Условно-разделительное умозаключение - это такое умоза­ключение, в котором одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая является разделительным суждени­ем. В зависимости от числа членов в разделительной посылке это умозаключение может быть дилеммой (если разделительная по­сылка содержит два члена), трилеммой (если разделительная посылка содержит три члена) и вообще полилеммой (число раз­делительных членов больше двух).

Формализация дилеммы

Дилеммы бывают двух видов: конструктивные и деструктив­ные; обе формы дилеммы в свою очередь могут быть простыми и сложными.

Простая конструктивная дилемма

Это умозаключение состоит из двух посылок. В первой посыл­ке утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. Во второй посылке, которая является дизъюн­ктивным суждением, утверждается, что одно или другое из этих оснований истинно. В заключении утверждается следствие.

В традиционной формальной логике простую конструктив­ную дилемму обычно представляют в виде следующей схемы:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то С есть D .

А есть В или Е есть F .

________________

С есть D .

Приведем пример простой конструктивной дилеммы.

В романе В. Шукшина «Я пришел дать вам волю» написано так: «Давай думать, как быть. Две дороги домой: Кумой или Волгой. Обои закрыты. Там и тут надо пробиваться силой. Добром нас никакой дурак не пропустит. А раз такое дело, давай решим: где легче».

Простая конструктивная дилемма представлена в такой форме:

Если плыть Кумой (а), то надо пробиваться силой (Ь);

если плыть Волгой (с), то надо пробиваться силой (b ).

Можно плыть Кумой (а) или Волгой (с).

______________________________

Надо пробиваться силой (b ).

Выразим суждение «А есть В» переменной а, суждение «С есть D » - переменной b , суждение «Е есть F » - переменной с. Тогда схема простой конструктивной дилеммы выразится в виде следу­ющего правила вывода:

В данном случае формула указанного вида будет такова:

Доказательство тождественной истинности этой формулы мо­жно провести табличным методом. Приведем еще один пример простой конструктивной ди­леммы:

Если я пойду через речку по мосту, меня могут заметить враги;

если я пойду через речку вброд, меня тоже могут заметить враги.

Я могу идти через речку по мосту или вброд.

___________________________________

Меня могут заметить враги.

Сложная конструктивная дилемма

Это умозаключение строится из двух посылок. В первой посылке имеются два основания, из которых вытекают соответ­ственно два следствия; во второй посылке, которая представляет собой дизъюнктивное суждение, утверждается истинность одного или другого основания; в заключении утверждается истинность одного или другого следствия. Сложная конструктивная дилемма отличается от простой конструктивной дилеммы только тем, что оба следствия ее условной посылки различны, а не одинаковы.

Этот вид дилеммы значительно чаще встречается в мышлении людей, в сознании литературных героев, исторических деятелей, поэтому мы приведем пример из художественной литературы.

Т. Тэсс в рассказе «Поединок в море» описывает такую ситу­ацию. Танкер «Ростов» взял около десяти тысяч тонн автомо­бильного бензина и уже готовился в Туапсе к отплытию... Сейчас танкер должен сняться с якоря... Якорь уже вышел из воды... На лапе якоря висит авиабомба, пролежавшая на дне моря двадцать лет. Капитан танкера «Ростов» Александр Котляров думал не только о своем судне, а и о других танкерах, тоже залитых бензином и нефтью, стоящих неподалеку от причалов. «Сколько времени пройдет, пока из Севастополя в Туапсе придут минеры? Бомба может взорваться каждую минуту. Двадцать лет она пролежала под водой, а сейчас может взорваться от любой случайности».

Перед капитаном встала очень сложная дилемма:

Если я оставлю танкер в порту до прибытия минеров, то бомба может

взорваться и повредить много судов; если я уведу танкер в море,

то в случае взрыва пострадает только один танкер.

Я могу оставить танкер в порту до прибытия минеров или увести в море.

________________________________________

Могут пострадать много судов в порту, или в случае взрыва пострадает только один танкер.

Капитан принимает такое решение: «Немедленно, не дожида­ясь прибытия из Севастополя минеров, уйти из порта в море. Уйти, чтобы обезопасить другие суда, отплыть на такое расстояние, чтобы в случае взрыва опасность грозила только одному его танкеру. Уйти в море и там утопить бомбу». Танкер ушел из порта, и со второй попытки бомбу удалось утопить в море, а танкер не пострадал.

Так как дилемма означает сложный выбор из двух альтер­натив одной, причем обе они нежелательны для субъекта (такая ситуация характеризуется выражением «из двух зол выбирать наименьшее»), то в древности о дилемме говорили: «Посадить на рога дилеммы». В нашей речи встречается выражение: «Передо мной стоит дилемма» (т. е. сложный выбор).

Схема сложной конструктивной дилеммы:

Данная формула выражает закон логики, что можно доказать табличным способом.

Простая деструктивная дилемма

В этом умозаключении первая (условная) посылка указывает на то, что из одного и того же основания вытекают два различных следствия; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отри­цаний обоих этих следствий; в заключении отрицается основание.

Если человек болен сыпным тифом, то на 4-6-й день болезни у него будет высокая температура и появится сыпь.

У больного нет высокой температуры или нет сыпи.

____________________________________________

Этот человек не болен сыпным тифом.

Схема этой дилеммы:

Простая деструктивная дилемма может быть построена и по другой схеме:

Этой схеме соответствует формула

Сложная деструктивная дилемма

Дилемма такого вида содержит одну посылку, состоящую из двух условных суждений с разными основаниями и разными следствиями; вторая посылка есть дизъюнкция отрицаний обоих следствий; заключение является дизъюнкцией отрицаний обоих оснований. В форме, обычной для традиционной логики, слож­ную деструктивную дилемму можно представить в виде следу­ющей схемы:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то К есть М .

С не есть D или К не есть М.

___________________________

А не есть В или Е не есть F .

Примером рассуждения по форме сложной деструктивной дилем­мы может быть следующий вывод:

Если Петров честен, то, не выполнив задания сегодня, он признается в этом, а если Петров добросовестен, то он выполнит задание к следующему разу.

Но Петров не признался в том, что он сегодня не выполнилзадание, или не сделал его к следующему разу.

__________________________________________________

Петров не честен или не добросовестен 4 .

Схема сложной деструктивной дилеммы такая:

Этой схеме соответствует формула которая является законом логики.

В предыдущих схемах, соответствующих четырем видам ди­леммы, во второй (разделительной) посылке союз «или» взят в соединительно-разделительном смысле, т. е. взята нестрогая дизъюнкция (v). Будут ли формулы алгебры логики, соответст­вующие дилеммам (четыре вида), тождественно-истинными, если союз «или» употребляется в строго разделительном смысле, т. е. если взята строгая дизъюнкция (v)? Являются ли законами логики следующие формулы:

1) 2)

3) 4)

(Так как конъюнкция связывает «теснее», чем импликация, то скобки можно опустить.)

Автором этой книги показано 5 , что независимо от того, какая дизъюнкция (строгая или нестрогая) входит в соответст­вующие формулы, простым дилеммам (конструктивной и дест­руктивной) соответствуют законы логики. Сложным дилеммам (и конструктивной, и деструктивной) соответствуют законы логики лишь в том случае, если, союз «или» рассматривается как нестрогая дизъюнкция. Но в ходе рассуждения, построенного в форме сложной дилеммы, человек употребляет именно стро­гую дизъюнкцию, ибо перед ним две взаимоисключающие возможности (причем обе они нежелательны). Это несоответст­вие возникло из-за отсутствия полного совпадения смысла союза «если... то» и смысла материальной импликации (в двузначной логике).

Некоторые логики под дилеммой понимают такое умозак­лючение:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то G есть H .

Но С не есть D и G не есть H .

___________________________________

Следовательно, А не есть В и Е не есть F .

Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Если бы я был бесчестен, то я украл бы таковой.

Но я его не купил и не украду.

_______________________________

Я не богат и не бесчестен.

Но здесь вторая посылка и заключение являются конъюнктив­ными, а не дизъюнктивными суждениями (как это должно быть по правилам построения дилеммы), поэтому приведенное выше умозаключение не является дилеммой, так как в нем нет раз­делительной посылки, характерной для дилеммы. Это умозак­лючение есть простая сумма двух условно-категорических умоза­ключений, построенных по правилу modus tollens, который дает истинное заключение. Формула modus tollens такая:

1. Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Я не куплю автомобиль.

________________

Я не богат.

2. Если бы я был бесчестен, то я украл бы автомобиль.

Я не украду автомобиль.

_________________

Я не бесчестен.

Итак, перед нами условно-конъюнктивное, а не условно-дизъюн­ктивное (лемматическое) умозаключение.

Трилемма

Трилеммы, так же как и дилеммы, могут быть конструктив­ными и деструктивными; каждая из этих форм в свою очередь может быть простой или сложной. Простая конструктивная трилемма состоит из двух посылок и заключения. В первой посылке констатируется то, что из трех различных оснований вытекает одно и то же следствие; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию этих трех оснований; в заключении утвержда­ется следствие.

У данного больного или грипп, или острое респираторное заболевание, или ангина.

__________________________________________________

В сложной конструктивной трилемме первая посылка состоит из трех различных оснований и трех различных вытекающих из них следствий, т. е. содержит три условных суждения. Вторая посылка является дизъюнктивным суждением, в котором утверж­дается (по крайней мере) одно из трех оснований. В заключении утверждается (по крайней мере) одно из трех следствий.

Приведем пример сложной конструктивной трилеммы. В не­которых сказках говорится о надписях на перекрестках трех дорог, которые содержат, например, такого рода трилемму:

Кто поедет прямо, будет в холоде и голоде; кто поедет направо, тот сам останется цел, а конь будет убит; кто поедет налево, тот сам будет убит, а конь останется цел.

Человек может поехать либо прямо, либо направо, либо налево.

_____________________________________________________________

Он или будет в холоде и голоде, или сам останется цел, а конь будет убит, или сам будет убит, а конь останется цел.

Приведем еще пример трилеммы.

В своих воспоминаниях о Великой Отечественной войне Л. И. Баркович пишет об истории Ладожской дороги. Ладожс­кая дорога, Дорога жизни, была фронтом. Направляясь в Ленин-

град по Ладожскому озеру, Иван Игнатьевич Баркович, будучи шофером грузовой машины, взял с собой сына Леонида, так как вторую машину - полуторку вести было некому. В автоколонне сын двигался за машиной отца. Дорога была опасна. Враг дер­жал ее под огнем, лед расходился, образуя просветы. Вдруг машина отца остановилась - оказалось, кончился бензин.

Леонид Баркович рассуждает:

«У моей машины горючее тоже было на исходе. Переливать половину оставшегося бензина в бак отцовского «газика» было глупо - горючее могло кончиться раньше, чем мы добрались бы до берега.

Поехать вперед, сообщить, что тут стоит машина? Но по­мощь может прийти поздно...

Взять на буксир его машину - лед мог не выдержать».

Леонид принял решение: «Давай трос! На буксире у меня войдешь!» Добрались благополучно.

Деструктивные трилеммы, так же как и деструктивные ди­леммы, бывают простые и сложные. Структура их аналогична структуре дилеммы, только предусматриваются не две, а три возможные альтернативы.

Приведем пример простой деструктивной трилеммы.

Если в ближайшее время погода ухудшится» то у него будут болеть суставы, повысится артериальное давление и будет ломить поясница.

Известно, что у него или не болят суставы, или не повысилось артериаль­ное давление, или не ломит поясница.

__________________________________________

В ближайшее время погода не ухудшится.

В математике структура трилеммы используется тогда, когда возникают три возможных варианта решения задачи, доказатель­ства теоремы и предстоит выбор одного из них.

Сокращенные условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения

Категорический силлогизм в мышлении часто употребляется в сокращенной форме - в форме энтимемы. Сокращенными мо­гут быть не только простые категорические силлогизмы, но и условные, и разделительные, и условно-разделительные умоза­ключения, в которых может быть пропущена либо одна из посы­лок, либо заключение. Рассмотрим типы таких сокращенных умозаключений.

1. В умозаключении заключение в явном виде может не формулироваться. «Если данное тело - металл, то оно при на­ревании расширяется. Данное тело - металл». Заключение Данное тело при нагревании расширяется» не формулируетсяв явном виде, а просто подразумевается в этом условно-катего­рическом умозаключении.

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозак­лючении также пропущено заключение. «Многоугольники делят­ся на правильные и неправильные. Данный многоугольник непра­вильный». Заключение «Данный многоугольник не является пра­вильным» опущено; оно легко может быть восстановлено.

В дилеммах и трилеммах заключение также может явно не формулироваться, а подразумеваться. Например, в приведенной ниже сложной деструктивной дилемме заключение явно не при­сутствует:

«Если соблюдать правила хранения зерна, то не произойдет его самозагорания, а если организовать хорошую охрану зернохранилища, то не произойдет умышленного поджога. Данный пожар произошел либо от самозагорания зерна, либо от умыш­ленного поджога». Заключение - «В данном зернохранилище либо не соблюдаются правила хранения зерна, либо не налажена охрана» - подразумевается, а не высказывается в явной форме.

2. В умозаключении пропущена одна из посылок. В умозак­лючениях может быть пропущена первая посылка; она может подразумеваться, если выражает известное положение, теорему, закон и т. д.

В условно-категорическом умозаключении «Сумма цифр дан­ного числа делится на 3, следовательно, данное число делится на 3» опущена первая посылка, формулирующая известную матема­тическую закономерность: «Если сумма цифр данного числа делится на 3, то все число делится на 3».

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозак­лючении также пропущена первая посылка: «Существительное в русском языке может быть женского, мужского или среднего рода», а все умозаключение сокращенно формулируется так: «Данное существительное русского языка не является сущест­вительным ни женского рода, ни среднего рода. Следовательно, данное существительное мужского рода».

В приведенном ниже примере сложной конструктивной дилем­мы: «Если я пойду через болото, то могу попасть в трясину, а если я пойду в обход, то не успею вовремя доставить донесение. Следовательно, я могу попасть в трясину или не успею вовремя доставить донесение» - вторая посылка не формулируется, а лишь подразумевается: «Я могу идти через болото или в обход».

Можно было бы привести и другие примеры сокращенных умозаключений: чисто условных, условно-категорических, чисто разделительных, разделительно-категорических, условно-разде­лительных (дилемм, трилемм) с пропущенной первой или второй посылкой, - но предоставляем это самостоятельно сделать чи­тателю.

Итак, рассмотренные нами прямые выводы, такие, как чисто условные, чисто разделительные, условно-категорические, разде­лительно-категорические и условно-разделительные (лемматические) умозаключения, сформулированные полностью и сокра­щенные (т. е. в которых пропущена либо одна из посылок, либо заключение), широко используются в процессе научного и обы­денного мышления, в процессе обучения в школе и в вузе. Поэто­му знание правил построения этих видов умозаключений пре­достережет от логических ошибок в мышлении, поможет до­казательнее, аргументированнее строить свои рассуждения и сде­лать более эффективным обучение учащихся и студентов.

Прямые выводы кроме рассмотренных выше форм включают и такие виды:

1. Простая контрапозиция.

Правило простой контрапозиции имеет следующий вид:

а имплицирует b , то отрица­ние b имплицирует отрицание а ». Здесь а и b - переменные, обозначающие произвольные высказывания, или пропозицио­нальные переменные.

1. Если данный треугольник равносторонний, то он равноугольный.

____________________________________________________________________

Если данный треугольник не равноугольный, то он не равносторонний.

2. Если это вещество фосфор, то оно непосредственно с водородом не сое­диняется.

_____________________________________________________________________________________

Если вещество непосредственно с водородом соединяется, то это вещество не является фосфором.

Заметим, что в логике высказываний

Формуланазывается законом простой контрапозиции.

2. Сложная контрапозиция.

- правило сложной контрапозиции.

Пример рассуждения по правилу сложной контрапозиции:

Если у меня будут деньги и я буду здорова, то я поеду домой на каникулы.

________________________________________________________________________

Если у меня были деньги и я не поехала на каникулы домой, то, следовательно, а не была здорова.

3. Правило импортации (конъюнктивного объединения условий). П. С. Новиков называет его правилом соединения посылок:

Это правило читается так: «Если а имплицирует, что b имп­лицирует с, то а и b имплицируют с».

В. А. Сухомлинский писал: «Если учитель стал другом ребен­ка, если эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, в сердце ребенка никогда не появится зло». На основании правила соединения посылок (пра­вила конъюнктивного объединения условий) мы можем это вы­сказывание В. А. Сухомлинского записать иначе, но оно будет эквивалентно прежнему его высказыванию. Заключение: «Если учитель стал другом ребенка и эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, то в сердце ребенка никогда не появится зло».

4. Правило экспортации (разъединения условий):

Это правило читается так: «Если а и b имплицируют с, то а имплицирует, что b имплицирует с. Правило это обратно предыдущему. Поэтому в качестве иллюстрации можно взять те же мысли В. А. Сухомлинского, только сначала прочитать наше полученное заключение, из которого можно прийти к высказыва­нию самого В. А. Сухомлинского.

Условно-разделительное умозаключение - это такое умоза­ключение, в котором одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая является разделительным суждени­ем. В зависимости от числа членов в разделительной посылке это умозаключение может быть дилеммой (если разделительная по­сылка содержит два члена), трилеммой (если разделительная посылка содержит три члена) и вообще полилеммой (число раз­делительных членов больше двух).

Формализация дилеммы

Дилеммы бывают двух видов: конструктивные и деструктив­ные; обе формы дилеммы в свою очередь могут быть простыми и сложными.

Простая конструктивная дилемма

Это умозаключение состоит из двух посылок. В первой посыл­ке утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. Во второй посылке, которая является дизъюн­ктивным суждением, утверждается, что одно или другое из этих оснований истинно. В заключении утверждается следствие.

В традиционной формальной логике простую конструктив­ную дилемму обычно представляют в виде следующей схемы:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то С есть D .

А есть В или Е есть F .

________________

С есть D .

Приведем пример простой конструктивной дилеммы.

В романе В. Шукшина «Я пришел дать вам волю» написано так: «Давай думать, как быть. Две дороги домой: Кумой или Волгой. Обои закрыты. Там и тут надо пробиваться силой. Добром нас никакой дурак не пропустит. А раз такое дело, давай решим: где легче».

Простая конструктивная дилемма представлена в такой форме:

Если плыть Кумой (а), то надо пробиваться силой (Ь);

если плыть Волгой (с), то надо пробиваться силой (b ).

Можно плыть Кумой (а) или Волгой (с).

______________________________

Надо пробиваться силой (b ).

Выразим суждение «А есть В» переменной а, суждение «С есть D » - переменной b , суждение «Е есть F » - переменной с. Тогда схема простой конструктивной дилеммы выразится в виде следу­ющего правила вывода:

В данном случае формула указанного вида будет такова:

Доказательство тождественной истинности этой формулы мо­жно провести табличным методом. Приведем еще один пример простой конструктивной ди­леммы:

Если я пойду через речку по мосту, меня могут заметить враги;

если я пойду через речку вброд, меня тоже могут заметить враги.

Я могу идти через речку по мосту или вброд.

___________________________________

Меня могут заметить враги.

Сложная конструктивная дилемма

Это умозаключение строится из двух посылок. В первой посылке имеются два основания, из которых вытекают соответ­ственно два следствия; во второй посылке, которая представляет собой дизъюнктивное суждение, утверждается истинность одного или другого основания; в заключении утверждается истинность одного или другого следствия. Сложная конструктивная дилемма отличается от простой конструктивной дилеммы только тем, что оба следствия ее условной посылки различны, а не одинаковы.

Этот вид дилеммы значительно чаще встречается в мышлении людей, в сознании литературных героев, исторических деятелей, поэтому мы приведем пример из художественной литературы.

Т. Тэсс в рассказе «Поединок в море» описывает такую ситу­ацию. Танкер «Ростов» взял около десяти тысяч тонн автомо­бильного бензина и уже готовился в Туапсе к отплытию... Сейчас танкер должен сняться с якоря... Якорь уже вышел из воды... На лапе якоря висит авиабомба, пролежавшая на дне моря двадцать лет. Капитан танкера «Ростов» Александр Котляров думал не только о своем судне, а и о других танкерах, тоже залитых бензином и нефтью, стоящих неподалеку от причалов. «Сколько времени пройдет, пока из Севастополя в Туапсе придут минеры? Бомба может взорваться каждую минуту. Двадцать лет она пролежала под водой, а сейчас может взорваться от любой случайности».

Перед капитаном встала очень сложная дилемма:

Если я оставлю танкер в порту до прибытия минеров, то бомба может

взорваться и повредить много судов; если я уведу танкер в море,

то в случае взрыва пострадает только один танкер.

Я могу оставить танкер в порту до прибытия минеров или увести в море.

________________________________________

Могут пострадать много судов в порту, или в случае взрыва пострадает только один танкер.

Капитан принимает такое решение: «Немедленно, не дожида­ясь прибытия из Севастополя минеров, уйти из порта в море. Уйти, чтобы обезопасить другие суда, отплыть на такое расстояние, чтобы в случае взрыва опасность грозила только одному его танкеру. Уйти в море и там утопить бомбу». Танкер ушел из порта, и со второй попытки бомбу удалось утопить в море, а танкер не пострадал.

Так как дилемма означает сложный выбор из двух альтер­натив одной, причем обе они нежелательны для субъекта (такая ситуация характеризуется выражением «из двух зол выбирать наименьшее»), то в древности о дилемме говорили: «Посадить на рога дилеммы». В нашей речи встречается выражение: «Передо мной стоит дилемма» (т. е. сложный выбор).

Схема сложной конструктивной дилеммы:

Данная формула выражает закон логики, что можно доказать табличным способом.

Простая деструктивная дилемма

В этом умозаключении первая (условная) посылка указывает на то, что из одного и того же основания вытекают два различных следствия; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отри­цаний обоих этих следствий; в заключении отрицается основание.

Если человек болен сыпным тифом, то на 4-6-й день болезни у него будет высокая температура и появится сыпь.

У больного нет высокой температуры или нет сыпи.

____________________________________________

Этот человек не болен сыпным тифом.

Схема этой дилеммы:

Простая деструктивная дилемма может быть построена и по другой схеме:

Этой схеме соответствует формула

Сложная деструктивная дилемма

Дилемма такого вида содержит одну посылку, состоящую из двух условных суждений с разными основаниями и разными следствиями; вторая посылка есть дизъюнкция отрицаний обоих следствий; заключение является дизъюнкцией отрицаний обоих оснований. В форме, обычной для традиционной логики, слож­ную деструктивную дилемму можно представить в виде следу­ющей схемы:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то К есть М .

С не есть D или К не есть М.

___________________________

А не есть В или Е не есть F .

Примером рассуждения по форме сложной деструктивной дилем­мы может быть следующий вывод:

Если Петров честен, то, не выполнив задания сегодня, он признается в этом, а если Петров добросовестен, то он выполнит задание к следующему разу.

Но Петров не признался в том, что он сегодня не выполнилзадание, или не сделал его к следующему разу.

__________________________________________________

Петров не честен или не добросовестен 4 .

Схема сложной деструктивной дилеммы такая:

Этой схеме соответствует формула которая является законом логики.

В предыдущих схемах, соответствующих четырем видам ди­леммы, во второй (разделительной) посылке союз «или» взят в соединительно-разделительном смысле, т. е. взята нестрогая дизъюнкция (v). Будут ли формулы алгебры логики, соответст­вующие дилеммам (четыре вида), тождественно-истинными, если союз «или» употребляется в строго разделительном смысле, т. е. если взята строгая дизъюнкция (v)? Являются ли законами логики следующие формулы:

1) 2)

3) 4)

(Так как конъюнкция связывает «теснее», чем импликация, то скобки можно опустить.)

Автором этой книги показано 5 , что независимо от того, какая дизъюнкция (строгая или нестрогая) входит в соответст­вующие формулы, простым дилеммам (конструктивной и дест­руктивной) соответствуют законы логики. Сложным дилеммам (и конструктивной, и деструктивной) соответствуют законы логики лишь в том случае, если, союз «или» рассматривается как нестрогая дизъюнкция. Но в ходе рассуждения, построенного в форме сложной дилеммы, человек употребляет именно стро­гую дизъюнкцию, ибо перед ним две взаимоисключающие возможности (причем обе они нежелательны). Это несоответст­вие возникло из-за отсутствия полного совпадения смысла союза «если... то» и смысла материальной импликации (в двузначной логике).

Некоторые логики под дилеммой понимают такое умозак­лючение:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то G есть H .

Но С не есть D и G не есть H .

___________________________________

Следовательно, А не есть В и Е не есть F .

Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Если бы я был бесчестен, то я украл бы таковой.

Но я его не купил и не украду.

_______________________________

Я не богат и не бесчестен.

Но здесь вторая посылка и заключение являются конъюнктив­ными, а не дизъюнктивными суждениями (как это должно быть по правилам построения дилеммы), поэтому приведенное выше умозаключение не является дилеммой, так как в нем нет раз­делительной посылки, характерной для дилеммы. Это умозак­лючение есть простая сумма двух условно-категорических умоза­ключений, построенных по правилу modus tollens, который дает истинное заключение. Формула modus tollens такая:

1. Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Я не куплю автомобиль.

________________

Я не богат.

2. Если бы я был бесчестен, то я украл бы автомобиль.

Я не украду автомобиль.

_________________

Я не бесчестен.

Итак, перед нами условно-конъюнктивное, а не условно-дизъюн­ктивное (лемматическое) умозаключение.

Трилемма

Трилеммы, так же как и дилеммы, могут быть конструктив­ными и деструктивными; каждая из этих форм в свою очередь может быть простой или сложной. Простая конструктивная трилемма состоит из двух посылок и заключения. В первой посылке констатируется то, что из трех различных оснований вытекает одно и то же следствие; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию этих трех оснований; в заключении утвержда­ется следствие.

У данного больного или грипп, или острое респираторное заболевание, или ангина.

__________________________________________________

В сложной конструктивной трилемме первая посылка состоит из трех различных оснований и трех различных вытекающих из них следствий, т. е. содержит три условных суждения. Вторая посылка является дизъюнктивным суждением, в котором утверж­дается (по крайней мере) одно из трех оснований. В заключении утверждается (по крайней мере) одно из трех следствий.

Приведем пример сложной конструктивной трилеммы. В не­которых сказках говорится о надписях на перекрестках трех дорог, которые содержат, например, такого рода трилемму:

Кто поедет прямо, будет в холоде и голоде; кто поедет направо, тот сам останется цел, а конь будет убит; кто поедет налево, тот сам будет убит, а конь останется цел.

Человек может поехать либо прямо, либо направо, либо налево.

_____________________________________________________________

Он или будет в холоде и голоде, или сам останется цел, а конь будет убит, или сам будет убит, а конь останется цел.

Приведем еще пример трилеммы.

В своих воспоминаниях о Великой Отечественной войне Л. И. Баркович пишет об истории Ладожской дороги. Ладожс­кая дорога, Дорога жизни, была фронтом. Направляясь в Ленин-

град по Ладожскому озеру, Иван Игнатьевич Баркович, будучи шофером грузовой машины, взял с собой сына Леонида, так как вторую машину - полуторку вести было некому. В автоколонне сын двигался за машиной отца. Дорога была опасна. Враг дер­жал ее под огнем, лед расходился, образуя просветы. Вдруг машина отца остановилась - оказалось, кончился бензин.

Леонид Баркович рассуждает:

«У моей машины горючее тоже было на исходе. Переливать половину оставшегося бензина в бак отцовского «газика» было глупо - горючее могло кончиться раньше, чем мы добрались бы до берега.

Поехать вперед, сообщить, что тут стоит машина? Но по­мощь может прийти поздно...

Взять на буксир его машину - лед мог не выдержать».

Леонид принял решение: «Давай трос! На буксире у меня войдешь!» Добрались благополучно.

Деструктивные трилеммы, так же как и деструктивные ди­леммы, бывают простые и сложные. Структура их аналогична структуре дилеммы, только предусматриваются не две, а три возможные альтернативы.

Приведем пример простой деструктивной трилеммы.

Если в ближайшее время погода ухудшится» то у него будут болеть суставы, повысится артериальное давление и будет ломить поясница.

Известно, что у него или не болят суставы, или не повысилось артериаль­ное давление, или не ломит поясница.

__________________________________________

В ближайшее время погода не ухудшится.

В математике структура трилеммы используется тогда, когда возникают три возможных варианта решения задачи, доказатель­ства теоремы и предстоит выбор одного из них.

Сокращенные условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения

Категорический силлогизм в мышлении часто употребляется в сокращенной форме - в форме энтимемы. Сокращенными мо­гут быть не только простые категорические силлогизмы, но и условные, и разделительные, и условно-разделительные умоза­ключения, в которых может быть пропущена либо одна из посы­лок, либо заключение. Рассмотрим типы таких сокращенных умозаключений.

1. В умозаключении заключение в явном виде может не формулироваться. «Если данное тело - металл, то оно при на­ревании расширяется. Данное тело - металл». Заключение Данное тело при нагревании расширяется» не формулируетсяв явном виде, а просто подразумевается в этом условно-катего­рическом умозаключении.

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозак­лючении также пропущено заключение. «Многоугольники делят­ся на правильные и неправильные. Данный многоугольник непра­вильный». Заключение «Данный многоугольник не является пра­вильным» опущено; оно легко может быть восстановлено.

В дилеммах и трилеммах заключение также может явно не формулироваться, а подразумеваться. Например, в приведенной ниже сложной деструктивной дилемме заключение явно не при­сутствует:

«Если соблюдать правила хранения зерна, то не произойдет его самозагорания, а если организовать хорошую охрану зернохранилища, то не произойдет умышленного поджога. Данный пожар произошел либо от самозагорания зерна, либо от умыш­ленного поджога». Заключение - «В данном зернохранилище либо не соблюдаются правила хранения зерна, либо не налажена охрана» - подразумевается, а не высказывается в явной форме.

2. В умозаключении пропущена одна из посылок. В умозак­лючениях может быть пропущена первая посылка; она может подразумеваться, если выражает известное положение, теорему, закон и т. д.

В условно-категорическом умозаключении «Сумма цифр дан­ного числа делится на 3, следовательно, данное число делится на 3» опущена первая посылка, формулирующая известную матема­тическую закономерность: «Если сумма цифр данного числа делится на 3, то все число делится на 3».

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозак­лючении также пропущена первая посылка: «Существительное в русском языке может быть женского, мужского или среднего рода», а все умозаключение сокращенно формулируется так: «Данное существительное русского языка не является сущест­вительным ни женского рода, ни среднего рода. Следовательно, данное существительное мужского рода».

В приведенном ниже примере сложной конструктивной дилем­мы: «Если я пойду через болото, то могу попасть в трясину, а если я пойду в обход, то не успею вовремя доставить донесение. Следовательно, я могу попасть в трясину или не успею вовремя доставить донесение» - вторая посылка не формулируется, а лишь подразумевается: «Я могу идти через болото или в обход».

Можно было бы привести и другие примеры сокращенных умозаключений: чисто условных, условно-категорических, чисто разделительных, разделительно-категорических, условно-разде­лительных (дилемм, трилемм) с пропущенной первой или второй посылкой, - но предоставляем это самостоятельно сделать чи­тателю.

Итак, рассмотренные нами прямые выводы, такие, как чисто условные, чисто разделительные, условно-категорические, разде­лительно-категорические и условно-разделительные (лемматические) умозаключения, сформулированные полностью и сокра­щенные (т. е. в которых пропущена либо одна из посылок, либо заключение), широко используются в процессе научного и обы­денного мышления, в процессе обучения в школе и в вузе. Поэто­му знание правил построения этих видов умозаключений пре­достережет от логических ошибок в мышлении, поможет до­казательнее, аргументированнее строить свои рассуждения и сде­лать более эффективным обучение учащихся и студентов.

Прямые выводы кроме рассмотренных выше форм включают и такие виды:

1. Простая контрапозиция.

Правило простой контрапозиции имеет следующий вид:

а имплицирует b , то отрица­ние b имплицирует отрицание а ». Здесь а и b - переменные, обозначающие произвольные высказывания, или пропозицио­нальные переменные.

1. Если данный треугольник равносторонний, то он равноугольный.

____________________________________________________________________

Если данный треугольник не равноугольный, то он не равносторонний.

2. Если это вещество фосфор, то оно непосредственно с водородом не сое­диняется.

_____________________________________________________________________________________

Если вещество непосредственно с водородом соединяется, то это вещество не является фосфором.

Заметим, что в логике высказываний

Формуланазывается законом простой контрапозиции.

2. Сложная контрапозиция.

- правило сложной контрапозиции.

Пример рассуждения по правилу сложной контрапозиции:

Если у меня будут деньги и я буду здорова, то я поеду домой на каникулы.

________________________________________________________________________

Если у меня были деньги и я не поехала на каникулы домой, то, следовательно, а не была здорова.

3. Правило импортации (конъюнктивного объединения условий). П. С. Новиков называет его правилом соединения посылок:

Это правило читается так: «Если а имплицирует, что b имп­лицирует с, то а и b имплицируют с».

В. А. Сухомлинский писал: «Если учитель стал другом ребен­ка, если эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, в сердце ребенка никогда не появится зло». На основании правила соединения посылок (пра­вила конъюнктивного объединения условий) мы можем это вы­сказывание В. А. Сухомлинского записать иначе, но оно будет эквивалентно прежнему его высказыванию. Заключение: «Если учитель стал другом ребенка и эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, то в сердце ребенка никогда не появится зло».

4. Правило экспортации (разъединения условий):

Это правило читается так: «Если а и b имплицируют с, то а имплицирует, что b имплицирует с. Правило это обратно предыдущему. Поэтому в качестве иллюстрации можно взять те же мысли В. А. Сухомлинского, только сначала прочитать наше полученное заключение, из которого можно прийти к высказыва­нию самого В. А. Сухомлинского.

§ 9. УСЛОВНО-РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ (ЛЕММАТИЧЕСКИЕ) УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Условно-разделительное умозаключение - это такое умоза­ключение, в котором одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая является разделительным суждени­ем. В зависимости от числа членов в разделительной посылке это умозаключение может быть дилеммой (если разделительная по­сылка содержит два члена), трилеммой (если разделительная посылка содержит три члена) и вообще полилеммой (число раз­делительных членов больше двух).
Формализация дилеммы

Дилеммы бывают двух видов: конструктивные и деструктив­ные; обе формы дилеммы в свою очередь могут быть простыми и сложными.
Простая конструктивная дилемма

Это умозаключение состоит из двух посылок. В первой посыл­ке утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. Во второй посылке, которая является дизъюн­ктивным суждением, утверждается, что одно или другое из этих оснований истинно. В заключении утверждается следствие.

В традиционной формальной логике простую конструктив­ную дилемму обычно представляют в виде следующей схемы:
Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то С есть D .

А есть В или Е есть F .

________________

С есть D .
Приведем пример простой конструктивной дилеммы.

В романе В. Шукшина «Я пришел дать вам волю» написано так: «Давай думать, как быть. Две дороги домой: Кумой или Волгой. Обои закрыты. Там и тут надо пробиваться силой. Добром нас никакой дурак не пропустит. А раз такое дело, давай решим: где легче».

Простая конструктивная дилемма представлена в такой форме:
Если плыть Кумой (а), то надо пробиваться силой (Ь);

если плыть Волгой (с), то надо пробиваться силой (b ).

Можно плыть Кумой (а) или Волгой (с).

______________________________

Надо пробиваться силой (b ).
Выразим суждение «А есть В» переменной а, суждение «С есть D » - переменной b , суждение «Е есть F » - переменной с. Тогда схема простой конструктивной дилеммы выразится в виде следу­ющего правила вывода:

В данном случае формула указанного вида будет такова:

Доказательство тождественной истинности этой формулы мо­жно провести табличным методом. Приведем еще один пример простой конструктивной ди­леммы:
Если я пойду через речку по мосту, меня могут заметить враги;

если я пойду через речку вброд, меня тоже могут заметить враги.

Я могу идти через речку по мосту или вброд.

___________________________________

Меня могут заметить враги.
Сложная конструктивная дилемма

Это умозаключение строится из двух посылок. В первой посылке имеются два основания, из которых вытекают соответ­ственно два следствия; во второй посылке, которая представляет собой дизъюнктивное суждение, утверждается истинность одного или другого основания; в заключении утверждается истинность одного или другого следствия. Сложная конструктивная дилемма отличается от простой конструктивной дилеммы только тем, что оба следствия ее условной посылки различны, а не одинаковы.

Этот вид дилеммы значительно чаще встречается в мышлении людей, в сознании литературных героев, исторических деятелей, поэтому мы приведем пример из художественной литературы.

Т. Тэсс в рассказе «Поединок в море» описывает такую ситу­ацию. Танкер «Ростов» взял около десяти тысяч тонн автомо­бильного бензина и уже готовился в Туапсе к отплытию... Сейчас танкер должен сняться с якоря... Якорь уже вышел из воды... На лапе якоря висит авиабомба, пролежавшая на дне моря двадцать лет. Капитан танкера «Ростов» Александр Котляров думал не только о своем судне, а и о других танкерах, тоже залитых бензином и нефтью, стоящих неподалеку от причалов. «Сколько времени пройдет, пока из Севастополя в Туапсе придут минеры? Бомба может взорваться каждую минуту. Двадцать лет она пролежала под водой, а сейчас может взорваться от любой случайности».

Перед капитаном встала очень сложная дилемма:
Если я оставлю танкер в порту до прибытия минеров, то бомба может

взорваться и повредить много судов; если я уведу танкер в море,

то в случае взрыва пострадает только один танкер.

Я могу оставить танкер в порту до прибытия минеров или увести в море.

________________________________________

Могут пострадать много судов в порту, или в случае взрыва пострадает только один танкер.
Капитан принимает такое решение: «Немедленно, не дожида­ясь прибытия из Севастополя минеров, уйти из порта в море. Уйти, чтобы обезопасить другие суда, отплыть на такое расстояние, чтобы в случае взрыва опасность грозила только одному его танкеру. Уйти в море и там утопить бомбу». Танкер ушел из порта, и со второй попытки бомбу удалось утопить в море, а танкер не пострадал.

Так как дилемма означает сложный выбор из двух альтер­натив одной, причем обе они нежелательны для субъекта (такая ситуация характеризуется выражением «из двух зол выбирать наименьшее»), то в древности о дилемме говорили: «Посадить на рога дилеммы». В нашей речи встречается выражение: «Передо мной стоит дилемма» (т. е. сложный выбор).

Схема сложной конструктивной дилеммы:

Данная формула выражает закон логики, что можно доказать табличным способом.

Простая деструктивная дилемма

В этом умозаключении первая (условная) посылка указывает на то, что из одного и того же основания вытекают два различных следствия; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отри­цаний обоих этих следствий; в заключении отрицается основание.

Пример:
Если человек болен сыпным тифом, то на 4-6-й день болезни у него будет высокая температура и появится сыпь.

У больного нет высокой температуры или нет сыпи.

____________________________________________

Этот человек не болен сыпным тифом.
Схема этой дилеммы:

Простая деструктивная дилемма может быть построена и по другой схеме:

Этой схеме соответствует формула

Сложная деструктивная дилемма

Дилемма такого вида содержит одну посылку, состоящую из двух условных суждений с разными основаниями и разными следствиями; вторая посылка есть дизъюнкция отрицаний обоих следствий; заключение является дизъюнкцией отрицаний обоих оснований. В форме, обычной для традиционной логики, слож­ную деструктивную дилемму можно представить в виде следу­ющей схемы:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то К есть М .

С не есть D или К не есть М.

___________________________

А не есть В или Е не есть F .
Примером рассуждения по форме сложной деструктивной дилем­мы может быть следующий вывод:
Если Петров честен, то, не выполнив задания сегодня, он признается в этом, а если Петров добросовестен, то он выполнит задание к следующему разу.

Но Петров не признался в том, что он сегодня не выполнилзадание, или не сделал его к следующему разу.

__________________________________________________

Петров не честен или не добросовестен 4 .
Схема сложной деструктивной дилеммы такая:

Этой схеме соответствует формула которая является законом логики.

В предыдущих схемах, соответствующих четырем видам ди­леммы, во второй (разделительной) посылке союз «или» взят в соединительно-разделительном смысле, т. е. взята нестрогая дизъюнкция (v). Будут ли формулы алгебры логики, соответст­вующие дилеммам (четыре вида), тождественно-истинными, если союз «или» употребляется в строго разделительном смысле, т. е. если взята строгая дизъюнкция (v)? Являются ли законами логики следующие формулы:

1) 2)

3) 4)

(Так как конъюнкция связывает «теснее», чем импликация, то скобки можно опустить.)

Автором этой книги показано 5 , что независимо от того, какая дизъюнкция (строгая или нестрогая) входит в соответст­вующие формулы, простым дилеммам (конструктивной и дест­руктивной) соответствуют законы логики. Сложным дилеммам (и конструктивной, и деструктивной) соответствуют законы логики лишь в том случае, если, союз «или» рассматривается как нестрогая дизъюнкция. Но в ходе рассуждения, построенного в форме сложной дилеммы, человек употребляет именно стро­гую дизъюнкцию, ибо перед ним две взаимоисключающие возможности (причем обе они нежелательны). Это несоответст­вие возникло из-за отсутствия полного совпадения смысла союза «если... то» и смысла материальной импликации (в двузначной логике).

Некоторые логики под дилеммой понимают такое умозак­лючение:
Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F , то G есть H .

Но С не есть D и G не есть H .

___________________________________

Следовательно, А не есть В и Е не есть F .
Пример:

Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Если бы я был бесчестен, то я украл бы таковой.

Но я его не купил и не украду.

_______________________________

Я не богат и не бесчестен.
Но здесь вторая посылка и заключение являются конъюнктив­ными, а не дизъюнктивными суждениями (как это должно быть по правилам построения дилеммы), поэтому приведенное выше умозаключение не является дилеммой, так как в нем нет раз­делительной посылки, характерной для дилеммы. Это умозак­лючение есть простая сумма двух условно-категорических умоза­ключений, построенных по правилу modus tollens, который дает истинное заключение. Формула modus tollens такая:

1. Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Я не куплю автомобиль.

________________

Я не богат.
2. Если бы я был бесчестен, то я украл бы автомобиль.

Я не украду автомобиль.

_________________

Я не бесчестен.
Итак, перед нами условно-конъюнктивное, а не условно-дизъюн­ктивное (лемматическое) умозаключение.
Трилемма

Трилеммы, так же как и дилеммы, могут быть конструктив­ными и деструктивными; каждая из этих форм в свою очередь может быть простой или сложной. Простая конструктивная трилемма состоит из двух посылок и заключения. В первой посылке констатируется то, что из трех различных оснований вытекает одно и то же следствие; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию этих трех оснований; в заключении утвержда­ется следствие.
Если у больного грипп, то рекомендуется обратиться к врачу; если у больного

У данного больного или грипп, или острое респираторное заболевание, или ангина.

__________________________________________________

Данному больному рекомендуется обратиться к врачу.
В сложной конструктивной трилемме первая посылка состоит из трех различных оснований и трех различных вытекающих из них следствий, т. е. содержит три условных суждения. Вторая посылка является дизъюнктивным суждением, в котором утверж­дается (по крайней мере) одно из трех оснований. В заключении утверждается (по крайней мере) одно из трех следствий.

Приведем пример сложной конструктивной трилеммы. В не­которых сказках говорится о надписях на перекрестках трех дорог, которые содержат, например, такого рода трилемму:
Кто поедет прямо, будет в холоде и голоде; кто поедет направо, тот сам останется цел, а конь будет убит; кто поедет налево, тот сам будет убит, а конь останется цел.

Человек может поехать либо прямо, либо направо, либо налево.

_____________________________________________________________

Он или будет в холоде и голоде, или сам останется цел, а конь будет убит, или сам будет убит, а конь останется цел.
Приведем еще пример трилеммы.
В своих воспоминаниях о Великой Отечественной войне Л. И. Баркович пишет об истории Ладожской дороги. Ладожс­кая дорога, Дорога жизни, была фронтом. Направляясь в Ленин-

град по Ладожскому озеру, Иван Игнатьевич Баркович, будучи шофером грузовой машины, взял с собой сына Леонида, так как вторую машину - полуторку вести было некому. В автоколонне сын двигался за машиной отца. Дорога была опасна. Враг дер­жал ее под огнем, лед расходился, образуя просветы. Вдруг машина отца остановилась - оказалось, кончился бензин.

Леонид Баркович рассуждает:

«У моей машины горючее тоже было на исходе. Переливать половину оставшегося бензина в бак отцовского «газика» было глупо - горючее могло кончиться раньше, чем мы добрались бы до берега.

Поехать вперед, сообщить, что тут стоит машина? Но по­мощь может прийти поздно...

Взять на буксир его машину - лед мог не выдержать».

Леонид принял решение: «Давай трос! На буксире у меня войдешь!» Добрались благополучно.

Деструктивные трилеммы, так же как и деструктивные ди­леммы, бывают простые и сложные. Структура их аналогична структуре дилеммы, только предусматриваются не две, а три возможные альтернативы.

Приведем пример простой деструктивной трилеммы.
Если в ближайшее время погода ухудшится» то у него будут болеть суставы, повысится артериальное давление и будет ломить поясница.

Известно, что у него или не болят суставы, или не повысилось артериаль­ное давление, или не ломит поясница.

__________________________________________

В ближайшее время погода не ухудшится.
В математике структура трилеммы используется тогда, когда возникают три возможных варианта решения задачи, доказатель­ства теоремы и предстоит выбор одного из них.
Сокращенные условные, разделительные и условно-разделительные умозаключения

Категорический силлогизм в мышлении часто употребляется в сокращенной форме - в форме энтимемы. Сокращенными мо­гут быть не только простые категорические силлогизмы, но и условные, и разделительные, и условно-разделительные умоза­ключения, в которых может быть пропущена либо одна из посы­лок, либо заключение. Рассмотрим типы таких сокращенных умозаключений.

1. В умозаключении заключение в явном виде может не формулироваться. «Если данное тело - металл, то оно при на­ревании расширяется. Данное тело - металл». Заключение Данное тело при нагревании расширяется» не формулируетсяв явном виде, а просто подразумевается в этом условно-катего­рическом умозаключении.

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозак­лючении также пропущено заключение. «Многоугольники делят­ся на правильные и неправильные. Данный многоугольник непра­вильный». Заключение «Данный многоугольник не является пра­вильным» опущено; оно легко может быть восстановлено.

В дилеммах и трилеммах заключение также может явно не формулироваться, а подразумеваться. Например, в приведенной ниже сложной деструктивной дилемме заключение явно не при­сутствует:

«Если соблюдать правила хранения зерна, то не произойдет его самозагорания, а если организовать хорошую охрану зернохранилища, то не произойдет умышленного поджога. Данный пожар произошел либо от самозагорания зерна, либо от умыш­ленного поджога». Заключение - «В данном зернохранилище либо не соблюдаются правила хранения зерна, либо не налажена охрана» - подразумевается, а не высказывается в явной форме.

2. В умозаключении пропущена одна из посылок. В умозак­лючениях может быть пропущена первая посылка; она может подразумеваться, если выражает известное положение, теорему, закон и т. д.

В условно-категорическом умозаключении «Сумма цифр дан­ного числа делится на 3, следовательно, данное число делится на 3» опущена первая посылка, формулирующая известную матема­тическую закономерность: «Если сумма цифр данного числа делится на 3, то все число делится на 3».

В приводимом ниже разделительно-категорическом умозак­лючении также пропущена первая посылка: «Существительное в русском языке может быть женского, мужского или среднего рода», а все умозаключение сокращенно формулируется так: «Данное существительное русского языка не является сущест­вительным ни женского рода, ни среднего рода. Следовательно, данное существительное мужского рода».

В приведенном ниже примере сложной конструктивной дилем­мы: «Если я пойду через болото, то могу попасть в трясину, а если я пойду в обход, то не успею вовремя доставить донесение. Следовательно, я могу попасть в трясину или не успею вовремя доставить донесение» - вторая посылка не формулируется, а лишь подразумевается: «Я могу идти через болото или в обход».

Можно было бы привести и другие примеры сокращенных умозаключений: чисто условных, условно-категорических, чисто разделительных, разделительно-категорических, условно-разде­лительных (дилемм, трилемм) с пропущенной первой или второй посылкой, - но предоставляем это самостоятельно сделать чи­тателю.

Итак, рассмотренные нами прямые выводы, такие, как чисто условные, чисто разделительные, условно-категорические, разде­лительно-категорические и условно-разделительные (лемматические) умозаключения, сформулированные полностью и сокра­щенные (т. е. в которых пропущена либо одна из посылок, либо заключение), широко используются в процессе научного и обы­денного мышления, в процессе обучения в школе и в вузе. Поэто­му знание правил построения этих видов умозаключений пре­достережет от логических ошибок в мышлении, поможет до­казательнее, аргументированнее строить свои рассуждения и сде­лать более эффективным обучение учащихся и студентов.

Прямые выводы кроме рассмотренных выше форм включают и такие виды:

1. Простая контрапозиция.

Правило простой контрапозиции имеет следующий вид:

а имплицирует b , то отрица­ние b имплицирует отрицание а ». Здесь а и b - переменные, обозначающие произвольные высказывания, или пропозицио­нальные переменные.

1. Если данный треугольник равносторонний, то он равноугольный.

____________________________________________________________________

Если данный треугольник не равноугольный, то он не равносторонний.
2. Если это вещество фосфор, то оно непосредственно с водородом не сое­диняется.

_____________________________________________________________________________________

Если вещество непосредственно с водородом соединяется, то это вещество не является фосфором.
Заметим, что в логике высказываний

Формуланазывается законом простой контрапозиции.

2. Сложная контрапозиция.

- правило сложной контрапозиции.

Пример рассуждения по правилу сложной контрапозиции:
Если у меня будут деньги и я буду здорова, то я поеду домой на каникулы.

________________________________________________________________________

Если у меня были деньги и я не поехала на каникулы домой, то, следовательно, а не была здорова.
3. Правило импортации (конъюнктивного объединения условий). П. С. Новиков называет его правилом соединения посылок:

Это правило читается так: «Если а имплицирует, что b имп­лицирует с, то а и b имплицируют с».

В. А. Сухомлинский писал: «Если учитель стал другом ребен­ка, если эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, в сердце ребенка никогда не появится зло». На основании правила соединения посылок (пра­вила конъюнктивного объединения условий) мы можем это вы­сказывание В. А. Сухомлинского записать иначе, но оно будет эквивалентно прежнему его высказыванию. Заключение: «Если учитель стал другом ребенка и эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему-то светлому, разумному, то в сердце ребенка никогда не появится зло».

4. Правило экспортации (разъединения условий):

Это правило читается так: «Если а и b имплицируют с, то а имплицирует, что b имплицирует с. Правило это обратно предыдущему. Поэтому в качестве иллюстрации можно взять те же мысли В. А. Сухомлинского, только сначала прочитать наше полученное заключение, из которого можно прийти к высказыва­нию самого В. А. Сухомлинского.

I. Простая конструктивная дилемма.

Это умозаключение состоит из двух посылок. В первой посылке утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. Во второй посылке, которая является дизъюнктивным суждением, утверждается, что одно или другое из этих оснований истинно. В заключении утверждается следствие.

В традиционной формальной логике простую конструктивную дилемму обычно представляют в виде следующей схемы:

Если А есть В, то С есть D, если Е есть F, то С есть D.

А есть В или Е есть F.

Приведем пример простой конструктивной дилеммы:

Если число делится на 6, то оно делится и на 3; если число делится на 9, то оно делится и на 3.

Данное число делится на 6 или на 9 .

Данное число делится на 3.

II. Сложная конструктивная дилемма.

Это умозаключение строится из двух посылок. В первой посылке имеются два основания, из которых вытекают соответственно два следствия; во второй посылке, которая представляет собой дизъюнктивное суждение, утверждается истинность одного или другого основания; в заключении утверждается истинность одного или другого следствия. Сложная конструктивная дилемма отличается от простой конструктивной дилеммы только тем, что оба следствия ее условной посылки различны, а не одинаковы.

Этот вид дилеммы значительно чаще встречается в мышлении людей, в сознании литературных героев, исторических деятелей.

Например:

В романе А.С. Пушкина «Евгений Онегин» после вызова Ленского на дуэль перед Онегиным встала дилемма:

Если отказаться от дуэли, то его признают трусом; если он убьет Ленского на дуэли, то его признают убийцей.

Онегин мог отказаться от дуэли или пойти на нее.

Его признают трусом или убийцей.

Так как дилемма означает сложный выбор из двух альтернатив одной, причем обе они нежелательны для субъекта (такая ситуация характеризуется выражением «из двух зол выбирать наименьшее»), то в древности о дилемме говорили: «Посадить на рога дилеммы».

III. Простая деструктивная дилемма.

В этом умозаключении первая (условная) посылка указывает на то, что из одного и того же основания вытекают два различных следствия; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отрицаний обоих этих следствий; в заключении отрицается основание.

Например:

Если человек болен гриппом, то у него высокая температура, болит горло, появляется насморк.

У человека нет высокой температуры, насморка, не болит горло.

Следовательно этот человек не болен гриппом.

IV. Сложная деструктивная дилемма

Дилемма такого вида содержит одну посылку, состоящую из двух условных суждений с разными основаниями и разными следствиями; вторая посылка является дизъюнкцией отрицаний обоих следствий; заключение является дизъюнкцией отрицаний обоих оснований. В форме, обычной для традиционной логики, сложную деструктивную дилемму можно представить в виде следующей схемы:

Если А есть В, то С есть D, если Е есть F, то К есть М.

С не есть D или К не есть М.

А не есть В или Е не есть F.

Например:

Если бы я был богат, то купил бы автомобиль.

Ноя не купил диплом и не учусь в академии.

Следовательно, я не богат и не имею больших связей.

Билет № 12

1.Отношения между понятиями.

Сравнимые - имеют некоторые признаки, позволяющие эти понятия сравнивать друг с другом (пресса и телевидение - СМИ).

Несравнимые - не имеют общих признаков, сравнивать невозможно (преступление, квадрат).

В логических отношениях могут находиться только сравнимые понятия.

Совместимые - понятия, объемы которых полностью или частично совпадают. Отношения совместимости :

1.равнообъемность - понятия, в которых мыслится один и тот же предмет, объемы их полностью совпадают (хотя содержание различно): геометрическая фигура с тремя равными сторонами (А), геометрическая фигура с тремя равными углами (В) → равносторонний (равноугольный) треугольник.

2.пересечение (перекрещивание) - понятия, объем одного из которых частично входит в объем другого; содержание их различно (юрист (А) и преподаватель (В).

3.подчинение (субординация) - понятия, объем одного из которых полностью входит в объем другого, составляя его часть (Суд (А - подчиняющее понятие - род ) и Городской суд (В - подчиненное понятие - вид ). Если в отношении подчинения находятся два общих понятия, то подчиняющее - вид ; подчиненное - род . Если в отношении подчинения находятся общее и единичное (индивидуальное) понятие, то общее (подчиняющее) - вид , а единичное (подчиненное) - индивид (адвокат и Вася Иванов).

Несовместимые (внеположные) - понятия, объемы которых не совпадают ни полностью, ни частично. Отношения несовместимости :

1.соподчинение (координация) - два или больше неперекрещивающихся понятий, подчиненных общему для них понятию (Областной Суд (В), Городской Суд ©, Суд (А). понятия, находящиеся в отношении подчинения к общему для них понятию - соподчиненные ).

2.противоположность (контрарность) - понятия, одно из которых содержит некоторые признаки, а другое - признаки, не совместимые с ними; объемы двух противоположных понятий составляют лишь часть объема общего для них родового понятия (дружественное государство (А) и враждебное государство (В); пунктиром изображено родовое понятие «государство»; черное и белое).

3.противоречие (контрадикторность) - понятия, одно из которых содержит некоторые признаки, а другое эти же признаки исключает; объемы двух противоречащих понятий составляют весь объем рода (дружественное государство (А - положительное понятие) и недружественное государство (не-А - отрицательное понятие) исчерпывают весь объем понятия «государство»).

2. Недедуктивные умозаключения – это умозаключения, в которых истинность посылок не гарантирует истинность заключения, оно всегда предположительно, вероятно . Логическая связь между посылками и заключением в таких умозаключениях не имеет необходимого характера и основана не на логическом законе, а на фактических и психологических данных.

К недедуктивным умозаключениям относятся индуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии . Индуктивные умозаключения – это умозаключения от менее общего знания к более общему . Например, наблюдая за движением каждой из известных планет Солнечной системы, можно сделать вывод: «Все планеты движутся с Запада на Восток». Умозаключение по аналогии – это умозаключение, в котором осуществляется переход от частного знания к частному . Заключение и посылки здесь одной и той же степени общности. Например: «На Земле есть атмосфера, смена дня и ночи, времена года, есть также и жизнь.

Виды аналогии: аналогия предметов, аналогия отношений.

Виды индукции: Полная, неполная(популярная-научная(методом отбора-методом исключения))

Билет № 13

1. Операции ограничения и обобщения понятий.

Обобщение - логическая операция перехода от понятия с меньшим объемом к понятию с большим объемом. Другими словами, логическая операция перехода от видового понятия к родовому посредством усечения содержания исходного понятия.

Пример: Если из содержания понятия "Аграрный университет" исключить видовой признак "аграрный", то получим родовое понятие "университет", дальнейшим обобщением будет "высшее учебное заведение". Аграрный университет (А) Университет (В) Высшее учебное заведение (С)

Ограничение - логическая операция (обратная обобщению) перехода от понятия с большим объемом к понятию с меньшим объемом. Другими словами это есть переход от родовых понятий к видовым путем прибавления к содержанию родового понятия видообразующего признака.
Пример: Если в вышеприведенном примере взять за исходное понятие "Высшее учебное заведение", то понятие "университет" можно рассматривать как его ограничение, а понятие "Аграрный университет" будет ограничением последнего.
Более сложными операциями над понятиями являются деление и классификация.

2. Индукция как метод познания. Общая характеристика индуктивных умозаключений.

Индуктивным называется умозаключение, в котором вывод представляет собой знание обо всем классе предметов, полученное в результате исследования отдельных представителей этого класса.

В индуктивном умозаключении мысль движется от единичного к общему. Путем сравнения устанавливается ряд предметов с одинаковым признаком, выявляется принадлежность этих предметов к одному классу, делается вывод о принадлежности данного признака всему классу.

Индуктивное умозаключение – это такое умозаключение, в котором мысль развивается от знания меньшей степени общности к знанию большей степени общности, а заключение, вытекающее из посылок, носит преимущественно вероятностный характер.

Индукция имеет огромное познавательное значение. Всякое теоретическое положение является обобщенным результатом исследования отдельных предметов, явлений, познания их свойств и причинно-следственных отношений. К общим положениям и выводам познание может прийти лишь обычным путем, через изучение конкретной действительности, многообразных связей предметов (явлений) объективного мира. На основе этого изучения формируются индуктивные обобщения о закономерностях природного мира и общественной жизни.

Основная функция индуктивных выводов в процессе познания – генерализация , т.е. получение общих суждений. По своему содержанию и познавательному значению эти обобщения могут носить различный характер – от простейших обобщений повседневной практики до эмпирических обобщений в науке или универсальных суждений, выражающих всеобщие законы

В зависимости от полноты исследования различают полную и неполную индукцию.

Полная индукция - это умозаключение, в котором общее заключение делается на основе изучения всех предметов и явлений данного класса.

Например:

Задачи первой главы этой книги рассчитаны на тех, кто хорошо знает логику

Задачи второй главы рассчитаны на тех, кто хорошо знает логику

Задачи третьей главы рассчитаны на тех, кто хорошо знает логику

Задачи четвертой главы рассчитаны на тех, кто хорошо знает логику

Задачи пятой главы рассчитаны на тех, кто хорошо знает логику

Все задачи в этой книге рассчитаны на тех, кто хорошо знает элементарные правила логики.

Полная индукция дает достоверное знание, так как заключение делается только о тех предметах или явлениях, которые перечислены в посылках. Но ее область применения ограничена. Полная индукция применяется только в том случае, если возможно иметь дело с замкнутым классом предметов, число элементов которого легко обозримо. Полная индукция предполагает следующие условия:

точное знание числа элементов класса;

убеждение, что признак принадлежит каждому элементу;

небольшое число элементов.

Однако часть нам приходится иметь дело с классами, число элементов которых не ограничено или которые недоступны для непосредственного изучения. В таких случаях применяется метод неполной индукции.

Неполная индукция - это умозаключение, в котором на основе повторяемости признака у некоторых элементов класса делается вывод о принадлежности этого признака всему классу.

По способам обоснования заключения различают следующие виды неполной индукции:

популярная;

В популярной индукции на основе повторяемости одного и того же признака у части однородных предметов и при отсутствии противоречащего случая делается вывод, что все предметы этого класса обладают данным признаком. Степень вероятности вывода в данном случае невысока. Ход умозаключения: исключение из данного положения не встречалось, следовательно, оно может иметь основания для общего вывода. Но незнание противоречащих случаев, отсутствие их не является гарантией, что их не существует. На основе популярной индукции в народе существует немало примет, пословиц и поговорок: если закат красный, то завтра будет теплый, солнечный день; ласточки низко летают - быть дождю и т.п. Эффективность популярной индукции во многом зависит от того, как велико количество случаев, насколько они разнообразны и типичны. Пользуясь данным методом в наших рассуждениях возможно появление следующих логических ошибок:

Поспешное обобщение. Например, когда я знаю, что все знакомые мне мужчины любят читать детективы, я ошибочно могу заключить, что все мужчины любят читать детективы; или, когда я прихожу в магазин, а там перерыв, я могу ошибочно заключить, что в это время в этом магазине всегда перерыв.

«После этого, значит, по причине этого». Случай, когда за причину явления выдается какое-либо предшествующее явление только на том основании, что оно произошло раньше. Например, после того как я помыл машину, я могу ошибочно заключить, что на следующий день пойдет дождь.

Подмена условного безусловным. Случай, когда не учитывается, что всякая истина проявляется в определенном сочетании условий, изменение которых могут повлиять и на истинность заключения. Например, если в обычных условиях вода закипает при ста градусах, то высоко в горах она закипит при более высокой температуре.

Научной индукцией называется умозаключение, в котором вывод о признаках класса предметов делается на основе исследования внутренней обусловленности этих признаков у части предметов данного класса. Научная индукция способна давать выводы, почти совпадающие с достоверностью. Применение научной индукции позволило открыть и сформулировать такие научные законы, как физические законы Архимеда, Кеплера, Ома и др.

Основные требования научной индукции таковы:

Планомерный и методический отбор предметов для исследования.

Установление их существенных свойств, необходимых для самих предметов и важных для нашей практики.

Раскрытие внутренней обусловленности этих свойств.

Сопоставление полученного вывода с другими однотипными положениями науки в данной области знания.

Билет № 14

Похожая информация.

Дилемма такого вида содержит одну посылку, состоящую из двух условных суждений с разными основаниями и разными следствиями; вторая посылка есть дизъюнкция отрицаний обоих следствий; заключение является дизъюнкцией отрицаний обоих оснований. В форме, обычной для традиционной логики, слож­ную деструктивную дилемму можно представить в виде следу­ющей схемы:

Если А есть В, то С есть D ; если Е есть F, то К есть М.

С не есть D или К не есть М.

___________________________

А не есть В или Е не есть F.

Примером рассуждения по форме сложной деструктивной дилем­мы может быть следующий вывод:

Если Петров честен, то, не выполнив задания сегодня, он признается в этом, а если Петров добросовестен, то он выполнит задание к следующему разу.

Но Петров не признался в том, что он сегодня не выполнилзадание, или не сделал его к следующему разу.

__________________

Петров не честен или не добросовестен 4 .

Схема сложной деструктивной дилеммы такая:

Этой схеме соответствует формула которая является законом логики.

В предыдущих схемах, соответствующих четырем видам ди­леммы, во второй (разделительной) посылке союз «или» взят в соединительно-разделительном смысле, т. е. взята нестрогая дизъюнкция (v). Будут ли формулы алгебры логики, соответст­вующие дилеммам (четыре вида), тождественно-истинными, если союз «или» употребляется в строго разделительном смысле, т. е. если взята строгая дизъюнкция (v)? Являются ли законами логики следующие формулы:

1) 2)

3) 4)

(Так как конъюнкция связывает «теснее», чем импликация, то скобки можно опустить.)

Автором этой книги показано 5 , что независимо от того, какая дизъюнкция (строгая или нестрогая) входит в соответст­вующие формулы, простым дилеммам (конструктивной и дест­руктивной) соответствуют законы логики. Сложным дилеммам (и конструктивной, и деструктивной) соответствуют законы логики лишь в том случае, если, союз «или» рассматривается как нестрогая дизъюнкция. Но в ходе рассуждения, построенного в форме сложной дилеммы, человек употребляет именно стро­гую дизъюнкцию, ибо перед ним две взаимоисключающие возможности (причем обе они нежелательны). Это несоответст­вие возникло из-за отсутствия полного совпадения смысла союза «если... то» и смысла материальной импликации (в двузначной логике).

Некоторые логики под дилеммой понимают такое умозак­лючение:

Если А есть В, то С есть D; если Е есть F, то G есть H .

Но С не есть D и G не есть H .

Следовательно, А не есть В и Е не есть F.

Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Если бы я был бесчестен, то я украл бы таковой.

Но я его не купил и не украду.

_______________________________

Я не богат и не бесчестен.

Но здесь вторая посылка и заключение являются конъюнктив­ными, а не дизъюнктивными суждениями (как это должно быть по правилам построения дилеммы), поэтому приведенное выше умозаключение не является дилеммой, так как в нем нет раз­делительной посылки, характерной для дилеммы. Это умозак­лючение есть простая сумма двух условно-категорических умоза­ключений, построенных по правилу modus tollens, который дает истинное заключение. Формула modus tollens такая:

1. Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль.

Я не куплю автомобиль.

________________

Я не богат.

2. Если бы я был бесчестен, то я украл бы автомобиль.

Я не украду автомобиль.

_________________

Я не бесчестен.

Итак, перед нами условно-конъюнктивное, а не условно-дизъюн­ктивное (лемматическое) умозаключение.

Трилемма

Трилеммы, так же как и дилеммы, могут быть конструктив­ными и деструктивными; каждая из этих форм в свою очередь может быть простой или сложной. Простая конструктивная трилемма состоит из двух посылок и заключения. В первой посылке констатируется то, что из трех различных оснований вытекает одно и то же следствие; вторая посылка представляет собой дизъюнкцию этих трех оснований; в заключении утвержда­ется следствие.

У данного больного или грипп, или острое респираторное заболевание, или ангина.

__________________

В сложной конструктивной трилемме первая посылка состоит из трех различных оснований и трех различных вытекающих из них следствий, т. е. содержит три условных суждения. Вторая посылка является дизъюнктивным суждением, в котором утверж­дается (по крайней мере) одно из трех оснований. В заключении утверждается (по крайней мере) одно из трех следствий.

Приведем пример сложной конструктивной трилеммы. В не­которых сказках говорится о надписях на перекрестках трех дорог, которые содержат, например, такого рода трилемму:

Кто поедет прямо, будет в холоде и голоде; кто поедет направо, тот сам останется цел, а конь будет убит; кто поедет налево, тот сам будет убит, а конь останется цел.

Человек может поехать либо прямо, либо направо, либо налево.

_____________________________

Он или будет в холоде и голоде, или сам останется цел, а конь будет убит, или сам будет убит, а конь останется цел.

Приведем еще пример трилеммы.

В своих воспоминаниях о Великой Отечественной войне Л. И. Баркович пишет об истории Ладожской дороги. Ладожс­кая дорога, Дорога жизни, была фронтом. Направляясь в Ленин-

град по Ладожскому озеру, Иван Игнатьевич Баркович, будучи шофером грузовой машины, взял с собой сына Леонида, так как вторую машину - полуторку вести было некому. В автоколонне сын двигался за машиной отца. Дорога была опасна. Враг дер­жал ее под огнем, лед расходился, образуя просветы. Вдруг машина отца остановилась - оказалось, кончился бензин.

Леонид Баркович рассуждает:

«У моей машины горючее тоже было на исходе. Переливать половину оставшегося бензина в бак отцовского «газика» было глупо - горючее могло кончиться раньше, чем мы добрались бы до берега.

Поехать вперед, сообщить, что тут стоит машина? Но по­мощь может прийти поздно...

Взять на буксир его машину - лед мог не выдержать».

Леонид принял решение: «Давай трос! На буксире у меня войдешь!» Добрались благополучно.

Деструктивные трилеммы, так же как и деструктивные ди­леммы, бывают простые и сложные. Структура их аналогична структуре дилеммы, только предусматриваются не две, а три возможные альтернативы.

Приведем пример простой деструктивной трилеммы.

Если в ближайшее время погода ухудшится» то у него будут болеть суставы, повысится артериальное давление и будет ломить поясница.

Известно, что у него или не болят суставы, или не повысилось артериаль­ное давление, или не ломит поясница.

В ближайшее время погода не ухудшится.

В математике структура трилеммы используется тогда, когда возникают три возможных варианта решения задачи, доказатель­ства теоремы и предстоит выбор одного из них.