\) – il n'y a pas de variables ici, seulement des nombres, ce qui signifie qu'il s'agit d'une inégalité numérique
\(\frac(-14)((y-3)^(2)-5)\) \(\leq0\) – il y a une variable dans le dénominateur, ceci
\(5(x-1)-2x>3x^(2)-8\) - il y a une variable à la puissance seconde, c'est

Résoudre les inégalités linéaires

Résoudre les inégalités il y aura n'importe quel nombre dont la substitution à la place de la variable rendra l'inégalité vraie. Résoudre les inégalités- signifie trouver tous ces nombres.

Par exemple, pour l’inégalité \(x-2>0\) le nombre \(5\) sera la solution, car en remplaçant cinq au lieu de x, nous obtenons le nombre correct : \(3>0\). Mais le nombre \(1\) ne sera pas une solution, puisque la substitution entraînera une inégalité numérique incorrecte : \(-1>0\) . Mais la solution de l'inégalité sera non seulement cinq, mais aussi \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) et un nombre infini de nombres : tout nombre supérieur à deux.

Par conséquent, les inégalités linéaires ne peuvent pas être résolues en recherchant et en substituant des valeurs. Au lieu de cela, les utiliser conduire à l’un des événements suivants :

\(X c\), \(x\leqс\), \(x\geqс\), où \(с\) est n'importe quel nombre

La réponse est ensuite marquée sur la droite numérique et écrite sous la forme (également appelé intervalle).

En général, si vous savez résoudre, vous pouvez alors créer des inégalités linéaires, car le processus de résolution est très similaire. Il n'y a qu'un seul ajout important :

Exemple. Résoudre l'inégalité \(2(x+1)-1<7+8x\)
Solution:

Répondre: \(x\in(-1;\infty)\)

Cas particulier n°1 : solution à l’inégalité – nombre quelconque

Dans les inégalités linéaires, une situation est possible où absolument n'importe quel nombre peut être utilisé comme solution - entier, fractionnaire, négatif, positif, zéro... Par exemple, cette inégalité \(x+2>x\) sera vraie pour tout valeur de x. Eh bien, comment pourrait-il en être autrement, car un deux a été ajouté au X à gauche, mais pas à droite. Naturellement, le nombre de gauche sera plus grand, quel que soit le X que nous prenons.

Exemple. Résoudre l'inégalité \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Solution:

Répondre: \(x\in(-\infty;\infty)\)

Cas particulier n°2 : les inégalités n’ont pas de solutions

La situation inverse est également possible, lorsqu’une inégalité linéaire n’a aucune solution, c’est-à-dire qu’aucun x ne la rendra vraie. Par exemple, \(x-2>x\) ne sera jamais vrai, car deux est soustrait de x à gauche, mais pas à droite. Cela signifie qu’à gauche il y en aura toujours moins, pas plus.

Exemple. Résoudre l'inégalité \(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)
Solution:

\(\frac(x-5)(2)\) \(>\) \(\frac(3x+2)(6)\) \(-1\)		Les dénominateurs nous gênent. On s'en débarrasse immédiatement en multipliant toutes les inégalités par le dénominateur commun de tous, soit par 6
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\((\frac(3x+2)(6)\) \( -1\)\()\)		Ouvrons les parenthèses
\(6\cdot\)\(\frac(x-5)(2)\) \(>\)\(6\cdot\)\(\frac(3x+2)(6)\) \(- 6\)		Coupeons ce qui peut l'être
\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)		À gauche, nous ouvrirons la parenthèse et à droite, nous présenterons des termes similaires
\(3x-15>3x-4\)		Déplacez \(3x\) vers la gauche et \(-15\) vers la droite, en changeant de signe
\(3x-3x>-4+15\)		Nous présentons à nouveau des termes similaires
		Vous avez reçu une inégalité numérique incorrecte. Et ce sera incorrect pour tout x, car cela n’affecte en rien l’inégalité résultante. Cela signifie que toute valeur de X ne sera pas une solution.

Répondre: \(x\dans\varnothing\)

Dans cet article, je réponds à une autre question de mes abonnés. Les questions viennent de différentes manières. Tous ne sont pas formulés correctement. Et certains d’entre eux sont formulés de telle manière qu’il n’est pas immédiatement clair ce que l’auteur veut demander. Par conséquent, parmi la grande variété de questions envoyées, je dois sélectionner des questions vraiment intéressantes, de telles « perles », dont la réponse est non seulement passionnante, mais aussi utile, me semble-t-il, pour mes autres lecteurs. Et aujourd’hui je réponds à l’une de ces questions. Comment décrire l’ensemble des solutions à un système d’inégalités ?


C'est vraiment bonne question. Parce que la méthode solution graphique les problèmes de mathématiques sont une méthode très puissante. Une personne est conçue de telle manière qu'il lui est plus pratique de percevoir des informations à l'aide de divers matériaux visuels. Par conséquent, si vous maîtrisez cette méthode, alors croyez-moi, elle vous sera indispensable à la fois pour résoudre les tâches de l'examen d'État unifié, notamment de la deuxième partie, d'autres examens, et pour résoudre des problèmes d'optimisation, et ainsi de suite. .

Alors voilà. Comment pouvons-nous répondre à cette question ? Commençons simplement. Supposons que le système d'inégalités ne contienne qu'une seule variable.

Exemple 1. Dessinez l'ensemble des solutions du système d'inégalités : Title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com">!}

Simplifions ce système. Pour ce faire, ajoutez 7 aux deux côtés de la première inégalité et divisez les deux côtés par 2, sans changer le signe de l'inégalité, puisque 2 est un nombre positif. On ajoute 4 aux deux côtés de la deuxième inégalité. On obtient ainsi le système d'inégalités suivant :

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Un tel problème est généralement appelé unidimensionnel. Pourquoi? Oui, car pour décrire la multitude de ses solutions, elle est suffisamment directe. Une droite numérique, pour être précis. Marquons les points 6 et 8 sur cette droite numérique. Il est clair que le point 8 sera plus à droite que le point 6, car sur la droite numérique, les plus grands nombres se trouvent à droite des plus petits. De plus, le point 8 sera ombré, puisque, d'après la notation de la première inégalité, il est inclus dans sa solution. Au contraire, le point 6 sera en grisé, puisqu'il n'est pas inclus dans la solution de la deuxième inéquation :

Marquons maintenant avec une flèche au dessus les valeurs inférieures ou égales à 8, comme l'exige la première inégalité du système, et avec une flèche en dessous - les valeurs supérieures à 6, comme l'exige la deuxième inégalité du système :

Il reste à répondre à la question de savoir où se situent sur la droite numérique les solutions au système d’inégalités. Rappelez-vous une fois pour toutes. Le symbole du système - l'accolade - en mathématiques remplace la conjonction "I". Autrement dit, en traduisant le langage des formules en langage humain, nous pouvons dire que nous devons indiquer des valeurs supérieures à 6 ET inférieures ou égales à 8. C'est-à-dire que l'intervalle requis se situe à l'intersection du marqué intervalles :

Nous avons donc représenté l'ensemble des solutions du système d'inégalités sur la droite numérique dans le cas où le système d'inégalités ne contient qu'une seule variable. Cet intervalle ombré comprend toutes les valeurs pour lesquelles toutes les inégalités écrites dans le système sont satisfaites.

Considérons maintenant un cas plus complexe. Supposons que notre système contienne des inégalités à deux variables et . Dans ce cas, il ne sera pas possible d’utiliser uniquement une ligne droite pour représenter les solutions d’un tel système. Nous allons au-delà du monde unidimensionnel et y ajoutons une autre dimension. Ici, nous avons besoin d'un avion entier. Examinons la situation à l'aide d'un exemple précis.

Alors, comment pouvons-nous représenter l’ensemble des solutions d’un système d’inégalités donné à deux variables dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan ? Commençons par le plus simple. Demandons-nous quelle région de ce plan est déterminée par l'inégalité. L'équation spécifie une ligne droite perpendiculaire à l'axe BŒUF passant par le point (0;0). C'est en fait que cette droite coïncide avec l'axe OY. Eh bien, puisque nous nous intéressons aux valeurs supérieures ou égales à 0, alors tout le demi-plan situé à droite de la droite convient :

De plus, tous les points qui se trouvent sur l'axe OY, nous conviennent également, car l’inégalité n’est pas stricte.

Pour comprendre quelle aire sur le plan de coordonnées définit la troisième inégalité, vous devez tracer la fonction. Il s'agit d'une droite passant par l'origine et par exemple le point (1;1). Autrement dit, il s’agit d’une ligne droite contenant la bissectrice de l’angle formant le premier quart de coordonnées.

Examinons maintenant la troisième inégalité du système et réfléchissons. Quelle zone devons-nous trouver ? Regardons: . Signe supérieur ou égal. Autrement dit, la situation est similaire à celle de l’exemple précédent. Seulement ici, « plus » ne signifie pas « plus à droite », mais « plus haut ». Parce que OY- c'est notre axe vertical. C'est-à-dire que l'aire définie sur le plan par la troisième inégalité est l'ensemble des points situés au-dessus de la ligne ou sur celle-ci :

Avec la première inégalité, le système est un peu moins pratique. Mais une fois que nous avons pu déterminer l’aire définie par la troisième inégalité, je pense que la manière d’agir est déjà claire.

Il faut présenter cette inégalité de telle manière qu'il n'y ait que la variable à gauche, et uniquement la variable à droite. Pour ce faire, soustrayez des deux côtés de l'inégalité et divisez les deux côtés par 2, sans changer le signe de l'inégalité, car 2 est un nombre positif. On obtient alors l’inégalité suivante :

Il ne reste plus qu'à tracer une ligne droite sur le plan de coordonnées qui coupe l'axe OY au point A(0;4) et une droite au point . J'ai appris ce dernier en égalisant les membres droits des équations de droites et en obtenant l'équation. A partir de cette équation, la coordonnée du point d'intersection est trouvée, et la coordonnée, je pense que vous l'avez deviné, est égale à la coordonnée. Pour ceux qui ne l’auraient pas encore deviné, c’est parce que nous avons l’équation d’une des droites sécantes : .

Dès que nous avons tracé cette ligne droite, nous pouvons immédiatement marquer la zone souhaitée. Le signe d’inégalité ici est « inférieur ou égal à ». Cela signifie que la zone souhaitée se trouve en dessous ou directement sur la ligne droite représentée :

Eh bien, la dernière question. Où est la région souhaitée qui satisfait les trois inégalités du système ? Il est évidemment situé à l’intersection des trois zones balisées. Encore une traversée ! N'oubliez pas : le signe système en mathématiques signifie intersection. Voilà, cette zone :

Eh bien, le dernier exemple. Encore plus général. Supposons maintenant que nous n'ayons pas une variable dans le système, ni deux, mais jusqu'à trois !

Puisqu’il existe trois variables, pour décrire l’ensemble des solutions à un tel système d’inégalités, nous aurons besoin d’une troisième dimension en plus des deux avec lesquelles nous avons travaillé dans l’exemple précédent. Autrement dit, nous sortons de l'avion dans l'espace et représentons un système de coordonnées spatiales à trois dimensions : X, Oui Et Z. Ce qui correspond à la longueur, la largeur et la hauteur.

Commençons par représenter dans ce système de coordonnées la surface spécifiée par l'équation. Sous la forme, elle est très similaire à l'équation d'un cercle sur un plan, un seul terme supplémentaire est ajouté avec la variable . Il est facile de deviner qu'il s'agit de l'équation d'une sphère ayant un centre au point (1;3;2), dont le carré du rayon est 4. C'est-à-dire que le rayon lui-même est 2.

Puis une question. Alors, que détermine l’inégalité elle-même ? Pour ceux qui sont perplexes face à cette question, je propose de raisonner comme suit. En traduisant le langage des formules en langage humain, on peut dire qu'il faut indiquer toutes les sphères ayant un centre au point (1;3;2), dont les rayons sont inférieurs ou égaux à 2. Mais alors toutes ces sphères seront situées à l’intérieur de la sphère représentée ! Autrement dit, cette inégalité définit toute la région interne de la sphère représentée. Si vous le souhaitez, une boule est définie, délimitée par la sphère représentée :

La surface définie par l'équation x+y+z=4 est un plan qui coupe les axes de coordonnées aux points (0;0;4), (0;4;0) et (4;0;0). Eh bien, il est clair que plus le nombre à droite du signe égal est grand, plus les points d'intersection de ce plan avec les axes de coordonnées seront éloignés du centre de coordonnées. Autrement dit, la deuxième inégalité spécifie un demi-espace situé « au-dessus » d’un plan donné. En utilisant le terme conventionnel « supérieur », j'entends plus loin dans le sens d'une augmentation des valeurs de coordonnées le long des axes.

Ce plan coupe la sphère représentée. Dans ce cas, la section d'intersection est un cercle. Vous pouvez même calculer à quelle distance du centre du système de coordonnées se trouve le centre de ce cercle. À propos, quiconque devine comment procéder, écrivez vos solutions et réponses dans les commentaires. Ainsi, le système d'inégalités initial définit une région de l'espace située plus loin de ce plan dans le sens de coordonnées croissantes, mais enfermée dans la sphère représentée :

C’est ainsi que sont représentées de nombreuses solutions à un système d’inégalités. S'il y a plus de variables dans le système que 3 (par exemple 4), il ne sera plus possible de décrire clairement l'ensemble des solutions. Parce que cela nécessiterait un système de coordonnées à 4 dimensions. Mais personne normale incapable d'imaginer comment 4 axes de coordonnées mutuellement perpendiculaires pourraient être localisés. Bien que j'ai un ami qui prétend qu'il peut le faire, et facilement. Je ne sais pas s’il dit la vérité, peut-être qu’il dit la vérité. Mais l’imagination humaine normale ne permet pas que cela soit possible.

J'espère que vous avez trouvé la leçon d'aujourd'hui utile. Pour vérifier si vous l’avez bien compris, faites les devoirs ci-dessous.

Dessinez l’ensemble des solutions du système d’inégalités :

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Matériel préparé par Sergey Valerievich

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans Article spécial 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce qui s'est passé "inégalité quadratique" ? Pas de question !) Si vous prenez n'importe lequel équation quadratique et remplacez le signe dedans "=" (égal) à tout signe d'inégalité ( > ≥ < ≤ ≠ ), on obtient une inégalité quadratique. Par exemple:

1. x2-8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Eh bien, vous comprenez...)

Ce n’est pas pour rien que j’ai lié ici équations et inégalités. Le fait est que la première étape pour résoudre n'importe lequel inégalité quadratique - résoudre l’équation à partir de laquelle est faite cette inégalité. Pour cette raison - incapacité à décider équations du second degré conduit automatiquement à un échec complet des inégalités. L'indice est-il clair ?) Si quoi que ce soit, regardez comment résoudre des équations quadratiques. Tout y est décrit en détail. Et dans cette leçon, nous traiterons des inégalités.

L'inégalité prête à être résolue a la forme : à gauche se trouve un trinôme quadratique hache 2 +bx+c, à droite - zéro. Le signe d'inégalité peut être absolument n'importe quoi. Les deux premiers exemples sont ici sont déjà prêts à prendre une décision. Le troisième exemple reste à préparer.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.