9.3.1. Методика введения понятия «Одночлен» и формирование умения находить его числовое значение.

К опорным зна­ниям относятся понятия алгебраического выражения, произве­дения алгебраических выражений, множителя (числового и буквенного); к умениям – запись алгебраического выражения по его элементам, выделение элементов заданного алгебраиче­ского выражения.

Актуализация знаний осуществляется посредством упражнений.

1. Из данного набора выбери­те такие алгебраические выражения, которые являются произведениями нескольких множителей: а) 5а 2 b ; б) (7аb 2 + с 2 ):(5m 2 n ); в) 8; г) 5а 6 bb 4 а ; д) ; е) ж)

Указанному условию удовлетворяют алгебраические выра­жения: 5а 2 b ; 8; 5а 6 bb 4 а ; ; Скорее всего, учащиеся не назовут в числе требуемых алгебраических выражений 8; ; хотя некоторые могут догадаться, что можно представить как с. Взяв несколько алгебраических выражений, следует поупражняться в выделении их числового множителя, буквенных множителей, в записи по данным алгебраическим выражениям новых выражений.

2. Составьте новое алгебраическое выражение, используя выражения 3а 2 b и а . Возможные ответы учащихся: 3а 2 b + а ; 3а 2 b – а ; 3а 2 b а ; 3а 2 b : а .

3. Какие из указанных выражений являются одночленами: а) 5а 3 bсаb 4 ; б) а ; в) г) 3 4 д) 7аb 2 :n ; д) – 5а 6 b с 2 ; е) – а 3 ; ж) з) – mnx . Назовите числовые и буквенные множители одночленов.

4. Запишите несколько алгебраических выражений, явля­ющихся одночленами.

5. Запишите несколько одночленов, отличающихся только числовым коэффициентом.

6. Заполните пропуски: а) 12а 3 b 4 = 2а … b 2 ; б) – 24 m 2 b 7 p 6 = 24bp …

7. Вместо словесной формулировки записать алгебраичес­кие выражения: а) удвоенное произведение чисел а и b; б) ут­роенное произведение квадрата числа а и числа b.

8. Пояснить выражения: а) 2а b ; б) а 5b .

Например, выражение а 5b можно пояснить как: 1) про­изведение чисел а , 5 и b ;2) произведение чисел а и 5b ;3) пло­щадь прямоугольника со сторонами а и 5b .

Упражнения типа 7 и 8 способствуют и овладению методом решения текстовых задач с помощью уравнений, так как перевод словесных формулировок на язык чисел и букв и словесная интерпретация алгебраических выражений – важные составляющие метода решения задач с помощью уравнений.

9. Найдите числовое значение одночлена: 1) 5mnx при m= 3, n= ; x =8; 2) (– 0,25)а b при а =12; b =8. При выполнении подобных упражнений следует указать особенным учащимся на необходимость использования свойств и законов арифметических действий для рационализации вычислений.

Организация выполнения упражнений может быть различ­ной: решение у доски, самостоятельное решение, комментиро­ванное решение, одновременное выполнение упражнений на доске с привлечением слабых учащихся и самостоятельная рабо­та сильных учащихся и т.д.

Для домашнего задания можно использовать упражнения на запись чисел в стандартном виде, которое будет служить мо­тивом для введения на следующем уроке понятия стандартно­го вида одночлена.

9.3.2. Обобщение и систематизация знаний по теме: «Прогрессии» .

Воспроизведение и коррекцию опорных знаний можно осуществить посредством упражнений на заполнение таблицы с последующим обсуждением результатов.

Отметим, что арифметическая и геометрическая прогрес­сии дают пример изучения материала в сходных ситуациях, поэтому важное место в систематизации знаний о прогрессиях должны занять методы противопоставления и сопоставления. Обсуждение узловых вопросов основывается на выяснении при­чин различия и общего в прогрессиях.

Вопросы для обсуждения.

А). Назовите общее и различное в структуре определения арифметической и геометрической прогрессий.

Б). Дайте определение бесконечно убывающей геометричес­кой прогрессии.

В). Что называется суммой бесконечно убывающей геомет­рической прогрессии? Запишите ее формулу.

Г). Как доказать, что данная последовательность является арифметической (геометрической) прогрессией?

Д). С помощью стрелок покажите связи между указанными определениями, формулами (рис.7):

a	a n = a n -1 + d		а 1 , а 2 , … …		a n = a l +d(n–1)
			a n , d
	a n = (a n -1 + a n +1)		Признак арифметической прогрессии		S n = (a 1 + a 2) n

3. Выпишите все определения, формулы по теме «Геомет­рическая прогрессия» и укажите зависимости между ними.

Упражнения 2 и 3 можно предложить учащимся выпол­нить самостоятельно с последующим обсуждением результатов всеми учащимися класса. Можно упражнение 2 выполнить коллективно, а упражнение 3 предложить в качестве самосто­ятельной работы.

Следующие этапы обобщающего урока реализуются с по­мощью упражнений, выполнение которых требует анализа и использования основных фактов, приводящих к новым связям и отношениям между изученными понятиями и теоремами.

4. Между числами 4 и 9 вставьте положительное число так, чтобы получилось три последовательных члена геометри­ческой прогрессии. Сформулируйте и решите аналогичную за­дачу применительно к арифметической прогрессии.

5. Определите числа a 1 , а 2 , а 3 и а 4 , если a 1 , а 2 , а 3 – последовательные члены геометрической прогрессии, а a 1 , а 3 и а 4 – арифметической прогрессии и а 1 + а 4 = 14, а 2 + а 3 = 12.

7. Могут ли три положительных числа быть одновременно тремя последовательными членами арифметической и геомет­рической прогрессий?

8. Можно ли утверждать, что арифметическая и геометри­ческая прогрессии являются функциями? Если да, то к каким видам функций они относятся?

9. Известно, что a n = 2n +1 – арифметическая прогрессия. Что общего и различного в графиках этой прогрессии и линей­ной функции f (х ) = 2x +1?

10. Можно ли указать последовательности, являющиеся
одновременно арифметической и геометрической прогрессиями?

Формы выполнения упражнений могут быть различны: выполнение упражнений у доски, комментированное решение и т.д. Некоторые из приведенных упражнений могут быть вы­полнены учащимися самостоятельно, причем выполнение их может осуществляться в зависимости от возможностей школь­ников с применением карточек, содержащих пропущенные строки либо указания к их выполнению. Очевидно, что, чем ниже возможности школьника, тем обширнее для него должен быть набор рекомендаций (указаний к выполнению).

9.3.3. Проверка, оценка и коррекция знаний, умений и навыков по теме: «Умножение и деление рациональных чисел» .

Проверка знания учащимися фактического материала, умения объяснять сущность основных понятий осуществляется в процессе беседы с последующим выполнением упражнений.

Вопросы для беседы

1. Сформулируйте правило умножения двух чисел с одинаковы­ми знаками. Приведите примеры.

2. Сформулируйте правило умножения двух чисел с разными знаками. Приведите примеры.

3. Чему равно произведение нескольких чисел, если одно из них нуль? При каких условиях a b = 0?

4. Чему равно произведение а (–1)? Приведите примеры.

5. Как изменится произведение при перемене знака одно­го из множителей?

6. Сформулируйте переместительный закон умножения.

7. Как формулируется сочетательный закон умножения?

8. Запишите, используя буквы, переместительный и соче­тательный законы умножения.

9. Как найти произведение трех, четырех рациональных чисел?

10. Ученик, выполняя упражнение на отыскание произве­дения 0,25 15 15 (–4), использовал следующую последова­тельность действий: (0,25 (–4)) 15 15 = (–1) 15 15 = –15 15. Какие законы он использовал?

11. Какой множитель алгебраического выражения называ­ют коэффициентом?

12. Как найти коэффициент произведения, в котором не­сколько буквенных и числовых множителей?

13. Чему равен коэффициент выражения: a; – a; ab; – ab?

14. Сформулируйте распределительный закон умножения. Запишите его с помощью букв.

15. Какие слагаемые алгебраической суммы называют по­добными?

16. Объясните, что значит привести подобные слагаемые.

17. Объясните, с помощью каких законов выполняется при­ведение подобных слагаемых в выражении 5,2y – 8a – 4,8y – 2а .

18. Каково правило деления рациональных чисел с одина­ковыми знаками?

19. По какому правилу выполняют деление рациональных чисел с разными знаками?

20. В каком случае частное двух рациональных чисел рав­но нулю?

21. В каком порядке выполняют совместные действия с рациональными числами?

Отдельные вопросы могут быть предметом коллективного обсуждения, другие – листов взаимоконтроля учащихся, воз­можно на основе некоторых вопросов провести математический диктант и т.д.

Последующая серия упражнений направлена на контроль, оценку, коррекцию умений учащихся. Возможны различные фор­мы выполнения упражнений: самостоятельное решение, сопровождающееся самоконтролем учащихся, комментиро­ванное решение, выполнение упражнений на доске, устный опрос и т.д. Эта серия охватывает две группы упражнений. Первая группа не требует для выполнения мыслительной деятельности реконструктивного характера, выполнение второй группы пред­полагает реконструкцию знаний и умений по изучаемой теме.

1. Какие из указанных равенств верные:

1) (–9) (–8) = –72; 2) (–1,4) 0,5 = – 0,7;

3) 12 (–0,2) = –0,24; 4) (–3,2) (–2,1) = 6,72?

Выберите правильный ответ.

Ответ: 1); 2); 3); 4); верных равенств нет.

2. Не выполняя вычислений, определите, какое произведение положительно:

1) 0,26 (–17) (–52) (–34); 2) (–1) (–8) 0,4 (–3,4);

3) (–16) (–0,87) (– ) (–5); 4) 5 (–3,2) 0 (0,7).

Ответ: 1); 2); 3); 4).

3. Укажите выражения, имеющие равные коэффициенты:

1) 9ас и 3x (4y ); 2) (–3) (–8cb ) и 4х 6у;

3) аbс и 2,75xy ; 4) 3,15аbс и 0,001аbс .

4. Какое из выражений содержит подобные слагаемые:

1) 7а – 12аb + 14; 2) – 0,5ху + 2,7kх – 0,5;

3) 3с – 2,7хус – ;4) 72ab – ab + 241?

Укажите правильный ответ.

Ответ: 1); 2); 4); выражений, содержащих подобные сла­гаемые, нет.

5. Укажите верные равенства: : (–18,2

3. Выберите наибольшее и наименьшее число среди чисел
а , а 2 , а 3 , а 4 , а 5 , а 6 , а 7 при а = – 5, а = 3.

4. Упростите выражение:

1) – х (у – 4) – 2(ху – 3) – 3х; 2) a (b + 3) – 3(2 – ab) + a.

Приведенная совокупность заданий и их после­довательность охватывают все уровни усвоения знаний. Выполнение всей совокупности заданий соответствует качественному усвоению знаний и умений и может быть оценено на «отлично». Усвоению знаний и умений на уровне их применения в ситуациях, не требующих реконструкции знаний и умений, соответствуют упражнения первой группы. Правильные ответы на вопросы характеризуют усвоение знаний на уровне воспроизве­дения. Оценка «удовлетворительно» может быть выставлена ученику, выполнившему большинство упражнений первой группы. Оценка «хорошо» соответствует правильно выполненному боль­шинству упражнений первой и второй групп.

Задания

1. Выберите конкретную тему коррекционно-развивающего курса алгебры основной школы. Изучите соответствующие разделы программы и учебника. Выявите методические особенности изучения темы. Разработайте фрагменты методики обучения теме. Подготовьте комплект карточек для коррекции знаний учащихся.

2. Посетите несколько уроков алгебры одного из специальных (коррекционных) учреждений VII вида вашего региона. Проведите анализ одного урока с точки зрения его образовательной, коррекционно-развивающей, воспитательной и практической направленности.

3. Одной из целей обучения математике является формирование математической культуры. Вычислительная культура – один из компонентов математической культуры. Предложите ваш вариант трактовки понятия «вычислительная культура». На каких этапах обучения математике особенных учащихся, при обучении какому содержанию возможна и целесообразна постановка цели «формирование вычислительной культуры»? Приведите конкретный пример с соответствующей системой заданий. Составьте список литературы по вопросам развития понятия о числе для внеклассного чтения особенных учащихся. Укажите, в каких классах она может быть использована.

ГЛАВА 10. ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ КОРРЕКЦИОННО-РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ в основной школе .

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала.

1.2. Методика изучения числовых выражений.

1.3. Изучение буквенных выражений.

1.4. Изучение числовых равенств и неравенств.

1.5. Методика изучения уравнений.

1.6. Решение простых арифметических задач с помощью составления уравнений.

1.1. Общие вопросы методики изучения алгебраического материала

Введение алгебраического материала в начальный курс математики позволяет подготовить учащихся к изучению основных понятий современной математики (переменная, уравнение, равенство, неравенство и др.), способствует обобщению арифметических знаний, формированию у детей функционального мышления.

Учащиеся начальных классов должны получить первоначальные сведения о математических выражениях, числовых равенствах и неравенствах, научиться решать уравнения, предусмотренные учебной программой и простые арифметические задачи с помощью составления уравнения (теоретическая основа выбора арифметического действия в которых связь между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия0.

Изучение алгебраического материала ведётся в тесной связи с арифметическим материалом.

1.2. Методика изучения числовых выражений

В математике под выражением понимают построенную по определённым правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними.

Выражения вида: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - числовые выражения; вида: 8-а; 30:в; 5+(3+с) - буквенные выражения (выражения с переменной).

Задачи изучения темы

2) Ознакомить учащихся с правилами порядка выполнения арифметических действий.

3) Научить находить числовые значения выражений.

4) Ознакомить с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

Решение поставленных задач осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах, начиная с первых дней пребывания ребёнка в школе.

В методике работы над числовыми выражениями предусматривается три этапа: на первом этапе - формирование понятий о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел); на втором этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия одной ступени; на третьем этапе - о выражениях, содержащих два и более арифметических действия разных ступеней.

С простейшими выражениями - суммой и разностью - учащихся знакомят в первом классе (по программе 1-4) с произведением и частным - во втором классе (с термином «произведение» - во 2 классе, с термином «частное» - в третьем классе).

Рассмотрим методику изучения числовых выражений.

Выполняя операции над множествами, дети, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 3+2, 7-1 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть» (к 3 прибавить 2). В дальнейшем понятия о действиях углубляются: учащиеся узнают, что, прибавляя (вычитая) несколько единиц, мы увеличиваем (уменьшаем) число на столько же единиц (чтение: 3 увеличить на 2), затем дети узнают название знаков действий «плюс» (чтение: 3 плюс 2), «минус».

В теме «Сложение и вычитание в пределах 20» детей знакомят с понятиями «сумма», «разность» как названиями математических выражений и как названием результата арифметических действий сложения и вычитания.

Рассмотрим фрагмент урока (2 кл.).

На доску с помощью воды прикрепить 4 красных и 3 жёлтых круга:

ОООО ООО

Сколько красных кругов? (Записать число 4.)

Сколько жёлтых кругов? (Записать число 3.)

Какое действие над записанными числами 3 и 4 нужно выполнить, чтобы узнать, сколько красных и сколько жёлтых кругов вместе? (появляется запись: 4+3).

Скажите, не считая, сколько всего кругов?

Такое выражение в математике, когда между числами стоит знак «+», называют суммой (Скажем вместе: сумма) и читают так: сумма четырёх и трёх.

А теперь узнаем, чему же равна сумма чисел 4 и 3 (даём полный ответ).

Аналогично про разность.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из 3 и более чисел, соединённых одинаковыми и разными знаками арифметических действий: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 и т.д. Раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает способ их чтения. Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке арифметических действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его: 10-3+2=7+2=9. Такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований.

Методика ознакомления с выражениями со скобками может быть различной (Описать в тетради фрагмент урока, подготовиться к проведению на практических занятиях).

Умение составлять и находить значение выражения используется детьми при решении арифметических задач, вместе с тем здесь происходит дальнейшее овладение понятием «выражение», усваивается конкретный смысл выражений в записях решения задач.

Представляет интерес вид работы, предложенный латвийским методистом Я.Я. Менцисом.

Даётся текст, например, такой: «У мальчика было 24 р., пирожное стоит 6 р., конфета 2 р.», предлагается:

а) составить все виды выражений по этому тексту и объяснить, что они показывают;

б) объяснить, что показывают выражения:

2 кл. 3 кл.

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

В 3 классе наряду с выражениями, рассмотренными ранее, включают выражения, состоящие из двух простых выражений (37+6)-(42+1), а также состоящие из числа и произведения или частного двух чисел. Например: 75-50:25+2. Там, где порядок выполнения действий не совпадает с порядком их записи, используют скобки: 16-6:(8-5). Дети должны научиться правильно читать и записывать эти выражения, находить их значения.

Термины «выражение», «значение выражения» вводятся без определений. Для того, чтобы детям облегчить работу по чтению и нахождению значения сложных выражений, методисты рекомендуют использовать схему, которая составляется коллективно и используется при чтении выражений:

1) Установлю, какое действие выполняется последним.

2) Подумаю, как называются числа при выполнении это действия.

3) Прочитаю, чем выражены эти числа.

Правила порядка выполнения действий в сложных выражениях изучаются в 3 классе, но практически некоторые из них дети используют в первом и втором классах.

Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо умножение и деление (3 кл.). Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, приобретённые ранее, обратить внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать правило.

Подведение детей к формулировке правила, осознание его может быть различным. Главная опора на имеющийся опыт, максимально возможная самостоятельность, создание ситуации поиска и открытия, доказательности.

Можно использовать методический приём Ш.А. Амонашвили «ошибка учителя».

Например. Учитель сообщает, что при нахождении значения следующих выражений у него получились ответы, в правильности которых он уверен (ответы закрыты).

36:2 6=6 и т.д.

Предлагает детям самим найти значения выражений, а затем сопоставить ответы с ответами, полученными учителем (к этому моменту результаты арифметических действий открываются). Дети доказывают, что учителем допущены ошибки и на основе изучения частных фактов формулируют правило (см. учебник математики, 3 кл.).

Аналогично можно ввести остальные правила порядка выполнения действий: когда в выражениях без скобок содержатся действия 1 и 2 ступени, в выражениях со скобками. Важно, чтобы дети осознали, что изменение порядка выполнения арифметических действий приводит к изменению результата, в связи с чем математики решили договориться и сформулировали правила, которые необходимо строго соблюдать.

Преобразование выражения - замена данного выражения другим с тем же числовым значением. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия из них (,с.249-250).

При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять дей­ствия по-разному, но значение выражения при этом не изме­няется. В дальнейшем знания свойств действий учащиеся применяют для преобразования заданных выражений в тождественные выражения. Например, предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак « = » сохранился:

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Выполняя первое задание, учащиеся рассуждают так: слева из 76 вычитают сумму чисел 20 и 4, справа из 76 вычли 20; чтобы справа получилось столько же, сколько слева, надо спра­ва еще вычесть 4. Аналогично преобразуются другие выражения, т. е., прочитаввыражение, ученик вспоминает соответст­вующее правило. И, выполняя действия по правилу, получает преобразованное выражение. Чтобы убедиться в правильности преобразования, дети вычисляют значения заданного и преобра­зованного выражений и сравнивают их.

Применяя знания свойств действий для обоснования прие­мов вычислений, учащиеся I-IV классов выполняют преобразования выражений вида:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Здесь также необходимо, чтобы учащиеся не только поясня­ли, на основе чего получают каждое последующее выражение, но и понимали, что все эти выражения соединены знаком « = », потому что имеют одинаковые значения. Для этого изредка сле­дует предлагать детям вычислять значения выражений и cpавнивать их. Это предупреждает ошибки вида: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288.

Учащиеся II-IV классов выполняют преобразование выра­жений не только на основе свойств действии, но и на основе их конкретного смысла. Например, сумму одинаковых слагае­мых заменяют произведением: (6+ 6 + 6 = 6 3, и наоборот: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7=7 5.

На основе вычислений и анализа специально подобранных выражений учащихся IV класса подводят к выводу о том, что если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить. В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся уп­ражняются в преобразовании выражений со скобками в тож­дественные им выражения без скобок. Например, предлагается записать данные выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Так, первое из заданных выражений дети заменяют выражениями: 65 + 30-20, 65-20+30, поясняя порядок выполне­ния действий в них. Таким образом, учащиеся убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка дей­ствий только в том случае, если при этом применяются свой­ства действий.

Изучение алгебраического материала в начальной школе. Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий, как выражение, равенство, неравенство, уравнение. Включение элементов алгебры имеет своей целью главным образом более полное и более глубокое раскрытие арифметических понятий, доведение обобщений учащихся до более высокого уровня, а также создание предпосылок для успешного усвоения в дальнейшем курса алгебры. Ознакомление с использованием буквы как символа, обозначающего любое число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями переменной, функции. Более раннее ознакомление с использованием алгебраического способа решения задач позволяет внести серьезные усовершенствования во всю систему обучения детей решению разнообразных текстовых задач. Работа над всеми перечисленными вопросами алгебраического содержания, в соответствии с тем, как это намечено в учебниках, должна вестись планомерно и систематически в течение всех лет начального обучения. Изучение элементов алгебры в начальном обучении математике тесно связывается с изучением арифметики. Это выражается, в частности, и в том, что, например, уравнения и неравенства решаются не на основе применения алгебраического аппарата, а на основе использования свойств арифметических действий, на основе взаимосвязи между компонентами и результатами этих действий. Формирование каждого из рассматриваемых алгебраических понятий не доводится до формально-логического определения. Задачи изучения темы: 1. Сформировать у учащихся умения читать, записывать и сравнивать числовые выражения. 2. Познакомить учащихся с правилами выполнения порядка действий в числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами. 3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения и вычислять их значения при данных значениях букв. 4. Познакомить учащихся с уравнениями первой степени, содержащее действия первой и второй ступени, сформировать умение решать их способом подбора, а также на основе знания взаимосвязи между компонентами и результатом арифметических действий. Математические выражения. При формировании у детей понятия математического выражения необходимо учитывать, что знак действия, поставленный между числами, имеет два смысла: с одной стороны, он обозначает действие, которое надо выполнить над числами (например, 6+4 - к шести прибавить четыре); с другой стороны, знак действия служит для обозначения выражения (6+4 - это сумма чисел 6 и 4). Понятие о выражении формируется у младших школьников в тесной связи с понятиями об арифметических действиях и способствует лучшему их усвоению. Ознакомление с числовыми выражениями: в методике работы над выражениями предусматриваются два этапа. На первом из них формируется понятие о простейших выражениях (сумма, разность, произведение, частное двух чисел), а на втором- о сложных (сумма произведения и числа, разность двух частных и т. п.). Знакомство с первым выражением - суммой двух чисел происходит в I классе при изучении сложения и вычитания в пределах 10. Выполняя операции над множествами, учащиеся, прежде всего, усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5+1, 6-2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить», «вычесть». Примерно в таком же плане идет работа над следующими выражениями: разностью (1 класс), произведением и частным двух чисел (2 класс). Вводятся термины «математическое выражение» и «значение математического выражения» (без определений). После записи нескольких примеров в одно действие учитель сообщает, что эти примеры иначе называются математическими выражениями. Правило, используемое при чтении выражений: 1) установить, какое действие выполняется последним; 2) вспомнить, как называются числа в этом действии; 3) прочитать, чем выражены эти числа. Упражнения в чтении и записи сложных выражений, содержащих компоненты действий, заданные простейшими выражениями, помогают детям усвоить правила порядка действий, а также подготавливают к решению уравнений. Предлагая подобные упражнения и проверяя знания и умения учащихся, учитель должен стремиться лишь к тому, чтобы они умели практически выполнять подобные задания: записать выражение, прочитать его, составить выражение по предложенной задаче, составить задачу по данному выражению (или «по-разному» прочитать данное выражение), понимали, что значит записать сумму (разность) с помощью цифр и знаков действий и что значит вычислить сумму (разность), а в дальнейшем, после введения соответствующих терминов, что значит составить выражение и что значит найти его значение. Изучение правил порядка действий. Цель работы на данном этапе - опираясь на практические умения учащихся, обратить их внимание на порядок выполнения действий в таких выражениях и сформулировать соответствующее правило. Учащиеся самостоятельно решают подобранные учителем примеры и объясняют, в каком порядке выполняли действия в каждом примере. Затем формулируют сами или читают по учебнику вывод. Работа ведется в такой последовательности: 1. Рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами производят либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Вывод: если в выражении без скобок указаны только действия сложения и вычитания (или только действия умножения и деления), то их выполняют в том порядке, в каком они записаны (т. е. слева направо). 2. Аналогично изучают порядок действий в выражениях со скобками вида: 85-(46-14),60: (30-20), 90: (2*5). С такими выражениями учащиеся также знакомы и умеют их читать, записывать и вычислять их значение. Объяснив порядок выполнения действий в нескольких таких выражениях, дети формулируют вывод: в выражениях со скобками первым выполняется действие над числами, записанными в скобках. 3. Наиболее трудным является правило порядка выполнения действий в выражениях без скобок, когда в них содержатся действия первой и второй ступени. Вывод: порядок действий принят по договоренности: сначала выполняется умножение, деление, затем сложение, вычитание слева на право. 4. Упражнения на вычисления значения выражений, когда ученику приходится применять все изученные правила. Ознакомление с тождественными преобразованиями выражений. Тождественное преобразование выражения - это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Учащиеся выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.). При изучении каждого свойства учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется (значение выражения не меняется при изменении порядка действий только, в том случае, если при этом применяются свойства действий) Ознакомление с буквенными выражениями. Уже в I классе возникает необходимость введения символа, обозначающего неизвестное число. В учебной и методической литературе с этой целью для учащихся предлагались самые разнообразные знаки: многоточие, обведенная пустая клетка, звездочки, вопросительный знак и т. п. Но так как все эти знаки полагается использовать в другом назначении, то для записи неизвестного числа следует использовать общепринятый для этих целей знак - букву. В дальнейшем буква как математический символ используется в начальном обучении математике также для записи обобщенных чисел, то есть когда имеются в виду не одно какое-либо целое неотрицательное число, а любое число. Такая необходимость возникает, когда надо выразить свойства арифметических действий. Буквы необходимы для обозначения величин и записи формул, отражающих зависимости между величинами, для обозначения точек, отрезков, вершин геометрических фигур. В I классе учащиеся применяют букву с целью - обозначения неизвестного искомого числа. Учащиеся знакомятся с написанием и чтением некоторых латинских букв, применяя их сразу для записи примеров с неизвестным числом (простейшие уравнения). Учащимся показывается, как перевести на язык математических символов задание, выраженное словесно: «К неизвестному числу прибавили 2 и получили 6. Найти неизвестное число». Учитель объясняет, как записать эту задачу: обозначить неизвестное число буквой х, затем показать при помощи знака +, что к неизвестному числу прибавили 2 и получили число, равное 6, что и записать, используя знак равенства: х + 2 = 6. Теперь надо выполнять действие вычитания, чтобы по сумме двух слагаемых и одному из них найти другое слагаемое. Основная работа с использованием буквы как математического символа выполняется в последующих классах. При введении буквенных выражений важную роль в системе упражнений играет умелое комбинирование индуктивного и дедуктивного методов. В соответствии с этим упражнения предусматривают переходы от числовых выражений к буквенным и, обратно, от буквенных выражений к числовым. а + b (а плюс b) также математическое выражение, только в нем слагаемые обозначены буквами: каждая из букв обозначает любые числа. Придавая буквам различные числовые значения, можно получить много, сколько угодно числовых выражений. Далее в связи с работой над выражениями раскрывается понятие постоянной. С этой целью рассматриваются выражения, в которых постоянная величина фиксируется с помощью цифр, например: a±12, 8±с. Здесь, как и на предыдущем этапе, предусматриваются упражнения на переход от числовых выражений к выражениям, записанным с помощью букв и цифр, и обратно. Аналогично можно получить математические выражения вида: 17±п, к±30, а позднее - выражения вида: 7*b, а: 8, 48:d. Работа по вычислению значений буквенных выражений при различных значениях букв, наблюдению за изменением результатов вычислений в зависимости от изменения компонентов действий закладывает основы для формирования понятия о переменной. Рассматриваются упражнения на нахождение числовых значений выражений при данных значениях буквы. Далее буквы используются для записи в обобщенном виде ранее изученных на конкретных числовых примерах свойств арифметических действий. Учащиеся, выполняя специальные упражнения, овладевают следующими умениями: 1. Записать при помощи букв свойства арифметических действий, связь между компонентами и результатами арифметических действий. 2. Прочитать записанные с помощью букв свойства арифметических действий, зависимости, отношения. 3. Выполнить тождественное преобразование выражения на основе знания свойств арифметических действий. 4. Доказать справедливость заданных равенств или неравенств при помощи числовой подстановки. Использование буквенной символики способствует повышению уровня обобщения знаний, приобретаемых учащимися начальных классов, и готовит их к изучению систематического курса алгебры в следующих классах. Равенства, неравенства. В практике обучения в начальных классах числовые выражения с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами. В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальных классах вместо этих терминов употребляют слова «верные» и «неверные». Задачи изучения равенств и неравенств в начальных классах заключаются в том, чтобы научить учащихся практически оперировать равенствами и неравенствами: сравнивать числа, сравнивать арифметические выражения, решать простейшие неравенства с одним неизвестным, переходить от неравенства к равенству и от равенства к неравенству. Понятия о равенствах, неравенствах раскрываются во взаимосвязи. При изучении, арифметического материала. Числовые равенства и неравенства изучаются в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Поэтому знаками «>», «<», « = » соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных равенствах и неравенствах (не во всех программах). Сравнение чисел осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Установленные отношения записываются с помощью знаков «>», «<», « = », учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел. Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 учащиеся упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами (подумай - поставь знак - объясни - проверь вычислением). Сравнить два выражения - значит, сравнить их значения. Сначала выполняются вычисления, затем рассматриваются задания на основе рассуждений с опорой на обобщение. Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах. Уравнения. Подготовкой к ознакомлению учащихся с уравнениями является вся работа с равенствами и неравенствами. Особое значение среди всех этих упражнений имеют задания, при выполнении которых надо от неравенства перейти к равенству и наоборот. Впервые с уравнением учащиеся знакомятся в первом классе после того, как они познакомились с зависимостью между компонентами сложения. Здесь учащийся воспринимает уравнение как равенство, которое справедливо при определенном значении пока неизвестного числа. Выдвигается требование - найти такое значение буквы, обозначающей неизвестное. Чтобы составить уравнение, достаточно задание, выраженное словесно, записать с помощью математических символов. В соответствии с программой в начальных классах рассматриваются уравнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х-3=10 + 5, х*(17-10)=70, х:2+10 = 30. Неизвестное число сначала находят подбором, а позднее на основе знания связи между результатом и компонентами арифметических действий (т. е. знания способов нахождения неизвестных компонентов). Найти неизвестное число (корень) - значит решить уравнение. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения: 1) Решите уравнения и выполните проверку. 2) Выполните проверку решенных уравнений, объясните ошибки в неверно решенных уравнениях. 3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение. 3) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением). 4) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8. 5) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении и вставьте пропущенный знак действия: х...2=12 х…2=12 х=12:2 х=12+2 7) Решите уравнения; сравните уравнения и их решения: х+8=40 х*3 = 24 х-8=40 х: 3 = 24 После того как учащиеся освоят решение простейших уравнений, уравнения усложняются в том отношении, что: 1) в правой части дается выражение: x+10=30-7; 2) один из компонентов задан выражением к + (18 - 15) = 24; 3) один из компонентов задан выражением, причем в него входит неизвестное (73 - b) + 31 = 85 Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Далее вводятся уравнения, содержащие действия первой и второй ступени. Для овладения приемом решения этих уравнений в начальных классах учащемуся необходимо в первую очередь научиться левую часть представить в виде двух компонентов, в результате действий с которыми была получена правая часть, и разобрать состав каждого компонента. При обучении решения уравнений важно вырабатывать навык проверки его корня, то есть найденного значения буквы. Здесь учащиеся должны в уравнение вместо буквы подставить ее значение, отдельно вычислить левую и правую части и сравнить полученные результаты. Отношение равенства этих результатов является основанием для заключения, что найденное число удовлетворяет условиям уравнения. Решение задач с помощью уравнений. Чтобы понять роль решения задач с помощью уравнений, рассмотрим сначала, в чем суть этого способа. Пусть надо решить путем составления уравнения задачу: «На экскурсию поехало 28 мальчиков и несколько девочек. Все они разместились в двух автобусах, по 25 человек в каждом. Сколько девочек отправилось на экскурсию?» Обозначим число девочек, которые отправились на экскурсию, какой-либо буквой, например х. Для составления равенства можно выделить различные связи, в соответствии с которыми можно составить выражения и, приравняв их, получить уравнение: а) В условии задачи сказано, что все мальчики и девочки поехали в автобусах, значит, можно выразить, сколько мальчиков и девочек поехало на экскурсию (28+x) и сколько мальчиков и девочек разместилось в автобусах (25*2), а затем приравнять эти выражения; тогда получится уравнение 28+x=25*2; решив это уравнение, получим ответ на вопрос задачи. б) В условии задачи сказано, что в каждом автобусе разместилось по 25 человек, значит, можно выразить число экскурсантов в каждом автобусе через другие числа и приравнять полученное выражение к числу 25, тогда получится уравнение (28+х): 2 = 25. Можно, рассуждая аналогичным образом, составить и другие уравнения. Для решения задачи с помощью составления уравнений обозначают буквой искомое число, выделяют в условии задачи связи, которые позволяют составить равенство, содержащее неизвестное (уравнение), записывают соответствующие выражения и составляют равенство. Полученное уравнение решают. При этом решение полученного уравнения не связывается с содержанием задачи. Решение любой задачи можно выполнить путем составления уравнения, руководствуясь указанным планом. В этом заключается универсальность способа решения задач с помощью составления уравнений, что определяет его преимущества. Кроме того, как видно, решение задач способом составления уравнений способствует овладению понятием уравнения. Поэтому уже в начальных классах в определенной системе ведется обучение решению задач путем составления уравнений. В методике обучения решению задач с помощью составления уравнений предусматриваются следующие этапы: сначала ведется подготовительная работа к решению задач с помощью уравнений, затем вводится решение простых задач с помощью уравнений и, наконец, рассматриваются приемы составления уравнений при решении составных задач.

В «Обязательном минимуме содержания начального образования» по образовательной области «Математика» изучение алгебраического материала, как это было ранее, не выделено в качестве отдельной дидактической единицы подлежащей обязательному изучению. В данной части документа кратко отмечено, что необходимо «дать знания о числовых и буквенных выражениях, их значениях и различиях между этими выражениями». В «Требованиях к качеству подготовки выпускников» можно лишь найти короткую фразу неопределенного смысла «научить вычислять неизвестный компонент арифметического действия». Вопрос о том, как научить «вычислять неизвестный компонент» должен решать автор программы или технологии обучения.

Рассмотрим, как характеризуются понятия «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и какова методика их изучения в различных методическихсистемах обучения

7.1. Выражения и их виды …
в курсе математики

начальной школы

Выражением называют математическую запись, состоящую из чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных знаками арифметических действий. Отдельно взятое число есть также выражение. Выражение, в котором все числа обозначены цифрами, называют числовым выражением .

Если в числовом выражении выполнить указанные действия, то получим число, которое называют значением выражения.

Выражения можно классифицировать по числу арифметических действий, которые используются при записи выражений, и по способу обозначения чисел. По первому основанию выражения разбиваются на группы: элементарных (не содержащих знака арифметического действия), простых (один знак арифметического действия) и составных (более одного знака арифметических действий) выражений. По второму основанию различают числовые (числа записаны цифрами) и буквенные (хотя бы одно число или все числа обозначены буквами) выражения.

Математическую запись, которую в математике принято называть выражением, необходимо отличать от других видов записей.

Примером или вычислительным упражнением называют запись выражения вместе с требованием к его вычислению.

5+3 выражение, 8- его значение

5+3= вычислительное упражнение (пример),

8- результат вычислительного упражнения (примера)

В зависимости от знака арифметического действия, который используется в записи простого выражения, простые выражения разбивают на группы выражений со знаком «+,», «-», « », «:». Эти выражения имеют особые названия (2 + 3 — сумма; 7 — 4 – разность; 7 × 2 – произведение; 6: 3 — частное) и общепринятые способы чтения, с которыми знакомятся учащиеся начальной школы.

Способы чтения выражений со знаком «+»:

25+17 – 25 плюс 17

25+17 – к 25-ти прибавить 17

25+17 – 25 да 17

25+17 – 25 и еще 17.

25+17 – сумма чисел двадцать пять и семнадцать (сумма 25-ти и 17-ти)

25+17 – 25 увеличить на 17

25+17 – 1-ое слагаемое 25, 2-ое слагаемое 17

С записью простых выражений дети знакомятся по мере того, как вводится соответствующее математическое действие. Например, знакомство с действием сложения сопровождается записью выражения на сложение 2 + 1, здесь же даются образцы первых форм чтения этих выражений: «к двум прибавить один», «два и один», «два да один», «два плюс один». Другие формулировки вводятся по мере знакомства детей с соответствующими понятиями. Изучая название компонентов действий и их результатов, дети учатся читать выражение, используя эти названия (первое слагаемое 25, второе 17 или сумма 25-ти и 17-ти). Знакомство с понятиями «увеличить на…», «уменьшить на…» позволяет ввести новую формулировку для чтения выражений на сложение и вычитание с этими терминами «двадцать пять увеличить на семнадцать», «двадцать пять уменьшить на семнадцать». Так же поступают с остальными видами простых выражений.

С понятиями «выражение», «значение выражения» в ряде образовательных систем («Школа России» и «Гармония») дети знакомятся несколько позже, чем научатся их записывать, вычислять и читать не всеми, но многими формулировками. В других программах и системах обучения (система Л.В. Занкова, «Школа 2000…», «Школа 2100») эти математические записи сразу называют выражениями и используют это слово в вычислительных заданиях.

Обучая детей читать выражения различными формулировками, мы вводим их в мир математических терминов, даем возможность познать математический язык, отрабатываем смысл математических отношений, что, несомненно, повышает математическую культуру ученика, способствует осознанному усвоению многих математических понятий.

Ø Прием «делай как я». Правильная речь учителя, за которым дети повторяют формулировки, — основа грамотной математической речи школьников. Значительный эффект дает использование приема сравнения формулировок, которые произносят дети, с заданным образцом. Полезно использовать прием, когда учитель специально допускает речевые ошибки, а дети его исправляют.

Ø Дать несколько выражений и предложить прочитать эти выражения разными способами. Один ученик читает выражение, а другие проверяют. Полезно давать столько выражений, сколько формулировок знают дети к этому времени.

Ø Учитель диктует выражения разными способами, а дети записывают сами выражения, не вычисляя их значения. Такие задания направлены на то, чтобы проверить знание детьми математической терминологии, а именно: умение записывать выражения или вычислительные упражнения, прочтенные разными математическими формулировками.

Если ставится задача, предусматривающая проверку сформированности вычислительного навыка полезно читать выражения или вычислительные упражнения только теми формулировками, которые хорошо усвоены, не заботясь об их разнообразии, а детям предложить записывать только результаты вычислений, сами выражения можно не записывать.

Выражение, состоящее из нескольких простых, называют составным.

Следовательно, существенным признаком составного выражения является его составленность из простых выражений. Знакомство с составным выражением можно осуществить по следующему плану:

1. Дать простое выражение и вычислить его значение

(7 + 2 = 9), назвать его первым или данным.

2. Составить второе выражение так, чтобы значение первого стало компонентом второго (9 — 3), назвать это выражение продолжением для первого. Вычислить значение второго выражения(9 – 3 = 6).

3. Проиллюстрировать процесс слияния первого и второго выражений, опираясь на пособие.

Пособие представляет собой прямоугольный лист бумаги, который разделен на 5 частей и сложен в виде гармошки. На каждой части пособия имеются определенные записи:

7 + 2

=

— 3

= 6

Скрывая вторую и третью части данного пособия (из первого выражения скрываем требование к его вычислению и его значение, а во втором скрываем ответ на вопрос первого), получаем составное выражение и его значение (7 + 2 -3 = 6). Даем ему название – составное (составлено из других).

Иллюстрируем процесс слияния других пар выражений или вычислительных упражнений, подчеркивая:

ü объединить в составное можно лишь такую пару выражений, когда значение одного из них является компонентом другого;

ü значение выражения продолжения совпадает со значением составного выражения.

Закрепляя понятие составного выражения полезно выполнять задания двух видов.

1 вид. Дана совокупность простых выражений, необходимо выделить из них пары, для которых верно отношение «значение одного из них является компонентом другого». Составить из каждой пары простых выражений одно составное выражение.

2 вид. Дано составное выражение. Необходимо записать простые выражения, из которых оно составлено.

Описанный прием полезно использовать по нескольким причинам:

§ по аналогии можно ввести понятие составной задачи;

§ ярче выделяется существенный признак составного выражения;

§ предупреждаются ошибки при вычислении значений составных выражений;

§ данный прием позволяет проиллюстрировать роль скобок в составных выражениях.

Составные выражения, содержащие знаки «+», «-» и скобки, изучаются с первого класса. В некоторых системах обучения («Школа России», «Гармония», «Школа 2000») не предусматривается изучение скобок в первом классе. Их вводят во втором классе при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство суммы). Скобки вводятся как знаки, с помощью которых в математике можно показать порядок выполнения действий в выражениях содержащих более одного действия. В дальнейшем дети знакомятся с составными выражениями, содержащими действия первой и второй ступеней со скобками и без них. Изучение составных выражений сопровождается изучением правил порядка действий в этих выражениях и способов чтения составных выражений.

Значительное внимание во всех программах уделяется преобразованию выражений, которые осуществляются на основании сочетательного свойства суммы и произведения, правил вычитания числа из суммы и суммы из числа, умножения суммы на число и деления суммы на число. На наш взгляд, в отдельных программах, недостаточно упражнений направленных на формирование умения читать составные выражения, что, естественно, позже сказывается на умении решать уравнения вторым способом (см. ниже). В последних изданиях учебно-методических комплексов по математике для начальных классов по всем программам большое внимание уделяется заданиям на составление программ и алгоритмов вычислений для составных выражений в три — девять действий.

Выражения , в которых одно число или все числа обозначены буквами, называютбуквенными (а + 6; (а +в )×с – буквенные выражения). Пропедевтикой к введению буквенных выражений являются выражения, где одно из чисел заменяется точками или пустым квадратом. Называют эту запись выражением «с окошком» (+4 – выражение с окошком).

Типичными заданиями, содержащими буквенные выражения, являются задания на нахождение значений выражений при условии, что буква принимает различные значения из заданного перечня значений. (Вычисли значения выражений а + в и а — в , если а = 42, в = 90 или а = 100, в = 230). Для вычисления значений буквенных выражений заданные значения переменных поочередно подставляют в выражения и далее работают как с числовыми выражениями.

Буквенные выражения могут использоваться для введения обобщенных записей свойств арифметических действий, формируют представления о возможности переменных значений компонентов действий и позволяют подвести детей к центральному математическому понятию «переменная величина». Кроме того, с помощью буквенных выражений дети осознают свойства существования значений суммы, разности, произведения, частного на множестве целых неотрицательных чисел. Так, в выражении а + в при любых значениях переменных а и в можно вычислить значение суммы, а значение выражения а — в , на указанном множестве можно вычислить только в том случае, если в меньше или равно а . Анализируя задания, направленные на установление возможных ограничений для значений а и в в выражениях а в и а : в , дети устанавливают свойства существования значения произведения и значения частного в адаптированном к возрасту виде.

Буквенная символика используется в качестве средства обобщения знаний и представлений детей о количественных характеристиках объектов окружающего мира и о свойствах арифметических действий. Обобщающая роль буквенной символики делает ее очень сильным аппаратом для формирования обобщенных представлений и способов действий с математическим содержанием, что, несомненно, повышает возможности математики в развитии и формировании абстрактных форм мышления.

7.2. Изучение равенств и неравенств в курсе

математики начальных классов

Сравнение чисел и/или выражений приводит к появлению новых математических понятий «равенство» и «неравенство».

Равенством называют запись, содержащую два выражения соединенные знаком «=» — равно (3 = 1 + 2; 8 + 2 =7 + 3 — равенства).

Неравенством называют запись, содержащую два выражения и знак сравнения, указывающий на отношения «больше» или «меньше» между данными выражениями

(3 < 5; 2+4 > 2+3 — неравенства).

Равенства и неравенства бывают верными и неверными . Если значения выражений, стоящих в левой и правой части равенства, совпадают, то равенство считается верным, если нет, то равенство будет неверным. Соответственно: если в записи неравенства знак сравнения правильно указывает на отношения между числами (элементарными выражениями) или значениями выражений, то неравенство верно, в противном случае, неравенство неверно.

Большинство заданий в математике связано с вычислением значений выражений. Если значение выражения найдено, то выражение и его значение можно соединить знаком «равно», что принято записывать в виде равенства: 3+1=4. Если значение выражения вычислили верно, то равенство называют верным, если неверно, то записанное равенство считают неверным.

С равенствами дети знакомятся в первом классе одновременно с понятием «выражение» в теме «Числа первого десятка». Осваивая символическую модель образования последующего и предыдущего числа, дети записывают равенства 2 + 1 = 3 и 4 – 1 = 3. В дальнейшем равенства активно используются при изучении состава однозначных чисел и далее с этим понятием связано изучение практически каждой темы в курсе математики начальной школы.

Вопрос о введении понятий «верное» и «неверное» равенства в различных программах решается неоднозначно. В системе «Школа 2000…» это понятие вводят одновременно с записью равенства, в системе «Школа России» — при изучении темы «Состав однозначных чисел» в записях равенств «с окошком» (+3 = 5; 3 + = 5). Подбирая число, которое можно вставить в окошко, дети убеждаются в том, что в одних случаях получаются верные, а в других неверные равенства. Следует заметить, что данные математические записи с одной стороны позволяют закрепить состав чисел или другой вычислительный материал по теме урока, с другой, формируют представление о переменной величине и являются подготовкой к усвоению понятия «уравнение».

Во всех программах наиболее часто используются два вида заданий, связанных с понятиями равенства и неравенства, верные и неверные равенства и неравенства:

· Даны числа или выражения, нужно между ними поставить знак так, чтобы запись была верной. Например, «Поставь знаки: «<», «>», «=» 7-5 … 7-3; 6+4 … 6+3».

· Даны записи со знаком сравнения, надо подставить вместо окошка такие числа, чтобы получилось верное равенство или неравенство. Например, «Подбери числа так, чтобы записи были верными: > ; или +2 < +3».

Если сравниваются два числа, то выбор знака дети обосновывают, опираясь на принцип построения ряда натуральных чисел, значность числа или его состав. Сравнивая два числовых выражения или выражение с числом, дети вычисляют значения выражений, а затем сравнивают их значения, т. е. сводят сравнение выражений к сравнению чисел. В образовательной системе «Школа России» этот способ дается в виде правила: «Сравнить два выражения – значит, сравнить их значения». Этот же набор действий дети выполняют для проверки правильности выполненного сравнения. «Проверь, верны ли неравенства:

42 + 6 > 47; 47 — 5 > 47 — 4».

Наибольший развивающий эффект имеют задания, требующие поставить знак сравнения (или проверить верно ли поставлен знак сравнения) не вычисляя значений выражений данных в левой и правой частях неравенства (равенства). В этом случае дети должны поставить знак сравнения, опираясь на выявленные математические закономерности.

Форма предъявления задания и способы оформления его выполнения варьируется как в рамках одной программы, так и в различных программах.

Традиционно при решении неравенств с переменной использовалось два способа: способ подбора и способ сведения к равенству.

Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения переменной (неизвестного числа) осуществляется проверка правильности выбора. Для этого в заданное неравенство вместо неизвестного числа подставляется найденное значение. Вычисляется значение левой и правой части неравенства (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом), а затем, сравнивается значение левой и правой части полученного неравенства. Все эти действия могут выполняться устно или с записью промежуточных вычислений.

Второй способ заключается в том, что в записи неравенства вместо знака «<» или «>» ставят знак равенства и решают равенство известным детям способом. Затем, проводятся рассуждения, при которых используются знания детей об изменении результата действия в зависимости от изменения одного из его компонентов и определяются допустимые значения переменной.

Например, «Определи, какие значения может принимать а в неравенстве 12 — а < 7». Решение и образец рассуждений:

· Найдем значение а , если 12 – а = 7

· Вычисляю, применяя правило нахождения неизвестного вычитаемого: а = 12 — 7, а = 5.

· Уточняю ответ: при а равном 5-ти («корень уравнения равен 5-ти» в системе Занкова и «Школа 2000…») значение выражения 12 — 5 равно 7, а нам нужно найти такие значения этого выражения, которые бы были меньше 7-ми, значит надо из 12 вычитать числа большие пяти. Это могут быть числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.(чем большее число мы вычитаем из одного и того же числа, тем меньше значение разности). Значит, а = 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Значения большие 12-ти переменная а принимать не может, так как большее число из меньшего вычитать нельзя (мы не умеем, если не вводятся отрицательные числа).

Пример подобного задания из учебника 3 класса (1-4), авторы: И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская :

№ 224. «Реши неравенства, используя решение соответствующих уравнений:

к — 37 < 29, 75 — с > 48, а + 44 < 91.

Проверь свои решения: подставь в каждое неравенство несколько чисел, больших и меньших корня соответствующего уравнения.

Составь свои неравенства с неизвестными числами, реши их и проверь найденные решения.

Предложи свое продолжение задания».

Надо отметить, что ряд технологий и программ обучения, усиливая логическую составляющую и значительно превышая стандартные требования к содержанию математического образования в начальных классах, вводят понятия:

Ø переменная величина, значение переменной;

Ø понятие «высказывание» (верные и неверные утверждения называют высказыванием (М3П) ), «истинные и ложные высказывания»;

Ø рассматривают системы уравнений (И.И. Аргинская, Е.И. Ивановская).

7.3. Изучение уравнений в курсе математики

начальных классов

Равенство, содержащее переменную величину, называют уравнением. Решить уравнение — значит, найти такое значение переменной величины (неизвестного числа), при котором уравнение преобразуется в верное числовое равенство. Значение переменной, при котором уравнение преобразуется в верное равенство, называют корнем уравнения.

В некоторых образовательных системах («Школа России» и «Гармония») введение понятия «переменной» не предусматривается. В них уравнение трактуется как равенство, содержащее неизвестное число. И далее, решить уравнение, значит, найти такое число, при подстановке которого вместо неизвестного получается верное равенство. Это число называют значением неизвестного или решением уравнения. Таким образом, термин «решение уравнения» используется в двух смыслах: как число (корень), при подстановке которого вместо неизвестного числа уравнение обращается в верное равенство, и как сам процесс решения уравнения.

В большинстве программ и систем обучения в начальной школе рассматривают два способа решения уравнений.

Первый способ называют способом подбора, что вполне отражает действия производимые ребенком при его использовании. При этом способе значение неизвестного числа подбирается либо из произвольного множества чисел, либо из заданной их совокупности. После каждого выбора значения осуществляется проверка правильности решения. Сущность проверки вытекает из определения уравнения и сводится к выполнению четырех взаимосвязанных действий:

1. В заданное уравнение вместо неизвестного числа подставляется найденное значение.

2. Вычисляется значение левой и правой части уравнения (значение одной из частей может быть элементарным выражением, т.е. числом).

3. Сравнивается значение левой и правой части полученного равенства.

4. Делается вывод о верности или неверности полученного равенства и далее, является ли найденное число решением (корнем) уравнения.

На первых порах выполняется только первое действие, а остальные проговариваются. Этот алгоритм проверки сохраняется для каждого способа решения уравнения.

Ряд систем обучения («Школа 2000», система обучения Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова) для решения простых уравнений используют зависимость между частью и целым.

8 + х =10; 8 и х — части; 10 – целое. Чтобы найти часть можно из целого вычесть известную часть: х = 10 — 8; х = 2.

В этих системах обучения, еще на этапе решения уравнений способом подбора в речевую практику вводится понятие «корень уравнения» и сам способ решения называют решением уравнения с помощью «подбора корней».

Второй способ решения уравнения опирается на зависимость между результатом и компонентами действия. Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из компонентов. Например, зависимость между значением суммы и одним из слагаемых звучит так: «если из значения суммы двух слагаемых вычесть одно из них, то получится другое слагаемое». Из этой зависимости вытекает правило нахождения одного из слагаемых: «чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из значения суммы вычесть известное слагаемое». Решая уравнение, дети рассуждают так:

Задание: Реши уравнение 8 + х = 11.

В данном уравнении неизвестно второе слагаемое. Мы знаем, чтобы найти второе слагаемое нужно из значения суммы вычесть первое слагаемое. Значит, надо из 11 вычесть 8. Записываю: х = 11 – 8. Вычисляю, 11 минус 8 равно 3, пишу х = 3.

Полная запись решения с проверкой будет иметь следующий вид:

8 + х = 11

х = 11 — 8

х = 3

Названным выше способом решаются уравнения с двумя и более действиями со скобками и без них. В этом случае нужно определить порядок действий в составном выражении и, называя компоненты в составном выражении по последнему действию, следует выделить неизвестное, которое в свою очередь может быть выражением на сложение, вычитание, умножение или деление (выражено суммой, разностью, произведением или частным). Затем применяют правило для нахождения неизвестного компонента, выраженного суммой, разностью, произведением или частным, учитывая названия компонентов по последнему действию в составном выражении. Выполнив вычисления в соответствии с этим правилом, получают простое уравнение (или снова составное, если первоначально в выражении было три или более знаков действий). Его решение проводится по уже описанному выше алгоритму. Рассмотрим следующее задание.

Реши уравнение (х + 2) : 3 = 8.

В данном уравнении неизвестно делимое, выраженное суммой чисел х и 2. (В соответствии с правилами порядка действий в выражении, действие деления выполняют последним).

Чтобы найти неизвестное делимое, можно значение частного умножить на делитель: х + 2 = 8 × 3

Вычисляем значение выражения справа от знака равенства, получаем: х + 2 = 24.

Полная запись имеет вид: (х + 2) : 3 = 8

х + 2 = 8 × 3

х + 2 = 24

х = 24 — 2

Проверка: (22 + 2) : 3 = 8

В образовательной системе «Школа 2000…» в связи с широким использованием алгоритмов и их видов дается алгоритм (блок – схема) решения таких уравнений (см. схему 3).

Второй способ решения уравнений достаточно громоздкий, особенно для составных уравнений, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия применяется многократно. В связи с этим, многие авторы программ (системы «Школа России», «Гармония») совсем не включают в программу начальных классов знакомство с уравнениями сложной структуры либо вводят их в конце четвертого класса.

В данных системах в основном ограничиваются изучением уравнений следующих видов:

х + 2 = 6; 5 + х = 8 — уравнения на нахождение неизвестного слагаемого;

х – 2 = 6; 5 – х = 3 — уравнения на нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого соответственно;

х × 5 = 20, 5 × х = 35 — уравнения на нахождение неизвестного множителя;

х : 3 = 8, 6: х = 2 — уравнения на нахождение неизвестного делимого и делителя соответственно.

х × 3 = 45 — 21; х × (63 — 58) = 20; (58 — 40) : х = (2 × 3) — уравнения, где одно или два числа, входящих в уравнение, представлено числовым выражением. Способ решения этих уравнений сводится к вычислению значений этих выражений, после чего уравнение принимает вид одного из простых уравнений выше указанных видов.

Ряд программ обучения математике в начальных классах (образовательная система Л.В. Занкова и «Школа 2000…») практикуют знакомство детей с более сложными уравнениями, где правило взаимосвязи между компонентами и результатом действия приходится применять многократно и, нередко, требуют выполнения действий по преобразованию одной из частей уравнения на основе свойств математических действий. Например, в этих программах учащимся в третьем классе для решения предлагаются такие уравнения:

3× х — (20 + х ) = 70 или 2 × х – 8 + 5 × х = 97.

В математике существует и третий способ решения уравнений, который опирается на теоремы о равносильности уравнений и следствия из них. Например, одна из теорем о равносильности уравнений в упрощенной формулировке читается так: «Если к обеим частям уравнения с областью определения х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному».

Из данной теоремы вытекают следствия, которые и используются при решении уравнений.

Следствие 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим новое уравнение равносильное данному.

Следствие 2. Если в уравнении одно из слагаемых (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение равносильное данному.

Таким образом, процесс решения уравнения сводится к замене данного уравнения, равносильным, причем эта замена (преобразование) может осуществляться только с учетом теорем о равносильности уравнений или следствий из них.

Этот способ решения уравнений является универсальным, с ним детей знакомят в системе обучения Л.В. Занкова и в старших классах.

В методике работы над уравнениями накоплено большое число творческих заданий :

· на выбор уравнений по заданному признаку из ряда предложенных;

· на сравнение уравнений и способов их решений;

· на составление уравнений по заданным числам;

· на изменение в уравнении одного из известных чисел так, чтобы значение переменной стало больше (меньше), чем первоначально найденное значение;

· на подбор известного числа в уравнении;

· на составление алгоритмов решения с опорой на блок-схемы решения уравнений или без них;

· составление уравнений по текстам задач.

Следует заметить, что в современных учебниках наблюдается тенденция к введению материала на понятийном уровне. Например, каждому из выше названных понятий дается развернутое определение, отражающее его существенные признаки. Однако не все встречающиеся определения отвечают требованиям принципа научности. Например, понятие «выражение» в одном из учебников математики для начальных классов трактуется так: «Математическая запись из арифметических действий, не содержащая знаков больше, меньше или равно называется выражением» (образовательная система «Школа 2000»). Заметим, что в данном случае определение составлено неверно, так как в нем описано то, чего в записи нет, но неизвестно, что там есть. Это довольно типичная неточность, которую допускают в определении.

Заметим, что определения понятиям даются не сразу, т.е. не при первичном знакомстве, а в отсроченном времени, после того как дети познакомились с соответствующей математической записью и научились ею оперировать. Определения даются чаще всего в неявном виде, описательно.

Для справки : В математике встречаются как явные, так и неявные определения понятий. Среди явных определений наиболее распространены определения через ближайший род и видовое отличие . (Уравнение – это равенство, содержащее переменную величину.). Неявные определения можно разделить на два вида: контекстуальные и остенсивные . В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через анализ конкретной ситуации.

Например: 3 + х = 9. х — неизвестное число, которое надо найти.

Остенсивные определения используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначаются. Поэтому эти определения еще называют определениями путем показа. Например, таким способом определяются в начальных классах понятия равенства и неравенства.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

неравенства равенства

7.4. Порядок выполнения действий в выражениях

Наши наблюдения и анализ ученических работ показывает, что изучение данной содержательной линии сопровождается следующими видами ошибок школьников:

· Не могут правильно применить правило порядка действий;

· Неверно отбирают числа для выполнения действия.

Например, в выражении 62 + 30: (18 — 3) выполняют действия в следующем порядке:

62 + 30 = 92 или так: 18 – 3 = 15

18 — 3 = 15 30: 15 = 2

30: 15 = 2 62 + 30 = 92

Опираясь на данные о типичных ошибках, возникающих у школьников можно выделить два основных действия, которые следует формировать в процессе изучения данной содержательной линии:

1) действие по определению порядка выполнения арифметических действий в числовом выражении;

2) действие по отбору чисел для вычисления значений промежуточных математических действий.

В курсе математики начальных классов традиционно правила порядка действий формулируются в следующем виде.

Правило 1 . В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

Правило 2. В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Правило 3 . В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках. Затем по порядку слева направо выполняются умножение или деление, а потом сложение или вычитание.

Каждое из данных правил ориентировано на определенный вид выражений:

1) выражения без скобок, содержащие только действия одной ступени;

2) выражения без скобок, содержащие действия первой и второй ступени;

3) выражения со скобками, содержащие действия, как первой, так и второй ступени.

При такой логике введения правил и последовательности их изучения выше названные действия будут состоять из ниже перечисленных операций, овладение которыми и обеспечивает усвоение данного материала:

§ распознать структуру выражения и назвать, к какому типу оно относится;

§ соотнести данное выражение с правилом, которым надо руководствоваться при вычислении его значения;

§ установить порядок действий в соответствии с правилом;

§ правильно отобрать числа для выполнения очередного действия;

§ выполнить вычисления.

Данные правила вводятся в третьем классе как обобщение для определения порядка действий в выражениях различной структуры. Нужно заметить, что до знакомства с этими правилами дети уже встречались с выражениями со скобками. В первом и втором классах при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство сложения, распределительное свойство умножения и деления), умеют вычислять значения выражений, содержащих действия одной ступени, т.е. им знакомо правило № 1. Поскольку вводится три правила, отражающие порядок действий в выражениях трех видов, то необходимо, прежде всего, научить детей выделять различные выражения с точки зрения тех признаков, на которые ориентировано каждое правило.

В образовательной системе «Гармония » основную роль в изучении этой темы играет система целесообразно подобранных упражнений, через выполнение которых дети усваивают общий способ определения порядка действий в выражениях разной структуры. Нужно заметить, что автор программы по математике в данной системе очень логично выстраивает методику введения правил порядка действий, последовательно предлагает детям упражнения для отработки операций, входящих в состав выше названных действий. Чаще всего встречаются задания:

ü на сравнение выражений и последующее выявление в них признаков сходства и различия (признак сходства отражает тип выражения, с точки зрения его ориентации на правило);

ü на классификацию выражений по заданному признаку;

ü на выбор выражений с заданными характеристиками;

ü на конструирование выражений по заданному правилу (условию);

ü на применение правила в различных моделях выражений (символической, схематической, графической);

ü на составление плана или блок-схемы порядка выполнения действий;

ü на постановку скобок в выражении при заданном его значении;

ü на определение порядка действий в выражении при вычисленном его значении.

В системах «Школа 2000…» и «Начальная школа ХХI века» предлагается несколько другой подход к изучению порядка действий в составных выражениях. При этом подходе основное внимание уделяется пониманию учащимися структуры выражения. Важнейшим учебным действием при этом является выделение в составном выражении нескольких частей (разбиение выражения на части). В процессе вычисления значений составных выражений учащиеся пользуются рабочими правилами :

1. Если выражение содержит скобки, то его разбивают на части так, чтобы одна часть с другой были соединены действиями первой ступени (знаками «плюс» и «минус»), не заключенными в скобки, находят значение каждой части, а затем действия первой ступени выполняют по порядку – слева направо.

2. Если в выражении нет действий первой ступени, не заключенных в скобки, но есть действия умножения и деления, не заключенные в скобки, то выражение разбивают на части, ориентируясь на эти знаки.

Эти правила позволяют производить вычисление значений выражений, содержащих большое число арифметических действий.

Рассмотрим пример.

Знаками плюс и минус, не заключенными в скобки, разобьем выражение на части: от начала до первого знака (минус), не заключенного в скобки, затем от этого знака до следующего (плюс) и от знака плюс до конца.

3 · 40 — 20 · (60 — 55) + 81: (36: 4)

Получилось три части:

1 часть — 3 40

2 часть — 20 · (60 — 55)

и 3 часть 81: (36: 4).

Находим значение каждой части:

1) 3 · 40 = 120 2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 · 5 = 100 81: 9 = 9 20 + 9 = 29

Ответ: значение выражения 29.

Цель семинаров по данной содержательной линии

· реферировать и рецензировать статьи (пособия) дидактического, педагогического и психологического содержания;

· составлять картотеку к докладу, для изучения конкретной темы;

· выполнять логико-дидактический анализ школьных учебников, учебных комплектов, а также анализ реализации в учебниках определенной математической идеи, линии;

· подбирать задания для обучения понятиям, обоснованию математических утверждений, формированию правила или построению алгоритма.

Задания для самоподготовки

Тема занятия . Характеристика понятий «выражение», «равенство», «неравенство», «уравнение» и методика их изучения в различных методических

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Соликамский государственный педагогический институт» Кафедра математики и физики В. И. Кузьминова ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ Учебно-методическое пособие Соликамск СГПИ 2011 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Содержание УДК 37 ББК 74.202.42 К 89 Рецензенты: старший преподаватель ПНО и ВПГПУ Ю. Ю. Скрипова, зав. кафедрой математики и физики, кандидат педагогических наук, доцент СГПИ Л. Г. Шестакова. Введение............................................................................................4 Из истории алгебры.......................................................................5 Общая характеристика методики изучения алгебраического материала.........................................................8 Числовые выражения....................................................................9 К 89 Кузьминова, В. И. Элементы алгебры в курсе математики начальных классов [Текст] : учебнометодическое пособие / В. И. Кузьминова; ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт». – Соликамск: СГПИ, 2011. – 48 с. – 100 экз. Числовые равенства и неравенства..........................................22 Тождественные преобразования числовых выражений....28 Буквенные выражения..................................................................30 Уравнения в начальном курсе математики............................35 Пособие предназначено для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование». Пособие нацелено на углубление и обобщение методических знаний студентов по одному из вопросов частной методики – изучения алгебраического материала в курсе математики, а также на систематизацию типов заданий, которые необходимо использовать в процессе усвоения детьми элементов алгебры. Обучение младших школьников решению задач алгебраическим методом.............................................................42 Неравенства с переменной..........................................................44 Обучение младших школьников элементам алгебры........45 Список литературы........................................................................47 УДК 37 ББК 74.202.42 Рекомендовано к изданию РИСо СГПИ. Протокол № 17 от 10.12.2010 г. Кузьминова В. И., 2011 ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт, 2011 3 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Введение Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов-бакалавров, обучающихся по направлению 050700 – «Педагогика», профиль 050707 – «Начальное образование». Рекомендуется как для очного, так и для заочного отделения. Пособие посвящено изучению одного из вопросов дисциплины «Теоретические основы и технологии начального математического образования» – методике изучения элементов алгебры в начальном курсе математики. В пособии даны краткие исторические сведения о зарождении алгебры как науки, раскрыты общие положения, связанные с изучением алгебраического материала в начальной школе. В пособии описана методика обучения младших школьников отдельным вопросам (числовые выражения, числовые равенства и неравенства, буквенные выражения, уравнения и неравенства с одной переменной), выделены типы заданий, которые необходимо использовать при уточнении представлений об основных понятиях алгебры. Восполняя недостаток в учебно-методической литературе по дисциплине «Теоретические основы и технологии начального математического образования», учебное пособие углубляет и обобщает знания студентов, позволяя сформировать правильный подход к изучению элементов алгебры и умение самостоятельно работать с учебно-методической литературой. Из истории алгебры Любой выпускник средней школы на вопрос, чему его научили на уроках алгебры, наверняка скажет: «Решать уравнения и задачи с помощью уравнений». Современные ученые придерживаются той же точки зрения на содержание алгебры. Французские математики Александр Гротендик (родился в 1928 г.) и Жан Дьедоне (родился в 1906 г.) в статье «Элементы алгебраической топологии» пишут: «Можно утверждать, что решение полиноминальных уравнений послужило исторически источником алгебры и что со времени вавилонян, индусов и Диофанта и до наших дней оно остается одной из её основных целей». Цели алгебры оставались неизменными на протяжении тысячелетий – решались уравнения: сначала линейные, потом квадратные, затем кубические, а позже уравнения еще больших степеней. Но форма, в которой описывались алгебраические результаты, менялась до неузнаваемости. Древние египтяне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. В папирусах, которые дошли до нас, решаются задачи практического содержания: вычисляются площади земельных участков, объёмы сосудов, количества зерна и т.д. Все задачи с конкретными числовыми данными, но в некоторых из них уже проскальзывает теоретический интерес. Например, задача из папируса Кахуна (около XVIII – XVI до н.э.): «Найти два числа х и у, для 3 которых x2 + y2 = 100 и x ÷ y = 1 ÷ » (в современных обозначения). 4 В папирусах она решена методом «Ложного положения». Именно, 3 если положить x=1, то y = и x 2 + y 2 =(5)2. Но по условию 4 4 5 x2 + y2 = 102, следовательно, в качестве x надо брать не 1, а 10: = 8, 4 тогда y = 6. Значительные успехи в развитии алгебры были достигнуты в Древнем Вавилоне. Там решались уравнения первой, второй и даже отдельные уравнения третьей степени. Способы решения конкретных уравнений дают основания считать, что вавилоняне владели и общими правилами нахождения уравнений первой и второй степени. 4 5 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Все задачи и их решения излагались в словесной форме. В одной из клинописных табличек встречается такая задача: «Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870». Нетрудно догадаться, что речь идёт о квадратном уравнении x2 - x = 870. Но эти достижения ещё нельзя назвать наукой, поскольку общей теории не было. Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. Со времени кризиса, вызванного открытием несоизмеримых отрезков, у древних греков вся математика приобрела геометрическую форму. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Например, соотношение, которое мы записываем в виде формулы (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, в «Началах» Евклида формируется так: «Если отрезок AB разделен точкой С на два отрезка, то квадрат, построенный на AB, равен двум квадратам на отрезках АС и СВ вместе с удвоенным прямоугольником на АС и СВ». После этого дается длинное доказательство этого факта на геометрическом языке. Геометрический подход к математике отражал, вероятно, определенные черты духовной жизни древних греков. Греки создали непревзойденные скульптуры, удивительные по своему совершенству храмы и другие архитектурные сооружения, пропорции которых строго математически выверены. Это стремление к красоте, гармоничности, соразмерности, способствовало геометризации математики. Геометрический путь был гениальной находкой античных математиков, но он сдерживал развитие алгебры. Алгебраические методы, ростки которых возникли в более ранних цивилизациях, в Древней Греции не получили развития. Выделение алгебры в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности. К концу VIII в. в результате захватнических войск арабы покорили почти все страны Средиземноморья, а на Востоке их владения простирались до самой Индии. Многие арабские халифы для укрепления своего могущества и славы поощряли развитие наук. В Багдаде, столице халифата, создаются новые условия для работы ученых. Здесь открыто много библиотек, построен Дом мудрости, при нём оборудована прекрасная обсерватория. Арабские математики на первых парах усердно изучают труды древнегреческих авторов и достижения индийских учёных. В Доме мудрости работал выдающийся узбекский учёный первой половины IX в. Ал-Хорезми. Его полное имя - Мухаммед ибн Мусса ал-Хорезми ал-Маджуси, что означает Мухаммед сын Музы из Хорезма из родов магов. Сохранились его сочинения по арифметике, астрономии, географии, календарным расчетам. Наиболее значительным является его трактат по алгебре. Здесь он впервые разработал правила преобразования уравнений. Трактат назывался «Краткая книга о восполнении и противопоставлении». В XII в. труд ал-Хорезми был переведен на латинский язык и долгое время оставался в Европе основным руководством по алгебре. Арабское название операции восполнения «ал-джебр» и дало название области математики, связанной с искусством решения уравнений. Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские учёные. В XI в. знаменитый математик Омар Хайям описал геометрическое решение уравнений третьей степени. Занимался кубическими уравнениями и ал-Бируни. В XV в. работал замечательный математик и астроном ал-Каши. Он изучал уравнения четвертой степени. Арабов интересовало и численное значение корней. После успешного решения уравнений 3-й и 4-й степени математики пытались найти формулы решений уравнений более высоких степеней. Феррари решал уравнения 4-й степени. Эрендрид Вальтер фон Чирнгауз (1651 – 1708), Самуэль Бринг (1736 – 1798 г.г.) вели поиски решения уравнений пятой степени. Проблемой решения уравнений пятой степени в 30-е годы XVIII в. занимался величайший из математиков этого века Леонард Эйлер. Позже продолжил исследования в этом направлении другой выдающийся математик XVIII в. Жозеф Луи Лагранж. Его исследованиями теория алгебраических уравнений была поставлена на правильные рельсы: все до тех пор известное получается с единых позиций, четко выделены трудности. Большой вклад в историю решения алгебраических уравнений внесли Нильс Хенрик Абель (1802 г.р. – 1829 г.), Эварист Галуа (1811 г.р. – 1833 г.), жизнь которых оборвалась в раннем возрасте. Но труды их были не напрасны. Эти гениальные юноши построили фундамент современной алгебры. 6 7 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Общая характеристика методики изучения алгебраического материала Числовые выражения Введение элементов алгебры в начальный курс математики позволяет с самого начала обучения вести планомерную работу, направленную на формирование у детей таких важнейших математических понятий, как алгебраическое выражение (числовое выражение, буквенное выражение), равенство (числовое равенство, уравнение), неравенство (числовое неравенство, неравенство с одной переменной). Ознакомление с буквой и её использованием как символа, обозначающего отвлеченное число из известной детям области чисел, создает условия для обобщения многих из рассматриваемых в начальном курсе вопросов арифметической теории, является хорошей подготовкой к ознакомлению детей в дальнейшем с понятиями «переменная», «функция», способствует развитию у детей функционального мышления. Алгебраическая пропедевтика позволяет осуществлять преемственность в обучении алгебраическому материалу между начальной школой и средним звеном (5 – 7 кл.), готовит к усвоению материала систематического курса алгебры в среднем (7 – 9 кл.) и старшем звеньях образования. В основе организации процесса усвоения учащимися алгебраического материала лежат следующие положения: – алгебраические понятия вводятся в курс математики начальной школы в тесной взаимосвязи с изучением арифметического материала и получают свое развитие в зависимости от его содержания; – включение алгебраического материала в начальный курс математики должно, прежде всего, способствовать формированию у школьников абстрактного мышления и тем самым повышать уровень усвоения ими арифметических вопросов. Числовые (арифметические) выражения входят в систему обучения математике довольно рано, как только младшие школьники начинают знакомство с цифрами как способами именования вполне определенных конкретных чисел. При этом дети делают шаги по пути овладения математической символикой и математическим языком. В то же время, записывая число определенной последовательностью цифр, ребенок начинает знакомство с отвлеченным числом. Над такими отвлеченными числами можно производить арифметические действия, независимо от природы числа. Рассматривая числа как систему знаков, следует помнить, что операции над ними подчиняются точно сформулированным правилам. В этой системе и строятся числовые выражения, они составляются из числовых знаков (имен чисел) и знаков арифметических действий. Каждое число есть числовое выражение. Если два числовых выражения соединить знаком действия, то полученная запись также есть числовое выражение. Младшие школьники знакомятся с терминами «сумма», «разность», «произведение», «частное». В словарь учащихся вводятся названия арифметических действий, их компонентов (сложение, вычитание, умножение, деление, слагаемое, вычитаемое, уменьшаемое, делимое). Помимо терминологии, они должны также усвоить и некоторые элементы математической символики, в частности, знаки действий (плюс, минус). Эта работа осуществляется при изучении смысла арифметических действий. Далее полезно провести обобщение материала. С этой целью нужно раздать детям «арифметический конструктор». Он представляет собой набор цифр, знаков арифметических действий, букв, знаков математических отношений >, <, =. Детям предлагается рассмотреть содержимое «конструктора» и распределить на группы детали. Далее учащиеся рассказывают, что они знают о каждой группе объектов. Затем детям предлагается из чисел и знаков арифметических 8 9 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» действий «сконструировать» математические объекты 5 + 4; 9 ⋅ 2 + +3 – 1 ⋅ 7 + 12: 4 (каждый придумывает и записывает их в тетрадь), по 8 – 10 таких выражений. Затем преподаватель учит выделять род (записи) и вид (состоящие из чисел, соединенных знаками арифметических действий) и предлагает сформулировать определение понятия «числовое выражение». После этого нужно научить распознавать такие выражения среди различных объектов, тем самым школьники учатся выделять главное, существенное и формулировать определение данного понятия. Затем предлагается снова рассмотреть все полученные выражения и распределить их на группы по определенному признаку. Варианты: выражения соединены одним знаком 8 – 3 и более, чем одним (25 ⋅ 3 – 12). Удобно в данном случае одну группу выражений назвать простыми, а другую сложными (составными). При этом дети обобщают, углубляют знания о простых числовых выражениях. Так как математика описывает не непосредственно наблюдаемые предметы, явления, а абстрактные понятия, связанные с практикой, то переход от непосредственной практики к математическому описанию некоторой ситуации затруднен. Чтобы такой подход осуществить, нужно уметь выделить в рассматриваемой ситуации существенные с некоторой точки зрения характеристики, остающиеся неизменными во всех одинаковых ситуациях, отбросить все то, что несущественно, и перевести на математический язык. Рассмотрим вариант закрепления представлений о простых числовых выражениях на примере углубления знаний о понятии «сумма». I. Рассматривается задача: «У Коли 5 марок, ему подарили ещё 2 марки». Выделяются несущественные признаки данной реальной ситуации. Что неважно, несущественно в этом описании? (Какие марки у детей, какова стоимость этих марок, где хранятся, откуда взялись эти марки?) А что важно, существенно в данном описании? (Сколько марок стало у Коли?) Важна количественная характеристика. Дети выполняют предметные действия. Выложить слева столько квадратов, сколько марок у Коли, справа столько квадратов, сколько марок ему подарили. Что сделали с марками – подарили. Показать на предметах: + придвинуть объекты справа. Больше или меньше стало марок? (Больше). Далее детям предложить построить графическую модель, а затем перейти к математическому описанию 10 5 + 2. Аналогично рассматриваются ещё 3 – 4 подобные ситуации. В аквариуме было 5 рыбок, туда пометили ещё 2-х рыбок. В альбоме по рисованию у Вити 5 рисунков о войне, он нарисовал ещё 2 рисунка. В вазе лежало 5 груш, ещё положили 2 груши. Таня вымыла 5 тарелок, а потом ещё 2. Дети закрепляют умение выделять существенное, отбрасывать несущественное на данный момент, выполнять предметные действия, от них переходить сначала к графическому, а затем к математическому описанию. Далее учитель предлагает выделить сходство и отличие данных ситуаций. Что общего, чем отличаются? 5+2 карточка появляется на доске. II. Теперь предлагается рассмотреть другой вид реальной ситуации. В букете 3 василька и 5 ромашек. Что несущественно? (Где рвали цветы, каких они размеров, где находится букет и т.д.) Что существенно, важно? (Общая численность. Сколько всего цветов.) Дети выполняют предметные действия. Учитель предлагает слева выложить столько квадратов, сколько васильков в букете, справа столько кругов, сколько ромашек в букете, а затем объединить объекты. Задается вопрос: больше или меньше теперь объектов? (Больше). Далее дети под руководством учителя от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию. 3 + 5. 11 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Аналогично рассматриваются 3 – 4 подобные ситуации. * В пенале 3 карандаша и 5 ручек. * В вазе 3 яблока и 5 груш. * На столе стоят 3 кружки и 5 стаканов. * На полке 3 альбома и 5 книг. Затем учитель предлагает выделить отличия и сходства ситуаций 3 + 5 , карточки выставляются на доске. III . Предлагается рассмотреть еще такой вид ситуаций. В нашем доме 6 этажей, а в другом на 3 этажа больше. Что несущественно? (Где находятся дома, что в них расположено и т.д.). Что существенно? (Последовательное приписывание к элементам одного множества элементов другого множества). (Множества упорядочены). Дети снова выполняют предметные действия. Учитель предлагает выложить в верхний ряд столько кругов, сколько этажей в одном доме, а в нижний на 3 круга больше. Сколько объектов стало во 2 ряду? (Больше). Дети от предметных действий переходят сначала к графическому, а затем к математическому описанию. 6 + 3. Аналогично рассматриваются 3- 4 ситуации Для постройки башни Аня взяла 6 кубиков, а Алёна на 3 больше. Длина одного ужа 1 метр, а другого на 2 больше. Высота березы 6 метров, а сосны на 3 метра больше. Учитель предлагает сравнить ситуации и выяснить, чем они отличаются, а чем похожи. На доске появляется карточка 6 + 3 . (Больше на – это столько, сколько. . . да ещё). IV. Предлагается такой жизненный сюжет. Катя нарисовала 7 флажков, а Саша на 2 флажка больше. Что неважно, несущественно? (На какой бумаге рисуют дети, какого они размера и т.д.). А что важно? (Продвижение по натуральному ряду на столько шагов вправо от первого числа, каково второе число). 12 7 и 2 характеризуют место в последовательности, на котором остановились действия по рисованию флажков, причем Саша продвинулся на 2 флажка больше. . Дети выполняют действия с предметами, затем строят графическую модель, а затем математическую модель. На доске появляется карточка 7 + 2 . Аналогично рассматриваются ещё несколько подобных ситуаций. Таня вымыла 7 кружек, а Лена на 2 кружки больше. Миша сорвал 7 орехов, а Антон на 2 ореха больше. Вера сорвала с грядки 7 ягод клубники, а Катя на 2 ягодки больше. Эти ситуации сравниваются детьми. Они выделяют отличие, а затем сходство. Уточняют, что это математическое описание подобных ситуаций. Далее учитель предлагает рассмотреть все записи на карточках, которые появились на доске. Дети учатся видеть отличие и сходство. (Это числовые выражения. Числа соединены одним знаком арифметического действия +, следовательно, это просто числовые выражения). Дети вспоминают, что такие выражения называются суммой чисел. Используются словарные карточки, выделяются компоненты. сумма 1е слагаемое 2е слагаемое Учатся читать выражения по-разному: *к прибавить *к увеличить на *к; ; плюс; 13 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» * сумма чисел и; * первое слагаемое, второе слагаемое Условия данного факта представляют для младших школьников определенную трудность. (Найдите сумму чисел 9 и 1, запишите сумму чисел 9 и 1). В результате такого целенаправленного обобщения учащиеся усваивают смысл понятия «числовое выражение», «простое числовое выражение», «сумма». Затем через комплекс специального подобранных заданий закрепляются представления о сумме: * запишите сумму чисел и; * чему равна сумма чисел и; Здесь 3+2 яблок. и 5+1 конфет. 2+3= ; 14 + * Какие два числа из круга в сумме дают 12? 14 3 = 9; Какие два числа из круга в сумме дают 19? Какие два числа из круга в сумме дают 14? Какие два числа из круга в сумме дают 10? * Машина делает «числовые сардельки»: 5+3 1+7 2+6 . Машина сломалась, числа выходят в неправильном порядке, их надо переставить и разложить «по сарделькам»: 1 4 5 2 3 6 ... 4 7 . * Найти для каждой пары суммы равную пару из овала: * Заполни окошки = 19; 6 * 1 . Здесь Какие два числа из круга в сумме дают 12? Какие два числа из круга в сумме дают 10? Какие два числа из круга в сумме дают 5? . Учитель обращает внимание на двоякий смысл термина «сумма»: сумма – это результат действия сложения; сумма – это само выражение. * сравните суммы чисел * + 6 = 8. 1+6 5 + 3 5+5 4+5 1 + 2 6+7 7+5 7 + 8 6+7 2+2 8+6 Понятие «разность», «произведение», «частное» могут быть закреплены по аналогии с закреплением понятия «сумма». Далее учащиеся знакомятся с числовыми выражениями, содержащими два и более арифметических действия при усвоении вычислительных приёмов: ± 2, ± 3, ± 1. Они решают примеры вида 3 + 1 + 1; 6 – 1 – 1; 2 + 2 + 2 и др., вычисляя, например, значение первого выражения, ученик поясняет: «К трём прибавить один, получится четыре, к четырем прибавить один, получится пять». Тем самым дети постепенно готовятся к выводу правила о порядке действий в выражениях, 15 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» содержащих действия одной ступени (позже действия разных ступеней и со скобками). Процесс обобщения знаний о сложных числовых выражениях и о правилах выполнения действий над ними осуществляется позже (II, III, IV кл.). При этом работу рекомендуется организовать поэтапно. I этап. Детям предлагается «сконструировать» сначала простые числовые выражения и закрепить знания о них, а затем сложные числовые выражения, например: 3 + 4 – 2; 19 – 13 + 12 – 6 + 8. Учащиеся записывают подобные выражения в тетради. Затем детям даются описания ряда жизненных ситуаций: они по конкретному описанию строят математическую модель, записывая её в тетради. Например: * В альбоме было 12 марок. Туда положили 3 марки, затем достали 4 марки, потом еще 2, затем еще 3 марки. Опять положили 5 марок, еще 3 марки, снова достали 6 марок, положили 1 марку и потом еще 4 марки: 12 + 3 – 4 – 2 – 3 + 5 + 3 – 6 + 1 + 4 . * В вазе лежало 8 конфет. Дети съели сначала 2, а потом 3 конфеты. В вазу добавили 5 конфет, затем 2 и 4. Снова съели сначала 1 конфету, а потом 2 конфеты. Опять добавили 1 конфету, а затем съели 8 конфет: 8–2–3+5+2+4–3–1–2+1–8 . Дети сравнивают записи, выделяют отличия, сходство. Делают вывод, что такие числовые выражения являются сложными, что они содержат только действия сложения и вычитания (т.е. действия одной ступени). Надо определить значения выражения. Когда дети учатся описывать ситуации на математическом языке, они видят и понимают, что действия надо выполнять в той последовательности, в которой они происходили. Для более прочного осознания данного факта можно научить детей строить графическую модель выражений. Например, дано выражение 8 – 4 + 1 – 3 = 2 . 16 Построить график или по данному графику восстановить числовое выражение После выполнения подобных заданий младшие школьники формулируют правило: «Если числовое выражение содержит только действия сложения или вычитания, то действия выполняются в том порядке, в котором они записаны слева направо». В данном случае происходит не механическое заучивание правила, а его осознанное восприятие. С целью закрепления порядка действий в подобных случаях предложить задания. * Расставьте порядок действий: + – – + – – – + . * Найдите ошибку: 1 + 3 + 2 – 5 – 4 + . Расставьте порядок действий, впишите числа и определите значение выражения. 17 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» II этап. Далее дети практически овладевают другими правилами порядка выполнения действий в выражениях, содержащих скобки. Школьники по заданию учителя записывают в тетради числовые выражения, описывающее определенную жизненную ситуации, например: В вазу положили 3 яблока и 4 груши, затем два фрукта взяли. 3+4 3–2 – 2 Как показать, что сначала положили фрукты? (Обвести овалом). Дети, рассуждая, какие фрукты могли быть взяты, получают и такие записи: + 4 или 3–1 4–1 + или 3 + 4–2 . Дети вспоминают, что в этом случае математики договорились пользоваться скобками. (3 + 4) – 2 Сначала фрукты положили. (3 – 2) + 4 Сначала взяли 2 яблока. (3 – 1) + (4 – 1) Взяли по 1 яблоку и 1 груше. 3 + (4 – 2) Взяли 2 груши. Дети подходят к осознанию того факта, что действия в скобках выполняются прежде всего. Предлагаются задания. Расставьте порядок действий: + ()+ – – Найдите ошибку: (1 + 2)+ + (+ (3 +). – Составьте граф данного выражения)–(+)– По данному графу восстановить выражение Данные задания способствуют осознанию детьми нового правила и последующей грамотной формулировке ими этого правила. III этап. Далее обобщаются знания учащихся о правиле порядка выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок, и содержат действия умножения и деления. Работу можно организовать так. Детям предложить записать в тетрадь готовые числовые выражения и дать указание «Найдите лишнее выражение»: 18: 2 × 4: 6 × 5 × 2: 10; 44 × 2: 4 × 3; 95: 5 × 2 × 2; 98 – 4 + 5 – 9. Затем предлагается рассмотреть оставшиеся записи. Выяснить, чем они отличаются, а чем похожи. Эти числовые выражения содержат только действия умножения и деления. После выполнения заданий вида «Расставьте порядок действий, постройте графическое выражение» и др. дети формулируют правило (аналогично 1 правилу). Уточняются задания о действиях умножения и деления – «сильные» действия – это действия I ступени. Сложение и вычитание – «слабые» действия – это действия II ступени. IV этап. Обобщая знания о правилах выполнения действий в выражениях, не имеющих скобок и содержащих действия разных ступеней, работу можно организовать по-разному, например, так. 18 19 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Можно предложить детям выписать значения выражения 40–10:2. Ответы могут получиться разные: у одних значения выражения окажется равным 15, у других 35. Мнения анализируются, после выполнения нескольких подобных задания дети формулируют новое правило, которое через решение специальным образом подобранных упражнений осознанно усваивается учащимися. * Поставьте вместо звездочек знаки действия так, чтобы равенства были верными: 38 * 3 * 7 38 * 2 * 5 = 24 38 * 3 * 7 = 42 38 * 3 * 7 = 48 12 * 6 * 2 = 4 12 * 6 * 2 = 70 12 * 6 * 2 = 24 12 * 6 * 2 = 9 12 * 6 * 2 = 0 * Из заданных пар выражений выпишите только те, в которых вычисления выполнены по правилам порядка действий: 60 – 20: 4 = 10 4 × 3 + 20: 5 = 16 60 – 20: 4 = 55 4 × 3 + 20: 5 = 28. Порядок выполнения действий в числовых выражениях +, – *, : Действия 2 ступени Действия 1 ступени +, – Сначала действия 1 ступени потом действия 2 ступени *, : (), + , – , *, : Сначала действия в () затем действия 1 ступени потом действия 2 ступени V этап. На данном этапе ведется работа по обобщению знаний учащихся о порядке действий в выражениях, содержащих скобки и арифметические действия разных ступеней: сложение, вычитание, умножение, деление. Детям предложить записать в тетрадь следующие числовые выражения: (18 + 2) : 5 + 4 × 8 – 6 × 2 + 35 – 80: 20 99 + 48: 6: 2 – (45 + 15) : 10 + (12 – 6) и найти их значения. После обсуждения мнений о правилах поиска значения выражений под руководством учителя дети формулируют правило выполнения порядка арифметических действий в подобных числовых выражениях. Затем вместе с детьми можно составить схему-опору. 20 важные сильные 21 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Числовые равенства и неравенства - практике обучения в начальных классах числовые выражения В с самого начала рассматриваются в неразрывной связи с числовыми равенствами и неравенствами. В математике числовые равенства и неравенства делятся на истинные и ложные. В начальной школе вместо этих терминов можно употреблять слова «верные», «неверные». Процесс обобщения знаний о числовых равенствах и неравенствах можно организовать по-разному, например, так. Дети имеют глубокое представление о числовых выражениях, о порядке выполнения действий, поэтому можно предложить написать разные числовые выражения и, выбирая по 2, соединять их знаками отношений < ; > ; =: 18 – 6 = 34 + 2 9–5>3+7 13 – 7 + 2 < 14 + 8. Сравнивая значения левой и правой частей данных записей, дети убеждаются в том, что числовые равенства и неравенства могут быть верными и неверными (в пассивный словарь детей вводятся термины «истинные», «ложные»). Дети учатся выделять существенные признаки подобных записей. Два числовых выражения, соединенные знаком равенства, образуют числовое равенство, а знаками неравенства – числовые неравенства. – Наличие 2-х числовых выражений. – Наличие в записи знака равенства или неравенства. Далее дети учатся по этим признакам распознавать их среди различных объектов. Затем дети должны осознать тот факт, что не всегда между двумя выражениями можно установить отношение равенства или неравенства. Для этого предложить учащимся найти значение ряда числовых выражений: 7 – 35; 48: 9; 64 – 118; 21: 5. Подвести детей к выводу, что не существует натурального числа, являющегося значением каждого из них. На множестве натуральных чисел выражения не имеют смысла. 4:(8 – 8) 9: 0 44: 0. Такие выражения тоже не имеют смысла на любом числовом множестве. Дети запоминают тот факт, что на нуль делить нельзя. 22 После закрепления данных заданий ученики смогут сделать вывод, что отношение равенства устанавливается между двумя числовыми выражениями, имеющими смысл. Два числовых выражения равны тогда и только тогда, когда их числовые значения совпадают. Программа по математике для начальной школы ставит перед учащимися задачу уметь сравнивать числовые выражения и записывать результат сравнения с помощью знаков. Школьники осуществляют сравнение двух выражений либо с опорой на наглядность, либо без наглядности, на основе использования теоретических знаний с применением элементов дедуктивных рассуждений. Предлагаемые задания помогут учащимся постепенно овладеть приемом сравнения. Это позволит им в дальнейшем самостоятельно применять его для использования изученного в новых условиях. Обучение сравнению числовых выражений с последующим обобщением знаний можно осуществить поэтапно. Для этого нужно уточнить тот факт, что каждое число есть числовое выражение. I этап. Сравнение чисел в натуральной последовательности. Его цель – показать учащимся возможность использования свойств натурального ряда для их сравнения. * Учащимся предлагается последовательность чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 . . . Для каждого числа назовите предыдущее и последующие числа. Для любого числа можно назвать предыдущее число? Последующее число? Выберите любое число последовательности. Сравните его с предыдущим числом, последующим числом. Сформулируйте правило. Запишите результат сравнения с помощью знаков: 2 * 3 4 * 5 10 * 9 1 * 2. * Дана последовательность «сказочных» чисел: . 23 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» II этап. Сравните числа и выражения: Сравните и, и, и * Даны два соседних числа: A < B K > M M > N. Как называется число В для числа А? Число А для числа В? (Аналогично для других пар). * Может ли быть одновременно 1<2и1>2 > и < . * Закончите предложения так, чтобы они выражали верную мысль: «Если к числу прибавить 1, то оно станет. . .» «Если из числа вычесть 1, то оно станет. . . » а) больше; б) меньше; в) последующим; г) предыдущим; д) следующим. * Сравните числа в каждой тройке: 1, 2, 3 0, 7, 8 8, 9, 10. Запишите результат сравнения по образцу 2, 3, 4 2<3 2<3<4 2<4 3 < 4. * Дана тройка последовательных чисел: , Как называется число Число для числа А, B, C α, β, γ. для числа? ? Сравните числа в каждой тройке. Запишите результат сравнения с помощью знаков. Восстановите предложение: « . . ., то оно станет больше»; « . . . , то оно станет меньше»; « . . . , то оно не изменится». Не находя значения суммы, сравните: 3+0*3 2*2=0 4+4*1 5+1*5 6*6+2 6+3*6 Сравните: 3+5*5 4+1*1 2 + 7 * 7. Сравните, где возможно: +1* 24 3 * 3 + 2. ε + 0 * ε. 25 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» –1* –2* α+2* +2 . III этап. Сравнение числовых выражений (сложных). Сравните, не вычисляя: 3824: 4 * 4268: 4 3624: 2 * 3624: 3 85 – 18 * 85 – 15 24 + 36 * 24 + 6 25 × 147 * 31 × 154. Далее рекомендуется провести математические исследования по «открытию» некоторых свойств числовых равенств и неравенств: a = b(u) a > b(u) a + c = b + c(u) a + c > b + c (u) a × c = b × c (u) a × c > b × c(u) a: c = b: c (u) c ≠ 0 a: c > b: c(u) c ≠ 0. Далее разрабатываются карточки – задания, в которых требуется произвести ряд действий, выдвинуть гипотезу, сделать вывод. Сравните: (321 – 18) × 304 * (452 – 15) × 204. Жители острова Рокфор имели обычай казнить всех чужеземцев. Исключение составляли лишь те, кто справлялся с головоломками Стивенса – мудрейшего жителя этого острова. Разгадайте одну из них: Проверьте правильность решения с помощью вычислений. Таким образом, у младших школьников формируется осознанное представление о числовых равенствах и неравенствах, при этом продолжается работа по развитию логического, абстрактного мышления. 26 27 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Тождественные преобразования числовых выражений Прежде нужно закрепить знания о числовом выражении, о числовом равенстве. Запись выражения, имеющего смысл, другим выражением из того же класса эквивалентности, при которой оба выражения соединяются знаком равенства, называется тождественным преобразованием. Далее отрабатываются 2 правила, позволяющие преобразовывать числовые выражения так, чтобы каждое следующее было тождественно равно каждому из предыдущих: Каждое выражение можно заменить любым другим, тождественно ему равным. Выражение, получающееся из данного применения к нему свойств арифметических действий, является тождественно равным данному. Тождественные преобразования дают возможность получать новые знания. Например, 6 + 3 . Сначала 3 заменяется суммой 2 + 1, затем к 6 прибавляется 2 и к полученному результату прибавляется 1. Это можно записать в виде цепочки тождественных преобразований так: 6 + 3 = 6 + (2 + 1) = (6 + 2) + 1 = 8 + 1 = 9 (Новое знание, прием прибавления по частям). Здесь использованы оба правила. Действительно, сначала число 3 заменили равным ему выражением, затем применили свойство ассоциативности сложения, после чего 6 + 2 и 8 + 1 заменили равным им выражением. Тождественные преобразования числовых выражений требуют определенной изобретательности, основанной на анализе данного выражения, предшествующем самим преобразованием, а также на знании свойств арифметических действий. Кроме того, тождественные преобразования совершенно точно аргументированы и являются примерами правильных дедуктивных рассуждений. Овладение умением производить тождественные преобразования позволяет младшим школьникам применять на деле свойства арифметических действий, а следовательно, способствует их пониманию и запоминанию, развивает умение обосновывать свои 28 действия, приучает ум к дедукции. Овладение таким умением является очень важным с точки зрения подготовки младших школьников к изучению курса алгебры в среднем звене (и в дальнейшем). В методической литературе предлагаются задания для младших школьников, направленные на овладение тождественными преобразованиями. * Из данных записей выберите те, которые являются числовыми выражениями: 2 , + , 28: 4, (18 + 15) – (32 × 4), m + n, (29 – 32) : 5. * Найдите значения тех выражений, которые сможете вычислить: 2 + (5 – 4); (3 – 6) + 2; (8 + 12) – (5 – 5); (28: 1) – (28 × 1); (135 × 29) : (234 – 234). * Сравните выражения и найдите их значения: (8 + 6) : 2 + 22: 1 * (8 + 6: 2 + 22) : 11; (((42 – 2) – 4) : 9) – 3 * ((42 – 2) – 4) : (9 – 3). * С помощью тождественных преобразований найдите значения выражений: 168: 7 + 4 × 25 – 24; 28 000 + 12 000: 6 × 7 – 24: 8; 60 × 3: 2 × 6 – 81: 9; 630: 70 + (20 – 5) – (13 + 2). * Поставьте скобки в данном выражении так, чтобы его значение было равно 0; 40; 100:. 18 + 21: 3 – 5 × 5. * Составьте выражения, равные данному, так, чтобы количество действий увеличилось на одно, на два, на три: 63: 7 21 × 2 24 – 4. 29 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Буквенные выражения В начальных классах предусматривается проведение подготовительной работы по раскрытию смысла переменной в тесной связи с изучением нумерации и арифметических действий. Подготовительная работа проводится по уровням. 1 уровень – ознакомление с буквами латинского алфавита. Нужно объяснить детям, что на уроках математики будут использованы малые буквы латинского алфавита, научить писать, читать буквы, использовать для записи алгебраических выражений. 2 уровень – решение задач с недостающими данными. Предлагаются тексты, например, такие: Миша прочитал. . . книг и. . . сказок. Сколько всего книг прочитал Миша? Подбирая числа вместо точек, дети получают задачи одинакового содержания. Одну задачу подробно разбирают вместе с учителем, с остальными дети работают по аналогии. Задач можно составить много. Числа подбираются по мере изучения. 3 уровень – запись выражений, отражающих определенную ситуацию и выполнение расчетов. Желательно обыграть сюжет посещения детского кафе. Детям раздаются меню кафе. Они выясняют, что в кафе можно купить и по какой цене. Например: чай – 6 рублей, булочка – 12 рублей, сосиска в тесте – 17 рублей, кофе – 10 рублей и т.д. Учитель предлагает кратко записать содержание меню: ч – чай, к – кофе, в – вода (минеральная), б – булочка, г – гамбургер и т.д. Учатся записывать кратко заказ и просчитывать его стоимость. Например: ч + б + 2 г (чай, булочка, 2 гамбургера); 2 ч + 3 к + 5 с + 2 в. 4 уровень – определение значений выражений: 3 a + 8 – b при a = 5, b = 1; 7 y – 3 x: c при y = 2, x = 8, c = 6. На этапе ознакомления с буквенными выражениями дети работают с выражениями, содержащими «окошечки»: 30 ×2 +5 . Что означает «окошечко» (некоторое число); подставляя в него конкретное число, дети находят значение выражения. Затем анализируются записи заказов и выделяется их сходство и отличие. Договоримся (математически договорились) вместо «окошек», букв в заказе использовать малые буквы латинского алфавита a × 2 b + 5: c. Дети должны осознать, что буква – это некоторое число. Они учатся составлять различные записи типа 3 × a + b + c + 127; a x + b + 8 – 5; выделяют в них существенное: 1) запись; 2) состоит из чисел и букв, соединенных знаком арифметических действий. По этим признакам дети учатся распознавать подобные записи среди других. Младшие школьники, таким образом, получают представление о буквенном выражении. Нужно при этом использовать словарную карточку: Буквенное выражение Для овладения младшими школьниками представлений о буквенном выражении можно использовать такие типы заданий: Чтение буквенных выражение: x + y; a + b + c; 3 × a + 2 × b; 7 × x – y. Переход от буквенных выражений к числовым: b + d; b = 15; d = 3; 15 + 3, придавая буквам различные числовые значения, выяснить, сколько числовых выражений можно получить. Нахождение числовых значений буквенных выражений при заданных значениях букв: k – c, при k = 10, c = 2. Подбор детьми числовых значений букв, входящих в выражение и нахождение значения выражения c x m. 31 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Формирование понятия «постоянная»: 15 8 записать сумму 15 + 8 7 8 7+8 6 8 6+8 3 8 3+8 a 8 a + 8. Предложить понаблюдать за выражениями и спросить, что заметили? (2-е слагаемое одинаковое, постоянно). Преобразование таблицы с тремя графами в таблицу с двумя графами и наоборот: b m b–m 20 5 20 8 20 11 20 15 m 20 – m 5 8 11 15 Дети должны понять, что буква может принимать не только разные, но и одинаковые значения. Формирование понятия «область определения выражения» (в неявном виде): d – 25; 13 k; m + 13; 16: a; c: d. Какие значения может принимать переменная (буква)? Использование букв как средства обобщения знаний: – записывать при помощи букв свойства арифметических действий: a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c; – записывать связь между компонентами и результатом действия: a + a + a + a + a = 5 × a 8 b = b + b + b + b + b + b + b + b; – прочитать записанные с помощью букв свойства, отношения, зависимости: a>b (a + b) – c a × b = b × a; – выполнить тождественные преобразования на основе знания свойств арифметических действий (5 + с) × 4; – доказать справедливость высказываний при помощи числовых подстановок: c + 12 > 1 + 10 d × 1 = d. 32 В алгебре символы служат для обозначения предметов. – Встречаются ли в жизни графические символы? (ДА). Детям предлагается рассмотреть ряд символов и ответить, что они означают: $ & – Придумать и нарисовать знаки-символы «не кричать», «учителям вход воспрещен», «твое имя», «парк отдыха», «продукт несъедобен». – Написать символы для каждой из картинок. Сложить символы. Например: a + 2a + 4a = 7a b + 5b + 6b = 10a + 3a + 2a = 9p +20p + 8p = 14p +20p + p = a + 5a + 16a = 15x + 5x + 16x = q + 7q + 10q + q = 2m + 3m + 2m + 10m = 12a + 10a + a = 15d + 10d + d + 4d = 33 4s + 3s + 7s = t + 2t + t + 5t = 26a + a + 2a + 3a = 15z + 12z + z + z = 20x + 17x + 3x = . Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Например: 2a + 3a + 3b + b = 5a + 4b a + 2a + 3b = 2a + 5a + 4b + 2b = 4s + s + 3r + s = 5q + p + 2p + 6q = 3x + 2y + x + 5y = 10a + 2c + a + 3c = h + h + 5h + 2j = 2s + 5s + x + s = 5x + x + t + 8t = 4e + 8c + 5e + c = 12a + d + 9a + d = b + 19k + 8k + 9b = 6p + 2t + 5p + 4t = 10p + 4q + q + 2q = 7t + q + 3q + 3t = 4k + 6y +k + 3y = e + e + t + 9e + t = 10y + x + 21y + y = . Внимание: разные символы не складываются, не вычитаются. Вывод: использование буквенной символики способствует повышению уровня знаний, приобретаемых младшими школьниками, готовит их к изучению систематического курса алгебры. Уравнения в начальном курсе математики Уравнение в начальном курсе математики трактуется как равенство, содержащее букву. Решить уравнение – значит узнать, при каких значениях буквы уравнение обращается в верное равенство. Одной из целей введения уравнений в начальный курс математики является обеспечение преемственности между начальным и средним звеном общеобразовательной школы. Понятие «уравнение» является одним из основных понятий математики. Можно выделить 3 этапа формирования представлений об уравнении в начальной школе. 1 этап – подготовительный. На этом этапе работа осуществляется по двум направлениям: 1) условие связи между компонентами и результатом арифметических действий: 7 + 8 = 15 34 – 11 = 23 15 – 7 = 8 23 + 11 = 34 15 – 8 = 7 34 – 23 = 11 18 × 2 = 36 36: 18 = 2 36: 2 = 18 45: 5 = 9 9 × 5 = 45 45: 9 = 5 . Нужно добиться, чтобы дети усвоили 8 правил. (Если из суммы вычесть первое слагаемое, то получим второе слагаемое и т.д.). Осознание учащимися этих правил осуществляется в процессе выполнения практических упражнений, при решении простых задач, при изучении состава числа; 2) подбор специальных упражнений – записей с «окошками», в процессе выполнения которых у младших школьников формируется представление о переменной, верном и неверном числовом равенстве. Такие задания решаются способом подбора. Этот способ формирует осознанный и математически верный подход к решению уравнений, так как ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство получили. 34 35 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» ‪ + 3 = 12. Так, подставляя в «окошко» число 5, ученик убежда- ется, что при этом получится неверное числовое равенство 5 + 3 = 8 , а число 9 – верное числовое равенство. В практике обучения чаще используют только такие задания, в этом случае функции заданий сужаются до закрепления состава чисел, и способ подстановки теряет свой алгебраический смысл. Поэтому лучше задания формулировать так: «Какое равенство получим, если вставить в окошечко число 10», или «Объясни, почему числа 1, 2, 9, 5 нельзя вставить в окошко», или «Какое число нужно вставить в окошко, чтобы получить верное равенство». При подборе чисел ученик должен подумать, с какого числа его целесообразно начать. Идет подготовка к проверке решения уравнения. При нахождении значений числовых выражений учащиеся могут воспользоваться как знанием состава числа, так и вычислительными приемами (присчитывание и отсчитывание по частям). Способ подбора формирует не только осознанный подход к решению уравнений, но и предоставляет ученику возможность упражняться в закреплении вычислительных навыков и приемов. 2 этап. На этом этапе идет знакомство с уравнением и способами его решения. Введение понятия «уравнение» фактически сводится к замене «окошка» латинской буквой. (В математике принято неизвестные, входящие в уравнение, обозначать строчными буквами латинского алфавита x, y, z …): ‪ + 5 = 12 ‪ - 8 = 20 x + 5 = 12 y - 8 = 20 . Вводится термин «уравнение». Дети учатся выделять существенные признаки данного понятия и распознавать их среди других математических объектов. = 9 и 6 + z = 9 позволяет Сравнение двух видов записей 6 + детям самостоятельно справиться с поиском решения уравнения способом подбора. Нужно подчеркнуть, что именно такой метод ясно показывает смысл понятий «уравнение», «корень (решение) уравнения». Чтобы дети запомнили эти термины, можно использовать стихотворение: ‪ 36 Уравнение Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить несложно. Поставь в уравнение его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значения зовите тотчас. Пусть требуется решить уравнение х + 12 507 = 206 734. Решить уравнение – это значит найти такое число, прибавляя к которому 12 507, получили 206 734. Можно заметить, что искомое число приблизительно равно 200 000. Но 200 000 + 12 507 = 212 507, что больше 206 734 примерно на 6000. Поэтому проверим число 194 000, получим 194 000 + 12 507 = 206 507, что меньше, чем 206 734. Увеличим число 194 000 на 200, получим 194 200 + 12 507 = 206 707, что меньше числа 206 734 на 27. Поэтому в качестве решения уравнения можно взять число 194227. Проверим 194 227 + 12 507 = 206 734. Таким образом, корнем данного уравнения является число 194 227. Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует у учащихся умение «оценивать», «анализировать» записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений с помощью «правил», например: х + 217 = 576 х = 576 – 217 х = 359 ответ: х = 359. 359 + 217 = 576 576 = 576 (u) При решении уравнений детям полезно использовать памятку «Как решить уравнение»: 1. Прочитай уравнений по-разному. 2. Назови, что известно, что неизвестно. 3. Вспомни, как найти это неизвестное. 4. Найди это число, используя нужное правило. 5. Сделай проверку. 6. Запиши ответ. 37 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» 3 этап. На этом этапе закрепляются представления об уравнении. Несмотря на то, что умение решать уравнения само по себе важно, значение уравнений выявляется только тогда, когда они применяются для решения задач практического содержания, т.е. выступают как метод моделирования конкретных фрагментов действительности. Составить уравнение: У шофера две одинаковые канистры с бензином. Обе неполные. В одной не хватает 8 литров, в другой – 4 литра. Чтобы освободить одну из канистр, шофер перелил весь бензин в одну канистру, но она осталась неполной. В ней не хватило 2 литра. Какова вместимость каждой канистры. х–8+х–4+2=х х–4=8–2 х = 10 л. Каждая канистра имеет объём 10 литров. Неизвестное число увеличили на 120, получили 270. Чему равно неизвестное число? Задуманное число уменьшили на 30, получили 180. Какое число задумали? Дети учатся по данному тексту составлять уравнения, а затем его решают. Полезно предлагать детям решать «задачи с весами». Чаши весов сбалансированы (весы находятся в равновесии). х + х = 10 2х = 10 х = 5 х = 3. 38 х + х + х + х =12 х × 4 = 12 х = 12: 4 Груз лежит на одной чаше весов, а гири на другой чаше: х + х + х = х + х = 10 3х = 2х + 10 3х – 2х = 2х – 2х + 10 х = 10. 25 + 4х = 5х 4х = 2х + 20. Груз лежит на обеих чашах весов. Можно предложить еще ряд заданий, направленных на овладение понятиями «уравнение», «решение уравнения» и методами решения простейших уравнений. Задание 1. 1.1. Сравнить выражения: 12 + 0 12 + 2 12 + 5 12 + 8 12 + 20 12 + 28 12 + 100. Найти значение каждого из этих выражений. Можно ли записывать эти выражения как 12 + х. Придумать еще выражения, которые так же можно записать. Какими числами заменили х в выражении 12 + х, если получились равенства: 12 + х = 12 + 5 12 + х = 12 + 34 12 + х = 12 + 370. 1.2. Верны ли равенства: 72: 3 = 6 × 4 72: 3 + 5 = 6 × 4 + 5 72: 3 + х = 6 × 4 + х 72: 3 + 20 = 6 × 4 + 20 72: 3 + 16 = 6 × 4 + 16 72: 3 × 2 = 6 × 4 × 2 39 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» 72: 3 × 5 = 6 × 4 × 5 72: 3 × х = 6 × 4 × х 72: 3 × 10 = 6 × 4 × 10 72: 3 – 4 = 6 × 4 – 4 72: 3 – 20 = 6 × 4 – 20 72: 3 – х = 6 × 4 – х 72: 3 – 12 = 6 × 4 – 12 72: 3: 3 = 6 × 4: 3 72: 3: 12 = 6 × 4: 12 72: 3: х = 6 × 4: х 72: 3: 6 = 6 × 4: 6. Какие числа нельзя поставить вместо х в двух последних равенствах из правого столбика? 1.3. Найти 5 чисел, которые можно поставить вместо х в выражение 8 – х, и найти его соответствующее значение. Найти 5 чисел, которые нельзя поставить в это выражение вместо х. Найти значения выражения 28 – х при х = 0, х = 15, х = 16, х = 18. При каком значении х выражение 28 – х = 12? х + 17 = 24? х + 17? При х = 2, х = 6, х = 3, х = 5, х = 10. 3.1. Найти значения выражений: 25 + 3 – 25 12 + (15 - 12) 102 + 24 – 102 7 + (8 – 7) 78 + 15 – 78 4 + (36 – 4) 16 + 18 – 18 78 + (150 – 78) a+b–a a + (b – a). 3.2. Найти значения выражения: 2 × 3: 2 15 × (45: 15) 17 × 5: 17 12 × (36: 12) 36 × 3: 36 3 × (21: 3) 172 × 4: 172 4 × 28: 4 a×b:a a × (b: a). 3.3. Найти, какому выражению равны данные выражения: 13 + х – 13 54 + (х – 54) 18 × х: 18 12 × (х: 12) 72 + х – 72 7 + (х – 7). 3.4. Найти значения х, при котором справедливы следующие равенства: х + 2 – 2 = 5 – 2 х × 5: 5 = 30: 5 34 + х – х х + 7 – 7 = 12 – 7 108: х × х 28 + х – х. 3.5. К обеим частям данного равенства прибавить число, чтобы получилось х: х – 5 = 7 х – 12 = 3 х – 21 = 5 х – 4 = 16. 3.6. Из обеих частей данных равенств вычесть такое число, чтобы получилось х: х + 5 = 9 х + 17 = 20 х + 43 = 65 х + 14 = 81. 3.7. Обе части равенства раздели на такое число, чтобы получилось выражение равное х: х × 5 = 30 х × 8 = 48 х × 15 = 60. 3.8. Записать еще два верных равенства, если данные равенства справедливы: 12 + 24 = 36 78 + 102 = 180 74 + 330 = 404 a+b=c 17 + х = 20 х + 5 = 12 х + 8 = 28 27 + x = 34. 3.9. Найти, при каком значении переменной х равенства справедливы, т.е. решить уравнения, записанные этими равенствами. Каждое уравнение решить тремя способами: а) подобрать подходящее число; б) записать равенство, которое выполняется одновременно с данным; в) прибавить (вычесть, умножить, разделить) к обеим частям равенства одно и то же число: х + 17 = 20 х – 6 = 13 х × 3 = 42 х: 6 = 54. 3.10. Решить уравнение таким способом, который нравится или является более простым: 29 + х = 32 6 + х = 4 12 × х = 36 72: х = 12. 40 41 Задание 2. 2.1. Найти значение данных выражений при указанных значения х. Заполнить таблицу: х 12 + х 15 – х 3×х 120: х 0 2 4 5 2.2. Заполнить таблицу. Найти такое число, заменяющее х, при котором оба выражения равны: х 22 – х 4+х 5 6 8 10 2.3. Ничего не вычисляя, найти равные выражения и записать равенства: 54: 6 + 12 = 3 × 3 + 12 (102 – 90) : 2 = 12: 2 (12 + 15) × 3 = (36 - 9) × 3. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Обучение младших школьников решению задач алгебраическим методом Текстовые вычислительные задачи – одна из наиболее важных составляющих школьного курса математики. Решение этих задач играет большую роль в общем развитии школьников, в интересе к математике, оно знакомит учащихся с процедурой математического моделирования. Решение текстовой задачи состоит из трех частей: – перевод условия на математический язык (конструирование математической модели задачи); – оперирование полученной моделью с использованием математического аппарата и получение результата на языке математики; – перевод полученного результата на естественный язык и его интерпретация. Эти три шага составляют процедуру математического моделирования. Вооружать умением математического моделирования нужно уже в начальной школе. Поэтому младших школьников нужно познакомить с решением задач на составление уравнений – алгебраическим методом. Он состоит из следующих шагов: 1) введение неизвестного; 2) выражение через это неизвестное величин, о которых говорится в задаче; 3) составление уравнения; 4) осмысление результата и формулирование ответа. Конечной целью перевода при алгебраическом решении – математической моделью задачи – является уравнение. Пример. Задача 1. На дереве сидят жуки и пауки. Всего их 20, а ног 150. Сколько на ветке жуков? (У жука 6 ног, у паука 8). Уравнение: х × 6 + (20 – х). Задача 2. Одна из сторон прямоугольника на 3 см больше другой, а периметр равен 30 см. Чему равны стороны прямоугольника? Схема уравнения: (первая сторона + вторая сторона) × 2 = 30 см. х см – первая сторона; х + 3 см вторая сторона; (х + (х + 3)) × 2 = 30. Задача 3. В одном ящике было гвоздей в 2 раза больше, чем в другом. Когда из первого ящика взяли 30 гвоздей, а во второй ящик положили 70 гвоздей, то в обоих ящиках гвоздей стало поровну. Сколько гвоздей было в каждом ящике первоначально? Схема уравнения: (стало гвоздей в 1 ящике) = (стало гвоздей во 2-ом ящике). х – число гвоздей во 2 ящике первоначально. х × 2 число гвоздей в первом ящике. Уравнение: х × 2 – 30 = х + 7 Задача 4. В трех классах всего 83 учащихся. В первом классе на 4 ученика больше, чем во втором, и на 3 меньше, чем в третьем. Сколько учеников в каждом классе? Схема уравнения: (первый класс) + (второй класс) + (третий класс) = 83 ученика. х учеников во 2 классе. Уравнение: (х + 4) + х + (х + 4 + 3) = 83. Схема уравнения: Ноги жуков + ноги пауков = 150 ног. х – число жуков; (20 - х) – число пауков. 42 43 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Неравенство с переменной Обучение младших школьников элементам алгебры Младшие школьники встречаются с неравенствами с одной переменной уже в 1 классе, где такие неравенства задаются при помощи «окошка», например, Основное содержание ‪ ‪ ‪ + 5 < 8 7+3< 8+1> . Дети должны поставить в «окошко» такие числа, чтобы запись была верной. Далее, после введения букв, неравенства предлагаются в таком виде: х + 5 < 8 7 + 3 < z. В начальной школе неравенства решаются только методом подбора. Задания предлагаются в такой формулировке: – Какие из чисел 15, 180, 251, 6 удовлетворяют неравенству z > 83, а какие ему не удовлетворяют? Почему? – Какие из чисел 64, 71, 60, 75, 8, 0 являются решениями 65– х >5? Докажи. – Будет ли число 7 решением неравенства: 17 + х > 40 48: t > 1 a + a < 30 3 + y < 95 56 – n < 39 0: b > 5? – Имеются ли среди чисел 7, 9, 15, 30, 82 решения неравенства: 8 x b – 8 > 90 d: 3 + 9 < 12? – Найти два решения неравенства: r + 5 < 815 53 × m < 100 m – 4 > 960 180: y > 20. – Найти все решения неравенства: 7 × c < 9 x × 7 < 21 b+b<4 16: d > 3 y × 5 < 1 3 – t > 2. – Записать множество решений неравенства и отметить его на числовом луче. Существует ли в этом множестве наименьший элемент? Работа с неравенствами в начальной школе в основном направлена на формирование понятия «переменная» и с точки зрения обучения решению неравенств носит пропедевтический характер. 44 Алгебраическая линия в начальном курсе математики. Числовые выражения, числовые равенства, неравенства. Выражения с переменной. Уравнения, неравенства с переменной функцией. Изучение в начальных классах математических выражений (числовых и с переменными). Изучение числовых равенств и неравенств. Обучение решению уравнений. Функциональная пропедевтика в начальных классах. Требования к знаниям и умениям студентов по теме. Студент должен: – свободно владеть алгебраическим содержанием на уровне средней школы; – знать вопросы алгебраического характера, включенные в начальный курс математики, уровень обобщения при их раскрытии, последовательность обучения; – арифметические вопросы, усвоению которых способствует знакомство с алгебраическим материалом; – наглядные пособия, используемые при изучении алгебраического материала; – виды упражнений алгебраического характера; – дидактические игры, которые можно использовать при изучении алгебраического материала; – различные виды, формы и методы проверки усвоения алгебраического материала. Уметь: – реализовать в практике обучения взаимосвязь арифметического материала и элементов алгебры; – направленно применять соответствующие наглядные пособия; – использовать в обучении упражнения алгебраического характера; – целенаправленно использовать дидактические игры, способствующие усвоению алгебраического материала; 45 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» – подбирать проверочные задания, составлять самостоятельные письменные работы с элементами алгебры; – выделять основные знания и умения учащихся по теме; – работать с научной и научно-популярной литературой, связанной с алгебраическим содержанием. Доклады: 1. Методика использования исторического и занимательного материала при изучении элементов алгебры в начальной школе. 2. Жизнь и творчество Ал-Хорезми. 3. Роль Ал-Хорезми в развитии алгебры. 4. Любимцы богов. 5. Формирование функционального мышления у младших школьников при обучении математики. Список литературы 1. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики [Текст] / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1996. – С. 160 – 164. 2. Глейзер, Г. И. История математики в школе: IV – VI классы: пособие для учителей [Текст] / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1981. 3. Сираждинов, С. Х. Ал – Хорезми выдающийся математик и астроном средневековья [Текст] / С. Х. Сираждинов, Г. П. Матвиевская. – М.: Просвещение, 1983. 46 Список литературы 1. Бантова, М. А. Методика преподавания математики в начальных классах [Текст] / М. А. Бантова, Г. В. Белотюкова. – М.: Просвещение, 1984. – 201 с. 2. Белашистая, А. В. Обучение математике в начальной школе [Текст] / А. В. Белашистая. – М.: Айрис Пресс, 2006. – 168 с. 3. Виленкин, Н. Я. За страницами учебника математики: Арифметика, алгебра, геометрия [Текст] / Н. Я. Виленкин, Л. П. Шибасов, З. Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 1996. – 315 с. 4. Вопросы общей методики преподавания математики: методические рекомендации [Текст] / сост. Е. И. Жилина. – Магнитогорск. МГПЦ, 1995. – 56 с. 5. Государственный благотворительный стандарт высшего профессионального образования [Текст]. – М., 2005. – 33 с. 6. Депман, И. Я. За страницами учебника математики [Текст] / И. Я. Депман, Н. Я. Виленкин. – М.: Просвещение, 1989. –175 с. 7. Депман, И. Я. Рассказы о старой и новой алгебре [Текст] / И. Я. Депман. – Л.: Детская литература, 1967. – 144 с. 8. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах: учебное пособие [Текст] / Н. Б. Истомина. – М.: Академия, 2007. – 208 с. 9. Истомина, Н. Б. Методика преподавания математики в начальных классах: Вопросы частной методики [Текст] / Н. Б. Истомина. – М.: Просвещение, 2006. – 125 с. 10. Колягин, Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика [Текст] / Ю. М. Колягин. – М.: Просвещение, 1975. – 203 с. 11. Левитас, Г. Г. Решение текстовых задач с помощью уравнений [Текст] / Г. Г. Левитас // Начальная школа. – 2001. – № 1. – С. 76–79. 12. Меерзон, А. Е. Пособие по математике для студентов факультетов начальных классов [Текст] / А. Е. Меерзон, А. С. Добротворский, А. Л. Чекин. – М.: Просвещение, 1988. – 146 с. 13. Смирнова, В. В. Обучение решению уравнений в начальных классах [Текст] / В. В. Смирнова // Начальная школа плюс. – 2003. – № 11 – С. 56–59. 14. Стойлова, Л. П. Математика [Текст] / Л. П. Стойлова. – М.: Просвещение, 2008. – 327 с. 15. Шадрина, И. В. Обучение математике в начальных класса: пособие для учителей, родителей, студентов педвузов [Текст] / И. В. Шадрина. – М.: Школьная пресса, 2003. – 143 с. 47 Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис» Учебное издание Валентина Ивановна Кузьминова Элементы алгебры в курсе математики для учащихся начальных классов Учебно-методическое пособие Зав. РИО Редактор Корректор Верстка Дизайн обложки Л. В. Малышева Л. Г. Абизяева Л. В. Кравченко Е. В. Ворониной Е. В. Ворониной Сдано в набор 11.03.2011. Подписано в печать 6.07.2011. Бумага для копировальной техники. Формат 60х84/16. Гарнитура «Times New Roman». Печать цифровая. Усл. печ. листов 2,79. Тираж 100 экз. Заказ № 270. Отпечатано в редакционно-издательском отделе ГОУ ВПО «Соликамский государственный педагогический институт» 618547, Россия, Пермский край, г. Соликамск, ул. Северная, 44.