Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Введите выражение функции

Вычислить предел

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Предел функции при х->х 0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$

Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)} имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \) существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.

Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого \(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам \(x_0 Символические записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Постоянное число а называется пределом последовательности {x n }, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 существует номер N, что все значения x n , у которых n>N, удовлетворяют неравенству

|x n - a| < ε. (6.1)

Записывают это следующим образом: или x n → a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- ε < x n < a + ε, (6.2)

которое означает, что точки x n , начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a- ε, a+ ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а .

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся , в противном случае - расходящейся .

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n .

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a . Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а , соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предел функции по Гейне, или “на языке последовательностей ”.

Определение 2 . Постоянное число А называется предел функции f(x) при x→ a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число ε , можно найти такое δ >0 (зависящее от ε ), что для всех x , лежащих в ε-окрестности числа а , т.е. для x , удовлетворяющих неравенству
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε.

Это определение называют определением предел функции по Коши, или “на языке ε - δ “.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x → a имеет предел , равный А, это записывается в виде

. (6.3)

В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а , то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной .

Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существует каждый предел

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Замечание . Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2. (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый замечательного предело и второй замечательный предел.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

в частности предел,

Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→ a и при этом xa-0. Числа и называются соответственно предел справа и предел слева функции f(x) в точке а . Чтобы существовал предел функции f(x) при x→ a необходимо и достаточно, чтобы . Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 , если предел

. (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = x o функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R , кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке x o , если предел

,

и непрерывной слева в точке x o, если предел

.

Непрерывность функции в точке x o равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o , например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция f(x) в точке x o имеет разрыв первого рода, или скачок .

2. Если предел равен +∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке x o функция имеет разрыв второго рода .

Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞ , значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x ) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я. И. Перельмана , дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3) 3 » 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n N имеет место неравенство |x n -1| < ε.

Возьмем любое e > 0. Так как ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n< e . Отсюда n>1/ e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ e , N = E(1/ e ). Мы тем самым доказали, что предел .

Пример 3 .2 . Найти предел последовательности, заданной общим членом .

Решение. Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n , разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2 , а второго на n . Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем:

.

Пример 3.3 . . Найти .

Решение. .

Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания.

Пример 3 .4 . Найти ().

Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞ . Преобразуем формулу общего члена:

.

Пример 3 .5 . Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует.

Решение. Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Выберем теперь в качестве x n последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. Поэтому предел не существует.

Пример 3 .6 . Доказать, что предел не существует.

Решение. Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞

Если x n = p n, то sin x n = sin p n = 0 при всех n и предел Если же
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 для всех n и следовательно предел . Таким образом, не существует.

Виджет для вычисления пределов on-line

В верхнем окошке вместо sin(x)/x введите функцию, предел которой надо найти. В нижнее окошко введите число, к которому стремится х и нажмите кнопку Calcular, получите искомый предел. А если в окне результата нажмете на Show steps в правом верхнем углу, то получите подробное решение.

Правила ввода функций: sqrt(x)- квадратный корень, cbrt(x) - кубический корень, exp(x) - экспонента, ln(x) - натуральный логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * умножения, / деления, ^ возведение в степень, вместо бесконечности Infinity. Пример: функция вводится так sqrt(tan(x/2)).

Члена последовательности.

Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого ε>0 существует номер n=n(ε), начиная с которого выполняется |xn-a |

Пример 2. Доказать, что в примера 1 число а=1 не является пределом последовательности предыдущего примера. Решение. Вновь упростите общий член последовательности. Возьмите ε=1 (это любое число >

Задачи непосредственного вычисления предела последовательности довольно однообразны. Все они содержат отношения полиномов относительно n или выражений относительно этих полиномов. Приступая к решению, вынесите за скобки (знак радикала) составляющую, находящуюся в старшей . Пусть для числителя исходного выражения это приведет к появлению множителя a^p, а для знаменателя b^q. Очевидно, что все оставшиеся слагаемые имеют вид С/(n-k) и стремятся к нулю при n>

Первый способ вычисления предела последовательности основан на ее определении. Правда следует запомнить, что путей непосредственного поиска предела он не дает, а позволяет лишь доказать, что какое-либо число а является (или не является) пределом.Пример 1. Доказать, что последовательность {xn}={(3n^2-2n-1)/(n^2-n-2)} имеет предел а=3.Решение. Проводите путем применения определения в обратном порядке. То есть справа налево. Предварительно проверьте – нет ли возможности упростить формулу для xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+2)(n+1))=)=(3n+1)/(n+2).Рассмотрите неравенство |(3n+1)/(n+2)-3|0 можно найти любое натуральное число nε, большее -2+5/ε.

Пример 2. Доказать, что в примера 1 число а=1 не является пределом последовательности предыдущего примера. Решение. Вновь упростите общий член последовательности. Возьмите ε=1 (это любое число >0).Запишите заключающее неравенство общего определения |(3n+1)/(n+2)-1|

Задачи непосредственного вычисления предела последовательности довольно однообразны. Все они содержат отношения полиномов относительно n или выражений относительно этих полиномов. Приступая к решению, вынесите за скобки (знак радикала) составляющую, находящуюся в старшей . Пусть для числителя исходного выражения это приведет к появлению множителя a^p, а для знаменателя b^q. Очевидно, что все оставшиеся слагаемые имеют вид С/(n-k) и стремятся к нулю при n>k (n стремится к бесконечности). После этого запишите ответ: 0, если pq.

Укажем не традиционный способ нахождения предела последовательности и бесконечных сумм. Будем использовать функциональные последовательности (их члены функции, определенные на некотором промежутке (a,b)).Пример 3. Найти сумму вида 1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=s .Решение. Любое число а^0=1. Положите 1=exp(0) и рассмотрите функциональную последовательность {1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n!}, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.

Совет 2: В какой последовательности смотреть фильмы Марвел про мстителей?

Вселенная «Марвел» основана на комиксах издательства Marvel, но далеко не все экранизации комиксов – часть киновселенной. В нее входит только снятое Marvel Studios или совместно с ней. Киновселенная «Марвел» разделена на фазы, каждый фильм в ней имеет свое место. Однако сериалы и короткометражки, являясь частью вселенной, в хронологии могут быть между фазами. Т.е. могут не принадлежать к конкретным частям киновселенной.

Сериалы Netflix и канала abc отличаются от вселенной «Марвел». У киновселенной есть две особенности:

• каждый фильм наделен собственной историей;
• глобальный сюжет переходит из одного фильма в другой, в итоге каждый из них двигает этот сюжет вперед.

Сериалы канала abc связаны с глобальным сюжетом киновселенной, но не продвигают, а только дополняют его. Сериалы Netflix - это и вовсе самостоятельные истории, со своим сюжетом и своим глобальным миром.

За годы существования вселенная «Марвел» разрослась, и продолжает расширяться. Поэтому разобраться с хронологией ее фильмов неподготовленному человеку сложно, ведь не каждому понятно, что нельзя смотреть «Железного человека 3» сразу после «Железного человека 2». А чтобы разобраться, надо изучить хронологию, которая включает три фазы.

Первая фаза:

1. Фильм «Железный человек», 2008 года. Эта картина закладывает фундамент и общий тон следующим экранизациям, ее действие происходит в 2010 году.
2. Фильм «Невероятный Халк», 2008 года. В этой экранизации зрители понимают, что истории двух разных героев случаются в одной вселенной, поскольку и в «Железном человеке», и в «Невероятном Халке» упомянут Щ.И.Т., программа «суперсолдат», встречается логотип StarkIndusries и т.д. Действие фильма разворачивается в 2011 году. Картина не продолжает историю фильма «Халк» 2003 года.
3. Фильм «Железный человек 2», 2010 года. Эта история - нечто вроде затравки к Мстителям, она вводит в сюжет Черную Вдову, дает много предпосылок к будущим проектам и рассказывает о новых проблемах Тони Старка, с которыми он столкнулся через год после первой части «Железного человека».
4. Фильм «Тор», 2011 года. Это тоже подготовка к Мстителям, и главная цель картины - познакомить зрителя с Тором и Локи. Действие сюжета происходит параллельно с историей «Невероятного Халка» и «Железного человека 2».
5. Фильм «Первый мститель», 2011 года. В нем рассказывают о Капитане Америка - первом супергерое Земли, который, как и Халк, появился из-за сыворотки «суперсолдат». Первая и последняя сцены фильма происходят в 2011 году, а основные действия - в период с 1943 по 1945 годы. В фильме появляется Тессеракт, один из шести Камней Бесконечности, и выясняется, что «отцом» Щ.И.Т.а была организация СНР (Стратегический Научный Резерв).
6. Короткометражка «Консультант», 2011 года. Здесь разъясняется финальная сцена фильма «Невероятный Халк».
7. Короткометражка «Забавный случай по пути к молоту Тора», 2011 года.
8. Фильм «Мстители», 2012 года. Действие сюжета разворачивается в 2012 году, когда Щ.И.Т. ради спасения мира объявляет «общий сбор».

Вторая фаза:

1. Фильм «Железный человек 3», 2013 года. Действие происходит зимой 2012 года, когда Тони Старк возвращается домой после «Битвы за Нью-Йорк», но его мучают кошмары. Спать он не может, и посвящает свое время созданию новых костюмов.
2. Сериал «Агенты Щ.И.Т.а», 2013 года.
3. Фильм «Тор 2: Царство Тьмы», 2013 года. В картине рассказывают, как Тор вернулся домой и обнаружил, что все девять миров погружены в хаос. И о том, как Тор наводил порядок.
4. Короткометражка «Да здравствует король», 2014 год. Это история о Треворе Слеттери, которая происходит после событий фильма «Железный человек 3».
5. Фильм «Первый мститель: Другая Война», 2014 года. Это история о Капитане Америка, который не может вернуться домой, потому ищет себе новое дело и становится агентом Щ.И.Т.а, работая в команде с Черной Вдовой. Фильм лучше смотреть между 16 и 17 сериями «Агентов Щ.И.Т.а».
6. Фильм «Стражи Галактики», 2014 год. Смотреть надо после 1 сезона сериала «Агенты Щ.И.Т.а». Это история о преступниках вне Земли, которые создали команду, чтобы остановить более опасного преступника Ронана, и не дать ему получить Камень Бесконечности.
7. Сериал «Агенты Щ.И.Т.а», второй сезон, 2014 год.
8. Сериал «Агент Картер», 2016 год. Это история о том, как Пегги Картер и дворецкий Эдвин Джарвис помогают Говарду Старку вернуть его доброе имя.
9. Фильм «Мстители: Эра Альтрона», 2015 года. В этой картине Мстители снова собрались, чтобы спасти мир, но этот раз они стали полноценной командой. Смотреть лучше между 19 и 20 сериями второго сезона «Агентов Щ.И.Т.а».
10. Фильм «Человек-Муравей», 2015 года. Смотреть после 2 сезона сериала «Агенты Щ.И.Т.а».

Третья фаза:

1. Фильм «Первый Мститель: Противостояние», 2016 года. После «Заковийского договора» Мстители обязаны подчиняться правительству, но это разбивает их на два лагеря: тех, кто за регистрацию, и тех, кто против нее.

Это все фильмы, которые уже вышли в прокат. Но не вся история. В третьей фазе планируется еще 14 фильмов, а потом - четвертая фаза.

Связанная статья

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что "скучная теория" должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1

Вычислить а) $ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} $; б)$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} $

Решение

а) $$ \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty $$ б)$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$ Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ \text{a)} \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty \text{ б)}\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Пример 3

Решить $ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. $$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(-1)^2-1}{-1+1}=\frac{0}{0} $$ Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её :) Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование: $$ \lim \limits_{x \to -1}\frac{x^2-1}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1}\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ

$$ \lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $

Пример 5

Вычислить $ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{\infty}{\infty} $ Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное - возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем... $$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2(1-\frac{1}{x^2})}{x(1+\frac{1}{x})} = $$ $$ = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x(1-\frac{1}{x^2})}{(1+\frac{1}{x})} = $$ Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем: $$ = \frac{\infty(1-\frac{1}{\infty})}{(1+\frac{1}{\infty})} = \frac{\infty \cdot 1}{1+0} = \frac{\infty}{1} = \infty $$

Ответ

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2-1}{x+1} = \infty $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
2. Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
3. Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису - . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи - вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.

Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является сайт.